PROBABILIDAD. Pág. 2 Tema 9 Experimentos aleatorios. Diremos que un experimento es aleatorio si se...

PROBABILIDAD

PROBABILIDAD Pág. 2Tema 9Tema 9

Experimentos aleatorios.

Diremos que un experimento es aleatorio si se verifican las siguientes condiciones:

1. Se puede repetir indefinidamente, siempre en las mismas condiciones;

2. Antes de realizarlo, no se puede predecir el resultado que se va a obtener;

3. El resultado que se obtenga pertenece a un conjunto conocido previamente de resultados posibles.

Al soltar un objeto, sabemos que cae.

Al calentar agua a 100ºC, sabemos que se produce vapor.

Al lanzar un dado, no sabemos que puntuación saldrá.

Al comenzar un partido de fútbol, no sabemos el resultado final.

Experimento determinista. Podemos predecir el resultado.

Experimento aleatorio.No podemos predecir su resultado.


Sucesos.

Decimos que un suceso se verifica u ocurre al realizar un experimento aleatorio si el resultado obtenido forma parte de dicho suceso.

El espacio muestral (Ω) es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. Lo denotaremos normalmente mediante la letra .

Los elementos del espacio muestral (los posibles resultados del experimento) se denominan sucesos elementales.

Se llama suceso a cualquier subconjunto de , es decir, a cualquier subconjunto de resultados posibles.Los sucesos se suelen representar con letras mayúsculas.

El suceso A es elemental.

Los sucesos B y C son

compuestos.

Ejemplo:

Experimento aleatorio: Lanzar un dado y observar su puntuación.

Espacio muestral: = 1, 2, 3, 4, 5, 6

Algunos sucesos: Salir 5: A = 5

Salir par: B = 2, 4, 6

Salir menos de 3: C = 1, 2


Suceso elementalLos resultados individuales se llaman sucesos elementales.

SucesoUn suceso es cualquier colección de uno o más sucesos elementales.

Nuestro objetivo es determinar P(A), la probabilidad de que ocurra el suceso A.

Sacamos una bola de la urna y miramos su número

Espacio muestralUn espacio muestral de un experimento aleatorioes el conjunto de todos los resultados posibles.

Sucesos.


Suceso seguro y suceso imposible.

Se llama suceso seguro al que contiene todos los resultados posibles del experimento. Este suceso se verifica siempre y coincide con el espacio muestral .

Se llama suceso imposible al que no contiene ningún resultado posible del experimento. Este suceso no se verifica nunca y coincide con el conjunto vacío Φ.

Ejemplo: Al lanzar un dado, el suceso A: sacar un número menor o igual que 6, es un suceso seguro, se verifica siempre.

A = 1, 2, 3, 4, 5, 6 =

Ejemplo: Al lanzar un dado, el suceso B: sacar un 0, es un suceso imposible, no se verifica nunca.

B = Φ


Operaciones con sucesos.

Unión.Se llama unión de los sucesos A y B al suceso formado por todos los resultados que están en A o en B. Se representa por A B.A B se verifica si se verifican A o B.

A B

Intersección.Se llama intersección de los sucesos A y B al suceso formado por todos los resultados que están en A y en B a la vez. Se representa por A B.A B se verifica si se verifican simultáneamente A y B.

A B

A B

AB


Diferencia.Se llama diferencia entre el suceso A y el suceso B al suceso formado por todos los resultados que están en A, pero no en B. Se representa por A – B.A – B se verifica si se verifica A, pero no se verifica B.

A – B

A B

Complemento.Se llama complemento o contrario del suceso A, y se representa por Ā o Ac, al suceso formado por todos los resultados del experimento que no están en A, es decir, a la diferencia – A.El suceso Ā se verifica si no se verifica A.

A

A

Operaciones con sucesos.


A B = B A A B = B A

(A B) C =

A (B C)

(A B) C =

A (B C)

A A = A A A = A

A (A B) = A A (A B) = A

A (B C) =

(A B) (A C)

A (B C) =

(A B) (A C)

A Φ = A A = A

A Ā = A Ā = Φ

BABA BABA

Propiedades de las operaciones con sucesos.


Dos o más sucesos son compatibles si pueden verificarse simultáneamente.

En caso contrario, son incompatibles (no pueden verificarse simultáneamente).

