Unidad 4 Cinetica de Sistemas de Particulas

8/13/2019 Unidad 4 Cinetica de Sistemas de Particulas

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DINAMICA UNIDAD 4. CINETICA DE SISTEMAS DE PARTICULAS

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Ing. Petrolera/Grupo 1/Equipo 1

INDICE

INTRODUCCION 2

UNIDAD 4. CINETICA DE SISTEMAS DE PARTICULAS 3

4.1 IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO PARA UNA

PARTICULA Y UN SISTEMA DE LAS PARTICULAS. 44.1.1 PRINCIPIO DEL IMPULSO Y LA CANTIDAD DE

MOVIMIENTO... 64.1.2 IMPACTO 144.1.3 CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL Y ANGULAR

DE UN SISTEMA DE PARTICULAS.. 23CONCLUSIONES. 25BIBLIOGRAFIA 26


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INTRODUCCION

El presente trabajo Cintica de sistemas de partculas tiene como objetivo reconocer y

utilizar los aspectos de la cintica de sistemas de partculas en la solucin de problemas, as

como, analizar su comportamiento aplicando los conceptos de conservacin del momento

lineal y angular. Y esto sirve como evidencia y/o trabajo final de la unidad 4 para cubrir el

requisito de evaluacin de la carrera de ingeniera electromecnica.

El trabajo cuenta con la introduccin al tema principal para entender conceptos bsicos de la

cintica de partculas, as como el desarrollo de los temas de la unidad en los que se incluyen:

Impulso y cantidad de movimiento para una partcula y un sistema de partculas, Principio del

impulso y la cantidad de movimiento, Impacto y Cantidad de Movimiento lineal y angular.

Este trabajo tambin cuenta con ejemplos para la comprensin de los temas.


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UNIDAD 4. CINETICA DE SISTEMAS DE PARTICULAS

En estudio de la dinmica de la dinmica del punto, se considera que la influencia que el

resto del universo ejerce sobre una partcula est representada por un vector igual a la

resultante de todas las acciones a las que est sometida. La segunda Ley de Newton permite

obtener el movimiento del punto respecto a un sistema inercial, a partir de las fuerzas que

actan sobre el mismo. Por otro lado, hemos visto teoremas que se deducen de la segunda

Ley de Newton, y que permiten obtener en muchos casos informacin del movimiento apartir de las propiedades de las fuerzas.

En este captulo vamos a describir el comportamiento dinmico de un sistema de partculas,

es decir, un conjunto de puntos materiales cuyo movimiento vendr dado por sus

interacciones con otros cuerpos no pertenecientes al sistema, y por las existentes entre ellos.

La eleccin de las partculas que constituyen un sistema es arbitraria; cualquier conjunto de

puntos materiales puede ser objeto de estudio como un sistema.

Debemos considerar las fuerzas a que estn sometidas todas las partculas que componen al

sistema, con lo que obtendramos as el movimiento de cada una de ellas. No obstante, tal

objetico resulta prcticamente imposible cuando el nmero de partculas es grande, debido a

la elevada complejidad que tiene el problema as planteado. Para obtener informacin acerca

de la dinmica del sistema sin tener que centrarnos en el movimiento de cada una de sus

partculas introduciremos el concepto de centro de masas.


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4.1 IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO PARA UNA PARTICULA Y

UN SISTEMA DE LASPARTICULAS.

Para empezar a estudiar este tema es necesario conocer los conceptos bsicos y lo que

significa cada uno de ellos, as como las unidades que los representan y as aplicarlo al

estudio de un sistema de partculas.

Se llama impulso a la magnitud fsica, denotada usualmente como I, definida como la

variacin en la cantidad de movimiento que experimenta un objeto en un sistema cerrado. El

trmino difiere de lo que cotidianamente conocemos como impulso y fue acuado por Isaac

Newton en su segunda ley, donde lo llam vis motrix, refirindose a una especie de fuerza

del movimiento.

