Apuntes estadistica uts

8/17/2019 Apuntes estadistica uts

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UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS VERSIÓN 11 FECHA: 2014 Página1

APUNTES DOCENTES

PROFESOR: GERMÁN ERNESTO RINCÓN REY

ASIGNATURA: ESTADÍSTICA


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TABLA DE CONTENIDO

1 ARREGLO Y PRESENTACIÓN DE DATOS ...................................................................................... 9

1.1 ASPECTOS GENERALES DE LA ESTADÍSTICA ..................................................................... 9

1.1.1

LOS FENÓMENOS................................................................................................................ 9

1.1.2 DEFINICIÓN DE ESTADÍSTICA .......................................................................................... 9

1.1.3 IMPORTANCIA DE LA ESTADÍSTICA ............................................................................... 9

1.1.4 DIVISIÓN DE LA ESTADÍSTICA .......................................................................................... 9

1.1.5 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA ............................................................................................. 9

1.1.6 INFERENCIA ESTADÍSTICA .............................................................................................. 10

1.1.7 FASES DE UNA INVESTIGACIÓN ESTADÍSTICA ......................................................... 10

1.2 CONCEPTOS BÁSICOS ............................................................................................................. 11

1.2.1 DATO ...................................................................................................................................... 11

1.2.2 ELEMENTO ........................................................................................................................... 11

1.2.3 POBLACIÓN .......................................................................................................................... 12

1.2.4 COMO SE DEFINE UNA POBLACIÓN ............................................................................. 12

1.2.5 TAMAÑO DE UNA POBLACIÓN ........................................................................................ 12

1.2.6 CLASES DE POBLACIONES ............................................................................................. 12

1.2.6.1 Poblaciones Finitas ............................................................................................ 13

1.2.6.2

Poblaciones infinitas .......................................................................................... 13

1.2.7 CARACTERÍSTICAS OBSERVABLES EN UNA POBLACIÓN ...................................... 13

1.2.7.1 CARACTERÍSTICAS CONSTANTES ............................................................. 13

1.2.7.2 CARACTERÍSTICAS VARIABLES .................................................................. 13

1.2.8 CENSO................................................................................................................................... 14

1.2.9 MUESTRA ............................................................................................................................. 14

1.2.10 TAMAÑO DE LA MUESTRA ............................................................................................... 15

1.2.11 PARÁMETRO ........................................................................................................................ 15

1.2.12 ESTADÍSTICO ...................................................................................................................... 15

1.2.13 TIPOS DE ESTUDIOS ESTADÍSTICOS ........................................................................... 15

1.2.14 UNIDAD DE OBSERVACIÓN O DE INVESTIGACIÓN .................................................. 15

1.2.15 ESTADÍSTICAS .................................................................................................................... 15

1.3 ARREGLO DE DATOS DE VARIABLE CONTINUA ................................................................ 16

1.3.1 INTRODUCCIÓN .................................................................................................................. 16


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1.3.2 CONCEPTO DE CLASE O CATEGORÍA ......................................................................... 16

1.3.3 CLASE ESTADÍSTICA O CATEGORÍA ESTADÍSTICA .................................................. 16

1.3.4 AMPLITUD DE CLASE ........................................................................................................ 16

1.3.5 CARACTERÍSTICAS DE LOS CONJUNTOS DE CLASES ESTADÍSTICAS .............. 16

1.3.6 NÚMERO DE CLASES ........................................................................................................ 17

1.3.7 EJEMPLO PRÁCTICO ......................................................................................................... 17

1.3.8 LOS TIPOS DE FRECUENCIAS ....................................................................................... 19

1.3.9 LA TABLA MENOR QUE ..................................................................................................... 20

1.3.10 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA SITUACIÓN EN ESTUDIO ............................. 20

1.3.10.1 EL HISTOGRAMA ............................................................................................. 20

1.3.10.2 EL POLÍGONO DE FRECUENCIAS .............................................................. 20

1.3.10.3 COMO INTERPRETAR UN HISTOGRAMA O UN POLÍGONO DEFRECUENCIAS.................................................................................................................... 22

1.3.10.4 LA OJIVA ............................................................................................................. 22

1.3.11 LA INTERPOLACIÓN........................................................................................................... 23

1.4 ARREGLO DE DATOS DE VARIABLE DISCRETA ................................................................ 24

1.4.1 EJEMPLO PRÁCTICO ......................................................................................................... 24

1.4.2 REPRESENTACIÓN GRÁFICA.......................................................................................... 25

1.4.2.1 HISTOGRAMA .................................................................................................... 25

1.4.2.2 POLÍGONO DE FRECUENCIAS .....................................................................

26

1.4.2.3 OJIVA .................................................................................................................... 27

1.5 ARREGLO DE DATOS PARA VARIABLE DISCRETA EN CLASES DE AMPLITUDCERO 28

1.6 ARREGLO DE DATOS CUALITATIVOS ................................................................................... 29

2 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL, DE POSICIÓN Y DE DISPERSIÓN ............................. 31

2.1 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL ..................................................................................... 31

2.1.1 FORMAS ESTADÍSTICAS DE DESCRIBIR UN FENÓMENO ....................................... 31

2.1.2 CONCEPTO DE MEDIDA EN ESTADÍSTICA .................................................................. 31

2.1.3 PARÁMETROS Y ESTADÍSTICOS ................................................................................... 31

2.1.4 CLASES DE MEDIDAS EN ESTADÍSTICA ...................................................................... 31

2.1.5 LAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL .................................................................... 31

2.1.6 LAS MEDIDAS DE DISPERSIÓN ...................................................................................... 31

2.1.7 MEDIDAS PARA POBLACIONES Y MEDIDAS PARA MUESTRAS ............................ 32


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2.1.8 CLASES DE MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL ...................................................... 32

2.1.9 LA MEDIA ARITMÉTICA ..................................................................................................... 32

2.1.10 MEDIA ARITMÉTICA PARA DATOS NO AGRUPADOS ................................................ 32

2.1.11 MEDIA ARITMÉTICA PARA DATOS AGRUPADOS ....................................................... 33

2.1.12 SIGNIFICADO DE LA MEDIA ARITMÉTICA .................................................................... 34

2.1.13 MEDIA ARITMÉTICA PONDERADA ................................................................................. 34

2.1.14 PROPIEDADES DE LA MEDIA ARITMÉTICA ................................................................. 35

2.1.15 LA MEDIA GEOMÉTRICA ................................................................................................... 35

2.1.16 CÁLCULO DE LA MEDIA GEOMÉTRICA ........................................................................ 35

2.1.17 PROPIEDADES DE LA MEDIA GEOMÉTRICA ............................................................... 38

2.1.18 USOS DE LA MEDIA GEOMÉTRICA ................................................................................ 38

2.1.19 LA MEDIANA ......................................................................................................................... 38

2.1.20 INTERPRETACIÓN DE LA MEDIANA .............................................................................. 38

2.1.21 SÍMBOLO DE LA MEDIANA ............................................................................................... 38

2.1.22 CÁLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS ................................... 39

2.1.23 CÁLCULO MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS ...................................................... 40

2.1.24 MEDIDAS DE TENDENCIA NO CENTRAL O DE POSICIÓN ....................................... 42

2.1.24.1 LOS CUARTILES ............................................................................................... 42

2.1.24.2 LOS PERCENTILES ......................................................................................... 44

2.1.25 PROPIEDADES DE LA MEDIANA, CUARTILES Y PERCENTILES ............................ 45

2.1.26 LA MODA .............................................................................................................................. 46

2.1.27 PROPIEDADES DE LA MODA ........................................................................................... 48

2.2 CASOS ESPECIALES DE LA MEDIANA .................................................................................. 49

2.2.1 DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS DE VARIABLE DISCRETA CON AMPLITUD IGUAL A CERO ............................................................................................................... 49

2.3 MEDIDAS DE DISPERSIÓN ....................................................................................................... 51

2.3.1

CONCEPTO DE DISPERSIÓN.......................................................................................... 52

2.3.2 DISPERSIÓN Y VARIABILIDAD ........................................................................................ 52

2.3.3 IMPORTANCIA DE LA DISPERSIÓN ............................................................................... 52

2.3.4 CLASES DE MEDIDAS DE DISPERSIÓN ........................................................................ 53

2.3.5 EL RANGO ............................................................................................................................ 53

2.3.6 CARACTERÍSTICAS DEL RANGO ................................................................................... 54


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2.3.7 EL RANGO INTERCUARTÍLICO........................................................................................ 54

2.3.8 LA DESVIACIÓN MEDIA ..................................................................................................... 54

2.3.9 LA VARIANZA ....................................................................................................................... 56

2.3.10 LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR ............................................................................................ 58

2.3.11 EL COEFICIENTE DE VARIACIÓN ................................................................................... 60

