Unidad ii guia de ecuciones diferenciales ordinarias uts

PROFESOR: JULIO BARRETO 1 MATERIA: MATEMÁTICA IV

ECUACIONES DIFERENCIALES: MÉTODOS DE RESOLUCIÓN

La forma diferencial de una ecuación diferencial, de primer orden es:

0,, dyyxNdxyxM

Por ejemplo:

1) 02

1

dydxxy

2) 0422 dyydxx

3) 01

11

dy

xdxe x

y

4) 0 dyyxdxxy

Una ecuación diferencial en la forma estándar se puede escribir en la forma diferencial y

una ecuación en la forma diferencial se puede escribir en la forma estándar.

Por ejemplo:

1) Dada la ecuación en forma estándar ,2

yx

yx

dx

dy

escribirla en forma

diferencial.

Solución:

0 2

22

dxyxdyyx

dxyxdyyxyx

yx

dx

dy

2) Dada la ecuación diferencial ,0422 dyydxx escribirla en forma

estándar.


Solución:

4

404

2

2

2222

y

x

dx

dy

dxxdyydyydxx

MÉTODO DE VARIABLE SEPARABLE

Una ecuación diferencial, de primer orden, es separable si tiene la forma

,0 dyyBdxxA donde xA depende solo de x

y yB depende solo de ,y

o si es posible conseguir una expresión D (que dependa de ,x

de y o de ambas) tal

que al multiplicarla por la ecuación diferencial dada se obtenga una ecuación diferencial

de la forma .0 dyyBdxxA

Ejemplos:

1) 02 dyysenxdx es separable ya que tiene la forma

,0 dyyBdxxA con senxxA y .2yyB

2) 01

ydydxx

es separable ya que tiene la forma ,0 dyyBdxxA

con x

xA1

y .yyB

3) 011 22 xdydxxy no tiene la forma ,0 dyyBdxxA sin

embargo si multiplicamos por 1

12 yx

obtenemos la ecuación diferencial

01

112

2

dyy

dxx

x que tiene la forma ,0 dyyBdxxA con

x

xxA

12

y

.1

12

y

yB

Por tanto la ecuación diferencial

011 22 xdydxxy es separable

.

4) 01 dyedxxysen xyno es separable ya que no tiene la forma

,0 dyyBdxxA y es imposible conseguir una expresión tal que al

multiplicarla por la ecuación diferencial se convierta a dicha forma.


La solución general de la ecuación diferencial separable de primer orden

0 dyyBdxxA es

(I)cdyyBdxxA

Donde c es una constante arbitraria.

PROBLEMAS CON VALOR INICIAL

La solución del problema de valor inicial ,0 dyyBdxxA 00 yxy puede

obtenerse usando I y después aplicar las condiciones iniciales para calcular .c

Como alternativa la solución puede obtenerse de

)( 0

00

IIdyyBdxxA

y

y

x

x

Ejemplos:

1. Resolver .02 dyyxdx

Solución:

02 dyyxdx es separable ya que tiene la forma ,0 dyyBdxxA con

xxA y .2yyB

Luego la solución general de la ecuación diferencial es dada por I :

y-c

x

cy

-x

cdyyxdx

32

32

32

32

2


y-kx

yc-x

y-cx

3

2

3

2

32

2

3

32

3

23

2. Resolver .1 2xey

Solución:

Sea ,1 2xedx

dy luego:

011 22 dydxedxedy xx

La cual es una ecuación diferencial separable ya que tiene la forma

,0 dyyBdxxA con xexA 21 y .1yB Ahora según I :

cexy

cyex

cdydxe

x

x

x

2

2

2

2

1

2

1

11

Prueba:

xx eycexy 22 12

1


DEFINICIÓN EQUIVALENTE: Sea h(x)g(y)

f(y,x)dx

dy es una ecuación diferencial de

variable separable si la función yxf , se puede escribir como el producto de dos

funciones ,ygxh entonces: Idxxhyg

dy )(

)(

Ejercicios:

1. Probar que la ecuación diferencial1

22

y

xyx

dx

dy tiene la solución implicita

cx

yyy

2

)2ln(5622

22

.

2. Resolver 02 324 dyeydxxy x

Solución: cyy

exe xx 3

33

3

21

9

1

3

1

3. Resolver 21;3

4

y

x

x

dx

dy

Solución: 3

2ln1

xxy

MÉTODO DE LAS ECUACIONES EXACTAS

Una ecuación diferencial, de primer orden, en la forma diferencial es exacta si:

x

N

y

M

Ejemplos:

1. La ecuación diferencial 03 32 dyxyydxx con yxyxM 23, y

3, xyyxN cumple que:

222 3133 xxyy

xy

M

223 330 xxxx

yxx

N


Así tenemos que

x

Nx

y

M

23

Por tanto la ecuación diferencial es exacta.

2. La ecuación diferencial 05 2 ydyxxydx con xyyxM 5, y

yxyxN 2, cumple que:

xxyy

xy

M5155

xyxyxx

yx

N222

Así tenemos que

x

Nxyx

y

M

25

Por tanto la ecuación diferencial no es exacta.

