UNIVERSIDAD NACIONAL DE RÍO CUARTOFACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS

ÁLGEBRA LINEAL - Año 2012Notas de Cátedra correspondientes a la UNIDAD DOS

DETERMINANTES*

Definición

El determinante de orden n es una función cuyo dominio es el conjunto de

matrices cuadradas con elementos reales y su codominio es el conjunto de

los números reales. Esta función a cada matriz cuadrada le hace

corresponder un número real que se denomina el determinante de la

matriz. En forma simbólica:nxn

nxn

f : R R A A

®

®

Por tanto, f(A) = A es conocido como determinante de la matriz A. El

determinante de una matriz A también puede denotarse por det (A) ó

D(A). Es decir, toda matriz cuadrada tiene asociado un número que es su

determinante.

Al ser una función, a cada matriz cuadrada le corresponde un único número

real. Ahora bien ¿cómo se obtiene ese número real denominado

determinante de A? Este valor surge de realizar una suma algebraica en la

que cada término es un producto entre los elementos de la matriz y cada

factor pertenece a una sola fila y a una sola columna.

Aclaración. No se debe confundir las barras que denotan el determinante de

una matriz cuadrada con las barras utilizadas para denotar el valor absoluto

de un número real.

* Material elaborado en el año 2011 y corregido en el año 2012 por la Prof. Maríadel Carmen REGOLINI. FCE. UNRC.

DETERMINANTES

2

Definición

Si A es una matriz de orden 1x1, es decir, 11A a= é ùë û entonces

11 A a=

Ejemplos

Sean A 5= é ùë û y B 12= -é ùë û entonces los determinantes de las

matrices A y B son respectivamente, A 5 5= = y B = -12 =-12

¿Cómo se obtienen los determinantes de matrices de orden 2x2 y 3x3?. Una

de las posibilidades es a través de la regla de Sarrus.

REGLA DE SARRUS

§ Para matrices de orden 2x2

El determinante de una matriz A de orden 2x2 es la diferencia entre “el

producto de los elementos de la diagonal principal” y “el producto de los

elementos de la diagonal secundaria”. En símbolos

11 122x2 11 22 12 21

21 22

a a A = = a . a - a . a

a a

Ejemplo

El determinante de la matriz2 3

A0 5

é ù= ê úë û

es

2 3 A = 2 . 5 - 3 . 0 = 10

0 5=

§ Para matrices de orden 3x3

El determinante de una matriz A de orden 3x3 es la diferencia entre “la

suma de los productos de los elementos de la diagonal principal y de los

productos de cada una de sus paralelas” y “la suma de los productos de los

elementos de la diagonal secundaria y de los productos de cada una de sus

paralelas”.

DETERMINANTES

3

En símbolos, sea la matriz11 12 13

3x3 21 22 23

31 32 33

a a a A = a a a

a a a

é ùê úê úê úë û

entonces

3x3 11 22 33 21 32 13 31 12 23 13 22 31 23 32 11 33 12 21 A = (a a a +a a a +a a a ) - (a a a +a a a +a a a )

Una sugerencia!!!!!!! Para poder identificar bien los elementos de las

distintas diagonales que intervienen en el cómputo del determinante se

puede armar una matriz con cinco filas siendo las tres primeras las de la

matriz dada y las dos restantes iguales a la primera y segunda

respectivamente, es decir

11 12 13

21 22 23

31 32 33

11 12 13

21 22 23

a a aa a aa a aa a aa a a

é ùê úê úê úê úê úê úë û

Los elementos de la diagonal principal de la matriz A3x3 son: a11, a22 y a33 y,

los elementos de la primera paralela a esta diagonal son: a21, a32 y a13

finalmente, los elementos de la segunda paralela a la diagonal principal son:

a31, a12 y a23. De manera similar se identifican los elementos en la diagonal

secundaria de la matriz A3x3: a13, a22 y a31 y, los elementos de sus paralelas

respectivamente por: a23, a32 y a11; y a33, a12 y a21

A tener en cuenta. Se puede recurrir a este artilugio para identificar cuáles

son los elementos que conforman las diagonales, pero se debe tener

presente que el determinante se calcula a una matriz cuadrada.

