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Instituto Superior “Carlos A. Leguizamón” Profesorado de Educación Primaria

Profesores: García Ana María – Reynaga Mario Curso: Tercer Año

UNIDAD CURRICULAR: MATEMÁTICA y su DIDÁCTICA II

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-2016/2017-

Módulo de trabajo N° 3: Didáctica del número racional y de las operaciones en Q. Contenidos:

Significado del número racional.

Tipos de contextos.

Construcción del concepto de fracción.

Comparación de fracciones.

Fracciones equivalentes.

Uso de la recta numérica.

Clasificación de fracciones.

Fracciones decimales.

Expresiones decimales.

Lectura de expresiones decimales.

Comparación de expresiones decimales.

Acciones que están en la base de la construcción de la operación.

Significado de las operaciones en los distintos contextos de uso.

Tipos de problemas que responden a una misma operación aritmética.

Abordaje de las operaciones con fracciones y decimales.

Secuencia algorítmica para presentar en cada operación.

Análisis crítico del tratamiento escolar habitual acerca de la enseñanza de fracciones y decimales.

Bibliografía:

Gobierno de la Provincia de Buenos Aires. Subsecretaría de Educación. Dirección Provincial de Educación Primaria. Dirección de Gestión Curricular (2007) “Serie Curricular Matemática Nº 4 Números Racionales y Geometría (algunas propuestas para alumnos de 6º año).

Gobierno de la Provincia de Buenos Aires. Subsecretaría de Educación. Dirección General de Cultura y Educación. (2001) “Serie Aportes al Proyecto Curricular Institucional enseñanza de las fracciones en el 2do ciclo de la Educación General Básica” Obra colectiva de los docentes de la Red de escuelas de Campana Módulo 2

Itzcovich, Horacio (coord.) (2007) “La Matemática escolar”. Las prácticas de enseñanza en el aula. AIQUE. Buenos Aires

Mazzalomo, Lidia. (2008) Matemática 1º-2º. Primera edición. Ediciones SM. Buenos Aires

Ministerio de Cultura y Educación de la Nación. (2007) Serie Cuadernos para el aula. Matemática 5 y 6. Primera edición. Buenos Aires




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Números Racionales

Los números racionales se crearon en el intento de resolver problemas que no podían ser resueltos utilizando números naturales. Estos campos numéricos tienen características diferentes. Su estudio implica enfrentar a los niños a ciertas rupturas con respecto a las “certezas” construidas en torno a los naturales, que hacen de éste un contenido complejo. El estudio de los números racionales supone presentar una gama muy variada de situaciones que le permita a los estudiantes identificar sus diferentes usos y sentidos. Pero además debe proponerse un estudio específico acerca del comportamiento de estos números en sus dos formas de expresión (fraccionaria y decimal), de modo que se establezcan sus características y propiedades, y que se pongan en evidencia las diferencias con los números naturales, por ejemplo:

en el conjunto de números racionales, los números ya no tienen anterior y siguiente;

entre dos números racionales ya no hay un número finito de otros números;

no vale como método de comparación de racionales analizar la cantidad de cifras de los mismos;

la multiplicación sólo en algunos casos puede ser interpretada como una suma reiterada;

el producto de dos números racionales, en muchos casos, es menor que cada uno de los factores;

Cada notación -fraccionaria o decimal- muestra aspectos diferentes del mismo objeto: el número racional al que se refieren. Es por ello que será necesario analizar específicamente las características de uso y funcionamiento de cada una de ellas. En su expresión fraccionaria, los números racionales se utilizarán para expresar repartos, medidas (en tanto relaciones entre partes y todos), porcentajes y escalas, y también para tratar relaciones de proporcionalidad. En su expresión decimal, se vincularán al contexto del dinero y la medida. Estos contextos serán favorables también para establecer un vínculo entre expresiones decimales y fraccionarias (Por ejemplo, la moneda de 10 centavos es $0,10, es decir

es 10

1 del peso).

En cuanto al comportamiento de estos números, las fracciones pondrán en evidencia ciertas diferencias con los números naturales; por ejemplo:

la necesidad de utilizar dos números (numerador y denominador) para expresar una única cantidad;

la posibilidad de expresar el mismo número de distintos modos (fracciones equivalentes);

la insuficiencia de comparar en forma independiente numerador y denominador para establecer relaciones de orden entre fracciones;

la imposibilidad de interpretar siempre a la multiplicación como una suma reiterada;

la posibilidad de llevar a cabo una división aún cuando el dividendo es menor que el divisor; etc. Las expresiones decimales, por su parte, mostrarán también diferencias con el comportamiento de los números naturales; por ejemplo,

un número con más cifras puede ser menor que uno con menos cifras (1,99999 es menor que 2);

no existe anterior ni siguiente de un número (1,3 no es el siguiente de 1,2; entre ellos pueden encontrarse infinitos números, por ejemplo, 1,21; 1,2999; 1,200004; etc.);

la posibilidad de obtener un número menor a los factores en juego cuando se multiplica, y de obtener un cociente mayor a los números que se dividen; etc.

TIPOS DE CONTEXTOS en el que están presentes las fracciones




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Cuando el contexto es continuo el todo es medible; así las longitudes, superficies, volúmenes, capacidades, etc., conforman contextos continuos.

Por ejemplo: En el siguiente cuadrado cada una de las siguientes piezas representa 4

1 del cuadrado, aunque tengan

diferente forma:

En tanto, cuando el todo deviene de un contexto discreto o discontinuo el todo es contable, es decir una colección de elementos individuales (caramelos, personas, autos, bolillas, árboles, animales, entre otros), donde cada elemento no se puede fraccionar.

5

2son grises ¿Cuántas no son grises? Por ejemplo: De estas fichas ,

Rta: Son 6 las no grises. ¿Qué aspectos de las fracciones se propone estudiar en cada clase de problemas?

Fracción como reparto: son situaciones que permiten vincular a las fracciones con la división. Por ejemplo, si se trata de repartir 3 chocolates entre 4 amigos, los números naturales ya no son pertinentes para brindar una respuesta. Se podrá

establecer que ésta involucra el uso de las fracciones, en este caso, 4

3 , ya que a cada uno le corresponden “tres pedacitos

de 4

1 ”. Estas situaciones resultarán oportunidades propicias no sólo para introducir escrituras fraccionarias, sino también

para empezar a identificar que una cantidad es 4

1 por ser el resultado de partir un chocolate (un entero) en cuatro partes

iguales, y porque con cuatro de esas partes se obtiene todo el chocolate (el entero). Esta relación podrá extenderse posteriormente a otros repartos que pueden vincularse con la cuenta de dividir. Por ejemplo, si se quiere repartir 17

chocolates entre 8 chicos, se podrá establecer que a cada chico le tocan 8

17 , o bien 2 chocolates y 8

1 , cuestión que puede

desprenderse del análisis de las relaciones entre los números que intervienen en la cuenta:

Fracción medida: estos problemas ponen en juego un aspecto diferente del anterior. Se proponen situaciones de comparación de áreas1 y también de longitudes. En ambos casos, se trata de establecer la cantidad de veces que entra la unidad de medida elegida en el objeto a medir. La diferencia fundamental entre los problemas de longitud y de área es que en este último caso se agrega la necesidad de establecer una distinción entre medida y forma: por ejemplo, si en el

siguiente dibujo el entero es el rectángulo completo, cada una de las partes sombreadas es 4

1 del entero, aunque no

tengan la misma forma.

La mayor o menor complejidad de la tarea estará vinculada a la relación entre la unidad y el objeto a medir, al trabajar sobre distintos casos, los niños tendrán la oportunidad de ampliar el repertorio de fracciones que utilizan. Algunos problemas exigen establecer cuál es el entero conociendo una parte del mismo. Si por ejemplo, un segmento dado es

5

2 de un entero, se deberá establecer que la mitad de dicho segmento es 5

1 del entero, por lo tanto, hay que replicar ese

quinto “cinco” veces para obtener el entero. Fracción como constante de proporcionalidad: Los problemas son situaciones que dotarán de sentido a muchas de las

cuestiones que deben ser abordadas en el estudio de números racionales. Cuando una o ambas magnitudes están expresadas con fracciones, se propicia el análisis de relaciones entre números y operaciones (dobles; triples; mitades; sumas; etc.) aún sin haber estudiado algoritmos particulares, gracias a la posibilidad de utilizar propiedades de la proporcionalidad. En 6° año se agregan problemas en los que se estudia el uso de fracciones como proporción, y cobra sentido una nueva interpretación de equivalencia entre fracciones (por ejemplo, si en un grupo de 5 chicos, 3 son de

1 Para abordar este tipo de problemas no se requiere que los alumnos dominen el concepto de área ni dispongan del conocimiento de las unidades de

medida.




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Instituto, la proporción es la misma que si en un grupo de 10 chicos, 6 son de Instituto, ya que 5

3 =

10

6). Se incluyen

problemas que involucran porcentajes, escalas, relaciones entre partes de un mismo entero, y también los que vinculan magnitudes de igual naturaleza (relación entre centímetros y metros) o diferente naturaleza (cantidad de agua y cantidad de mezcla).

Fracción como parte de un todo discreto: expresa la relación entre una parte y el todo. El denominador indica el número de partes en que está dividido el entero, es decir el todo, y el numerador las partes consideradas por medio del

fraccionamiento de una cantidad discreta de elementos: Ej. 4

1 de una cierta cantidad de caramelos

En un contexto discreto deben hacerse las siguientes consideraciones:

Las partes en la que se separa el todo deben ser equivalentes entre sí, es decir, subconjuntos con la misma cantidad de elementos.

La partición no debe dejar resto.

La reunión de la partes reconstituye el todo.

A mayor cantidad de partes, menor es la cantidad de elementos de cada subconjunto.

Fracción como parte de un todo continuo: expresa la relación entre una parte y el todo. El denominador indica el número de partes en que está dividido el entero, es decir el todo, y el numerador las partes consideradas por medio del

fraccionamiento de un todo continuo Ej. 4

1 de una barra de chocolate.

En un contexto continuo deben hacerse las siguientes consideraciones:

Las partes en la que se separa el todo deben ser equivalentes entre sí.

La partición no debe dejar resto.

La reunión de la partes reconstituye el todo.

A mayor cantidad de partes, menos extensión en cada una de ellas.

La cantidad de partes no tiene por qué ser igual al número de cortes.

Fracción como relación parte – parte: la fracción determina la relación que existe entre las partes de un todo.

Ej.: En la siguiente figura el sector A representa 4

1 del entero y el sector B,

8

1 del entero. El sector B,

¿qué parte representa del sector A? ¿Y A de B? ¿Cuántas B necesito para formar una A? PARA DISCUTIR:

Se reparten 17 lápices entre 4 niños, todos reciben la misma cantidad. ¿Cuántos lápices le tocan a cada uno?

Se reparten 17 chocolates entre 4 niños, todos reciben la misma cantidad. ¿Cuántos chocolates le tocan a cada uno? ¿Qué puede decir del resultado de cada problema? ¿A qué se debe? ALGUNAS CONSIDERACIONES…

El siguiente ejemplo representa alguno de los errores más frecuentes que cometen los estudiantes, frente a diferentes situaciones ¿Cuál es el error?

Se quieren repartir 3 chocolates entre cuatro niños, de manera que cada uno reciba la misma cantidad y que se reparta todo el chocolate. ¿Cuánto chocolate recibe cada niño?

