INSTITUTO TECNOLOGICO DE ACAPULCO

INGENIERIA ELECTROMECANICA

MECANICA DE FLUIDOS

UNIDAD 4:

ANALISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA

ALUMNO: PATRICIO JOVANNI GONZALEZ MIRANDA

N DE CONTROL: 11321025

ACAPULCO, GRO.

UNIDAD 4. Análisis dimensional y semejanzas

4.1 “Definición de análisis dimensional, modelos hidraulicos.

En la mecánica de los fluidos es posible obtener importantes resultados a partir de un enfoque dimensional del flujo fluido. Las variables involucradas en cualquier situación física real pueden ser agrupadas en un cierto número de grupos adimensionales independientes los cuales permiten caracterizar fenómeno físico.

La caracterización de cualquier problema mediante grupos adimensionales, se lleva cabo mediante un método denominado análisis dimensional.

El uso de la técnica de análisis dimensional adquiere relevancia sobre todo en la planificación de experimentos y presentación de resultados en forma compacta, sin embargo se utiliza con frecuencia en estudios de tipo teórico.

Esencialmente, el análisis dimensional es una técnica que permite reducir el número y complejidad de las variables que intervienen en la descripción de un fenómeno físico dado.

Por otra parte el análisis dimensional permite relacionar los datos medidos en u modelo experimental con la información requerida para el diseño de un prototipo a escala real. Al proporcionar las leyes de escala correspondientes, cuyo componente principal es la similitud geométrica y la igualdad de los parámetros adimensionales que caracterizan el objeto de estudio, entre modelo y prototipo.

Sin embargo debe quedar claro que la técnica del análisis dimensional no puede predecir qué variables son importantes ni permite explicar el mecanismo involucrado en el proceso físico. Si no es con ayuda de las pruebas experimentales. Pese a ello constituye una valiosa herramienta para el ingeniero mecánico.

En este capítulo se muestran medios de evaluación de los parámetros adimensionales y ciertos aspectos de similitud para predecir el comportamiento de flujo de un equipo en base a los resultados experimentales obtenidos de modelos a escala de laboratorio.

La solución de problemas de mecánica de fluidos implica frecuentemente una combinación del estudio analítico y el uso de información experimental.

Análisis teórico – matemático del problema planteado.

Ecuaciones fundamentales del flujo ¿Diferenciales? ¿Integrales?

El análisis dimensional es una herramienta que permite simplificar el estudio de cualquier fenómeno en el que estén involucradas muchas magnitudes físicas en forma de variables independientes. Su resultado fundamental, el teorema de Vaschy-

Buckingham (más conocido por  teorema ) permite cambiar el conjunto original de parámetros de entrada dimensionales de un problema físico por otro conjunto de parámetros de entrada adimensionales más reducido. Estos parámetros adimensionales se obtienen mediante combinaciones adecuadas de los parámetros dimensionales y no son únicos, aunque sí lo es el número mínimo necesario para estudiar cada sistema. De este modo, al obtener uno de estos conjuntos de tamaño mínimo se consigue:

• Analizar con mayor facilidad el sistema objeto de estudio

• Reducir drásticamente el número de ensayos que debe realizarse para averiguar el comportamiento o respuesta del sistema.

El análisis dimensional es la base de los ensayos con maquetas a escala reducida utilizados en muchas ramas de la ingeniería, tales como la aeronáutica, la automoción o la ingeniería civil. A partir de dichos ensayos se obtiene información sobre lo que ocurre en el fenómeno a escala real cuando existe semejanza física entre el fenómeno real y el ensayo, gracias a que los resultados obtenidos en una maqueta a escala son válidos para el modelo a tamaño real si los números adimensionales que se toman como variables independientes para la experimentación tienen el mismo valor en la maqueta y en el modelo real. Así, para este tipo de cálculos, se utilizan ecuaciones dimensionales, que son expresiones algebraicas que tienen como variables a las unidades fundamentales y derivadas, las cuales se usan para demostrar fórmulas, equivalencias o para dar unidades a una respuesta.

