Unidad 5
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Instituto Tecnológico de Piedras Negras RESUMEN UNIDAD 5 Materia: Estadística Inferencial I. Maestro: Ing. Fco. Rene Vidaurrazaga Obezo. Alumno: Cristian Antonio Reyes Torres.
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Instituto Tecnológicode
Piedras Negras
RESUMEN UNIDAD 5
Materia: Estadística Inferencial I.
Maestro: Ing. Fco. Rene Vidaurrazaga Obezo.
Alumno: Cristian Antonio Reyes Torres.
Núm. de Control: 11/080
Mayo del 2013
UNIDAD 5 PRUEBAS DE HIPOTESIS CON DOS MUESTRAS DATOS CATEGORICOS Y VARIAS MUESTRAS CON DATOS
CATEGORICOS.
Prueba De Hipótesis Para Proporciones
El concepto de prueba de hipótesis se puede utilizar para probar hipótesis en relación con datos cualitativos. Por ejemplo, en el problema anterior el gerente de la fábrica de llantas quería determinar la proporción de llantas que se reventaban antes de 10,000 millas. Este es un ejemplo de una variable cualitativa, dado que se desea llegar a conclusiones en cuanto a la proporción de los valores que tienen una característica particular.
El gerente de la fábrica de llantas quiere que la calidad de llantas producidas, sea lo bastante alta para que muy pocas se revienten antes de las 10,000 millas. Si más de un 8% de las llantas se revientan antes de las 10,000 millas, se llegaría a concluir que el proceso no funciona correctamente. La hipótesis nula y alternativa se pueden expresar como sigue:
Ho: p .08 (funciona correctamente)
H1: p > .08 (no funciona correctamente)
La prueba estadística se puede expresar en términos de la proporción de éxitos como sigue:
En donde
p = proporción de éxitos de la hipótesis nula
Ahora se determinará si el proceso funciona correctamente para las llantas producidas para el turno de día. Los resultados del turno de día indican que cinco llantas en una muestra de 100 se reventaron antes de 10,000 millas para este problema, si se selecciona un nivel de significancia de .05, las regiones de rechazo y no rechazo se establecerían como a continuación se muestra:
Y la regla de decisión sería:
Rechazar Ho si > + 1.645; de lo contrario no rechazar Ho.
Con los datos que se tienen,
= .05
Y entonces,
= −1.107
Z −1.107 < + 1.645; por tanto no rechazar Ho.
La hipótesis nula no se rechazaría por que la prueba estadística no ha caído en la región de rechazo. Se llegaría a la conclusión de que no hay pruebas de que más del 8% de las llantas producidas en el turno de día se revienten antes de 10,000 millas. El gerente no ha encontrado ninguna prueba de que ocurra un número excesivo de reventones en las llantas producidas en el turno de día.
Pruebas de hipótesis a partir de proporciones.
Las pruebas de hipótesis a partir de proporciones se realizan casi en la misma forma utilizada cuando nos referimos a las medias, cuando se cumplen las suposiciones necesarias para cada caso. Pueden utilizarse pruebas unilaterales o bilaterales dependiendo de la situación particular.
La proporción de una población
Las hipótesis se enuncian de manera similar al caso de la media.
Ho: p = p0
H1: p ¹ p0
En caso de que la muestra sea grande n>30, el estadígrafo de prueba es:
Se distribuye normal estándar.
Regla de decisión: se determina de acuerdo a la hipótesis alternativa (si es bilateral o unilateral), lo cual puedes fácilmente hacerlo auxiliándote de la tabla 4.4.1.
En el caso de muestras pequeñas se utiliza la distribución Binomial. No lo abordaremos por ser complicado y poco frecuente su uso. Diferencia entre las proporciones de dos poblaciones
La situación más frecuente es suponer que existen diferencias entre las proporciones de dos poblaciones, para ello suelen enunciarse las hipótesis de forma similar al caso de las medias:
Ho: p1 = p2 Þ p1 - p2 = 0
H1: p1 ¹ p2
Puede la hipótesis alternativa enunciarse unilateralmente.
El estadígrafo de prueba para el caso de muestras independientes:
Siendo a1 y a2, el número de sujetos con la característica objeto de estudio en las muestras 1 y 2 respectivamente, es decir, en vez de calcular la varianza para cada muestra, se calcula una p conjunta para ambas muestras bajo el supuesto que no hay diferencias entre ambas proporciones y así se obtiene la varianza conjunta. Recuerda que q = 1-p.
Está de más que te diga que este estadígrafo se distribuye normal estándar.
La regla de decisión se determina de manera similar a los casos ya vistos anteriormente.
El objetivo de la prueba es comparar estas dos proporciones, como estimadores
H1: p1 ¹ p2
Recuerda que la H1 también puede plantearse de forma unilateral.
5.1 PRUEBA Z PARA LA DIFERENCIA ENTRE DOS PROPORCIONES.
En algunos diseños de investigación, el plan muestral requiere seleccionar dos muestras independientes, calcular las proporciones muestrales y usar la diferencia de las dos proporciones para estimar o probar una diferencia entre las mismas.
Las aplicaciones son similares a la diferencia de medias, por ejemplo si dos empresas consultoras ofrecen datos de proporciones de personas que van a votar por el PRI y al hacer dos estudios diferentes salen resultados ligeramente diferentes ¿pero qué tanta diferencia se requiere para que sea estadísticamente significativo? De eso se pruebas estadísticas de diferencias de proporciones.
El estadístico Z para estos casos se calcula de la siguiente manera:
Ejemplo: Una muestra de 87 mujeres trabajadoras profesionales mostró que la cantidad promedio que pagan a un fondo de pensión privado el 5% de su sueldo. Una muestra de 76 hombres trabajadores profesionales muestra que la cantidad que paga un fondo de pensión privado es 6.1% de su sueldo. Un grupo activista de mujeres desea demostrar que las mujeres no pagan tanto como los hombres en fondos de pensión privados. Si se usa alfa = 0.01 ¿Se confirma lo que el grupo activista de mujeres desea demostrar o no?
Paso 1. Determinar la hipótesis Nula “Ho” y Alternativa “Ha”
Nótese que este problema es de una cola.
Ho: Lo que pagan las mujeres en el fondo de pensión es igual o mayor a lo que pagan los hombres (algunos autores solo le colocan igual).