Nota: Durante la resolución, algunos estudiantes realizan este esquema de representación del problema:

¿Qué enseñar respecto del funcionamiento de las fracciones?




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Son varios los aspectos que se propone abordar de manera tal que los estudiantes puedan tener una mayor comprensión del funcionamiento de estos números. Por un lado se deberá favorecer la resolución de problemas que impliquen comparar fracciones2. No se trata de ofrecer a los estudiantes un recurso algorítmico único y sin fundamentos, sino de producir

diferentes modos de comparar a partir de las características de este tipo de números. Por ejemplo, 2

1 es menor que 2

3 pues 2

1

es más chico que 1 en cambio 2

3 es más grande (es 1 entero y 2

1 más); o bien, analizar que 4

3 es menor que 6

5 pues a 4

3 le

falta 4

1 para llegar a 1 en cambio a 6

5 le falta sólo 6

1 para llegar a 1.

El mismo tipo de tratamiento se propone para la noción de equivalencia. Por ejemplo, poder determinar que 5

1 y 10

2 son

equivalentes pues 10

1 es la mitad de 5

1 , por lo tanto 2 de 10

1 es igual a 5

1 . Las diferentes maneras en que se han comparado

fracciones o determinado equivalencias podrán formar parte de un proceso de generalización: ¿se podrán encontrar otras equivalentes?, ¿se podrá comparar así cualquier par de fracciones?, etc.

El uso de la recta numérica será un recurso para profundizar este tipo de análisis y poder producir nuevas relaciones entre fracciones, y entre el entero y las fracciones, ya que ubicar fracciones o decimales en la recta demanda interpretar cómo están relacionados los números a ubicar y los que se presentan como datos. Otra cuestión que forma parte del estudio de las fracciones es cómo encontrar una fracción entre dos fracciones dadas.

Los estudiantes suelen pensar que entre 7

3 y

7

4 no hay ninguna. Recurrir a fracciones equivalentes será un punto de apoyo

para encontrar no sólo una, sino para empezar a identificar que hay infinitas (además de que les permite comenzar a visualizar y comprender la densidad de este conjunto numérico). Otra vuelta sobre las fracciones equivalentes

Desde los primeros problemas, las fracciones aparecen como números con características propias, diferentes de las de los números naturales. Entre ellas, una misma cantidad puede escribirse de formas distintas. La reflexión, la discusión y el análisis de un conjunto de relaciones entre dos o más fracciones equivalentes da paso tanto a la fundamentación posterior del algoritmo que dice que, para encontrar dos fracciones equivalentes, se puede multiplicar o dividir el numerador y denominador por el mismo número natural, como a sus limitaciones. Para pensar estas cuestiones, le proponemos la siguiente actividad:

Reflexionen sobre qué argumentos pueden producir los estudiantes para resolver estas situaciones.

a. José quiere comprar 2

1kg de pan, pero en la panadería quedan solamente bolsitas de

4

1 kg y de

8

1 kg. ¿Cuántas

bolsitas tiene que comprar?

b. Camila dice que, si reparte una pizza entre 4 personas, cada una come lo mismo que si se repartieran 2 pizzas entre 8. ¿Están de acuerdo? Expliquen por qué.

c. Ernesto dice que comió 5

3 de chocolate, y Juan dice que comió

10

6 de un chocolate igual al de Ernesto. ¿Es cierto

que los dos comieron la misma cantidad?

d. Escriban tres fracciones equivalentes a 4

3

e. Ana dice que, si se multiplican el numerador y el denominador de una fracción por un mismo número natural, la fracción que se obtiene como resultado es equivalente a la original. ¿Les parece correcto lo que dice Ana? ¿Por qué?

f. Justificar cuáles de las siguientes fracciones son equivalentes a 10

2:

2 Tanto para comparar fracciones como para operar con ellas no se propone en el Diseño Curricular la clasificación de fracciones en propias, impropias o

aparentes, sino en mayores, menores o iguales a 2

1 , o mayores y menores que 1, o que otros números naturales.

12

4,

5

1,

15

3,

30

6




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Dadas dos fracciones, ¿cuándo podemos asegurar que son equivalentes?

Una respuesta posible es que dos fracciones son equivalentes cuando, a pesar de estar escritas en forma diferente, representan el mismo número, es decir, expresan la misma cantidad. Una posibilidad de pensar el problema c. es razonar así: Ernesto partió el chocolate en 5 partes iguales y comió 3; en cambio Juan partió el chocolate en 10 partes iguales, el doble que Ernesto, y entonces comió el doble, es decir, 6 partes. Entonces, los dos comieron la misma cantidad. Cuando, en el aula, se realiza una actividad como la planteada en el problema f., es muy común que los estudiantes no

identifiquen 15

3 como equivalente a

10

2. El tratamiento de la fracción equivalente donde se privilegia el algoritmo de multiplicar

numerador y denominador por un mismo número puede producir este tipo de error. Basándose en dicho concepto, un estudiante intentaría buscar por qué numero natural se puede multiplicar a 2 para obtener 3 y, al no encontrarlo, concluir que

15

3 y

10

2 no son fracciones equivalentes.

Una forma de resolver este problema consiste en advertir que 15

3 es equivalente a

5

1, y que

10

2 también lo es, lo que muestra

que 15

3 y

10

2 son equivalentes entre sí. Otra posibilidad es poner en evidencia que, tanto en

10

2 como en

15

3 la relación entre

cada numerador y su respectivo denominador es la misma: 2 entra cinco veces en 10, así como 3 entra cinco veces en 15.

Por último, suele suceder que los estudiantes identifiquen 12

4 como equivalente a

10

2, cuando no lo es. Es importante analizar

con ellos que, al sumar un mismo número al numerador y al denominador de una fracción, no se obtiene una fracción equivalente a la original. Retomen las estrategias planteadas para el problema dado en la Fracción como Reparto y respondan:

a) ¿Son equivalentes los resultados dados?

b) ¿Son correctas estas argumentaciones? ¿Por qué?

b1) 1+ 2

1+

6

1 =

2

3+

6

1 =

3

5 = 1 +

3

2

b2) "Uno son dos mitades, entonces uno más un medio es lo mismo que tres medios"; "Uno son tres tercios, tres tercios más dos tercios son cinco tercios"; "Si cada mitad se parte en tres, hay tres sextos, entonces 3 mitades es lo mismo que 9 sextos, 9 sextos más un sexto son diez sextos y diez sextos es lo mismo que cinco tercios" Relaciones de orden entre fracciones. Comparación

Desarrollen, por lo menos, 3 estrategias que crean que pueden emplearse para cada uno de los siguientes problemas:

a. Para cocinar, se utilizó, la primera vez, 5

1 del contenido de una lata de aceite y, la segunda vez,

6

1 de otra lata igual a la

anterior. ¿Cuándo se usó más aceite? ¿Por qué?

b. Florencia usó 3

4 del tiempo que tenía para estudiar Historia y

7

3 para Inglés. ¿A qué materia le dedicó más tiempo?

c. Catalina tejió 6

4 de una manta, y Belén tejió

12

7 de otra manta de iguales medidas. ¿Quién tejió menos?

d. María tiene 3 tortas iguales para repartir entre sus cuatro hijos. Inés tiene 4 tortas iguales a las de María para repartir entre sus cinco hijos. ¿Comieron más los hijos de María o de Inés?

a) Resuelvan gráfica y numéricamente.

b) ¿Por qué se menciona la igualdad entre las tortas?

c) ¿Qué sentido de la fracción se trabaja?

Para abordar estos problemas, podemos pensar distintos argumentos. Apelar a la definición de fracción puede ser un punto de apoyo. Por ejemplo, en el problema a., una de las posibles justificaciones es que, en un caso, se necesitan 5 porciones de

5

1 para completar la lata; mientras que la segunda vez se precisan más porciones, 6 de

6

1. Entonces si se necesitan más, la




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parte es menor, por lo que se concluye que 6

1 es menor que

5

1. Un error común frente a este problema es extender las

propiedades de los números naturales a los números racionales, y entonces decir que, como 6 es mayor que 5, sucede que 6

1

es mayor que 5

1.

Un segundo punto de apoyo puede ser la comparación con un entero. En el problema b., 3

4 es mayor que el entero, o sea

que 3

3. En cambio

7

3 es menor que

7

7 lo cual argumenta que

3

4es mayor que

7

3. Otro argumento se puede basar en el uso de

fracciones equivalentes.

En el problema c, ambas fracciones son menores que 1, y además 6

4 es equivalente a

12

8 , entonces

6

4 es mayor que

12

7.

Por lo tanto

Fracciones Propias: Son las fracciones menores al entero.

Fracciones Impropias Son las fracciones mayores al entero.

Fracciones Aparentes: representan enteros.

Las fracciones en la recta numérica:

Otro tipo de problemas donde las fracciones funcionan y donde es posible recuperar todo lo aprendido sobre estos números, en este caso comparar fracciones, son los que utilizan la recta numérica como modo de representación. Sin embargo, se deben tener presentes algunas particularidades:

Los números se anotan ordenados y deben conservar cierta escala, que puede variar de una representación a otra.

La escala se determina fijando la posición del 0 y del 1, o más generalmente, de dos números cualesquiera.

Un punto representa un número; y ese número, a la vez, representa la distancia al 0 en la escala elegida.

Estas tres características muestran no sólo la complejidad del trabajo con las fracciones en la recta numérica, sino además, que los niños deberán comparar dos ideas distintas:

Esto hará necesaria la mediación del docente para negociar la incorporación de este nuevo modo de representación, donde ser "más chico" significa 'estar a la izquierda de' y donde los números racionales equivalentes tienen la misma ubicación sobre dicha recta.

Analicen cuáles son los argumentos que un estudiante, al finalizar 6° grado, estaría en condiciones de elaborar cuando resuelve el siguiente problema:

En esta recta, están representados el 0 y el 2

3

¿Dónde se ubica 2

1 y

4

1?

Ubiquen el 6

5 y el

6

8 ¿Dónde debe colocarse el 1

2

1?

¿Es 3

4 mayor, menor o igual a

2

3? ¿Por qué?




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Ordenen los números de este problema de menor a mayor. Este problema tiene el propósito de analizar la relación de orden de las fracciones en la recta numérica. Se espera que los argumentos para sostener las respuestas se basen en las relaciones que fueron surgiendo de su trabajo previo con estos

números, que involucran la definición, la noción de fracción equivalente, etcétera. Para encontrar el punto que representa 2

1,

puede partirse el segmento que mide 2

3 en tres partes iguales. Además como

4

1es la mitad de

2

1, la mitad de la primera de

esas partes mide un cuarto y permite indicar el 4

1.

Para ubicar 6

5y

6

8, conviene pensar entre qué números naturales se encuentra cada fracción:

6

5 está entre el 0 y el 1;

6

8 está

entre el 1 y el 2, ya que 6

6 es igual a 1, y

6

12 es igual a 2. Una vez ubicados los números sobre la recta, resulta muy sencillo

ordenarlos de menor a mayor. Para finalizar, es importante destacar que, así como el cálculo mental facilitará la incorporación de algunos resultados que se utilizarán una y otra vez para resolver nuevos problemas, se deberá internalizar algunas relaciones generales de comparación de fracciones una vez que se hayan discutido su validez. Algunas de esas relaciones pueden ser las siguientes: fracciones cuyo numerador es mayor que su denominador son mayores que 1, fracciones cuyo numerador es la mitad del

denominador son equivalentes a 2

1, y otras relaciones que surgirán de los problemas analizados.

