FRACTIONAL CALCULUS APPLICATIONS IN … · – Transformadas integrales: Transformada de Fourier...

CONTROL FRACCIONARIO

GRUPO DE AUTOMÁTICA, ROBÓTICA Y SISTEMAS DE PRODUCCIÓN (GRASP)

EII - UEX

Blas M. VinagreBlas M. VinagreJORNADAS DE INGENIERÍA DE CONTROLJORNADAS DE INGENIERÍA DE CONTROL

Zaragoza, 4Zaragoza, 4--5 de Mayo de 20055 de Mayo de 2005

Zaragoza, 4,5-05-2005 JORNADAS DE INGENIERÍA DE CONTROL

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CONTENIDO

• INTRODUCCIÓN• ¿POR QUÉ CÁLCULO FRACCIONARIO?• ¿QUÉ ES EL CÁLCULO FRACCIONARIO?• APLICACIONES• SISTEMAS FRACCIONARIOS• CONTROL FRACCIONARIO

– FUNDAMENTOS– APLICACIONES

• IMPLANTACIÓN DE OPERADORES FRACCIONARIOS• COLABORACIONES• PUBLICACIONES Y EVENTOS• PARA SABER MÁS


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INTRODUCCIÓN • La idea de los operadores fraccionarios es tan antigua

como la de los enteros. • El interés teórico y práctico de estos operadores está hoy

día bien establecido, y sus aplicaciones en ciencia e ingeniería pueden considerarse como campos de investigación emergentes.

• Operadores fraccionarios:– Transformadas integrales: Transformada de Fourier

Fraccionaria– Convolución: Convolución Fraccionaria, Splines

Fraccionarios– Derivada e integral: Cálculo Fraccionario


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INTRODUCCIÓN

• El lecho de Procrustes: Todos han de ajustarse a la misma cama:

Si es alto, cortar las piernasSi es bajo, estirarlas.

• La carta robada (The Purloined Letter):Los mismos métodos han de ser siempre aplicables con

éxito: Si no se encuentra solución,

No hay solución.• Un nuevo paradigma:Una buena oportunidad para revisar los orígenes (fuentes).


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¿POR QUÉ CF? • MODELADO:

– Dominio temporal: ¿Es g(t) una combinación lineal de exponenciales complejas? ¿Por qué no una función, sólo una, siendo las exponenciales complejas (senos, cosenos, función error, etc..) casos particulares?


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¿POR QUÉ CF? • MODELADO:

– Dominio frecuencial: ¿Es H(s) una función racional de s ? ¿Por qué no una función racional de s0.4 para ajustarse a la pendiente con un solo factor?


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¿POR QUÉ CF?

• MODELADO:– Tiempo ponderado: ¿Tienen todos los valores pasados el

mismo peso?


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¿POR QUÉ CF?

• AUTOMÁTICA:– Acciones básicas de control: ¿por qué no generalizarlas de

manera continua?


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¿POR QUÉ CF? • AUTOMÁTICA:

– Sistema básico de referencia con propósitos de especificaciones y diseño: servo de posición.¿Por qué no utilizar uno diferente y más robusto a cambios en la ganancia o carga?


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¿POR QUÉ CF? • PROCESADO DE SEÑAL:

+

1/sa

1/sa

1/sa

+

+

+

y(t)x(t)

-a1

-a2

-aN-1

-aN

+

b0

+

+

+

b1

b2

bN-1

bN

+


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¿QUÉ ES EL CF? • La historia del cálculo fraccionario comienza con la

historia del cálculo– L’Hôpital a Leibnitz (1695): ¿Podría extenderse el

significado de dny/dxn para el caso de n=1/2?– Leibnitz a L’Hôpital: Ello conduciría a una paradoja,..., de la

cual se podrán extraer consecuencias útiles

• Durante tres siglos se desarrollo como una disciplina puramente matemática (Euler, Lacroix, Riemann, Liouville, ...)

