Unidad II.-3da. Parte

P

Elevación

Sección Tr

0.30

0.50

3#8

3#8

Instituto Tecnológico de Tijuana Ingeniería CivilMateria: Diseño de Estructuras de Concreto Profesor: Ing. René Martínez León

COMPRESION AXIAL.

El comportamiento de un elemento estructural a compresión, se puede analizar mejor en una columna pequeña con estribos, donde la columna no tiene deflexión lateral.

Con los diagramas de esfuerzo-deformación, de un concreto de f ′c = 210 Kg./cm2 y refuerzo de fy = 2 800 Kg./cm2 y una sección transversal que se muestran, hallar las diferentes cargas resistentes que puede aceptar la columna.

d

c

b

a

Є s, єc

fs (Kg./cm2)

700

14000

21000

28000

fc (Kg./cm2)

0.0030.0020.0010

70

140

210

280

a.- Refuerzo, b.- Concreto a carga rápida, c.-Concreto a carga lentad.- Promedio de curva elástica de b y c.


Comportamiento Elástico.- Cuando los esfuerzos en el concreto son menores de f ′c /2, el concreto se comporta casi elásticamente.

Entonces cuando, f c<

f c'

2y f s < f y se requiere transformar la sección a un solo

material, en este caso todo a concreto. Si, Єc = Єs f cEc

=f sE s

→ f s=E sEcf c=n f c

Donde: n = relación modular, se puede tomar como el número entero más cercano, pero no menor de 6.Considerando:

Ag = área total de la sección de la columna.Ac = área del concreto.As = área del refuerzo.

2

1)As-(n

2

nAs

Sección real Sección transformada (Ac + n As)

Sección transformada {Ag + (n-1) As}


La carga axial que resiste la columna es:

P = fc Ac + fs As = fc Ac + n fc As = fc (Ac + n As) = fc {Ag + (n-1) As} en la cual,

(Ac + n As) = {Ag + (n-1) As} son las áreas transformadas, tal como se muestra en la figura siguiente.

Si en el concreto se produce un esfuerzo de fc = 75 Kg/cm2 <

f C'

2=210

2=105 Kg /cm2

En la columna de sección y materiales indicados, la carga axial resistente será:

Si, Ag = 30x50 = 1,500cm2

As = 30.6 cm2

Ac = 1,500 – 30.6 = 1,469.4 cm2

Es = 2.1 x 106 Kg/cm2

Ec = 15,000√210 = 217,371 Kg/cm2

n = Es / Ec = 2.1 x 106/217,371= 9.66 ¿ 10

P = fc Ac + n fc As = 75x 1,469.4 + 10x75x30.6 = 110,205 + 22,950 = 133,155 Kg

Se observa que el 83% de la carga toma el concreto y 17% lo toma el refuerzo.


Comportamiento Inelástico.- Se presenta cuando los esfuerzos son, fc >

f c'

2 y fs < fy, en la curva a carga lenta.

La carga axial que resiste la columna en estas condiciones, cuando

Єc = Єs = 0.001

En la curva el esfuerzo en el concreto es de 158 Kg/cm2

Y el esfuerzo en el refuerzo es fs = ЄsEs = 0.001x2.1=2 100 Kg/cm2,

Será P = Ac fc + As fs = 1,469.4x158 + 30.6x2,100 = 232,165.2 + 64,260 = 296 425.2 Kg

Se observa que el 78.3% de la carga toma el concreto y 21.7% lo toma el refuerzo.

Carga Ultima.- Se presenta cuando el concreto llega a la deformación Єu = 0.002 para esto en la curva a carga lenta, aproximadamente fc = 0.85 f ′c y fs = fy

Entonces la carga axial última es

Pu = Ac 0.85 f ′c + As fy = 1,469.4x0.85x210 + 30.6x2,800 = 262,287.9 + 85 680 = 347,967.9 Kg

Se nota que el 75.4% de la carga toma el concreto y 24.6% toma el refuerzo.

Carga de rotura.- Se presenta cuando el esfuerzo en el refuerzo es fs = fy, en la curva a carga lenta.