2.3.12 DESIGUALDAD DE CHEBYSHEV..................................................................................... 62

3 REGRESIÓN Y CORRELACIÓN ....................................................................................................... 63

3.1 REGRESIÓN ................................................................................................................................. 63

3.1.1 INTRODUCCIÓN .................................................................................................................. 63

3.1.2 CONCEPTO DE REGRESIÓN ........................................................................................... 63

3.1.3 IMPORTANCIA DE LA REGRESIÓN ................................................................................ 63

3.1.4 VARIABLES DEPENDIENTES E INDEPENDIENTES .................................................... 63

3.1.5 GRÁFICO DE DISPERSIÓN ............................................................................................... 64

3.1.6 TIPOS DE RELACIÓN ENTRE DOS O MÁS VARIABLES ............................................ 64

3.1.7 LA REGRESIÓN LINEAL .................................................................................................... 70

3.2 LA CORRELACIÓN ...................................................................................................................... 72

3.2.1 EL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN ............................................................................ 73

3.2.2 EL COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN ........................................................................ 73

4 PRINCIPIOS DE PROBABILIDAD Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD .......................... 75

4.1 PRINCIPIOS DE PROBABILIDAD ............................................................................................. 75

4.1.1 Tipos de fenómenos: ............................................................................................................ 75

4.1.1.1 Fenómenos determinísticos .............................................................................. 75

4.1.1.2 Fenómenos aleatorios ....................................................................................... 75

4.1.2 Concepto de Experimento Aleatorio: ................................................................................. 75

4.1.3 Definiciones de probabilidad: .............................................................................................. 75

4.1.4 Necesidad de la probabilidad: ............................................................................................. 75

4.1.5 Conceptos Básicos de Probabilidades .............................................................................. 75

4.1.5.1 Espacio Muestral ................................................................................................ 76

4.1.5.2 Resultado o punto muestral .............................................................................. 76

4.1.5.3 Evento o suceso ................................................................................................. 76

4.1.5.4 Simbología de las probabilidades : .......................................... 76

4.1.5.5 Propiedades fundamentales de las probabilidades ...................................... 76


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4.1.6 Métodos de asignación de probabilidades ........................................................................ 76

4.1.6.1 Método Clásico ................................................................................................... 76

4.1.6.2 Método Empírico o de la Frecuencia Relativa ............................................... 77

4.1.6.3 Método Subjetivo ................................................................................................ 77

4.1.7 Muestreo ................................................................................................................................ 77

4.1.7.1 Muestreo de caja o de urna .............................................................................. 77

4.1.8 Ensayos ................................................................................................................................. 78

4.1.9 Diagrama de Árbol ................................................................................................................ 78

4.1.9.1 Limitaciones del diagrama de árbol: ................................................................ 78

4.1.10 Técnicas de conteo .............................................................................................................. 78

4.1.10.1 Principio Fundamental del Conteo (PFC) ...................................................... 78

4.1.10.2 Permutaciones ................................................................................................... 78

4.1.10.3 Combinaciones .................................................................................................. 78

4.1.11 Clasificación de los sucesos ............................................................................................... 79

4.1.12 Operaciones con probabilidades ........................................................................................ 79

4.1.12.1 Suma de Probabilidades .................................................................................. 79

4.1.12.2 Complemento ..................................................................................................... 79

4.1.12.3 Probabilidad Conjunta ....................................................................................... 79

4.1.12.4 Probabilidad condicional ................................................................................... 80

4.1.13 Teorema de Bayes ............................................................................................................... 80

4.1.14 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD .......................................................................... 82

4.1.14.1 Concepto de Variable Aleatoria: ...................................................................... 82

4.1.14.2 Tipos de Variables Aleatorias: .......................................................................... 82

4.1.14.3 Distribución de probabilidad de una Variable Aleatoria Discreta ............... 83

4.1.14.4 Valor esperado de una variable aleatoria discreta ....................................... 83

4.1.14.5 Desviación estándar de una variable aleatoria discreta .............................. 84

4.1.15 Modelos de Distribuciones de probabilidad ...................................................................... 84

4.1.15.1 Distribución de probabilidad Binomial ............................................................

85

4.1.15.2 Distribución de probabilidad de Poisson ........................................................ 85

4.1.15.3 La Distribución Normal ...................................................................................... 85

4.1.15.4 Propiedad de la distribución normal ............................................................... 86

5 BIBLIOGRAFÍA ..................................................................................................................................... 89


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Introducción

La estadística es una herramienta de máxima utilidad para todos aquellos que tienen que tomar decisiones,en condiciones de riesgo, porque suministra un método científico para recolectar y luego extraer informaciónde los datos relacionados con una situación o fenómeno que sea del interés de la persona o equipo de

personas que buscan optimizar el uso de los recursos de las unidades económicas o sociales que dirigen. Para facilitar y agilizar el proceso de enseñanza-aprendizaje de la asignatura de Estadística, es convenientecontar con un material de apoyo cercano al desarrollo del programa institucional de esta asignatura yubicado en el contexto en el cual ejercerán su actividad los egresados de los programas de tecnología

La finalidad de estos Apuntes de Estadística es reducir la dependencia exagerada de los notas que tomanlos estudiantes en clase, suministrando un material de apoyo conceptual para la asignatura de Estadística,que sea ágil, intuitivo y veraz, que se convierta en una guía clara y amigable para adquirir las competenciasde la asignatura.

Estos apuntes, se desarrollan de manera paralela al programa de la asignatura, por lo que. lo mismo queéste, se compone de cuatro unidades: las tres primeras se refieren a la estadística descriptiva y la cuarta alos fundamentos del cálculo de probabilidades.


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1 ARREGLO Y PRESENTACIÓN DE DATOS

1.1 ASPECTOS GENERALES DE LA ESTADÍSTICA

1.1.1 LOS FENÓMENOS

Un fenómeno es cualquier manifestación de las actividades humanas o de la naturaleza que puede serpercibido por los sentidos o la razón. Algunos ejemplos de fenómenos son los siguientes: El crecimiento de una planta El comportamiento del clima Las ventas por periodo de una empresa Las personas, por día, que son afectadas por una enfermedad Los accidentes de tránsito en diferentes lugares de una ciudad La variación mensual del costo de vida Palabras sinónimas de fenómeno son: suceso, hecho o acontecimiento

LOS FENÓMENOS PRODUCEN INFORMACIÓN Por muchos motivos los seres humanos desean poseer información sobre el comportamiento de diversosfenómenos y para ello realizan registros sobre el estado de estos fenómenos en diferentes momentos oespacios.

Estos registros o mediciones generan diversos volúmenes de datos y para que estos datos se conviertan eninformación se deben procesar de diferentes maneras. Una de las formas como se pueden tratar los datospara extraer la información que ellos contienen es utilizando las técnicas estadísticas

1.1.2 DEFINICIÓN DE ESTADÍSTICA

Es una ciencia que estudia cómo debe emplearse información para facilitar la toma de decisiones ensituaciones prácticas que se manifiestan bajo incertidumbre

1.1.3 IMPORTANCIA DE LA ESTADÍSTICA

La actividad más importante para las personas que trabajan en las organizaciones empresariales es la tomade decisiones. Dado el enorme aumento de la disponibilidad de datos (gracias a los sistemas deinformación), y dada la complejidad creciente de las operaciones empresariales, los procesos de decisión seven sometidos a presiones extraordinarias.

Una de las técnicas más valiosa que ayudan en los procesos de toma de decisiones es la Estadística. Por loque es indispensable que los hombres y mujeres que dirigen organizaciones o que de alguna maneraparticipan en la toma de decisiones estén familiarizados con las técnicas estadísticas para poder determinarcuando se puede examinar un problema existente mediante la aplicación del análisis estadístico.

1.1.4 DIVISIÓN DE LA ESTADÍSTICA

La Estadística se divide en dos grandes ramas: La Estadística Descriptiva La Inferencia Estadística

1.1.5 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

Son los conocimientos y métodos que tratan de la recolección, organización y presentación numérica y


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gráfica de los datos.

Los análisis que se hacen con las herramientas de la estadística descriptiva se limitan, únicamente, alconjunto de datos que se recolectaron

1.1.6 INFERENCIA ESTADÍSTICA

Son los conocimientos y métodos que permiten:

Sacar conclusiones sobre el comportamiento total de un fenómeno basándose únicamente en lainformación recolectada sobre una parte de ese mismo fenómeno. Estas conclusiones se obtienen bajoincertidumbre.

