Unidad ii introduccion a las ecuciones diferenciales

PROFESOR: JULIO BARRETO 1 MATERIA: MATEMÁTICA IV

UNIDAD II ECUACIONES DIFERENCIALES

ORIGEN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

Se dice que las ecuaciones diferenciales se originaron durante los siglos XVII y XVIII.

Más precisamente las ecuaciones diferenciales se originan en los principios del cálculo,

con Isaac Newton y Gottfried Wilheln Leibnitz en el siglo XVII. Newton clasificó las

ecuaciones de primer orden de acuerdo con las formas yfdx

dyxf

dx

dy , y

., yxfdx

dy En 1675 Leibnitz asentó en un papel la ecuación: .

2

1 2

yydy Y descubrió

el método de separación de variables, así como procedimientos para resolver las

ecuaciones homogéneas de primer orden y las ecuaciones lineales de primer orden. A

Newton y Leibnitz, siguieron la familia Bernoulli: Jacob, Johann y Daniel. Con ayuda

del cálculo formularon y resolvieron las ecuaciones diferenciales de muchos problemas

de mecánica. Entre ellos el de la braquistócroma que conduce a las ecuaciones no

lineales de primer orden .)(1 2 cyy

En aquel tiempo, pasar de la ecuación 2

1

322

3

ayb

ay a la forma diferencial y,

entonces, afirmar que las integrales en ambos lados de la ecuación debían ser iguales,

excepto por una constante, constituyó ciertamente un avance trascendental. Así por

ejemplo, mientras Johann sabía que

1

1

p

axddxax

pp no era para p = -1 no sabía que

xx

dxln . Sin embargo, pudo demostrar que la ecuación ,

ax

y

dx

dy que podemos

resolver escribiéndola como ,x

dx

y

dya y tiene la solución .c

x

y a

A principio del siglo XVIII Jacobo Riccati, matemático italiano, consideró ecuaciones

de la forma 0,, yyyf . Leonardo Euler, trabajó sobre el planteamiento de

problemas de la mecánica y su desarrollo de métodos de solución para estos problemas

matemáticos. También, mediante un cambio adecuado de variables, redujo ecuaciones

de segundo orden a ecuaciones de primer orden; Creó el concepto de factor integrante;

en 1739 dio un tratamiento general a las ecuaciones diferenciales lineales ordinarias

con coeficientes constantes; contribuyó al método de las soluciones en series de

potencias y dio un procedimiento numérico para resolver las ecuaciones diferenciales.

Posteriormente en el siglo XVIII, los grandes matemáticos franceses Joseph-Louis

Lagrange (1736-1813) y Pierre-Simon Laplace (1749-1827) hicieron importantes

aportaciones a la teoría de las ecuaciones diferenciales ordinarias y, además, dieron por

primera vez un tratamiento a las ecuaciones diferenciales parciales.


ECUACIONES DIFERENCIALES

DEFINICIÓN: Una ecuación diferencial es una igualdad que contiene las derivadas de

una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes.

EJEMPLOS:

0

42

3

2

2

2

2

2

2

x

u

y

u

x

u

xydx

dy

dx

yd

eydx

dyx x

CLASIFICACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES

Las ecuaciones diferenciales se clasifican según su tipo, orden y linealidad.

CLASIFICACIÓN DE ACUERDO AL TIPO:

i. LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS (EDO): Si una

ecuación diferencial sólo contiene derivadas ordinarias de una o más variables

dependientes con respecto a una sola variable independiente, entonces se dice que es

una ecuación diferencial ordinaria.

EJEMPLOS:

23 2 xxydx

dy

0)12()32( dyyxdxyx

ydx

dyx

dx

ydy 3

3

3

023 dx

dz

dx

dy

ii. LAS ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES (EDP): Toda ecuación

diferencial que contiene derivadas parciales de una o más variables dependientes

con respecto a dos o más variables independientes se denomina ecuación diferencial

parcial.

EJEMPLOS:

032

y

u

x

u

yx

u y xyz

zyx

u

y

u

x

ux

3

2

2

3


OBSERVACIÓN: Más precisamente diremos que las ecuaciones diferenciales son:

ORDINARIAS: Cuando la función f depende de una sola variable.

PARCIALES: Cuando la función depende de varias variables.

CLASIFICACIÓN DE ACUERDO AL ORDEN:

DEFINICIÓN DEL ORDEN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL: El orden de

una ecuación diferencial le corresponde al de la derivada de mayor orden que aparece en

dicha ecuación.

i. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden:

23 2 xxydx

dy

0)12()32( dyyxdxyx

03 xdx

dyy

ii. Ecuaciones Diferenciales Segundo Orden:

)(4´2´´3 xSenyyxy

032

y

u

x

u

yx

u

02´3´´ yyy

iii. Ecuaciones Diferenciales de Tercer Orden:

xyzzyx

u

y

u

x

ux

3

2

2

3

ydx

dyx

dx

ydy 3

3

3

1345´´2´´´ 22 xeyyy x

iv. Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior:

253 34 xyyy


CLASIFICACIÓN DE ACUERDO AL GRADO:

El grado de una ecuación diferencial ordinaria, que puede escribirse como un polinomio

en la variable dependiente y sus derivadas, y por tanto es la potencia a la cual esta

elevada su derivada de mayor orden.

