UNIDAD 6: CONOZCAMOS Y UTILICEMOS EL ÁLGEBRA.

6.1 Álgebra.

Es la rama de la matemática que estudia la combinación de elementos de estructuras abstractas acorde a ciertas reglas. Originalmente esos elementos podían ser interpretados como números o cantidades, por lo que el álgebra en cierto modo originalmente fue una generalización y extensión de la aritmética.2 3 En el álgebra moderna existen áreas del álgebra que en modo alguno pueden considerarse extensiones de la aritmética (álgebra abstracta, álgebra homológica, álgebra exterior, etc.). La historia del álgebra comenzó en el antiguo Egipto y Babilonia, donde fueron capaces de resolver ecuaciones lineales y cuadráticas, así como ecuaciones indeterminadas como con varias incógnitas. Esta antigua sabiduría sobre resolución de ecuaciones encontró, a su vez, acogida en el mundo islámico, en donde se la llamó "ciencia de reducción y equilibrio". (La palabra árabe al-yabr que significa "reducción", es el origen de la palabra álgebra). A los árabes se debe el desarrollo del Álgebra (siglo IX). Al-Juarismi, el más grande matemático musulmán, escribió uno de los primeros libros árabes de álgebra "Kitab al-muhtasar fi hisad al-gabr wa-al-muqabala", de donde deriva el nombre de esta ciencia. Al-gabr significa ecuación o restauración; al-muqabala son los términos que hay que agregar o quitar para que la igualdad no se altere. Por esto, en rigor, el Álgebra no es más que una teoría de las ecuaciones

6.2 NOMENCLATURA ALGEBRAICA.

Expresión Algebraica.- Es la representación de un símbolo algebraico o de una o más operaciones algebraicas, así por ejemplo: a, 2x, a(b+c), 2x+y, x2-5x Término.- Es una expresión algebraica que consta de un solo símbolo o de varios símbolos no separados entre sí por el sigigno + o -, así por ejemplo:3a2, xy, -2abc2, -xyz Elementos de un término.-Son cuatro: el signo, el coeficiente, la parte literal y el grado, así por ejemplo:

En el caso de 3a2 el signo es positivo (cuando un término no va precedido de ningún signo es positivo), el coeficiente es 3, la parte literal es a2 y el grado es 2 (segundo grado). En el caso de -ab2c3 el signo es negativo, el coeficiente es 1 (cuando un término no va precedido de ningún coeficiente, el coeficiente es la unidad), la parte literal es ab2c3 y

el grado de primer grado con relación a la letra a porque el exponente de este factor es l, de segundo grado con relación a la letra b, y de tercer grado con relación a la letra c.

6.3 SIGNOS ALGEBRAICOS. Con las cantidades algebraicas se efectúan las mismas operaciones que con las aritméticas, es decir: suma o adición, resta, multiplicación o producto, división, potenciación, radicación, logaritmación, etc. SIGNOS DE OPERACIÓN En la suma se utiliza el signo (+). Así, por ejemplos x+y se leerá

“equis más ye”. En la resta se utiliza el signo (-). Así, por ejemplo x-y se leerá “equis

menos ye”. En la multiplicación se utiliza el símbolo multiplicado por (x) ó ( ). Así,

por ejemplo x xy = x y se leerá “equis multiplicado por ye”. El signo suele omitirse cuando los factores están indicados por letras o bien por letras y números.

Por ejemplo x x y x z = x y z = xyz En la división se utiliza el signo dividido entre (:)( ) ó (/). Así,

por ejemplo x:y = x/y = x y y se leerá “equis dividido entre ye”. En la potenciación se utiliza un superíndice denominado exponente que

se sitúa arriba y a la derecha de una cantidad llamada base por sí misma. Así, por ejemplo x4=x x x x … (4 veces) y se leerá “equis elevado a la ye”. En el caso de que una letra no lleve exponente se sobreentiende que el exponente es uno.

En la radicación se utiliza el signo radical ( ), debajo del cual se

coloca la cantidad a la que se le extrae la raíz. Así, por , se leerá “raíz

cuadrada de equis”; “raíz cúbica de equis” y así sucesivamente.

SIGNOS DE RELACIÓN Los signos de relación se utilizan para indicar la relación que hay entre dos cantidades. El signo = se lee igual a. x=y se leerá “equis igual a ye”. El signo se lee diferente de. x y se leerá “equis diferente de

ye”. El signo > se lee mayor que. x>y se leerá “equis mayor que

ye”. El signo < se lee menor que. x<y se leerá “equis menor que

ye”. El signo se lee mayor que o igual. El signo se lee menor que o igual.

SIGNOS DE AGRUPACIÓN Los signos de agrupación más utilizados son: los paréntesis ( ), los corchetes [ ] y las llaves { }. Los signos de agrupación indican que la operación encerrada en su interior debe efectuarse en primer lugar.

6.4 EXPRESIONES ALGEBRAICAS.

Una expresión algebraica es un conjunto de cantidades numéricas y literales relacionadas entre sí por los signos de las operaciones aritméticas como sumas, diferencias, multiplicaciones, divisiones, potencias y extracción de raíces.