Estimar el comportamiento futuro de un fenómeno

1.1.7 FASES DE UNA INVESTIGACIÓN ESTADÍSTICA

1. Planeamiento Fin de la investigación Definir la población Unidad de investigación Naturaleza o clase de los datos Fuentes de la información Procedimiento para recolectar los datos Diseño de instrumentos Presupuesto

2. Recolección de los datos3. Crítica y codificación 4. Tabulación, gráficas y medidas 5. Análisis e interpretación


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1.2 CONCEPTOS BÁSICOS

1.2.1 DATO

En términos generales un dato es un registro o anotación que se hace del estado de un fenómeno en unmomento determinado

1.2.2 ELEMENTO

En general, un elemento es una parte indivisible de un todo o un componente indivisible o básico de uncuerpo. Pero, en estadística se llama elemento a las entidades que tienen una o varias características cuyoestado nos interesa registrar. El registro del estado de estas características es lo que constituye los datos.Estos elementos pueden ser individuos, objetos o sucesos.

Los individuos pueden ser personas o seres vivos animales o vegetales. Los sucesos pueden ser, porejemplo, los accidentes de tránsito, los encuentros deportivos, los recorridos que realiza un vehículo o losdías del año

Elementos (Lo que observamos)

Individuos

Cosas

Sucesos

Personas

Otros seres

vivos

Objetos tangibles

Entidadesintangibles

Ejemplos de sucesos: Accidentes Eventos sociales o deportivos Los días, los meses, los años Los viajes Los recorridos de un vehículo Las entrevistas


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Ejemplos de elementos En una investigación sobre el comportamiento de los los salarios de trabajadores los elementos son los

trabajadores (personas), y la característica que se observa a cada elemento es el valor de su salario. En una investigación sobre comportamiento de las ventas de una comercializadora los elementos

podrían ser las facturas (un objeto), y la característica observada es el valor de cada factura.

También, En una investigación sobre comportamiento de las ventas de una comercializadora loselementos podrían ser los meses (un suceso), y la característica observada el valor de las ventas decada mes

En una investigación sobre los accidentes de tránsito los elementos son los accidentes (un suceso), y lacaracterística observada podría ser el número de personas lesionadas por accidente observado

Los fenómenos se producen cuando el estado de las características observadas varía, usualmente, de unelemento a otro

1.2.3 POBLACIÓN

Todos los elementos que presentan una característica común Es el conjunto de todos los elementos que hacen parte de una situación que se está estudiando y sobre la

cual se intenta sacar conclusiones

Las poblaciones se deben definir con toda claridad de tal manera que no exista confusión sobre si undeterminado elemento pertenece o no a la población

1.2.4 COMO SE DEFINE UNA POBLACIÓN

Las poblaciones se deben definir con toda claridad de tal manera que no exista confusión sobre si undeterminado elemento pertenece o no a la población. Para facilitar esta definición, en muchos casos, laspalabras que la componen se pueden ordenar de acuerdo a la siguiente sintaxis:

TODOS(AS) + DESCRIPCIÓN DEL ELEMENTO + CONDICIÓN RESTRICTIVA

Significa que una definición de población debe empezar por la palabra “Todos” o “Todas” seguida de unadescripción del elemento que se está observando más una restricción al alcance de la palabra Todos(as)

Ejemplo: En un estudio del nivel salarial de los operarios del sector de confecciones de la ciudad, unadefinición de población podría ser la siguiente:

Todos los operarios del sector de confecciones de la ciudad

1.2.5 TAMAÑO DE UNA POBLACIÓN

Es el número total de elementos que componen una población. El tamaño de una población se suelerepresentar por la letra N

EJEMPLO: Para indicar que una población tiene 670 elementos se indica así: N = 670

1.2.6 CLASES DE POBLACIONES

Las poblaciones se dividen en dos clases: Poblaciones finitas Poblaciones infinitas


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1.2.6.1 Poblaciones Finitas Son las poblaciones a las cuales se les pueden determinar fácilmente el número de elementos que lascomponen, es decir, su tamaño

EJEMPLO: Situación o fenómeno: La edad de los estudiantes de las UTS

Población: Todos los estudiantes de las UTS Tipo de población: Finita, porque fácilmente se pueden contabilizar sus elementos acudiendo a la oficina dela institución que registra estos datos

1.2.6.2 Poblaciones infinitas Son las poblaciones que físicamente es imposible numerarlas o determinar su tamaño Son las poblaciones que aunque se puede determinar su tamaño, no es conveniente hacerlo por razones

económicas o de tiempo

EJEMPLO: Situación: Accidentes por día en un cruce de calles de la ciudad Población: Todas los días mientras exista este cruce

Tipo de población: Infinita. Es imposible determinar cuántos elementos tiene esta poblaciónEJEMPLO: Situación: Número promedio de hijos por pareja de un barrio de la ciudad Población: todas las parejas que habitan en el barrio Tipo de población: Infinita. Es muy costoso o demanda mucho tiempo determinar su tamaño

1.2.7 CARACTERÍSTICAS OBSERVABLES EN UNA POBLACIÓN

A los elementos de una población se les observan sus características o la intensidad con que se presentauna magnitud.

De acuerdo con su comportamiento las características que se observan en los elementos de una población

se pueden clasificar en constantes o variables 1.2.7.1 CARACTERÍSTICAS CONSTANTES Una característica es constante cuando el valor que presenta esta característica no varía de un elemento aotro o varía muy poco; por ejemplo, la estatura de una persona adulta observada en los últimos 20 meses ola profesión de un graduado universitario.

1.2.7.2 CARACTERÍSTICAS VARIABLES Es una característica que cambia frecuentemente de valor cuando se observa en algunos o en todos los

elementos de la población. Es un símbolo que puede tomar diversos valores dentro de un conjunto determinado de valores que

reciben el nombre de dominio de la variable.(Significado matemático)

La estadística solamente estudia las características variables Estas características variables, comúnmente

denominadas variables, pueden ser de dos clases: Variables cualitativas o categóricas Variables cuantitativas

Variables cualitativas o categóricas: Son las que describen el estado de la característica únicamentemediante palabras. Se refieren a atributos, cualidades, actitudes o preferencias de los elementos que seestán estudiando

EJEMPLOS:


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Las profesiones u ocupaciones de un grupo de personas: Abogado, maestro, panadero, ingeniero, etc. El estado civil de un grupo de personas: Soltero, casado, unión libre, etc. El sabor de las naranjas de una cosecha: dulce, insípido, ácido El color favorito de un grupo de individuos: Blanco, rojo, verde, etc. Pasatiempos de un grupo de estudiantes: Deportes, lectura, reuniones sociales, labores manuales, etc. La calidad de un producto: Bueno, regular o defectuoso

Como se puede observar, en los ejemplos, cada una de estas variables se expresa a través de dos o másmodalidades o categorías: soltero, casado, unión libre; bueno, regular, defectuoso.

Los datos que se registran cuando las variables son cualitativas o categóricas corresponden a la cantidad oproporción de elementos que caen dentro de cada categoría que toma la variable, por ejemplo: el número deabogados o de maestros, el número de individuos que prefieren el color blanco, la proporción de productosdefectuosos.

Las variables categóricas se pueden a su vez subdividir en variables nominales y variables ordinales.

Variables Nominales: Son las que no tienen una forma particular de organizar sus categorías. Por ejemplo,no existe una forma común de ordenar los colores o el estado civil de las personas.

Variables ordinales: Cuando existe una forma común de organizar las categorías que toma la variable. Porejemplo: las modalidades como se puede expresar la calidad de un producto se pueden ordenar comobueno, regular, defectuoso o al contrario, en defectuoso, regular, bueno. Las categorías con las que secalifica el servicio que presta una EPS se pueden ordenar como pésimo, malo, regular, bueno o excelente.

Variables cuantitativas: Son las que se describen por medio de números, por ejemplo, la edad de losempleados de una empresa, las personas que visitan por día un museo, los saldos de las cuentas porcobrar de una empresa, el peso de los paquetes que moviliza una empresa transportadora, el número devehículos que vende un concesionario, etc.Las variables cuantitativas se pueden clasificar, también, en discretas o continuas:

Variables cuantitativas discretas: Son las que únicamente pueden tomar valores enteros tales como el

número de vehículos que vende un concesionario o el número de personas que asisten a una sala de cine Variables cuantitativas continuas: Son las que se refieren a mediciones de magnitudes físicas o acaracterísticas apreciables en unidades monetarias y admiten valores fraccionarios o decimales tales comoel peso de los paquetes que moviliza una transportadora, los saldos de las cuentas de ahorro de una entidadfinanciera o el tiempo que dura el recorrido de un bus urbano.

Variables cuantitativas categóricas: Cuando se quiere facilitar el manejo de los datos o aumentar lacomprensión de un fenómeno, las variable cuantitativas se pueden convertir en categóricas, como cuandolas personas que miden menos de 1.50 metros se clasifican como de estatura pequeña, las personas quemiden entre 1.50 metros y menos de 1.70 se clasifican como de estatura mediana y las personas que miden1.70 metros o más se clasifican como de estatura alta.