Ha: _______________________________________
(El estudiante debe describir la Ha)
La hipótesis alternativa es lo que las mujeres del grupo activista desean demostrar.
Paso 2.
Determinar el nivel de significancia. Definida por el analista, en este casi se desea usar α = 0.01
Gráficamente el nivel de significancia se distribuye en la curva de distribución normal como se muestra en la figura:
Paso 3.
Calcular los intervalos que implican ese nivel de significancia
Para dicho nivel de significancia el valor de Z es: Z=-2.326
Gráficamente queda de la siguiente manera:
Paso 4
Ejemplo: En un estudio de infección de vías urinarias no complicadas, los pacientes fueron asignados para ser tratados con trimetoprim / sulfametoxazol o fosfomicina / trometamol.
92% de los 100 tratados con fosfomicina/ trometamol mostraron curación bacteriológica mientras que el 61% de los 100 manejados con trimetoprim / sulfametoxazol se curó la infección.
Cuando comparamos proporciones de muestras independientes, debemos primero calcular la diferencia en proporciones. El análisis para comparar dos proporciones independientes es similar al usado para dos medias independientes. Calculamos un intervalo de confianza y una prueba de hipótesis para la diferencia en proporciones.
La notación que usamos para el análisis de dos proporciones es el mismo que para una proporción. Los números inferiores son para distinguir los dos grupos.
Parámetros Población
1 2
Muestra
1 2
Proporción π1 π2 p1 p2
Desviación estándar
√π1(1-π2) √π2(1-π2)
√p1(1-p1) √p2(1-p2)
El cuadrado del error estándar de una proporción es conocido como la varianza de la proporción La varianza de la diferencia entre las dos proporciones independientes es igual a la suma de las varianzas de las dos proporciones de las muestras. Las varianzas son sumadas debido a que cada muestra contribuye al error de muestreo en la distribución de las diferencias.
ES = √p(1-p)/n Varianza = p(1-p)/n
p1(1- p1) p2(1- p2)
Varianza (p1-p2)= varianza de p1 + varianza de p2 = --------- + ----------
n1 n2
El error estándar de la diferencia entre dos proporciones es dado por la raíz cuadrada de la varianza.
ES (p1-p2)= √[p1(1-p1)/n1 + p2(1-p2)/n2]
Para calcular el intervalo de confianza necesitamos conocer el error estándar de la diferencia entre dos proporciones.
El error estándar de la diferencia entre dos proporciones es la combinación del error estándar de las dos distribuciones independientes, ES (p1) y ES (p2).
Hemos estimado la magnitud de la diferencia de dos proporciones de las muestras; ahora calcularemos el intervalo de confianza para esa estimación.
La fórmula general para el intervalo de confianza al 95% es:
Estimado ±1.96 x ES
La fórmula para 95% IC de dos proporciones sería:
(p1-p2) ± 1.96 ES(p1-p2)
En el estudio de infección de vías urinarias, la proporción en el grupo de fosfomicina/ trometamol fue 0.92 y para trimetoprim/ sulfametoxazol fue 0.61
Diferencia en proporciones = 0.92-0.61=0.31
ES = √[(0.92(1-0.92)/100 + 0.61(1-0.61)/100] = 0.056
El intervalo de confianza al 95% sería:
0.31 ± 1.96 (0.056) = 0.31±0.11 = 0.2 a 0.42
El intervalo de confianza al 95% sería:
1.96 (0.056) = 0.31±0.11 = 0.2 a 0.42
Tengo 95% de confianza de que la diferencia en las proporciones en la población estaría entre 0.2 y 0.42. Como la diferencia no incluye 0, estamos confiados que en la población la proporción de curados con fosfomicina/trometamol es diferente que con trimetoprim sulfametoxazol.
Una prueba de hipótesis usa la diferencia observada y el error estándar de la diferencia. Sin embargo, usamos un error estándar ligeramente diferente para calcular la prueba de hipótesis. Esto se debe a que estamos evaluando la probabilidad de que los datos observados asumen que la hipótesis nula es verdad. La hipótesis nula es que no hay diferencia en las proporciones de las dos poblaciones y ambas grupos tienen una proporción común, π.
El mejor estimado que podemos obtener de π es la proporción común, p, de las dos proporciones de la muestra.
P=r1+r2/n1+n2
Donde:
r1 y r2 son los números de respuestas positivas en cada muestra
n1 y n2 son los tamaños de muestra en cada muestra.
La proporción común siempre estará entre las dos proporciones individuales.
El error estándar puede ser calculado sustituyendo p, por p1 y p2. ES(p1-p2)=√p(1-p)(1/n1 +1/n2) Esto se conoce como error estándar agrupado.
En el estudio de infección de vías urinarias, la proporción en el grupo de fosfomicina/ trometamol fue 0.92 y para trimetoprim/ sulfametoxazol fue 0.61 Fueron 100 intregrantes en cada grupo.
Proporción común, p= 92 + 61/100+100 = 153/200 = 0.765
ES(p1-p2)=√0.77(1-0.77)(1/100 +1/100)= √0.1771 x 0.002 = 0.019
Si asumimos una aproximación a la Normalidad para la distribución Binomial, calculamos la prueba de z , como antes. Para calcular la prueba de hipótesis, debemos:
1.- Señalar la hipótesis nula Ho
2.- Señalar la hipótesis alternativa H1
3.- Calcular la prueba de hipótesis z.
Hipótesis nula:
Cuando comparamos dos proporciones de poblaciones independientes es usualmente que las dos proporciones son iguales.
Ho: π1 = π2
Es lo mismo que si la diferencia en las proporciones de las dos poblaciones es igual a 0.
Ho: π1 - π2 = 0
Hipótesis alternativa:
Es usualmente que las dos proporciones no son iguales.
H1: π1 ≠ π2
Es lo mismo que la diferencia en proporciones no es igual a cero.
H1: π1 – π2 ≠ 0
0.92 de éxito para fosfomicina / trometamol y 0.61 para trimetoprim / sulfametoxazol
ES = 0.019
(p1-p2) – 0 0.31 - 0
z= -------------- = -----------= 16.3
ES(p1-p2) 0.019
P<0.05
Rechazamos la hipótesis nula de que las dos proporciones son iguales y aceptamos la hipótesis alternativa de que son diferentes.
