(Educación Regular)

Unidad de Formación No. 13

MatemáticaÁlgebra: Lenguaje, significado,

pensamiento y realidad

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© De la presente edición:

Colección: CUADERNOS DE FORMACIÓN COMPLEMENTARIA

Unidad de Formación No. 13MatemáticaÁlgebra: Lenguaje, significado, pensamiento y realidadDocumento de Trabajo

Coordinación:Viceministerio de Educación Superior de Formación ProfesionalViceministerio de Educación RegularDirección General de Formación de MaestrosInstituto de Investigaciones Pedagógicas PlurinacionalUnidad de Políticas Intraculturales, Interculturales y Plurilingue

Redacción y Dirección:Equipo PROFOCOM

Cómo citar este documento:Ministerio de Educación (2017). Unidad de Formación Nro. 13 “Matemá-tica - Álgebra: Lenguaje, significado, pensamiento y realidad”. Cuadernos de Formación Continua. Equipo PROFOCOM. La Paz, Bolivia.

 

 

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Í n d i c e

Presentación ................................................................................................ 2 Introducción ................................................................................................ 4 Objetivo Holístico ............................................................................................... 6 Criterios de evaluación ....................................................................................... 6 Uso de lenguas indígena originarias .................................................................... 7 Momento 1 Sesión presencial ............................................................................................... 8 Momento 2 Sesiones de construcción crítica y concreción educativa ........................................ 21 I. Actividades de autoformación .......................................................................... 21 Tema 1: Productos notables y su interpretación geométrica .................................. 21 Tema 2: La factorización en los fenómenos sociales y naturales ............................ 33 Tema 3: Funciones lineales y ecuaciones de primer grado .................................... 48 II. Actividades de formación comunitaria ............................................................. 67 III. Actividades de concreción educativa .............................................................. 68 Momento 3 Sesión presencial de socialización ....................................................................... 68 Producto de la Unidad de Formación ................................................................... 68 Lectura obligatoria de la Unidad de Formación ..................................................... 68 Documento Anexo ............................................................................................. 69

 

 

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Presentación

El Programa de Formación Complementaria para Maestras y Maestros en Ejercicio (PROFOCOM) es un programa que responde a la necesidad de transformar el Sistema Educativo a partir de la formación y el aporte de las y los maestros en el marco del Modelo Educativo Sociocomunitario Productivo y de la Ley de la Educación N° 070 “Avelino Siñani - Elizardo Pérez” que define como objetivos de la formación de maestras y maestros: 1. Formar profesionales críticos, reflexivos, autocríticos, propositivos, innovadores, investigadores;

comprometidos con la democracia, las transformaciones sociales, la inclusión plena de todas las bolivianas y los bolivianos.

2. Desarrollar la formación integral de la maestra y el maestro con alto nivel académico, en el ámbito de la especialidad y el ámbito pedagógico, sobre la base del conocimiento de la realidad, la identidad cultural y el proceso socio-histórico del país. (Art. 33)

Así entendido, el PROFOCOM busca fortalecer la formación integral y holística, el compromiso social y la vocación de servicio de maestras y maestros en ejercicio mediante la implementación de procesos formativos orientados a la aplicación del Currículo del Sistema Educativo Plurinacional, que concretice el Modelo Educativo Sociocomunitario Productivo aportando en la consolidación del Estado Plurinacional. Este programa es desarrollado en todo el Estado Plurinacional como un proceso sistemático y acreditable de formación continua. La obtención del grado de Licenciatura será equivalente al otorgado por las Escuelas Superiores de Formación de Maestras y Maestros (ESFM), articulado a la apropiación e implementación del Currículo Base del Sistema Educativo Plurinacional. Son las Escuelas Superiores de Formación de Maestras y Maestros, Unidades Académicas y la Universidad Pedagógica las instancias de la implementación y acreditación del PROFOCOM, en el marco del currículo de formación de maestras y maestros del Sistema Educativo Plurinacional, orientando todos los procesos formativos hacia una:

• “Formación Descolonizadora”, que busca a través del proceso formativo lidiar contra todo tipo de discriminación étnica, racial, social, cultural, religiosa, lingüística, política y económica, para garantizar el acceso y permanencia de las y los bolivianos en el sistema educativo, promoviendo igualdad de oportunidades y equiparación de condiciones a través del conocimiento de la historia de los pueblos, de los procesos liberadores de cambio y superación de estructuras mentales coloniales, la revalorización y fortalecimiento de las identidades propias y comunitarias, para la construcción de una nueva sociedad.

• “Formación Productiva”, orientada a la comprensión de la producción como recurso pedagógico para poner en práctica los saberes y conocimientos como un medio para desarrollar cualidades y capacidades articuladas a las necesidades educativas institucionales en complementariedad con políticas estatales. La educación productiva territorial articula a las instituciones educativas con las actividades económicas de la comunidad y el Plan Nacional de Desarrollo.

• “Formación Comunitaria”, como proceso de convivencia con pertinencia y pertenencia al contexto histórico, social y cultural en que tiene lugar el proceso educativo. Esta forma de educación mantiene el vínculo con la vida desde las dimensiones material, afectiva y espiritual, generando prácticas educativas participativas e inclusivas que se internalizan en capacidades y habilidades de acción para el beneficio comunitario. Promueve y fortalece la constitución de Comunidades de Producción y Transformación Educativa (CPTE), donde sus miembros asumen la responsabilidad y corresponsabilidad de los procesos y resultados formativos.

 

 

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• “Formación Intracultural, Intercultural y Plurilingüe”, que promueve la autoafirmación, el

reconocimiento, fortalecimiento, cohesión y desarrollo de la plurinacionalidad; asimismo, la producción de saberes y conocimientos sin distinciones jerárquicas; y el reconocimiento y desarrollo de las lenguas originarias que aporta a la intraculturalidad como una forma de descolonización y a la interculturalidad estableciendo relaciones dialógicas, en el marco del diseño curricular base del Sistema Educativo Plurinacional, el Currículo Regionalizado y el Currículo Diversificado.

Este proceso permitirá la autoformación de las y los participantes en Comunidades de Producción y Transformación Educativa (CPTE), priorizando la reflexión, el análisis, la investigación desde la escuela a la comunidad, entre la escuela y la comunidad, con la escuela y la comunidad, hacia el desarrollo armónico de todas las potencialidades y capacidades, valorando y respetando sus diferencias y semejanzas, así como garantizado el ejercicio pleno de los derechos fundamentales de las personas y colectividades, y los derechos de la Madre Tierra en todos los ámbitos de la educación.

Se espera que esta colección de Cuadernos, que ahora presentamos, se constituyan en un apoyo tanto para facilitadores como para participantes, y en ellos puedan encontrar:

• Los objetivos orientadores del desarrollo y la evaluación de cada Unidad de Formación. • Los contenidos curriculares mínimos. • Lineamientos metodológicos, concretados en sugerencias de actividades y orientaciones para la

incidencia en la realidad educativa en la que se ubica cada participante.

Si bien los Cuadernos serán referencia básica para el desarrollo de las Unidades de Formación, cada equipo de facilitadores debe enriquecer, regionalizar y contextualizar los contenidos y las actividades propuestas de acuerdo a su experiencia y a las necesidades específicas de las maestras y maestros.

Roberto Aguilar Gómez MINISTRO DE EDUCACIÓN

 

 

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Introducción

En esta Unidad de Formación se trabaja la articulación del desarrollo curricular con el Proyecto Socioproductivo y tres temas formativos orientados a profundizar o ampliar los conocimientos del área. Para el ejemplo de articulación, a diferencia de las anteriores Unidades de Formación en esta unidad se ha priorizado mostrar con algunos ejemplos cómo en el proceso educativo podemos articular el desarrollo curricular con la problemática y/o las actividades del plan de acción del PSP que estamos trabajando; para este caso se ha elegido el PSP “Mi barrio libre de violencia”. Para el desarrollo del primer momento que se desarrolla en las ocho horas presenciales, en los ejemplos y ejercicios planteados en los cuadernos de cada área para la articulación o relación del desarrollo curricular y el PSP, se recurre primero a la problematización del PSP desde el sentido del campo y el enfoque de cada área; la problematización nos ayuda a relacionar el desarrollo curricular con el Proyecto Socioproductivo. Posteriormente se presentan ejemplos y ejercicios de problematización de los contenidos de los programas de estudio que nos ayudan a que los conocimientos no se aprendan de manera repetitiva o memorística, sino a partir de la comprensión y la práctica de manera crítica. Cerrando estas actividades, se plantean preguntas que generan actividades orientadas a la concreción curricular pertinente al contexto donde se desarrolla el currículo. Esta manera de abordar los saberes y conocimientos (contenidos) orienta a transformar nuestras prácticas educativas, porque la problematización nos conecta a las diferentes situaciones y aspectos de nuestra realidad (demandas, necesidades, problemáticas, sociales, políticas, económicas, culturales, etc.). Para el segundo momento, de construcción crítica y concreción educativa, en las actividades de auto- formación trabajamos tres temas o contenidos a objeto de profundizar y ampliar los conocimientos en la especialidad o el área que se han planteado en la sesión presencial de las 8 horas, que debe ser reflexionada críticamente a partir de lecturas de textos propuestos para este fin1. Las actividades de formación comunitaria están orientadas a reforzar el trabajo de sistematización que estamos realizando, para ello trabajaremos en nuestro Equipo de Sistematización de acuerdo a las indicaciones de la presente Unidad de Formación.

En las actividades de concreción educativa, desarrollamos actividades para articular el desarrollo curricular con el PSP y registramos en el diario de campo para fortalecer el informe de sistematización que estamos elaborando. Para el tercer momento deberá socializarse lo referente a la articulación de elementos curriculares con el PSP que es una parte de nuestro primer borrador del informe de sistematización. Estas cuestiones deben ser aclaradas por las y los facilitadores al inicio de la sesión presencial de 8 horas, en esta sesión presencial trabajaremos organizados por Áreas de Saberes y Conocimientos; en las Sesiones de Construcción Crítica y Concreción Educativa (138 horas) se trabajará en los Equipos de Sistematización y en la Sesión Presencial de Socialización (4 horas), la actividad puede organizarse también por estos Equipos, según las necesidades para un adecuado desarrollo de la sesión.

                                                                                                                         1  Las  lecturas  de  los  textos  propuestos  deben  ser  abordadas  de  manera  crítica  y  problemática;  no  se  trata  de  leer  de  manera  pasiva,  repetitiva   o   memorística;   éstas   deben   generar   el   debate   y   discusión.   No   tienen   la   función   de   dar   respuestas   a   las   preguntas  realizadas,   sino   son   un   insumo   o   dispositivo   para   que  maestras   y  maestros   abran   el   debate   y   profundicen   los   temas   del   área    abordados.    

 

 

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Al igual que en la anterior Unidad de Formación realizamos algunas precisiones:

• Las actividades y/o tareas que se plantean en las diferentes Unidades de Formación del PROFOCOM en ningún caso deben significar la interrupción o alteración del normal desarrollo de las actividades curriculares de maestras y maestros en la Unidad Educativa; al contrario, los temas que se abordan en cada Unidad de Formación deben adecuarse y fortalecer el desarrollo curricular en la implementación de los elementos del currículo del Modelo Educativo Sociocomuntario Productivo.

• Las facilitadoras y facilitadores del PROFOCOM de las Escuelas Superiores de Formación de Maestros y del Ministerio de Educación están en la obligación de aclarar oportunamente todas las dudas de las y los maestros participantes y no desvirtuar las preguntas planteadas por las y los participantes con acciones coercitivas. Deben orientar adecuadamente la concreción de los elementos del currículo del MESCP, con explicaciones y ejemplos claros, de manera que las y los participantes sientan realmente que el PROFOCOM les ayuda a mejorar y transformar su práctica educativa.

• En los tres momentos del proceso formativo del PROFOCOM (ocho horas presenciales, 138 horas de concreción y 4 horas de socialización), deben realizarse de manera planificada las actividades propuestas en la Unidad de Formación correspondiente.

• Los esquemas o estructuras del plan de desarrollo curricular (plan de clase) planteados en las Unidades de Formación son sugerencias; lo fundamental es que una planificación curricular contenga los elementos curriculares básicos para el desarrollo curricular y sean un instrumento de apoyo para la o el maestro. Esta planificación no es para satisfacer la exigencia institucional simplemente, sobre todo debe ser útil para el trabajo cotidiano en el aula.

• Todo trabajo de sistematización (registro, organización de los datos, etc.), debe estar relacionado con la experiencia educativa de la maestra y maestro. La sistematización comprende la narración y/o descripción de todo lo que acontece diariamente en nuestras aulas o el proceso educativo. No puede realizarse el trabajo de sistematización al margen o aislado de nuestra experiencia y trabajo diario en aula o proceso educativo. Los materiales para la sistematización (datos) “no caen del cielo” se generan de nuestro trabajo en aula o proceso educativo diario y que los tenemos registrados en nuestro diario de campo, es de ahí que tenemos que organizar los datos para elaborar nuestro informe de sistematización.

• En los productos –materiales o inmateriales– que pueden obtenerse en el desarrollo del PSP, éstos deben ser pertinentes a la naturaleza y características de los contenidos o áreas de saberes y conocimientos.

Otro de los aspectos que hay que recordar es en relación a los elementos curriculares que podemos destacar en la concreción del MESCP:

• La articulación del currículo (contenidos, materiales, metodología, etc.) con la realidad (vocación y potencialidad productiva, problemas, necesidades, proyectos, aspiraciones, etc.); es una forma de relacionar el currículo y la realidad a través del Proyecto Socioproductivo.

• Otro elemento a destacar es la metodología Práctica, Teoría Valoración y Producción2; esta propuesta metodológica es fundamental en el Modelo Educativo, por lo que en los procesos educativos (o las clases) deben desarrollarse aplicando estos “momentos metodológicos”, lo cual no es difícil, más bien ayuda a que las y los estudiantes “aprendan” y se desarrollen comprendiendo, produciendo, valorando la utilidad de lo que se aprende.

                                                                                                                         2  Es  importante  recordar  que  estos  “momentos  metodológicos”  están  integrados;  no  son  estancos  separados;  todo  los  momentos  metodológicos  están  integrados  o  concebidos  integradamente  para  desarrollar  una  visión  holística  en  la  educación  (cf.  U.F.  No.  5).  

