Tema ii determinantes algebra lineal uts

PROFESOR: JULIO C BARRETO G ESC: 78 ÁLGEBRA LINEAL

TEMA II: DETERMINANTES Y MATRIZ INVERSA (USANDO CALCULADORA DE

CASIO MODELO FX-570ES PLUS)

ANTECEDENTES HISTÓRICOS1

Los determinantes hicieron su aparición en las matemáticas más de un siglo antes que las

matrices. El término matriz fue creado por James Joseph Sylvester, tratando de dar a entender

que era “la madre de los determinantes”. Algunos de los más grandes matemáticos de los siglos

XVIII y XIX contribuyeron al desarrollo de las propiedades de los determinantes. La mayoría de

los historiadores coinciden en afirmar que la teoría de los determinantes se originó con el

matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) quien fue con Newton, el co

inventor del cálculo diferencial e integral. Leibniz empleó los determinantes en 1693 con

relación a los sistemas de ecuaciones lineales simultáneas. No obstante hay quienes creen que el

matemático japonés Seki Kowa hizo lo mismo unos 10 años antes.

Las contribuciones más prolíficas a la teoría de los determinantes fueron las del matemático

francés Agustin-Louis Cauchy (1789-1857). Cauchy escribió, en 1812 una memoria de 84

páginas que contenía la primera demostración del teorema detAB=detA detB. En 1840 Cauchy

hizo muchas otras contribuciones a las matemáticas. En su texto de cálculo de 1829 Leçons sur

le calcul différential, dio la primera definición razonablemente clara de límite. Cauchy escribió

ampliamente tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas. Solo Euler escribió más.

Cauchy hizo contribuciones en varias áreas, incluyendo la teoría de las funciones reales y

complejas, la teoría de la probabilidad, geometría, teoría de propagación de las ondas y las series

infinitas. A Cauchy se le reconoce el haber establecido nuevos niveles de rigor en las

publicaciones matemáticas. Después de Cauchy, fue mucho más difícil publicar escritos

basándose en la intuición; se exigió una estricta adhesión a las demostraciones rigurosas.

El volumen de las publicaciones de Cauchy fue abrumador. Cuando la Academis Francesa de

Ciencias comenzó a publicar su revista Comptes Rendus en 1835, Cauchy envió su obra para que

se publicara, en poco tiempo los gastos de impresión se hicieron tan grandes, solo por la obra de

Cauchy, que la academia impuso un límite de cuatro cuartillas por cada documento a ser

publicado. Hay algunos otros matemáticos que merecen ser mencionados aquí. El desarrollo de

un determinante por cofactores fue empleado por primera vez por el matemático francés Pierre

de Laplace (1749-1827). Laplace es mejor conocido por la transformación que lleva su nombre

que se estudia en los cursos de matemáticas aplicadas. Un contribuyente principal de la teoría de

los determinantes (estando solo Cauchy antes que él) fue el matemático alemán Carl Gustav

Jacobi (1804-1851), con quien gano la palabra “determinante” ganó la aceptación definitiva. Lo

primero en lo que Jacobi empleó los determinantes fue en las funciones, al establecer la teoría de

las funciones de varias variables. Sylvester llamó más tarde jacobiano a éste determinante.

PRIMEROS CÁLCULOS DE DETERMINANTES

En su sentido original, el determinante determina la unicidad de la solución de un sistema de

ecuaciones lineales. Fue introducido para el caso de orden 2 por Cardano en 1545en su obra Ars

1 Tomado de http://es.wikipedia.org/wiki/Determinante_(matemática)

http://es.wikipedia.org/wiki/Determinante_(matemática)

TEMA II: DETERMINANTES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)

PROFESOR: JULIO C BARRETO G 2 ÁLGEBRA LINEAL

Magna presentado como una regla para la resolución de sistemas de dos ecuaciones con dos

incógnitas. Esta primera fórmula lleva el nombre de regula de modo. La aparición de

determinantes de órdenes superiores tardó aún más de cien años en llegar. Curiosamente el

japonés Kowa Seki y el alemán Leibniz otorgaron los primeros ejemplos casi simultáneamente.