Entonces la carga axial que resiste la columna para

Єy =

f yEs

= 2 8002 . 1x106

=0. 00133

Y en la curva aproximadamente fc = 171 Kg/cm2, será

P = Ac fc + As fy = 1,469.4x171 + 30.6x2,800 = 251,267.4 + 85,680 = 336,947.4 Kg

Se nota que el 74.6% de la carga toma el concreto y 25.4% toma el refuerzo.

M

E.N.

Viga simplemente apoyada

centroide

(n-1)As

ft

fc

yt

yc

As

hd

b

Sección real( con refuerzo simple)

Sección transformada Diagrama de esfuerzos


DISEÑO DE ELEMENTOS A FLEXION.Comportamiento elástico en vigas.

a).- Sección sin agrietamiento.Cuando los esfuerzos en la sección transformada, de una viga, tienen variación lineal, la viga se comporta elásticamente. En este caso el eje neutro pasa por el centroíde de la sección transformada. Esto se muestra, a continuación, en una viga con refuerzo simple.

La ubicación del Eje neutro (EN), se logra usando momentos de primer orden, respecto a la parte superior de la sección transformada. Si d = peralte efectivo y M = momento flector.

yc=bh( h/2 )+(n−1)As dbh+(n−1 )As

El momento de inercia, de la sección transformada, respecto al EN., es

IEN =

bh3

12+bh ( yc−h/2 )2+(n−1 )As(d− yc)

2

Los máximos esfuerzos de compresión y tracción en el concreto son :

fc =

M y cIEN

<f C'

2 ; ft =

M y tIEN ¿ f r= módulo de rotura = 2 √ f c'

El esfuerzo de tracción en el refuerzo es :

fs =

M (d− yc )IEN

n

M

E.N.


nAs

As fS

fc

y

As

hd

b



b

d


a).- Sección agrietada.Los esfuerzos en el concreto, en la sección transformada, tienen variación lineal, porque se comporta elásticamente. En este caso la sección transformada no tiene zona en tracción, porque el concreto no resiste esfuerzos a tracción. Esto se muestra, a continuación, en una viga simplemente apoyada y con refuerzo simple, donde en la sección considerada actúa el momento flector M..

Ubicación del eje neutro. Tomando momentos respecto al EN.

∑MEN=b y y2

−(d− y )nAs=0 →

b y2

2+nAs y−d nAs=0

Resolviendo la expresión anterior se halla y .

Momento de inercia respecto al EN.

I =

b y3

3+nAs( d− y )2

Esfuerzo máximo en el concreto en compresión.

fCmax. =

M yIEN

Esfuerzo en el refuerzo

fs =

M (d− y )IEN

n

r

o

jd

kd/3

(d-kd)

kd CM

E.N.


nAs T=As fS

fc

As

hd

b



b

d


Diseño por cargas en servicio o Método elástico.

Es un método alternativo de diseño, que usa esfuerzos de trabajo o permisibles y las cargas son las reales, que se encuentran en servicio.

Cuando, en la sección considera por acción del momento flector M, el esfuerzo de tracción en el concreto supera al módulo de rotura, formándose grietas y el esfuerzo

de compresión en el concreto es inferior a

f C'

2 , puede considerarse comportamiento elástico.

donde k y j son coeficientes de proporcionalidad , C la resultante, en compresión, del bloque de esfuerzos triangular en el concreto y T la resultante, en tracción, del refuerzo.

Determinación de k :

En la sección transformada ∑MEN=0

b kd (kd2

)−(d−kd )nAs=b k2 d2

2-d (1-k )nAs=0

considerando,

Asbd

=porcentaje del área del refuerzo, respecto al área efectiva ó llamado

también cuantía del refuerzo, la ecuación anterior se transforma en

k2 + 2 k n p – 2 n p = 0 , resolviendo se tiene k = √( np)2+2np−np

Se nota que el eje neutro es determinado por la calidad de los materiales y la sección de la viga.


Determinación de j :

En el diagrama de esfuerzos, jd = d -

kd3

=d (1− k3), de donde j = 1-

k3

Determinación del área del refuerzo As y el esfuerzo en el refuerzo fs :

Por equilibrio, tomando momentos en el punto de aplicación de la compresión C.

∑M o= jd fs As−M=0 , despejando convenientemente se obtienen :

As= M

f S jd f S=

Mjd As

Determinación del máximo esfuerzo en compresión del concreto, fc :

Por equilibrio, tomando momentos en el punto de aplicación de la tracción T :

∑M r= jd fc kd2b−M=0

, de donde fc=2M

kd2bj≤f C'

2

Se podrán diseñar una sección y verificar su resistencia de una sección ya diseñada.