Una ecuación diferencial 0,, dyyxNdxyxM

es exacta si existe una función

yxg , tal que:

)( ,

)( ,

,

)( ,

,

IIIcyxg

IIy

yxgyxN

Ix

yxgyxM


El método para resolver las ecuaciones diferenciales exactas consiste en conseguir la

función yxg , que satisfaga las condiciones III , y .III


Para conseguir la función yxg , integramos I respecto a ,x manteniendo a y

como constante o integramos II respecto a ,y manteniendo a x como constante.

Veamos el siguiente ejemplo: Resolver 0346524 2 dyyxydxxy

Solución:

Sean 524, xyyxM y 2346, yxyyxN .

Luego, como:

404524

yx

yy

yy

M

4040346 2

y

xx

xy

xx

N

Es decir:

x

N

y

M

4

Entonces la ecuación diferencial es exacta.

Hagamos:

)( ,

)( ,

346

)( ,

524

2

IIIcyxg

IIy

yxgyxy

Ix

yxgxy


Ahora, integrando I con respecto a x (manteniendo a y como constante) se tiene

que:


IVyhxxxyx,yg

yhxx

xyx,yg

dxxdxdxyx,yg

dxxdxydxx,yg

dxxyx,yg

54

52

24

524

524

524

2

2

Donde yh corresponde a la constante de integración, que en este caso puede

depender de la variable ,y que se mantuvo constante.

Derivando IV con respecto a ,y se tiene que:

Vyh

dy

dx

y

x,yg

yhdy

dy

yx

y

x,yg

yhy

xy

xy

xyyy

x,yg

yhxxxyyy

x,yg

4

004

54

54

2

2

Sustituyendo II en V tenemos que:


23464 yxyyhdy

dx

Con lo cual

VIcyyyh

cyy

yh

dyyydyyh

dyyyydh

dyyyydh

yyyhdy

d

xyxyyhdy

d

3

33

26

36

36

36

36

4346

1

32

1

32

2

2

2

2

2

Sustituyendo III y VI en IV se tiene que:

354 1

322 cyyxxxyc

De aquí que:

354 322 yyxxxyk

Es solución de la ecuación diferencial dada.

Ejercicio: Probarlo


Ejercicios:

1. Resolver 02cos2cos 22 dyyxyxxedxxyye yy

Solución: kyxysene y 22

2. Resolver 20;01cos 22 ydyxydxxyxsenx

Solución: 41 222 xsenyxy

MÉTODO PARA ECUACIONES HOMOGÉNEAS

Una ecuación diferencial, de primer orden, en la forma estándar es homogénea si:

Rtyxftytxf ,,

Ejemplos:

1. Sea x

xyy

luego tomamos la función

x

xyyxf

,

Ahora bien, como

yxftytxf

x

xytytxf

tx

xyttytxf

tx

txtytytxf

,,

,

,

,

Tenemos que la ecuación diferencial es homogénea.


2. Sea ,

2

22

y

xsenyx

xyey

y

x

tomando la función

y

xsenyx

xyeyxf

y

x

22

2,

Ahora bien, como

yxftytxf

y

xsenyx

xyetytxf

y

xsenyxt

xyettytxf

y

xsenytxt

xyettytxf

ty

txsentytx

etytxtytxf

y

x

y

x

y

x

ty

tx

,,

2,

2,

2,

2,

22

222

2

2222

2

22

Tenemos que la ecuación diferencial es homogénea.

3. Sea 2

2

x

yxy

luego tomamos la función

2

2

,x

yxyxf

Ahora bien, como


yxftytxf

tx

ytxtytxf

xt

ytxttytxf

xt

tyxttytxf

tx

tytxtytxf

,,

,

,

,

,

2

2

22

2

22

22

2

2

Tenemos que la ecuación diferencial no es homogénea.

Observación: únicamente en el contexto de las ecuaciones diferenciales de primer

orden la palabra homogénea tiene el significado definido anteriormente, ya que este

término tiene un significado completamente distinto en la estructura general de las

ecuaciones diferenciales.

Para resolver las ecuaciones diferenciales de primer orden homogéneas se sustituye xvy y su correspondiente derivada:

dx

dvxv

dx

dy

Cuando al aplicar este método las integrales resultantes son muy complejas se aplica el

método alterno.

MÉTODO ALTERNO DE SOLUCIÓN

En este caso se transforma la ecuación diferencial en

yxfdy

dx

,

1

Y se sustituye yux y su correspondiente derivada: dy

duyu

dy

dx


Ejemplo: Resolver x

xyy

Solución:

Como ya probamos que la ecuación diferencial es homogénea sustituimos xvy y su

correspondiente derivada:

dx

dvxv

dx

dyy

Y tenemos que:

01

1

1

1

1

dvdxx

dxx

dv

dx

dvx

vdx

dvxv

x

vx

dx

dvxv

x

xxv

dx

dvxv

Ahora, aplicando la solución a esta ecuación diferencial separable tenemos:


kxv

-ckkxv

cvx

cdvdxx

ln

ln donde lnln

ln

1

Y como xvy entonces x

yv y así:

kxxy

kxx

y

ln

ln

Ejercicio: Comprobar

Ejercicios:

1. Resolver 0222 dyxyxdxyx

Solución: kyxe x

y2

2. Resolver

2

2

2

2

2

2

222 2

2

y

x

y

x

y

x

exeyy

xyey

Solución: ceyy

x

2

2

1


MÉTODO DEL FACTOR INTEGRANTE

Se tiene una EDO que no es exacta, pero al multiplicarla por una función determinada

se convierte en exacta.