5.2 PRUEBA PARA LA DIFERENCIA ENTRE DOS PROPORCIONES.
Las pruebas de hipótesis a partir de proporciones se realizan casi en la misma forma utilizada cuando nos referimos a las medias, cuando se cumplen las suposiciones necesarias para cada caso. Pueden utilizarse pruebas unilaterales o bilaterales dependiendo de la situación particular.
La proporción de una población
Las hipótesis se enuncian de manera similar al caso de la media.
Ho: p = p0
H1: p ¹ p0
En caso de que la muestra sea grande n>30, el estadígrafo de prueba es: se distribuye normal estándar.
Regla de decisión: se determina de acuerdo a la hipótesis alternativa (si es bilateral o unilateral. En el caso de muestras pequeñas se utiliza la distribución Binomial. No lo abordaremos por ser complicado y poco frecuente su uso.
Diferencia entre las proporciones de dos poblaciones
La situación más frecuente es suponer que existen diferencias entre las proporciones de dos poblaciones, para ello suelen enunciarse las hipótesis de forma similar al caso de las medias: Ho: p1 = p2 Þ p1 - p2 = 0
H1: p1 ¹ p2
Puede la hipótesis alternativa enunciarse unilateralmente.
El estadígrafo de prueba para el caso de muestras independientes: donde
Siendo a1 y a2, el número de sujetos con la característica objeto de estudio en las muestras 1 y 2 respectivamente, es decir, en vez de calcular la varianza para cada muestra, se calcula una p conjunta para ambas muestras bajo el supuesto que no hay diferencias entre ambas proporciones y así se obtiene la varianza conjunta. Recuerda que q = 1-p.
Está de más que te diga que este estadígrafo se distribuye normal estándar.
La regla de decisión se determina de manera similar a los casos ya vistos anteriormente.
El objetivo de la prueba es comparar estas dos proporciones, como estimadores
H1: p1 ¹ p2
Recuerda que la H1 también puede plantearse de forma unilateral. En algunos diseños de investigación, el plan muestral requiere seleccionar dos muestras independientes, calcular las proporciones muéstrales y usar la diferencia de las dos proporciones para estimar aprobar una diferencia entre las mismas .Las aplicaciones son similares a la diferencia de medias, por ejemplo si dos empresas consultoras ofrecen datos de proporciones de personas que van a votar por el PRI y al hacer dos estudios diferentes salen resultados ligeramente diferentes ¿pero qué tanta diferencia se requiere para que sea estadísticamente significativo? De eso se tratan las Pruebas estadísticas de diferencias de proporciones.
Estimación de la Diferencia de dos Proporciones
En la sección anterior se vio el tema de la generación de las distribuciones muestrales, en donde se tenía el valor de los parámetros, se seleccionaban dos muestras y podíamos calcular la probabilidad del comportamiento de los estadísticos. Para este caso en particular se utilizará la distribución muestral de diferencia de proporciones para la estimación de las mismas. Recordando la formula:
Despejando P1-P2 de esta ecuación:
Aquí se tiene el mismo caso que en la estimación de una proporción, ya que al hacer el despeje nos queda las dos proporciones poblacionales y es precisamente lo que queremos estimar, por lo que se utilizarán las proporciones de la muestra como estimadores puntuales:
Ejemplo: Se considera cierto cambio en un proceso de fabricación de partes componentes. Se toman muestras del procedimiento existente y del nuevo para determinar si éste tiene como resultado una mejoría. Si se encuentra que 75 de 1500 artículos del procedimiento actual son defectuosos y 80 de 2000 artículos del procedimiento nuevo también lo son, encuentre un intervalo de confianza de 90% para la diferencia real en la fracción de defectuosos entre el proceso actual y el nuevo.
Solución:
Sean P1 y P2 las proporciones reales de defectuosos para los procesos actual y nuevo, respectivamente. De aquí, p1=75/1500 = 0.05 y p2 = 80/2000 = 0.04. con el uso de la tabla encontramos que z para un nivel de confianza del 90% es de 1.645.
-0.0017<P1-P2<0.0217
Como el intervalo contiene el valor de cero, no hay razón para creer que el nuevo procedimiento producirá una disminución significativa en la proporción de artículos defectuosos comparado con el método existente.
Un artículo relacionado con la salud, reporta los siguientes datos sobre la incidencia de disfunciones importantes entre recién nacidos con madres fumadoras de marihuana y de madres que no la fumaban:
Usuaria No Usuaria
Tamaño Muestral 1246 11178
Número de disfunciones
42 294
Proporción muestral
0.0337 0.0263
Encuentre el intervalo de confianza del 99% para la diferencia de proporciones.
Solución:
Representemos P1 la proporción de nacimientos donde aparecen disfunciones entre todas las madres que fuman marihuana y definamos P2, de manera similar, para las no fumadoras. El valor de z para un 99% de confianza es de 2.58.
-0.0064<P1-P2<0.0212
Este intervalo es bastante angosto, lo cual sugiere que P1-P2 ha sido estimado de manera precisa.
Determinación de Tamaños de Muestra para Estimaciones
Al iniciar cualquier investigación, la primer pregunta que surge es: ¿de qué tamaño debe ser la o las muestras?. La respuesta a esta pregunta la veremos en esta sección, con conceptos que ya se han visto a través de este material.
EJEMPLO: Oficiales escolares comparan el coeficiente intelectual entre niños de dos grupos.
De una muestra de 159 niños del grupo 1 78 califican con más de 100 puntos, de una muestra de 250 niños del grupo 2 123 califican con más de 100 puntos.
Construya un intervalo de confianza par a la diferencia entre las dos proporciones del grupo 1 y 2 de los niños con califican con más de 100.
Ejemplo: Algunas veces estamos interesados en analizar la diferencia entre las proporciones de poblaciones de grupos con distintas características. Por ejemplo, pensemos que la administración de las tiendas Oxxo cree, sobre la base de una investigación, que el porcentaje de hombres que visitan sus tiendas 9 o más veces al mes (clientes frecuentes) es mayor que el porcentaje de mujeres que hacen lo mismo. Las especificaciones requeridas y el procedimiento para probar esta hipótesis es la siguiente:
1. Las hipótesis nula y alternativa son las siguientes:
, la proporción de hombres que reportan 9 o más visitas por mes es la misma o menor que la proporción de mujeres que hacen lo mismo.
, la proporción de hombres que reportan 9 o más visitas por mes es mayor a la proporción de mujeres que hacen lo mismo.