Unidades

Un impulso cambia el momento lineal de un objeto, y tiene las mismas unidades y

dimensiones que el momento lineal. Las unidades del impulso en el Sistema Internacional

sonkgm/s.

Para deducir las unidades podemos utilizar la definicin ms simple, donde tenemos:

Considerando que , y sustituyendo, resulta

Y efectivamente,
http://es.wikipedia.org/wiki/Kilogramohttp://es.wikipedia.org/wiki/Kilogramohttp://es.wikipedia.org/wiki/Metrohttp://es.wikipedia.org/wiki/Metrohttp://es.wikipedia.org/wiki/Metrohttp://es.wikipedia.org/wiki/Metrohttp://es.wikipedia.org/wiki/Kilogramo


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Con lo que hemos comprobado que , por lo que el impulso de la fuerza aplicada

es igual a la cantidad de movimiento que provoca, o dicho de otro modo, el incremento de la

cantidad de movimiento de cualquier cuerpo es igual al impulso de la fuerza que se ejerce

sobre l.

La cantidad de movimiento, momento lineal, mpetu o momntum es una magnitud

vectorial, unidad SI: (kg m/s) que, en mecnica clsica, se define como el producto de la masa

del cuerpo y su velocidad en un instante determinado.

La cantidad de movimiento obedece a una ley de conservacin, lo cual significa que la

cantidad de movimiento total de todo sistema cerrado (o sea uno que no es afectado por

fuerzas exteriores, y cuyas fuerzas internas no son disipadoras) no puede ser cambiada ypermanece constante en el tiempo.

Al obtener el principio del trabajo y la energa y se integra esa ley con respecto al tiempo se

obtiene una relacin entre la integral respecto al tiempo de las fuerzas que actan sobre un

cuerpo y el cambio en su cantidad de movimiento. Con este principio del impulso y la

cantidad de movimiento podemos determinar el cambio en la velocidad de un cuerpo

cuando se conocen las fuerzas externas en funcin del tiempo.

Aplicando el principio a dos o ms cuerpos, obtenemos la ley de la conservacin de la

cantidad de movimiento lineal, que nos permite analizar impactos entre cuerpos y evaluar las

fuerzas ejercidas por flujos continuos de masa, como ocurre en los motores de retroimpulso

de aviones y cohetes.

El movimiento de un sistema de partculas, es el movimiento de un gran nmero de

partculas consideradas en conjunto.


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4.1.1 PRINCIPIO DEL IMPULSO Y LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO.

A continuacin se va a considerar un mtodo bsico para la solucin de problemas que tiene

que ver con el movimiento de partculas. Este mtodo se basa en el principio del impulso y la

cantidad de movimiento y se usa para resolver problemas que implican fuerza, masa,

velocidad y tiempo. Es de particular inters en la solucin de problemas que implican

movimiento impulsivo e impacto.

El principio del trabajo y la energa es muy til en mecnica. Podemos obtener otra

herramienta til para el anlisis del movimiento integrando la segunda ley de Newton

respecto al tiempo. Expresamos dicha ley as: (1)

Luego integramos con respecto al tiempo para obtener (2)

Donde v1y v2son las velocidades del centro de masa en los tiempos t1 y t2. El trmino de la

izquierda se llama impulso lineal, y mv es la cantidad de movimiento lineal. Este resultado es

el Principio del impulso y la cantidad de movimiento lineal: el impulso aplicado a un cuerpo

durante un intervalo de tiempo es igual al cambio en su cantidad de movimiento lineal. Lasdimensiones de ambas cantidades son (fuerza) x (tiempo).

Al transponer el ltimo trmino de la ecuacin (3)

La integral en la ecuacin 3 es un vector conocido como impulso lineal o simplemente

impulso, de la fuerza F durante el intervalo considerado. Al descomponer F en sus

componentes rectangulares se escribe (4)


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Y se advierte que las componentes del impulso de la fuerza F son, respectivamente, iguales a

las reas bajo las curvas que se obtienen al graficar las componentes Fx, Fy, Fzen funcin de t.