Decimos que tres o más sucesos son incompatibles dos a dos si es incompatible cualquier pareja que se pueda formar entre ellos.

Ejemplo: Al lanzar un dado, sean los sucesos: A = 2, 3, B = 1, 2 y C = 4, 5.A y B son compatibles porque se verifican simultáneamente si obtenemos un 2.A y C son incompatibles, no tienen ningún elemento en común.

Sucesos compatibles y sucesos incompatibles.

Dos o más sucesos sólo pueden verificarse simultáneamente si tienen al menos un resultado común. Por tanto, para saber si son o no compatibles averiguaremos si su intersección es el conjunto vacío Φ

A B = Φ A y B incompatibles


Si es el espacio muestral de un experimento aleatorio, los sucesos A1, ....., An

forman un sistema completo de sucesos (o una partición) si y solo si se cumplen las siguientes condiciones:

1. A1 ..... An = 2. A1, ....., An son incompatibles dos a dos.

Ejemplo: En el experimento de lanzar un dado, sean los sucesos: G = 1, 2, 3, H = 4, 5 e I = 6.Estos sucesos cumplen: 1. Su unión es el espacio muestral: G H I = 2. Son incompatibles dos a dos: G H = Φ, G I = Φ, H I = ΦPor tanto, los sucesos G, H e I forman un sistema completo de sucesos.

Sistema completo de sucesos (Partición).

A1

A2

A3

A4

A

A

A y Ā forman una partición.

Partición en 4 sucesos: A1, A2, A3 y A4.


Definición y propiedades de la probabilidad.

La probabilidad es una medida numérica del grado de certeza sobre la ocurrencia o no de un suceso.

Seguro

Verosímil

50-50

Poco verosímil

Imposible

1

0.5

0

0 P(A) 1

Imposibleque ocurra

Seguroque ocurre


Definición experimental (frecuentista).

Si repetimos N veces un experimento aleatorio:

El número de veces que se verifica un suceso A se llama frecuencia absoluta de A y se simboliza por nA.

El cociente entre las frecuencias absolutas y el número N de veces que se repite el experimento se llama frecuencia relativa del suceso A y se simboliza por fA.

A medida que aumenta el número de veces que se repite el experimento, las frecuencias relativas de un suceso tienden hacia cierto valor. Esta propiedad (que se conoce como ley de los grandes números) permite dar la siguiente definición de la probabilidad de un suceso.

Definición experimental de la probabilidad:Dado cualquier suceso A asociado a un experimento aleatorio, llamamos probabilidad de A, P(A), al número hacia el que tienden las frecuencias relativas de A al aumentar el número de realizaciones del experimento.


Definición axiomática de la probabilidad.

Dado el espacio muestral asociado a un experimento aleatorio, llamamos probabilidad a una función

P: R A P(A)

que asocia a cada suceso A un número real llamado probabilidad de A, P(A), y que cumple los siguientes axiomas:

A1. La probabilidad de cualquier suceso A es positiva o cero:

A2. La probabilidad del suceso seguro vale 1:

A3. Si dos sucesos A y B son incompatibles, la probabilidad de su unión es igual a la suma de sus probabilidades:

P(A) 0

P() = 1

A B = P(AB) = P(A) + P(B)


Propiedades de la probabilidad.

P1.

P2.

P3.

A

AA y Ā son incompatibles. Luego, por el

axioma 3, P(A) + P(Ā) = P(A Ā) = P() = 1

B

AA – B

A y A – B son incompatibles. Luego, por el axioma 3, P(A) + P(A–B) = P(A (A–B)) = P(B). Como P(A–B) 0, entonces P(A) P(B).

P(A)

A B

P(B)

A B+ -

P(AB)

A B =

P(AB)

A B

A B P(A) P(B)

P(A) + P(Ā ) = 1

P(A B) = P(A) + P(B) – P(AB)


4

1

12

3

4

3

3

1

3

2)()()()( APBAPBAPBP

5

2

5

31)(1)(1)()( CPCPCPCPa)

0)()( PCCPb)

)()()()( BAPBPAPBAP c)

4

3)( AP

3

1)( BAP

3

2)( BAP

5

3)( CP

Halla la probabilidad de los sucesos:

Sabiendo que:

y c) BCC b)a) C

EJEMPLOEJEMPLO


Cálculo de probabilidades.