Finalmente, el análisis dimensional también es una herramienta útil para detectar errores en los cálculos científicos e ingenieriles. Con este fin se comprueba la congruencia de las unidades empleadas en los cálculos, prestando especial atención a las unidades de los resultados. Para reducir un problema dimensional a otro adimensional con menos parámetros, se siguen los siguientes pasos generales:

• Contar el número de variables dimensionales n.

• Contar el número de unidades básicas (longitud, tiempo, masa, temperatura, etc.) m

• Determinar el número de grupos adimensionales. El número de grupos o números

adimensionales ( ) es n - m.

• Hacer que cada número   dependa de n - m variables fijas y que cada uno dependa además de una de las n - m variables restantes (se recomienda que las variables fijas sean una del fluido o medio, una geométrica y otra cinemática; ello para asegurar que los números adimensionales hallados tengan en cuenta todos los datos del problema).

• Cada   se pone como un producto de las variables que lo determinan elevadas cada una a una potencia desconocida. Para garantizar adimensionalidad deben hallarse todos los valores de los exponentes tal que se cancelen todas las dimensiones implicadas.

• El número   que contenga la variable que se desea determinar se pone como función de los demás números adimensionales.

• En caso de trabajar con un modelo a escala, éste debe tener todos sus números adimensionales iguales a las del prototipo para asegurar similitud.

Un ejemplo de análisis dimensional

Calculemos mediante Análisis Dimensional la velocidad de un cuerpo en caída libre. Sabemos que dicha velocidad   dependerá de la altura   y de la gravedad . Pero imaginemos que también se nos ocurre decir que la velocidad depende de la masa . Una de las bondades del Análisis Dimensional es que es "autocorregible", es decir, el procedimiento, por sí sólo, elimina las unidades que no son necesarias.

• Formar la matriz

Hacer el producto de matrices:Aquí tenemos que

decir que   se refiere al exponente de la unidad  , pero eso se verá en pasos

sucesivos.

Desarrollar el producto de matrices y resolver el

sistema de ecuaciones.

Se forma un sistema de ecuaciones. Si nos fijamos, tenemos 4 incógnitas, y sólo 3 ecuaciones, así que para que el sistema pueda ser resuelto, necesitamos tantas incógnitas como ecuaciones. ¿Cómo se subsana el problema? Muy sencillo: se coge

un   cualquiera y le asignamos el valor que queramos, a excepción del 0. En nuestro

caso, vamos a tomar   como .

Si aplicamos la solución inicial que hemos propuesto anteriormente ( ), se realizan

los sencillos cálculos y llegamos a las soluciones:

• Formar el/los grupos 

Un grupo   es una ecuación adimensional. ¿Cuántos grupos   vamos a obtener? Pues

si   es el número de unidades (las unidades son el metro, el kilo, el segundo, el

grado, ...), y   el rango máximo de la matriz que contiene los coeficientes de las magnitudes de las unidades (a veces coincide el rango de la matriz con el número de

variables que tenemos, aunque ésta no es una regla fiable), el número de grupos   (o

ecuaciones que obtendremos) será  . En el caso que nos ocupa,   ecuación.

Ahora se cogen las unidades que hemos tomado en nuestro problema y las elevamos a los exponentes que hemos obtenido. Ésa es nuestra ecuación.

(Nótese que   es adimensional). Aquí obtenemos aquello que llamábamos "autocorrección": el exponente de la masa es 0, así que desaparece de nuestra ecuación, demostrando una vez más que la caída libre no depende de la masa del objeto en cuestión. Paso final: obtención de la ecuación.

con   valiendo  , lo que nos da la fórmula correcta:

4.2 Análisis Dimensional y Semejanza Dinámica:

Los parámetros adimensionales profundizan en forma significativa nuestro entendimiento sobre los fenómenos del flujo de fluidos en forma análoga al caso del gato hidráulico. Donde la relación entre los diámetros del pistón. Un número adimensional que es independiente del tamaño real del gato, determina la ventaja mecánica. Estos parámetros permiten que resultados experimentales limitados sean aplicados a situaciones que involucran dimensiones físicas diferentes y a menudo propiedades fluidas diferentes. Es posible llevar a cabo menos, aunque altamente selectivos, experimentos con el fin de descubrir las facetas escondidas del problema y por lo tanto lograr importantes ahorros en tiempo y dinero. Los resultados de una investigación pueden presentarse también a otros ingenieros y científicos en forma más compacta y significativa con el fin de facilitar su uso. Es igualmente importante el hecho de que, a través de esta presentación incisiva y ordenada de información, los investigadores puedan descubrir nuevos aspectos y áreas sobre el conocimiento del problema estudiado. Este avance directo de nuestro entendimiento de un fenómeno se debilitaría si las herramientas del análisis dimensional no estuvieran disponibles.