• Primera aplicación en Física: Abel (1820): problema del movimiento tautócrono (integral de Abel)


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¿QUÉ ES EL CF? • Definiciones (Riemann – Liouville):

– Otras definiciones: Weyl (Potencial), Caputo (Condiciones iniciales interpretables).


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¿QUÉ ES EL CF? • Ecuaciones diferenciales de orden

fraccionario (EDOF):


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¿QUÉ ES EL CF? • Función de Mittag-Leffler:


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¿QUÉ ES EL CF? • Ecuaciones diferenciales de orden

fraccionario (EDOF). Solución numérica:– Definición de Gründwald – Letnikov:


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APLICACIONES• Modelado de sistemas físicos: capacidad de modelar

fenómenos de memoria:– Difusión, viscoelasticidad, movimiento browniano anómalo,

dinámica no newtoniana, sistemas de parámetros distribuidos.

– Electroquímica, ciencia de materiales, mecánica y estructuras, termodinámica, electromagnetismo, reología, etc.

• Ingeniería:– Procesado de señal (e imágenes).– Control automático.– Robótica


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APLICACIONES• Control automático:

– Control robusto, óptimo, adaptativo. – Amortiguación activa en vehículos.

• Robótica:– Caracterización y control de brazos robóticos.– Generación y seguimiento de trayectorias.– Evitación de obstáculos.

• Procesado de señal:– Filtrado y estimación.– Ajuste de curvas e identificación de sistemas.– Detección de bordes y suavizado.


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SISTEMAS FRACCIONARIOSModelos

01

01

01

01

........

)()()( βββ

ααα

sbsbsbsasasa

sWsYsF

nn

mm

nn

mm

++++++

==−

−

−

−

DuCxyBuAxxD

+=+=α

( )( )( )( )),(,)(

)(),()('tuxgtytutxftx

fr

fr

=

=

( ) ( ) ( )

( ) ( )

)(

)(

)()(

1

2)(1

02)(1

1

2)(

02)(

12)(2

21

01

31

txy

xbbx

bb

wbaw

baw

batx

txtx

nnn

nnmnm

tn

tn

n

tn

tn

mt

n

m

=

−−

++=

=

−+−+−

−+−+−−+

−

−

ββββ

βαβαβα&

&


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SISTEMAS FRACCIONARIOSEstabilidad: Superficies de Riemann


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CONTROL FRACCIONARIOTrabajos pioneros

• Bode (1945): Amplificadores realimentados: Función de transferencia ideal en lazo abierto: estabilidad relativa independiente de la ganancia ⇒ integrador fraccionario.

• Tustin (1958): control de posición: margen de fase constante sobre un intervalo de frecuencias ⇒ aproximación de la función ideal de Bode – integrador fraccionario.

• Manabe (1961): Integrador fraccionario en control – definición de parámetros característicos en lazo cerrado.

• Carlson y Halijak (1961): Control de servo con integrador fraccionario –Método para implantación analógica.

• Oustaloup y col. (1981): Control CRONE (Control Robusto de Orden No Entero): Diseño sistemático de controladores fraccionarios explotando su robustez.


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CONTROL FRACCIONARIOAcciones básicas de control

Acción integral Acción derivativa


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CONTROL FRACCIONARIOControl robusto (I) – Estabilidad relativa

Plano complejo

Dominio de la frecuencia Dominio del tiempo


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CONTROL FRACCIONARIOControl robusto (II) - CRONE

Primera generación:Controlador: IF

Tercera generación:Orden complejo

Segunda generación: Lazo abierto: IF


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CONTROL FRACCIONARIOControl robusto (III) – Amortiguación activa


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CONTROL FRACCIONARIOControladores PID


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CONTROL FRACCIONARIOControladores PID – Optimización


27


CONTROL FRACCIONARIOControladores PID - Optimización


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CONTROL FRACCIONARIOControladores PID - Optimización


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CONTROL FRACCIONARIOControladores PID – Optimización (Barbosa,