En el caso de una fuerza F de magnitud y direccin constantes, el impulso se representamediante el vector F (t2-t1), que tienen la misma direccin que F.

Si se usan las unidades del SI, la magnitud del impulso de una fuerza se expresa en N. s. Sin

embargo, al recordar la definicin del Newton, se tiene

Que es la unidad que se obtiene para la cantidad de movimiento lineal de una partcula. De

tal modo se verifica que la ecuacin 3 es dimensionalmente correcta

La ecuacin 3 expresa que cuando sobre una partcula acta una fuerza F durante un

intervalo dado, la cantidad de movimiento final mv2de la partcula puede obtenerse al sumar

vectorialmente su cantidad de movimiento inicial mv1y el impulso de la fuerza Fdurante el

intervalo considerador.


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Se escribe (5)

Advirtase que 00 si bien la energa cintica y el trabajo son cantidades escalares, la cantidadde movimiento y el impulso son cantidades vectoriales. Para obtener la solucin analtica, es

necesario entonces sustituir la ecuacin 5 por las correspondientes ecuaciones componentes

(6)

() ()

Cuando varias fuerzas actan sobre una partcula, debe considerarse el impulso de cada una

de las fuerzas. Se tiene (7)

De nuevo, la ecuacin que se obtuvo representa una relacin entre cantidades vectoriales;

en la solucin real de un problema, esta debe sustituirse por las correspondientes ecuaciones

de las componentes.

La ecuacin del principio del impulso y la cantidad de movimiento y el principio del trabajo y

la energa, son muy similares. Ambas relacionan la integral de las fuerzas externas con el

cambio de velocidad de un cuerpo. La ecuacin del principio del impulso y la cantidad de

movimiento es una ecuacin vectorial que nos da el cambio de magnitud y direccin de la

velocidad, mientras que el principio del trabajo y la anergia, que es una ecuacin escalar, solo

nos da el cambio en la magnitud de la velocidad. Sin embargo hay una gran diferencia entre

los dos mtodos. En el caso del impulso y la cantidad de movimiento, no hay tipos de fuerzas

equivalentes a las fuerzas conservativas que facilitan en grado sumo la aplicacin del trabajo

y energa.

Cuando se conocen las fuerzas externas que actan sobre un cuerpo como funciones del

tiempo, el principio del impulso y la cantidad de movimiento nos permiten determinar el

cambio en su velocidad durante un intervalo de tiempo. Este es un resultado importante

pero no nuevo. Cuando usamos la segunda ley de newton, para determinar la aceleracin de

un cuerpo y luego integramos la aceleracin con respecto al tiempo para determinar su

velocidad, estbamos aplicando realmente el principio del impulso y la cantidad de


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movimiento. Sin embargo este principio se puede extender a nuevas e interesantes

aplicaciones.

El promedio respecto al tiempo de la fuerza total acta sobre un cuerpo entre t1y t2es: (8)

De manera que podemos escribir la ecuacin del principio del impulso y la cantidad de

movimiento, como: (9)

Con esta ecuacin se puede determinar el valor medio de la fuerza total que acta sobre uncuerpo durante un intervalo de tiempo dado si se conoce el cambio en su velocidad.

Una fuerza de magnitud relativamente grande que acta durante un pequeo intervalo de

tiempo se llama fuerza impulsora. La determinacin del desarrollo temporal real de tal fuerza

suele ser imprctica, pero a menudo puede especificarse su valor medio. Por ejemplo una

pelota de golf golpeada por un palo est sometida a una fuerza impulsiva.

