Tema ii integrales uts

PROFESOR: JULIO C BARRETO G ESC: 71, 76 MATEMÁTICA II

TEMA II: INTEGRALES

ANTECEDENTES HISTÓRICOS

Hay, primordialmente, dos matemáticos coetáneos íntimamente ligados a los inicios del

cálculo infinitesimal, el inglés Newton (1642-1727) y el alemán Leibniz (1646-1716), si

bien, hubo otros matemáticos que de una u otra forma trabajaron en ello, como Kepler,

Fermat (1601-1665), Cavalieri (1598-1647), incluso Arquímedes (Ap. 288 a.C.- Ap. 213

a.C.), que utilizó un método para el cálculo de áreas que se aproxima rudimentariamente al

cálculo integral. Newton y Leibniz (Newton unos años antes) sientan las bases del análisis

infinitesimal aunque por vías distintas, quedando fuera de toda sospecha que alguno se

aprovechase de los hallazgos del otro. Aunque en los inicios se comunicaban los progresos

que hacía cada uno, llegaron a surgir comentarios de matemáticos ajenos a todo ello que, en

ocasiones, calificaban la obra de Newton como plagio de la de Leibniz; en otras ocasiones

era a la inversa, y esto provocó la enemistad de ambos.

Todo esto hizo que Newton, poco antes de morir y habiendo fallecido Leibniz unos años

antes, ordenara suprimir un comentario de su obra «Principia» en el que se citaba a su

otrora amigo como autor de un procedimiento de cálculo similar al suyo. Leibniz es,

además, el responsable de la actual simbología del cálculo infinitesimal, y no sólo eso; fue

el primer matemático que utilizó el · para expresar una multiplicación y ÷ para denotar un

cociente, entre otras muchas más aportaciones.

FUNCIÓN PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN

Dada una función cualquiera f(x) definida en un intervalo cerrado [a,b], se llama función

primitiva de xf a otra función xF cuya derivada sea xf en dicho intervalo. Es decir,

xfxF para todo x de [a,b]. Así, por ejemplo:

La función xsen es una primitiva de xcos puesto que .cos xxsen

La función xln es una primitiva de x

1 puesto que .

1ln

xx

La derivada de 3

3x es ,3

3

1

3

223

xxx

por lo cual

3

3x es una primitiva de .2x

PROPIEDADES DE LAS PRIMITIVAS DE UNA FUNCION

PRIMERA PROPIEDAD: Si xF es una primitiva de xf y C una constante cualquiera

(un número), la función xF + C es otra primitiva de xf .

TEMA II: INTEGRALES

PROFESOR: JULIO C BARRETO G 2 MATEMÁTICA II

DEMOSTRACIÓN: Basta recordar que la derivada de una suma de funciones es igual a la

suma de las derivadas de las funciones, y que la derivada de una constante es siempre cero.

.0 xfxfCxFCxF

EJERCICIO: Encontrar tres primitivas de la función xcos .

RESOLUCIÓN: Se sabe que xsen es una primitiva de xcos . Luego, tres primitivas de

xcos son, por ejemplo, ,3xsen ,2lnxsen .3

xsen

SEGUNDA PROPIEDAD: Si una función tiene una primitiva, entonces tiene infinitas

primitivas.

DEMOSTRACIÓN: Si xF es una primitiva de xf , para cualquier constante C,

CxF es otra primitiva según la anterior propiedad. Así, hay tantas primitivas como

valores se le quieran dar a C.

TERCERA PROPIEDAD: Dos primitivas de una misma función se diferencian en una

constante. Esto es, xF y xG son primitivas de la función xf , entonces

.cteCxGxF

DEMOSTRACIÓN: Hay que recordar que si una función xf definida en un intervalo

cualquiera tiene derivada cero en todos los puntos, entonces la función xf es constante.