La información proporcionada es:
2. Especifica el nivel de significación de . El valor crítico para la prueba de una sola cola es de 1.64.
3. Estima el error estándar de la diferencia de las dos proporciones:
donde:
PH = proporción muestra de hombres (H)
PM = proporción muestra de mujeres (M)NH = tamaño de muestra hombresNM = tamaño de muestra mujeres
Por lo tanto:
y
4. Calcula de prueba estadística:
La hipótesis nula es aceptada porque el valor de la Z calculada es menor que el valor crítico Z. La administración no puede concluir con un 95 por ciento de confianza que la proporción de hombres que visita 9 o más veces los Oxxo es mayor que la proporción de mujeres.
5.3 PRUEBA PARA LA DIFERENCIA EN n PROPORCIONES Z.
Una distribución poblacional representa la distribución de valores de una población y una distribución muestral representa la distribución de los valores de una muestra. En contraste con las distribuciones de mediciones individuales, una distribución muestral es una distribución de probabilidad que se aplica a los valores posibles de una estadística muestral. Así, la distribución muestral de la media es la distribución de probabilidad de los valores posibles de la media muestral con base en un determinado tamaño de muestra.
Para cualquier tamaño de muestra dado n, tomado de una población con media , los valores de la media muestralvarían de una muestra a otra. Esta variabilidad sirve de base para la distribución muestral. La distribución muestral de la media se describe determinando el valor esperado E () o media, de la distribución y la desviación estándar de la distribución de las medias, . Como esta desviación estándar indica la precisión de la media muestral como estimador puntual, por lo general se le denomina error estándar de la media.
Ejemplo: Un fabricante de reproductores de discos compactos utiliza un conjunto de pruebas amplias para evaluar la función eléctrica de su producto. Todos los reproductores de discos compactos deben pasar todas las pruebas antes de venderse. Una muestra aleatoria de 500 reproductores tiene como resultado 15 que fallan en una o más pruebas. Encuentre un intervalo de confianza de 90% para la proporción de los reproductores de discos compactos de la población que no pasan todas las pruebas.
Solución:
n=500
p = 15/500 = 0.03
z(0.90) = 1.645
0.0237<P<0.0376
Se sabe con un nivel de confianza del 90% que la proporción de discos defectuosos que no pasan la prueba en esa población está entre 0.0237 y 0.0376.
Ejemplo: En una muestra de 400 pilas tipo B fabricadas por la Everlast Company, se encontraron 20 defectuosas. Si la proporción p de pilas defectuosas en esa muestra se usa para estimar P, que vendrá a ser la proporción verdadera de todas las pilas defectuosas tipo B fabricadas por la Everlast Company, encuentre el máximo error de estimación tal que se pueda tener un 95% de confianza en que P dista menos de de p.
Solución:
p=x/n = 20/400=0.05
z(0.95)=1.96
Si p=0.05 se usa para estimar P, podemos tener un 95% de confianza en que P dista menos de 0.021 de p. En otras palabras, si p=0.05 se usa para estimar P, el error máximo de estimación será aproximadamente 0.021 con un nivel de confianza del 95%
Para calcular el intervalo de confianza se tendría:
Esto da por resultado dos valores, (0.029, 0.071). Con un nivel de confianza del 95% se sabe que la proporción de pulas defectuosas de esta compañía está entre 0.029 y 0.071.
Si se requiere un menor error con un mismo nivel de confianza sólo se necesita aumentar el tamaño de la muestra.
5.4 PRUEBA DE INDEPENDENCIA (ji-CUADRADA).
Cuando comparamos dos situaciones podemos esperar que sean ya bien dependientes o independientes esto quiere decir que pueden o no estar relacionados sus datos debido a muchos factores que pueden influir en ellos o bien, un problema no tenga relación con otro.
La prueba de independencia trata sobre esto, ya que su objetivo es determinar si alguna situación es afectada por otra, basándose en datos estadísticos y valores
probabilístico obtenidos de la fabulación de datos o de pronósticos por medio de fórmulas y tablas, para esto se basa en un nivel de significancia en un caso y en el otro a comparar, valiéndonos de tablas de contingencia para obtener frecuencias esperadas y poder aplicarlas, para así obtener datos comparativos que son determinantes en la decisión de independencia.
La estadística de prueba que será utilizada en la toma de una decisión acerca de la hipótesis nula es ji cuadrado, X2 (X es la letra griega ji minúscula. Los valores de ji cuadrado se obtienen con las siguientes formula:
X2 = Σ (Oi – ei)2 i ei
Grados de libertad
V = (r-1)*(c-1)
Frecuencia Esperada = Total de la columna * Total del renglón
Gran total
Características
X2 toma valores no negativos; es decir, puede ser cero o positiva.
X2 no es simétrica; es asimétrica hacia la derecha.
Existen muchas distribuciones X2 como en el caso de la distribución t, hay una distribución, X2 diferente para cada valor de los grados de libertad.
Nos dan una tabla de contingencia.
Una tabla de contingencia es una disposición de datos en una clasificación de doble entrada. Los datos se ordenan en celdas y se reporta él número de datos en cada una. En la tabla de contingencia están implicados dos factores (o variables), y la pregunta común en relación con tales tablas es si los datos indican que las dos variables son independientes o dependientes.
Para ilustrar la utilización y análisis de una tabla de contingencia, considérese la clasificación por sexo de los estudiantes de una escuela y su área académica favorita.
Ejemplo: Cada persona de un grupo de 300 estudiantes fue identificada como hombre o mujer, preguntándosele si prefería recibir cursos en el área de
matemáticas, ciencias sociales o humanidades. La siguiente tabla es una de contingencia que indica las frecuencias encontradas para esas categorías. ¿Presenta esta tabla la evidencia suficiente para rechazar la hipótesis nula “la preferencia por las matemáticas, ciencias sociales o humanidades es independiente del sexo de un alumno”, al nivel de significancia del 0.05?
Solución:
Paso 1
Ho: La preferencia por matemáticas, ciencias sociales o humanidades es independiente del sexo de los estudiantes de la escuela.
Ha: La preferencia por las áreas es no independiente del sexo de los estudiantes.
Pasó 2
Para determinar el valor crítico de la ji cuadrada debe conocerse los grados de libertad, implicado. En el caso de tablas de contingencia, este número es exactamente el número de celdas en la tabla que puede ser llenadas libremente cuando se conocen los totales. Estos últimos se indican en la tabla siguiente.