Leibniz estudió los distintos tipos de sistemas de ecuaciones lineales. Al no disponer de la

notación matricial, representaba los coeficientes de las incógnitas con una pareja de índices: así

pues escribía ij para representar aij. En 1678 se interesó por un sistema de tres ecuaciones con

tres incógnitas y obtuvo, para dicho ejemplo, la fórmula de desarrollo a lo largo de una columna.

El mismo año, escribió un determinante de orden 4, correcto en todo salvo en el signo.1 Leibniz

no publicó este trabajo, que pareció quedar olvidado hasta que los resultados fueron

redescubiertos de forma independiente cincuenta años más tarde.

En el mismo periodo, Kowa Seki publicó un manuscrito sobre los determinantes, donde se hallan

fórmulas generales difíciles de interpretar. Parece que se dan fórmulas correctas para

determinantes de tamaño 3 y 4, y de nuevo los signos mal para los determinantes de tamaño

superior. El descubrimiento se queda sin futuro a causa del cierre de Japón al mundo exterior por

órdenes del shōgun, lo que se ve reflejado en la expulsión de los Jesuitas en 1638.

DETERMINANTES DE CUALQUIER DIMENSIÓN

En 1748, en un tratado póstumo de álgebra de MacLaurin aparece la regla para obtener la

solución de un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas cuando n es 2, 3 o 4 mediante el

uso de determinantes. En 1750, Cramer da la regla para el caso general, aunque no ofrece

demostración alguna. Los métodos de cálculo de los determinantes son hasta entonces delicados

debido a que se basan en la noción de signatura de una permutación.

Los matemáticos se familiarizan con este nuevo objeto a través de los artículos de Bézout en

1764, de Vandermonde en 1771 (que proporciona concretamente el cálculo del determinante de

la actual Matriz de Vandermonde). En 1772, Laplace establece las reglas de recurrencia que

llevan su nombre. En el año siguiente, Lagrange descubre la relación entre el cálculo de los

determinantes y el de los volúmenes.

Gauss utiliza por primera vez el término « déterminante », en las Disquisitiones

arithmeticae en 1801. Lo empleaba para lo que hoy día denominamos discriminante de una

cuádrica y que es un caso particular de determinante moderno. Igualmente estuvo cerca de

obtener el teorema del determinante de un producto. En espacios de Hilbert de dimensión infinita

no siempre puede definirse una extensión del determinate con las propiedades que éste tiene en

dimensión finita. Sin embargo si se consideran operadores compactos con traza finita, entonces

puede definirse un análogo del determinante con muchas de sus propiedades.

APARICIÓN DE LA NOCIÓN MODERNA DE DETERMINANTE

Cauchy fue el primero en emplear el término determinante con su significado moderno. Se

encargó de realizar una síntesis de los conocimientos anteriores y publicó en 1812 la fórmula y

demostración del determinante de un producto junto con el enunciado y demostración de la regla

http://es.wikipedia.org/wiki/Determinante_(matem%C3%A1tica)#cite_note-1



de Laplace. Ese mismo año Binet ofreció otra demostración (incorrecta) para la fórmula del

determinante de un producto. Paralelamente Cauchy establece las bases del estudio de

la reducción de endomorfismos. En 1825 Heinrich F. Scherk publicó nuevas propiedades de los

determinantes. Entre las propiedades halladas estaba la propiedad de que en una matriz en la que

una fila es combinación lineal de varias de las demás filas de la matriz el determinante es cero.

Con la publicación de sus tres tratados sobre determinantes en 1841 en la revista

Crelle, Jacobi aporta a la noción una gran notoriedad. Por primera vez presenta métodos

sistemáticos de cálculo bajo una forma algorítmica. Del mismo modo, hace posible la evaluación

del determinante de funciones con instauración del jacobiano, lo que supone un gran avance en la

abstracción del concepto del determinante. El cuadro matricial es introducido por los trabajos

de Cayley y James Joseph Sylvester Cayley es también el inventor de la notación de los

determinantes mediante barras verticales (1841) y establece la fórmula para el cálculo de

la inversa de una matriz mediante determinantes (1858). La teoría se ve reforzada por el estudio

de determinantes que tienen propiedades de simetría particulares y por la introducción del

determinante en nuevos campos de las matemáticas, como el wronskiano en el caso de las

ecuaciones diferenciales lineales.