   

 

 

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También destaca el desarrollo y evaluación de las dimensiones Ser, Saber, Hacer y Decidir orientado a la formación integral y holística de las y los estudiantes; no sólo se trata de que la y el estudiante memorice o repita contenidos, sino que debe aprender y formarse integralmente en sus valores, sus conocimientos, uso o aplicación de sus aprendizajes, y educarse en una voluntad comunitaria con impacto social. Otros como la autoevaluación, evaluación comunitaria, el Sentido de los Campos de Saberes y Conocimientos (Cosmos y Pensamiento, Comunidad y Sociedad, Vida Tierra Territorio y Ciencia Tecnología y Producción), los Ejes Articuladores (Educación en Valores Sociocomunitarios, Educación Intra-Intercultural Plurilingüe, Convivencia con la Madre Tierra y Salud Comunitaria y Educación para la Producción), los Enfoques (Descolonizador, Integral y Holístico, Comunitario y Productivo).

Entonces se trata que las y los facilitadores –más allá de la presente Unidad de Formación– orienten en la concreción de estos elementos curriculares de la manera más adecuada y didáctica, con ejemplos y/o vivencias, aportes que pueden recuperarse de las y los mismos participantes.

Para el desarrollo de esta Unidad de Formación debemos tomar en cuenta que una o un facilitador de la ESFM o el ME respectivamente va a trabajar con cuadernos de los tres niveles educativos: Inicial en Familia Comunitaria, Primaria Comunitaria Vocacional y Secundaria Comunitaria Productiva, por lo que debe organizarse de manera que las y los facilitadores y participantes de los tres niveles desarrollen adecuadamente las actividades propuestas.

Objetivo Holístico

Profundizamos en los saberes y conocimientos del área problematizando y reflexionando la realidad, mediante el desarrollo de procesos metodológicos de articulación e integración de contenidos, a través de la práctica de actitudes de trabajo cooperativo y respeto mutuo, para desarrollar procesos educativos pertinentes vinculados a las demandas, necesidades y problemáticas de la realidad.

Criterios de evaluación

SABER: Profundizamos en los saberes y conocimientos del área problematizando y reflexionando la realidad.

• Reconocimiento de las características de integración de saberes y conocimientos y de articulación del currículo con el Proyecto Socioproductivo.

• Comprensión de los contenidos profundizados en cada área de saberes y conocimientos.

HACER: Mediante el desarrollo de procesos metodológicos de articulación e integración de contenidos.

• Articulación pertinente del currículo con el Proyecto Socioproductivo • Integración de los saberes y conocimientos de las áreas al interior del campo y entre

campo de saberes y conocimientos con el Proyecto Socioproductivo.

 

 

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SER: A través de la práctica de actitudes de trabajo cooperativo y respeto mutuo.

• Actitud comprometida en el trabajo al interior de las CPTEs. • Respeto por la opinión de la o el otro.

DECIDIR: Para desarrollar procesos educativos pertinentes vinculados a las demandas, necesidades y problemáticas de la realidad.

• Transformación de la práctica educativa en función de responder a las necesidades de la comunidad.

Uso de lenguas indígena originaria

El uso de la lengua originaria debe practicarse en los tres momentos del desarrollo de la Unidad de Formación. De acuerdo al contexto lingüístico se realizarán conversaciones, preguntas, intercambios de opiniones, discusiones y otras acciones lingüísticas. Asimismo, estas experiencias desarrolladas en los proceso de formación deben ser también replicadas por las y los maestros en el trabajo cotidiano, en los espacios educativos de su contexto.

 

 

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Momento 1 Sesión Presencial (8horas) Para  iniciar  la  sesión  presencial,  la  facilitadora  o  facilitador  anuncia  que  en  las  8  horas  de  formación  se  hará  énfasis  en  el  trabajo  del  proceso  metodológico  de  la  articulación  de  los  contenidos  de  las  Áreas  de  Saberes  y  Conocimientos  con  el  Proyecto  Socioproductivo.  Por  este  motivo  organiza  grupos  de  trabajo  por  áreas  de  saberes   y   conocimientos   aplicando   alguna   dinámica   de   grupo   pertinente,   y   luego   los   grupos   de   trabajo  inician  con  las  actividades  descritas  en  la  presente  Unidad  de  Formación.  

PROCESO METODOLÓGICO DE LA ARTICULACIÓN DE LAS ÁREAS

1. Partir de la problematización de la realidad desde el sentido de los Campos y el enfoque de las Áreas.

Uno de los criterios centrales del Modelo Educativo Sociocomunitario Productivo es vincular a la educación con la realidad; es decir, vincular la educación a los procesos histórico políticos de nuestras comunidades, pueblos, barrios, ciudades y el país en su conjunto; de esta manera, se busca partir de nuestros problemas, necesidades y potencialidades para que el desarrollo de los procesos educativos pueda convertirse en un mecanismo que coadyuve a transformar nuestra realidad. En este sentido, el elemento central para la articulación de las Áreas de saberes y conocimientos son justamente nuestros problemas/necesidades/potencialidades, ya que esta realidad atraviesa a todas las Áreas sin distinción. Dentro del Currículo Base, que cumple el rol articulador de las Áreas en el desarrollo de los procesos educativos es el Proyecto Socioproductivo, ya que representa aquel problema/necesidad/ potencialidad de nuestro contexto que vamos a priorizar para transformar. Por tanto las y los maestros desarrollarán los procesos de articulación en sus Unidades Educativas a través del mismo. La problematización nos vincula con la realidad de un modo crítico, pues es una forma de cuestionar a la misma desde un determinado lugar y proyecto de sociedad, en nuestro caso, desde los sentidos de los Campos de Saberes y Conocimientos que expresan la direccionalidad política que plantea la estructura curricular. La problematización plantea preguntas y problemas irresueltos e inéditos que nos involucran en su desarrollo y resolución, es decir, permite abrir espacios para la transformación de la realidad; por tanto, no está dirigida sólo a explicar y/o describir fenómenos u objetos ajenos a nosotros. Bajo este contexto, la problematización de un “acontecimiento” de la realidad para trabajar la articulación de las Áreas de Saberes y Conocimientos se refiere a plantear preguntas sobre un determinado hecho para cuestionarlo críticamente desde los criterios que plantean los Sentidos de los Campos y/o el Enfoque de las Áreas y de esta forma vislumbrar las formas en las que podemos vincular las problemáticas de la realidad con los procesos educativos. Es importante aclarar que por fines didácticos el proceso metodológico de la articulación de las Áreas, que desarrollaremos en la sesión presencial, se realizará a partir de la narración de un “acontecimiento” o problema de la realidad; éste será el punto de partida para realizar el proceso metodológico de la articulación de las Áreas. No hay que confundir, entonces, a la narración del “acontecimiento” o problema de la realidad con la que iniciamos este ejercicio de articulación de las Áreas, como un “nuevo” elemento dentro de la estructura curricular. Como se ha aclarado, simplemente es un recurso que usamos con fines didácticos en el proceso de formación en el PROFOCOM.

 

 

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Actividad 1

Organizados en comunidades (equipos o grupos) de estudio (Inicial, Primaria y en Secundaria por Campos: Cosmos y Pensamiento, Comunidad y Sociedad, Vida Tierra Territorio y Ciencia, Tecnología y Producción) reflexionamos sobre el PSP (Proyecto Socioproductivo) que se propone en esta Unidad de Formación. Consideramos las problemáticas que implica,.

Presentamos un ejemplo de PSP y de él, lo necesario para el trabajo:

RESUMEN DEL PSP

Título del PSP: Mi Barrio libre de violencia.

Objetivo del PSP: Desarrollar procesos de prevención, protección y seguridad ciudadana a través de la organización de la comunidad para disminuir los niveles de inseguridad ciudadana.

Actividades del Plan de Acción: Sensibilización e información sobre seguridad ciudadana.

Conformación de brigadas vecinales.

Implementación del sistema de seguridad.

Identificación de focos de violencia.

Reducción de los focos de violencia.

Para mejorar la comprensión del PSP propuesto como ejemplo3, ampliamos la información al respecto. La Unidad Educativa Florinda Barba Chávez está situada en el Barrio Victoriade la ciudadela Andrés Ibáñez, más conocida como Plan 3000 (Distrito Municipal 8). Uno de los 25 distritos municipales de la ciudad de Santa Cruz de la Sierra (22 urbanos y 3 rurales)4. El problema de la violencia está a la orden del día. Observando los canales de televisión nacional, vemos las múltiples formas de violencia. Santa Cruz no es obviamente una excepción. En el Barrio “Victoria” del Plan 3000 de la ciudad de Santa Cruz, contexto de la UE Florinda Barba, también está presente el problema de la violencia, delincuencia, criminalidad e inseguridad ciudadana, especialmente la manifestada a través de la comisión de delitos. La violencia e inseguridad ciudadana son parte del acelerado crecimiento urbano. Asaltos y atracos, robos al paso, violaciones hasta homicidios y asesinatos son preocupaciones de los vecinos porque viven junto a sus hijas e hijos esta realidad a diario. La inseguridad ciudadana es el problema más importante, estadísticamente está delante del consumo de drogas. Las posibles causas que originan la delincuencia son la falta de trabajo, escasez de recursos y falta de valores. Se manifiesta que 4 de cada 100 personas se sienten seguras el abordar un micro, 11 de cada 100 caminan seguras por el barrio, 32 de cada 100 se sienten seguros en su propia casa. Las pandillas, el crimen organizado (robo agravado y hasta homicidio) y el robo de “fruslerías” son preocupaciones. Por supuesto que esto cambia en los diferentes contextos5. El Gobierno departamental, al respecto, lanzó el plan “La Seguridad Ciudadana es nuestra responsabilidad”. El gobierno central diseñó:

“… el Plan Nacional de Seguridad Ciudadana y Lucha Contra el Crimen 2012 – 2016 que se basa sobre cuatro pilares fundamentales, que permitirán una efectiva lucha contra la delincuencia en el país. La estrategia que fue elaborada por el Viceministerio de Seguridad

                                                                                                                         3  Si  trabajásemos  en  la  Unidad  Educativa  “Florinda  Barba  Ch.”  desarrollaríamos  el  PSP  “Mi  Barrio  libre  de  violencia”  4  La provincia Andrés Ibáñez del departamento de Santa Cruz está dividida en 5 municipios, uno de ellos es el municipio de Santa Cruz de la Sierra que está divido en 22 distritos Urbanos o zonas y 3 distritos rurales. El Plan 3000 es el Distrito Municipal 8. 5  Captura  Consulting  (2011).  En  Santa  Cruz  sobra  el  miedo  y  falta  la  seguridad.  Recuperado  a  9:05,  19,  06,  2015  de:  http://www.capturaconsulting.com/index.php/noticias/111-­‐en-­‐santa-­‐cruz-­‐sobra-­‐el-­‐miedo-­‐y-­‐falta-­‐la-­‐seguridad.html  

 

 

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Ciudadana y establece como primer pilar el fortalecimiento normativo boliviano, mediante la aprobación de la Ley de Seguridad Ciudadana; Ley de Control al Expendio y Consumo de Bebidas Alcohólicas; Ley de Faltas y Contravenciones; Ley de Armas y Explosivos; Ley de Justicia Penal Juvenil y la Reforma al Código Penal y de Procedimiento Penal. “El segundo está referido al fortalecimiento de la Policía Boliviana y la seguridad ciudadana integral, que conlleva la capacitación y especialización de los efectivos de la entidad del orden; infraestructura y equipamiento; mejora de la calidad de vida de los miembros de la institución del orden, su bienestar y la aplicación de tecnología preventiva. “La prevención, cultura e interacción ciudadana es el tercer pilar del plan nacional, y su consolidación se dará con la inclusión de seguridad ciudadana y vial en el currículo escolar; formación en seguridad ciudadana y seguridad vial; conformación de los consejos de seguridad ciudadana; campañas comunicacionales gratuitas en medios de comunicación y el Observatorio de Seguridad Ciudadana. “El cuarto pilar fundamental tiene que ver con la lucha contra el crimen, para lo cual se ejecutarán planes operativos integrales; reforma al Código Penal y Código de Procedimiento Penal; la creación del Centro de Inteligencia Interinstitucional en aeropuertos y fronteras; generación de una base de datos de delitos compartida; aplicación de la Ley Nº 007; desconcentración policial, judicial y del Ministerio Público, además del fortalecimiento a la Fuerza Especial de Lucha Contra el Crimen (FELCC) y la Dirección de Prevención de Robo de Vehículos (DIPROVE).“El Sistema Nacional de Seguridad Ciudadana está conformado en el ámbito nacional por el Ministerio de Gobierno; Defensa; Justicia; de Salud y Deportes; Educación, y el Ministerio de Comunicación. En el ámbito departamental están los gobiernos autónomos departamentales; organizaciones sociales; organizaciones indígenas originarias campesinas; Comando General de la Policía; Fuerzas Armadas; organizaciones no gubernamentales; organizaciones religiosas y Defensoría del Pueblo. Asimismo, se establece el ámbito municipal con los gobiernos autónomos municipales; las juntas vecinales; organizaciones sociales; organizaciones indígenas originarias campesinas; Policía Boliviana; organizaciones no gubernamentales; instituciones privadas, además de las organizaciones religiosas que existen en el país.

La inseguridad ciudadana afecta, de manera directa o indirecta, el desarrollo de las actividades productivas propias del barrio. Sobre esta realidad, está la protección de sus hijas e hijos, en fin de la familia; por ello, potencialmente las vecinas y los vecinos estarían prestos a desarrollar mecanismos de protección y autodefensa.  

Actividad 2

Problematización del PSP desde el sentido del Campo de Ciencia, Tecnología y Producción

En Secundaria Comunitaria Productiva, reunidos en comunidades de estudio de Campos de Saberes y Conocimientos, dialogamos y reflexionamos sobre cómo desde nuestro Campo de Saberes y Conocimientos podemos abordar las problemáticas de la realidad que hemos encontrado en el PSP “Mi Barrio libre de violencia”.

 

 

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Para realizar esta actividad nos guiamos por las siguientes preguntas:

1. ¿Cómo el sentido del Campo de Ciencia Tecnología y Producción, contribuye a mitigar la problemática del PSP “Mi Barrio libre de violencia”?.  

             

 2. ¿Por qué es necesario relacionar los contenidos de las áreas del Campo de Ciencia Tecnológica

y Producción con las actividades del PSP?

3. ¿Por qué la inseguridad ciudadana afecta el normal desarrollo en la actividad socioeconómica

de la población?

 

PSP

• Mi  barrio  libre  de  violencia  

PROBLEMÁTICA

• Inseguridad  ciudadana  

SENTIDO DE CAMPO

• Mi\gar  la  dependencia  económica  y  tecnológica    

 

 

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4. El PSP “Mi barrio libre de violencia” es un fenómeno social, en este entendido ¿Cómo la

violencia se desarrolla en la concreción curricular, desde el Campo de Ciencia Tecnología y Producción?