Para afianzar resolviendo:

1) Representen en la recta numérica las siguientes fracciones: 5

2 10

3 2

4 10

12

2) En cada una de las siguientes rectas numéricas se han presentado números con signos de interrogación. ¿Cuáles son esos números?

3) Ubiquen 2

1 , 1 y 12

17 en la siguiente recta numérica.

0 1

?

0

?

1

0

?

1

?

2

7

?

8

11

?

10

?




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“INVESTIGANDO EN LA CALCULADORA"

El siguiente trabajo implica el uso de la calculadora, ya que el objetivo es explicar de alguna manera, cómo se escriben los Racionales-Medida en dos formas equivalentes: fracción y decimal. La "medida" es siempre resultado de "acciones de dividir (partir) y multiplicar (iterar)" y cada medida puede ser expresada de diferentes maneras a través de nuestro sistema de escritura, Los llamados decimales-medida son expresiones que surgen de dividir por 10 ó potencias de 10 a un entero cualquiera en una magnitud; y su forma numérica es la del sistema de numeración

decimal. Así, cuando el entero es "1" la división resulta: 10

1 (décimos); 100

1 (centésimos); 1000

1 (milésimos); y la escritura

decimal introduce la “coma” para separar al entero de las divisiones.

SITUACIÓN PROBLEMA:

Les he solicitado que traigan la calculadora, porque vamos a continuar discutiendo acerca de la afirmación de Juancito: que las

fracciones son divisiones. Tomen ahora sus calculadoras, realicen las siguientes divisiones y escriban los resultados como

aparecen en el visor de su calculadora:

5

2

4

3

4

1

2

1

La pregunta es: ¿pueden explicar, con lápiz y papel, cómo se obtienen los resultados a partir de las “divisiones” sugeridas?

La escritura 2

1 representa un entero dividido en dos partes, de las cuales se ha tomado una parte, o sea la mitad. Si ese entero

fuera dividido en 10 partes, entonces la mitad tendría 5 de esas partes. La escritura “decimal” de 2

1 puede explicarse así:

Gráficamente Numéricamente

0 < 10

5 < 1 (10

5 está entre 0 y 1)

2

1 =

10

5

Entonces se escribe el cero como entero y se agrega una coma para indicar a la derecha las 5 partes del entero 10

5 = 0,5

Entonces para comprender la escritura decimal de los racionales, conviene recurrir a la equivalencia de fracciones, porque los “decimales” son una forma de escritura de las fracciones decimales (fracciones con denominador 10, 100, 1000, etc.) Para los casos presentados aquí habría que realizar las siguientes equivalencias:

4

1 =

100

25 = 0,25

4

3 =

100

75 = 0,75

5

2 =

10

4 = 0,4

LAS EXPRESIONES DECIMALES

La presentación de las expresiones decimales puede partir como extensión del sistema de numeración o de la medida o como expresión de un cociente.

a) Como extensión del sistema de numeración: Nuestro sistema de numeración permite escribir números tan grandes como se quiera teniendo en cuenta solamente que cada lugar representa 10 veces el valor del lugar situado a la derecha, por consiguiente el valor que representa cada cifra depende del lugar que ocupa. Así:

9 9 9 9 en el lugar de valor unidades en el lugar de valor decenas en el lugar de valor centenas

en el lugar de valor unidad de mil




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De igual manera puede decirse que cada lugar situado a la derecha de uno dado representa la décima parte del valor del lugar precedente, entonces:

9 9 9 9 9 x 1000 9 x 100 9 x 10 9

Tanto es así que podríamos afirmar que la lectura en ambos sentidos es lo que hace diferente al número. Por ello proponemos extender hacia la derecha los estudios realizados para la construcción del sistema decimal y obtener entonces las “partes”, los “décimos”, de los valores escritos. Cuando esas partes sean menores que la unidad, marcaremos su comienzo con la “coma”.

Por ejemplo: 2 3 8 , 3 6 x x x x x

100 10 1 10

1 100

1 de los valores de posición.

102 101 100 10 -1 10 -2

De ahí que decir que 0,387 es lo mismo que 0 entero, 3 décimos, 8 centésimos y 7 milésimos; o como usualmente lo expresaríamos “cero entero con trescientos ochenta y siete milésimos”.

b) A partir de la medida En la siguiente figura:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Seguramente se podrá decir 6 cm. y un poco más, sabiendo que ese poco más no alcanza a ser un cm., es decir no es una unidad entera sino una parte de ella.

En cambio si la regla hubiese estado graduada en mm., la respuesta podría haber sido 66 mm. La aparición o no de la coma en la expresión numérica de la medida dependerá de la unidad de medida elegida. De más está decir que esto mismo se aplica a cualquier sistema regular de medida (el paso de la unidad hacia sus múltiplos o submúltiplos se realiza de acuerdo a una constante) usado en la escuela y que tiene su fundamento en el sistema decimal de posición, así por ejemplo:

10 10 10 10 10 10 1 kg. 1hg. 1dag. 1g. 1dg. 1cg. 1mg.

x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10

Lo que no es más que proponer desde otro contexto lo trabajado en el apartado anterior.

c) Como cociente entre dos números: Esta forma de presentación, de la que ya hemos hablado, trata de poner en evidencia la necesidad de la aparición de nuevos números y partir de los conocimientos que ya tenemos. Esto se explica mejor a través de un sencillo ejemplo como sigue:

“Se tienen tres galletitas para repartir entre dos chicos de maneras que a todos le toque lo mismo de galletita y que no sobre nada”.

Obviamente la única solución posible es dar a cada uno una galletita entera y la mitad de la que queda. En la acción el alumno dará a cada uno un entero y el resto lo partirá en porciones iguales más pequeñas que la unidad y la repartirá así;

Gráficamente: Chico 1 Chico 2

¿Cuánto mide la línea gruesa si la regla está graduada en cm?




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Simbólicamente: 3 enteros 2 sobra 1 entero 1 entero 5 décimos (se expresa 1,5) que equivale a 10 décimos

sobra 0 décimos

Es bueno en estos casos hacer notar la equivalencia: 2

1 = 0,5 que permite escribir 1 y 2

1 como 1 + 2

1 ó 1,5 ó 2

3 ó 10

15 lo

que sintetiza lo expresado anteriormente. Una fracción es decimal cuando el denominador está formado por la unidad seguido de ceros, o dicho de otra forma, cuando el denominador es una potencia de 10.

Para encontrar la expresión decimal que corresponde a una fracción, hay dos opciones:

Se busca una fracción decimal equivalente a la dada

8

3 = 1000

375 = 0,375

se divide el numerador con el denominador

El denominador de una fracción decimal tiene tantos ceros como lugares tiene la expresión decimal que le corresponde. En los ejemplos anteriores, el resto de la división es igual a cero.

Existen fracciones que no se pueden escribir como una fracción decimal, por ejemplo, para obtener la expresión decimal de 3

1 ,

se realiza la siguiente división:

¿CÓMO SE LEEN LAS EXPRESIONES DECIMALES?

Para leer una expresión decimal se enuncia primero la parte entera, seguida de la palabra unidades o enteros; después se lee la parte decimal como si fuera un número entero, expresando el orden decimal que corresponde a la última cifra, tal como se muestra en el siguiente cuadro:




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Ejemplos

18,45 = dieciocho unidades y cuarenta y cinco centésimos

0,365 = trescientas sesenta y cinco milésimos

14,17093 = catorce enteros, diecisiete mil noventa y tres cienmilésimos

22,342579 = veintidós unidades, trescientas cuarenta y dos mil quinientas setenta y nueve millonésimos

32,2503333 = treinta y dos unidades, dos millones quinientas tres mil trescientas treinta y tres diezmillonésimos

33,25033333 = tres unidades, veinticinco millones treinta y tres mil trescientas treinta y tres cienmillonésimos

34,23456782 = treinta y cuatro enteros, veintitrés millones cuatrocientas cincuenta y seis mil setecientas ochenta y dos cienmillonésimos

Resuelvan!!!

1) El número cincuenta y dos milésimos se escribe

a) 0,52 b) 0,052 c) 0,0052 d) 0,00052

2) En cada caso, tachen el número escrito en forma incorrecta:

Doce mil doscientos cincuenta milésimos 12,250 12,025

Tres décimos 0,03 0,30

Tres enteros, cuarenta y tres centésimos 3,43 3,043

Dos mil cinco centésimos 20,05 20,50

Un entero, dos milésimos 1,020 1,002

Cinco enteros, doscientos milésimos 5,200 5,0200

3) Justifiquen si es correcto o no lo que plantean los chicos:

Luis dice “Se necesitan 10 monedas de 10 centavos para tener $1, entonces 10 centavos es lo mismo que 10

1 de

$1.”

Anabella dice “Si para formar $0,87 se necesitan 8 monedas de 10 centavos, en cambio para obtener $2,08, se necesitan 8 monedas, pero de 1 centavo.”

Sofía dice “Para repartir $2 entre 10, se puede hacer 2 10 = 20

1 = 0,2, que es lo mismo que 2 de 10

1 o el doble de

0,1.”

Fernanda dice “10 de 100

1 es 10

1 ó 10 centésimos es 1 décimo, etcétera”.




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Rocío dice “10 de 100

1 es 10

1 , porque si los centésimos se agrupan de a 10, se necesitan 10 grupos para armar 1.”

Sol dice “10 veces una decena es una centena, pero 10 veces un centésimo es 1 décimo.”

Andrés dice “Al multiplicar por 10 los décimos, se obtiene 1 entero; al multiplicar por 10 un centésimo, se obtiene 1 décimo”

4) Respondan y resuelvan!!!

a. ¿Qué criterios de comparación de expresiones decimales pueden validarse a partir del conocimiento sobre las fracciones?

b. ¿Qué conoce usted sobre la comparación de números naturales, que le permita comparar expresiones decimales?

c. ¿Cómo es posible el enriquecimiento mutuo entre el concepto de expresiones decimal y el concepto de medida?

d. Explicitar las relaciones en las que es preciso apoyarse para resolver los cálculos de los siguientes problemas:

¿Cuántas veces hay que sumar 0,1 para obtener 1? ¿Y para obtener 2?

¿Cuántas veces hay que sumar 0,01 para obtener 1?

Proponer descomposiciones equivalentes del número 3,08.

En el problema d., la relación entre los décimos y la definición de fracción permiten establecer las distintas equivalencias.

Por ejemplo, 10 veces 0,1 es 1. Si lo expresamos en fracción decimal, 10 veces 10

1 es 1; y 100 veces 0,01 es 1 ó 100 veces

100

1 es 1.

En el último ítem, las distintas descomposiciones de la expresión evidencian la relación de equivalencia que existe entre ellas: 3,8 = 3 + 0,8 = 3 + 8 x 0,1. 5) Completen la columna central de cada fila con el signo =, > o < según corresponda:

Finalmente, del mismo modo que se ha propuesto para el estudio de las fracciones, se busca que los alumnos aprendan a encontrar una expresión decimal entre otras dos dadas. Los alumnos suelen pensar que entre 3,7 y 3,8 no hay ningún número, pero deberán enfrentarse a que 3,765 ; 3, 71 – e infinitos más – están entre ambos. Estas ideas abonarán al inicio en la consideración de la densidad como característica del conjunto de los números racionales. 6) Encontrar un número decimal entre 3,54 y 3,55.

Para este problema, uno de los argumentos podría ser que, como los decimales tienen las mismas características que los naturales, entonces no hay un número entre 3,54 y 3,55.