DETERMINANTES

DEFINICIÓN: Sea .nnijaA

Si ,1n definimos .det 11aA Si ,2n definimos

.det1det1

11

1

n

j

jj

jAaA Por ejemplos:

1. Para ,1n la matriz cuadrada será 11aA y por tanto su determinante será: .det 11aA

2. Para ,2n la matriz cuadrada será

2221

1211

aa

aaA y por tanto su determinante será:

12121111

12121111

1212

3

1111

2

1212

21

1111

11

2

1

11

1

detdetdet

det1detdet

det1det1det

det1det1det

det1det

AaAaA

AaAaA

AaAaA

AaAaA

AaAj

jj

j

Y como los menores son: 2211 aA y ,2112 aA entonces: 21122211det aaaaA



3. Para ,3n la matriz cuadrada será

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A y por tanto su determinante será:

131312121111

131312121111

1313

4

1212

3

1111

2

1313

31

1212

21

1111

11

3

1

11

1

detdetdetdet

detdet1detdet

det1det1det1det

det1det1det1det

det1det

AaAaAaA

AaAaAaA

AaAaAaA

AaAaAaA

AaAj

jj

j

Y como los menores son: ,3332

2322

11

aa

aaA

3331

2321

12aa

aaA y ,

3231

2221

13

aa

aaA entonces:

2. ejemplo elcon acuerdo De

det

detdetdetdet

312232211331233321123223332211

3231

2221

13

3331

2321

12

3332

2322

11

aaaaaaaaaaaaaaaA

aa

aaa

aa

aaa

aa

aaaA

Si aplicamos la propiedad distributiva entonces nos queda:

312213332112322311322113312312332211

312213332112322311322113312312332211

312213322113312312332112322311332211

det

det

det

aaaaaaaaaaaaaaaaaaA

aaaaaaaaaaaaaaaaaaA

aaaaaaaaaaaaaaaaaaA

Que es la misma regla de Sarrus.

NOTA: Se puede usar también la notación AD e inclusive colocar la matriz entre barra .A



DEFINICIÓN DEL MENOR DE UN DETERMINANTE

El menor ijM del elemento ija en el determinante A se obtiene de la matriz A suprimiendo el

i ésimo renglón o fila y la j ésima columna de la matriz .A Por ejemplo, para la matriz

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

Tenemos que:

,,;,,3331

1311

22

3332

1312

21

3231

2221

13

3331

2321

12

3332

2322

11 aa

aaM

aa

aaM

aa

aaM

aa

aaM

aa

aaM

Y así sucesivamente.

4. Hallar el determinante de

523

411

012

A

Como

53

41,

52

411211 AA y ,

23

1113

A entonces d acuerdo con la definición de

determinante se tiene que:

23det

176det

17132det

01251852det

312103451124512det

23

110

53

411

52

412det

A

A

A

A

A

A

Usando calculadora: Sea la matriz:



Luego el determinante es:

NOTA: De manera general se define el determinante de la siguiente forma:

.det1det1

n

j

ijij

jiAaA Para lo cual se puede realizar tomando cualquier columna o fila.

Y para una matriz cuadrada ,3A se toma en cuenta los siguientes signos:

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

1.

dc

ba

dc

ba

ddc

bbadetdetdet

2.

dc

bat

tdc

tbadetdet

3.

dc

ba

ctdc

btbadetdet

4.

cd

ab

dc

badetdet

5. BAAB detdetdet

6. AAT detdet

7. 11 detdet AA



PRUEBAS:

1.

te.determinan de definiciónPor detdetdet

.asociativa propiedadPor det

va.distributi propiedadPor det

te.determinan de definiciónPor det

dc

ba

dc

ba

ddc

bba

bcdacbadddc

bba

cbbcdaadddc

bba

cbbddaddc

bba

2.

te.determinan de definiciónPor detdet

común).(Factor vadistributi Porpiedad det


dc

bat

tdc

tba

bcadttdc

tba

tbcatdtdc

tba

3.


nCancelació det

va.distributi Propiedad det


dc

ba

dtc

bta

bcaddtc

bta

tbdcbtbdaddtc

bta

btdcdtbadtdc

btba



4.


opuesto. elemento del Existencia det


cd

ab

dc

ba

adbcdc

ba

bcaddc

ba

EJERCICIO: Demostrar las propiedades 5, 6 y 7.