Algunos ejemplos de expresiones algebraicas son:

o

Si x es una variable, entonces un monomio en x es una expresión de la forma axn, en donde a es un numero real y n es un entero no negativo. Un binomio es la suma de dos monomios que no se pueden simplificar y un trinomio es la suma de tres monomios que no se pueden simplificar.

monomio binomio trinomio

Recuerda siempre que un monomio tiene solo un término, un binomio dos términos y un trinomio tres términos.

6.5 GRADO DE UN MONOMIO: ABSOLUTO Y RELATIVO.

GRADO DE UN MONOMIO Grado relativo de un Monomio (G.R.) El grado relativo de un monomio es el exponente que tiene cada letra. Ejemplo: hallar el G.R. de: 4a3b2 Solución: GR(a) = 3 (el Grado Relativo con respecto a la letra a es 3) GR(b) = 2 (el Grado Relativo con respecto a la letra b es 2) Grado absoluto de un Monomio (G.A.)

El grado absoluto de un monomio es la suma de los exponentes de todas y cada una de las letras. Ejemplo: hallar el G.A. de: 4a3b2 Solución: GA = 3 +2 = 5 (el Grado Absoluto es 5) Ejemplo: hallar el G.A. de: x5y3z Solución: GA = 5 +3 +1 = 9 (el Grado Absoluto es 9) Grado de polinomio. Grado relativo de un Polinomio (G.R.). Este grado es el término que tiene mayor exponente de de todo el polinomio. Grado absoluto de un Polinomio (G.A.). El grado Absoluto de un polinomio es la mayor suma de sus exponentes. Ejemplo: hallar el G.R. y G.A. de: 4a3b2+5a5b1 Solución: Para el Grado Relativo: GR(a) = 5 (Grado Relativo con respecto a la letra a es 5, porque 5 es mayor que 3) GR(b) = 2 (Grado Relativo con respecto a la letra b es 2, porque 2 es mayor que1) Para el Grado Absoluto: Primer termino= 3+2 sumados dan 5. Segundo termino= 5+1 sumados dan 6. GA = 6 (el Grado Absoluto es 6, porque 6 es mayor que 5)

6.6 TÉRMINOS SEMEJANTES Y REDUCCIÓN. En una expresión algebraica se llaman términos semejantes a todos aquellos términos que tienen igual factor literal, es decir, a aquellos términos que tienen iguales letras (símbolos literales) e iguales exponentes. Por ejemplo:

6 a2b3 es término semejante con – 2 a2b3 porque ambos tienen el mismo factor literal (a2b3)

1/3 x5yz es término semejante con x5yz porque ambos tienen el mismo factor literal (x5yz)

0,3 a2c no es término semejante con 4 ac2 porque los exponentes no son iguales, están al revés.

Reducir términos semejantes significa sumar o restar los coeficientes numéricos en una expresión algebraica, que tengan el mismo factor literal.

Para desarrollar un ejercicio de este tipo, se suman o restan los coeficientes numéricos y se conserva el factor literal.

Recordando cómo se suman los números enteros:

Las reglas de suma se aplican únicamente a dos casos: números de igual signo y números con signo distinto. Las reglas a memorizar son las siguientes:

a) Números de igual signo: Cuando dos números tienen igual signo se debe sumar y conservar el signo.

Ej : – 3 + – 8 = – 11 ( sumo y conservo el signo) 12 + 25 = 37 ( sumo y conservo el signo)

Ej : – 7 + 12 = 5 (tener 12 es lo mismo que tener +12, por lo tanto, los números son de distinto signo y se deben restar: 12 - 7 = 5

b) Números con distinto signo: Cuando dos números tienen distinto signo se debe restar y conservar el signo del número que tiene mayor valor absoluto

5 + – 51 = – 46 ( es negativo porque el 51 tiene mayor valor absoluto)

– 14 + 34 = 20

Recordando cómo se resta: Para restar dos números o más, es necesario realizar dos cambios de signo porque de esta manera la resta se transforma en suma y se aplican las reglas mencionadas anteriormente. Son dos los cambios de signo que deben hacerse:

a) Cambiar el signo de la resta en suma b) Cambiar el signo del número que está a la derecha del signo de operación por su signo contrario Ej: – 3 – 10 = – 3 + – 10 = – 13 ( signos iguales se suma y conserva el signo) 19 – 16 = 19 + – 16 = 19 – 16 = 3

Ejemplo 1: xy3 – 3 x2y + 5 xy3 – 12 x2y + 6 Hay dos tipos de factores literales: xy3 y x2y

Hay también una constante numérica: 6 Para resolver este ejercicio se suman los coeficientes numéricos de xy3 con 5xy3 y –3 x2y con –12 x2y. Hay que tener presente que cuando una expresión no tiene un coeficiente, es decir, un número significa que es 1 (x3y = 1 xy3). xy3 – 3 x2y + 5 xy3 – 12 x2y + 6 = 6 xy3 + – 15 x2y + 6

1 + 5 = 6 – 3 – 12 = – 15

6.7 VALOR NUMERICO: MONOMIO. El "valor numérico" de un monomio es el número que se obtiene al sustituir las letras por números y realizar las operaciones indicadas en la expresión.