Para poner en evidencia la falsedad de esta conjetura, se puede apelar a las distintas expresiones equivalentes para un decimal; por ejemplo 3,54 es igual a 3,540 y 3,55 es igual a 3,550, con lo cual un número posible puede ser 3,546. Esto contribuirá a construir la idea de densidad de los números racionales (aunque en este caso se trate de expresiones decimales), es decir, que se puede reconocer explícitamente que, entre dos expresiones decimales, siempre es posible encontrar otra expresión decimal.

Este tipo de análisis podría explicitarse en formas como la siguiente:

¿Cuántos números hay entre 3,5 y 3,6?

Como 3,5 es equivalente a:

3 enteros 10

5

3 enteros + 100

50

1 décimo 10 centésimos 2,41 2,14

50 centésimos 5 centésimos 0,40 0,4

3 centésimos 2 décimos 0,08 0,3

1 décimo 9 centésimos 6,032 6,023




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3 enteros + 1000

500

Siendo 10

5 , 100

50 , 1000

500 , etcétera, fracciones equivalentes.

Del mismo modo, 3,6 es equivalente a:

3 enteros + 10

6

3 enteros + 100

60

3 enteros + 1000

600

Siendo 10

6 , 100

60 , 1000

600 , etcétera., fracciones equivalentes.

Por consiguiente, cualquier número entre 3 enteros más 100

50 y 3 enteros más 100

60 puede ser un número entre las infinitos

expresiones decimales que existen entre ellos.

7) Completen las siguientes series numéricas para que se “cumpla” el orden indicado:

5,2 < . . . . . . . < . . . . . . . < 5,3 < . . . . . . . < 5,42 < . . . . . . . < 5,43 18,74 > . . . . . . . > 18,73 > . . . . . . . > . . . . . . . > 18,72

Parte del trabajo que implica comprender el funcionamiento de las fracciones gira en torno a la resolución de problemas y cálculos. Se propone que el tratamiento de la suma y la resta entre fracciones y con números naturales se base en las relaciones entre fracciones que se pueden establecer y el recurso del cálculo mental. En este sentido, apelar a fracciones equivalentes será una herramienta que permitirá desarrollar diferentes estrategias. Por ejemplo, para encontrar el resultado de

2

3 +

5

2 una posibilidad es analizar que los décimos forman parte de los quintos y de los medios. De allí que es posible

identificar que 5

2 equivalen a

10

4 y

2

3 equivalen a

10

15, para luego sumar los décimos. Pero también sería posible encontrar

otras fracciones equivalentes, por ejemplo 20

8 y

20

30, y luego sumar los “veinteavos”. Las fracciones equivalentes que elaboren

los estudiantes para poder operar con ellas dependerán de sus elecciones, sus recursos y los números que intervienen. Esta opción de tratamiento favorece un cierto nivel de control de la tarea, que difícilmente estaría presente si sólo se propusiera la enseñanza de un único recuso algorítmico. Tanto para la multiplicación entre fracciones como para la división entre fracciones y naturales se propiciará el mismo tipo de tratamiento que para sumas y restas. Es decir, se promoverá la resolución de problemas por medio de diferentes estrategias de cálculo mental apoyados en las relaciones entre las fracciones y la noción de fracción. Por ejemplo, poder

interpretar que 5 x 5

1 es 1 pues se replica 5 veces 5

1 . De esta manera se podrá avanzar en identificar que 5

2 x 7 puede ser

pensado como 2 x 5

1 x 7, es decir, 5

14 .

Los significados de las operaciones con fracciones

Si bien la formalización, es decir, el trabajo con las definiciones a nivel simbólico de las operaciones, no corresponde al segundo ciclo, sí corresponde comenzar a trabajar problemas (y no ejercicios aislados) en los que se vaya trabajando el sentido de las definiciones mismas. A continuación se presentan algunos comentarios que pueden resultar de utilidad para comprender los variados significados de las operaciones con números racionales y ayudarnos en la búsqueda de situaciones y problemas para dar a nuestros estudiantes. En la suma y la resta




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Se han de buscar situaciones que tengan fracciones con igual y distinto denominador, y que combinen fracciones, números naturales y números mixtos. Los significados de las fracciones pensadas como estados son idénticos a los de la suma y la resta con naturales (unir, separar, agregar, quitar, igualar). Las fracciones pensadas como operadores (en un contexto discreto) implican la búsqueda de una cantidad intermedia (unidad

o común denominador) al que se aplican. Por ej. 3

2 + 4

3 se puede pensar como 3

2 de una cantidad más 4

3 de la misma. Por

ejemplo, sea la cantidad 12, con lo cual 3

2 de 12 es 8 y 4

3 de 12 es 9 y el resultado de sumarlas es 12

17 .

Por ejemplo, el problema Ana se comió 4

2 de las galletitas y Nina 5

2 de las mismas ¿Qué parte de galletitas quedaron

en el tarro? puede ser pensado como dos estados que se unen o bien como dos operadores que actúan sobre la cantidad de galletitas. En ambos casos se ha de buscar una unidad conveniente, por ejemplo 20 y el resultado será

20

18 . Si bien 20

18 es una fracción menor que el entero, al trabajar en un contexto discreto esta expresión

significa 18 galletas de las 20 que había en el tarro. En la multiplicación

Se darán situaciones problemáticas de multiplicación de números naturales por fracciones y fracciones entre sí atendiendo a los distintos significados:

n x b

a resulta identificable como “n veces b

a ” Por ejemplo 5 x 4

3 = 5 veces

4

3

b

a x n resulta identificable con la expresión “b

a repetido n veces”. Por ejemplo: 5

3 x 10 será pensado como 5

3 sumado 10

veces, lo que resulta igual a 6.

b

a x d

c = se extiende el significado anterior “b

a de d

c ”. En general el resultado es menor que los factores salvo que se

trabaje con fracciones mayores que la unidad. Por ejemplo: 3

2 de 4

3 resultará 12

6 .

Una ayuda importante para comprender el algoritmo de la multiplicación de fracciones lo constituye el modelo de área.

Por ejemplo: Sea 3

2 x

5

3. Esto puede pensarse como un rectángulo cuyas longitudes de lados coinciden con la de

esas fracciones, luego podemos representar ambas de la siguiente manera obteniendo como área 15

6 .

Gráficamente: En la división

Se darán situaciones que atiendan a dividir fracciones por naturales, naturales por fracciones y fracciones entre sí

1) n ÷ b

a posee el significado de partir (¿Cuántas veces cabe

b

a en n?). Por ejemplo: 6 ÷ 3

2 equivale a cuántas

veces cabe 3

2 en 6, lo que da 9 veces.

2) b

a ÷ n = puede pensarse como repartir una fracción en n partes. Por lo que

3

2 dividido 3 resulta

9

2.




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3) b

a ÷

d

c corresponde también a partir (¿Cuántas veces cabe

d

c en b

a ?) Por ejemplo: 4

3 ÷

4

1 equivale a cuántas

veces cabe 4

1 en 4

3 lo que es igual a 3.

Abordar las operaciones: la posibilidad de entender el funcionamiento de los algoritmos

Las operaciones de suma y resta entre fracciones aparecen involucradas ya desde los primeros problemas de introducción de estos números. Efectivamente, cuando los niños reparten 3 chocolates entre 4, una forma posible de escribir qué parte le toca a cada

uno es 4

1 +

4

1 +

4

1. Además, aunque no en forma explícita, la resta aparece cuando se pide, por ejemplo, cuánto le falta a

5

3 para

llegar a 2. Puede observarse, sin embargo, que estos problemas se resuelven produciendo distintas estrategias donde se han establecido relaciones. El algoritmo convencional aún no se ha introducido. Retomando lo expresado acerca de la riqueza del interjuego entre el cálculo mental y el algorítmico, de la importancia del apoyo en las propiedades y en los resultados internalizados, se puede asegurar que estos problemas son una herramienta fundamental de anticipación del algoritmo, de su control y de su comprensión posterior.

PENSAR LAS PRÁCTICAS: Piensen qué estrategias podrían desplegar los estudiantes para abordar estos problemas:

a. Pedro fue al supermercado y compró 4

3 kg de café, 1

2

1 kg de yerba, 3 paquetes de 1 kg de arroz, y 2

4

1 kg de pan.

Después de pagar, puso en una bolsa todo lo que había comprado. ¿Cuánto pesaba la bolsa?

b. En un paquete, hay 8

3kg de azúcar; y en otro, hay

4

1kg. Si se vuelcan los dos en un frasco vacío donde se puede

guardar 1 kg de azúcar, ¿se llenará el frasco?, ¿por qué?

c. Calculen mentalmente las siguientes sumas y restas:

2

1

4

1

4

1 2

1

4

3 4

1

2

1

4

3 2

1

8

3

8

1 4

1

8

2 4

1

8

2

d. Calculen la fracción que falta en cada suma:

7

3 + ¿? = 2

2

7 + ¿? = 4

e. Sin hacer la cuenta, decidan si es posible que:

15

3 dé un resultado mayor que 2.

5

8

3

1 dé un resultado menor que 1.

2

1

4

3 dé un resultado mayor que 1.

Antes de tratar con los modos convencionales de operar con fracciones, los niños podrían utilizar lo que han aprendido sobre

estos números. Por ejemplo, que 2

1 es igual a

4

2, que el doble de

6

1 es

6

2 y esto es igual a

3

1, que la mitad de

5

8 es

5

4, que a

5

3 le faltan

5

2 para llegar a 1, etcétera.

Enfrentados a problemas similares al a, y al b un niño escribió lo siguiente:

En una jarra se colocan 8

5 litros de jugo para diluir y 1

2

1litros de agua, ¿Cuántos litros hay ahora en la jarra?

En el tarro hay 5

3 galletitas de agua y

10

4kg de galletitas dulces. ¿Cuál es el peso total de las galletitas?

Es importante notar que los números elegidos para estos problemas tienen, al menos, dos características: son reconocidos por los niños por haberlos utilizado desde mucho antes y, además, son fracciones con distinto denominador. A propósito de esta última particularidad, se propone que los estudiantes elaboren estrategias para resolver sumas y restas sin utilizar un orden donde, primero, haya fracciones de igual denominador y, luego, fracciones con distinto denominador. Pensar que, como




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posible estrategia para sumar, por ejemplo, 8

2 +

4

1, se puede escribir

4

1 como

8

2, es decir, pensar en utilizar fracciones

equivalentes y concluir que el resultado es 8

4, no es fácil para los niños.

Se trata de un procedimiento cuya comprensión, más allá de la regla mecánica, es difícil porque hay que aceptar que, al reemplazar una fracción por otra equivalente, la suma seguirá siendo la misma. Es importante que el docente tenga presente esta complejidad y vaya chequeando en el desarrollo de las clases el grado de aceptación y comprensión que esto tiene en los estudiantes.3

Posteriormente, el docente podrá presentar nuevos procedimientos, incluido el convencional, para sumar fracciones de

distintos denominadores, por ejemplo 15

2 +

25

8, donde 15 y 25 no son familiares para los estudiantes y entonces la búsqueda

de fracciones equivalentes se dificulta más. Los problemas de proporcionalidad directa brindan un contexto apropiado para el tratamiento de las operaciones con fracciones. A través de la resolución de estos problemas y con el uso implícito de las relaciones de que al doble de una cantidad le corresponde el doble de su correspondiente, al triple le corresponde el triple y en general, cuando una de las cantidades se multiplica o divide por un mismo número, su correspondiente se multiplica o divide también por el mismo número, los niños se encontrarán operando con fracciones. La siguiente actividad apunta en el mismo sentido.