1.2.8 CENSO

Es cuando se observa y registra el estado de una característica examinado a todos los elementos de unapoblación

Los censos rara vez se realizan debido al tiempo que demandan y a la cantidad de recursos que necesitanpor lo que se recurre a tomar datos del estado de la variable en algunos de los elementos de la población

1.2.9 MUESTRA


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Es cuando se observa y registra el estado de una característica variable examinado a una parte de loselementos que pertenecen a una población

Las muestras deben ser representativas y para esto se requiere que las características de la población esténrepresentadas en la muestra, en la misma proporción en que están incluidas en la población.

1.2.10 TAMAÑO DE LA MUESTRA

Es el número de elementos que componen la muestra. Se suele indicar con la letra n

EJEMPLO: Para indicar que una muestra tiene 350 elementos se indica así: n = 350

1.2.11 PARÁMETRO

Es el resultado de una medida o cálculo que se hace utilizando los datos relacionados con el valor que tomauna característica variable cuando se observan todos los elementos de una población, es decir, cuando sehace un censo. Por ejemplo, la edad promedio de los niños que cursan primer grado, este año, en todas lasescuelas oficiales de la ciudad. El parámetro siempre es un valor constante.

1.2.12 ESTADÍSTICO

Es el resultado de una medida o cálculo que se hace utilizando los datos relacionados con el valor que tomauna característica variable cuando se observan algunos de los elementos de una población, o sea, unamuestra. Por ejemplo, la edad promedio de los niños de primer grado de algunas escuelas oficiales de laciudad escogidas al azar. El estadístico es un valor que varía de muestra en muestra

1.2.13 TIPOS DE ESTUDIOS ESTADÍSTICOS

Los estudios estadísticos pueden ser experimentales y de observación

En los estudios estadísticos experimentales el investigador controla o manipula una o varias variables conel fin de determinar su comportamiento en determinadas condiciones

En los estudios estadísticos de observación el investigador registra el estado de la característica variableque le interesa sin ejercer ninguna influencia sobre ella. El estudio estadístico de observación mas común esla encuesta.

1.2.14 UNIDAD DE OBSERVACIÓN O DE INVESTIGACIÓN

Se llama Unidad de Observación o de Investigación a alguno de los siguientes conceptos: Al nombre genérico, que se le da a los elementos cuya característica se está registrando A la entidad que se investiga o de la que se recolectan los datos Al soporte de donde se extraen los datos

1.2.15 ESTADÍSTICAS

Es cualquier conjunto ordenado de datos como por ejemplo las estadísticas de un torneo de fútbol, lasestadísticas de ventas de una empresa o las estadísticas de accidentes


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1.3 ARREGLO DE DATOS DE VARIABLE CONTINUA

1.3.1 INTRODUCCIÓN

Para visualizar las características de una situación representada por un conjunto de datos o establecer elpatrón de comportamiento de esta situación, los datos se deben organizar de alguna manera. La Estadísticapropone una metodología que consiste en agrupar los datos recolectados en conjuntos de categorías oclases estadísticas y con este conjunto construir una tabla que se llama Distribución de Frecuencias

1.3.2 CONCEPTO DE CLASE O CATEGORÍA

En general, una clase o categoría es un conjunto de elementos que tienen una o varias características encomún, por ejemplo, las personas que compiten en algún deporte pertenecen a la clase de los deportistas,las personas mayores de 60 años pertenecen a la clase de la tercera edad

1.3.3 CLASE ESTADÍSTICA O CATEGORÍA ESTADÍSTICA

En estadística se llama clase, únicamente, a un conjunto de datos que están dentro de un intervalodeterminado de valores. Por ejemplo, para datos correspondientes a ingresos de personas podemos crearuna clase de las personas que tienen ingresos entre $500.000 y $800.000. Toda clase estadística tiene, porlo tanto, un límite inferior ( $500.000 ), y un límite superior ( $800.000 )

1.3.4 AMPLITUD DE CLASE

Es la distancia o diferencia que hay entre los límites de una clase. En el ejemplo anterior la amplitud de laclase de ingresos es de $300.000. Es decir, que para calcular la amplitud de clase se resta del límitesuperior de la clase el límite inferior.

Para expresar estas ideas en símbolos, llamamos A a la amplitud de la clase, LS al límite superior de la clasey LI al límite inferior de la clase, expresando aritméticamente la amplitud de la clase así:

A = LS – LI

Para el ejemplo: A = LS - LI = $800.000 - $500.000 = $300.000

Entonces, para visualizar las características de un conjunto de datos, la Estadística propone que se agrupen estos datos en intervalos de valores o “clases”

1.3.5 CARACTERÍSTICAS DE LOS CONJUNTOS DE CLASES ESTADÍSTICAS

Un conjunto de clases o categorías es considerado como un conjunto de clases estadístico sí todas lasclases, del conjunto, tienen, simultáneamente, las siguientes tres características:

Amplitud constante Mutuamente excluyentes Exhaustivas

Amplitud constante se refiere a que la amplitud de todas las clases de un conjunto de clases en que seagrupa un determinado grupo de datos debe ser la misma para todo el conjunto.

Conjunto de clases mutuamente excluyentes se refiere a que cualquier dato, de un grupo de datos enestudio, debe corresponder únicamente a una sola clase


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Conjunto de clases exhaustivas cuando el conjunto de clases puede contener a todos los datos de unamuestra.

1.3.6 NÚMERO DE CLASES

Una de las primeras inquietudes que surge cuando se van a agrupar un conjunto de datos en clasesestadísticas es en cuantas clases es conveniente o adecuado agrupar estos datos. Hay varios criterios pararesolver este problema: El número de clases es determinado por una circunstancia deseable u obligante Determinar el número de clases de clases orientándose por una norma empírica de la estadística Determinar el número de clases utilizando la expresión empírica: No.C = 2K Determinar el número de clases utilizando la expresión empírica: No.C = 1 + 3,3 log( n ) Otros criterios

El primer caso se presenta, por ejemplo, cuando el estudio actual se va a comparar con un estudio anterior oun estudio realizado por otro investigador. Entonces, para facilitar las comparaciones entre los dos estudios,es deseable que los datos del estudio actual se agrupen con el mismo número de clases del estudio anterior

La norma empírica de la estadística indica que el número de clases en que se deben agrupar cualquier

conjunto de datos debe ser como mínimo 5 ó 6 clases y como máximo alrededor de 20 clases

En la expresión No.C = 2K, No.C es abreviatura de número de clases y K indica las clases en que, segúnesta expresión, se deben agrupar los datos.

Por ejemplo, para un estudio contiene 155 datos esta expresión funciona así:

Sí K = 6 clases, entonces, No.C = 26 = 64 como 64 < 155 el número de clases igual a 6 no es conveniente Sí K = 7 clases, entonces, No.C = 27 = 128 como 128< 155 el número de clases igual a 7 no es conveniente Sí K = 8 clases, entonces, No.C = 28 = 256 como 256> 155 el número de clases igual a 8, según esteprocedimiento, es al más adecuado para agrupar los 155 datos del estudio.

En la expresión No.C = 1 + 3,3 log( n ), No,C es también, abreviatura de número de clases, log se refiere

a logaritmo con base 10 y n es la cantidad de datos que se desean agrupar

Por ejemplo, para el estudio de 155 datos se tiene: No.C = 1 + 3,3 log(155) = 8,23, quiere decir que elnúmero conveniente de clases, para agrupar estos 155 datos es de 8 clases

Otros criterios pueden ser, por ejemplo, números de clases que hacen que los límites de las clases seanmuy fáciles de establecer o que las clases automáticamente queden mutuamente excluyentes.

1.3.7 EJEMPLO PRÁCTICO

La siguiente tabla se refiere a los galones de gasolina corriente que tanquearon la semana pasada, en unautoservicio, una muestra de vehículos escogidos al azar

3,8 1,7 2,8 2,0 2,5 1,8 2,9 3,6 2,2 3,0 2,8 4,7 3,3 6,9 5,0 2,6 4,0 2,7 4,1 3,4

4,8 5,3 4,9 3,0 3,9 2,0 5,6 2,3 4,5 2,9

6,1 3,0 1,9 6,4 2,6 2,0 2,0 2,6 3,1

Este ejemplo es útil para fines de aprendizaje, porque en situaciones reales, se suelen manejar volúmenesde datos muy superiores al del presente ejemplo MÉTODO ESTADÍSTICO


18/89



Como se dijo al comienzo de este tema, para describir una situación representada por un conjunto de datos,como el anterior, la estadística propone agrupar los datos en un conjunto de clases o categorías y con esteconjunto construir una tabla que se llama Tabla de Frecuencias o Distribución de Frecuencias. Para realizareste proceso se deben resolver, en primera instancia, las siguientes preguntas: ¿En cuántas clases o categorías es más conveniente o se desea agrupar las datos recolectados? ¿Cuál es el tipo de variable relacionada con la situación o fenómeno en estudio?

¿Cómo se construyen estas clases o categorías? ¿Cómo se construye una Distribución de Frecuencias?