Es decir, si 0 xf , entonces .Cxf Pues bien, si xF es una primitiva de xf ,

;xfxF y si xG es otra primitiva de xf , entonces también ;xfxG luego,

restando miembro a miembro, ,0

xfxfxGxFxGxF de donde se

deduce que .CxGxF

LA INTEGRAL INDEFINIDA

DEFINICIÓN: Llamamos a F una antiderivada de f en el intervalo I, si )()( xfxFdx

d

en I, es decir, si xfxF para toda x en I, esto es:

)()(' )()( xfxFsisóloysícxFdxxf

TEMA II: INTEGRALES


Esta definición se puede interpretar de la siguiente manera: Al integrar una función xf

obtenemos como resultado xF ; si este resultado se deriva obtendremos como resultado al

integrando y además nos sirve como comprobación.

PROPIEDADES BÁSICAS DE LA INTEGRAL INDEFINIDA

Observa las siguientes propiedades, las cuales debemos tomar en cuenta para el cálculo de

integrales indefinidas.

Sí f es integrable y k es un número real cualquiera, entonces kf es integrable:

dxxfkdxxfk )( )(

Sean f y g son dos funciones integrables, entonces:

dxxgdxxfdxxgxfii

dxxgdxxfdxxgxfi

)( )( )()( )

)( )( )()( )

Un factor constante k puede escribirse antes del signo de integral, donde c es la

constante de integración.

cxkdxkdxk

REGLA DE LAS POTENCIAS PARA INTEGRALES INDEFINIDAS.

cx

ndxx nn 1

1

1 donde el exponente n es un número racional y n -1

INTEGRALES DE FUNCIONES TRASCENDENTES

En las funciones trascendentes se encuentran las trigonométricas, las exponenciales y

las logarítmicas. Para calcular este tipo de integrales se usan las siguientes fórmulas de

integración.

TEMA II: INTEGRALES


cuduu

cuduu

sen cos

cos sen

cuduu sec ln tan

cuuduu

cusenduu

cuduuu

cuduuu

tan sec ln sec

ln cot

csc cot csc

sec tan sec

cuuduu cot csc ln csc

cuduu

cuduu

cot csc

tan sec

2

2

ca

adua

cuu

du

cedue

uu

uu

ln

ln

APLICACIÓN DEL CONOCIMIENTO

Observa en los siguientes ejemplos cómo se aplican las propiedades de la integral

indefinida. Vamos unos ejemplos:

1. Calcular la siguiente integral indefinida dxx3 5

PASO 1: El 5 es una constante que se puede escribir fuera de la integral.

dxxdxx 5 5 33

PASO 2: Para encontrar una antiderivada de x3 (o sea la primitiva) aplicamos la fórmula

siguiente:

cxn

dxx nn

1

1

1

O sea que:

cxdxx

133

13

1 5 5

PASO 3: Se realizan las operaciones indicadas y se obtiene finalmente el resultado.

cxdxx 43 4

5 5

TEMA II: INTEGRALES


Para realizar la comprobación de la integral, se deriva el resultado, esto es:

dx

cdxcx

dx

d 4

4

5

4

5 144

Recuerda que la derivada de una constante es igual a cero. Al simplificar se obtiene al

integrando.

34 54

5xcx

dx

d

NOTA: Recuerda que al hacer mención de la antiderivada o primitiva nos estamos

refiriendo a la integral indefinida.

Ahora veamos la aplicación de estas propiedades en una función polinomial.

2. Calcula la integral indefinida dxxxx 2543 35 y realiza la comprobación.

PASO 1: Se escribe la integral, recordando que la suma o resta de funciones es igual a la

suma o resta de las integrales, esto es:

dxdxxdxxdxxdxxxx 2 5 4 3 2543 3535

PASO 2: Los factores constantes se escriben fuera de la integral y se aplica la fórmula de

una potencia, como se muestra a continuación:

dxdxxdxxdxxdxxxx 2 5 4 3 2543 3535

PASO 3: Se integra cada una de éstas.

4

3

11

2

133

1

155

22

11

1 5 5

13

1 44

15

1 33

cxdx

cxdxx

cxdxx

cxdxx

PASO 4: Se sustituyen los valores, tomando en cuenta que 4321 ccccc .

TEMA II: INTEGRALES


cxxxxdxxxx 22

5

4

4

6

3 2543 24635

PASO 5: Finalmente se simplifica el resultado.

cxxxxdxxxx 22

5

2

1 2543 24635

Para verificar el resultado, se deriva el polinomio y se obtiene el integrando.