Filmando a gran velocidad podemos determinar la duracin del impacto, la velocidad de la

pelota y el movimiento resultante por el impacto. Conociendo la duracin y la cantidad de

movimiento lineal de la pelota, resultantes del impacto podemos utilizar la ecuacin para

determinar la fuerza media ejercida sobre la pelota por el palo.

MOVIMIENTO IMPULSIVO

Una fuerza que acta sobre una partcula durante un breve intervalo que es lo

suficientemente grande para producir un cambio definido en el momento se conoce como

fuerza impulsiva y el movimiento resultante se denomina movimiento impulsivo. Por ejemplo

cuando se golpea una pelota de beisbol, el contacto entre el bat y la pelota se realiza durante

un intervalo muy corto. Sin embargo, el valor promedio de la fuerza Fejercida sobre el batsobre la pelota es muy grande, y el impulso resultante Fes lo suficientemente grande paracambiar el sentido del movimiento de la pelota.Cuando actan fuerzas impulsivas sobre una partcula, la ecuacin 7 se convierte en (10)


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Es posible ignorar cualquier fuerza que no sea una fuerza impulsiva, puesto que el impulso

correspondiente F es muy pequeo. Las fuerzas no impulsivas incluyen el peso de uncuerpo, la fuerza ejercida por un resorte o cualquier otra fuerza que se sabe que es pequea

comparada con una fuerza impulsiva. Las reacciones desconocidas quizs sean o no

impulsivas; sus impulsos deben consecuentemente incluirse en la ecuacin 10 siempre queno se hayan demostrado que se pueden ignorar. El impulso del peso de la pelota de beisbol

considerada antes, por ejemplo, puede ignorarse. Si se analiza el movimiento del bat,

tambin es factible ignorar el impulso del peso del bat. Los impulsos de las reacciones de las

manos del jugador sobre el bat, sin embargo debern incluirse; estos impulsos no sern

despreciables si la pelota se golpea de manera incorrecta.

Advirtase que el mtodo del impulso y la cantidad de movimiento es en particular efectivo

en el anlisis del movimiento impulsivo de una partcula, ya que solo implica las velocidades

inicial y final de la partcula y los impulsos de las fuerzas ejercidas sobre la misma. Por otro

lado la aplicacin directa de la segunda ley de Newton requerira la determinacin de lasfuerzas como funciones del tiempo y la integracin de las ecuaciones de movimiento sobre el

intervalo t.

En el caso del movimiento impulsivo de varias partculas, es posible usar la ecuacin, la cual

se reduce a (11)

Donde el segundo trmino implica solo fuerzas impulsivas externas. Si todas las fuerzas

externas que actan sobre las diversas partculas son no impulsivas, se anula el segundo

trmino en la ecuacin. Se escribe (12)

Que expresa que el momento total de las partculas se conserva. Esta situacin ocurre, por

ejemplo, cuando dos partculas que se mueven libremente chocan entre s. Sin embargo, se

debe advertir que mientras se conserva la cantidad de movimiento total de las partculas, su

energa total no se conserva en general.


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EJEMPLO 2

Una pelota de golf en vuelo es fotografiada a intervalos de 0.001 s. La pelota de 1.62 onzas

tiene 1.68 pulg de dimetro. Se el palo toco la pelota durante 0.0006 s, calcule la fuerza

impulsiva media ejercida por el palo.

ESTRATEGIA

Midiendo la distancia recorrida por la pelota en uno de los intervalos de 0.001 s, podemos

calcular su velocidad despus de ser golpeada y luego usar la ecuacin 9 para determinar la

fuerza media total sobre la pelota.

SOLUCION

Comparando la distancia recorrida durante uno de los intervalos de 0.001 s con el dimetroconocido de la pelota, calculamos que esta viajo 1.9 pulg y que su direccin fue de 21 sobre

la horizontal. La magnitud de la velocidad de la pelota es

El peso de la pelota es 1.62/16 = 0.101 lb, por lo que su masa es 0.101/32.2 = 3.14 x 10 -3

slugs.