   

5. Luego del análisis y reflexión, en el siguiente cuadro registramos las ideas o conceptos relevantes para compartirlas en plenaria.

 

 

 

 

 

 

 

Las reflexiones sobre el sentido del Campo orientarán en el desarrollo curricular de cada Área.

Actividad 3

Problematización del PSP “Mi Barrio libre de violencia” tomando en cuenta el enfoque de Área

 

 

PSP

• Mi  barrio  libre  de  violencia  

PROBLEMÁTICA

• Inseguridad  ciudadana  

ENFOQUE DEL ÁREA

• Aplica\vo  • Transformador  

 

 

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Dando continuidad a la reflexión realizada en la anterior actividad y ahora reunidos por Áreas de Saberes y Conocimientos, dialogamos y reflexionamos sobre cómo abordar las problemáticas de la realidad que estamos respondiendo con el PSP “Mi Barrio libre de violencia” desde el Área de Matemática.

Para realizar esta actividad nos guiamos por las siguientes preguntas:

1. ¿Cómo el área de matemática puede contribuir a mitigar la violencia e inseguridad ciudadana? Describimos tres ejemplos:  

2. ¿Cómo la modelación matemática ayuda a comprender el fenómeno social de la violencia e inseguridad ciudadana?

3. ¿Cómo la matemática puede estimar el presente y el futuro del fenómeno de la violencia con base a la información recogida en el contexto?

 

 

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4. ¿Cuáles son las estrategias para el recojo de la información del fenómeno de la violencia y la matematización para su mejor comprensión?

                     

6. Luego del análisis y reflexión realizada, de manera similar a la anterior actividad, anotamos los elementos más relevantes para compartir en plenaria.

 

 

 

 

 

Actividad 4 (Primera plenaria)

Para conocer cómo se interpreta la problemática planteada en el PSP “Mi Barrio libre de violencia” desde el sentido de Campo de Saberes y Conocimientos y para tener una visión global de cómo se está asumiendo la misma desde el enfoque de las Áreas de Saberes y Conocimientos, desarrollamos esta plenaria donde se expondrán los resultados de las reflexiones desde:

a) Las conclusiones y aportes sobre la problematización del PSP desde el sentido del Campo de Ciencia, Tecnología y producción.

b) Las conclusiones y/o aportes desde el enfoque de cada Área de Saberes y Conocimientos que estén presentes.                  

PROBLEMATIZACION  DEL  PSP  DESDE  EL  

SENTIDO  DEL  CAMPO  Y  ENFOQUE  DEL  AREA  

ARTICULACION  DE  CONTENIDOS  Y  EJES  ARTICULADORES  DE  LOS  PROGRAMAS  DE  ESTUDIO  AL  PSP  

PROBLEMATIZACION  DE  LOS  CONTENIDOS    Y  EJES  ARTICULADORES  EN  FUNCION  DEL  PSP  

CONCRECION  CURRICULAR  A  PARTIR  DE  LOS  CONTENIDOS  PROBLEMATIZADOS  

 

 

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Para realizar esta actividad delegamos responsables por Campos y Áreas, y procuraremos ser sintéticos en las exposiciones. La plenaria podrá plantear ajustes y la profundización de las reflexiones de los Campos y Áreas que lo requieran. Para realizar esta actividad se deberá delegar a responsables por Campos y Áreas y se procurará ser concreto en la exposición que realicen. La plenaria podrá plantear ajustes y la profundización de la reflexión en los Campos y Áreas que lo requieran, todo lo cual se registrará en el cuadro que precede: 2. Articulación de contenidos6 de los Programas de Estudio al PSP  La reflexión y problematización generada en los anteriores puntos, debe permitirnos delinear criterios comunes para todas las Áreas y darle sentido y orientación crítica a nuestra planificación curricular y práctica educativa7. Esta problematización debe ayudarnos a una organización y articulación de contenidos (desde cada Campo y Área) acorde a la problemática y/o Actividad del Plan de Acción del PSP de nuestro contexto educativo planteada en el PSP.

La planificación curricular nos permitirá articular de manera pertinente la organización de nuestros contenidos (para no caer en respuestas mecánicas, a la hora de definirlos).

Actividad 5

Tomando en cuenta la reflexión generada en las anteriores actividades organizamos los contenidos y ejes articuladores de los programas de estudio de cada Área en función de la problemática o actividad del Plan de Acción del PSP.

A continuación presentamos un ejemplo de articulación de contenidos de cada Área del Campo Ciencia, Tecnología y Producción en función del PSP “Mi Barrio libre de violencia”, de acuerdo a los siguientes criterios:

– Contenidos orientados al PSP “Mi Barrio libre de violencia”. – Tomados del Programa de Estudio del Currículo Base y/o Regionalizado.

                                                                                                                         6  En  adelante  en  algunos  casos  sólo  se  utilizará  el  término  contenidos  y  en  otros  Contenidos  y  Ejes  Articuladores,  de  acuerdo  al  sentido  que  adquiera  en  su  redacción,  sin  embargo  debe  tomarse  en  cuenta  que  el  elemento  curricular  como  tal  es  Contenidos  y  Ejes  Articuladores.  7  Que  sería  el  momento  de  reflexión  política,  ya  que  en  éste  se  plantea  la  manera  en  cómo  encaramos  las  problemáticas  de  la  realidad  desde  los  sentidos  que  orientan  a  los  Campos  de  Saberes  y  Conocimientos  y  el  enfoque  de  las  Áreas.  Aquí  no  se  trata  solamente  de  un  uso  meramente  temático  de  un  problema  para  transversalizarlo  en  las  Áreas,  sino  se  trata  de  plantear  la  transformación  de  los  problemas  de  la  realidad  desde  una  orientación  política  de  construcción  de  la  realidad.  

 

 

 

 

 

 

 

 

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Organización de contenidos del Programa de Estudios para el 3ero. Año de Escolaridad de Educación Secundaria

Comunitaria Productiva

PSP “Mi Barrio libre de violencia”

CAMPO DE SABERES Y CONOCIMIENTOS: CIENCIA TECNOLOGÍA Y PRODUCCIÓN

Áreas Área Matemática Área Técnica Tecnológica

 CONTENIDO  DEL  PROGRAMA  DE  ESTUDIOS  PARA  3er  AÑO  DE  ESCOLARIDAD  DE  SECUNDARIA  COMUNITARIA  PRODUCTIVA    

El Álgebra, Geometría y su valor en la diversidad cultural

- El lenguaje algebraico - Propiedades algebraicas - Operaciones algebraicos - Productos notables - Cocientes notables - La factorización

Derecho al trabajo como forma de vida y seguridad social.

• Derecho al trabajo y al empleo • Contratos de trabajo • Inamovilidad laboral • Desahucios e indemnizaciones.

En el cuadro anterior observamos que las áreas de saberes y conocimientos se articulan al PSP a través de los Contenidos y Ejes Articuladores, ya que éstos para el Plan Anual Bimestralizado (PAB) se organizan desde los planes y programas del Currículo Base y del Currículo Regionalizado, y se contextualizan en función de la actividad del plan de acción del PSP.

Como se observa, desde las respectivas áreas se puede trabajar la problemática del PSP, para ello es necesario profundizar los conocimientos del área que nos ayuden a desarrollar los contenidos con pertinencia. En ese sentido esta Unidad de Formación N° 13 para el campo de Comunidad y Sociedad presenta contenidos que desde su estudio crítico nos muestran una nueva forma de ver los conocimientos que están al interior de cada área; para la formación de maestras y maestros, trabajaremos los siguientes contenidos:

Profundización de conocimientos de las Áreas del Campo de Ciencia, Tecnología y Producción

PSP “Mi Barrio libre de violencia”

CAMPO DE SABERES Y CONOCIMIENTOS: Ciencia Tecnología y Producción Áreas Área Matemática

Área Técnica Tecnológica

Contenidos para formación de maestros

El álgebra en situaciones concretas del contexto

- Productos Notables y su interpretación

geométrica - La factorización en los fenómenos sociales

y naturales - Funciones lineales y ecuaciones de

Primera Grados

Gestión, producción y cultura tributaria - Cultura tributaria. - Sistemas automáticos en la optimización

de la producción. - Elaboración y gestión de proyectos

socioproductivo.

 Luego del análisis y reflexión de la articulación de contenidos al PSP, pasamos a la siguiente actividad: Realizamos un ejercicio similar al ejemplo y los criterios de la actividad anterior, tomando en cuenta los Programas de Estudio del Currículo Base y Regionalizado, registrando en el siguiente cuadro la articulación de contenidos del Área para el quinto año de escolaridad en función del PSP presentado.

 

 

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Organización de contenidos del Programa de Estudios para el 5to Año de Escolaridad de Educación Secundaria Comunitaria Productiva

CAMPO DE SABERES Y CONOCIMIENTOS: COSMOS y PENSAMIENTO

AREAS Área Matemática Área Técnica Tecnológica

Contenidos del Programa de Estudio.

 3. Problematización de los contenidos organizados en función del PSP “Mi Barrio libre de violencia” o problemática de la realidad

Una de las exigencias centrales del MESCP para maestras y maestros, tiene que ver con la necesidad de realizar un desarrollo crítico, creativo y pertinente de los contenidos Y EJES ARTIUCLADORES para superar prácticas educativas repetitivas y memorísticas. Por lo tanto, los contenidos y ejes articuladores propuestos en los Programas de Estudio no son cerrados y definidos que simplemente haya que reproducir, por el contrario, se constituyen en la base sobre la cual maestras y maestros tenemos que dotar a los procesos educativos de un sentido pertinente a nuestra realidad, es decir desplegarlos desde nuestras necesidades, problemas y potencialidades. De esta manera, no se entiende al desarrollo de los contenidos como un fin en sí mismo, como nos han acostumbrado los anteriores modelos educativos; desde el punto de vista del MESCP, los contenidos y su desarrollo son el medio para desplegar procesos educativos vinculados a la vida y para responder a las necesidades, problemas y potencialidades de nuestra realidad. Por tanto los contenidos tienen que ser trabajados según las exigencias de los diversos contextos, de nuestro país, con pertinencia. ¿Cómo articulamos los contenidos de los Programas de Estudio con nuestra realidad para darle un sentido pertinente? Para lograr este cometido se requiere orientar los contenidos en función de las problemáticas, necesidades y/o potencialidades de la comunidad. Esta orientación de los contenidos a la realidad se logra a través de su problematización, es decir a partir de realizarnos preguntas que redefinan al contenido, que sin perder su naturaleza, expresen una orientación específica referida a nuestras necesidades, problemas y potencialidades. En ese sentido, los contenidos de los Programas de Estudio tienen que ser problematizados en función de la problemática identificada en el PSP o la actividad del plan de acción planteada para desarrollar el PSP. De esta manera la problematización de los contenidos que se desarrolle en función de una determinada problemática de la realidad, plantean preguntas que le dotan a los contenidos de una orientación y un sentido específico referido a las necesidades, problemas y potencialidades del contexto.

 

 

18  

Es importante tomar en cuenta que la problematización está referida a las necesidades, problemas y potencialidades de nuestro contexto inmediato, es decir nuestra comunidad, barrio, ciudad. Así se tiene un contenido que se ha transformado en una o en varias preguntas, que se convierten en el punto de partida para el desarrollo de los procesos educativos con las y los estudiantes. Ejemplo:

Área de Saberes y

Conocimientos

Contenido del Área de Matemática

Problemática del PSP “Mi

Barrio libre de violencia”

Problematización del contenido en función del problema de la realidad

Matemática

El álgebra en situaciones concreta del contexto

1. Productos Notables y su

interpretación geométrica 2. La factorización en los

fenómenos sociales y naturales

3. Funciones lineales y ecuaciones de Primera Grados

 

Inseguridad ciudadana

Explicamos ¿Cómo los productos notables, la factorización y las funciones lineales pueden facilitar la comprensión del fenómeno de la violencia?

 

Actividad 6 Después de la organización de contenidos que se realiza para cada Área se procede a su problematización a partir de los siguientes criterios:

− Planteamos preguntas problematizadoras que permiten orientar los contenidos y Ejes Articuladores hacia la problemática presentada en el PSP o la actividad del Plan de acción del PSP.

− Las preguntas problematizadoras expresarán toda la discusión realizada en las actividades anteriores, es decir, deberá expresar también los sentidos de los Campos y Enfoque de las Áreas.

− Las preguntas problematizadoras plantean tareas nuevas/inéditas que posibilitan orientar las prácticas educativas para transformar una determinada realidad. No son preguntas cerradas, explicativas ni descriptivas; son preguntas que llevan a la acción.

Área de Saberes y Conocimientos

Contenido de los Programas de Estudio

Problemática del PSP “Mi Barrio libre de violencia”

Problematización del contenido en función del problema de la realidad O Actividad del Plan de Acción del PSP

Matemática                

  Inseguridad  ciudadana  

 

 

 

19  

4. Concreción curricular a partir de los contenidos problematizados Llegados a este punto nos encontramos con preguntas que serán la base para la concreción educativa. Como hemos visto en la actividad anterior, las preguntas son la forma en que los contenidos adquieren pertinencia para desarrollar los procesos educativos en función de los problemas de la realidad.

Esto no implica que lo que sabemos sobre el contenido se niega o se deja de lado, el conocimiento acumulado de maestras y maestros sobre un contenido específico será el fundamento sobre el cual realizaremos cualquier adaptación o búsqueda de respuestas a preguntas inéditas producto de la problematización. De lo que se trata, es de darle sentido a los contenidos, por tanto no se trata de un desarrollo enciclopédico y temático de los mismos. Entonces, los contenidos trabajados a partir de la formulación de preguntas nos plantea buscar su resolución en el mismo proceso educativo, donde con la participación de las y los estudiantes, maestras y maestros y comunidad educativa producimos conocimiento al responder las preguntas planteadas, esto involucra transformar nuestra práctica en varios sentidos.

Partir de una pregunta en el quehacer educativo, es partir sabiendo que como maestras y maestros no tenemos el “CONTROL” de todo el proceso educativo y sus resultados, es decir que, como la pregunta es inédita, nosotros como maestras y maestros al igual que las y los estudiantes no conocemos las respuestas a priori y tampoco las encontraremos en referencias bibliográficas o en el internet como un contenido definido. Partir de la pregunta nos lleva a la búsqueda de respuestas, es decir, que en el proceso educativo que promovemos, también nos corresponde aprender. En un proceso de estas características también las relaciones establecidas con las y los estudiantes se reconfiguran, ya que como estamos partiendo de la realidad del contexto, es decir de los problemas, necesidades y potencialidades de la comunidad, barrio, ciudad, hay que tomar en cuenta que las y los estudiantes tienen saberes y conocimientos profundos de la realidad donde viven y por tanto, a nosotras como maestras y maestros nos tocará también aperturarnos a escuchar y aprender de las y los estudiantes, de la misma manera con madres, padres de familia y la comunidad en general.