02)2(2

546

2

12

2

5

2

1 35246

xxxcxxxx

dx

d

Simplificando se obtiene:

254322

5

2

1 35246

xxxcxxxx

dx

d

Analiza los siguientes procedimientos para calcular integrales indefinidas trascendentes.

3. Calcula la integral indefinida dxx sen y realiza la comprobación.

PASO 1: Este tipo de integrales se resuelven de forma inmediata, por lo tanto:

cxdxx cos sen

PASO 2: Se realiza la comprobación derivando el resultado.

xxcdx

dx

dx

dcx

dx

d sen0 sen cos) (cos

Ahora resuelve los siguientes ejercicios, aplicando las propiedades de la integral indefinida.

4. Calcula la integral indefinida dxx 3

PASO 1: Este tipo de integrales se resuelven de forma inmediata, perteneciente al caso en el

que .3a Por tanto:

Cdxx

x 3ln

3 3

PASO 2: Realiza la comprobación derivando el resultado.

TEMA II: INTEGRALES


5. Probar la certeza de la igualdad

Cx

x

x

dx

1

1ln

2

1

1 2

Para lo cual basta demostrar que la derivada de la función Cx

x

1

1ln

2

1es .

1

12x

EJERCICIOS:

a) Calcula la integral dxxxx 4839 23 y realiza la comprobación.

b) Calcula la integral dxx cos y realiza la comprobación.

c) Analiza con atención cada uno de las siguientes expresiones y calcula las integrales

aplicando el método de integración respectivo.

1. dxxxxx 72 234

2.

dxxxx 8

5

62 23

3.

dxxx

2

3

4

1

3

2 2

4. dxxx 304 23

5. dxx 2 3

6. dxx 2

3

7. dxxx 123

8. dxxx 231

9. dxxx 96 24

d) Analiza las siguientes expresiones y aplicando el procedimiento adecuado, calcula las

integrales trascendentes.

10. dxxe x )2(

11. dxx

1

12. dxx sec2 2

13. dxx cos5

14. dxx

3

sen

15. dxx

3

8

TEMA II: INTEGRALES


TABLA DE COMPROBACIÓN

Número de

pregunta Respuesta correcta

1. cxxxxxdxxxxx 72

1

3

1

2

1

5

172 2345234

2.

cxxxdxxxx 23423 4

5

2

2

18

5

62

3. cxxxdxxx

2

3

8

1

9

2

2

3

4

1

3

2 232

4. cxxxdxxx 303

4

4

1)304( 3423

5. cxdxx 23 2

6. cxdxx 2

5

2

3

5

2

7. cxxxdxxx 925

196 3524

8. cxxxdxxx 22

3

3

212

9. cxxxdxxx 22

1231 23

10. cxedxxe xx 22

11. cxdxx

ln1

12. cxtandxx 2 sec2 2

13. cxdxx sen5 cos5

TEMA II: INTEGRALES


14. cxdxx

cos3

1

3

sen

15. cxdxx

ln3

8

3

8

EL MÉTODO DE SUSTITUCIÓN O CAMBIO DE VARIABLE

Consiste en sustituir la variable “x” por una nueva variable; veamos el siguiente:

Teorema: Sea g una función derivable y supóngase que F es una antiderivada de f.

Entonces u = g(x).

cxgFcuFduufdxxgxgf ))(()()()(')(

Observa el siguiente ejemplo donde se aplica este método.

Evalúa la siguiente integral: dxxx 4 2

PASO 1: Se hace el cambio de variable, tomando 42 xu , entonces la derivada de u es

dxxdu 2

PASO 2: Se sustituyen estos valores en la integral, esto es:

2

4 2

1

2 duudxxx

Observa que dxxdu 2 y en el integrando sólo se tiene dxx , entonces dxxdu

2 .

PASO 3: Se aplican las propiedades de la integral; esto es, 2

1se escribe fuera de la integral

por ser una constante.

TEMA II: INTEGRALES


2

1 4 2

1

2 duudxxx

PASO 4: Se realiza la integral, obteniendo lo siguiente:

cu

duu

12

12

1

2

11

2

1

2

1

cucucu

2

3

2

32

3

3

1

6

2

2

32

1

PASO 5: Se hace el cambio de variable de 42 xu y se sustituye en el resultado:

cxdxxx 2

322 4

3

1 4 cx

32 43

1

Más adelante desarrollaremos otros ejemplos donde se aplique este método.