Ejemplo

El determinante de la matriz0 1 5

A 3 -6 92 6 1

é ùê ú= ê úê úë û

aplicando la Regla de Sarrus

es

DETERMINANTES

4

0 1 5 A = 3 -6 9 = 0.(-6).1+3.6.5+2.1.9 - 5.(-6).2+9.6.0+1.1.3 =

2 6 1

= 0+90+18+60-0-3 = 165

é ù é ùë û ë û

En definitiva, A = 165

Propiedades del determinante

§ El determinante de una matriz y el de su traspuesta son iguales.nxn t A R A A" Î =

A partir de esta propiedad, cualquier resultado acerca del determinante de

una matriz A que esté relacionado con las filas de A tiene una propiedad

análoga relacionada con las columnas de A y viceversa.

§ Si A tiene una fila nula entonces su determinantes es cero.

§ Si A tiene dos filas paralelas iguales entonces su determinante es

cero.

§ Si una fila de una matriz A es el resultado de alguna operación

efectuada con las restantes filas de la matriz entonces el

determinante de A es cero.

Observación. Esta propiedad por lo general se enuncia: “Si una línea de una

matriz A es combinación lineal de las restantes líneas de A entonces el

determinante de la matriz es cero”.

DETERMINANTES DE MATRICES ESPECIALES

§ Si A es una matriz triangular (superior o inferior) entonces su

determinante es el producto de los elementos de la diagonal

principal. En símbolos:

DETERMINANTES

5

11 12 1n

22 2n11 22 nn

nn

a a ... a0 a ... a

A entonces A a . a . . a

0 0 ... a

é ùê úê ú= =ê úê úë û

L

M M M M

11

21 2211 22 nn

n1 n2 nn

a 0 ... 0a a ... 0

A entonces A a . a . . a

a a ... a

é ùê úê ú= =ê úê úë û

K

M M M M

· Si A es una matriz diagonal entonces su determinante es el producto

de los elementos de la diagonal principal.

11

22nxn 11 22 nn

nn

a 0 ... 00 a ... 0

A entonces A a . a . . a

0 0 ... a

é ùê úê ú= =ê úê úë û

L

M M M M

· Si A es una matriz escalar entonces su determinante es la potencia

n-ésima del escalar. En símbolos

nnxn

k 0 ... 00 k ... 0

A entonces A k

0 0 ... k

é ùê úê ú= =ê úê úë û

M M M M

En particular el determinante de la matriz identidad es uno, es decir,

| In | = 1.

· Sean las matrices A y B matrices cuadradas con n filas y a є R

I. En general | A + B | ≠ | A | + | B |

La demostración de esta propiedad se realiza a través de un contraejemplo.

DETERMINANTES

6

Para las matrices1 2 3 1

A y B2 5 1 3

é ù é ù= =ê ú ê úë û ë û

la matriz suma es

4 3A B

3 8é ù

+ = ê úë û

y sus respectivos determinantes son | A | = 1 | B | = 8 y

| A + B | = 23. Como 1 + 8 ≠ 23 se demuestra la propiedad enunciada.

II. | A . B | = | A | . | B |

III. | a . A | = an . | A |

La validez de las dos últimas propiedades “puede comprobarse” empleando

las matrices A y B anteriores

5 7A . B y A . B 8 = 1 . 8 = A . B

11 17é ù

= =ê úë û

2 23 63 . A y 3 . A 9 = 3 . 1 = 3 . A

6 15é ù

= =ê úë û

OPERACIONES ELEMENTALES Y DETERMINANTE

¿Cómo cada una de las operaciones elementales al determinante de una

matriz? Para comenzar a analizarlo, sin pérdida de generalidad, se tomará

una matriz A genérica de orden 2x2 y a partir de ella, se obtendrán tres

matrices diferentes, cada una de ellas surgirá de la matriz A por la

aplicación de una única operación elemental.

Sea 11 12

21 22

a aA

a aé ù

= ê úë û

· Intercambiando las filas de A se obtiene la matriz 21 221

11 12

a aB =

a aé ùê úë û

DETERMINANTES

7

· Multiplicando la primera fila de A por un escalar no nulo se logra la

matriz 11 122

21 22

. a . aB = con 0

a aa aé ù

a ¹ê úë û

.