Muchos de los parámetros adimensionales pueden ser vistos como la relación de un par de fuerzas fluidas, cuya magnitud relativa indica la importancia relativa de una de las fuerzas con respecto a la otra. Si algunas fuerzas en una situación de flujo particular son mucho más grandes que las otras, a menudo es posible despreciar el efecto de las fuerzas menores y tratar el fenómeno como si estuviera completamente determinado por las fuerzas mayores. Esto significa que se pueden utilizar procedimientos matemáticos y experimentales más simples, aunque no necesariamente fáciles, para resolver el problemas. En aquellas situaciones con varias fuerzas con la misma magnitud, tales como las fuerzas inerciales, viscosas y gravitacionales, requieren técnicas especiales. Después de una discusión de dimensiones, se presentan el análisis dimensional y los parámetros adimensionales, la similitud dinámica y los estudios en modelos.

Homogeneidad Dimensional y Relaciones Adimensionales:

Para resolver problemas prácticos de diseño en mecánica de fluidos, usualmente se requiere tanto de desarrollos teóricos como de resultados experimentales. Al agrupar las cantidades importantes en parámetros adimensionales, es posible reducir el número de

variables y hacer que este resultado compacto (ecuaciones o gráficas de datos) sea aplicable a otras situaciones similares.

Si uno fuera a escribir la ecuación de movimiento F= m.a para un paquete de fluido, incluyendo todos los tipos de fuerzas que pueden actuar sobre el paquete, tales como las fuerzas de gravedad, de presión, viscosas, elásticas y de tensión superficial, resultaría una ecuación donde la suma de estas fuerzas es igual a m.a, la fuerza inercial. Al igual que con todas las ecuaciones físicas, cada termino debe tener las mismas dimensiones, en este caso de fuerza. La división de cada término de la ecuación por uno cualquiera de los otros haría que la ecuación fuera adimensional. Por ejemplo, dividiendo por el término de fuerza inercial, resultaría en la suma de parámetros adimensionales igual a la unidad. El tamaño relativo de cada parámetro, respecto a la unidad, indicaría su importancia. Si se fuera a dividir la ecuación de fuerza por un termino diferente, por ejemplo el término de fuerzas viscosas, se obtendría otro conjunto de parámetros adimensionales. Sin experiencia en el tipo de flujo es difícil determinar qué parámetros serían los más útiles.

Dimensiones Y Unidades:

Las dimensiones de la mecánica son : Fuerza, Masa, longitud y tiempo; este se relacionan mediante la segunda ley de movimiento de Newton, F = m.a

Para todos los sistemas físicos, probablemente sería necesario introducir otras dos dimensiones, una relacionada con el electromagnetismo y la otra con los efectos térmicos. En la mayoría de los casos no es necesario incluir una unidad térmica, debido a que las ecuaciones de estado relacionan presión, densidad y temperatura.

En forma dimensional, la segunda ley de movimiento de Newton es:

F = MLT-2

La cual demuestra que únicamente tres dimensiones son independiente. F es la dimensión de fuerza, M la dimensión de masa L la dimensión de longitud y T la dimensión de tiempo. un sistema común utilizado en el análisis dimensional es el sistema MLT , donde es la dimensión de temperatura.

4.3 Parámetros adimensionales importantes del flujo fluido.

En la mecánica de fluidos los parámetros adimensionales se definen exactamente y a cada uno de ellos se les da un nombre. Hay grupos adimensionales que se presentan en casi todos los problemas de flujo fluido y tienen significado físico, por lo que son ordinariamente estudiados para caracterizar el flujo.