Partir de preguntas de la realidad, implica desarrollar procesos educativos creativos, es decir que es un proceso que involucra la producción de conocimiento y la producción de una nueva realidad, esto implica superar una reproducción acrítica de los contenidos y perfilar su desarrollo pertinente y útil para la vida.

Actividad 7

A partir de las preguntas que problematizan los contenidos, realizadas en la actividad anterior, planteamos las orientaciones metodológicas pertinentes.

Las orientaciones metodológicas que planteamos deben tomar en cuenta que este proceso de búsqueda de respuestas a las preguntas que estamos formulando, tendrán que ser resueltas con la participación de las y los estudiantes y si fuera necesario/viable con la comunidad en un proceso educativo, por lo tanto debemos proponer orientaciones metodológicas que permitan trabajar los cuatro momentos metodológicos: Práctica, Teoría, Valoración y Producción.

 

 

20  

Como ejemplo consideramos lo siguiente:

Área de Saberes y Conocimie

ntos

Contenido de los Programas

de Estudio

Problemática del PSP “Mi Barrio

libre de violencia”

Problematización del contenido en función del problema de la

realidad

Orientaciones Metodológicas que permiten lograr plantear

respuestas pertinentes

Matemática  

El álgebra en situaciones concreta del

contexto

- Productos Notables y su interpretación geométrica

- La factorización en los fenómenos sociales y naturales

- Funciones lineales y ecuaciones de Primera Grados

Inseguridad ciudadana

Explicamos ¿Cómo los productos notables, la factorización y las funciones lineales pueden facilitar la comprensión del fenómeno de la violencia?

- Luego se elabora un cuestionario para realizar el trabajo de campo en la zona para recoger información sobre el número de casos de violencia y, en función del tiempo x, en semanas que sucedieron expresados y representados a través de las funciones lineales y ecuaciones de primer grado en las coordenadas rectangulares (considerando que la relación sea lineal).

- Identificamos los puntos vulnerables a la violencia en la zona, representando las formas y los espacios de viabilidad en el plano cartesiano con base en la información recogida.

- En grupos se hace un diálogo de reflexión crítica sobre la necesidad de comprender y aplicar las propiedades y procedimientos de la geometría plana y las funciones lineales.

- Se elaboran planos a escala en los que se ubiquen de forma precisa las zonas vulnerables a la violencia, a través del cálculo de distancias y áreas, además de la incidencia de este fenómeno expresado como funciones lineales o ecuaciones de Primer grado.

 A continuación planteamos Orientaciones metodológicas que dinamicen los contenidos y Ejes Articuladores problematizados en la anterior actividad:

Área de Saberes y Conocimiento s

Contenido de los Programas de Estudio

Problemática del PSP “Mi Barrio libre de violencia”

Problematización del contenido en función del problema de la realidad

Orientaciones Metodoló-gicas que permiten lograr plantear respuestas pertinentes

Matemática

Inseguridad ciudadana

 

 

 

 

21  

 

Actividad 8 (Segunda Plenaria)

Después de trabajar los puntos 2, 3 y 4, se expondrán los resultados, conclusiones y dudas de las actividades a la plenaria.

Momento 2 Sesiones de construcción crítica y concreción educativa (138 horas)

En este momento de formación, es importante trabajar en las Comunidades de Producción y

Transformación Educativa CPTEs. A él corresponden las actividades de Autoformación, Formación

Comunitaria y las de Concreción educativa.

I. Actividades de autoformación

En la autoformación cada maestra o maestro desarrolla procesos de reflexión sobre su formación,

por lo que debe realizar acciones que vayan en favor de ese cometido. Para ello, se proponen las

siguientes actividades:

1. Preguntas problematizadoras por tema. 2. Lecturas de trabajo de nuestra Área de Saberes y Conocimientos. 3. Actividades de análisis y reflexión de la problematización de las lecturas de trabajo y otros.

En las unidades educativas donde haya la posibilidad de hacer un trabajo entre varios docentes de la misma área, estas actividades deberán ser desarrolladas de forma colectiva.

Tema 1. Productos Notables y su interpretación geométrica Actividad 1. Organizamos grupos y respondemos las siguientes preguntas problematizadoras ¿Qué utilidad tienen los productos notables en nuestra vida cotidiana?

 

 

22  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¿Cómo se puede abordar el contenido de los Productos Notables en el álgebra, sabiendo que el PSP es “Mi barrio libre de violencia” donde sus dos primeras acciones son: a) la Sensibilización e información sobre seguridad ciudadana y b) La conformación de brigadas vecinales.

¿Cómo los productos notables se pueden articular a las acciones del PSP “Mi Barrio libre de violencia”. ¿Cómo podemos mostrar la integración del algebra y la geometría, al mismo tiempo representar, demostrar y expresar simbólicamente el fenómeno de la violencia en nuestro contexto?

 

 

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Lectura de trabajo para el tema 1 Lecturas 1

El laberinto del significado: la comunicación en el aula de matemática David Mora y Wladimir Serranog.

Lenguaje, comunicación y significado en educación matemática Ed. 2006, Editorial “Campo Iris” s.r.l. La Paz – Bolivia

Orígenes del lenguaje matemático El hombre sintió desde tiempos muy remotos la necesidad de comunicarse con sus semejantes, en sus inicios predominaron seguramente el lenguaje gestual y los gruñidos; pero, más pronto que tarde, éste fue creando los primeros rudimentos del lenguaje. Este incipiente lenguaje contenía componentes claramente identificables con la transmisión de ideas matemáticas (lenguaje matemático), habiéndose encontrado que “el documento matemático más antiguo es un conjunto de 55 incisiones o tarjas, en grupos de cinco, hechas en un hueso de lobo de 30.000 años de antigüedad encontrado por Barrow (1997). Por otra parte, “la evidencia más temprana de un artificio para hacer registros numéricos lo constituye un peroné de un mandril, el cual posee 29 muescas claramente visibles, que data cerca de 35.000 a. C., hallado en una cueva en las montañas de Lebembo en las fronteras de Swazilandia en el África meridional” (Wells, 1997, p. 224). Este descubrimiento, también ews señalado por Barrow, (1997, pp. 31-32). Otro hito importante en este aspecto en este aspecto lo constituye un hueso desenterrado en la década del 50 en un poblado llamado Ishango, situado a las orillas del lago Eduardo, en Zaire, el cual fue datado entre 9.000 y 6.500 años a. C. (Barrow, 1997; Gheverghese, 1996). También, Campiglio y Eugeni (1992) mencionan un fragmento de hueso de águila tallado,. El cual se remonta al Magdaleniense medio. Compartimos la afirmación de que “hacer marcas es la forma más antigua conocida dl sentido del número en el hombre” (Barrow, 1997, P.31). Mención aparte merecen los diversos vestigios dejados por las culturas precolombinas. Encontramos aquí los famosos petroglifos, los cuales constituyen un rico material sobre cuyo significado aún no se han puesto de acuerdo los estudiosos. Dentro de la producción de estas culturas están los quipus incas, los cuales constituyen un ingenioso instrumento de recopilación y transmisión de información numérica basada en nudos hechos en cuerdas de diversos colores, además, no podemos dejar de mencionar el prodigioso sistema de numeración especial para rellenar los lugares vacíos, creación esta anterior en 500 años a la realizada por los hindúes con la misma finalidad. ¿Qué es el lenguaje? Responder a esta interrogante es un asunto controvertido, más aún por cuanto la definición de lenguajes (en su concepción general) no está exenta de polémica entre semiólogos, psicólogos, educadores, filósofos y lingüistas. Para tener una definición de referencia a los efectos de este trabajo, se asumirá como definición –en general- la siguiente: el lenguaje es un sistema de signos, sujetos a una serie de reglas sintácticas (gramática) así como reglas de uso presentes en una cultura, los cuales dentro de un campo significativo permiten la comunicación entre un emisor y un receptor en el ámbito de un sistema comunicacional. Aclaremos que ésta es una de las posibles maneras de definir lenguaje. En ella hemos considerado tanto aspectos de corte sintáctico como de tipo pragmático. Estos últimos van a tener una amplia y profunda relación en la adquisición del significado, en gran medida por el papel que juegan los textos.

 

 

24  

El signo lingüístico: su papel en el lenguaje matemático Cualquier proceso de comunicación está centrado en el signo, elemento este que desde Saussure (1857 – 1913) se ha convertido en la unidad básica de análisis de lingüística y semiología. El Signo. De acuerdo con el punto de vista sausuriano, está conformado por dos elementos indisolublemente ligado: El significante y el significado. En relación con el signo, se afirma que “un signo se explica en su propio significado solamente remitiéndole a un interpretante, el cual se refiere a otro interpretante y así sucesivamente hasta lo infinito, estableciendo un proceso de semiosis ilimitada, en el curso del cual el destinatario descodifica el signo originario sólo en aquello que le sirve para fines de la comunicación emprendida, o de los usos de referencia a los que se pretende aplicarlos. “Eco, 1988, p. 174). Se dice que “el significado es una relación entre el interpretante del emisor y el interpretante del receptor (Pignatari, 1977, p. 26). Así, hemos de recalcar que cualquier código o lenguaje está basado en un conjunto de signos elementales o atómicos, los cuales constituyen su alfabeto, mediante el cual se constituyen nuevos signos de mayor de complejidad (supersímbolos), los cuales frecuentemente son llamados palabras. Proporciones tres ejemplos (dos de ellos de tipos matemático) para ilustrar lo entes dicho. Ejemplo 1. Consideremos como alfabeto como alfabeto el conjunto A= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} y el sistema de numeración posicional de base diez que comúnmente usamos. Este sistema de numeración constituye un lenguaje cuyo alfabeto es el conjunto A. Los símbolos 45 y 478242 son palabras dentro de este lenguaje. Algunas características específicas de este lenguaje son:

- Cualquier palabra construida con este alfabeto está bien formada; esto es, posee “significado”

- Por cuanto podemos crear cadenas del tamaño que queramos concatenando elementos d nuestros alfabeto A, se pueden crear infinitas palabras en este lenguaje. Cada palabra es un número natural.

- No existe sinonimia. Es decir, no existen dos representaciones distintas (dentro del mismo lenguaje) las cuales posean el mismo significado.

- Tampoco existe polisemia. Esto es, no ocurre que una misma representación posea más de un significado.

Ejemplo 2. Note que en contraposición, si consideramos el idioma español, y tomamos como alfabeto el abecedario latino, B= {a,b,….., z}, no toda concatenación de elementos del alfabeto B posee significado.

 

 

25  

Ejemplo 3. Consideremos el lenguaje algebraico. Éste tiene un alfabeto mucho más complejo que el de los ejemplos anteriores. Son elementos de este alfabeto el abecedario latino, el abecedario griego, los numerales (actuando éstos de agrupación con diferentes “significados”: coeficientes, exponentes, subíndices), los signos de agrupación como los paréntesis, signos de mayor y menor, signo de igualdad, etc. Es común llamar fórmulas a los elementos de este lenguaje. Así, por ejemplo, “3x2-x+5=0” y “(a-b)3 son palabras de este lenguaje. Por su parte, “x.(23y) y x+-35” no tienen significado de acuerdo con las “reglas” de construcción de las expresiones algebraicas. Existe aquí la presencia de sinonimia. Por ejemplo, las expresiones “(sen(x))2 y “sen2(x)” poseen el mismo significado. A la hora de enfrentar la actividad en el aula, el proceso de comunicación empieza a ser muy complejo. Esto puede reflejarse en los anteriores ejemplos, y la diferencia sustancial entre las situaciones presentadas en los ejemplos 1 y 3, podrían darnos pistas para estudiar las dificultades con las que tropiezan los estudiantes en el paso de la aritmética al álgebra. Como se podrá notar, la noción de signo lingüístico es una poderosa herramienta para el estudio, desde el punto de vista de la Didáctica de la Matemática, de las interrelaciones comunicacionales que se producen en el sistema didáctico, en las cuales también se producen fenómenos como la sinonimia y la polisemia. Actividad 2 ¿Cómo el lenguaje algebraico ayuda a la comprensión de la problemática de la “violencia escolar y familiar”? Registramos tres ejemplos.

Problemática Ejemplo “Violencia escolar”

Lecturas de trabajo para el tema 2 Lecturas 2

PRODUCTOS NOTABLES Tanto en la multiplicación algebraica como en la aritmética se sigue un algoritmo cuyos pasos conducen al resultado. Sin embargo, existen productos algebraicos que responden a una regla cuya aplicación simplifica la obtención del resultado. Éstos productos reciben el nombre de productos notables.

 

 

26  

Se llama producto notable a un producto que puede ser obtenido sin efectuar la multiplicación. Algunos de ellos son los siguientes: Cuadrado del Binomio Recordemos que a la expresión algebraica que consta de dos términos se le llama binomio. El producto de un binomio por sí mismo recibe el nombre de cuadrado del binomio. El desarrollo de un cuadrado de binomio siempre tiene la misma estructura. Por ejemplo, al elevar al cuadrado el binomio “a+b”, multiplicando término a término, se obtendría:

( ) ( ) ( ) 22222 2 bababbaababbabbaaabababa ++=+++=⋅+⋅+⋅+⋅=+⋅+=+

pero si comparamos la expresión “ ( )2ba + ” con el resultado de su expansión “ 22 2 baba ++ ” podemos observar que el resultado tiene una estructura como la siguiente:

Donde representa al primer término del binomio y al segundo. Si tomamos como ejemplo al binomio “a-b”, ocurre lo mismo que para a+b sólo que en la reducción de términos semejantes se conserva el signo menos delante del doble producto, o sea:

En ambos casos vemos que se tiene la misma estructura diferenciándose sólo en un signo. A partir de este hecho podemos presentar la fórmula para desarrollar el producto notable cuadrado del binomio: “El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer término más (o menos) el doble del producto del primer término por el segundo más el cuadrado del segundo término” La estructura que representa esta fórmula es:

Algunos ejemplos:

i. ( ) ( ) 22222 442222 bpbpbbppbp ++=+⋅⋅+=+

ii. ( ) ( ) ( ) 22222 162494432343 nmnmnnmmnm ++=+⋅⋅+=+

iii. ( ) ( ) ( ) 22222 10255255 yxyxyyxxyx ++=+⋅⋅+=−

 

 

27  

Representación Geométrica del Cuadrado del Binomio El cuadrado del binomio, como otros productos notables, tiene una representación geométrica en el plano. Consiste en considerar el área de un cuadrado de lado “a+b“ y las regiones que estas medidas generan en el cuadrado. Consideremos dos trazos “a” y “b” : Con ellos se construye un trazo de longitud “a+ b“: y con él un cuadrado de la misma longitud:

Si se extienden los extremos de los trazos “a” y “b“ éstos dividen al cuadrado en cuatro áreas menores: dos cuadrados, uno de lado “a” y otro menor de lado “b“, y dos rectángulos de largo “a” y ancho “b“.

a b

ba +

 

 

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La suma de las áreas de estos cuadrados y rectángulos es igual al área total del cuadrado de lado a+ b, es decir:

Suma por Diferencia Consideremos el producto de la suma de dos términos “ ba + ” por su diferencia “ ba − ”. Al desarrollar el producto:

( )( ) 22 babbabbaaababa −=⋅−⋅+⋅−⋅=−+ Podemos observar que el resultado tiene una estructura como la siguiente:

Es decir, la suma de dos términos por su diferencia es equivalente a la diferencia de los cuadrados de los términos. La fórmula para el producto notable suma por diferencia se enuncia como sigue: “El producto de una suma de dos términos por su diferencia es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo” Algunos ejemplos son:

I.