EJEMPLO 3

Un automvil que pesa 4000 lb desciende por una pendiente de 5 a una velocidad de 60

mi/h cuando se aplican los frenos, lo que provoca una fuerza de frenado total constante(aplicada por el camino sobre los neumticos) de 1500 lb. Determine el tiempo que se

requiere para que el automvil se detenga.

SOLUCION


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Se aplica el principio del impulso y la cantidad de movimiento. Puesto que cada una de las

fuerzas es constante en magnitud y direccin, cada impulso correspondiente es igual al

producto de la fuerza y al intervalo t.

(4 000/32.2)(88 ft/s) + (4 000 sen 5) t1500 t= 0 t= 9.49 s

EJEMPLO 4

Una pelota de beisbol de 4 oz se lanza con una velocidad de 80 ft/s hacia un bateador.

Despus de que la bola es golpeada por el bat B, adquiere una velocidad de 120 ft/s en la

direccin que se indica. Si el bat y la bola estn en contacto 0.015 s, determine la fuerza

impulsiva promedio ejercida sobre la pelota durante el impacto.

SOLUCION

Se aplica el principio del impulso y la cantidad de movimiento a la pelota. Puesto que el peso

de esta misma es una fuerza no impulsiva, puede ignorarse.

A partir de sus componentes se determina la magnitud y direccin de la fuerza F.F= 97.5 lb Direccin 24.2


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4.1.2 IMPACTO

En mquinas de estampado o de forja, los troqueles se impactan contra las piezas de trabajo.

Las impresoras mecnicas crean imgenes impactando elementos metlicos contra papel y

placas. Hay vehculos que se impactan intencionalmente, como los vagones de ferrocarril y

otros de manera accidental. Los impactos ocurren en muchas situaciones de inters para la

ingeniera. Si se conocen las velocidades de dos cuerpos antes de que choquen, Cmo

cambiaran despus de la colisin? Es decir, Cmo afecta el impacto sus movimientos?

Un choque entre dos cuerpos que ocurre en un intervalo muy pequeo y durante el cual dos

cuerpos ejercen fuerzas relativamente grandes entre si recibe el nombre de impacto.

La normal comn a las superficies en contacto durante el impacto se conoce como lnea de

impacto. Si los centros de masa en los dos cuerpos que chocan se ubican sobre esta lnea, elimpacto es un impacto central. En otro caso, se dice que el impacto es excntrico.

Si los cuerpos que chocan no estn sujetos a fuerzas externas, sus cantidades de movimiento

lineal total deben ser las mismas antes y despus del impacto. Aun cuando estn sujetas a

fuerzas externas, el impacto es a menudo tan fuerte y su duracin tan breve, que el efecto en

sus movimientos durante el impacto es insignificante.

Suponga que los cuerpos A y B con velocidades entran en colisin y sean Sus velocidades despus del impacto. Si los efectos de fuerzas externas son insignificantes, la

cantidad de movimiento lineal se conserva: (13)

Adems, la velocidad v de su centro de masa es la misma antes y despus del impacto (14)

Si A y B se adhieren y permanecen juntos, despus de la colisin se dice que sufren un

impacto perfectamente plstico. La ecuacin anterior da la velocidad de su centro de masadel cuerpo que ellos forman despus del impacto. Un aspecto notable de este resultado es

que se puede determinar la velocidad posterior al impacto sin considerar la naturaleza fsica

del impacto.

Si A y B no se adhieren, la mera conservacin de la cantidad de movimiento lineal no es

suficiente para determinar sus velocidades despus del impacto.


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a) Impacto central directo b) Impacto central oblicuo

Si las velocidades de dos partculas se dirigen a lo largo de la lnea de impacto, se dice que el

impacto ser directo. Si alguna o ambas partculas se mueven a lo largo de una lnea de

impacto, se dice que el impacto ser oblicuo.