Para resolver estas preguntas se propone el siguiente procedimiento:

PROCEDIMIENTO PARA PRINCIPIANTES 1. Para establecer el número de clases:

Por conveniencia Norma empírica Fórmulas exponencial o logarítmica

2. Tipo de variable relacionada con la situación en estudio (Revisar el tema en el módulo CONCEPTOS BÁSICOS)

3. Construcción de las clases o categorías

Existen muchas formas para realizar este paso. A continuación se propone una de ellas: Determinar los valores máximo y mínimo del conjunto de datos: Xmax y Xmin Calcular el Rango, R = Xmax – Xmin Calcular la amplitud de las clases A = R/ No.C Modificar la amplitud teniendo en cuenta los decimales de los datos ( Amod ) Ajustar el rango ( Rmod ), para que coincida con la nueva amplitud modificada Ajustar Xmin o Xmax o ambos para que coincidan con el rango modificado Fijar el limite inferior de la primera clase Construir los límites de las clases Verificar que las clases cumplan con las tres características de las clases estadísticas

4. Construcción de la Distribución de frecuencias Establecer el número de observaciones dentro de cada clase ( FA ) ( tabla de conteo ) Calcular la frecuencia relativa ( FR ) Ajustar la frecuencia relativa para que la suma de igual a 1 Calcular la frecuencia relativa acumulada ( FRA)

DESARROLLO DEL EJEMPLO 1. Determinar el número de clases

El número de clases se puede determinar de acuerdo a los siguientes criterios. Por conveniencia: Cuando exista alguna circunstancia que haga conveniente o deseable un

determinado número de clases

Norma empírica: Se puede escoger cualquier número de clases entre 6 y 20 dependiendo del criterioo preferencia personal del analista y se hacen varios tanteos hasta encontrar un número de clasessatisfactorio

Aplicando las fórmulas exponencial o logarítmica

Aplicando la fórmula No.C = 2k Para K = 5 entonces 25 = 32 < 39 quiere decir que 5 no es un número conveniente de clases Para K = 6 entonces 26 = 64 > 39 quiere decir que 6 es el número conveniente de clases

Aplicando la fórmula No.C = 1 + 3,3log(n) = 1 + 3,3log (39) = 6,25 quiere decir que el número de clasesconveniente es de 6

2. Tipo de variable: En este caso es una variable continua


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3. Construcción de las clases o categorías: Estos pasos se presentan en la siguiente tabla y son específicospara variable continua

TABLA No.1

ARREGLO DE DATOS CONTINUOS EN 6 CLASES

Xmax = 6,9 A = 0,86667 X´min = 1,5 Xmin = 1,7 Amod = 0,9

R = 5,2 Rmod = 5,4 No.C = 6 Rmod-R = 0,2

X´min se refiere al límite inferior de la primera clase

4. Construcción de la Distribución de Frecuencias: El resultado de este proceso se presenta en la tabla No.2:

TABLA No.2 TABLA No.3 DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS

CLASES Menor

No. FA FAA FR FRA Que FRA 1 1,5 2,4 9 9 0,23 0,23 1,5 0 2 2,4 3,3 14 23 0,36 0,59 2,4 0,23 3 3,3 4,2 6 29 0,15 0,74 3,3 0,59 4 4,2 5,1 5 34 0,13 0,87 4,2 0,74 5 5,1 6,0 2 36 0,05 0,92 5,1 0,87 6 6,0 6,9 3 39 0,08 1,00 6,0 0,92

39 1,00 6,9 1,00 La tabla No.2 recibe el nombre de DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS o TABLA DE FRECUENCIAS y losdetalles de su construcción serán explicados por el docente en la exposición que haga sobre este tema y elsignificado de las columnas FA, FR y FRA se expone a continuación

1.3.8 LOS TIPOS DE FRECUENCIAS

Los tipos de frecuencias que se presentan en la tabla No.2 son los siguientes:

Frecuencia Absoluta FA: Es la cantidad de datos de la muestra que corresponden a cada clase. Seobtiene por conteo

Frecuencia Absoluta Acumulada FAA: Se obtiene, para cada clase, sumando la frecuencia absoluta dela clase, FA, con la frecuencia absoluta de la clase anterior

Frecuencia Relativa FR: Se calcula, para cada clase, dividiendo la frecuencia absoluta de la clase, FA,entre el total de datos de la muestra. Es práctico que los valores de la frecuencia relativa se tomen condos decimales y su suma se ajuste para que dé exactamente uno

Frecuencia Relativa Acumulada FRA: Se calcula, para cualquier clase, sumando la frecuencia relativade la clase, FR, con la frecuencia relativa de la clase anterior

LECTURA DE LA DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS Esta tabla permite describir la situación histórica de la venta de gasolina en esta estación de servicio, porejemplo, la mayoría de los vehículos de la muestra, un 36%, tanquearon entre 2,4 y 3,3 galones degasolina, el 5% de los vehículos de la muestra tanquearon entre 5,1 y 6,0 galones de gasolina y fue la clasecon menor frecuencia de tanqueo. Solamente tres vehículos de la muestra tanquearon más de 6,0 galones.


20/89



1.3.9 LA TABLA MENOR QUE

Es una tabla auxiliar que se construye a partir de las distribuciones de frecuencias acumuladas, FAA y FRA,con el fin de facilitar la descripción de la situación utilizando estas frecuencias. Esta tabla se encuentra allado de la tabla de distribución de frecuencias y se utilizó, en este caso, la columna de frecuencia relativaacumulada.

Observando esta tabla se puede ver que el 59% de los vehículos de la muestra tanquearon menos de 3,3galones de gasolina o que el 13% de los vehículos de la muestra tanquearon mas de 5,1 galones

1.3.10 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA SITUACIÓN EN ESTUDIO

La Estadística Descriptiva utiliza tres tipos de gráficos para representar cualquier situación o fenómeno enestudio: El histograma El polígono de frecuencias La ojiva

Estos gráficos permiten visualizar de manera fácil y rápida los resultados que se presentan en la distribuciónde frecuencias

1.3.10.1 EL HISTOGRAMA Es un gráfico de frecuencia absoluta, FA o la frecuencia relativa, FR, donde las clases se representanmediante rectángulos. El siguiente histograma se refiere al ejemplo práctico y se utilizó la frecuencia relativa

1.3.10.2 EL POLÍGONO DE FRECUENCIAS Se hace a partir del histograma uniendo las marcas de clase proyectadas sobre el lado superior de losrectángulos y agregando, para cerrar la figura, dos clases adicionales, una, por encima del límite superior dela clase más alta y la otra, por debajo del límite inferior de la clase más baja

Para construir el polígono de frecuencias necesitamos introducir el concepto de Marca de Clase MARCA DE CLASE Es el punto medio de una clase. Se calcula sumando los límites de cada clase y dividiendo este total por 2.El símbolo que usualmente se utiliza para representar la marca de clase es X i

0,23

0,36

0,150,13

0,05

0,08

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

F R E C U E N C I A

R E L A T I V A

GALONES

HISTOGRAMA

1.5 2.4 3.3 4.2 5.1 6.0 6.9


21/89



La expresión matemática de la marca de clase es:

X i =

Donde LS es el límite superior de la clase y LI es el límite inferior de la clase. Por ejemplo, para construir lamarca de clase de la primera clase se procede así:

X i =

= 1,95

Las marcas de clase se utilizan, también, cuando se requiere representar todos los valores de una clase porun solo número. Por ejemplo, 1,95 galones representa todos los valores de la muestra que se encuentranentre 1,5 galones y 2,4 galones

Se puede construir, entonces, con las marcas de clase, una tabla auxi liar de cálculos que permita elaborarfácilmente el polígono de frecuencias, como se presenta a continuación:

TABLA AUXILIAR DE CÁLCULOS

CLASES

Marca de

No. clase FR0 0,6 1,5 1,05 0,001 1,5 2,4 1,95 0,232 2,4 3,3 2,85 0,363 3,3 4,2 3,75 0,154 4,2 5,1 4,65 0,135 5,1 6,0 5,55 0,056 6,0 6,9 6,45 0,087 6,9 7,8 7,35 0,00

Obsérvese que la tabla tiene ahora 8 clases porque se han agregado dos clases, la número cero y la número7. A estas clases se les llama clases falsas porque no hay observaciones para ellas; su finalidad espresentar el polígono de frecuencias como una figura cerrada

Tanto el histograma como el polígono de frecuencias permiten visualizar algunas de las características de lasituación o fenómeno que se está estudiando, tales como: El rango de los datos

0,00

0,23

0,36

0,150,13

0,05

0,08

0,00

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

1,05 1,95 2,85 3,75 4,65 5,55 6,45 7,35

F R E C U E N C I A R E L A T I V A

GALONES

POLÍGONO DE FRECUENCIAS


22/89



Alrededor de qué valores tienden a agruparse los datos Valores de la muestra que se presentan con más o menos frecuencia A qué lado de la gráfica parecen agruparse más los datos

Los demás detalles de la construcción del polígono de frecuencias serán explicados por el docente en laexposición que haga sobre este tema

1.3.10.3 COMO INTERPRETAR UN HISTOGRAMA O UN POLÍGONO DE FRECUENCIAS Los histogramas y los polígonos de frecuencias facilitan a las personas que tienen que tomar decisionessobre una determinada situación una visión rápida del comportamiento y características de la situación quese estudia. Algunas de las preguntas que se pueden responder observando estas gráficas son: ¿Cuál es el rango de los datos? ¿En qué clases se concentran el mayor número de datos? ¿Cuál clase contiene menos datos? ¿Qué valores de la muestra se presentan con más o menos frecuencia? ¿A qué lado de la gráfica parecen concentrarse más los datos? ¿Se presentan huecos o clases vacías? ¿Se presentan valores aislados de los demás? ¿La gráfica presenta subidas o bajadas bruscas o suaves? ¿Cuántos picos tiene la gráfica? ¿Es simétrica la gráfica?