PENSAR LAS PRÁCTICAS

Los siguientes problemas, por un lado, abordan la ruptura entre las operaciones con números naturales y las operaciones con fracciones, y por otro, vinculan la proporcionalidad con las operaciones entre fracciones. Analicen de qué aspectos de la ruptura se trata y discutan cómo las relaciones de proporcionalidad dan paso a establecer posibles estrategias para multiplicar o dividir una fracción por un número natural.

a. Cada caja de galletitas trae 6 paquetes de 4

3 kg. ¿Cuánto pesa una caja completa?

b. Juan es cocinero y quiere anotar en una tabla las cantidades necesarias de agua para preparar un postre, para distintas cantidades de porciones. Ya anotó las cantidades necesarias para 1, 2 y 3 porciones. ¿Cómo puede usar estos datos para calcular las cantidades que le faltan?

c. Busquen argumentos de modo que, usando estrategias de cálculo mental, puedan completar la línea punteada con <, > ó =.

d. Esta tabla relaciona las cantidades de jugo (en litros) que se obtienen, según la cantidad de naranjas (en kilos) que se exprimen, en cada caso. Para completar los datos que faltan, hay que operar con las fracciones, ¿qué cálculos es preciso hacer para encontrarlos?

e. ¿Cómo se podrá calcular la mitad de 8

1 , de 3

1 y de 5

3 ? ¿Cómo se podrá calcular 5

3 ÷ 4?

3 Sadovsky (comp.) (2005): óp. Cit

Porciones 1 2 3 5 6 8 10

Agua (en litros) 5

2 5

4 5

6

Cantidad de naranjas (en kg) 1 2 3 2

1

Cantidad de jugo (en litros)

5

6




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f. Analicen cada una de las siguientes afirmaciones. Decidan si la consideran verdadera o falsa. Justifiquen sus respuestas.

Siempre que se multiplican dos números naturales distintos de 0 y 1, el producto es mayor que cualquiera de los factores.

Siempre que se multiplican dos fracciones distintas de 1, el producto es mayor que cualquiera de los factores.

Si se multiplica un número natural por una fracción, el producto siempre es mayor que ese número natural.

Si se multiplica un número natural por una fracción, el producto siempre es mayor que esa fracción.

Hay distintas expresiones que "muestran" la solución del problema a:

4

3 +

4

3 +

4

3 +

4

3 +

4

3 +

4

3, o 6 veces

4

3, o 6 x

4

3, o

4

18

Algunas de estas notaciones han aparecido anteriormente en otros problemas, y en este momento, se trata de empezar a explicitar, aunque es posible que algún niño lo haya propuesto antes, un procedimiento para multiplicar una fracción por un

número natural. Será un momento apropiado para "ver" y luego sistematizar que, para resolver 6 x 4

3 (cuyo resultado debe ser

4

18), se puede multiplicar 6 x 3 y conservar el denominador 4.

El problema b, da la posibilidad de encontrar muchas estrategias para resolverlo. Por ejemplo, si para 1 porción se necesitan 5

2,

para 5 porciones se necesitarán 5 veces 5

2, es decir:

5

2 +

5

2 +

5

2 +

5

2 +

5

2, que equivale a

5

10. Además, si para 2 porciones se

necesitan 5

4 y, para 3 porciones, se precisan

5

6, para 5 porciones, que es la suma entre 2 y 3, debe necesitarse la suma entre

5

4

y 5

6, lo que permite controlar el resultado

5

10 obtenido antes. Por otro lado, para calcular 6 porciones, sabemos que 6 es el

doble de 3, entonces le corresponde el doble de 5

6, que es

5

12. Por último, si sabemos que, para 1 porción, necesita

5

2 litros

de agua, se pueden obtener todas las otras cantidades multiplicando por 5

2: 2 x

5

2, que es

5

4; 3 x

5

2, que resulta

5

6; 5 x

5

2,

cuyo resultado es 5

10; 8 x

5

2, que es

5

16; etcétera.

Los problemas d. y e. abordan la cuestión de dividir una fracción por un número natural. En el problema d., si de 3 kg se

obtienen 5

6 litros de jugo, para encontrar cuántos litros se obtienen de 1 kg, se necesita calcular la tercera parte de

5

6. Como

5

6 equivale a

5

2 +

5

2 +

5

2, entonces su tercera parte será

5

2, es decir que

5

6 divido 3 es

5

2. Se puede "ver" que, para dividir esta

fracción por 3, se puede hacer 6 ÷ 3 y mantener el denominador.

En e se pide dividir 5

3 por 4. Aquí el procedimiento anterior se puede usar si se encuentra una fracción equivalente a 5

3 con un

numerador que sea divisible por 4. Volviendo al problema d., para calcular la cantidad de jugo que le corresponde a 2

1 kg de

naranjas, demanda pensar que, si a 1 kg le corresponden 5

2 litros, a

2

1 kg, que es su mitad, le corresponde la mitad, es decir,

5

1 litros. Pero a su vez, se sabe que, para calcular los litros, se pueden multiplicar los kilos por

5

2, con lo cual hay que hacer la

cuenta 2

1 x

5

2. Estas dos informaciones -que el número que corresponde a

2

1 es

5

1 y que el número que le corresponde a

2

1

se resuelve con la cuenta 2

1 x

5

2- obligan a pensar cómo debe funcionar el algoritmo de multiplicación entre dos fracciones

para obtener el resultado que ya se conoce. Finalmente, los problemas c. y f habilitan a que el docente convoque explícitamente a los estudiantes a reflexionar sobre las propiedades válidas para los números naturales, las que pueden dejar de serlo cuando están involucradas las fracciones.

¿A qué nos referimos cuando hablamos de cálculo mental en el aula, a propósito de las fracciones?




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Los números naturales involucrados en los problemas de reparto se han manifestado insuficientes para responder a algunas situaciones, por ejemplo, a la imposibilidad de expresar cuánto chocolate le toca a cada niño cuando se debe repartir 1 chocolate entre 4. Han aparecido en la clase de Matemática estos nuevos números, y la clase ya no es la misma de antes. ¿Cuál es el panorama? Resulta que estos números no sólo se van a comparar, ordenar y que se operará con ellos, sino que además, pueden escribirse de distintas maneras. Se vuelve necesaria la toma de decisiones didácticas que permitan ayudar a los niños a abordar esta "revolución científica". El trabajo sobre el cálculo mental se convierte en una poderosa herramienta que permite enriquecer el conjunto de relaciones sobre las fracciones y, a la vez, ayuda a sostener el tema de una manera más sólida.

PARA PENSAR…

a. ¿Qué clase de conocimientos se podrían abordar desde el cálculo mental con fracciones?

b. ¿Cómo se podría relacionar el cálculo mental con los algoritmos propios de los números racionales?

c. ¿De qué modo puede el trabajo con el cálculo mental sobre este campo numérico hacer evolucionar los conocimientos de los estudiantes, en particular, de los niños con mayores dificultades?

Primeramente, recordemos que con "cálculo mental" nos referimos a un cálculo reflexionado, en el que se conjugan los distintos procedimientos que los estudiantes consideran más convenientes para cada situación, basados en las propiedades de las operaciones y en los resultados disponibles en su memoria. Es un cálculo que no necesariamente prescinde de la escritura y que se sostiene en el análisis de las relaciones numéricas, a diferencia del cálculo algorítmico. En efecto, éste se basa en la aplicación de reglas que aseguran un resultado certero, pero que, una vez automatizado, instala una forma de operar que no tiene en cuenta las relaciones numéricas ni los resultados anteriores de que se dispone. El trabajo con el cálculo mental sostenido a largo plazo permite que los estudiantes tengan un amplio repertorio de estrategias y no queden sujetos a una sola forma de resolver un problema. Para pensar en estas cuestiones, le proponemos la siguiente actividad:

Identifiquen qué propiedades se ponen en juego en la resolución de los problemas siguientes:

a. Cálculo del doble de la fracción 3

1

b. Cálculo de la mitad de la fracción 6

1

Una vez que hayan resuelto los ítems anteriores, elijan otra fracción en la que el numerador sea distinto de 1 y actualicen el análisis para ambos problemas.

El cálculo del doble o de la mitad son buenos ejemplos para ver cómo se identifican las relaciones y cómo se construyen distintos modos de resolución que será conveniente someter a una discusión colectiva. El espacio de comparación de procedimientos será interesante en tanto se planteé la equivalencia entre los distintos procedimientos y, a la vez, se discuta la

validación de estos. Por ejemplo, para calcular el doble de 3

1 , se puede hacer 3

1 + 3

1 = 3

2 , que es lo mismo que 2 x 3

1 . Si para

la segunda parte se elige, por ejemplo,3

4 , se puede pensar así: como el doble de 3

1 es 3

2 , y además 3

4 es 4 veces 3

1 ,

entonces el doble de 3

4 es 4 veces el doble de 3

1 , es decir: 3

8 . Más tarde, este tipo de razonamientos contribuirá a la

fundamentación de estrategias para multiplicar fracciones. Además, las regularidades que aparecen, por ejemplo, ante la instancia de que, para calcular el doble de una fracción se duplica el numerador y se mantiene el denominador, aporta a la producción de un cálculo memorizado y pasa a formar parte de aquel mencionado repertorio de cálculo mental. Para calcular

la mitad de 6

1 , se puede comenzar argumentando así: como 6 de 6

1 hacen un entero, la mitad será una parte de modo que

entre 12 veces en un entero. Entonces, la mitad de 6

1 es 12

1 .

El cálculo mental puede emplearse como una herramienta de control, donde no necesariamente el procedimiento utilizado es el más económico, sino que da cuenta de un recorrido personal a partir de los conocimientos que el alumno identifica como pertinentes para dicha situación.


Expliciten las relaciones numéricas que ustedes crean que se ponen en juego en la resolución de cada uno de los siguientes problemas.




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a. ¿Cuánto le falta a 5

3 para llegar a 2?

b. ¿Entre qué enteros está 5

13 ?

c. Un bidón tiene capacidad para 4 y 3

2 litros de agua. Si en el bidón hay 6

9 , litros, ¿Cuánta agua debo agregar para

llenarlo?

Para resolver este problema, un estudiante escribió lo siguiente:

Expliquen el procedimiento utilizado.

Las actividades donde el entero se toma como "punto de apoyo" favorecen la utilización posterior del cálculo mental y apelan a

continuar elaborando la definición de fracción, donde se establece que: n veces n

1 es equivalente a 1.


Describan la actividad matemática que realizan al resolver los siguientes problemas.

a. ¿Por cuánto hay que multiplicar a 6 para obtener 1?

b. ¿Por cuánto hay que multiplicar a 7

1 para obtener 3?

Por otra parte, hacer evolucionar los conocimientos de los estudiantes sobre estos números implica un interjuego de cálculos mental y algorítmico. El trabajo con el primero apunta a elaborar las razones que fundamentan los mecanismos de funcionamiento de los algoritmos y, también, permite reflexionar sobre aquellas; a su vez, disponer de los algoritmos enriquece la posibilidad del cálculo mental Además, hacer que los niños trabajen con los números favorece la apropiación de estos conceptos, en especial, por parte de quienes que tienen más dificultades. En efecto, para estos chicos, el trabajo de producción de estrategias, que el docente ha planificado intencionalmente, implica acceder a formas de resolver que otros estudiantes elaboran por su cuenta y que ellos, aisladamente, quizás no podrían producir. Además, el cálculo mental les permite anticipar y controlar el resultado obtenido por un método convencional, el que les insume más tiempo para incorporar, el que no recuerdan fácilmente o por el que se equivocan, y ante lo cual, no saben cómo seguir. ¿Cómo se profundiza el estudio de las relaciones entre fracciones y expresiones decimales?