El problema, ahora, es asignar probabilidades a sucesos.

Hemos visto que una manera de hacerlo es repetir el experimento y obtener la frecuencia relativa del suceso (en muchos problemas aparecerá como % de ocurrencia del suceso).

Vamos a ver dos casos particulares en los que no hace falta realizar el experimento para asignar probabilidades a sucesos (Probabilidad a priori):

Experimentos con sucesos elementales equiprobables Regla de Laplace

Experimentos compuestos Diagrmas en árbol


6

1)( AP

2

1

6

3)( BP

Regla de Laplace

En cualquier experimento aleatorio en el que los sucesos elementales son equiprobables:

P(A) =Casos favorables a A

Casos posibles

EJEMPLOEJEMPLO Al lanzar un dado, calcula la probabilidad de los sucesos: A: salir un dos B: salir número par


Casos posibles: 40 · 39 · 38 = 59280

Casos favorables a A: 12 · 11 · 10 = 13200223,0

59280

1320)( AP

9

1

36

4)5 ( sumaP

Casos favorables: (1,4), (2,3), (3,2) y (1,4) 4

Casos posibles: (1,1), (1,2), ....., (6,5) y (6,6) 36

Regla de Laplace

EJEMPLOEJEMPLO Al lanzar dos dados, calcula la probabilidad de que la suma sea 5.

Al extraer tres cartas de una baraja española, ¿cuál es la probabilidad del suceso A: obtener tres figuras?

EJEMPLOEJEMPLO


Diagramas en árbol

Veamos cómo calcular la probabilidad de un suceso en un experimento compuesto a partir de las probabilidades de los sucesos de los experimentos simples que lo componen.

Los experimentos compuestos pueden representarse por diagramas en árbol, donde cada resultado viene dado por un camino del diagrama, y en el que cada rama tiene asignada una probabilidad.

Así, para calcular la probabilidad de un suceso debemos tener en cuenta:

1. La probabilidad de un camino es igual al producto de las probabilidades de las ramas de ese camino.

2. La probabilidad de un suceso es la suma de las probabilidades de cada uno de los caminos que conducen a la verificación del suceso.


Lanzamos tres veces una moneda.

8

1

2

1

2

1

2

1)Caras 3( P C, C, C

8

3

8

1

8

1

8

1)Caras 2( P

C, C, X

C, X, C

X, C, C

2

1

2

1

2

1

C

X

C

X

C

X

C

X

C

X

X

C

X

C

EJEMPLOEJEMPLO


Una bolsa contiene tres bolas rojas y dos bolas azules. Extraemos, sucesivamente y con reposición, dos bolas y observamos su color. ¿Cuál es la probabilidad del suceso S: obtener una bola roja y una bola azul, sin importar el orden?

Sean los sucesos R: sacar bola roja, A: sacar bola azul

Para calcular la probabilidad de cada rama utilizamos la regla de Laplace.

Diagrama en árbol. Señalamos los caminos favorables al suceso S.

25

6

5

2

5

3),( ARP

25

6

5

3

5

2),( RAP

25

12

25

6

25

6)( SP

La probabilidad de S, P(S), es la suma de las probabilidades de los caminos favorables a S.

R, A

A, R

5

3

5

2

5

3

5

3

5

2

5

2

R

A

R

A

R

A

EJEMPLOEJEMPLO


Probabilidad condicionada.En ocasiones, disponer de información previa sobre un suceso hace que varíe su probabilidad. Veámoslo con un ejemplo.

En una clase de 30 alumnos, 20 tienen ordenador y 16 son chicas. Al elegir un alumno al azar, estamos interesados en los sucesos: A: escoger un alumno que tenga ordenador. B: escoger una chica.

La probabilidad de estos sucesos la podemos obtener con la regla de Laplace:

15

8

30

16)( BP

3

2

30

20)( AP

Si entre las chicas hay 10 que tienen ordenador, la probabilidad del suceso A B, escoger una chica que tenga ordenador será:

3

1

30

10)( BAP

Chicas

Chicos

Ordenador


Definición de probabilidad condicionada:Dados dos sucesos A y B, tales que P(B) 0, se llama probabillidad de A condicionada a B (o probabilidad de A dado B), P(A/B), al cociente:

Supongamos ahora que hemos elegido un alumno al azar y resulta ser una chica. Con esta información adicional, ¿cuál es la probabilidad de que tenga ordenador?Esto equivale a calcular la probabilidad de A sabiendo de antemano que el alumno elegido es chica, es decir, que ha ocurrido B.