1.3.10.4 LA OJIVA La ojiva es un gráfico de frecuencias acumuladas que describe que cuantas unidades o qué porcentaje deunidades se encuentran por encima o por debajo de un determinado valor de la variable.

Este gráfico se construye a partir de la tabla MENOR QUE, utilizando la frecuencia absoluta acumulada, FAAo la frecuencia relativa acumulada, FRA. En el gráfico que se presenta a continuación se utilizó la frecuenciarelativa acumulada.

Los detalles sobre la construcción de estos gráficos serán explicados por el docente en la exposición quehaga sobre este tema

0

0,23

0,59

0,74

0,870,92

1,00

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,5 2,4 3,3 4,2 5,1 6,0 6,9

F R E C

U E N C I A R E L A T I V A A C U M U L A D A

GALONES

OJIVA


23/89



1.3.11 LA INTERPOLACIÓN

En general, la interpolación, es un método de cálculo para establecer el valor de la ordenada de un valor dela variable que se encuentra “dentro” de otros valores ya calculados en una tabla. En el caso de laEstadística Descriptiva, se utiliza para calcular valores de la frecuencia absoluta acumulada, FAA o de lafrecuencia relativa acumulada, FRA, correspondientes a valores de la variable que no se encuentran en la

tabla MENOR QUE, pero que están dentro de los valores mínimo y máximo recolectados en el estudio.

Por ejemplo, si se quiere saber qué porcentaje de los vehículos tanquearon mas de 4,8 galones de gasolina,al buscar este valor en la tabla MENOR QUE se detecta que aunque no está tabulado, se encuentra entrelos valores de la variable 4,2 y 5,1 galones. Con esta información se pueden disponer los datos existentes ylos buscados de la siguiente manera:

X0 =4,2 Y0 = 0,74 X1 = 4,8 Y1= ? X2 = 5,1 Y2 = 0,87

La expresión matemática que permite realizar el cálculo de interpolación es la siguiente:

Y´1= Y0 +( − )( − )(Y2 - Y0)

Reemplazando los símbolos por los valores se tiene:

Y´1= 0,74 +( − )

( − )( 0,87 - 0,74 ) = 0,827 ≈ 0,83 Esto quiere decir que el 83% de los vehículos de la muestra tanquearon menos de 4,8 galones, pero, comose quiere saber es que porcentaje tanqueó más de 4,8 galones, se debe restar el resultado anterior de 1

1 - 0,83 = 0,17 = 17% que es, entonces, porcentaje de vehículos de la muestra que tanquearon mas de4,8 galones


24/89



1.4 ARREGLO DE DATOS DE VARIABLE DISCRETA

PROCEDIMIENTO PARA PRINCIPIANTES 1. Para establecer el número de clases:

Por conveniencia Norma empírica

Fórmulas exponencial o logarítmica 2. Tipo de variable relacionada con la situación en estudio

(Revisar el tema en el módulo CONCEPTOS BÁSICOS) 3. Construcción de las clases o categorías

Este procedimiento es específico para variable discreta como se muestra a continuación: Determinar los valores máximo y mínimo del conjunto de datos: Xmax y Xmin Calcular el Rango, R = Xmax – Xmin Calcular la amplitud de las clases A = R/ No.C Modificar la amplitud eliminando la parte decimal del número calculado en el paso anterior ( Amod ) Utilizar Xmin como el límite inferior de la primera clase Construir los límites de las clases

Al construir las clases con este procedimiento automáticamente quedan con las tres condiciones de lasclases estadísticas, es decir, de amplitudes constantes, mutuamente excluyentes y exhaustivas.

4. Construcción de la Distribución de frecuencias Establecer el número de observaciones dentro de cada clase ( FA ) ( tabla de conteo ) Calcular la frecuencia relativa ( FR ) Ajustar la frecuencia relativa para que la suma de igual a 1 Calcular la frecuencia relativa acumulada ( FRA)

1.4.1 EJEMPLO PRÁCTICO

Una muestra de 41 días del número de transacciones que se realizan por día en un cajero automático sepresenta en la siguiente tabla:

73 68 76 71 60 41 91 67 85 83 56 79 62 64 87 66 74

87 91 78 49 91 72 63 68 47 81 54 90 77 63 52 75 80 84 36 67 51 45 61 57

DESARROLLO DEL EJEMPLO 1. Establecer el número de clases

Por conveniencia: No existe, en este caso, ninguna circunstancia que haga conveniente o deseableun determinado número de clases

Norma empírica: Se puede escoger cualquier número de clases entre 5 y 20 dependiendo del criterioo preferencia personal del analista y se hacen varios tanteos hasta encontrar un número de clasessatisfactorio

Aplicando las fórmulas exponencial o logarítmica: Utilizando la expresión logarítmica se tiene:

No.C = 1 + 3,3 log (41) = 6,3 que indica que un número conveniente de clases para esta cantidad de datoses de 6 clases.

2. Tipo de variable: En este caso es una variable discreta 3. Construcción de las clases o categorías: Los pasos se presentan encuentran en la siguiente tabla y son

específicos para variable discreta


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Xmax = 91 Xmin = 36 R = 55 No.C = 6

A = 9,16667 Amod = 9

En el cálculo anterior se puede observar que para construir la amplitud modificada, se borra toda la partedecimal de la amplitud, A, calculada

Cuando la amplitud modificada es un número impar, las marcas de clase, que se utilizan para representar alas clases, son valores fraccionarios, como ocurre en este ejemplo; esta situación es incómoda porque norefleja la realidad en los casos de variable discreta, por lo que se prefiere agrupar los datos en clases quesean de amplitud par, como se presenta a continuación, para el mismo ejemplo, donde la amplitud se cambióde 9 transacciones por día a 8 transacciones por día, esto hace que el número de clases pase de 6 a 7

Amod = 8

4. Construcción de la Distribución de Frecuencias: El resultado de este proceso se presenta en la tabla No.4: TABLA No.4 TABLA No.5

Menor No. CLASES FA FR FRA Que FRA 1 36 44 2 0,05 0,05 36 0 2 45 53 5 0,12 0,17 45 0,05 3 54 62 6 0,14 0,31 54 0,17 4 63 71 9 0,22 0,53 63 0,31 5 72 80 9 0,22 0,75 72 0,53 6 81 89 6 0,15 0,90 81 0,75 7 90 98 4 0,10 1,00 90 0,90

41 1,00 99 1,00

Se observa, también, que el límite inferior de cada clase es igual al límite inferior de la clase anterior másuno. También se puede ver que el límite superior de la última clase, (98), no coincide con el Xmax, (91), delos datos y el límite inferior de la primera clase es el Xmin (36), de los datos.

Las clases construidas de esta manera se llaman CLASES CERRADAS, porque en cada clase secontabilizan todos los datos incluidos entre los dos límites de la clase. Sin embargo, estas clases, como sepuede observar, son de amplitudes constantes, mutuamente excluyentes y exhaustivas.

También se observa que la tabla MENOR QUE, se construye de manera un poco distinta a como se hizopara el caso de variable continua, nótese que el último valor de la columna Menor Que, no es igual al límitesuperior de la última clase, sino a ése valor más uno.