Las siguientes variables son relevantes en los procesos de flujo fluido:

No Variable Símbolo Dimensión.1 Viscosidad ML-1 -12 Densidad ML-3

3 Tensión superficial M -2

4 Variación de la presión p ML-1θ-2

5 Velocidad v L -1

6 Velocidad del sonido c Lθ-1

7 Longitud L L8 Aceleración de la gravedad g L -2

Tomando como base estas variables se forman los siguientes parámetros adimensionales, importantes en la mecánica de fluidos:

Grupo adimensional Designación Expresión

Número de Reynolds ReρVL

µ

Número de Froude FrV 2

Lg

Número de Euler Eu∆p

ρV 2

Número de Mach MV

c

Número de Weber WeρV 2 L

σ

4.4. El teorema de Pi de Buckingham

Existe un número de grupos adimensionales independientes fijo para un problema dado, y es, generalmente aunque no siempre, igual a la diferencia entre el número total de variables menos el número de dimensiones fundamentales. Esta forma de determinar el número de grupos adimensionales se conoce con el nombre de teorema de pi, y establece que:

El número de grupos adimensionales que se utilizan para describir una situación física real que involucre a n variables es igual a n–j, donde j es el número de dimensiones fundamentales.

Es decir:

i = n – j

i = número de parámetros adimensionales independientes n = número de variables implicadas en el problema

j = número de dimensiones fundamentales (rango de la matriz dimensional1)

Método de Buckingham

Estos grupos se pueden obtener de varias maneras, se exponen aquí dos métodos para agrupar las variables en grupos adimensionales:

• Independientemente de método a utilizar es una buena práctica elaborar un listado de las variables significativas implicadas en el problema objeto de estudio, y su expresión dimensional equivalente.

• Luego es conveniente, aunque no imprescindible, determinar el número de parámetros adimensionales independientes en los que se pueden agrupar estas variables, utilizando el teorema de pi.

• En base a lo anterior se generan los grupos adimensionales utilizando cualquiera de los siguientes procedimientos.

Método algebraico.

Método cociente dimensional.

En el siguiente ejemplo se explica la aplicación del procedimiento anterior.

Ejemplo: Determinar los grupos adimensionales formados con las variables involucradas en el flujo de un fluido sobre un cuerpo sólido de forma esférica. Se sabe que la fuerza ejercida sobre el cuerpo es una función de la velocidad media de flujo v, densidad del fluido , viscosidad del fluido y diámetro del cuerpo esférico D.

Resolución

Lista de variables y sus dimensiones

No. Variable Símbolo Dimensiones1 Fuerza F θ-2

ML2 Velocidad V θ-1

L3 Densidad ML-3

4 Viscosidad ML-1θ-15 Diámetro D L

Dimensiones fundamentales usadas en la definición dimensional de las variables del problema

No. Dimensión Símbolo1 Longitud L2 Masa M3 Tiempo θ

Es el teorema fundamental del análisis dimensional. El teorema establece que dada una relación física expresable mediante una ecuación en la que están involucradas n magnitudes físicas o variables, y si dichas variables se expresan en términos de k cantidades físicas dimensionalmente independientes, entonces la ecuación original puede escribirse equivalentemente como una ecuación con una serie de n - k números a dimensionales construidos con las variables originales.

Este teorema proporciona un método de construcción de parámetros adimensionales, incluso cuando la forma de la ecuación es desconocida. De todas formas la elección de parámetros adimensionales no es única y el teorema no elige cuáles tienen significado físico.

Si tenemos una ecuación física que refleja la relación existente entre las variables que intervienen en un cierto problema debe existir una función f tal que:

En donde Ai  son las n  variables o magnitudes físicas relevantes, y se expresan en términos de k  unidades físicas independientes. Entonces la anterior ecuación se puede reescribir como:

En donde   son los parámetros adimensionales construidos de n − k  ecuaciones de la forma:

En donde los exponentes mi  son números enteros. El número de términos adimensionales construidos n - k es igual a la nulidad de la matriz dimensional en donde k es el rango de la matriz.

La notación de πi como parámetros adimensionales fue introducida por Edgar Buckingham en su artículo de 1914, de ahí el nombre del teorema. No obstante, la autoría del mismo debe adscribirse a Aimé Vaschy, quien lo enunció en 1892.