Esta probabilidad se representa por P(A/B) y se dice que es la probabilidad de A condicionada a B.

16

10)/( BAP

Y dividiendo numerador y denominador por 30 (número de alumnos) tenemos que:

)(

)(

3016

3010

16

10)/(

BP

BAPBAP

P(AB)P(B)

P(A/B) =

Probabilidad condicionada.


Propiedades de la probabilidad condicionada.

PC1.

PC2.

PC3.

)(

)()/(

AP

BPABPAB

B C P(B/A) P(C/A)

A B P(B/A) = 1


Lanzamos un dado. Calcula la probabilidad de que la puntuación obtenida sea un dos, sabiendo que dicha puntuación es un número primo (incluimos al 1 como primo).

Hemos de calcular P(A/B), donde A: obtener un dos y B: obtener un número primo.

Aplicando la regla de Laplace:6

1)( BAP

3

2

6

4)( BP

Aplicando la expresión de la probabilidad condicionada:

4

1

32

61

)(

)()/(

BP

BAPBAP

Fíjate en que la probabilidad de obtener un dos sin ninguna información adicional es 1/6.

Probabilidad condicionada.

EJEMPLOEJEMPLO


De la probabilidad condicionada se deriva la siguiente expresión que resulta muy útil en el cálculo de probabilidades en experimentos compuestos:

Esta expresión es conocida como principio de la probabilidad compuesta o probabilidad producto.

Probabilidad compuesta.

Los experimentos aleatorios compuestos son el resultado de realizar varios experimentos aleatorios simples.

P(AB) = P(B)·P(A/B)


Una bolsa contiene 3 bolas rojas (R) y 3 verdes (V). Se extraen dos bolas sin reemplazamiento. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos bolas sean rojas?

Hay que calcular la probabilidad de roja y roja: P(R1R2). Utilizando la regla de

la probabilidad compuesta:

5

1

30

6

5

2

6

3)/()()( 12121 RRPRPRRP

También podemos representarlo con un diagrama en árbol:

5

2)/( 12 RRP

6

3)( 1 RP

6

3)( 1 VP

5

3)/( 12 VRP

5

3)/( 12 RVP

5

2)/( 12 VVP

5

1

30

6

5

2

6

3)( 21 RRP

Probabilidad compuesta.

EJEMPLOEJEMPLO


Sucesos dependientes y sucesos independientes.

Decimos que dos sucesos A y B, asociados a un mismo experimento aleatorio, son independientes si se cumple:

En caso contrario, se dice que A y B son dependientes.

Al lanzar dos veces un dado, el hecho que se verifique o no el suceso B: número par en el primer lanzamiento no influye en el suceso A: número impar en el segundo lanzamiento, ni viceversa.

En este caso, la probabilidad de que ocurra un suceso no está condicionada a que ocurra el otro. Por tanto:

A partir del principio de la probabilidad compuesta se tiene que:

Diremos, entonces, que ambos sucesos son independientes.

P(AB) = P(A)·P(B)

P(AB) = P(A)·P(B/A) = P(A)·P(B)

P(A/B) = P(A) P(B/A) = P(B)


Se extraen sucesivamente dos cartas de una baraja española. Calcula la probabilidad de que las dos sean bastos en los siguientes casos: a) Sin reemplazamiento de la 1ª carta extraída. b) Con reemplazamiento de la 1ª carta extraída.

Definimos los sucesos B1: la 1ª carta es de bastos

B2: la 2ª carta es de bastos

4

1

40

10)( 1 BP

La probabilidad buscada en ambos casos es la de la rama que verifica el suceso B1 B2 P(B1 B2) = P(B1)·P(B2/B1)

Calculamos P(B1) con la

regla de Laplace:)( 1BP

)( 1BP

)( 12 BBP

)( 12 BBP

)( 12 BBP

)( 12 BBP

P(B1 B2)B2

2B

B2

2B

B1

1B

EJEMPLOEJEMPLO


0577,039

9

40

10)()()( 12121 BBPBPBBP

39

9)/( 12 BBP

4

1

40

10)()/( 212 BPBBP

0625,040

10

40

10)()()/()()( 2112121 BPBPBBPBPBBP

a) Sin reemplazamiento de la 1ª carta extraída.Tras la 1ª extracción quedan 39 cartas. Además, si la 1ª carta ha sido de bastos, quedan 9 bastos.

b) Con reemplazamiento de la 1ª carta extraída.Tras la 1ª extracción hay las mismas cartas (40) y los mismos bastos (10). Luego la 1ª extracción no afecta a la 2ª; B1 y B2 son independientes.