122
178
72 113 115 300
Dados estos totales, solo pueden llenarse dos celdas antes que las restantes queden determinadas. (por supuesto, los totales deben ser los mismos.) Por ejemplo, una vez que se seleccionen dos valores arbitrarios (por ejemplo, 50 y 60) para las dos primeras celdas de la primera fila (véase la tabla siguiente), quedan fijos los otros cuatro valores.
50 60 C 122
D E F 178
72 113 115 300
Dichos valores deben ser C=12, D=22, E=53 y F=103. De otra manera los totales no serán correctos. En consecuencia, para este problema existen dos selecciones libres. Cada una de estas corresponde a un grado de libertad. Así, el número de
grados de libertada en este ejemplo es 2 (v=2). Por esta razón, si se utiliza =0.05, el valor critico es X2 (2, 0.05) = 6. Véase la siguiente figura.
Pasó 3
Antes de poder hallar el valor calculado de ji cuadrada, es necesario examinar los valores esperados E para cada celda. Para tal fin debe recordarse la hipótesis nula, la cual asevera que estos factores son independientes. En consecuencia, se espera que los valores estén distribuidos en proporción a los totales marginales. Hay 122 hombres; se espera que estén distribuidos entre M, CS y H proporcionalmente a los totales 72, 113 y 115. Así, para los hombres las cuentas esperadas de celda son:
72/300 x 122 113/300 x 122 115/300 x 122
Similarmente, se esperan:
72/300 x 178 113/300 x 178 115/300 x 178
Para las mujeres. Entonces los valores esperados son como se indica en la tabla siguiente (siempre verifíquense los totales nuevos contra los antiguos.)
M CS H Total
29.28 45.95 46.77 122
42.72 67.05 68.23 178
Total 72.00 113.00 115.00 300.00
Nota
El cálculo de los valores esperados puede verse de manera alternativa. Recuérdese que la hipótesis nula se supone cierta en tanto no haya evidencia para rechazarla. Habiendo hecho este supuesto en el ejemplo, de hecho sé está afirmando que son independientes los eventos un estudiante seleccionado aleatoriamente es hombre, y un estudiante elegido al azar prefiere cursos de matemáticas. El estimador puntual para la probabilidad de que un estudiante sea hombre es 122/300, y para la probabilidad de que un estudiante prefiera los cursos de matemática es 72/300. En consecuencia, la probabilidad de que ocurran ambos eventos es el producto de las probabilidades.
Para estudiar la dependencia entre la práctica de algún deporte y la depresión, se seleccionó una muestra aleatoria simple de 100 jóvenes, con los siguientes resultados:
Sin depresión Con depresión
Deportista 38 9 47
No deportista 31 22 53
69 31 100
L = (38 – 32,43)2/32,43 + (31 – 36,57)2/36,57 + (9 – 14,57)2/14,57 + (22 – 16,43)2/16,43
= 0,9567 + 0,8484 + 2,1293 + 1,8883 = 5,8227
El valor que alcanza el estadístico L es 5,8227. Buscando en la tabla teórica de Chi Cuadrado para 1 grado de libertad se aprecia Lt = 3,84146 < 5,8227 lo que permite rechazar la hipótesis de independencia de caracteres con un nivel de significación del 5%, admitiendo por tanto que la práctica deportiva disminuye el riesgo de depresión.
Ejemplo: Ilustraremos esta técnica con el estudio que realizó Cervecería Modelo, la cual fabrica y distribuye tres tipos de cerveza: ligera, clara y oscura. En un análisis de segmentación de mercado para las tres cervezas, el grupo de investigación encargado ha planteado la duda de si la preferencia para las tres cervezas es diferente entre los consumidores hombres y mujeres. Si la preferencia de las cervezas fuera independiente del género del consumidor, se iniciaría una campaña de publicidad para todas las cervezas Modelo. Sin embargo, si la
preferencia depende del género del consumidor, se ajustarían las promociones para tener en cuenta los distintos mercados meta.
Una prueba de independencia usa la pregunta de si la preferencia de la cerveza (ligera, clara y oscura) es independiente del género del consumidor (hombre, mujer). Las hipótesis para esta prueba de independencia son:
Ho: La preferencia de la cerveza es independiente del género del consumidor
Ha: La preferencia de la cerveza no es independiente del género del consumidor
Podemos usar una tabla como la 1 para describir el caso que se estudia. Después de identificar a la población, consumidores hombres y mujeres, se puede tomar una muestra y preguntar a cada persona que diga su preferencia entre las cervezas modelo.
Cada persona de la muestra se clasificará en una de las seis celdas de la tabla. Por ejemplo una persona puede ser hombre y prefiera la cerveza clara [celda (1,2)], una mujer que prefiere la cerveza ligera [celda (2,1)], una mujer que prefiere la cerveza oscura [celda (2,3)] y así sucesivamente. Como en la lista aparecen todas las combinaciones posibles de predilección de cerveza y género, en otras palabras aparecen todas las contingencias posibles, a la tabla se le llama tabla de contingencia.
Supongamos que se ha tomado una muestra aleatoria simple de 150 bebedores de cerveza. Después de saborear cada una, se les pide expresar su preferencia o primera alternativa. La tabulación cruzada de la siguiente tabla 2 resume las respuestas obtenidas. Observamos que, los datos para la prueba de independencia se agrupan en términos de cantidades o frecuencias para cada celda o categoría. De las 150 personas de la muestra, 20 fueron hombres que prefirieron la cerveza ligera, 40 fueron mujeres que prefirieron la cerveza clara, 20 fueron hombres que prefirieron la cerveza oscura, y así sucesivamente.
Los datos de la tabla 2 constituyen las frecuencias observadas para las seis clases o categorías.
Cerveza preferida
Ligera Clara Oscura
Género Hombre Celda (1,1) Celda (1,2) Celda (1,3)
Mujer Celda (2,1) Celda (2,2) Celda (2,3)
Cerveza preferida
Género
Ligera Clara Oscura Total
Hombre 20 40 20 80
Mujer 30 30 10 70
Total 50 70 30 150
Si podemos determinar las frecuencias esperadas bajo la hipótesis de independencia entre la preferencia de cerveza y el género del consumidor, podemos usar la distribución ji cuadrada para determinar si existe una diferencia significativa entre la frecuencia observada y la esperada.