IMPACTO CENTRAL DIRECTOConsidere dos partculas A y B, de masa mA y mB, las cuales se mueven en la misma lnea

recta y hacia la derecha con velocidades conocidas . Si es mayor que , lapartcula A golpeara finalmente a la partcula B. Por el impacto las dos partculas se

deformaran y al final del periodo de deformacin, tendrn la misma velocidad u. Se

presentara un periodo de restitucin, al final del cual, dependiendo de la magnitud de las

fuerzas de impacto y de los materiales implicados, las dos partculas habrn recobrado su

forma original o permanecern deformadas. El propsito aqu es determinar la velocidades

de las partculas al final del periodo de restitucin.


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Considerando primero las dos partculas como un solo sistema, se advierte que no hay fuerza

impulsiva externa. De tal modo se conserva la cantidad de movimiento total de las dos

partculas y se escribe:

Puesto que todas las velocidades consideradas estn dirigidas a lo largo del mismo eje, es

posible sustituir la ecuacin que se obtuvo por la siguiente relacin que incluye solo

componentes escalares (15)

Un valor positivo para cualquiera de las cantidades escalares significa que el vector

correspondiente est dirigido hacia la derecha; un valor negativo indica que el vector

correspondiente est dirigido hacia la izquierda.

Para obtener las velocidades , es necesario establecer una segunda relacin entrelos escalares . Para este propsito se considera el movimiento de la partcula A


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El valor del coeficiente e siempre est entre 0 y 1. Depende en gran medida de los materiales

implicados, pero tambin vara de manera considerable con la velocidad de impacto y la

forma y tamao de dos cuerpos que chocan.

Al resolver las ecuaciones 16 y 17 para los dos impulsos y sustituir en la18, se escribe (19)

Un anlisis similar de la partcula B conduce a la relacin (20)

Puesto que los cocientes en 19 y 20 son iguales, tambin los son al cociente obtenido alsumar, respectivamente, sus numeradores y sus denominadores. Se tiene por lo tanto

Y (21) En virtud de que representa la velocidad relativa de las dos partculas despus delimpacto y

representa su velocidad relativa antes del impacto, la frmula 21 expresa

que la velocidad relativa de dos partculas despus del impacto puede obtenerse al

multiplicar su velocidad relativa antes del impacto por el coeficiente de restitucin.

Esta propiedad se utiliza para determinar experimentalmente el valor del coeficiente de

restitucin de dos materiales dados.

Las velocidades de las dos partculas despus del impacto pueden obtenerse ahora al

resolver simultneamente las ecuaciones (15) y (21) para . Hay que recordar que ladeduccin de las ecuaciones se basa en la suposicin de que la partcula B se localiza a la

derecha de A, y que ambas partculas se estn moviendo al principio hacia la derecha. Si la

partcula B se mueve inicialmente hacia la izquierda, el escalar debe considerarsenegativo. La misma convencin del signo se cumple para las velocidades despus delimpacto: un signo positivo para indicara que la partcula A se mueve hacia la derechadespus del impacto, y un signo negativo sealara que se mueve hacia la izquierda.

Dos casos de impacto particulares son de especial inters:


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1. impacto perfectamente plstico. Cuando , la ecuacin 21 produce No hay periodo de restitucin y ambas partculas permanecen juntas despus delimpacto. Al sustituir en la ecuacin 15, la cual expresa que la cantidadde movimiento total de las partculas se conserva, se escribe (22)

Esta ecuacin puede resolverse para la velocidad comn v de las dos partculas

despus del impacto.

2. impacto perfectamente elstico. Cuando la ecuacin 21 se reduce a (23)

Que expresa que las velocidades relativas antes y despus del impacto son iguales.

Los impulsos recibidos por cada partcula durante el periodo de deformacin y durante el

periodo de deformacin y durante el periodo de restitucin son los mismos. Las partculas se

alejan una de la otra despus del impacto con la misma velocidad con la cual se aproximabana l. Las velocidades pueden obtenerse al resolver simultneamente las ecuaciones15 y 23.