Se extraen sucesivamente dos cartas de una baraja española. Calcula la probabilidad de que las dos sean bastos en los siguientes casos: a) Sin reemplazamiento de la 1ª carta extraída. b) Con reemplazamiento de la 1ª carta extraída.

EJEMPLOEJEMPLO


Sean A, B y C sucesos tales que: P(A) = 0,5, P(B) = 0,6, P(C) = 0,4, P(AB) = 0,8 y P(AC) = 0,3a) ¿Son A y B independientes? c) ¿Son A y C independientes?b) Calcula P(A/B) d) Calcula P(A/C)

a) A y B serán independientes si P(AB) = P(A)·P(B). Debemos calcular primero P(AB). Para ello, usamos la regla de la suma: P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB), de donde P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB) = 0,5 + 0,6 – 0,8 = 0,3.Como P(A)·P(B) = 0,5 · 0,6 = 0,3 = P(AB), los sucesos A y B son independientes.

b) Como A y B son independientes, P(A/B) = P(A) = 0,5

c) P(AC) = 0,3. P(A)·P(C) = 0,5 · 0,4 = 0,2 0,3. Como P(AC) P(A)·P(C), los sucesos A y C no son independientes.

d) Como A y C no son independientes, debemos utilizar la fórmula de la probabilidad condicionada:

75,04,0

3,0

)(

)()/(

CP

CAPCAP

EJEMPLOEJEMPLO


Teorema de la probabilidad total.

Teorema de la probabilidad total:Sea A1, A2, ....., An un sistema completo de sucesos y B, un suceso

cualquiera, todos ellos asociados a un mismo experimento aleatorio. Si P(A1), P(A2), ....., P(An) son no nulas, se cumple que:

A1

A2

A3

BBA1

BA2

BA3

P(B) = P(A1)·P(B/A1) + P(A2)·P(B/A2) + P(A3)·P(B/A3)

P(B) = P(A1)·P(B/A1) + P(A2)·P(B/A2) + ….. + P(An)·P(B/An)

P(B) = P(B A1) + P(B A2) + P(B A3)


El 42% de la población activa de cierto país está formada por mujeres. Se sabe que un 24% de las mujeres y un 16% de los hombres están en el paro.¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar de la población activa en este país esté en el paro?

Sea M el suceso de que sea mujer y H el suceso de que sea hombre.

En este caso, la partición está formada por dos sucesos: ser mujer y su complementario, no ser mujer, o ser hombre. El teorema de la probabilidad total se puede expresar:Mujer

Hombre

Paro

Trab

Paro

Trab

0,42

0,58

0,24

0,16

0,76

0,84

P(Paro) = 0,24 · 0,42 + 0,16 · 0,58 = 0,1936

P(Paro) = P(Paro/M)·P(M) + P(Paro/H)·P(H)

Teorema de la probabilidad total.EJEMPLO


En una fábrica se embalan (en cajas) galletas en 4 cadenas de montaje; A1, A2, A3 y A4. El 35% de la producción total se embala en la cadena A1 y el 20%, 24% y 21% en A2, A3 y A4 respectivamente. Los datos indican que no se embalan correctamente un porcentaje pequeño de las cajas; el 1% de A1, el 3% de A2, el 2.5% de A3 y el 2% de A4. ¿Cuál es la probabilidad de que una caja elegida al azar de la producción total sea defectuosa?

Sea D = defectuosa.