Las frecuencias esperadas en las celdas de la tabla de contingencia se basan en el siguiente razonamiento. Primero suponemos que es verdadera la hipótesis nula, de independencia entre la cerveza preferida y el género del consumidor. A continuación observamos que en toda la muestra de 150 consumidores, hay 50 que prefieren la cerveza ligera, 70 la cerveza clara y 30 la cerveza oscura. Expresada en fracción, la conclusión es que de 50/150 = 1/3 de los consumidores de cerveza prefieren la ligera; 70/150 = 7/15 la clara y 30/150 = 1/5 la oscura. Si es válida la hipótesis de independencia, decimos que estas fracciones se deben de aplicar por igual a los consumidores hombres y mujeres. Así bajo la hipótesis de independencia, esperaríamos que la muestra de 80 consumidores hombres indicara que (1/3) 80 = 26.7 prefieren cerveza ligera, (7/15) 80 = 37.33 la clara y (1/5) 80 = 16 la oscura. La aplicación de las mismas fracciones a las 70
consumidoras mujeres produce las frecuencias esperadas que aparecen en la tabla.
Sea ije la frecuencia esperada en la categoría del renglón i y la columna j de la tabla de contingencia. Con esta notación reconsideremos
el cálculo de la frecuencia esperada para los hombres (renglón i = 1) que prefieren
la cerveza clara (columna j = 2) esto es, la frecuencia esperada 2,1e . Apegándonos al esquema anterior para el cálculo de las frecuencias esperadas, podemos demostrar que
2,1e = (7/15) 80 = 37.33
Esta ecuación se puede escribir como sigue
2,1e = (7/15) 80 = (70/150) 80 = 37.33
Observe que 80 es la cantidad total de hombres (total del renglón 1), 70 es la cantidad total de individuos (hombres y mujeres) que prefieren la cerveza clara (total de la columna 2) y 150 es el tamaño de la muestra total. En consecuencia vemos
Cerveza preferida
Género
Ligera Clara Oscura Total
Hombre 26.67 37.33 16.00 80
Mujer 23.33 32.67 14.00 70
Total 50.00 70.00 30.00 150
muestraladetamaño
columnaladetotalrenglóndeltotale
)2()1(2,1
Al generalizar la ecuación vemos que la fórmula siguiente determina las frecuencias esperadas de una tabla de contingencias para la prueba de independencia.
Frecuencias esperadas en la tabla de contingencia suponiendo independencia
muestraladetamaño
jcolumnaladetotalirenglóndelTotaleij
)()(
El procedimiento de prueba para comparar frecuencias observadas con las frecuencias esperadas, se parece a los cálculos de bondad de ajuste.
Específicamente, el valor de 2 basados en las frecuencias observadas y
esperadas se calcula como sigue:
Oi = Valor observado en la i-ésimo celda.
Ei = Valor esperado en la i-ésimo celda.
K = Categorías o celdas.
Con n renglones y m columnas en la tabla de contingencia, el estadístico de prueba tiene una distribución ji cuadrada con (n – 1) (m – 1) grados de libertad, siempre y cuando las frecuencias esperadas sean 5 o más para todas las categorías. En consecuencia proseguimos con el cálculo de la estadística de prueba ji cuadrada.
k
i e
eo
i
ii
f
ff
1
2
2
Los cálculos necesarios para determinar el estadística ji cuadrada y ver si la preferencia de cerveza es independiente del género de quien la bebe se ven en la tabla.
La cantidad de grados de libertad para la distribución ji cuadrada adecuada se determina multiplicando la cantidad de renglones menos 1 por la cantidad de columnas menos 1. Como tenemos dos renglones y tres columnas, entonces (2 – 1) (3 – 1) = (1) (2) = 2 grados de libertad para la prueba de independencia entre
cerveza y género del consumidor. Con = .05 como nivel de significancia de la
prueba, buscamos en la tabla de ji cuadrada y nos da un valor 205. = 5.99.
Observe que estamos usando el valor de la cola superior, porque rechazaremos la hipótesis nula sólo si las diferencias entre frecuencias observadas y esperadas
producen un valor grande de 2 . En el ejemplo
2 =6.13 es mayor que 2 = 5.99.
Por consiguiente, rechazaremos la hipótesis nula de independencia y concluimos que la, la preferencia cerveza preferida no es independiente del género del consumidor, es decir para las tres cervezas es diferente entre los consumidores hombres y mujeres y por lo tanto la Cervecería Modelo deberá estratificar a los consumidores para ajustar las promociones y la publicidad, teniendo en cuenta estas diferencias.
Género Cerveza of ef )( eo ff 2)( eo ff ijeo eff /)( 2
Hombre ligera 20 26.67 -6.67 44.4889 1.66812523
Hombre clara 40 37.33 2.67 7.1289 0.19096973
Hombre Oscura 20 16 4 16 1
Mujer ligera 30 23.33 6.67 44.4889 1.90693956
Mujer clara 30 32.67 -2.67 7.1289 0.21820937
Mujer Oscura 10 14 -4 16 1.14285714
2 6.12710104
5.5 PRUEBAS DE CONTINGENCIA (ji-CUDRADA).
La prueba chi-cuadrado de contingencia sirve para comprobar la independencia de frecuencias entre dos variables aleatorias, X e Y.
Las hipótesis contrastadas en la prueba son:
Hipótesis nula: X e Y son independientes.
Hipótesis alternativa: X e Y no son independientes (No importa cuál sea la relación que mantengan ni el grado de esta.
La condición de independencia, tal como fue definida en la página anterior era: X e Y son independientes si y sólo si para cualquier pareja de valores x e y la probabilidad de que X tome el valor x e Y el valor y, simultáneamente, es igual al producto de las probabilidades de que cada una tome el valor correspondiente.
Por tanto, todo lo que necesitamos serán unas estimas de las funciones de probabilidad de ambas variables por separado (f(x) y f(y)) y de la función de probabilidad conjunta (f(x,y))
Empezaremos la prueba tomando una muestra de parejas de valores sobre la que contaremos la frecuencia absoluta con la que aparece cada combinación de valores (xi,yj) o de grupos de valores (i,j) (Oij) La tabla siguiente, en la que se recogen estos datos, es en realidad nuestra estimación de la función de probabilidad conjunta multiplicada por el número total de datos (T).