EJERCICIOS: Lee con atención los siguientes reactivos y resuelve lo que se pide.

I.- Aplica el método de sustitución y evalúa las siguientes integrales, escribe tu desarrollo y

la solución.

1. dxxx432 5

2. dxx6

93

3.

dxe

ex

x

21

4. dxx5

1

5. dxxx cos sen3

dxx

x

9

32


Número de pregunta Respuesta correcta

1

dxxdu

dxxduxu 223

3 3 5

cxdxxx53432 5

15

15

2 dxdu

dxduxu 3

3 93

TEMA II: INTEGRALES


cxdxx76

9321

193

3

dxedu

dxedueu xxx 2

2 21

cedxe

e x

x

x

21ln2

1

21

4

dxduxu 1

cxdxx65

16

11

5

dxxduxu cos sen

cxdxx 43 sen

4

1 sen

6

dxxdu

dxxduxu 2

2 92

cxdxx

x9ln

2

3

9

3 2

2

MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR PARTES

El método de integración por partes se basa en la integración de la fórmula derivada del

producto de dos funciones. Veamos el siguiente procedimiento para obtener la fórmula de

integración por partes: Sea u = u(x) y v = v(x), entonces:

)(')()(')()()( xuxvxvxuxvxuDx

Integrando ambos lados de la ecuación se obtiene la siguiente expresión:

dxxuxvdxxvxuxvxu )(')( )(')()()(

Despejando la primera integral tenemos:

dxxuxvxvxudxxvxu )(')()()( )(')(

Sí dxxuduydxxvdv )(' )(' , entonces la ecuación anterior se puede escribir de la

forma siguiente:

duvvudvu

TEMA II: INTEGRALES


La cual es la fórmula para integrar por partes. El éxito de éste método, depende de la

elección apropiada de u y dv , lo cual se consigue solamente con la práctica.

Para aplicar este método, vamos a evaluar la siguiente integral: dxxx cos

PASO 1: Se escribe dxxx cos como dvu ; entonces dxduyxu

PASO 2: Si dxxdv cos , entonces, para encontrar v se integran ambos lados,

obteniendo:

dxxdv cos , entonces cxv sen

PASO 3: Los valores de vydvduu , , se sustituyen en la fórmula, quedando de la

siguiente manera:

dxxxxdxxx sensen cos

La integral de cxdxx cos sen , sustituyendo este resultado en la integral anterior, se

obtiene el resultado.

cxxxdxxx cossen cos

Recuerda que las constantes de integración están incluidas en “c”.

EJERCICIOS: Aplica el método de integración por partes y calcula las siguientes

integrales.

1. dxxx sen

2. dxx ln

3. dxex x2

4. dxxx cos 4



1 xvdxxdvdxduxu cos sen

cxxxdxxx coscos sen

TEMA II: INTEGRALES


2 xvdxdvdx

xduxu

1 ln

cxxxdxx ln ln

3

xx evdxedvxdxduxu 2 2

dxxeexdxex xxx 222

La integral del lado derecho se realiza otra vez por partes, esto

es: xx evedvdxduxu 1111 2 2

cxxedxex xx 2222

4 xvdxxdvdxduxu sen cos 4 4

cxxxdxxx cos4sen4 cos4

INTEGRACION POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA

Si el integrando contiene una expresión de la forma: a u u a o a u2 2 2 2 2 2 ,

Elevada a cualquier exponente, la integración se realiza mediante una sustitución

trigonométrica, de acuerdo con la siguiente tabla:

EJEMPLO: Resuelve la siguiente integral: dxxI 225

SOLUCIÓN: El cambio a realizar en este tipo de integrales es tx sen5

TEMA II: INTEGRALES


ttsensentxdttdx cos5)1(25)5(2525 ;.cos5 222

Entonces: .cos25.cos5.cos5 2 tdtdtttI (*)