P(A4D) = 0,02 · 0,21

P(A3D) = 0,025 · 0,24

P(A2D) = 0,03 · 0,20

P(A1D) = 0,01 · 0,35

P(D) = 0,01 · 0,35 + + 0,03 · 0,20 + + 0,025 · 0,24 + + 0,02 · 0,21 = 0,0197

P(D) = P(D/A1)·P(A1) + + P(D/A2)·P(A2) + + P(D/A3)·P(A3) + + P(D/A4)·P(A4)

D

Dc

D

Dc

D

Dc

D

Dc

A1

A1

A1

A1

0,35

0,20

0,24

0,21

0,01

0,03

0,025

0,02

Teorema de la probabilidad total.EJEMPLO


Teorema de Bayes.Ejemplo: El 42% de la población activa de cierto país está formada por mujeres. Se sabe que un 24% de las mujeres y un 16% de los hombres están en el paro.Supongamos que se elige un adulto al azar para rellenar un formulario y se observa que está en paro. ¿Cuál es la probabilidad de que la persona elegida sea mujer?

)(

)()/(

ParoP

ParoMPParoMP

)(

)/()()/(

ParoP

MParoPMPParoMP

5207,01936,0

24,042,0)/(

ParoMP

Tenemos que calcular P(M/Paro). Según la definición de probabilidad condicionada:

En el diagrama vemos que:P(MParo) = P(M)·P(Paro/M)

P(Paro) lo hemos calculado antes con el teorema de la probabilidad total:P(Paro) = P(Paro/M)·P(M) + P(Paro/H)·P(H)P(Paro) = 0,24 · 0,42 + 0,16 · 0,58 = 0,1936

M

H

Paro

Trab

Paro

Trab

0,42

0,58

0,24

0,16

0,76

0,84


Teorema de Bayes:Sea A1, A2, ....., Ai, ....., An un sistema completo de sucesos y B, un suceso

cualquiera, todos ellos asociados a un mismo experimento aleatorio. Si P(A1), P(A2), ....., P(An), ....., P(An) son no nulas, se cumple que:

A1

A2

A3

BBA1

BA2

BA3

Si conocemos la probabilidad de B en cada uno de los componentes de una partición, entonces……si ocurre B, podemos calcular la probabilidad (a posteriori) de que haya ocurrido cada Ai.

)(

)/()(

)(

)()/(

BP

ABPAP

BP

BAPBAP iii

i

P(A1)·P(B/A1) + ….. + P(An)·P(B/An)

P(Ai)·P(B/Ai)P(Ai / B) =

Teorema de Bayes.


En una situación en la que sea aplicable el teorema de Bayes:

P(A1), P(A2), … , P(An) se llaman probabilidades a priori.

P(A1/B), P(A2/B), … , P(An/B) se donominan probabilidades a posteriori.

P(B/A1), P(B/A2), … , P(B/An) reciben el nombre de verosimilitudes.

Teorema de Bayes:Sea A1, A2, ....., Ai, ....., An un sistema completo de sucesos y B, un suceso

cualquiera, todos ellos asociados a un mismo experimento aleatorio. Si P(A1), P(A2), ....., P(An), ....., P(An) son no nulas, se cumple que:

Por el teorema de la probabilidad total:

Con lo que el teorema de Bayes se puede expresar:

P(B) = P(A1)·P(B/A1) + ….. + P(An)·P(B/An)

P(A1)·P(B/A1) + ….. + P(An)·P(B/An)


P(B)


Teorema de Bayes.


En una fábrica se embalan (en cajas) galletas en 4 cadenas de montaje; A1, A2, A3 y A4. El 35% de la producción total se embala en la cadena A1 y el 20%, 24% y 21% en A2, A3 y A4 respectivamente. Los datos indican que no se embalan correctamente un porcentaje pequeño de las cajas; el 1% de A1, el 3% de A2, el 2.5% de A3 y el 2% de A4.Descubrimos que una caja es defectuosa. Calcula la probabilidad de que la caja provenga de la cadena A1.

1777,00197,0

35,001,0

)(

)()/()/( 11

1

DP

APADPDAP

P(A4D) = 0,02 · 0,21

P(A3D) = 0,025 · 0,24

P(A2D) = 0,03 · 0,20

P(A1D) = 0,01 · 0,35 P(D) = 0,01 · 0,35 + + 0,03 · 0,20 + + 0,025 · 0,24 + + 0,02 · 0,21 = 0,0197

D

Dc

D

Dc

D

Dc

D

Dc

A1

A1

A1

A1

0,35

0,20

0,24

0,21

0,01

0,03

0,025

0,02

EJEMPLO Teorema de Bayes.

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