EJERCICIOS:

1. Sea ,

01

11

221

aa

aA encuentre .det A

2. Sean ,

723

413

102

A .

241

512

513

B Encuentre:

a) .det BA

b) .detdet BA

c) .7det A

d) .det B

e) .det AB

f) .det BA

3. Sea ,coscos

sensenA si ,

3

4 encuentre .det A

4. Encuentre los valores de x para los cuales

x

xx

xx

102

0

01

det es cero.

5. Sea .nnijaA

Si

TA es la matriz transpuesta de la matriz ,A entonces .detdet AAT

6. Sean ., KMBA n Demuestre que .detdetdet BAAB



7. Si ,1i encuentre .

32

712

31

det

iii

ii

ii

8. ¿Existe una matriz ,A tal que al multiplicarla por

031

740

257

B resulte:

2det AB ?

9. Sean Rc y ,3 KMA demuestre que .detdet 3 AccA En general, sean Rc y

,KMA n demuestre que .detdet AccA n

10. Sean Rxxx 321 ,, demuestre que .1

1

1

det 231312

2

33

2

22

2

11

xxxxxx

xx

xx

xx

Demuestre

que en general se cumple que:

.

1

1

1

det

1

1

22

1

11

ji

ij

n

nn

n

n

xx

xx

xx

xx

Este determinante se conoce con el nombre de determinante de Vandermonde.

11. Sea

.

10

01

10

01

2121

2121

2121

2121

yyyy

yyyy

xxxx

xxxx

A Demuestre que

.det 22121121 yxyxyxyxA

12. Calcule .

410

141

014

det

13. Demuestre que si .A y B son matrices semejantes de orden ,n entonces .detdet BA

14. ¿Será cierto que BABA detdetdet ?

15. ¿Será cierto que si ,cos

cos

sen

senA entonces 1det A ?



PRODUCTO DE MATRICES PARTICIONADAS

Supongamos que tenemos dos matrices cuadradas (aunque no necesariamente tienen que ser

cuadradas como veremos más abajo) BA, de orden .n Dividamos las matrices A y B en

bloques como se muestra a continuación:

2

1

22

12

21

11

21

m

m

A

A

A

AA

pp

y

2

1

22

12

21

11

21

p

p

B

B

B

BB

nn

Las matrices A y B se han dividido en cuatro bloques (se pueden considerar más bloques) cada

una de manera que:

11A es una matriz de orden 11 pm




11B es una matriz de orden 11 np




Y además

nnnmmpp 212121

Observa que el número de columnas de cada bloque de la matriz A es igual al número de

columnas del correspondiente bloque de la matriz y la partición en bloques que se han hecho de

las columnas de A se han realizado en la filas de .B

Entonces se puede demostrar que el producto de las matrices A y B es igual a

22221221

22121211

21221121

21121111

22

12

21

11

22

12

21

11

BABA

BABA

BABA

BABA

B

B

B

B

A

A

A

AAB

Ahora bien en general para cualquier par de matrices cualesquiera que puedan multiplicarse

tenemos: Sean ,KMA rm .KMB nr Entonces sí A y B se dividen o particionan en

submatrices

23

13

22

12

21

11

A

A

A

A

A

AA y

32

22

12

31

21

11

B

B

B

B

B

B

B



De tal manera que el número de columnas de ijA es igual al número de filas o renglones de jiB y

tal que el número de columnas de ijA y jiA ,1 son iguales, para todas i y ,j entonces

322322221221

321322121211

312321221121

311321121111

BABABA

BABABA

BABABA

BABABAAB

Por ejemplo, sean las matrices ,

652

501

321

A .