· Sumando a la primera fila de A la segunda multiplicada por el escalar

b surge la matriz 21 11 22 123

21 22

. a a . a aB =

a ab + b +é ùê úë û

Calculando los determinantes de estas cuatro matrices se obtiene:

11 1211 22 12 21

21 22

a a A = = a . a - a . a

a a

21 221 21 12 11 22

11 12

a a B = = a . a - a . a

a a

( )11 122 11 22 12 21 11 22 12 21

21 22

a a B = = a . a - a . a = a . a - a . a

a aa a

a a a

( ) ( )21 11 22 123 21 11 22 22 12 21

21 22

21 22 11 22 22 21 12 21 11 22 12 21

a a a a B = = a a a - a a a

a a

a a a a - a a a a a a - a a

b + b +b + b + =

= b + b - =

Comparando los determinantes de las matrices B1, B2 y B3 con el

determinante de la matriz A se pueden establecer las siguientes relaciones

1 B A= - 2 B A= a con 0a ¹ 3 B A= Analizarlo!!!

A partir de esto, el determinante de la matriz A puede ser expresado por:

1 A B= - 2 1 A B=a

con 0a ¹ 3 A B= ¿Por qué?

En general, sea Bnxn la matriz equivalente a la matriz Anxn que surge al

aplicarle a la matriz A una sola operación elemental.

· Intercambiando líneas paralelas el determinante cambia de signo.

Simbólicamente: | B | = - | A |

DETERMINANTES

8

· Multiplicando una línea de la matriz por un escalar distinto de cero, el

determinante se multiplica por dicho escalar. En símbolos,

| B | = a | A |

· Adicionando a una línea otra previamente multiplicada por un escalar

el determinante no varía. Simbólicamente: | B | = | A |

Ejercicio a cargo del lector

a) Obtenga una matriz B equivalente a la matriz0 1 5

A 3 -6 92 6 1

é ùê ú= ê úê úë û

aplicando

dos operaciones elementales diferentes por filas.

b) Calcule el determinante de la matriz B.

c) Exprese el determinante de la matriz B como un producto de números

reales empleando el factor 165 porque corresponde al determinante de la

matriz A.

Ejercicio

Exprese alguna conclusión a partir del resultado obtenido en el inciso c) del

ejercicio anterior y los efectos de las operaciones elementales en el cálculo

del determinante de una matriz.

MENOR COMPLEMENTARIO

Dada una matriz cuadrada A, el menor complementario de cada elemento aij

denotado por aij es el determinante de la submatriz que se obtiene al

eliminar la fila i y la columna j de la matriz A.

Cada elemento de la matriz A tiene un menor complementario y para

calcularlo se debe eliminar la fila y columna del elemento en cuestión para

finalmente calcular el determinante de la submatriz resultante.

DETERMINANTES

9

Para simbolizarlo se considerará una matriz11 12 13

3x3 21 22 23

31 32 33

a a a A = a a a

a a a

é ùê úê úê úë û

El menor complementario del elemento a11 se denota por a11 y se debe

calcular a partir del determinante 22 23

32 33

a aa a

es decir, 22 2311

32 33

a aa a

a =

El valor del determinante se puede obtener aplicando alguna de las

propiedades enunciadas si correspondiera o utilizar la regla de Sarrus dada

anteriormente. Por tanto, 22 2311 22 33 32 23

32 33

a a = = a . a - a . a

a aa

De manera similar, el menor complementario del elemento a21, denotado

por a21 es 12 1321 12 33 13 32

32 33

a a = = a . a - a . a

a aa

Ejercicio

Calcular los menores complementarios de los restantes elementos de la

matriz anterior.

ADJUNTO O COFACTOR DE UN ELEMENTO

El adjunto o cofactor de cada elemento aij de la matriz A se denota por Aij y

se define como Aij = (-1)i+j . aij

Para hallar el adjunto o cofactor de cada elemento de una matriz A se debe

calcular su menor complementario y multiplicarlo por el factor (-1)i+j donde

i+j es la suma de los subíndices que indican la posición del elemento aij.

Analizando que la suma entre i y j puede ser un número par o impar se

tiene

Aij = aij cuando i + j es par

Aij = - aij cuando i + j es impar

DETERMINANTES

10

MATRIZ ADJUNTA

Para toda matriz cuadrada A de orden nxn es posible obtener su matriz

adjunta, denotada por Adj(A), formada por los adjuntos de cada uno de los

elementos de A pero expresados en forma traspuesta.