Ejemplo:

Sea la ecuación diferencial ordinaria 0cos3 43 dyyxdxsenyxx

yxy

Mcos3 3

yxx

Ncos4 3

No es exacta pues ,x

N

y

M

pero al multiplicarla por la función

x

1 resulta:

0cos1

31 43 dyyx

xdxsenyxx

x

0cos31 32 dyyxdxsenyx

Y tenemos que:

yxy

Mcos3 2

yxx

Ncos3 2

Que ya se convierte en exacta y se resuelve por el método estudiado anteriormente.

El problema consiste en encontrar la función que al multiplicar la EDO no exacta por

ella se transforma en una exacta.

Denotemos la función buscada por y multipliquemos la EDO por ella:

0),(),( dyyxNdxyxM

Para que sea exacta debe cumplir:


dx

N

y

M

x

NN

xy

MM

y

Supongamos primero que )(x sólo depende de x.

x

NN

xy

M

Factorizando )(x

N

x

N

y

M

x

x

N

y

M

xN

Resulta una EDO de variables separables porque N

x

N

y

M

sólo depende de x,

dxN

x

N

y

M

x e

dxN

x

N

y

M

xN

x

N

y

M

d

)(

ln


Suponemos ahora que sólo depende de y, entonces la ecuación

xxyy NNMM

Se transforma en:

dyM

MN

dy

d

NMMdy

d

yx

xy

Que es una EDO de variables separables porque M

MN yx sólo depende de y,

dyM

MNd yx

dy

M

MN yx

e

Resumen: Método del Factor Integrante:

NxMy

dyyxNdxyxM

0,,

1. 1 Si N

NM xy depende sólo de x entonces es factor integrante

1.2 Si M

MN yx depende sólo de y entonces es factor integrante

2.1

dx

N

NM xy

ex)( 2.2

dx

M

MN yx

ey)(

3. Multiplicar la EDO por

4. Resolver la EDO exacta


Ejemplo: Resuelve 02 22 dyxyxdxyx

Como:

1yM 12 xyN x

Entonces tenemos que:

2

lnln2

2

22

1

2

1

1222121

2

xeee

xxyx

xy

xyx

xy

xyx

xy

N

NM

xxdx

x

xy

Luego:

02

01

21

22

2

22

2

2

2

2

2

dyx

x

x

yxdx

x

y

x

x

dyxyxx

dxyxx

Y tenemos que:

2

1

xM y 2

1

xN x

Ejercicio: Resolver esta ecuación diferencial.

Ejercicios:

1. Identifique si es separable, lineal, exacta o factor integrante

a) 02322 223 dyxyxydxyy

b) 012

dyxydx

x

yx


c) 02 22 dyxdxxyy

d) 022 dyyxdxyx

e) 02 2 xdydxyxy

f) 042 xdydxysenxx

2. Resolver:

a) 03 22 dyxyxdxyx

b) 032 22 dyxydxxy

c) 02422 22 dyxxydxxyy

d) 04 xdydxyxx

e) 02 22 dyxdxxyy

f) 01

312 223

dy

yyxdxxy

ECUACIÓN DE BERNOULLI

Se llama ecuación de Bernoulli a una ecuación de primer orden que se puede expresar

en la forma:

nyxQyxPdx

dy

Donde xP y xQ son continuas en un intervalo (a, b), y n es un número real.

Dividiendo la ecuación diferencial por ny nos queda que:

xQyxPyy nn 1

Tomando el cambio de variable nyv 1

y derivando ´)1(´ yynv n , se tiene:

´1

´yy

n

v n

Sustituyendo en la ecuación diferencial:


xQvxPn

v

1

´ xQnvxPnv 11

Que es una ecuación lineal.

Ejemplo: Resuelve 3

2

55 xyyy y como n = 3 el cambio de variable sería:

231 yyvy entonces la ecuación se transforma en:

)2

5(2)5(2 xvv

xvv 510

xdx

eex 1010

)(

cxdxee

xv x

x 5

1)( 10

10

cee

x

exv xx

x)

100

1

10(5

1)( 1010

10

xe

cxxv

1050

1

2)(

Regresando a la variable original:

xe

cxy

10

2

50

1

2

Ejercicios:

1. 32 yey

dx

dy x

2. 2/1252

yxx

y

dx

dy

3. 03 x

yxy

dx

dy

REFERENCIA BIBLIOGRÁFICA

Porteles, A. (2000). Tópicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. UPEL-

IPB.

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Education

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