Vale la pena notar que en el caso de un impacto perfectamente elstico, se conserva la

energa total de las partculas, as como su cantidad de movimiento total. Las ecuaciones 15 y

23 pueden escribirse como sigue 15 Y 23

Al multiplicar cada una de las ecuaciones miembro por miembro, se tiene

Al reagrupar los trminos en la ecuacin que se obtuvo y multiplicar por se escribe

Supongamos que los centros de masa A y B viajan a lo largo de la misma recta con

velocidades antes de su impacto. Sea R la magnitud de la fuerza que ejercen entre sidurante el impacto. Suponemos que las superficies que chocan estn orientadas de manera

que R es paralela a la lnea en la que viajan y que est dirigida hacia sus centros de masa. Esta

condicin es llamada impacto central directo, significa que pueden seguir viajando en la


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misma recta despus del impacto. Si los efectos de las fuerzas externas durante el impacto se

pueden ignorar, su cantidad de movimiento lineal total se conserva:

Sin embargo necesitamos otra ecuacin para determinar las velocidades

. Para

obtenerla debemos considerar el impacto con mayor detalle. Sea el tiempo en que A y Bentran por primera vez en contacto. Como resultado del impacto, primero se deforman y suscentros de masa continan acercndose uno al otro. En un tiempo , sus centros de masaabran alcanzado su mxima proximidad. En este tiempo la velocidad relativa de los dos

centros de masa es cero, por lo que ambos tendrn la misma velocidad. La denotamos con

. Los cuerpos empiezan a separarse en un tiempo . Aplicamos el principio del impulso yla cantidad de movimiento a durante los intervalos de tiempo de al tiempo de mximaproximidad y tambin de a ;

Luego aplicamos este principio a B en los mismos intervalos de tiempo:

Como resultado del impacto, parte de la energa cintica de los cuerpos pueden perderse

debido a una variedad de mecanismos, incluidos la deformacin permanente y la generacin

de calor y sonido. Como consecuencia de esto, el impulso que se imparten entre si durante la

fase de restitucin del impacto de a es, en general, menor que el impulso que seimparten de a . La razn de esos impulsos se llama coeficiente de restitucin. IMPACTO CENTRAL OBLICUO

Las velocidades de las dos partculas que chocan no estn dirigidas a lo largo de la lnea de

impacto.


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Se afirma que el impacto ser oblicuo. Puesto que no se conocen ni la direccin ni La

magnitud de las velocidades de las partculas despus del impacto su determinacinrequerir el uso de 4 ecuaciones independientes.

1.- la componente de la cantidad de movimiento de cada partcula a lo largo del eje t ,

considera por separado , se conserva , en consecuencia , la componente t de la velocidad de

cada partcula permanece invariable .se escribe .


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2.- la componente a lo largo del eje de la cantidad de movimiento total de las dospartculas, se escribe

3.-la componente a lo largo de la componente de la velocidad relativa de las dos partculasdespus del impacto se obtiene multiplicando la componente de su velocidad relativaantes del impacto por el coeficiente de restitucion.

El impacto central oblicuo de dos partculas se ha basado en la suposicin de que ambas

partculas se mueven libremente antes y despus del impacto.

En el caso de en el que una o ambas partculas que chocan tienen restricciones en su

movimiento, por ejemplo, el choque entre el bloque A, que est restringido al moverse

sobre una superficie horizontal y la bola B que tiene libertad de moverse en el plano (fig. a).

si se supone que no hay friccin entre el bloque y la bola , o entre el bloque y la superficie

horizontal , los impulsos ejercidos sobre el sistema consisten en los impulsos de las fuerzas

internas F yF dirigidos a lo largo de la lnea de impacto , esto es , a lo largo del eje n, y del

impulso de la fuerza externa ejercido por la superficie horizontal sobre el bloque A ydirigido a lo largo de la vertical (fig. b).Las velocidades del bloque A y de la bola B inmediatamente despus del impacto se

representan mediante tres incgnitas: la magnitud de la velocidad del bloque A, la cualse sabe que es horizontal, y la magnitud y direccin de la velocidad de la bola B. Por lotanto, se deben escribir tres ecuaciones en las que se exprese que v

1.- la componente a lo largo del eje t de la cantidad de movimiento de la bola B se conserva;

en consecuencia, la componente t de la velocidad de la bola B permanece invariable, se

escribe.