8

1

4

B Hagamos las particiones de abajo y

multipliquemos:

matrices. de como números de tantosuma de soperacione la Realizando

61

44

30

s.submatrice las de producto el Realizando

53

40

8

4

2424

anterior. fórmula lacon acuerdo De

8

1

65

504

2

1

8

13241

8

14

65

50

32

2

11

Ejercicios:

a) Dadas las Matrices particionadas ,

19

27

96

75

4

3

2

1

A

9013

7621

5432

B

Encuentre AB usando particiones.

b) Muestre que el producto de las siguientes matrices da ese resultado, usando matrices

particionadas, lo cual es una ayuda cuando las matrices son muy grandes:

1215516

921297

12194114

56101

3060

1512

1262

0112

2063

1512

3251

2101



MATRIZ ADJUNTA

Sea ij

ji

ij MA

1 el cofactor del elemento ija de la matriz cuadrada .A Entonces, por

definición, la matriz adjunta de ,A denotada ,adjA es

* .:

21

22212

12111

nnnn

n

n

T

ij

AAA

AAA

AAA

AadjA

Por ejemplo, si la matriz es ,

433

232

321

A entonces calculemos los cofactores:

122311,423211,533221

,332311,533411,133421

,333321,232421,632431

6

33

5

32

4

31

5

23

4

22

3

21

4

13

3

12

2

11

AAA

AAA

AAA

Por tanto, de acuerdo con la fórmula * debemos colocarlo en una matriz transpuesta según el

arreglo siguiente:

.

133

452

516

adjA

Ç

MATRIZ NO SINGULAR

Una matriz cuadrada cuyo determinante no se anula se conoce como matriz no singular o de

“rango completo”. Por ejemplo, sea la matriz

753

432

321

A

Es una matriz singular ya que se puede verificar que:

091031214220211 A



INVERSA DE UNA MATRIZ

Si B y C son matrices cuadradas tales que ,ICBBC entonces la matriz B se llama la

inversa de la matriz C y la matriz C es la matriz inversa de la matriz .B La notación común

para la inversa se escribe 1B y .1C

TEOREMA: Si IBC y B es no singular, entonces ,1 BC lo cual significa que la inversa

es única.

EJERCICIOS:

1. Demostrar el TEOREMA.

2. Si A y B son matrices cuadradas no singulares, entonces .111 ABAB

3. Si A es una matriz cuadrada no singular, entonces ACAB implica que .CB

El concepto de inversión de matrices es útil para resolver n ecuaciones lineales independientes.

Considere

nnnnnn

n

n

b

b

b

x

x

x

aaa

aaa

aaa

2

1

2

1

21

22212

12111

Donde ix representa las incógnitas y ija y ib son constantes. Estas n ecuaciones pueden

escribirse en la forma .bAx Ya que las ecuaciones son independientes, se deduce que A es no

singular. Por consiguiente bAAxA 11 ó bien, bAx 1 da la solución de las n incógnitas.

MÉTODOS PARA CALCULAR LA INVERSA DE UNA MATRIZ

MÉTODO DE LA MATRIZ ADJUNTA

Dado que A es una matriz no singular de tamaño ,n si 0A entonces definimos

nnnn

n

n

AAA

AAA

AAA

AadjA

AA

21

22212

12111

1 11

Por ejemplo, para la matriz



,

433

232

321

A

Tenemos que

079469636826121

33

323

43

222

43

231

131312121111

MaMaMaA

Y como del ejemplo anterior tenemos que

.

133

452

516

adjA

Por tanto

.

7

1

7

3

7

37

4

7

5

7

27

5

7

1

7

6

133

452

516

7

11

A

MÉTODO DE MATRICES PARTICIONADAS

Sea las matrices no singulares A y B de tamaño ,n particionadas como se muestra abajo, de

manera que 11A es no singular.

qq

A

qp

A

pq

A

pp

A

A22

12

21

11

y

qq

B

qp

B

pq

B

pp

B

B22

12

21

11

Si B es la matriz inversa de la matriz ,A de nIAB tenemos:

pIBABA 21121111

022121211 BABA



También, de nIBA tenemos

021221121 ABAB

qIABAB 22221221

Ya que 11A es no singular, esto es, ,011 A despejando para ,11B ,12B 21B y ,22B se obtiene