II.

III. Representación Geométrica de la Suma por Diferencia Para representar la suma por diferencia, utilizaremos un rectángulo de largo “a+b“ y ancho “a-b”. Considere dos trazos “a” y “b“cualesquiera:

( )( ) 25 5 25x x x+ − = −

( )( )2 2 43 3 9a a a− + = −

( )( )5 4 5 4 10 82 6 2 6 4 36p q p q p q+ + = −

a b

 

 

29  

Con el trazo a se construye el siguiente cuadrado:

A este cuadrado se le agrega un rectángulo de lados “a“ y “b”:

De este rectángulo (de lados “a“ y “a+b”) se le recorta un rectángulo de lados “a“ y “b“ (el achurado en la figura):

 

 

30  

Quedando:

El área buscada es la del rectángulo de lados “a+b“ y “a-b“, para lo que debemos recortarle a la figura anterior el cuadrado de lado “b”,

Finalmente, la representación geométrica de la suma por diferencia se puede resumir por el siguiente esquema:

 

 

31  

Multiplicación de Binomios con un Término Común Este producto notable corresponde a la multiplicación de binomios de la forma “ ba + ” por “ ca +”. Al desarrollar el producto

( ) ( ) ( ) bcacbacaba +++=+⋅+ 2 Se observa que la estructura es la siguiente: La fórmula para el producto de BINOMIOS CON UN TÉRMINO COMÚN se enuncia como sigue: “Cuadrado del primer término, más la suma de los términos distintos multiplicada por el término común y más el producto de los términos distintos” Ejemplos:

§ ( ) ( ) ( ) 65232323 22 ++=⋅+++=+⋅+ xxxxxx ,

§ ( ) ( ) ( ) 56787878 22 −+=⋅+−+=−⋅+ − aaaaaa ,

§ ( ) ( ) ( ) 10821129129129 22 ++=⋅+⋅++=−⋅− −−−−− pppppp ,

Representación Geométrica de la Multiplicación de Binomios con un Término Común Se consideran tres trazos “a”, “b“ y “c“ de medidas distintas, por ejemplo: Con ellos se construyen dos trazos de longitudes “a+b“ y “a+c”:

a b c

 

 

32  

Y a partir de estos se construye un rectángulo de lados “a+b“ y “a+c”:

De aquí podemos establecer la siguiente igualdad entre áreas:

( ) ( ) bcacabacaba +++=+⋅+ 2 El siguiente esquema muestra este producto:

( ) ( ) bcacabacaba +++=+⋅+ 2

A continuación presentamos otros productos notables con sus respectivas fórmulas:

§ Cubo de un binomio

i.

ii.

§ Cuadrado de un trinomio

i.

ii.

( )3 3 2 2 33 3a b a a b ab b+ = + + +

( )3 3 2 2 33 3a b a a b ab b− = − + −

( )2 2 2 2 2 2 2a b c a b c ab ac bc+ + = + + + + +

( )2 2 2 2 2 2 2a b c a b c ab ac bc− − = + + − − +

 

 

33  

§ Suma y resta de cubos

i.

ii.

Actividad 3. Con base a la anterior lectura presentamos a la anterior lectura proponemos otros productos notables que se expresen de la geometría. Mencionemos tres ejemplos.

Tema 2: La factorización en los fenómenos sociales y naturales

Actividad 1. Organizados en grupo, respondemos a las preguntas problematizadoras en los espacios asignados: Haciendo un análisis crítico ¿Cuál es la utilidad o importancia de la factorización en el contexto social? Mencionemos tres criterios

( )( )2 2 3 3a b a ab b a b+ − + = +

( )( )2 2 3 3a b a ab b a b− + + = −

 

 

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¿De qué manera contribuyen las operaciones, propiedades y conceptos de la Factorización en el fenómeno de la inseguridad ciudadana? Mencionemos tres criterios. ¿Cómo podemos articular el área de matemática con las áreas de otros campos de saberes y conocimientos con la problemática de “inseguridad ciudadana”?

Lecturas de trabajo para el tema 2 Lectura 1

Guía didáctica para la aplicación del material Puzzle algebraico Juan Jesús Larrubia Martínez

1. Representación geométrica de expresiones algebraicas con Puzzle algebraico.

El material didáctico Puzzle algebraico es una colección de piezas con la que se puede representar geométricamente una expresión algebraica. Está inspirado en una versión simplificada (compuesta por placas, tiras y unidades) de los Bloques Multibase de Dienes, utilizada por Bruner y el propio Dienes para la construcción de cuadrados, como representación geométrica de trinomios de términos positivos de segundo grado que son cuadrados perfectos, en el contexto de una investigación con escolares sobre etapas de desarrollo cognitivo.

 

 

35  

2

Puzzle algebraico es una versión ampliada y original, en cuanto a la metodología de combinación de las piezas, en cuanto a los trinomios que pueden representarse, y en cuanto a su campo de aplicación a la resolución de todo tipo de ecuaciones, del modelo de Dienes y de otros modelos también inspirados en la versión simplificada de los Bloques Multibase, denominados algebra tiles2 (utilizados en Estados Unidos) y orientados entre otras aplicaciones (como son el producto de monomios y de binomios, el cuadrado de un binomio de 1er grado, etc.) a la factorización de trinomios de segundo grado.

Su aplicación a la resolución de ecuaciones, constituye un método mixto (geométrico y algebraico) de resolución que tiene entre sus antecedentes la factorización geométrica de trinomios de segundo grado y el método de completar cuadrados desarrollado por Mohammed Ibn Musa Al-Khwarizmi (780-850), matemático árabe considerado padre del álgebra por su obra “Hisab al-yabr wa´l muqqabala”, por lo que puede ser considerado un método de resolución con raíces interculturales que contempla el desarrollo histórico de las matemáticas.

El método de resolución de ecuaciones con Puzzle algebraico está basado en la trasformación algebraica de la expresión general de la ecuación que se quiere resolver, en una ecuación equivalente más sencilla con expresión factorizada o en forma de binomio al cuadrado, con o sin término independiente, obtenida de la medida de las dimensiones de un rectángulo o un cuadrado, construido a partir de la colección de piezas del puzzle algebraico que representa la expresión algebraica de la ecuación de segundo grado inicial. Las soluciones de la ecuación, si las hubiese, se obtienen aplicando a la ecuación equivalente procedimientos algebraicos “directos” de resolución (como el del producto de dos factores cuyo resultado es cero o el criterio de la raíz).

1.1. Descripción del material didáctico Puzzle algebraico.

Llamamos Puzzle algebraico a una colección de figuras geométricas planas, formada por cuadrados y rectángulos que representan:

• El cuadrado de área 1 de dimensiones 1 x 1, que denominaremos unidad positiva. • El rectángulo de área X de dimensiones 1 x X, que denominaremos tira positiva.

• El cuadrado de área X2 de dimensiones X x X, que denominaremos placa positiva.

Cuadrado de área 1 Rectángulo de área X Cuadrado de área X2

   

1 1 1 X

   

1  

Unidad positiva

X X X

 Tira positiva

 

   

X  

Placa positiva  

- Está colección está inspirada, como hemos comentado en la introducción, en una versión simplificada de los Bloques Multibase de Dienes (Dienes [1964]), de las que las piezas del P uzzle toman el nombre, y con las que sólo se pueden representar trinomios de segundo grado de términos positivos.

- En consecuencia, sí queremos representar cualquier trinomio de segundo grado (con

términos positivos y/o negativos), debemos completar la colección inicial con las versiones negativas de las piezas anteriores.  

   

 

 

36  

 X2

 X2

 X2

 X2

 

 -X2

 -X2

 -X2

 -X2

 

     

   

 

Aunque las áreas y las medidas de los lados de los rectángulos no pueden ser negativas, en el modelo didáctico de representación desarrollado, las piezas negativas, representan figuras con área negativa como consecuencia de ser negativa la medida de uno de sus lados.  - Aunque las áreas y las medidas de los lados de los rectángulos no pueden ser

negativas, en el modelo didáctico de representación desarrollado, las piezas negativas, representan figuras con área negativa como consecuencia de ser negativa la medida de uno de sus lados.  

1.2. Representación geométrica de expresiones algebraicas mediante un conjunto de

piezas.

- Toda expresión de 2º grado en forma general completa (ax 2 + bx + c ) o incompleta (ax 2

+ bx o ax 2 + c ) puede ser representada geométricamente por un conjunto de piezas del

Puzzle algebraico.

Esta representación geométrica se realiza término a término.

- En concreto: 1) El término cuadrático (ax2) se representa mediante:

a) Una placa o conjunto de placas X2 cuando ax2

es positivo Ejemplos:

   

X2 X2 X2 X2 X2 X2  ···

 x2 2x2 3x2

   4x2

   b) Una placa o conjunto de placas � X 2, cuando ax 2 es negativo.  

Ejemplos:    

-X2 -X2 -X2 -X2 -X2 -X2  

...  

- x2 - 2x2 - 3x2  

- 4x2

 

               -­‐X    -­‐1  

Cuadrado  de  área  1   Rectángulo  d  área  x   Cuadrado  de  área  X2  

         -­‐  X2  

Tira negativa Unidad negativa

Placa negativa

 

 

37  

   x

 x

 x

x            5x  x

 

x  x x x

   -x

 -x

 -x

 -x

 -x

 

   x

 x

 x

 x

-x  -x

 

   -x

 -x

 -x

 -x

x    

 2) El término en X (bx ) puede ser representado mediante:

a) Una tira, un conjunto de tiras o la combinación de dos conjuntos de tiras X, cuando bx es positivo.

Ejemplos:    

   

x

   

       ···

  x 2x 3x 4x

b) Una tira conjunto de tiras o las combinación d dos grupos –X, cunado bx es negativo

 

c) La combinación de dos grupos o conjunto de tiras X y ­−  X Como se indica en las figuras, siempre que la suma algebraica de los dos grupos coincida con el término bx que queremos representar. Aquí se aplica el principio: “pares de valores opuestos se anulan”

 Ejemplos:

         

...      

2x

(4 x ­−  2x =  2x)  - 3x

(x ­−  4x =  ­−3x)  - x

(4x ­−  5x =  ­−x)      

3) El término independiente (c) se representa mediante:  

a) Una unidad o conjunto de unidades positivas (1) cuando el término independiente es positivo.

     

x   x   x  

x

x  

x  

x  

x  

x

x

-x  

-x  

 

-x

-x -­‐x  

-x  

-x  

 

-x  

 

-x  

 

-x   -x

-­‐2x   -­‐3x   -­‐4x  

 

 

38  

1 1 1 1 1 1 1 1  

1 1 1 1  

-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1

 

-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1

 

-1   -1 -1 -1 -1

  -1 -1 -1 -1 -1

 

  -1  -1 -1

-1 -1   -1

      -1

4     -1

      -1 - 9   - 12   - 12       - 7          

 

Ejemplos:    

1

     1 1 1 1

1 1 1

... 1 1 4 1

4 5 8  

b) Una unidad o conjunto de unidades negativas (� 1) cuando el término independiente es negativo.

 Ejemplos:

     

-1 -1 -1  ...

 - 1 - 4

         

Ejemplo: La expresión de 2º grado completa 2 x 2 +  5x +  3 se puede representar por las piezas:        

X2 X2 X X X X X 1 1 1      

2 x 2

             

5x 3

 

 

39  

 

1.3. Expresión algebraica asociada a una representación geométrica con puzzle

algebraico.

 

Hemos visto que toda expresión de 2º grado puede ser representada geométricamente mediante un conjunto de piezas del puzzle. A la inversa también ocurre: Todo conjunto de piezas que incluya al menos una placa (X2) representa una expresión de 2º grado.  Ejemplo: Dado el siguiente conjunto de piezas.  

     

X2 x -x -x -x  

-1 -1  

-1      

•     Escribiendo la suma de todos los valores, tenemos la expresión:

x 2 +  x ­−  x ­−  x ­−  x ­−  1 ­−  1 ­−  1 •     Agrupando términos y operando obtenemos la expresión de 2º grado asociada:

x 2 ­−  2x ­−  3      1.4. Utilidad del Puzzle algebraico: Construcción de rectángulos y cuadrados para

obtener expresiones equivalentes más simples.    A partir del conjunto de piezas del Puzzle que representa una expresión de 2º grado podemos construir rectángulos y/o cuadrados. El cálculo del área de estas figuras nos permitirá obtener expresiones más sencillas (en forma factorizada o en forma de binomio al cuadrado) equivalentes (idénticas) a la expresión general de 2º grado inicial representada.

• Para fundamentar y describir este proceso de obtención de expresiones equivalentes desarrollaremos dos ejemplos.