En forma simbólica, para la matriz

11 12 1n

21 22 2nnxn

n1 n2 nn

a a ... aa a ... a

A

a a ... a

é ùê úê ú=ê úê úë û

M M M M

su matriz

adjunta es

11 21 n1

12 22 n2

1n 2n nn

A A ... AA a ... A

Adj (A)

A A ... A

é ùê úê ú=ê úê úë û

M M M M

MÉTODOS DE CÁLCULO DEL DETERMINANTE DE UNA MATRIZCUADRADA

Es importante tener presente que, antes de utilizar cualquiera de los

métodos que se describen a continuación se debe “tratar” de calcular el

valor del determinante aplicando alguna de las propiedades recientemente

enunciadas.

DESARROLLO DEL DETERMINANTE POR LOS ELEMENTOS DE UNALÍNEA

Este método emplea para el cálculo del determinante los adjuntos de cada

uno de los elementos de una determinada línea de una matriz y la relación

que existe entre el adjunto y el menor complementario.

En lo que sigue, se exhibe cómo se expresa en forma simbólica el cálculo

del determinante por los elementos de una línea partiendo del determinante

de una matriz de orden 3x3 obtenido mediante la Regla de Sarrus.

Dada una matriz A de orden 3x3, su determinante obtenido por la Regla de

Sarrus se expresa mediante

3x3 11 22 33 21 32 13 31 12 23 13 22 31 23 32 11 33 12 21 A = a a a + a a a + a a a - a a a - a a a - a a a

DETERMINANTES

11

sacando factor común a11, a21 y a31, la expresión anterior queda

3x3 11 22 33 23 32 21 32 13 33 12 31 12 23 13 22 A = a (a a - a a ) + a (a a - a a ) + a (a a - a a )

En cada término de la suma anterior, lo que está entre paréntesis

corresponde a los menores complementarios de los elementos a11, a21 y a31

respectivamente, es por ello que, la expresión anterior puede reescribirse

como

3x3 11 11 21 21 31 31

1+1 2+1 3+111 11 21 21 31 31

A = a . + a . (- ) + a . =

= a . (-1) . + a . (-1) . + a . (-1) .

a a a

a a a

Tomando en consideración la relación que existe entre el adjunto de cada

elemento y su menor complementario, el determinante de A se expresa

3

3x3 11 11 21 21 31 31 i1 i1i=1

A = a . A + a . A + a . A = a . Aå

¿Por qué, en la expresión anterior, el subíndice j de cada aij y cada Aij son

siempre iguales a uno? Simplemente porque el determinante de la matriz A

se desarrolla por los elementos de la primera columna. ¿Y qué sucede con el

subíndice i en cada término? Analizarlo!!!!!!!!!!!

En definitiva “El determinante se puede calcular como la suma de los

productos de cada elemento de una línea (fila o columna) por su respectivo

adjunto”. Esta forma es la que se conoce como desarrollo del determinante

por los elementos de una línea o fórmula de Laplace.

En general, para una matriz Anxn su determinante se puede calcular

haciendon n

i+jnxn i j i j i j i j

i=1 i=1 A = a . A = a . (-1) . aå å para j fijo cuando se lo

desarrolla por una columna.

DETERMINANTES

12

O tambiénn n

i+jnxn i j i j i j i j

j=1 j=1 A = a . A = a . (-1) . aå å para i fijo cuando se lo

desarrolla por una fila.

Ejemplo

El determinante de la matriz0 1 5

A 3 -6 92 6 1

é ùê ú= ê úê úë û

desarrollado por los

elementos de su primera columna es

1 1 2 1 3 1

0 1 5-6 9 1 5 1 5

A = 3 -6 9 = 0.( 1) 3.( 1) 2.( 1) = 6 1 6 1 -6 9

2 6 1

= 0 + 3.(-1).(1-30) + 2.1.(9-(-30)) = 0 + 87 + 78 = 165

+ + +- + - + -

Luego, ½ A ½= 165

Ejercicio

a) Calcular el determinante de0 1 5

A 3 -6 92 6 1

é ùê ú= ê úê úë û

por los elementos de la

tercera fila.

b) ¿Por qué el resultado obtenido en este ejercicio coincide con el del

ejemplo inmediato anterior? Justificarlo.