Machado, 2003)


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CONTROL FRACCIONARIOControladores PID – Autosintonía


31


CONTROL FRACCIONARIOControladores PID – Autosintonía


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Sintonía de (γ,α) para respuestaóptima (rango de velocidadesy amplitudes en consigna)

Modelo de referencia

Control adaptativo – MRAC


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CONTROL FRACCIONARIOControl deslizante: Fraccionario en:

• Superficie de deslizamiento• Estructura de control• Pseudosliding

Control Iterativo con aprendizaje


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CONTROL FRACCIONARIOGeneración y seguimiento de

trayectorias (I)


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trayectorias (II)Del potencial de Coulomb al potencial Fraccional

Modificación gradual de la distribución

Modificación gradual del orden de la integral


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trayectorias (III)Potenciales, mapas y rutas


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trayectorias (IV)Filtros de Davidson-Cole --- Otros modelos

fraccionales


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trayectorias (V)


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APLICACIONESOtras aplicaciones: Sistemas no

lineales

Redes neuronales celulares fraccionarias:• Aplicación a procesado de imágenes

Circuitos caóticos de orden fraccionario•CNNs•Duffing•Chua

Oscilador de Van der Pol

(Ver: P. Arena, R. Caponeto, L. Fortuna, D. Porto, Nonlinear Noninteger Order Circuits and Systems-An Introduction. World Scientific 2000)


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APLICACIONESOtras aplicaciones: Sistemas no

lineales

Oscilador de Van der Pol


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IMPLANTACIÓN DE OPERADORES

α

α

dtd

∆α


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Consideraciones generales

• Etapa final para aplicaciones: obtener una forma realizable eficiente de los operadores fraccionales:

– Buena aproximación en su comportamiento temporal y frecuencial– Baja complejidad

• Problema de la implantación ⇒ ventaja del modelado: memoria.• Dos opciones:

– Implantación analógica: redes– Implantación digital: algoritmos (ecuaciones en diferencias)

• Implantación digital ≠ evaluación o aproximación numérica:– Periodo de muestreo– Limitación de memoria


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DISPOSITIVO

ORDENADOR⇓

DISCRETIZACION

APROXIMACIÓNNUMÉRICA

IMPLANTACIÓNDISCRETA(DIGITAL)

CIRCUITO

IMPLANTACIÓN


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Aproximaciones (I)

• Continuas:– Evaluación de funciones– Interpolación de funciones– Ajuste de curvas


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Aproximaciones (II)


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Aproximaciones (III)

tttftftf

dtd

∆∆−−

≈)()()(

APROXIMACIÓN NUMÉRICA

– INTEGRACIÓN NUMÉRICA– SIMULACIÓN DINÁMICA

• COSTE COMPUTACIONAL (TIEMPO+RECURSOS)

• CONVERGENCIA DEL ALGORITMO

∆t: h: paso ⇒aproximación numética

∆t: T: periodo de muestreo ⇒implantación discreta

⇓PASO

MÉTODOtzzG∆−

=−11)( Función generatriz


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IMPLANTACIÓN DIGITAL

–APLICACIONES INGENIERILES EN TR

–FILTROS DIGITALES: Mapa polo-cero: FM+estable; Banda de frecuencias; Tiempo de computación; Requerimientos de memoria

⇓

Función generatriz ⇒ Mapping planos S - ZExpansión: PSE⇒ FIR FILTERS; CFE ⇒ FIR FILTERS

Orden del filtro (complejidad) ⇒ Ancho de banda y rizadoPeriodo de muestreo ⇒ Frecuencia central


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• Discretas:– Indirectas: equivalentes

discretos de aproximaciones continuas

– Directas: equivalentes discretos de operadores fraccionarios.