 Ejemplo 1: Proceso de obtención de una expresión 2º grado equivalente a x 2 + 3x + 2 en forma factorizada a partir de la construcción de un rectángulo, con el conjunto de piezas del Puzzle que la representa.

a) Seleccionamos las piezas que representan la expresión x 2 + 3x + 2      

X2 x x x 1 1      

b) Construimos un rectángulo, eligiendo entre varias combinaciones posibles el siguiente:  

   

X2

   

x

   

x

x 1 1

 

 

40  

     

     

 

       

Área = (x+

       2).(

       +1)

     

 

       

Área = x

       +3x

       +2

     

 

 

 

X2

   -x

-x 1

 

2

   

c) Calculamos el área del rectángulo construido mediante dos procedimientos diferentes:  

•   Cálculo del área a partir de sus componentes: •   Cálculo del área a partir de sus dimensiones:  

­−      El área del rectángulo es igual a la suma de las áreas de las piezas que lo forman:

­−      El área del rectángulo es el producto de las dimensiones de su base por su altura:

 Área rectángulo = Suma área de las piezas Área rectángulo = Base . Altura

 

 X 1 1

 

 

X2 + x + x + x + 1 + 1    

X X+1

 

Área rectángulo = x +  x +  x +  x +  1 +  1 1

 ­−   Agrupando términos, tenemos: X+2

 

   

Área rectángulo = x 2 +  3x +  2 Área rectángulo = (x +  2). (x +  1)        

Conclusión: Cómo el rectángulo es el mismo y su área única, las dos expresiones del área son iguales.

       

= x        

x2+3x+2 = (x+2).(x+1)    

Resultando que: A partir de una expresión de 2º grado en forma general hemos obtenido una expresión equivalente más sencilla, en forma factorizada, mediante la construcción de un rectángulo.

   

Ejemplo 2: Proceso de obtención de una expresión 2º grado equivalente a x 2 ­−  2x +  1 en forma de binomio al cuadrado a partir de la construcción de un cuadrado, con el conjunto de piezas del Puzzle que la representa.

   

a) Seleccionamos las piezas que

representan la expresión x 2 � 2x + 1

b) Construimos un cuadrado, eligiendo entre varias combinaciones el siguiente:

X­−1    

X2 -x -x 1  X­−1

 

 

41  

     

Área =

     )2

   

 

     

Área = x2-2

     x+1

   

 

2

   

c) Calculamos el área de este cuadrado mediante los dos procedimientos vistos anteriormente:  

•   Cálculo del área a partir de sus componentes: •   Cálculo del área a partir de sus dimensiones:

­−      El área del cuadrado como suma de las áreas de las piezas que lo forman es:

­−      El área del cuadrado como producto de sus dimensiones o como el cuadrado del lado es:

 

Área cuadrado= x 2 ­−  2x +  1 Área cuadrado= (x ­−  1). (x ­−  1)  =  (x ­−  1)    �ƒConclusión: Cómo el cuadrado es el mismo y su área única, las dos expresiones del área son iguales.

     

=        

x 2 ­−  2x +  1 =  (x ­−  1)2

   Resultando que: A partir de una expresión de 2º grado en forma general hemos obtenido una expresión equivalente en forma de binomio al cuadrado (sin término independiente), mediante la construcción de un cuadrado.  

 2. Construcción de rectángulos y cuadrados con Puzzle algebraico: Características y condiciones.

- La construcción de rectángulos y cuadrados sirve para obtener expresiones equivalentes más sencillas de expresiones de 2º grado en forma general.

- Estas construcciones no son únicas, un mismo conjunto de piezas puede combinarse de diferentes formas, dando lugar a rectángulos y/o cuadrados distintos.

- Pero no todos los rectángulos o cuadrados que pueden construirse son válidos, sólo algunos de ellos nos permiten obtener expresiones equivalentes más sencillas.

- En consecuencia, será necesario establecer condiciones y reglas que nos faciliten la construcción de rectángulos y cuadrados válidos.

Ejemplo: Construye un rectángulo a partir de la siguiente colección de piezas del Puzzle que representa a la expresión algebraica de 2º grado:

x 2 +  x ­−  6

   

X2 x -1

x x -x -x -1

-1 -1  -1 -1

             

 

 

42  

-­‐1  

-­‐X  

X  

X2  

 

-­‐x  

-­‐1  

-­‐1  

-­‐1  

-­‐1  

-­‐1  

 

X  

 

X  

•  

•  

•  

•    Un posible rectángulo que se podría construir con esta colección de piezas, sería:  

- En este rectángulo es posible determinar las dimensiones (medidas de la base y de la altura). - Debido a la combinación de piezas realizada, las medidas de los lados paralelos son distintas

cuando deberían ser iguales.

Por tanto, no es posible calcular el área a partir de sus dimensiones y en consecuencia: no es posible obtener una expresión equivalente. 2.1. Tablero para la construcción de rectángulo y cuadrado con “Puzzle algebraico”

- La construcción de rectángulos o cuadrados, con objeto de unificar criterios y evitar errores en la determinación de las dimensiones, se realizará sobre el tablero de construcción o “esquina” en cualquier de sus dos versiones: superior o inferior.

a) El vértice del tablero constituye el punto de partida para colocar las placas x2 y para determinar las dimensiones de las construcciones.

b) En las barras horizontales y vértices, independientes del tablero adoptado, anotaremos las medidas, respectivamente de la base y de la altura del rectángulo o cuadrado construido.

•  

 Esquina  superior  

•  

 Esquina  inferior  

 Esquina  superior    Esquina  inferior  

 Punto de partida - Para colocar las piezas X2 - Para determinar las

dimensiones de la construcción

Punto de partida - Para colocar las piezas X2 - Para determinar las

dimensiones de la construcción

 

 

43  

Actividad 2 A partir de la anterior presentación, planteamos un resumen de reglas básicas para la agrupación, combinación de piezas y reglas de construcción. Lecturas de trabajo para el tema 2

Lectura 2

Geometría y factorización JOSÉ ANTONIO ARDILA AMEZQUITA

Universidad Surcolombiana Con la intención de contribuir en la comprensión del lenguaje algebraico, presentaré en esta ponencia cuatro ejemplos, los cuales se apoyan fundamentalmente en modelos geométricos, y estos a su vez, deberán ser tomados por los estudiantes para que se den la oportunidad de reconstruir y reencontrarse con algunos conceptos del álgebra.

El manejo y la comprensión del lenguaje algebraico deben apoyarse en otros lenguajes (el geométrico, el aritmético y el lenguaje común, ver (2) y (3). De acuerdo a lo anteriormente señalado, se deben proponer actividades que incorporen una situación en la que se presenten los diferentes lenguajes, de otra manera sería difícil llegar a generalizaciones, simbolización y manejo de destrezas algebraicas.  Los temas a tratar son: Factorizar la suma y la diferencia de cubos, el cubo de una suma y el cubo de una diferencia.  Contenido  Son varios los elementos que se han tenido en cuenta para la estructuración de esta ponencia y en general para los procesos de enseñanza y aprendizaje del algebra en el nivel secundario, aunque no necesariamente aparecerán todos, pero si deberían tenerse en cuenta por el lector en futuros análisis. Diversos son los problemas que ocurren con frecuencia al iniciar el estudio del algebra, más exactamente al encontrarse con el lenguaje algebraico, son muchos los fracasos escolares (por lo menos en el departamento del Huila) que se generan al estudiar el Algebra, por cuanto el paso de la

 

 

 

44  

Aritmética al Algebra es presentado de una manera trivial en el sentido de que es lo mismo, basta solo con cambiar los números por las letras, agregándole a ello que, casi la totalidad de los conceptos se miran de una manera demasiado formal y acompañados de algoritmos que se repiten sin sentido alguno.  

1. LA GENERALIZACION: es considerada como uno de los procesos que se realizan en la actividad matemática y esta a su vez es un generador de procesos de abstracción de una mayor dificultad y de un orden más elevado. Para este proceso se requieren tres cosas: ver, describir y escribir, ver (2).

2. EL RAZONAMIENTO VISUAL – ESPACIAL: Visto como aquel que liga la percepción visual con características, propiedades o relaciones geométricas.

3. EL MODELO GEOMETRICO: La geometría se convierte en una fuente de experiencias de diversa

índole. Por un lado, dado su origen empírico, permite una estrecha relación con el mundo físico y por el otro provee de modelos para interpretar el mundo y resolver problemas.  

Los griegos, aunque se cree conocían los métodos de los babilonios para la resolución de ecuaciones, desarrollaron métodos geométricos para la solución y comprobación de diversas propiedades, para problemas algebraicos (los cuales, utilizando nuestra algebra simbólica, se resolverían rápidamente), ver (4). “Si una de dos rectas dadas se divide en un numero cualquiera de partes, el rectángulo comprendido por dichas rectas equivale a los rectángulos comprendidos por la no dividida y por cada una de las parciales”. Esto es:

 

 

Esto corresponde a la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma. Y la proposición No. 4 también de los elementos de Euclides:”Si se divide de un modo cualquiera una recta por un punto, el cuadrado de la recta entera equivale a los cuadrados de las partes más el doble del rectángulo comprendido por las partes”.Lo anterior nos permite verificar la expresión (x+ y)2 = x2 + y2 + 2xy LOS LENGUAJES. La Matemática es un lenguaje creado por el hombre y se constituye en una poderosa herramienta para la comunicación, la expresión y la compresión de diferentes temas de esta ciencia, ver (1).

 

 

45  

La enseñanza y el aprendizaje del algebra es un núcleo esencial en la comunicación y expresión de la Matemática. Se propone un acercamiento al algebra en términos de traducción entre varios lenguajes: lenguaje común, lenguaje algebraico, lenguaje aritmético y el lenguaje geométrico. Esta traducción consiste básicamente en pasar de un lenguaje a otro y viceversa, aunque en los ejemplos que voy a mencionar solo haré referencia a uno pocos detalles.  Del lenguaje geométrico pasar al lenguaje algebraico: Hallar una expresión algebraica que represente el área de la siguiente figura.  

 Del lenguaje algebraico, al lenguaje aritmético: calcular el área de la figura anterior si x = 3, y = 5, z = 4 unidades de longitud. Del lenguaje algebraico, al lenguaje geométrico: dibuje una figura plana que represente cada una de las siguientes expresiones: XY; 2X + 2Y; XY+Y  Del lenguaje común, al lenguaje algebraico: sea x la edad de Diana, como representaría el número que excede al duplo de x en 2?(aquí podríamos colocar un valor determinado para la edad de Diana) y viceversa, enuncie una situación similar a la anterior que represente la expresión: 4X – 5Y Finalmente los ejemplos que a continuación se van a presentar recogen en parte todos y cada uno de los tópicos anteriores. Las actividades que se sugieren para el desarrollo del pensamiento visual y espacial son las siguientes:  1. Construir en cubo de madera con el objeto de que cada estudiante tenga un ejemplar. 2. Armar y desarmar el cubo. 3. Observar los objetos geométricos y clasificarlos de acuerdo a su forma. 4. Formación de diferentes sólidos o equivalencias entre los objetos que se pueden armar, con las piezas que integran el cubo. Con respecto a pasar de un lenguaje a otro y a los procesos de generalización, se evidenciara así: Asignar variables a cada uno de las aristas de los sólidos. Para cada una de sus aristas, determinar longitudes y sus respectivas diferencias. Encontrar el área de las caras y el volumen de cada sólido.  Manejo de destrezas algebraicas (términos semejantes y distributividad, entre otras) Cálculo del volumen utilizando valores numéricos o expresiones algebraicas más complejas.  

 

 

46  

1. Factorizar: X3 + Y3 El modelo grafico muestra un cubo dividido en varias regiones (2 cubos, uno de lado x y el otro de lado Y, 6 paralelepípedos rectos rectangulares de dimensiones, X, Y tres tiene de base un cuadrado de lado “X” y altura “y” y los otros tres tiene un cuadrado de lado “y” y altura “x”) X3 + Y3 por un lado corresponde a la suma de los volúmenes de los dos cubos antes mencionados y por otro lado X3 + Y3, representa el volumen del cubo de avista (x +y) al cual se le quitan los volúmenes de los seis paralelepípedos.  

 

 

 

 

 

 

X3 + Y3 2. Factorizar: x3 – y3: Aquí se parte de 2 cubos uno de lado “X” y el otro de lado “y” (además X >Y) La actividad se realizará durante la ponencia y de igual manera se procederá con las expresiones (X + Y)3 y (X - Y)3 para los cuales se utilizará las mismas figuras del ejemplo. Bibliografía 1. Iniciación al Algebra. Martín Manuel Socas y Otros. Ed. Síntesis. pp. 9-41-42 2. Ideas y actividades para enseñar Algebra. Grupo Azarquiel. Ed. Síntesis. p.11 3. El Algebra desde una perspectiva geométrica. María Cristina Pérez. U. Nacional. P.1 4. Científicos griegos. Francisco Vera. Editorial Aguilar. pp. 733-736

Actividad 3 Desde tu experiencia describimos ¿Cuál fue la utilidad de la factorización de polinomios en contextos sociales, económicos y otros? Anotamos en el siguiente recuadro:

 

 

47  

Actividad 4 ¿Cómo la geometría nos permite comprender y aplicar la factorización en situaciones concretas? Describimos tres ejempos.  

 

   

 

 

 

48  

TEMA 3. Funciones lineales y ecuaciones de Primer Grado

Preguntas problematizadoras ¿Cómo las funciones lineales y las ecuaciones nos permiten reapretar los fenómenos sociales? Indicamos tres ejemplos:

¿Qué variables tomaríamos de la problemática “inseguridad ciudadana” y expresarte en el lenguaje de la matemática, como en las funciones lineales Explicamos un solo ejemplos. co ¿Cuál es la relación y diferencia de las funciones lineales y ecuaciones de primer grado, y su aplicación en el fenómeno de la inseguridad ciudadana? Puede tomarse ciertas condiciones, número de casos, tiempo, edad y otros). Elaboramos un ejemplo

 

 

49  

¿Cuál es el beneficio pedagógico cuando se aborda las Funciones lineales y Ecuaciones de Primer Grado articulado al PSP que en su Unidad Educativa se está desarrollando? Planteamos un ejercicio de articulación ¿Será posible realizar otras aplicaciones de las funciones lineales y Ecuaciones de Primer Grado, en otras situaciones? Mocionemos tres ejemplos: Lecturas de trabajo para el tema 3 Lectura 1

Concepto de función matemática y su representación grafica El origen del concepto de función ha estado siempre unido al estudio de los fenómenos sujetos a cambios. Las referencias más antiguas al concepto de función se encuentran en algunos escritos de astrónomos babilonios. En la Edad Media el estudio de funciones aparece ligado al concepto de movimiento, siendo uno de los primeros en realizarlo Nicolás de Oresme (1323-1392), el cual representó en unos ejes coordenados gráficos relacionados con el cambio de la velocidad respecto al tiempo. Tres siglos más tarde, Galileo, en 1630, estudió el movimiento desde un punto de vista cuantitativo, justificándolo experimentalmente y estableciendo, a partir de ello, leyes y relaciones entre magnitudes.