Se trata de avanzar hacia la identificación de algunas generalidades acerca de estas equivalencias entre escrituras decimales y fracciones decimales, descontextualizándolas, cuestión que obliga a pensar no sólo hasta los centésimos, sino reconocer milésimos, diezmilésimos, etc. Por ejemplo: “¿Cuáles de estas escrituras representan 3,457?

3 + 100

457

100

3457 3 + 10

4 +

100

5 +

1000

7

1000

3457 ”

Pero a su vez, este trabajo permite retomar la relación entre fracciones y divisiones. Por ejemplo: “Encontrar una cuenta cuyo resultado sea 3,2 usando la calculadora y sin oprimir la tecla de la coma”. En este caso, los

estudiantes podrán reconocer que 10

32 es la fracción que, en términos de cociente (32 ÷ 10), da como resultado 3,2.

Este tipo de situaciones permite, a su vez, revisar la idea de fracciones equivalentes, en este caso, son todas aquellas

divisiones entre números naturales (numerador/denominador o dividendo/divisor) que den 3,2 (5

16 ;100

320 ; etc.).

Un aspecto que corresponde a 6º grado es la exploración de algunas fracciones que no pueden ser escritas con

expresiones decimales finitas (3

1 , 6

1 , etc.). Se podrá identificar también que cualquier expresión decimal (finita) admite

múltiples (infinitas) representaciones con fracciones. No se espera que los estudiantes utilicen un algoritmo para pasar de fracción a decimal o de decimal a fracción, sino que desplieguen un trabajo exploratorio.

¿Qué enseñar respecto del funcionamiento de las expresiones decimales?




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Inicialmente se ha propuesto un abordaje de las expresiones decimales a través de los contextos del dinero y la medida. Se trata de profundizar en el estudio del comportamiento de estas expresiones a partir de analizar el valor posicional, el problema del orden y las estrategias de cálculo. Respecto del valor posicional se enfrentará a los estudiantes a problemas que apunten a “aprender a ver” en la escritura del número información sobre su composición interna, de acuerdo con el lugar que ocupa cada cifra. Así, por ejemplo, se espera que los niños puedan resolver, sin hacer cálculos, problemas como los siguientes:

“¿Cuánto hay que restarle a 4,567 para obtener 4,507?”;

“¿Cómo formar el número 4,567 sumando todas las veces que se precise los números 0,1; 0,01 y 0,001?”.

Esta clase de problemas permite retomar el análisis del valor posicional respecto de los números naturales. La cuestión del orden reviste particular importancia ya que obligará a los estudiantes a abandonar la creencia respecto de que si un número es “más largo” será entonces mayor. Por ejemplo, para ordenar 1,111111 - 2 - 1,2 - 1,134 será necesario considerar el valor posicional.

Los números con coma entran a clase

Con respecto a este tema Itzcovich propone en primer lugar, la elección de un tipo de problemas que marquen un contexto apropiado que haga que los estudiantes "se metan" con estos números. La reconstrucción de una cantidad de dinero usando monedas de una determinada clase, la escritura de equivalencias entre cantidades de dinero, las sumas y restas de precios propician un trabajo muy enriquecedor en este sentido, ya que permiten iniciar el establecimiento de relaciones usando números familiares para los estudiantes4. Algunas relaciones pueden ser:

Se necesitan 10 monedas de 10 centavos para tener $1, entonces 10 centavos es lo mismo que 10

1 de $1.

Para formar $0,87 se necesitan 8 monedas de 10 centavos, en cambio para obtener $2,08; se necesitan 8 monedas, pero de 1 centavo.

Para repartir $2 entre 10, se puede hacer 2 ÷ 10 = 10

2 = 0,2, que es lo mismo que 2 de

10

1 o el doble de 0,1.

En segundo lugar, se deben analizar distintas características de estos números, algunas de las cuales están relacionadas con las propiedades de los números naturales; y otras, con las fracciones. Es conveniente explicitar el valor de cada posición decimal y las relaciones entre las posiciones contiguas. Algunas relaciones pueden ser:

• La primera posición después de la coma es la de los décimos, la segunda, la de los centésimos, etcétera.

• 10 de 100

1 es

10

1 ó 10 centésimos es 1 décimo, etcétera.

• 10 de 100

1 es

10

1, porque si los centésimos se agrupan de a 10, se necesitan 10 grupos para armar 1.

• 10 veces una decena es una centena, pero 10 veces un centésimo es 1 décimo.

• Al multiplicar por 10 los décimos, se obtiene 1 entero; al multiplicar por 10 un centésimo, se obtiene 1 décimo.

Se explicitan también las relaciones entre las fracciones decimales y los números decimales. Algunas pueden ser:

• 10

7 =

100

70 =

000.1

700 = 0,7

• 3,51 = 3 + 10

5 +

100

1

Respecto del cálculo se propondrá, del mismo modo que para los números naturales, el estudio de diferentes estrategias: cálculo mental, cálculo estimativo, cálculo con calculadora y cálculo algorítmico. Se propone un trabajo en torno al cálculo mental, especialmente para “decimales redondos” o para aquellos números que permiten apoyarse en el valor posicional. Por ejemplo 4,55 + 3,45 ; 2,50 x 8 ; 2,34 x 100, etc. También en el terreno del cálculo, los estudiantes deberán enfrentarse a revisar las ideas de que “multiplicar agranda” y que “dividir achica” -que sí funcionan para los números naturales-. Estas cuestiones se tornarán objeto de reflexión frente a

4 Para tratar estas cuestiones, se recomienda la lectura del Documento N.° 5 Aportes para el desarrollo Curricular: Matemática: "Acerca de los números

decimales: una secuencia posible" (2001). Bs. As.: GCBA. Secretaría de Educación.




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cálculos con números menores que 1, por ejemplo 20 x 0,5 = 10 ó 20 ÷ 0,5 = 40, y aparecen como contenidos explícitos. Se propone también el análisis de algunos errores frecuentes que surgen al tratar los decimales como “dos números separados por una coma”; por ejemplo el que surge al considerar que 4,5 + 4,7 es 8,12. Los algoritmos para sumar, restar, multiplicar y dividir decimales con naturales o decimales entre sí serán también objeto de trabajo, apoyados en las propiedades de las operaciones y de los números. Por ejemplo, para dividir 4,234 por 2,3 se analizará que el cociente es equivalente si se multiplican ambos números por 10 o por 100. “Correr las comas” será entonces una consecuencia de las operaciones y no una técnica vacía de sentido.

Como vemos el trabajo en torno a los números naturales y a las fracciones resultará un punto de apoyo para trabajar con las operaciones y con los criterios de comparación de los números decimales. Con respecto a esto y en forma similar a como se viene trabajando con aquellos números, se espera que los algoritmos puedan introducirse una vez que los estudiantes hayan elaborado estrategias que les permitan validarlos con fundamentos matemáticos y no, que los algoritmos sean aceptados sólo porque el docente lo dice. A continuación se presentan clases de problemas para proponer a los estudiantes:

a) Establecer relaciones entre fracciones y el cociente entre números naturales

Se trata de identificar que el resultado de un reparto equitativo puede ser expresado con una fracción. Por ejemplo: Se reparten 7 chocolates entre 5 chicos, en partes iguales y no sobra nada. ¿Cuánto le tocó a cada uno?

Repartir 7 entre 5 hace corresponder 5

7 a cada uno, y este resultado es equivalente a 1 y

5

2. Estas escrituras dependerán de

cómo se efectúe el reparto. En este caso, será pertinente que los problemas incluyan todo tipo de fracciones: 3

1,

5

6,

7

8, etc.

En el trabajo colectivo, el docente promoverá el análisis sobre la identificación de estas escrituras con la cuenta de dividir.

Por ejemplo, para repartir 36 chocolates entre 7 chicos se hizo la cuenta:

luego, a cada uno le corresponden 5 chocolates y 7

1 y esta expresión es equivalente a

7

36.

A su vez, resultar interesante que el docente propicie el análisis inicial acerca de algunas diferencias entre las fracciones y los números naturales: con las fracciones, siempre es posible encontrar un número que multiplicado por otro dé como resultado 1,

por ejemplo, 4 x 4

1 = 1, afirmación que no es válida dentro del campo de números naturales.

b) Resolver problemas de proporcionalidad directa en los que la constante es una fracción

Será tarea del docente presentar este tipo de problemas y promover la vinculación con los que involucran la proporcionalidad directa, en el marco de la multiplicación y la división con números naturales, distinguiendo que aquí la constante es una fracción. Por ejemplo: Si con 2 litros de agua toman 5 chicos, y todos toman la misma cantidad, ¿cuánto toma cada chico? En

este caso, cada chico toma 5

2 que es la constante de proporcionalidad.

c) Resolver problemas que requieren considerar a la fracción como una proporción

El docente promoverá la resolución de situaciones que permitan a los niños identificar que si, por ejemplo, se habla de 3 de

cada 4 amigos, equivale a considerar 4

3 partes del total de amigos. También es posible proponer problemas en los que se

deba comparar dos proporciones y determinar cuál es mayor: En un grupo, 3 de cada 5 personas son de Boca. En otro grupo, 4 de cada 6 personas son de Boca. ¿En cuál de los dos grupos hay más cantidad de hinchas de Boca en proporción a la cantidad de personas?

Las fracciones 5

3 y 6

4 permiten identificar la proporción de fanáticos del club en cada grupo. Compararlas será uno de los

recursos que posibilitará responder el problema y en este caso, se podrá identificar que a 5

3 le faltan 5

2 para llegar al entero en

tanto que a 6

4 le faltan 6

2 para llegar al entero. Es decir, le falta menos, por lo tanto, 6

4 es más grande que 5

3 . De allí que en

el segundo grupo hay más cantidad de personas de Boca, en relación al total.




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Será tarea del docente propiciar la reflexión para que este tipo de trabajo se asocie con la búsqueda de porcentajes: 5

3

equivalen a 100

60 es decir, al 60%, en tanto que 6

4 representa aproximadamente el 66%, pues se trata de 3

2 y concluir

que a mayor porcentaje, la fracción es más grande.

d) Resolver problemas de medida en los cuales las relaciones entre partes o entre partes y el todo pueden expresarse usando fracciones

Algunos problemas involucran comparar unidades de medida diferentes, a partir de las relaciones entre estas unidades y el entero. El docente propondrá este tipo de problemas para favorecer el establecimiento de relaciones entre longitudes que son fracciones de un mismo entero.

Por ejemplo, si la tira A entra 4 veces en un entero y la tira B entra 3 veces en el mismo entero, ¿cuántas veces entra la tira A en la tira B?

Mediante diferentes recursos se espera que los estudiantes establezcan que la tira A es 4

3 de la tira B, por comparación

entre las tiras o apelando al entero, que será una tira como la siguiente: Dependerá de las relaciones entre las tiras y el entero, cuál recurso será el más pertinente.

e) Elaborar recursos que permiten encontrar al menos una fracción entre dos fracciones dadas

Será tarea del docente iniciar a los alumnos en la idea de densidad del conjunto de números racionales. Es decir, proponer situaciones que evidencien que siempre, entre dos fracciones, es posible encontrar alguna otra fracción. Por ejemplo:

Encontrar una fracción entre 4

1 y 5

1 .