Para obtener las estimas de las funciones de probabilidad marginales debemos sumar por filas y por columnas los valores de las frecuencias conjuntas. Las sumas de filas (Fi) son, en cada caso, el número de veces que hemos obtenido un valor de X (xi) en cualquier combinación con distintos valores de Y, es decir, son nuestra estima de la función de probabilidad de X multiplicada por el número total de observaciones; análogamente, las sumas de columnas (Cj) son nuestra estima de la función de probabilidad de Y multiplicada por el número total de observaciones.
El número total de observaciones lo podemos obtener como la suma de todas las frecuencias observadas o, también, como la suma de las sumas de filas o de las sumas de columnas:
Así pues, si las variables fueran independientes debería cumplirse que
Naturalmente, nadie espera que esta condición se cumpla exactamente debido al efecto de los errores de muestreo aleatorio. Por tanto, nuestro problema consiste en distinguir entre las diferencias producidas por efecto del muestreo y diferencias que revelen falta de independencia.
Podemos convertir la ecuación anterior a frecuencias absolutas multiplicando por T:
Si X e Y son independientes, Oij debe ser igual a y, por tanto,
Bajo la hipótesis de independencia, es el valor esperado de Oij (Eij)
Tal como pasaba en la prueba anterior, si las variables son independientes, es decir, si las frecuencias Eij son realmente los valores esperados de las frecuencias Oij, se puede calcular un parámetro que depende de ambas que tiene distribución chi-cuadrado,
Por otra parte, si las variables no son independientes, las diferencias entre las series de frecuencias observadas y esperadas serán mayores que las atribuibles al efecto del azar y, al estar elevadas al cuadrado en el numerador de la expresión anterior, ésta tenderá a ser mayor que lo que suele ser el valor de una variable chi-cuadrado.
Por tanto, el parámetro anterior ser el estadístico de la prueba de hipótesis y la región crítica se encontrar siempre en la cola derecha de la distribución chi-cuadrado. Nuevamente, esta prueba será siempre de una sola cola.
Estadístico de contraste
Se acepta la hipótesis nula si , el percentil 1 – α de la distribución chi-cuadrado con grados de libertad.
Tal como ocurría en la prueba anterior lo corriente es que queramos demostrar que dos variables son independientes, es decir, que, habitualmente, nos veremos obligados a colocar nuestra hipótesis en la hipótesis nula. El número de grados de libertad de la chi-cuadrado que sirve de contraste se calcula de la siguiente forma:
A priori tendremos tantos grados de libertad como combinaciones de valores x i, yj
tengamos (I J)
A este número tendremos que restarle I debido a que, para calcular las frecuencias esperadas, necesitamos calcular las I sumas de filas en la tabla anterior. Conocidas las sumas de filas obtenemos el número total de observaciones sin perder ningún grado de libertad.
A continuación, necesitaremos calcular, a partir de las frecuencias observadas J - 1 de las sumas de columnas; la restante podemos obtenerla restando la suma de las anteriores del total de observaciones (T).
En resumen, el número de grados de libertad de la prueba es el producto del número de filas menos uno por el número de columnas menos uno.
En cuanto a la magnitud mínima necesaria de las frecuencias observadas y esperadas, rigen las mismas normas que en el caso de la prueba de ajuste. En este caso, si nos viéramos obligados a juntar valores para sumar frecuencias, debemos unir columnas o filas completas (y contiguas). Obviamente, los grados de libertad no deben calcularse hasta que no se hayan realizado todas las agrupaciones necesarias y quede claro cuál es el número de filas y columnas de la tabla definitiva.
Como hemos visto, esta prueba no hace ninguna suposición acerca del tipo de distribución de ninguna de las variables implicadas y utiliza únicamente información de la muestra, es decir, información contingente. Esta es la razón por la que, habitualmente, se le llama chi-cuadrado de contingencia.
5.6 PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE.
Las pruebas de bondad de ajuste tienen por objetivo determinar si los datos se ajustan a una determinada distribución, esta distribución puede estar completamente especificada (hipótesis simple) o perteneciente a una clase paramétrica (hipótesis compuesta).
Una hipótesis estadística se definió como una afirmación o conjetura acerca de la distribución f(x,q) de una o más variables aleatorias. Igualmente se planteó que la distribución podía tener uno o más parámetros desconocidos, que denotamos por q y que la hipótesis se relaciona con este parámetro o conjunto de parámetros En otros casos, se desconoce por completo la forma de la distribución y la hipótesis entonces se relaciona con una distribución específica f(x,q) que podamos asignarle al conjunto de datos de la muestra. El primer problema, relacionado con los parámetros de una distribución conocida o supuesta es el problema que hemos analizado en los párrafos anteriores. Ahora examinaremos el problema de verificar si el conjunto de datos se puede ajustar o afirmar que proviene de una
determinada distribución. Las pruebas estadísticas que tratan este problema reciben el nombre general de “Pruebas de Bondad de Ajuste”.
Se analizarán dos pruebas básicas que pueden aplicarse: La prueba Chi - Cuadrado y la prueba de Smirnov-Kolmogorov. Ambas pruebas caen en la categoría de lo que en estadística se denominan pruebas de “Bondad de Ajuste” y miden, como el nombre lo indica, el grado de ajuste que existe entre la distribución obtenida a partir de la muestra y la distribución teórica que se supone debe seguir esa muestra. Ambas pruebas están basadas en la hipótesis nula de que no hay diferencias significativas entre la distribución muestral y la teórica. Ambas pruebas están basadas en las siguientes hipótesis:
H0: f(x,q) = f0(x,q)
H1: f(x,q) ¹ f0(x,q)
Donde f0(x, q) es la distribución que se supone sigue la muestra aleatoria. La hipótesis alternativa siempre se enuncia como que los datos no siguen la distribución supuesta. Si se desea examinar otra distribución específica, deberá realizarse de nuevo la otra prueba suponiendo que la hipótesis nula es esta nueva distribución. Al especificar la hipótesis nula, el conjunto de parámetros definidos por q puede ser conocido o desconocido. En caso de que los parámetros sean desconocidos, es necesario estimarlos mediante alguno de los métodos de estimación analizados con anterioridad.