Propiedad

La suma de los productos de los elementos de una línea por los adjuntos o

cofactores de una paralela es igual a cero.

DETERMINANTES

13

Ejercicio

Demostrar la propiedad anterior para una matriz genérica de orden 3x3.

CÁLCULO DEL DETERMINANTE DE UNA MATRIZ POR REDUCCIÓN A

UNO DE MENOR ORDEN

Este método combina el desarrollo del determinante por los elementos de

una línea con el efecto que produce la aplicación reiterada de las

operaciones elementales por filas en el determinante de una matriz.

Para facilitar su comprensión se comienza con un ejemplo calculando

nuevamente el determinante de la matriz0 1 5

A 3 -6 92 6 1

é ùê ú= ê úê úë û

Inicialmente, se aplicará el método del pivote a la matriz A eligiendo,

arbitrariamente, por pivote el elemento a21 = 3. Como la matriz tiene dos

elementos iguales a uno (a12 = 1 y a33 = 1) cualquiera de ellos se podría

elegir como pivote –lo que facilitaría los cómputos-. Sin embargo, la

elección del elemento a21 como pivote permitirá advertir lo que en realidad

sucede al utilizar este método.

0 1 5

Matriz A 3 - 6 9

2 6 1

0 1 5

Matriz B1 - 2 3

0 10 - 5

Al elegir el elemento a21 = 3 como pivote todos los elementos de la segunda

fila se dividen por él pero, esto es equivalente a indicar que dichos

elementos se multiplican por 13

.

DETERMINANTES

14

Sea B la matriz obtenida luego de aplicar en la matriz A las operaciones

elementales por filas y estableciendo la relación que existe entre los

determinantes de ambas se tiene

0 1 5 0 1 5 1 1 B 1 -2 3 = 3 -6 9 = A3 3

0 10 -5 2 6 1=

Sin embargo, se quiere calcular el determinante de A por lo que,

{

pivote

0 1 5 A 3 B 3 1 -2 3

0 10 -5= =

A continuación, se desarrolla este último determinante por los elementos de

la primera columna.

Retomando el cálculo anterior{

pivote

0 1 5 A 3 1 -2 3

0 10 -5= =

( ) ( )( )

1 1 2 1 3 1

determinante de unamatriz de orden (3-1)x(3-1)

-2 3 1 5 1 53 0.( 1) 1.( 1) 0.( 1)

10 -5 10 -5 -2 3

1 53 0+(-1) 0 = 3 ( 1) 1 5 5 10 = 165

10 -5

+ + +æ ö= - + - + - =ç ÷

è ø

æ öç ÷ç ÷= + - - - +ç ÷ç ÷ç ÷è ø

14444244443

En definitiva, ½ A ½= 165

Para aplicar el método de cálculo del determinante de una matriz A de

orden nxn “por reducción a uno de menor orden” se debe obtener una

matriz equivalente B. A continuación, se debe establecer la relación que

existe entre los determinantes de las matrices equivalentes de acuerdo con

el pivote elegido y se procede a desarrollar el determinante de la matriz B

por aquella columna que tiene la mayor cantidad de ceros -que corresponde

a la columna del pivote elegido-. De esta forma sólo quedará por calcular el

determinante de una matriz orden (n-1) x (n-1). Se reitera el mismo

DETERMINANTES

15

procedimiento hasta que haya que calcular el determinante de una matriz

orden 3x3 o 2x2 y, en cualquiera de estos casos se podría aplicar la Regla

de Sarrus.

Es factible, aplicar este método tantas veces como sea posible. En

numerosos casos, se lo utiliza hasta que el último determinante por calcular

sea el de una matriz de orden 1x1.

Ejercicio

Analizar cuáles son las ventajas de la aplicación de este método.

MATRIZ INVERSA

Una matriz B de orden nxn es la inversa de otra matriz A del mismo orden

si A . B = B . A = In. Habitualmente se simboliza a B como A-1.

Cuando una matriz posee matriz inversa se dice que es regular, no singular

o invertible.

Dadas dos matrices cuadradas del mismo orden, para determinar si son

inversas entre sí se deben multiplicar “en modo conmutado” y comprobar si

el resultado es la matriz identidad.

Teorema

Si una matriz cuadrada tiene inversa entonces la inversa es única.