1.4.2 REPRESENTACIÓN GRÁFICA

1.4.2.1 HISTOGRAMA Para el caso de variable discreta el histograma, recibe también el nombre de DIAGRAMA DEFRECUENCIAS y en él las clases se encuentran separadas, como se ve en el siguiente gráfico:


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Con frecuencia, en lugar de identificar cada clase con sus límites de clase, es más práctico utilizar la marcade clase, como se muestra en este gráfico, a continuación

Ahora es mucho más fácil leer el diagrama de frecuencias, por ejemplo, en el 14% de los días de la muestrase realizaron 58 transacciones, el número de transacciones por día menos frecuente, en la muestra, fue de40 transacciones por día

1.4.2.2 POLÍGONO DE FRECUENCIAS Se construye de la misma manera, a partir del diagrama de frecuencias y las marcas de clase, como se hizoen el caso de variable continua. Nótese que en esta gráfica se presenta una distorsión debido a que lasclases no son adyacentes

0,05

0,12

0,14

0,22 0,22

0,15

0,1

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

36 44 45 53 54 62 63 71 72 80 81 89 90 98

F r e c u e n c i a R e l a t i v

a

Número de transacciones

DIAGRAMA DE FRECUENCIAS

0,05

0,120,14

0,22 0,22

0,15

0,10

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

40 49 58 67 76 85 94

F r e c u e n c i a r e l a

t i v a


Diagrama de Frecuencias


27/89



1.4.2.3 OJIVA Cuando la variable es discreta, como en este caso, la ojiva se construye de forma diferente, porque lavariable sólo toma valores enteros, aunque, aquí también, este gráfico se construye a partir de la tablaMENOR QUE

Los detalles sobre la construcción de este gráfico serán explicados por el docente en la exposición que hagasobre este tema

0

0,05

0,12

0,14

0,22 0,22

0,15

0,10

0,00

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

31 40 49 58 67 76 85 94 103

F r e c u e n c i a R e l a t i v a

Número de Transacciones

Polígono de Frecuencias

0,05

0,17

0,31

0,53

0,75

0,9

1,00

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

F r e c u e n c i a R e l a t i v a A c u m u l a d a


OJIVA

36 45 54 63 72 81 90 99


28/89



1.5 ARREGLO DE DATOS PARA VARIABLE DISCRETA EN CLASES DE AMPLITUDCERO

Cuando el intervalo de valores que toma la variable es reducido y la variable es discreta, es más prácticoagrupar los datos en clases de amplitud cero, como se muestra en el siguiente caso. Aquí X simboliza los

valores que toma la variable que son al mismo tiempo las clases estadísticas. Estas clases cumplen con lastres características de una clase estadística: son de amplitud constante, son mutuamente excluyentes y sonexhaustivas

EJEMPLO Se tomó una muestra de 60 facturas registrando el número de errores por factura. Los resultados sepresentan en la siguiente tabla:

1 0 1 2 0 0 1 0 0 1 2 1 1 1 0 1 4 0 0 0 0 3 0 0 1 0 1 2 2 0 4 1 1 0 0 0 1 0 0 1 2 2 0 3 3 1 0 2 2 0 0 0 3 1 2 2 0 1 1 1

MENOR X FA FR FAA FRA QUE FRA 0 25 0,42 25 0,42 0 0 1 19 0,31 44 0,73 1 0,42 2 10 0,17 54 0,90 2 0,73 3 4 0,07 58 0,97 3 0,90 4 2 0,03 60 1,00 4 0,97

60 1,00 5 1,00

25

19

10

42

0

5

10

15

20

25

30

0 1 2 3 4

N o .

d e f a c t u r a s

No. de errores



29/89



1.6 ARREGLO DE DATOS CUALITATIVOS

Cuando la variable es cualitativa, el arreglo y presentación de datos estadístico es limitado. Sólo se puedenconstruir distribuciones de frecuencias con las frecuencias absolutas y relativas y diagramas de frecuencias.

Adicionalmente, se utilizan en estos casos otros tipos de gráficos como se presenta en el siguiente ejemplo:

EJEMPLO Se interrogó a una muestra de clientes de una cafetería sobre el tipo de bebida gaseosa que prefierenobteniéndose los siguientes resultados:

Cocacola Quatro Pepsicola Cocacola Postobón Link Postobón

Postobón Pepsicola Seven Up Pepsicola Cocacola Cocacola Quatro

Quatro Link Cocacola Postobón Pepsicola Sprite Pepsicola

Sprite Cocacola Postobón Cocacola Postobón Cocacola Postobón

Cocacola Quatro Pepsicola Link Cocacola Postobón Sprite

No. CLASES FA FR 1 Cocacola 10 0,29 2 Link 3 0,09 3 Pepsicola 6 0,17 4 Postobón 8 0,23 5 Quatro 4 0,11 6 Seven Up 1 0,03 7 Sprite 3 0,08

35 1,00

0,29

0,09

0,17

0,23

0,11

0,03

0,08

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

Cocacola Link Pepsicola Postobón Quatro Seven Up Sprite

F r e c u e n c i a R e l a t i v a

Tipo de bebida



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0,29

0,09

0,17

0,23

0,11

0,03 0,08

Quatro

0,29

0,09

0,17

0,23

0,11

0,03 0,08

Quatro Coca cola

Pepsicola

Postobón

Seven Up


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2 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL, DE POSICIÓN Y DEDISPERSIÓN

2.1 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

2.1.1 FORMAS ESTADÍSTICAS DE DESCRIBIR UN FENÓMENO

Anteriormente se vio que los fenómenos o hechos se pueden describir con tablas y gráficos pero, también sepueden describir con números

2.1.2 CONCEPTO DE MEDIDA EN ESTADÍSTICA

En estadística se llama medida a un cálculo u operación que se realiza sobre un conjunto de datos paraextraer alguna información

EJEMPLOS

Calcular la estatura promedio de un grupo de personas Hallar la diferencia entre el mayor y el menor valor de un conjunto de datos Establecer el valor que más se repite dentro de un conjunto de datos

2.1.3 PARÁMETROS Y ESTADÍSTICOS

En la unidad anterior se vio que los cálculos o medidas que se realizan con los datos referidos a unasituación pueden clasificarse de dos maneras: Parámetros: Cuando el cálculo se realiza con todos los datos de la población. Los parámetros son valoresconstantes Estadísticos: Cuando el cálculo se realiza con una parte de los datos de la población, es decir, unamuestra. Los estadísticos son variables

2.1.4 CLASES DE MEDIDAS EN ESTADÍSTICA

En estadística existen tres clases de medidas: Las medidas de tendencia central Las medidas de tendencia no central o de posición Las medidas de dispersión

2.1.5 LAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Son tres valores, con cada uno de los cuales, se pretende describir, parcialmente, el comportamiento de unamuestra o de una población.

Las medidas tendencia central, reciben este nombre porque al representar el resultado de un cálculo en ungráfico de una distribución de frecuencias (histograma o polígono de frecuencias), el valor calculado siemprese sitúa hacia el centro de la gráfica.

2.1.6 LAS MEDIDAS DE DISPERSIÓN

Las medidas de dispersión son cálculos o valores que indican que tan concentrados están los datosalrededor de un valor especial que se toma como referencia


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2.1.7 MEDIDAS PARA POBLACIONES Y MEDIDAS PARA MUESTRAS

Las medidas de tendencia central y de dispersión pueden clasificarse como Parámetros o Estadísticos,según sea que los datos utilizados correspondan a una población o a una muestra.

Los cálculos de las medidas de tendencia central y de dispersión para poblaciones, en algunos casos, son

diferentes de los cálculos de las medidas de tendencia central y de dispersión para muestras, por lo que seutilizan, en estos casos, símbolos diferentes para cada tipo de medida.

2.1.8 CLASES DE MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Existen tres clases de medidas de tendencia central: La media aritmética o promedio La mediana La moda

2.1.9 LA MEDIA ARITMÉTICA

Existen dos tipos de media aritmética: la Media Aritmética Simple y la Media Aritmética Ponderada. A lamedia aritmética simple se le llama usualmente La Media y la forma de calcularla depende de sí los datosestán o no agrupados en clases.

2.1.10 MEDIA ARITMÉTICA PARA DATOS NO AGRUPADOS

La media aritmética, para datos no agrupados, se calcula sumando los valores registrados de la variable enestudio y dividiendo entre el total de estos valores registrados. La expresión matemática de este cálculotiene dos presentaciones: una sí los datos registrados corresponden a una población y otra sí los datoscorresponden a una muestra, tal como se indica a continuación.