1

1121

1

12

1

11

1

1111

AADAAAB

1

12

1

1112

DAAB

1

1121

1

21

AADB 1

22

DB

Donde 12

1

112122 AAAAD

Para ilustrar el uso de estas fórmulas, considere el mismo ejemplo dado anteriormente

,

43

23

3

2

321

A

Donde, ,111 A ,3212 A

3

221A y

43

2322A .Es obvio que 1

1

11

A y además

53

41321

3

2

43

23D

Luego,

7

1

7

37

4

7

5

13

45

7

11D

Por consiguiente,

7

611B y

7

5

7

112B

7

37

2

21B y

7

1

7

37

4

7

5

22B

Lo cual da directamente .1 AB



EJERCICIOS:

1. Dadas las matrices

273

852

941

A y

1063

849

217

B

Encuentre 1A y 1B utilizando:

a) El método de la matriz adjunta.

b) El método de matrices particionadas.

2. Verifique las formulas dadas para el método de matrices particionadas.

3. Encuentre la inversa de

BH

GA

1

Donde B es una matriz no singular.

EJERCICIOS VARIADOS:

1) Determina, en caso que exista, la matriz inversa de cada una de las matrices:

a)

1000

3211

1310

2101

A

b)

cos

cos

sen

senB , .R

2) Sea la matriz .10

21

A Hallar .1A

3) Sea la matriz ,3

21

aA ¿Cuál es el valor de a si .?

13

271

A

4) Determina, en caso que exista, la matriz inversa de cada una de las matrices usando tanto

el método de la matriz adjunta como el método de matrices particionadas:

a)

110

011

101

A b)

121

102

123

C

5) ¿Es cierto que toda matriz cuadrada es invertible? ¿El hecho de ser un matriz cuadrada es

una condición necesaria o suficiente para ser invertible?



6) Verifica:

a) Si A y B son matrices invertibles del mismo orden, entonces las matrices AB y BA

son invertibles. ¿Cuáles son las inversas de AB y BA?

b) Toda matriz diagonal sin ceros en la diagonal principal es invertible. Calcular la inversa

y muestra algunos ejemplos (Considere determinantes).

c) Toda matriz triangular superior (inferior) sin ceros en la diagonal principal es invertible.

d) Sea A una matriz invertible simétrica. Demuestre que TA y es invertible y que

.11 TT AA

7) Una matriz cuadrada A se dice que es ortogonal si .1 TAA verifica que las matrices

siguientes son ortogonales:

a)

11

11

2

1A

b)

1100

0011

1100

0011

2

2C

c)

100

02

2

2

2

02

2

2

2

B

ANEXO I: OTROS MÉTODOS DE CÁLCULO

Para el cálculo de determinantes de matrices de cualquier orden, existe una regla recursiva

(teorema de Laplace) que reduce el cálculo a sumas y restas de varios determinantes de un orden

inferior. Este proceso se puede repetir tantas veces como sea necesario hasta reducir el problema

al cálculo de múltiples determinantes de orden tan pequeño como se quiera. Sabiendo que el

determinante de un escalar es el propio escalar, es posible calcular el determinante de cualquier

matriz aplicando dicho teorema.

Además de esta regla, para calcular determinantes de matrices de cualquier orden podemos usar

otra definición de determinante conocida como Fórmula de Leibniz.

La fórmula de Leibniz para el determinante de una matriz cuadrada A de orden n es:



Donde la suma se calcula sobre todas las permutaciónes σ del conjunto {1,2,...,n}. La posición

del elemento i después de la permutación σ se denota como σi. El conjunto de todas las

permutaciones es Pn. Para cada σ, sgn(σ) es la signatura de σ, esto es +1 si la permutación es par

y −1 si es impar (Paridad de permutaciones). En cualquiera de los sumandos, el término

denota el producto de las entradas en la posición (i, σi), donde i va desde 1 hasta n:

La fórmula de Leibniz es útil como definición de determinante; pero, excepto en casos muy

pequeños, no es una forma práctica de calcularlo: hay que llevar a cabo n! productos de n

factores y sumar n! elementos. No se suele usar para calcular el determinante si la matriz tiene

más de tres filas.