Ejemplos:

.53

2

3

73

2

2

xdx

dyy

dx

dyy

dx

yd

Como es de Orden Dos, es una

Ecuación Diferencial de Tercer Grado.

.45

2

2

2

xydx

dy

dx

yd

Como es de Orden Dos, es una Ecuación Diferencial

de Primer Grado.

.03 2

34

4

ysendx

dyx

dx

yd

dx

yd No tiene grado a causa del término .ysen

¡Justifica¡

CLASIFICACIÓN DE ACUERDO A LA LINEALIDAD:

Se clasifican en Ecuaciones Diferenciales Lineales y No Lineales.

Las ecuaciones diferenciales lineales de orden n son todas aquellas que pueden

expresarse de la siguiente forma:

012

1

1 xfxyxaxyxaxyxaxxaxyxan

n

n

n

Si ,0xf la ecuación diferencial lineal es homogénea.

Si ,0xf la ecuación diferencial lineal es no homogénea.

Si nixai ,...,2,1,0),( son todos valores constantes, entonces la ecuación diferencial

lineal es de coeficientes constantes; caso contrario se dice que la ecuación diferencial lineal

es de coeficientes variables.

)()()()´()()´´()()´´´()(3

)()()()´()()´´()(2

)()()()´()(1

0123

012

01

xfxyxaxyxaxyxaxyxaorden

xfxyxaxyxaxyxaorden

xfxyxaxyxaorden

er

do

er


En las ecuaciones lineales se observa las siguientes propiedades:

i. La variable dependiente y, y todas sus derivadas son de 1er

grado.

ii. Cada coeficiente depende solamente de la variable independiente x.

iii. Toda ecuación diferencial que no pueda expresarse en la forma (*) se llama

ecuación no lineal.

)ln(4´2´´´

)cos(2

)(

22

2

2

2

xyyy

xxyxdx

dy

dx

ydx

eyxsendx

dyx x

Ecuaciones Diferenciales No Lineales:

1

)(3

3

4

2

2

dx

dye

ysendx

dy

dx

yd

ydx

dy

edx

dyxy

xy

x

SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIA

DEFINICIÓN: Cualquier función definida en un intervalo I que posee al menos n

derivadas continuas en I, que al sustituirse en una ecuación diferencial ordinaria de

orden n reducen la ecuación a una identidad, es una solución de la ecuación en el

intervalo I.

SOLUCIÓN EXPLÍCITA: Se denomina solución explícita de

)´,...,,,( )1( n

n

n

yyyxfdx

yd en un intervalo I a toda función que al

sustituirse por y xy en la ecuación diferencial la satisface para

cualquier valor de x del intervalo I.


Ejemplo: Sea 023 yyy donde .)( xex Al comprobar que la función

satisface la ecuación diferencial dada, puesto que: xex )( y .)( xex

Luego: 02323 xxx eeeyyy

Y se concluye que xex )( es solución explícita de la ecuación diferencial dada.

EJERCICIO: Dada la función )( 12 xx . Diga si es solución de la ecuación

diferencial ordinaria (EDO): 02

22

2

yxdx

yd

SOLUCIÓN IMPLÍCITA: La relación 0, yxG se denomina solución

implícita de la ecuación diferencial )´,...,,,( )1( n

n

n

yyyxfdx

yd en un

intervalo I, si es que la relación 0, yxG define una o más soluciones

explícitas de dicha ecuación diferencial en I.

EJEMPLO: Demostrar que 0 xyeyx es una solución implícita de la ecuación

diferencial: 011 xyxy ye

dx

dyxe

(*) En efecto: Derivando implícitamente:

xy

xyxyxyxy

xe

ye

dx

dyye

dx

dyxey

dx

dyxe

dx

dy

1

11)1(0)()1(

Sustituyendo en (*):

0111)1

1(*)1(

xyxyxy

xy

xyxy yeyeye

xe

yexe

0 xyeyx es solución implícita de (*)

EJERCICIO: La relación 0422 yx es una solución implícita de la ecuación

diferencial y

x

dx

dy

en el intervalo .22 x

REFERENCIA BIBLIOGRÁFICA

Porteles, A. (2000). Tópicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. UPEL-

IPB.

Zill, D (2008). Ecuaciones diferenciales con aplicaciones. Grupo Editorial Ibero

América: México, D.F.

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