µ = N

Xi Para Poblaciones = n

XiPara Muestras

El significado de los símbolos es el siguiente: µ Es la letra del alfabeto griego “mu”, simboliza la media aritmética calculada para una población Se lee equis trazo o equis barra, simboliza la media aritmética calculada para una muestra N Es el número de valores que toma la variable, en estudio, en la población n Es el número de valores que toma la variable, en estudio, en la muestra Es cada uno de los valores que toma la variable en la muestra o en la población


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EJEMPLO Las comisiones que un vendedor ha recibido en los 6 primeros meses del año se presentan en la siguientetabla:

Calcular la media aritmética einterpretar el significado

SOLUCIÒN:

Ingresos

MES (Miles de $ )

Enero 800

Febrero 950

Marzo 920

Abril 1000

Mayo 830

Junio 900

La expresión para calcular la media aritmética indicaque se deben sumar todos los valores que toma la

variable y dividir por el número de datos

̅ = ̅ = $900 miles Como esta forma de cálculos es poco práctica sesuman, mejor, los datos en columna como se muestra acontinuación

Ingresos

MES (Miles de $ )

Enero 800

Febrero 950

Marzo 920

Abril 1000

Mayo 830

Junio 900

Suma 5400

∑ = 5400 ̅ = ∑ = =$900 Interpretación: La media aritmética es el mismopromedio y es como sí en cada uno de los 6 meses elcomisionista hubiera ganado $900.000

2.1.11 MEDIA ARITMÉTICA PARA DATOS AGRUPADOS

La media aritmética se calcula sumando los productos de las marcas de clase por sus respectivasfrecuencias absolutas y dividiendo esta suma por el número total de datos registrados

µ = N

XiFAi Para Poblaciones =

n

XiFAi Para Muestras

el significado de los símbolos es el siguiente: µ Es la letra del alfabeto griego “mu”, simboliza la media aritmética calculada para una población

Se lee equis trazo o equis barra, simboliza la media aritmética calculada para una muestra

N Es el tamaño de la población n Es el tamaño de la muestra Es la marca de clase de cada una de las clases en que se han agrupado los datos Es la frecuencia absoluta de cada una de las clases en que se han agrupado los datos EJEMPLO Una muestra del valor de las facturas, en miles de pesos, que se cancelan con tarjetas de crédito en unacadena de almacenes de modas se presenta en la siguiente tabla:


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Ventas No. de

(Miles de $) Facturas

30 36 25

36 42 38 42 48 49

48 54 51

54 60 32

60 66 29

224 Calcular la media aritmética einterpretar el significado

Como se debe calcular la marca de clase de cada clase ymultiplicar cada uno de esto valores por su respectivafrecuencia absoluta, estas operaciones es más prácticorealizarlas en forma tabular, como se muestra acontinuación:

Ventas No. de (Miles de $) Facturas Xi XiFAi

30 36 25 33 825

36 42 38 39 1.482

42 48 49 45 2.205

48 54 51 51 2.601

54 60 32 57 1.824

60 66 29 63 1.827

224 10.764

SOLUCIÒN: El total de la cuarta columna es ∑ = 10.764 y el total de datos, n, es 224, por lo que la media aritméticabuscada es:

̅ = . = $48.054 miles Interpretación: El valor de promedio de cada factura pagada con tarjeta de crédito es de $48.054 miles, quees como si cada factura fuera de este valor

2.1.12 SIGNIFICADO DE LA MEDIA ARITMÉTICA

La media aritmética o promedio calculada para un conjunto de datos significa que al remplazar el valorpromedio por cada uno de los datos se obtiene el mismo resultado general

2.1.13 MEDIA ARITMÉTICA PONDERADA

Existen situaciones en las cuales los datos registrados sobre una situación traen in formación adicional queindica que estos valores no tienen la misma importancia relativa, como se presenta en el siguiente caso:

EJEMPLO Las notas obtenidas por un estudiante en 3 quices de un corte y las notas finales, del semestre, extraídas delpolígrafo correspondiente, se presentan en la siguiente tabla:

PRUEBA NOTA

Quiz No.1 3.5 Quiz No.2 4.1 Quiz No.3 2.4 Promedio 3.3

ASIGNATURA

NOTA

FINAL CRÉDITOS A 4.9 2 B 3.1 4 C 3.0 3

En el caso de los quices no existe ninguna información que permita pensar que estas tres notas tienendiferente nivel de importancia, por lo que su promedio se puede calcular utilizando la fórmula de la mediapara datos no agrupados, lo que no ocurre para el caso del polígrafo donde, por ejemplo, la nota de laasignatura B vale el doble que la nota de la asignatura A; en casos como este, para calcular el promedio, se


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utiliza una variante de la media aritmética que recibe el nombre de Media Aritmética Ponderada o PromedioPonderado, cuya expresión matemática es la siguiente:

p =∑

∑ Media aritmética ponderada

p Es el símbolo de la media ponderada xi Representa los valores que toma la variable. En el ejemplo, las notas (4.9, 3.1 y 3.0) Representa el valor relativo de cada uno de los datos, llamados Factores de Ponderación. En elejemplo, los créditos de cada una de las asignaturas (2, 4 y 3)

Aplicando la fórmula al ejemplo se tiene:

NOTAFINAL CRÉDITOS

ASIGNATUR A Xi Wi XiWi A 4,9 2 9,8 B 3,1 4 12,4

C 3.0 3 9.0 Suma 9 31,2

∑ Xi Wi = 31.2 ∑ Wi = 9 P = 3.47

Sí para este caso del polígrafo el promedio se calculara como media aritmética simple, ignorando lainformación de los créditos, este cálculo daría 3.7 que es diferente del promedio ponderado que da un valorde 3.47

2.1.14 PROPIEDADES DE LA MEDIA ARITMÉTICA

El cálculo de la media aritmética tiene en cuenta todos los valores de la variable en estudio registrados A todas las variables cuantitativas se les puede calcular la media aritmética Un conjunto de datos sólo tiene una media

La media permite hacer comparaciones entre poblaciones o muestras La media se puede trabajar matemáticamente La media es afectada por los valores extremos No se puede calcular la media en distribuciones de frecuencias que tienen clase de extremo abierto

2.1.15 LA MEDIA GEOMÉTRICA

En muchas situaciones los datos se presentan en valores relativos tales como porcentajes o proporciones.En tales casos el procedimiento de cálculo de la media, que se ha estado utilizando hasta ahora, puedeapartarse de los resultados reales sí la variabilidad de los datos es alta.

2.1.16 CÁLCULO DE LA MEDIA GEOMÉTRICA

Existe, entonces, una expresión matemática especial para calcular promedios en los casos en que los datosprovengan de tasas de interés, porcentajes o números índices, entre otros. A este expresión matemática sele llama la media geométrica y se suele representar por la letra G

G = )...().........3)(2)(1( FCn FC FC FC n

G Es el símbolo de la media geométrica


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FC1, FC2…..FCn se llaman Factores de Crecimiento

El índice de la raíz depende del número de factores de crecimiento. Sí los factores de crecimiento son 2, laraíz es cuadrada, sí los factores de crecimiento son 6 la raíz es sexta y así sucesivamente.

Los factores de crecimiento, FCi , se determinan con la siguiente expresión:

FC = 1 +

Como el valor en porcentaje se llama comúnmente Tasa, la expresión, más apropiada, para el Factor deCrecimiento es:

FC = 1 +

EJEMPLOLa rentabilidad de un título valor ha estado variando en las últimas semanas como se presenta en lasiguiente tabla:

Renta-

Semana bilidad

1 3%

2 1%

3 -2%

4 0,7%

5 1,5%

6 1% ¿A qué tasa promedio semanal ha estadovariando la rentabilidad de este título?

Para aplicar la fórmula, las tasas derentabilidad se deben convertir a factores decrecimiento

Renta-

Semana bilidad FC

1 3% 1,03

2 1% 1,01

3 -2% 0,98

4 0,7% 1,007

5 1,5% 1,015

6 1% 1,01

Con los factores de crecimiento, de la tercera columna, se calcula G G = (1.03)(1.01)(0.98)(1.007)(1.015)(1.01) G = 1.008557 (Factor de crecimiento promedio)

Como las unidades de este cálculo son Factores de Crecimiento, para convertir este resultado en tasa, sedespeja ésta de la última fórmula

FC = 1 + ====>Tasa = ( FC – 1 )x100

Por lo tanto: Tasa promedio = (1.00856 – 1 ) x 100 = 0.856%

≅ 0.9%

Respuesta: El título ha estado aumentado a una tasa promedio del 0.9% semanal

Cuando los datos se presentan en valores absolutos, pero, se debe calcular un porcentaje promedio, losfactores de crecimiento se determinan como se indica en el siguiente ejemplo:

EJEMPLO Las ventas anuales de una empresa, en millones de pesos, se presentan en la tabla No.1. ¿A qué tasapromedio anual están variando las ventas de esta empresa?


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TABLA No.2

Ventas

AÑO (Millone

s) FC

2001 68

2002 75 1,1029 2003 32 0,4267

2004 59 1,8438

2005 73 1,2373

2006 92 1,2603

2007 108 1,1739

Obsérvese que no se puede calcular el factor de crecimientodel año 2001 porque no se conocen las ventas del año 2000.

Con los datos de la tercera columna, FC, se calcula G

G =

(1.1029)(0.4267)(1.8438)(1.2373)(1.2603)(1.1739)

G = 1.08017 (Factor de Crecimiento promedio)

Tasa Promedio = (1.08017 – 1) x 100 = 8.017%

Respuesta: Las ventas están creciendo a una tasa promediodel 8% anual

También se puede calcular la media

Apuntes estadistica uts

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