Para resolver este problema, será necesario que los niños identifiquen que, así escritas, se hace más difícil imaginar cuál

fracción estará entre ellas. La idea de equivalencia nuevamente vuelve a ser pertinente: 5

1 = 10

2 = 100

20 en tanto que

4

1 =100

25 .

Luego, entre 100

20 y 100

25 es más fácil encontrar “muchas” fracciones, por ejemplo 100

21 . A través de la reflexión colectiva, el

docente promoverá que los estudiantes reconozcan que, cuantas más particiones se realicen, más sencillo será encontrar fracciones entre dos fracciones dadas. Este mismo tipo de tratamiento se propone con expresiones decimales.

f) Resolver problemas que demandan comparar fracciones y encontrar fracciones entre números dados usando la recta numérica

La recta numérica es un recurso que sirve como soporte para tratar problemas de orden de fracciones. El trabajo con este soporte permite tratar los números fraccionarios como números en sí mismos, sin tener en cuenta un contexto.

Por ejemplo: Decidir qué número está representado con la letra A en la siguiente recta numérica:

En este caso, van desde 11/3 hasta 15/3 = 5. Luego, A está justo en el medio entre 14/3 y 15/3. Conviene entonces pensarlo en sextos: 28/6 y 30/6, luego A = 29/6

Otro ejemplo Comparar 5

12 y 7

13

Tanto para ubicar números fraccionarios en la recta, como para comparar fracciones, un recurso posible es considerar fracciones equivalentes para determinar nuevas subdivisiones en cada intervalo entre números. Este mismo tipo de tratamiento se propone con expresiones decimales, incluyendo la ubicación tanto de fracciones como de expresiones decimales en una misma recta.

g) Resolver problemas que demandan realizar sumas y restas entre fracciones utilizando diferentes recursos de cálculo




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Se propone recuperar lo realizado en años anteriores, afianzando los recursos de cálculo. Será necesario que los niños reconozcan, por ejemplo, que para sumar quintos y décimos es conveniente usar décimos, que para sumar octavos y séptimos es posible multiplicar ambos denominadores para encontrar uno común, y en cambio para sumar cuartos, medios y doceavos es suficiente con recurrir a equivalencias con doceavos. El docente promoverá que los estudiantes elijan diferentes recursos de cálculo según los números involucrados, de manera tal de ejercer un cierto grado de control sobre sus propios recursos. También propiciará el análisis de las equivalencias entre las diferentes escrituras que circulen en la clase, tanto propuestas por los estudiantes como por él mismo.

h) Resolver problemas que involucran la multiplicación entre una fracción y un entero y la multiplicación entre fracciones

El docente presentará problemas de proporcionalidad directa en los que la constante sea una fracción y los valores de las magnitudes sean enteros y fracciones.

Por ejemplo: Completar la siguiente tabla de proporcionalidad directa:

Se espera que los niños reconozcan que, en este caso, la constante es ½ y, por lo tanto, identifiquen que, para ¼

corresponde 1/8 litro de agua. Esta información, proveniente de las relaciones entre fracciones, permitirá analizar que ¼ × ½

debe ser 1/8 y elaborar un modo de multiplicar para que el resultado sea lo que se anticipó. Los alumnos podrán reconocer,

por ejemplo, que multiplicar por ½ es equivalente a dividir por 2, o bien que la cuarta parte de ½ es también 1/8, ya que

se multiplican los denominadores para obtener el resultado. Del mismo modo, podrán analizar que se multiplican los numeradores para que la cuenta dé lo que se espera.

Otro contexto que demanda la multiplicación entre fracciones es el del área.

Por ejemplo: Decidir qué parte está sombreada en el siguiente cuadrado:

A simple vista es posible reconocer que se trata de 12

6 =

2

1. El docente podrá promover un análisis más detallado que

permita a los estudiantes plantear que está sombreado 3

2 de la base y 4

3 de la altura. De allí que puedan identificar lo

sombreado con el siguiente cálculo: 2

1 ×

4

3 y comprender que del cálculo deberá resultar

12

6 =

2

1.

Para pensarlo, los niños podrán apelar a diferentes recursos, por ejemplo: buscar la cuarta parte de 3

1 , es decir, hacer 4

1 ×

3

1,

que será 12

1 , para luego replicar esta cantidad 6 veces, que es el resultado de 2 × 3, obteniendo 12

6 . Finalmente, podrán

concluir que, para obtener el resultado esperado, se deberá multiplicar numerador por numerador y denominador por denominador.

i) Resolver problemas de división entre una fracción y un entero

El docente podrá proponer el mismo tipo de análisis que para situaciones que involucran multiplicaciones, para problemas

como el siguiente: Se quiere repartir 4

3 kg. de helado entre 5 personas, en partes iguales ¿Cuánto le corresponde a cada uno?

El cálculo que representa el problema es 4

3 ÷ 5. Para tratarlo, los estudiantes podrán comenzar partiendo en 5 la cantidad

4

1,

obteniendo 20

1 , para luego establecer que cada uno recibirá 3 de 20

1 , es decir, 20

3 . Este abordaje permitirá identificar que

4

3 ÷ 5 =

20

3. Pero a su vez, vinculará a los alumnos con la idea de que

4

3 ÷ 5 equivale a buscar la quinta parte de

4

3 , que es

lo mismo que escribir 5

1 ×

4

3 =

20

3. De allí, podrán avanzar en el reconocimiento de que

4

3 ÷ 5 =

5

1 ×

4

3 =

4

3 ×

5

1.

j) Resolver problemas que exigen analizar las relaciones entre fracciones decimales y expresiones decimales

Se trata de proponer problemas que favorezcan la comprensión del funcionamiento en términos de décimos, centésimos, milésimos, etc., de las expresiones decimales.




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Por ejemplo: ¿Cuántas tarjetas de 10

1 , de 100

1 y de 000.1

1 se necesitan para formar el número 0,352? ¿Y para formar el 2,95?

Los estudiantes deberán identificar que cada cifra decimal informa la cantidad de décimos, centésimos y milésimos que

constituyen el número. A su vez, requiere determinar que hacen falta 20 cartas de 10

1 para armar el 2 de la segunda pregunta.

k) Explorar equivalencias entre expresiones fraccionarias y decimales, considerando la posibilidad de buscar fracciones a partir de cualquier expresión decimal y los problemas que surgen al buscar expresiones decimales para algunas fracciones

Se plantearán situaciones que permitan analizar las características de los números involucrados de manera de establecer relaciones, apelando a las fracciones decimales, a fracciones equivalentes, al valor posicional de la cifras decimales, a la multiplicación por la unidad seguida de ceros, entre otros recursos.

Por ejemplo: Encontrar las expresiones decimales de 5

4,

8

3 y

25

4.

Analizar cuáles de estas fracciones pueden expresarse con centésimos 6

5,

8

5 y

15

6.

¿Es verdad que la fracción 8

3 puede expresarse con milésimos pero no con centésimos?

No se espera que los estudiantes utilicen un algoritmo para pasar de fracción a decimal o de decimal a fracción sino que desplieguen un trabajo exploratorio.

l) Identificar que entre dos expresiones decimales siempre es posible encontrar otra expresión decimal o una fracción, usando la recta numérica

Se trata de generar el mismo tipo de situaciones que se propuso para fracciones, pero apelando a las relaciones entre fracciones y decimales. Por ejemplo, para encontrar una fracción entre 3,45 y 3,46 será conveniente que los niños identifiquen

que 3,45 = 100

345 y 3,46 =

100

346. Esto permitirá, mediante equivalencias, reconocer que buscar fracciones entre 3,45 y 3,46

equivale a buscarlas entre 000.1

3450 y

000.1

3460, y encontrar, entre otras posibles,

000.1

3457 que equivale a 3,457.

El uso de la recta numérica servirá como soporte para nuevas situaciones. Por ejemplo: Ubicar 5,25 en la siguiente recta numérica:

Para abordar este problema, una posibilidad es que los estudiantes reconozcan que la tercera marca corresponde a 10

45= 4,5;

luego, la siguiente será 6 = 10

60. Justo en el medio se encontrará 5,25 pues se trata de

100

525 que es el punto medio entre

100

450 y

100

600

m) Resolver problemas que demandan analizar la multiplicación y división de números decimales por la unidad seguida de ceros y establecer relaciones con el valor posicional de las cifras decimales

Se trata de recuperar las relaciones entre fracciones decimales y expresiones decimales para anticipar resultados de multiplicar y dividir por la unidad seguida de ceros.

Por ejemplo: Decidir el resultado de cada cálculo: 0,10 × 10 0,01 × 10 0,01 × 100

A partir de identificar que, por ejemplo, 10 monedas de 10 centavos arman 1 peso y la posibilidad de escribir esta equivalencia como 0,10 × 10 = 1 se podrá analizar el primer cálculo. Los niños podrán tratar los otros cálculos de manera similar, favoreciendo una exploración acerca de los resultados de multiplicar por 10, por 100, etc. Del mismo modo, podrán analizar en problemas de reparto de dinero, los resultados que se obtienen de repartir, por ejemplo, 34 pesos entre 10

compañeros y su relación con la fracción 10

34 = 3,4

El docente podrá profundizar este trabajo planteando problemas como el siguiente: Si se ingresa en la calculadora el número 5,429 y se oprime x 10, ¿qué número se verá en el visor?, ¿cuántas veces habrá que oprimir x 10 de manera de ver el número 542900?




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n) Utilizar recursos de cálculo mental y algorítmico, exacto y aproximado para sumar, restar, multiplicar y dividir expresiones decimales entre sí y con números naturales

El docente propiciará el uso de la información que brinda la escritura de las expresiones decimales en términos de posicionalidad, sus relaciones con fracciones decimales y la multiplicación y división por la unidad seguida de ceros, para resolver diferentes tipos de cálculos con un cierto control sobre los resultados que se obtienen.

Por ejemplo: Encontrar el resultado de 2,5 x 3,11.

Una posibilidad es pensar en transformar el cálculo en un producto entre números naturales. Para ello, se podrá multiplicar 2,5 por 10 y 3,11 por 100. Como resultado de estas multiplicaciones, “se corren las comas”. Al resultado de 25 x 311 será necesario dividirlo por 1.000, corriendo la coma tres lugares a la izquierda para obtener el resultado de 2,5 x 3,11. De la misma manera se podría pensar en multiplicar ambos números por 100 y en consecuencia, al resultado dividirlo por 10.000. En el caso de la división, para encontrar, por ejemplo, el cociente de 7,45 ÷ 2,5, los niños podrán identificar que este cálculo es equivalente a 74,5 ÷ 25 y que a su vez, equivale a 745 ÷ 250. Estos cálculos podrán pensarse también desde las fracciones

equivalentes. Es decir, 7,45 =100

745 y 2,5 =

100

250. Luego, 7,45 ÷ 2,5 equivale a

100

745 ÷

100

250 que es lo mismo que hacer 745 ÷ 250.