1).- Diseñar las dimensiones de una sección y/o el área del refuerzo, para resistir un momento flector actuante, considerando falla dúctil.

2).- Verificar una sección ya diseñada, esto se logra calculando los esfuerzos actuantes inducidos por la aplicación de un momento flector y comparándolos con los esfuerzos admisibles.

Falla dúctil.- Toma este nombre cuando el refuerzo inicia la falla antes que el concreto. Esta condición hace que el elemento a flexión falle en forma lenta debido a la fluencia del refuerzo. Esto se nota por el aumento continuo y lento del ancho de grietas en la zona en tracción. (En estructuras de concreto armado, donde se producen fallas dúctiles, da tiempo para ser reparadas o evacuadas).

Falla frágil.- Es cuando falla el concreto en compresión antes que el refuerzo, produciéndose el aplastamiento del concreto en forma violenta. Esto se presenta cuando el contenido de refuerzo es alto respecto a las dimensiones de la sección, que no permite su fluencia. (En estructuras de concreto armado deben evitarse este tipo de fallas, porque no da el tiempo necesario para su reparación o evacuación).


En conclusión, todos los elementos sometidos a flexión deben diseñarse en condiciones de ductilidad. Esto es hacer trabajar al refuerzo a su máxima capacidad admisible y al concreto a un esfuerzo menor que la de su capacidad admisible.

Esfuerzos admisibles.Se permite trabajar con los siguientes esfuerzos admisibles.

Concreto. Compresión: fc ¿ 0.45 f ′c

Tracción por flexión: fr ¿2√ f C' = módulo de rotura.

Refuerzo. Tracción: fs = 0.5 fy ó 1 400 Kg./cm2, para fy = 2 800 Kg./cm2

Tracción: fs = 0.4 fy ó 1 400 Kg./cm2, para fy = 3 500 Kg./cm2

Tracción: fs = 0.4 fy ó 1 685 Kg./cm2, para fy = 4 200 Kg./cm2 ymayores.

Diseño dúctil de una sección, con refuerzo simple.

Es un proceso por tanteos, siguiendo los pasos indicados a continuación:

Asumir un valor de j, comprendido entre: 0.85 ¿ j ¿ 0.95 Con el valor asumido hallar As. Con el valor As y las dimensiones de la sección, hallar la cuantía p. Con los valores anteriores y usando la formula indicada hallar k. Luego hallar el nuevo j , usando la formula indicada anteriormente. Con el nuevo j , se halla el esfuerzo en el concreto. Si el esfuerzo en el concreto es menor que el admisible en compresión, se halla

el área del refuerzo con el nuevo j.

Diseño balanceado de una sección, con refuerzo simple.

Es cuando se hacen trabajar a los materiales a su máximas capacidades admisibles.


r

o

єs

єc

jbd

kbd/3kbd C

Mb

E.N.


T=As fSmax

fc max

As

hd

b

Diagrama de deformaciones Diagrama de esfuerzos

d


Profundidad del eje neutro.En el diagrama de deformaciones, por triángulos semejantes.

єc / єs =

k bd

d−k bd 1

Por esfuerzos.

єc / єs =

fC max /Ec

f s max /Es

=nf c max

f s max 2 1 = 2

kb =

1

1+f s max

n f c max Esta expresión es válida para cualquier sección.

Para una sección rectangular, jb = 1-

kb3

Momento balanceado Mb

Considerando ∑M r=0

fc =

2Mb

kb jb bd2 Mb =

( kb jb f cmax

2 ) bd2=Kb bd2

Cuantía balanceada.


En la ecuación, ya deducida, si p = pb y k = kb , se obtiene: kb2 + 2 kb pb n – 2pb n = 0,

despejando pb = cuantía balanceada.

pb =

kb2

2n (1−k b )

Fallas en una sección de concreto armado.

En el diagrama de deformaciones que se muestra más abajo, se analizan las diferentes fallas en una sección de concreto armado.

Si : k < kb , gobierna el esfuerzo en el refuerzo f s , es decir se llega a la falla dúctil.k > kb , gobierna el esfuerzo en el concreto f c , es decir se llega a la falla frágil.