ANEXO II: PRIMEROS EJEMPLOS: ÁREAS Y VOLÚMENES

El cálculo de áreas y volúmenes bajo forma de determinantes en espacios euclídeos aparecen

como casos particulares de una noción más general de determinante. La letra mayúscula D (Det)

se reserva a veces para distinguirlos.

DETERMINANTE DE DOS VECTORES EN EL PLANO EUCLÍDEO

Sea P el plano euclídeo. El determinante de los vectores X y X' se obtiene con la expresión

analítica

O, de manera equivalente, por la expresión geométrica

En la cual es el ángulo orientado formado por los vectores X y X'.

PROPIEDADES

El valor absoluto del determinante es igual a la superficie del paralelogramo definido

por X y X' ( es en efecto la altura del paralelogramo, por lo que A = Base × Altura).

El determinante es el área azul orientada.



El determinante es nulo si y sólo si los dos vectores son colineales (el paralelogramo se

convierte en una línea).

Su signo es estrictamente positivo si y sólo si la medida del ángulo (X, X ') se encuentra en

]0, [.

La aplicación del determinante es bilineal: la linearidad respecto al primer vector se escribe

Y respecto al segundo

La figura de abajo, en el plano, ilustra un caso particular de esta fórmula. Representa dos

paralelogramos adyacentes, uno definido por los vectores u y v (en verde), y otro por los vectores

u' y v (en azul). Es fácil ver sobre este ejemplo el área del paralelogramo definido por los

vectores u+u' y v (en gris): es igual a la suma de los dos paralelogramos precedentes a la cual se

sustrae el área de un triángulo y se añade el área de otro triángulo. Ambos triángulos se

corresponden por translación y la fórmula siguiente se verifica

u', v)., v)+Det ( v)=Det (uDet (u+u',

Suma de las áreas de dos paralelogramos adyacentes.

El dibujo corresponde a un caso particular de la fórmula de bilinealidad ya que las orientaciones

han sido elegidas de manera que las áreas tengan el mismo signo, aunque ayuda a comprender el

contenido geométrico.

GENERALIZACIÓN

Es posible definir la noción de determinante en un plano euclídeo orientado con una base

ortonormal directa B utilizando las coordenadas de los vectores en esta base. El cálculo del

determinante da el mismo resultado sea cual sea la base ortonormal directa elegida para el

cálculo.

DETERMINANTE DE TRES VECTORES EN EL ESPACIO EUCLÍDEO

Sea E el espacio euclídeo orientado de dimensión 3. El determinante de tres vectores de E se da

por



Este determinante lleva el nombre de producto mixto

PROPIEDADES

El valor absoluto del determinante es igual al volumen de paralelepípedo definido por los tres

vectores.

El determinante es nulo si y sólo si los tres vectores se encuentran en un mismo plano

(paralelepípedo "plano").

La aplicación determinante es trilineal: sobre todo

Una ilustración geométrica de esta propiedad se da en la figura de abajo con dos

paralelepípedos adyacentes, es decir con una cara común. La igualdad siguiente es

entonces intuitiva: .

Ilustración gráfica de la trilinealidad.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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A de C. V. Noriega Editores. México.

Barreto, J. (2015). Introducción al algebra lineal con aplicaciones a los circuitos

eléctricos, al balanceo de ecuaciones químicas, a la investigación de operaciones y la

programación lineal. Colección de Universitaria. Volume 1. Spanish Edition. ISBN-

10: 1506029175. ISBN-13: 978-1506029177. Año 2015.

https://www.createspace.com/5230822

Luís, González. (1981). Álgebra II. Universidad Nacional Abierta. Décima primera

reimpresión 2007. Caracas, Venezuela.

Tom Apóstol. (2005). Calculus. Cálculo con funciones de varias variables y álgebra

lineal, con aplicaciones a las ecuaciones diferenciales y a las probabilidades. Editorial

Reverté.

Serge Lang. (1976). Álgebra Lineal. Fondo Interamericano S. A. México D. F

“El primer paso hacia la sabiduría es el reconocimiento de la propia ignorancia”

Siddhartha

https://www.createspace.com/5230822

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