Hacemos tdtI 21 cos y la resolvemos por partes:

dvdttut .cos ;cos ; tdttvdudtt sen.cos ;.sen

dttdtttdttttdttttI .coscos.sen)cos1(cos.sen.sencos.sen 2221

Es decir, 11 cos. IttsetI ; y por tanto, 2

cos.sen1

tttI

Resultado que llevado a (*) nos da )cos.(2

25ttsentI . Si deshacemos el cambio de

variable: 5

25cos que sale ,1cossenrelación la dey ;

5sen

222 x

tttx

t

Finalmente queda: Cx

xxI 5

arcsen2

2525

2

1 2

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Halla el valor de la siguiente integral: dx

xa

aI

22

2. Resuelve: dx

xxI

267

1

3. Demostrar que

Caxxdxax

2

2ln

1

4. Resuelve

dxx 4

2

2

TEMA II: INTEGRALES


5. Resuelve: 2082 xx

dx



1 Buscando el arco seno resulta: Ca

xaI arcsen.

2

Eliminamos el término en x haciendo el cambio .2

btx

Después buscamos el arco seno y se obtiene Cx

I

4

3arcsen

3 Hágase el cambio xtax 2

4 Cxx 4ln2 2

5 2

4arctg

2

1 x

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO

El siguiente teorema enuncia el hecho notable de que ""G es una antiderivada de .f

Además muestra como se puede usar cualquier antiderivada para encontrar la integral

definida de .f

TEOREMA: Sea f una función continua en un intervalo cerrado b ,a

PARTE I: Sí se define G como:

dttfxGx

a

)()(

Para todo x en b ,a , entonces G es una antiderivada de f en b ,a .

PARTE II: Sí F es una antiderivada de f, entonces:

)()( )( aFbFdxxfb

a

TEMA II: INTEGRALES


“Este Teorema fue descubierto de manera independiente en Inglaterra por Sir Isaac Newton

(1642 – 1727) y en Alemania por Gottfried Leibnitz (1646 – 1716). Es principalmente

debido a este descubrimiento que se les atribuye a estos sobresalientes matemáticos la

invención del Cálculo”1

EJEMPLO: Calcular dxxxx 196 232

1

SOLUCIÓN: Se aplican las propiedades de la integral definida.

2

234234

2

1

2

1

22

1

32

1

42

1

2

1

22

1

32

1

4

2

1

2

1

22

1

32

1

232

1

4

17 1

2

9

3

6

4

12

2

36

3

48

4

16

)1(2

)1(9

3

)1(6

4

1)2(

2

)2(9

3

)2(6

4

2

2

9

3

6

42

9

3

6

4

1 9 6 196

u

xxxx

xxxx

dxdxxdxxdxxdxxxx

EJERCICIO: Calcular dxxsenxxx ln33

1

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

González, J., Ortiz, J., Acosta, A., Azocar, A. (1995). MATEMÁTICA I. Estudios

Generales. Tomo II. Sexta Edición. UNA. Caracas, Venezuela.

Pulcell, E. y Varberg, D. (1993). Cálculo con geometría analítica. Segunda edición,

Prentice Hall Hispanoamericana, S. A. México-Englewood cliffs.

Saenz, J. (1995). Cálculo Diferencial para ciencias e ingeniería. Primera Edición.

Hipotenusa Barquisimeto- Venezuela.

Revisar en línea:

https://es.khanacademy.org/search?page_search_query=integrales

http://fooplot.com/?lang=es#W3sidHlwZSI6MCwiZXEiOiJ4XjIiLCJjb2xvciI6IiMwMDA

wMDAifSx7InR5cGUiOjEwMDB9XQ--

“Defiende tu derecho a pensar, porque incluso pensar de manera errónea es mejor que no

pensar.” Hipatia de Alejandría.

1 Cfr. Swokowski W. Earl “Introducción al Cálculo con Geometría Analítica”. Pág. 243.

https://es.khanacademy.org/search?page_search_query=integrales

http://fooplot.com/?lang=es#W3sidHlwZSI6MCwiZXEiOiJ4XjIiLCJjb2xvciI6IiMwMDAwMDAifSx7InR5cGUiOjEwMDB9XQ--

http://fooplot.com/?lang=es#W3sidHlwZSI6MCwiZXEiOiJ4XjIiLCJjb2xvciI6IiMwMDAwMDAifSx7InR5cGUiOjEwMDB9XQ--

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