Para formular la hipótesis nula deberán tenerse en cuenta los siguientes aspectos o criterios:
a) La naturaleza de los datos a analizar. Por ejemplo, si tratamos de investigar la distribución que siguen los tiempos de falla de unos componentes, podríamos pensar en una distribución exponencial, o una distribución gama o una distribución Weibull, pero en principio no consideraríamos una distribución normal. Si estamos analizando los caudales de un río en un determinado sitio, podríamos pensar en una distribución logarítmica normal, pero no en una distribución normal.
b) Histograma. La forma que tome el histograma de frecuencia es quizás la mejor indicación del tipo de distribución a considerar.
5.7 APLICACIONES.
Para la ocurrencia de dos eventos, en la cual se desea observar si son dependientes o independientes.
La distribución ji cuadrada sirve para todas las inferencias sobre la variancia de una población.
Existen muchos problemas para los cuales los datos son categorizados y los resultados expuestos en forma de conteos o cuentas.
Se pueden aplicar en: un conjunto de calificaciones de un examen final puede ser representado como una distribución de frecuencias. Estos valores son cuentas: él numera de datos que caen en cada celda.
En una encuesta determinada se podría preguntar a unas personas si votarían por los candidatos A, B o C, por lo general, los resultados se indican en una gráfica que informa acerca del número de votantes para cada categoría posible.
Instituto Tecnológicode
Piedras Negras
PROBLEMAS UNIDAD 5
Materia: Estadística Inferencial I.
Maestro: Ing. Fco. Rene Vidaurrazaga Obezo.
Alumno: Cristian Antonio Reyes Torres.
Núm de Control: 11/080
Junio del 2013
LABORATORIO DE UNIDAD V IGE ESTADISTICA INFERENCIAL I
1. Se ponen a prueba la enseñanza de la Estadística empleando Excel y Winstats. Para determinar si los estudiantes difieren en términos de estar a favor de la nueva enseñanza se toma una muestra de 20 estudiantes de dos paralelos. De paralelo A 18 están a favor, en tanto que del paralelo B están a favor 14. ¿Es posible concluir con un nivel de significación de 0,05
que los estudiantes que están a favor de la nueva enseñanza de la Estadística es la misma en los dos paralelos?.
Los datos son:
2. Se tomará el voto entre los residentes de una ciudad y el condado circundante para determinar si se debe construir una planta química propuesta. El lugar de construcción está dentro de los límites de la ciudad y por esta razón muchos votantes del condado consideran que la propuesta pasará debido a la gran proporción de votantes que favorecen la construcción. Para determinar si hay una diferencia significativa en la proporción de votantes de la ciudad y votantes del condado que favorecen la propuesta, se realiza una encuesta. Si 120 de 200 votantes de la ciudad favorecen la propuesta y 240 de 500 residentes del condado también lo hacen, ¿estaría de acuerdo en que la proporción de votantes de la ciudad que favorecen la propuesta es más alto que la proporción de votantes del condado? Utilice un nivel de significancia de 0.025.
3. La siguiente tabla muestra las frecuencias observadas y las frecuencias esperadas al lanzar un dado 60 veces. Contrastar la hipótesis de que el dado es bueno, con un nivel de significación de 0,01.
Cara del dado 1 2 3 4 5 6
Frecuencia observada
6 8 9 15 14 8
Frecuencia esperada
10 10 10 10 10 10
TEMA 5.5 PRUEBA DE CONTINGENCIA (2)
4.-Los distribuidores Core-Mark clasifican sus cuentas por cobrar como pagadas a
tiempo o retrasadas. Core-Mark también clasifica las cuentas como locales o
nacionales. Los datos del la última semana son los siguientes:
Situación del pago
Proximidad Pagado Atrasado
Local 75 95
Nacional 60 110
a) Establezca la hipótesis nula y alternativa
b) Calcule los grados de libertad
c) Establezca la regla de decisión con un nivel de significancia del 0.02
d) Pruebe si la proximidad del deudor tiene alguna influencia en la situación de
sus pagos
5.- La asociación metropolitana de mejoramiento está planeando construir un
nuevo club deportivo en Pueblo, Colorado. El grupo emprendió una investigación
de mercado en el sur de Colorado para determinar las preferencias deportivas de
los hombres de varias edades. Una muestra aleatoria de 680 hombres dio los
siguientes resultados:
Grupos de edad
Deporte 18-30 31-45 45-60 61+
Béisbol 25 50 75 100
Basketbol 100 80 30 10
F. Americano 5 25 25 30
Soccer 20 30 40 35
a) Establezca la hipótesis nula y alternativab) Calcule los grados de libertadc) Establezca la regla de decisión con un nivel de significancia del 0.10d) Se relaciona la edad con las preferencias deportivas.
5.6 PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE
6.-. La compañía de refrescos Bimbo está a punto de introducir en el mercado su
refresco de cola dietético y quiere saber si los consumidores prefieren una marca
determinada en una prueba de sabor a ciegas. Se ofrece a 200 bebedores de
refresco de cola dietético cuatro bebidas diferentes en recipientes idénticos y se
les pide que indiquen su refresco favorito. Los resultados son los siguientes:
Refresco de Cola Dietético Favorito
A B C D
60 43 46 51
a) Establezca las hipótesis nula y alternativab) Calcule los grados de libertadc) Establezca la regla de decisión con un nivel de significancia del .01d) Pruebe si la gente prefiere una marca a otra.
7.- La compañía Corso está preocupada por las preferencias que tienen los consumidores por
otras marcas de crema de cacahuate. Contrata los servicios de una empresa de investigación
que realiza una encuesta telefónica en 400 casas y obtiene las siguientes preferencias de
marca.
Marca A Corso Marca C Marca D Marca E
75 65 90 82 88
a) Establezca las hipótesis nula y alternativab) Calcule los grados de libertadc) Establezca la regla de decisión con un nivel de significancia del .05d) Pruebe si la gente prefiere Corso u otra
8.-. Una compañía de refrescos quiere introducir al mercado su refresco dietético y
quiere saber si los consumidores prefieren una marca determinada en una prueba
de sabor a ciegas. Se ofrecen a 200 bebedores de refresco dietético 4 bebidas
diferentes en recipientes identicos y se les pide que indiquen su favorito, los
resultados son los siguientes:
A B C D60 43 46 51
a) Establezca la hipótesis nula y alternativa.b) Calcule el valor apropiado de los grados de libertad.c) Establezca la regla de decisión a un nivel de significancia de .01.d) Pruebe si la gente prefiere una marca u otra.