Demostración

Sea A una matriz de orden nxn y supóngase que posee dos matrices

inversas B y C de órdenes nxn.

De acuerdo con la definición de matriz inversa se cumple que

A . B = B . A = In por ser B inversa de A y además, A . C = C . A = In

por ser C inversa de A.

DETERMINANTES

16

Partiendo de A . B = In

Premultiplicando ambos miembros por la matriz C

C . ( A . B ) = C . In

aplicando en el primer miembro la propiedad asociativa y teniendo en

cuenta en el segundo miembro que la matriz In es elemento neutro para el

producto de matrices cuadradas se obtiene

( C . A ) . B = C

como C es inversa de A

In . B = C

Por ser la matriz In elemento neutro para el producto de matrices

cuadradas, se obtiene que

B = C

Con lo que se concluye que la inversa de A es única. Se supuso que la

matriz A tiene dos inversas B y C, y se llega a la conclusión que B y C son

idénticas.

Propiedades

o La inversa de un producto de dos matrices es igual al producto de las

inversas pero en modo conmutado. Simbólicamente

(Anxn . Bnxn) –1 = B –1 . A -1

Demostración

Se debe demostrar que

( A . B ) . ( B –1 . A –1 ) = ( B –1 . A –1 ) . ( A . B ) = In

Para ello, se calcularán ( A . B ) . ( B –1 . A –1 ) y ( B –1 . A –1 ) . ( A . B )

con el propósito de determinar si son iguales a In.

(A.B).(B–1.A–1) = A.(B.(B–1.A–1)) = A.(( B.B–1).A–1) = A.(In.A–1) = A.A–1 =

= In (1)

DETERMINANTES

17

(B–1.A–1).(A.B) = ((B–1.A–1).A).B) = (B–1.(A–1.A)).B = (B–1.In).B = B–1.B =

= In (2)

como los resultados obtenidos en (1) y (2) son iguales se concluye que

B –1 . A –1 es la inversa de A . B, es decir: ( A . B ) –1 = B –1 . A –1

o Si Anxn es invertible entonces la inversa de la matriz inversa es la

matriz original, en símbolos (A-1 ) –1 = A

Demostración

Surge claramente de la definición de matriz inversa, pues

A-1 . A = A . A-1 = In de donde ( A-1 ) –1 es A.

o La inversa de la traspuesta es igual a la traspuesta de la inversa.

Simbólicamente (At )–1 = (A-1 )t

Demostración

Se debe demostrar que

At . ( A-1)t = ( A-1 )t . At = In

Se calcularán At . ( A-1)t y ( A-1 )t . At con el propósito de determinar si

son iguales a In.

At . ( A-1)t = ( A-1. A )t = ( In )t = In (3)

( A-1)t . At = ( A . A-1)t = ( In )t = In (4)

como los resultados obtenidos en (3) y (4) son iguales se concluye que

( A-1 )t es la inversa de la matriz At.

o La inversa de un producto de escalar por matriz es igual al reciproco

del escalar por la inversa de la matriz siempre que el escalar sea

DETERMINANTES

18

distinto de cero. En forma simbólica (a . A)-1 = (1/ a) . A-1 para

a ≠ 0

Demostración

Se debe demostrar que ( ) -1n

1 . A . . A = Iæ öa ç ÷aè ø y además que

( )-1n

1 . A . . A = Iæ ö aç ÷aè ø

( ) -1 -1 -11 1 1 . A . . A = A . . A = A . . A =æ ö æ öæ ö æ ö æ öa a aç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷a a aè ø è ø è øè ø è ø

( )-1 -1n n

1 1 = . A . A = . . A . A = 1 . I = Iæ öæ ö æ öa aç ÷ç ÷ ç ÷a aè ø è øè ø(5)

( ) ( )( ) ( )( )-1 -1 -11 1 1 . A . . A = . A . . A = . A . . A =æ ö a a aç ÷a a aè ø

( )( ) ( )-1 -1n n

1 1 = . . A . A = . A . A = 1 . I = Iæ öa aç ÷a aè ø(6)

como los resultados obtenidos en (5) y (6) son iguales se concluye que

( ) 1 -11 . A = . A para 0-a a ¹

a.

o La inversa de la suma no es la suma de las inversas, es decir,

(A + B) –1 ¹ A –1 + B –1

La demostración de esta propiedad se realiza a través del siguiente

contraejemplo

Las inversas de las matrices2 1

A3 2

é ù= ê úë û

y2 3

B0 5

é ù= ê úë û

son,

respectivamente

1 2 1A

3 2- -é ù

= ê ú-ë û y 1

312 10B

10 5

--é ù

ê ú= ê úê úë û

Comprobarlo!!!!!!!!!!!!