Donde

k = √( np)2+2np−np y kb =

1

1+f s max

n f c max

El diseño de una sección se realizará en condiciones de ductilidad ó a lo más se podrá llegar al diseño balanceado.

EN.

s

maxs

E

f

c

maxc

E

f

Falla frágil

Falla dúctil

Diseño balanceado

d

kd

kd

kbd

As min.

Losa macizaLosa aligerada

b

Sección rectangular.

bw

Sección T.

dd

As min.


Refuerzo mínimo en elementos sujetos a flexión.

En vigas.

El Código del ACI, recomienda un refuerzo mínimo igual a :

As min. = 0.8

√ f c'f y

bw d

pero no menor que :

As min. =

14f ybw d

donde, bw es el ancho del alma de una sección T y para una sección rectangular es el ancho de la sección.

b

h


Si el refuerzo calculado, positivo o negativo es menor que el mínimo, el refuerzo calculado se aumenta en 1/3 y se compara con el mínimo, de estos se toma el menor.

En losas estructurales.

En losas estructurales de peralte uniforme, el área mínima y el espaciamiento máximo del refuerzo en la dirección de diseño, debe hallarse usando el refuerzo mínimo por contracción y temperatura.

Refuerzo por contracción y temperatura.

El área del refuerzo por contracción y temperatura, debe tener por lo menos la cuantía mínima pmin., que se especifica a continuación:

a).- En losas donde se emplean varillas corrugadas grado 40 ó 50 -------- pmin. = 0.0020

b).- En losas donde se emplean varillas corrugadas ó malla soldada de alambre (corrugada ó liso) grado 60 ------------------------------------------------- pmin. = 0.0018

c).- En losas donde se utilice refuerzo de grado mayor 60, medida a una deformación

unitaria por fluencia de 0.35% -------------------------- pmin. =

0 .0018x4200fy

≥0.0014

El refuerzo por contracción y temperatura tendrá una separación igual o menor que 5h sin exceder de 45 cm.

Para calcular el refuerzo por contracción y temperatura debe considerarse el área tributaria total.

En losas estructurales con refuerzo principal por flexión en una dirección debe proporcionarse refuerzo transversal por contracción y temperatura.

Diseño de una sección, con refuerzo en compresión.

Si se aplica a la sección de una viga, con refuerzo simple, un momento actuante M mayor que el momento balanceado Mb, se llegaría a la falla frágil, para evitar esta falla, existen las siguientes soluciones, hasta llegar a lo más a la falla balanceada.

Entonces, si M > Mb, las posibles soluciones son:

d′ o

+

+

=

=

єc max

єs max

є′s

(d - d′ )

T2 = fs max As2

C′ = f ′s A′s

M2

T = fs max As

M

C′ = f ′s A′s

kbd

d-kbd

kbd-d′

d′A′SA′S

AS2

AS1

AS2

AS1

fc max.

d

T1 = fs max As1

M1

fc max.

Diagrama de deformaciones. Sección total y parciales.

Fuerza total y parciales.

d


1. Aumentar la sección de la viga, de preferencia el peralte.2. Aumentar la resistencia del concreto.3. Aumentar la sección de la viga y la calidad del concreto.4. Diseñar refuerzo en compresión. Esta última es la mejor solución, por lo tanto a

continuación se presenta los análisis y diseño de los refuerzos.

Refuerzos en tracción y compresión.

Se colocara refuerzo en compresión para aumentar el área en compresión del concreto, hasta alcanzar la falla balanceada.

El área de la sección de la viga, es la suma de las áreas parciales, así mismo las fuerzas y esfuerzos correspondientes en la sección de la viga, es la suma de las fuerzas y esfuerzos parciales, tal como se presenta en la Fig., indicada anteriormente.La primera sección y su correspondiente fuerza y esfuerzos, corresponden al diseño balanceado, por lo tanto el momento M1 será igual al momento balanceado. Entonces considerando lo anterior se deducen las siguientes expresiones para el cálculo de las áreas de los refuerzos.

En la primera sección actúa, M1 = Mb = Kb b d2, con el área del refuerzo As1 = pb b d.

En la segunda sección actuara en momento M2 con las áreas de refuerzos As2 y A′s

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