 

 

50  

Duración  de  las  llamadas  

Precio  de  las    llamad

as  

•Magali  

•Guido  

•Boris  

•Víctor  •AmaliaMaría  

Velocida

d  Velocida

d  

Tiempo  Tiempo  

Velocida

d  

Velocida

d  

A partir de Galileo, el concepto de función fue evolucionando hasta que a comienzos del siglo XIX, en 1837, Dirichlet formuló la definición de función como relación entre dos variables, que es la que actualmente aceptamos y manejamos. Vamos a comenzar el estudio de las funciones dando su definición contextual actualmente aceptada, relativamente moderna para la importancia del concepto.                                                                                                            

Didáctica de la Matemática Funciones:

 Análisis  de  las  representaciones  gráficas  

“Llamadas  telefónicas”  

   

En el gráfico se plantean los casos de 5 personas que realizan llamadas a diferentes ciudades del país y del exterior. El precio y la duración de la llamada de cada uno aparecen representados en la gráfica de puntos. Analiza y determina conclusiones imaginarias.

“La variación de la velocidad”

La trayectoria de la bola de golf, luego de ser golpeada, muestra una “variación de velocidad”. Identifiquemos la gráfica que corresponde al cambio de velocidad de la bola en el aire luego de ser golpeada por el jugador de golf.

 

a) b)

c) d)

 

 

51  

Tiempo  Tiempo  

(d) es la correcta.

¿Qué es una función? El responsable de la construcción de la piscina tiene una duda: ¿podríamos llenar dos piscinas cúbicas de iguales dimensiones con distinto volumen de agua?

La respuesta es que no, ya que si las dimensiones son las mismas el volumen que pueden contener es el mismo.

La relación entre la longitud del lado de la piscina y su volumen es una función porque a cada valor del lado le corresponde un único valor del volumen.

A las magnitudes que intervienen en la relación se las llama variables. Una de ellas será la variable independiente y la otra será la variable dependiente.

             Así, por ejemplo: “Crecimiento de una planta” Los seres vivos crecen de manera progresiva en el tiempo; las plantas, por ejemplo, requieren para su crecimiento no sólo del tiempo sino de otros factores propios de la naturaleza, tales como el aire, la luz, el agua y otros. Este ciclo de crecimiento es representado matemáticamente mediante gráficas y funciones algebraicas. La siguiente tabla nos informa sobre el crecimiento de una planta a medida que transcurre el tiempo.

Una función es una relación entre dos magnitudes de manera que a cada valor de la primera le corresponde un único valor de la segunda, llamado imagen. A las magnitudes que intervienen en una función se las llama variables:

• Variable independiente. Es la que se fija primero. Se le suele asignar la letra x. • Variable dependiente. Es la que se deduce de la variable independiente. Se suele

designar con la letra y, o como f(x).  

 

 

52  

Altura    

                       

       

 

       

                                                                                                                                                                                                                                                                         h    =    f  (  t  )  

                                           

 

Por tanto:

f = [(5,6), (10,10), (15,14), (20,17), (25,18), (30,19), (35,19)]

Observa que los primeros elementos no se repiten.

 

 

Una función también puede compararse con una computadora. Un número “x” es la entrada a la máquina y el valor funcional “f(x)” correspondiente es el resultado obtenido (o salida), después que la máquina ha operado sobre “x”.

 

 

                                                         

       

O bien, podemos comparar una función f(x) con una máquina a la cual se le introduce un valor x y después de una serie de cálculos ésta devuelve el valor de f(x):

 

Tiempo (Días) 5 10 15 20 25 30 35

Altura (cm) 6 10 14 17 18 19 19

“Una función es un conjunto de pares ordenados (x, y) tales que no hay dos pares ordenados diferentes que tengan el

mismo primer componente”.

 

Ciclo de crecimiento  La altura está en función del tiempo  

Entrada   Ciclo de crecimiento  

 

 

53  

 

El concepto de función se define como un caso particular de relación: “una relación es una función sí y sólo sí todo elemento de A se relaciona con un solo elemento del conjunto B”.

Definición de función

Una función "f" de X en Y, denotada por f: X→Y es una relación entre dos conjuntos; llamados dominio (X) y el condominio (Y) de la función, tales que a cada elemento del dominio le corresponde uno y solamente un elemento del rango.

 

Función Real de Variable Real:

Si el dominio de una función es el conjunto o subconjunto de los números reales, lo mismo que el condominio, entonces se trata de una función real de variable real:

 

 

El concepto de función se presenta de una manera descontextualizada y las situaciones problemas, o bien son ejemplos que sirven para ilustrar la definición o bien son problemas descontextualizados propuestos al final de la unidad con el objetivo de que las y los alumnos apliquen la definición de función. Es decir, las situaciones problemas tienen la función de concretar el concepto de función, pero en ningún caso sirven para que se construya dicho concepto a partir de ellas.

f : X → Y    (  f  es  una  función  de  X  en  Y)  

 

( ) ( ){ }xfyRyRxyxf =∈∧∈= ;/,

Dónde:  x=  variable  independiente      y=  variable  dependiente  o  función  

 

 

54  

Por ejemplo:

• Todos los números reales tienen un cubo, por lo que existe la función «cubo» que a cada número en el dominio R le asigna su cubo en el condominio R.

• Exceptuando al 0, todos los números reales tienen un único inverso. Existe entonces la función «inverso» cuyo dominio son los números reales no nulos R \ {0} y con condominio R.

• Existe una función «área» que a cada triángulo del plano (en la colección T de todos ellos, su dominio), le asigna su área, un número real, luego su condominio es R.

• En unas elecciones en las que cada votante pueda emitir un único voto, existe una función «voto» que asigna a cada elector el partido que elija. En la imagen se muestra un conjunto de electores E y un conjunto de partidos P, y una función entre ellos.

Representación gráfica de una función lineal

De las distintas formas en que puede presentarse una función, mediante un enunciado, una tabla, una expresión algebraica o una gráfica, esta última es la que nos permite ver de un solo vistazo su comportamiento global, de ahí su importancia. En este tema aprenderás a reconocer e interpretar sus características principales.

Es el cumpleaños de Carlos y ha decidido que de cada Bs que reciba de regalo de sus familiares, donará una tercera parte a una fundación para la conservación del medio ambiente.

   

Hemos representado los pares de valores dinero recibido - dinero donado:

(15, 5), (30,10), (45,15), (60, 20)

 

 

 

55  

Estos pares son las coordenadas cartesianas de puntos del plano.

   

     

 

Domino y recorrido

 

 

Así, al teclear 25 y pulsar la tecla de la raíz cuadrada, aparece en la pantalla 5. Pero, al teclear – 4 y pulsar la tecla de la raíz cuadrada, aparece en la pantalla ERROR (no hay ningún número que al elevarlo al cuadrado sea igual a – 4). Por tanto, – 4 no es un valor válido de la variable independiente.

 

 

Después de teclear muchos números, Laura ha observado que ponga el número que ponga, después de pulsar la tecla de la raíz cuadrada, siempre aparece en pantalla un número positivo. Por tanto, los valores de la variable dependiente siempre son números positivos.

 

 

Dominio y Rango de una Función

Sea f: X→Y, llamaremos dominio de la función f al conjunto de todas sus primeras componentes, al cual denotaremos por Df, es decir:

   

Para representar gráficamente una función:

1. Se identifica la variable independiente y la variable dependiente. 2. Se hace una tabla de valores. 3. Se dividen los ejes de coordenadas en partes iguales que sean acordes con los

resultados de la tabla. 4. Se representan los pares de valores y se obtiene un conjunto de puntos

aislados. 5. Si tiene sentido, se unen los puntos, obteniéndose una línea que constituye la

gráfica de la función.

 

El conjunto de valores que puede tomar la variable independiente es el dominio de la función.

El conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente es el recorrido de la función.

( ){ } XfyxYyXxDf ⊆∈∧∈∃∈= ,/

 

 

56  

 Y llamaremos rango de la función f al conjunto de las imágenes de todos los elementos de X, mediante f al cual denotaremos por Rf, es decir:  

 

Tipos de funciones lineales

Las funciones cuyas gráficas son rectas se llaman funciones lineales.

Funciones  del  tipo  y  =  mx  

Pedro ha acompañado a su padre al mercado y ha visto que 1 kilogramo de lechuga cuesta Bs 2. Las magnitudes "número de kilogramos" y "precio" son directamente proporcionales. Si llamamos x al número de kilogramos y y al precio en bolivianos, la relación y = 2x es la ecuación asociada a la proporcionalidad anterior.

Tabla  de  valores   Gráfica  

Kilogramos  Precio  (Bs)  1    2    3    4  

2    4    6    8  

 

 

Las gráficas de las funciones de la forma y = mx son rectas que pasan por el origen de coordenadas.

Funciones  del  tipo  y  =  mx  +  n  

En España la temperatura se mide en grados Celsius (ºC), mientras que en Estados Unidos se utiliza la escala Fahrenheit (ºF). La fórmula que permite obtener la temperatura en ºF conociendo la temperatura en ºC es y = 1,8x + 32, donde x es la temperatura en grados Celsius y y la temperatura en grados Fahrenheit.

Tabla  de  valores   Gráfica  

Celsius  (ºC)  Fahrenheit  (ºF)  0    1    2    3  

32    33,8    35,6    37,4  

 

 

Las gráficas de las funciones de la forma y = mx + n son rectas que no pasan por el origen de coordenadas.

( ){ } YfyxXxYyRf ⊆∈∧∈∃∈= ,/

 

 

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Lecturas de trabajo para el tema 3

Lectura 2

LA FUNCIÓN LINEAL Y SUS APLICACIONES EN LA ECONOMÍA.

MSc. Adriana Delgado Landa1, Lic. Ana María González Moreno2, MSc. Teresa Pérez Sosa3, Manuel Domínguez Alejo4

1. Universidad de Matanzas “Camilo Cienfuegos”, Vía Blanca

Km.3, Matanzas, Cuba. 2. Universidad de Matanzas “Camilo Cienfuegos”, Vía Blanca

Km.3, Matanzas, Cuba. 3. Universidad de Matanzas “Camilo Cienfuegos”, Vía Blanca

Km.3, Matanzas, Cuba. 4. Universidad de Matanzas “Camilo Cienfuegos”, Vía Blanca

Km.3, Matanzas, Cuba. CD de Monografías 2012

(c) 2012, Universidad de Matanzas “Camilo Cienfuegos”

Resumen Son muchas las situaciones relacionadas con fenómenos económicos que requieren ser expresados a través de una relación funcional entre dos variables. En particular la función lineal posee un elevado número de aplicaciones económicas que deben ser explicadas en su mayoría en las clases de matemáticas. Las carreras de Licenciatura en Economía, Contabilidad y Turismo tienen dentro de la asignatura Matemática Superior un tema relacionado con funciones y sus aplicaciones a la economía. Es por ello que este trabajo tiene como objetivo presentar 10 problemas económicos que requieren para su solución la utilización de la función lineal y de conceptos como ganancia, costo, ingreso, oferta, demanda, precio, equilibrio de mercado.

 

Introducción La enseñanza de la matemática en carreras de Ciencias Económicas debe estar sujeta a la utilización en las clases de ejemplos de aplicaciones económicas concretos. De esta manera los contenidos impartidos estimulan y propician la motivación y la independencia en el pensamiento creador del estudiante. (Delgado y Marrero, 2008)

En particular el tema de funciones, pues constituye una herramienta fundamental para el análisis, la cuantificación y la modelización de fenómenos económicos y sociales.

Esta ponencia tiene como objetivo general mostrar diversos ejemplos de aplicaciones económicas de la función lineal. Se trabajan fundamentalmente funciones de demanda, oferta, costo, ingreso, ganancia. Se hacen análisis del punto de equilibrio de mercado (intersección entre dos funciones), interpretación de la pendiente, obtención de la ecuación de demanda (ecuación de la recta), representación y análisis de gráficos.  

 

 

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DESARROLLO Las carreras de Ciencias Económicas, tales como Licenciatura en Economía, Licenciatura en Contabilidad y Finanzas y Licenciatura en Turismo contemplan dentro de la asignatura Matemática Superior un tema sobre funciones y sus aplicaciones económicas. No es un secreto que los estudiantes terminan la enseñanza media sin apropiarse adecuadamente del concepto d e función. Es por ello que cuando inician sus estudios universitarios presentan serias dificultades al respecto.

Tal y como plantea Álvarez (2011), la comprensión del concepto función no se reduce a la reproducción de su definición ni tampoco a la realización de una serie de procedimientos para calcular el valor de una función para un argumento dado, para determinar sus ceros o la monotonía de la función. Este reduccionismo puede llevar a que los estudiantes no comprendan que el objeto función ha sido construido de manera expresa para el estudio de los fenómenos sujetos a cambio y que en lugar de trabajar con variables, lo hagan con incógnitas.

El concepto función es uno de los más básicos en matemáticas y resulta esencial para el estudio del cálculo. Por ello se debe insistir en la importancia de las funciones en la Economía. En especial el estudio de la función lineal dado su gran aplicación a situaciones económicas.

La función lineal debe analizarse, dándole interpretación económica a la pendiente y la intersección, en las distintas funciones lineales económicas que se utilizan, tales como oferta, demanda, costos, ingreso, ganancia y producción. (Haeussler, 1997; Pindyck y Rubinfeld, 1997)

Para el buen desarrollo de las clases es importante una selección adecuada de los métodos a utilizar. Como es conocido, en cualquier contenido matemático que sea objeto de estudio, cuando se introducen problemas de aplicación, aumenta la dificultad en cuanto a la comprensión por parte de los estudiantes. Por esa razón, en las conferencias se utiliza, preferentemente, la exposición problémica y la conversación heurística, en dependencia de la complejidad del problema que se esté resolviendo. Si el problema es de difícil comprensión se utiliza la exposición problémica, en los otros casos se emplea la conversación heurística. (Delgado y Hernández, 2009).

Se debe tener en cuenta que la habilidad para resolver problemas matemáticos vinculados con situaciones económicas de aplicación de la función lineal, no se forma a partir de la repetición de acciones ya elaboradas previamente, sin atender a cómo se han asimilado y el nivel de significación que éstas tienen para los estudiantes atendiendo a sus experiencias, su disposición hacia la actividad; de ahí la necesidad de enfocar como parte de la formación de habilidades el sistema de conocimientos (conceptos, teoremas y procedimientos matemáticos) a partir de situaciones problémicas.

Esta habilidad implica también las habilidades docentes, lógicas o intelectuales; que guían el proceso de búsqueda y planteamiento de la solución. Así se destacan habilidades como identificar, observar, describir, denotar, interpretar, analizar, modelar, calcular, fundamentar, valorar, etc. que están presentes en la comprensión y búsqueda de vías de solución, en su descripción y en la valoración de los resultados.  