DETERMINANTES

19

Sin embargo, ( ) 17 116 4A B

3 116 4

--é ù

ê ú+ = ê ú-ê úë û

es diferente de

1 15 132 10A B

113 5

- --é ù

ê ú+ = ê ú-ê úë û

. Con lo cual, queda demostrado que en general

(A + B) –1 ¹ A –1 + B –1

MÉTODOS PARA LA OBTENCIÓN DE LA MATRIZ INVERSA

Existen dos métodos diferentes para el cálculo de la inversa de una matriz

cuadrada en caso de que exista. Uno de ellos, se basa en las operaciones

elementales por filas y el otro, utiliza el determinante de la matriz.

Ahora bien, ¿cuándo una matriz cuadrada tiene inversa? Para contestar este

interrogante se puede recurrir al rango de la matriz o al determinante de la

misma.

· Rango y matriz inversa

Una matriz cuadrada A tiene inversa cuando su rango es máximo. Es decir,

A tiene inversa cuando la matriz reducida de A tiene todas sus filas no

nulas.

Si se tiene en cuenta el valor del rango para indicar si una matriz posee

inversa, el cálculo de ésta se realiza empleando operaciones elementales

por filas y el método correspondiente es el de Gauss – Jordan.

MÉTODO DE GAUSS – JORDAN

Para obtener la matriz inversa de una matriz A de orden nxn, se forma una

nueva matriz de la forma nxn nxn A Ié ùë û y se aplican operaciones elementales

por filas eligiendo los pivotes únicamente en las columnas de A, si se logra

DETERMINANTES

20

que A se convierta en la In, la matriz que queda al lado es la matriz inversa

de A.

El esquema es el siguiente: nxn n -1

n nxn

A I entonces B = A

I Bé ùê úê úë û

.

¿Cómo se justifica?. Para obtener debajo de A la matriz identidad In se

aplican operaciones elementales por filas. Este procedimiento se lleva a

cabo usando la premultiplicación por matrices elementales en forma

sucesiva, es decir, k k-1 3 2 1E

E . E . . . E . E . E . A = I144444444444424444444444443

por lo que

E . A = I (◊)

Pero estas mismas operaciones elementales se realizan en la I que está en

el ángulo superior derecho, obteniéndose k k-1 3 2 1E

E . E . . . E . E . E . I = B144444444444424444444444443

es decir, E . I = B (Δ).

Teniendo en cuenta (◊) y (Δ) queda: E . A = I y E . I = B como la

matriz I es elemento neutro para el producto de matrices cuadradas se

obtiene E = B reemplazando en (◊) B . A = I por lo que B = A-1.

Una matriz inversa es el resultado de un producto finito de matrices

elementales. Analizarlo!!!!!!!!!!!

Teorema

Toda matriz elemental es invertible y la inversa es también una matriz

elemental.

Ejemplo

Sea2 1

A3 2é ù

= ê úë û

para determinar si tiene matriz inversa se forma una nueva

matriz con la I2 de la siguiente manera:2 1 1 03 2 0 1

é ùê úë û

DETERMINANTES

21

A esta matriz de orden 2x4 se le aplica el Método de Gauss – Jordan. Si se

consigue la matriz I2 debajo de A entonces la matriz que está a su derecha

es la inversa de A.

2 1 1 0

3 2 0 1

2 1 1 0

- 1 0 - 2 1

0 1 - 3 2

1 0 2 - 1

1 0 2 -1

0 1 - 3 2

¿Por qué ha sido necesario utilizar la operación elemental “intercambio de

filas paralelas” en la tabla anterior? Analizar!!!!!!!!!!!!!!

De la forma reducida de A se determina que el rango de A es 2, entonces la

matriz 2 13 2

-é ùê ú-ë û

es la inversa de A, y se expresa como 1 2 1A

3 2- -é ù

= ê ú-ë û

· Determinante y matriz inversa

Una matriz cuadrada A tiene inversa cuando su determinante es distinto de

cero.