También es importante que los estudiantes aprendan a estimar resultados antes de hacer los cálculos algorítmicos. Por ejemplo, para calcular 456,78 ÷ 3,45, podrán considerar que es aproximadamente 400 ÷ 4 y que entonces, la parte entera del cociente será aproximadamente 100, es decir, tendrá tres cifras. O bien, para pensar en 5,67 x 234,23, calcular 5 x 200 y anticipar que el producto dará aproximadamente 1.000. Este recurso será muy fértil para controlar el resultado de cálculos algorítmicos y para resolver problemas para los cuales es suficiente con estimar. El docente podrá propiciar el análisis de algunas diferencias en el comportamiento de las expresiones decimales respecto de los números naturales. Algunos errores de los estudiantes se explican por su intento de generalizar propiedades válidas para los números naturales, extendiéndolas a los decimales. Por ejemplo, creer que “si se multiplica se agranda y si se divide se achica”. Será necesario abordar estas cuestiones con problemas específicos, además de considerar los errores de los alumnos.

Por ejemplo: Joaquín dice que multiplicó 10 x 0,75 y le dio un número menor que 10. ¿Es posible?

Malena dice que dividió 16 por 0,4 y le dio un número mayor que 16, ¿se habrá equivocado? A modo de cierre… una mirada para atrás

Durante muchos años, se ha postulado que la resolución de problemas es una actividad importante a través de la cual se aprende matemática. Sin embargo, este no es el único tipo de actividad que permite que los estudiantes avancen en sus conceptualizaciones sobre el número racional. A lo largo de este capítulo, se han expuesto distintos aspectos que contribuyen a dicha tarea. En esta instancia, se pueden recorrer nuevamente las actividades propuestas y reflexionar sobre el tipo de problemas que enriquecen la apropiación del concepto, las intervenciones del docente y las interacciones entre los estudiantes en el aula. La siguiente actividad abre estas cuestiones, y no se esperan respuestas puntuales. Son más bien a modo de interrogantes para acompañar la reflexión.

PENSAR LAS PRÁCTICAS Les proponemos que vuelva a los análisis realizados a lo largo del módulo y respondan a las siguientes cuestiones:

¿Qué tipo de práctica favorecería que los estudiantes se apoyasen en sus conocimientos sobre las fracciones para estar seguros de sus resultados?

¿Qué tipo de práctica favorecería que los estudiantes aceptasen los problemas como suyos y se involucrasen en la producción de conocimientos sobre estos números?

¿Qué tipo de práctica favorecería que los estudiantes se involucrasen en un debate de ideas sobre el funcionamiento de las fracciones?

En principio, pensar en una gestión de las clases que fomente la responsabilidad de los estudiantes por sus aprendizajes implica ponerlos a resolver problemas donde la validación del proceso sea parte del trabajo. Entendemos por validación el proceso por el cual los chicos pueden acceder, por sus propios medios y usando el conocimiento matemático, a dar cuenta de la validez de los resultados y las resoluciones que producen, entendiendo que los resultados incluyen los procesos. Resolver un problema implica desplegar un cierto proceso y agotarlo. La validación no es sólo saber si el resultado coincide o no con lo esperado: es fundamentar, es saber dar razones de por qué estas herramientas resuelven el problema. Esta posición que queremos lograr en los estudiantes contradice aquello culturalmente establecido. En efecto, lo usual es que el estudiante resuelva, y que el docente corrija esa resolución. Esto dificulta la posibilidad de que el estudiante se




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responsabilice matemáticamente por sus resultados. Acá es necesario un trabajo muy intenso por parte del docente, que muestre su intención de que los estudiantes sean quienes validen sus propias producciones5. Reiteramos, el docente debe convocar expresamente a sus estudiantes a buscar fundamentos matemáticos que expliquen sus resultados. ¿Qué otras posibilidades ofrece el contexto de trabajo con números racionales para este propósito? Para pensar en esta pregunta, les proponemos la siguiente actividad: PENSAR LAS PRÁCTICAS

En los siguientes problemas, analicen qué argumentos pueden utilizar los estudiantes para validar las soluciones que encuentran.

1) a. Pinta 4

1 del entero de dos formas distintas.

b. ¿Es cierto que, en los siguientes dibujos, se pintó 4

1 ? Explica cómo lo pensaste en cada caso.

c. ¿Es verdad que el rectángulo y el triángulo pintados representan ambos 4

1 del entero? ¿Cómo podrías hacer

para estar seguro de tu respuesta?

2) Lucas dice que el doble de 10

1 es 20

1 porque el doble de 10 es 20.

Nicolás dice, en cambio, que el doble de 10

1 es 5

1 , pero no sabe cómo explicarlo. ¿Te parece correcto lo que dicen los

chicos? ¿Por qué?

3) Lorena dice que tenía 20 caramelos y se comió la mitad; y Amalia, quien tenía 12 caramelos, también se comió la mitad de los que tenía. ¿Es cierto que las dos chicas comieron la misma cantidad de caramelos?

4) ¿Es cierto que, si dos fracciones tienen el mismo numerador, es mayor la que tiene menor denominador? ¿Por qué?

5) Martina le cuenta a Camila: "Hoy repartí chocolates entre mis amigas y le di y de chocolate a cada una". Camila responde: "Entonces, seguro que tenías 3 chocolates para repartir entre 9". Martina le dice a Camila que se equivocó en el cálculo. ¿Cuántos chocolates tenía Martina para repartir? ¿Alcanzan los datos para saberlo? ¿Por qué?

Una idea que subyace a estos problemas se relaciona con el tipo de actividad intelectual que la consigna invita a realizar. En el problema 1), por ejemplo, se muestran tres partes aparentemente muy similares, pero que obligan a elaborar, de formas diferentes, lo que los niños saben sobre las fracciones. Además de invitarlos explícitamente a explicar sus procedimientos, las tres situaciones ponen en juego distintas conceptualizaciones sobre la noción, particularmente errónea, que consiste en asociar una parte de cuatro con partes que no son iguales o que no tienen la misma forma, conocimiento no enseñado pero, sin embargo, "aprendido" por los niños. Ha sido estudiado que los niños le agregan más características a un concepto de las que el concepto tiene; y entonces se hace necesario discutir estas concepciones que, de otro modo, pueden aparecer como errores.

5 Revista La Educación en nuestras manos (Bs. As.)/ núm. 71 (mayo de 2004). SUTEBA.




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Los problemas 2) y 3) ahondan en estas cuestiones que involucran la decisión didáctica de llamar a los estudiantes a comprometerse con su aprendizaje y llamar a los docentes a preguntarse qué piensan sus estudiantes acerca de este concepto. Los problemas 4) y 5) invitan a los estudiantes a poner en juego otros aspectos del trabajo matemático: debatir sobre una ley que ha sido formulada por otros para comparar números y analizar las condiciones que hacen que un problema tenga más de una solución, única o ninguna. Si bien es probable que los estudiantes utilicen fracciones para validar la regla del problema 4), es el análisis que sobre los ejemplos se realiza lo que sostiene la generalidad. Pueden proponer, por ejemplo que, si

comparamos 3

5 con 8

5 , como además de tener el mismo numerador 3

5 es mayor que 1 y 8

5 es menor que 1, la conjetura es

verdadera. Falta tomar fracciones que sean, por ejemplo, todas menores que 1, por ejemplo 8

5 y 12

5 . Pero 8

5 es lo mismo que

5 de 8

1 , y 12

5 es lo mismo que 5 de 12

1 . Entonces se puede comparar 8

1 con 12

1 . Se necesitan 8 partes para completar 1

entero y 12 en el otro caso, entonces la fracción que tiene menor denominador es más grande porque hacen falta menos partes para armar el entero, lo que prueba que la ley es cierta. Aprender a poner en palabras lo realizado es un trabajo conjunto entre los estudiantes y el docente, trabajo que lleva tiempo y se puede lograr sólo si se realiza en forma sostenida PENSAR LAS PRÁCTICAS

Analicen qué tipo de trabajo matemático requiere poner en juego estos problemas.

1) a. La mamá de Matías compraba todas las semanas 2 kg de galletitas. Decidió armar una tablita que le permitiría comprar rápidamente los paquetes de galletitas que necesitaba según el peso de cada paquete. ¿Cuántos paquetes necesita en cada caso?

b. La mamá de Juan tomó la idea e hizo lo mismo. Ella compraba siempre 3 kilos de galletitas. ¿Es correcta la tabla

que armó? En caso de que alguna cantidad de paquetes sea incorrecta, corregila.

2) Analicen si, para repartir en partes iguales 3 chocolates entre 4 chicos, son o no equivalentes los siguientes procesos:

a.. Partir cada uno de los tres chocolates en 4 partes iguales y dar a cada chico una parte de cada chocolate.

b. Partir por la mitad 2 de los 3 chocolates y dar una mitad a cada chico, y partir el tercer chocolate en 4.

Expresen usando fracciones cada uno de los repartos anteriores. Después, analicen y argumenten si son o no equivalentes las expresiones que surgen en cada caso.

3) El contenido de una botella de 12

1 litro de jugo se va a servir en 6 vasos iguales. ¿Cuánto jugo hay que colocar en cada

vaso para que haya en todos la misma cantidad y no sobre nada?

Una práctica que invite al estudiante a usar el conocimiento matemático como medio para estar seguro de sus resultados debe provocar momentos de reflexión sobre lo realizado. Estos espacios de análisis podrían dar lugar a la aparición de nuevos




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problemas, nuevas relaciones no "vistas" en el momento de la resolución, modos de resolución distintos del propio; en definitiva, podrían generar nuevos aprendizajes.

Los problemas 1) a. y b. muestran situaciones que ya han sido elaboradas por los estudiante s, pero presentadas de esta manera, permiten establecer nuevas relaciones; por ejemplo, la proporcionalidad directa entre los kilos de galletitas y la cantidad de paquetes, y la proporcionalidad inversa entre el tamaño de los paquetes y el número de los paquetes (aunque estos conceptos no sean sistematizados y presentados con estos nombres en esta instancia de la escolaridad). Es interesante destacar además, la riqueza de llevar a los estudiante s a discutir sobre un problema que fue resuelto por otros. Finalmente, un trabajo matemático en el aula que contemple la validación como parte del proceso involucra el compromiso del docente de "meterse" en los problemas para que sean enseñables a "estos" estudiantes. Esta actividad matemática del docente se refiere, fundamentalmente, a la reconstrucción de los procesos de validación adaptados a los conocimientos de los alumnos, lo cual supone que el docente reconstruya sus propios conocimientos. En otros términos, el docente aprende matemática cuando piensa cómo se fundamentan los problemas teniendo en cuenta qué saben los estudiante os.

El problema 3) se podría resolver con la cuenta 12

1 ÷ 6; y se hace necesario buscar procedimientos de resolución cuando aún

el algoritmo de la división entre fracciones no fue explicitado. Una forma consiste en buscar una fracción equivalente a 12

1

que resulte fácil de dividir por 6, así:

12

1 =

2

3 =

12

18

entonces 12

1÷ 6 es lo mismo que

12

18 ÷ 6.

Como 12

18 representa 18 porciones de

12

1, al dividir las 18 porciones por 6, se obtienen 3 porciones. Entonces,

12

18 ÷ 6 =

12

3.

Otra forma de resolver la cuenta es pensar que dividir por 6 es lo mismo que multiplicar por 6

1:

Como ya hemos visto a lo largo de Módulo, este contenido es complejo, pero a la vez, su potencia reside en ser un lugar privilegiado donde las distintas relaciones posibles de establecer permiten que los estudiantes se sumerjan en un tipo de actividad matemática y se apropien de un modo cultural diferente.

UNIDAD CURRICULAR: MATEMÁTICA y su … · En su expresión fraccionaria, los números racionales...

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