Filtros IIR: funciones racionales

Filtros FIR: polinomios


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OTROS FRACCIONARIOS

Bloqueadores de orden fraccionario (FROH)


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INVESTIGACIÓN EN LA UEX

• Líneas:– Teoría de control: generalización de métodos y estrategias,

estabilidad, estructuras de implantación.– Control de sistemas y procesos: procesos industriales,

servomecanismos.– Robótica móvil: robots móviles y coches: planificación y

seguimiento de trayectorias, control de velocidad.• Proyectos:

– Control fraccionario de procesos industriales (Junta de Extremadura, 2PR02A024, 2002-2005).

– Diseño e implantación de controladores fraccionarios para el control lateral y longitudinal de vehículos autónomos, CICYT, DPI2002-04064-C05-03).


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COLABORACIONES

• Laboratorio de Automática y Producción (LAP), Universidad de Burdeos I (Equipo CRONE), Francia. A. Oustaloup.

• Instituto de Ingeniería de Oporto, Portugal. J. A. Tenreiro Machado.

• Universidad Técnica de Kosice, República Eslovaca. Igor Podlubny.

• Centro de Sistemas Inteligentes y Autoorganizados, Universidad Estatal de Utah, USA. YangQuan Chen.


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PUBLICACIONES Y EVENTOS

• Special Issue of Fractional Order Calculus and Its Applications, Nonlinear Dynamics, Vol. 29, Nos. 1-4 July 2002. J. A. Tenreiro Machado (Ed.).

• Special Issue - Fractional Signal Processing and Applications, Signal Processing, Vol. 83, No. 11 Nov. 2003. M. D. Ortigueira, J. A. Tenreiro Machado (Eds.).

• Monográfico: Cálculo Fraccionario, Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales, Vol. 98, No. 1 2004. Darío Maravall Casesnoves (Ed.)

• Special Issue of Fractional Order Calculus and Its Applications, Nonlinear Dynamics, 2004. J. A. Tenreiro Machado (Ed.).

• Special Issue - Fractional Signal Processing and Applications, Signal Processing, 2005. M. D. Ortigueira, J. A. Tenreiro Machado (Eds.).

• Fractional Derivatives and their Applications. Tome 1: Mathematical tools, Geometrical and Physical Aspects; Tome 2: Econophysics, mechanics, material modelling, thermal systems, electronics, electrical systems; Tome 3: Systems analysis, implementation and simulation, systems identification and control.


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PUBLICACIONES Y EVENTOS

• Tutorial Workshop on Fractional Calculus Applications in AutomaticControl and Robotics (41st IEEE Conference on Decision and Control, Las Vegas, Diciembre 2002). Blas M. Vinagre, YangQuan Chen (Org.)

• First Symposium on Fractional Derivatives and their Application (ASMEInternational 19th Biennial Conference on Mechanical Vibration and Noise, Chicago, Septiembre 2003). O. P. Agrawal, J. Sabatier, J. A. TenreiroMachado (Org.).

• First IFAC Worshop on Fractional Derivatives and Applications, Bordeaux,France, Julio 2004

• Second Symposium on Fractional Derivatives and their Applications(ASME International 19th Biennial Conference on Mechanical Vibration and Noise, Long Beach, Septiembre 2005). O. P. Agrawal, J. Sabatier, J. A. Tenreiro Machado (Org.).

• Second IFAC Worshop on Fractional Derivatives and Applications, Porto, Portugal, Julio 2006.


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PARA SABER MÁS

Visitar la páginahttp://mechatronics.ec

e.usu.edu/foc/cdc02_tw2_ln.pdf


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CODATiempo ponderadoFor the pattern is new in every momentAnd every moment is a new and shockingValuation of all we have been,...

(T. S. Eliot, East Coker, I, vv. 85-87)

(Consultar también: Platón, Timeo, 7, 38-39: el tiempo y su medida)

Proyecciones, sombras en los murosTal ciencia sería una mecánica de transformación, y nuestra mecánica de traslación sería un caso particular de ella, una simplificación, una proyección sobre el plano de la pura cantidad.

(H. Bergson, La evolución creadora)

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