Pero, antes de exhibir cómo se calcula la inversa de una matriz regular

empleando su determinante se demuestra la siguiente propiedad

En toda matriz cuadrada Anxn se cumple que:

nxnA . Adj (A) Adj (A) . A A . I= =

Demostración

Sin pérdida de generalidad se considerará una matriz cuadrada de orden

3x3.

DETERMINANTES

22

11 12 13 11 21 31

21 22 23 12 22 32

31 32 33 13 23 33

a a a A A AA . Adj (A) a a a . A A A

a a a A A A

é ù é ùê ú ê ú= =ê ú ê úê ú ê úë û ë û

11 11 12 12 13 13 11 21 12 22 13 23 11 31 12 32 13 33

21 11 22 12 23 13 21 21 22 22 23 23 21 31 22 32 23 33

31 11 32 12 33 13 31 21 32 22 33 23 31 31 32 32 33 33

a A a A a A a A a A a A a A a A a A a A a A a A a A a A a A a A a A a A =a A a A a A a A a A a A a A a A a A

A

+ + + + + +é ùê ú= + + + + + +ê úê ú+ + + + + +ë û

= 3x3

0 0 1 0 00 A 0 = A . 0 1 0 A . I

0 0 10 0 A

é ù é ùê ú ê ú =ê ú ê úê ú ê úë ûë û

En todos los elementos de la diagonal principal se encuentra el desarrollo

del determinante por los elementos de una línea –en este caso por filas- y

el resto de los elementos corresponden a la propiedad que establece que “la

suma de los productos de los elementos de una línea por los adjuntos o

cofactores de una paralela es igual a cero”. Analizarlo!!!!!!!!!!!!!

Con lo anterior, se demostró que 3x3A . Adj (A) A . I= pero queda como

ejercicio para el lector demostrar, de manera similar, que

3x3Adj (A) . A A . I=

Ahora sí, se está en condiciones de formular el teorema que permite

obtener la inversa de una matriz regular empleando su determinante.

Teorema

Si el determinante de una matriz es diferente de cero entonces la matriz es

invertible y la inversa de la matriz A es 1 1A . Adj (A) A

- =

Demostración

Si A 0¹ en la relación nxnA . Adj (A) Adj (A) . A A . I= =

se puede dividir cada miembro por | A | ≠ 0 con lo cual

DETERMINANTES

23

nxn A . I A . Adj(A) Adj(A) . A A A A

= =

Reescribiendo lo anterior

nxn 1 1 A . . Adj(A) . Adj(A) . A I

A Aæ ö æ ö

= =ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷è ø è ø

Si el producto de dos matrices cuadradas, en modo conmutado, es igual a

la matriz identidad, las matrices son inversas entre sí, es decir,

1 1A . Adj (A) A

- = .

Esta expresión permite obtener la matriz inversa por el denominado

Método de la matriz adjunta.

En este caso, la inversa de una matriz A cuadrada surge como el producto

de un escalar por la matriz adjunta de A. Analizarlo!!!!!!!!!!!!

Ejemplo

La inversa de la matriz2 3

B0 5

é ù= ê úë û

por el método de la adjunta se obtiene

calculando el determinante de B, la matriz Adj (B) y luego efectuando el

producto de escalar por matriz.

El determinante de la matriz B es2 3

B 100 5

= = y la matriz

5 -3Adj (B)

0 2é ù

= ê úë û

Luego, -1

1 -35 -31 2 10B = =

10 0 2 105

é ùê úé ùê úê úê úë ûê úë û

DETERMINANTES

24

IMPORTANTE

Se solicita que toda persona que lea este texto y detecte algún tipo de error, pormás sencillo que parezca, que lo informe a la autora para que lo analice y lo corrija.De esta manera, lectores y usuarios del material podrán contribuir a lapresentación de un trabajo bien elaborado y además, tendrán la oportunidad deretribuir a quien ha realizado este material con la única intención de facilitar elaprendizaje del Álgebra Lineal.

Muchas gracias.María del Carmen Regolini

La bibliografía utilizada para la realización de estas Notas de Cátedra puede

ser consultada en el Programa vigente de la Asignatura.