 

 

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Ejemplos de aplicación de la función lineal a situaciones económicas Para aplicar la función lineal a fenómenos económicos, el estudiante tiene que ser capaz de manejar conceptos como demanda y oferta, precio por unidad, relación entre precio y cantidad de producto, entender el significado de costo, ingreso ganancia, producción, consumo, entre otros. El profesor debe hacer un resumen de los principales aspectos teóricos necesarios para la enseñanza de la función lineal aplicada a la economía.

A continuación se exponen 10 ejemplos de aplicación de la función lineal a situaciones económicas. Estos problemas resultan de mucha utilidad para los estudiantes de las Licenciaturas en Economía, Contabilidad y Turismo. Este es el momento en que los estudiantes aplican sus conocimientos precedentes a situaciones nuevas para ellos, pero sin dudas interesantes pues están vinculadas con sus especialidades. 1. Determinación de la ecuación de demanda

Suponga que la demanda por semana de un producto es de 100 unidades cuando el precio es de $ 58,00 por unidad y de 200 unidades si son a $ 51,00 cada uno. Determinar la ecuación de demanda, suponiendo que es lineal.

Solución:

A partir de esta situación el estudiante para darle solución debe combinar elementos de economía con matemática. Tiene que percibir que la cantidad q y el precio p están relacionados linealmente de modo que p═58 cuando q═100, y p═51 cuando q═200. Estos datos pueden ser representados en un plano de coordenadas q, p por los puntos (100, 58) y (200, 51). Con estos puntos se puede encontrar una ecuación de la recta, que sería la

ecuación de demanda: P (q) ═ - 7

q + 65 . 100

 2. Determinación de la ecuación de oferta y del tipo de relación entre el precio

p y la cantidad q Suponga que un fabricante de zapatos colocará en el mercado 50 pares cuando el precio es de $35,00 (pesos por par) y 35 pares cuando el precio es de $30,00.

a) Determinar la ecuación de oferta suponiendo que el precio p y la cantidad q

están relacionados linealmente. b) Cuando se incrementa el precio ¿qué le ocurre a las cantidades ofrecidas?

Solución: a) Para determinar la ecuación de oferta, el algoritmo es similar al del ejercicio anterior.

b) A medida que el precio se incrementa las cantidades ofrecidas también aumentan,

pues tienen una relación directamente proporcional.

 

 

60  

3. Determinación de la ecuación de costo y determinación del valor del costo

total (variable dependiente) dada una cantidad específicas de unidades (variable independiente)

Suponga que el costo para producir 10 unidades de un producto es de $40 pesos y el de 20 unidades es $70. Si el costo C está relacionado linealmente con el producto q, determine una ecuación lineal que relacione p con q. Encuentre el costo de producir 35 unidades.

Solución:    (10; 40) y (20; 70) m =  

p − p1 = m(q − q1 )

p − 40 = 3(q − 10) P = 3q − 30 + 40

C (35) = 3(35) + 10 C (35) = 115  

     p2 − p1

q2 − q1

     

= 70 − 40 20 − 10

     

= 30 = 3

 

 

61  

C(35) = 3(35) + 10 C(35) = 115 El costo de producir 35 unidades es de $115,00.

4. Determinación del punto de equilibrio entre el ingreso y el costo.

Representación gráfica Cuando en una industria se producen x toneladas de producto al día, 0≤x≤16, el costo total de producción y el ingreso total en cientos de pesos están dados respectivamente por las ecuaciones C(x)= 3x+12 y I(x)=5x.

a) Halle el punto de equilibrio. Interprete.

b) Represente gráficamente las dos funciones anteriores en un mismo gráfico.

c) ¿Para qué valores de x se producen ganancias y para qué valores de x se producen pérdidas?

Solución:

El estudiante debe percibir que el punto de equilibrio se determina igualando las dos funciones.  a) I(x) = C(x) C (6) = 3(6) +12  

5x = 3x+12 C (6) = 18+12

x = 6 C (6) = 30

El punto de equilibrio es (6; 30), significa que cuando se produce y vende la tonelada número 6, el costo y el ingreso son exactamente iguales ($30,00). En este momento la ganancia es cero.

b) Para representar en un mismo gráfico ambas funciones lineales muchos estudiantes determinan los ceros, sin embargo el cero de la función de costo es negativo. Este gráfico solo tiene sentido para las x≥0, por lo que los estudiantes representa solo en el primer cuadrante. Dándole valores a las x pueden determinar al menos dos pares ordenados, suficiente para representar una línea recta.                    

 

 

62  

   

  c) El estudiante debe relacionar estas dos funciones con la ganancia de manera que: G(x) = I(x)-C(x), es fácil concluir a través de una inecuación: I(x) - C(x) > o, que se producen ganancias cuando la producción del producto es mayor que 6 toneladas (x>6) y se producen pérdidas cuando es menor que 6. El análisis gráfico también lo demuestra pues la recta que representa el ingreso (la de color azul) se encuentra por encima de la de costo (la de color rojo) a partir del nivel de producción igual a 6 toneladas

5. Determinación de valores en el punto de equilibrio y de la ganancia dado

una cantidad específica de unidades Un fabricante vende un producto a $8 por unidad, vendiendo todo lo que produce. La función de costo total es: C (q)= (22/9) q+5000.

a) Encuentre la producción y el ingreso total en el punto de

equilibrio. b) Encuentre la ganancia cuando son producidas 1800

unidades. Solución:

a) Es necesario determinar el ingreso total que sería: I=p×q, donde p: precio unitario, q: cantidad de unidades del producto. Sustituyendo quedaría: I (q)=8q. Luego se igualan las

 

 

63  

funciones de ingreso y costo, resultando: 8q =

22 q +5000, desarrollando la ecuación

se 9

obtiene el valor de q=900 y evaluando en la función de ingreso:

I (900) = 8 · 900 = 7200

Se concluye que en el punto de equilibrio la producción es de 900 productos y el ingreso total es de $7200,00. En este momento el fabricante no obtiene ni ganancias ni perdidas (la ganancia es cero).

b) Es necesario determinar la función de ganancia total para luego evaluar en el valor de q dado. Donde GT: Ganancia total, IT: Ingreso total, CT: Costo total.

 GT = I T − CT

G = 8q − 22

q − 5000 T 9

G = 50

q − 5000 T 9

G (1800) = 50

1800 − 5000 = 5000 T 9

 Cuando son producidas 1800 unidades la ganancia es de $5000,00

6. Equilibrio de mercado

Suponga que para un producto “A” las ecuaciones de demanda y oferta son las siguientes:

 

p = − 1

180

 

q + 12  

y p = 1

300

 

q + 8 . Determina gráfica y analíticamente el equilibrio de

mercado e interprete.  Solución:

El equilibrio de mercado ocurre cuando la demanda y la oferta son iguales.

 

 

64  

   

(450; 9,5)  

 Oferta

 Demanda

      El punto de equilibrio es (450; 9,5), significa que cuando el precio del producto A es de $9,50 las cantidades ofrecidas y las demandadas son exactamente iguales, o sea 450 unidades del producto A. Esta cantidad vacía el mercado. Pues todo lo que los consumidores están dispuestos a comprar es exactamente igual a las cantidades de producto que los vendedores están dispuesto a ofrecer.

7. Determinación del precio de mercado de un producto

Se conocen las curvas de oferta y de demanda de trigo: QO= 1800+240p, QD= 3550-226p, donde el precio se expresa en pesos por paquete y las cantidades en millones de paquetes al año. ¿Cuál es el precio del paquete de trigo que vacía el mercado?

Solución:

Para determinar el precio del paquete de trigo que vacía el mercado, el estudiante debe recordar que el mercado se vacía cuando la demanda es igual a la oferta o sea cuando todo lo que los consumidores están dispuestos a comprar es exactamente igual a las cantidades de producto que los vendedores están dispuestos a ofrecer. Luego de igualar ambas funciones, se resuelve la ecuación y se obtiene el valor de p, que es precisamente el precio del producto.  QO= QD → 1800+240p= 3550-226p

240p+266p= 3550-1800 506p= 1750

p = 1750

= 3,46 506

 El precio por paquete de trigo que vacía el mercado es de $3,46.

8. Modelación de función de costo y determinación de la cantidad de

unidades producidas dado un valor del costo En la fabricación de un componente para una máquina, el costo inicial de un troquel es de $850,00 y todos los otros costos adicionales son de $3,00 por unidad producida.

a) Exprese el Costo Total C como una función lineal del número q de unidades producidas.

 

 

65  

b) ¿Cuántas unidades son producidas si el costo total es $1600?  Solución:

El estudiante debe modelar, definiendo primeramente la variable independiente q como la cantidad de unidades producidas.  a) CT (q)= 850+3q  b) Fijan el costo total y piden las cantidades producidas por tanto es necesario sustituir en la función anterior para obtener el valor de q.  CT (q)= 850+3q 1600= 850+3q 600 − 850

= q 3

q = 250  El Costo total es de $1600,00 cuando son producidas 250 unidades.  9. Interpretación de la pendiente

La recta muestra la relación entre el precio p de un artículo (en pesos) y la cantidad q de artículos (en miles) que los consumidores comprarán a ese precio. Determina e interprete la pendiente.    

P 4 (2; 4)

 1 (1; 8)

       

2 8 Q  Solución:  

pendiente = cambioenp

= cambioenq

 

   

cambiov ertical cambiohorizontal

m = p2 − p1 = 1 − 4 = − 1

q2 − q1 8 − 2 2  La recta desciende de izquierda a derecha. La pendiente es negativa. Significa que por cada unidad que aumenta la cantidad de artículos (miles de artículos) habrá una disminución en el precio de $0,50 (1/2) por artículo.

 

 

66  

10. La pendiente como tasa de cambio Suponga que un fabricante utiliza 100 lbs de materiales para hacer los productos A y B, que requieren de 4 y 2 lbs de materiales por unidad respectivamente, entonces todos los niveles de producción están dados por las combinaciones de x e y que satisfacen la ecuación 4x+2y= 100, donde x, y≥ 0. Determine la tasa de cambio del nivel de producción B con respecto al de A y represente mediante un gráfico.  Solución: Se necesita despejar a y → 4x+2y= 100  

2y= 100-4x  

y = 100 − 4x 2

y = 50 − 2x  La pendiente es -2. Refleja la tasa de cambio del nivel de producción B con respecto al de A.  Ejemplo: Si se produce una unidad adicional de A, se requerirán 4 lbs más de material, resultando 4/2= 2 unidades menos de B.

Para graficar y = 50 − 2x se puede utilizar la intersección (0; 50) y el hecho de que cuando x=10, y=30, también se debe determinar el cero o sea el intersecto con el eje x.  

0= -2x+50 U de B 2x= 50 x= 25

50  

30        

10 25 U de A  Los niveles de producción están relacionados linealmente.  Conclusiones.  La enseñanza de la matemática en las licenciaturas en Economía, Contabilidad y Turismo debe estar enfocada fundamentalmente a la resolución de problemas económicos.

Muchas situaciones relacionadas con fenómenos económicos tienen un comportamiento lineal, de ahí que existan diversas aplicaciones económicas de la función lineal.

 

 

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La función lineal puede ser aplicada para: · Determinar ecuaciones de demanda, oferta y costo que tengan un comportamiento lineal.

· Determinar el punto de equilibrio entre el ingreso y el costo y entre la oferta y la demanda, así como el precio de mercado.

· Determinar la tasa de cambio del nivel de producción de dos productos.

· Analizar gráficamente el comportamiento de funciones de ingreso, costo, ganancia, producción, oferta y demanda.

   Bibliografía.

Álvarez, (2011). El desarrollo de la comprensión matemática: el caso del concepto

función. Conferencia impartida en el marco del XIII Evento Científico Internacional, La enseñanza de la matemática, la estadística y la computación, MATECOMPU 2011 y III congreso internacional ALAMMI 2011.

Delgado y Hernández, (2011). Las Diferencias Finitas como herramienta para la

resolución de problemas. Convención Internacional de la Universidad de Matanzas Camilo Cienfuegos. Taller COMAT ISBN978-959-16-1399-8

Delgado y Marrero, (2008). La enseñanza de la matemática I en carreras de ciencias

económicas. Evento Científico Internacional “La enseñanza de la Matemática y la computación” MATECOMPU 2008. Edición Especial de la Revista Atenas. ISBN 978- 959-18-0406-8

Haeussler, (1997). Matemáticas para administración, economía, ciencias sociales y de la vida.

8va.ed. Pindyck y Rubinfeld, (1998). Microeconomía I. Cuarta Edición. Editorial Félix Varela. La

Habana, Cuba.

II. Actividades de formación comunitaria

La propuesta es que estas actividades fortalezcan la elaboración del primer borrador del documento de sistematización de experiencias sobre la implementación del Modelo Educativo Sociocomunitario Productivo. En este sentido, en los equipos de sistematización verificamos si en nuestro documento hemos tomado en cuenta la articulación del desarrollo curricular con el Proyecto Socioproductivo; recordemos que esta articulación puede darse a través de la problemática de fondo o con las actividades del plan de acción de nuestro PSP.

 

 

68  

III. Actividades de concreción educativa

En estas actividades, es importante que en nuestra práctica educativa profundicemos la articulación del desarrollo de los elementos curriculares y la problemática y/o actividades del plan de acción de nuestro PSP. Esto nos permitirá como se ha mencionado varias veces relacionar el currículo con la realidad o vincular la escuela y la comunidad; para que de este modo, las y los estudiantes se formen de manera adecuada y no –como en el pasado– memorizando conocimientos que no comprenden ni aplican.

Estas actividades deben desarrollarse en el marco del desarrollo de nuestro Plan de Desarrollo Curricular (plan de clase); no necesitamos empezar de cero o realizar otra planificación adicional.

Estas experiencias tienen que permitirnos seguir reflexionando y enriquecer nuestro trabajo de sistematización.

Momento 3 Sesión presencial de socialización (4 horas) En esta sesión cada Equipo de Sistematización presenta el producto de la UF 13; compartiendo las dificultades atravesadas en la elaboración del Trabajo de Sistematización; las dificultades expresadas deben ser aclaradas con ejemplos por las y los facilitadores o por las y los propios participantes.

Producto de la Unidad de Formación

Presentación de documento: 1er. Borrador del acápite “elato y Análisis Colectivo e Individual de la experiencia de transformación de la práctica educativa”.

Lectura obligatoria de la Unidad de Formación

ü Talavera Simoni, María Luisa. Formaciones y transformaciones. Educación Pública y culturas magisteriles en Bolivia. 1899 - 2010 (Tesis doctoral) La Paz: SIDES-UMSA; PIEB, 2011.