2.-la componente a lo largo del eje x horizontal de la cantidad de movimiento total de bloque

A y de la bola B se conserva, se escribe.


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3.-la componente a lo largo del eje n de la velocidad relativa del bloque A y de la bola B

despus del impacto se obtiene al multiplicar la componente n de su velocidad relativa antes

del impacto por el coeficiente de restitucin. Se escribe de nuevo.

4.1.3 CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL Y ANGULAR DE UN SISTEMA

DE PARTICULAS

Las ecuaciones obtenidas anteriormente para el movimiento de un sistema de partculas,

pueden expresarse en una forma ms condensada si se introduce la cantidad de movimientolineal y angular del sistema de partculas. Al definir la cantidad de movimiento lineal L del

sistema de partculas como la suma de las cantidades de movimiento lineal de las diversas

partculas del sistema, se escribe

Si se define la cantidad de movimiento angular HOalrededor de O del sistema de partculas

de una manera similar, se tiene

Al diferenciar ambos miembros de las ecuaciones con respecto a t, se escribe

Y


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Que se reduce a

Ya que los vectores viy mivison colineales.

Observe que los miembros del lado derecho de las ecuaciones 14.8 y 14.9 son

respectivamente idnticos a los miembros del lado derecho de las ecuaciones 14.4 y 14.5. Se

concluye que los miembros del lado izquierdo de estas ecuaciones son respectivamente

iguales. Al recordar que el miembro del lado izquierdo de la ecuacin 14.5 representa lasuma de los momentos MO alrededor de O de las fuerzas externas que actan sobre las

partculas del sistema, y al omitir el subndice i de las sumatorias se escribe

Estas ecuaciones expresan que la resultante y el momento resultante alrededor de un punto

fijo O de las fuerzas externas son, respectivamente iguales a las razones de cambio de la

cantidad de movimiento lineal y de la cantidad de movimiento angular alrededor de O del

sistema de partculas.


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CONCLUSIONES PERSONALES

Jafet Salas Cruz

En esta unidad, con el fin de analizar la cintica de un sistema de partculas conocimos el

significado de impulso, y de cantidad de movimiento lineal, tambin analizamos y utilizamos

su ecuacin en algunos problemas, de manera que nos ha quedado claro como se utiliza

tanto de manera escalar como vectorial.

Alejandra Morales Monroy

En este trabajo de investigacin y los problemas que realizamos en la libreta nos ayudo a

resolver problemas de cinetica de un sistema de partculas y tambin sabemos ahora el

significado de impulso, la cantidad de movimiento lineal, y ahora ya sabemos como utilizarlas ecuaciones de escalar como vectorial

Julio Alberto Sobre villa Carrizales

Se ha aprendido en esta unidad como se da el impulso y la cantidad de movimiento que tiene

una particula o sistema de particula como se da el impacto y calcular los movimientos

lineales y ondulares para los diferentes sistemas de particulas

Daniel Alberto Moreno Bautista

Este trabajo ha servido para identificar y analizar los aspectos de la cintica de un sistema de

partculas, as mismo se han dado a conocer las ecuaciones que representan el impulso y la

cantidad de movimiento, del impacto y la cantidad de movimiento lineal y angular para un

sistema de partculas, como tambin las transformaciones que sufren para poder cumplir con

las condiciones que se requieran para resolver los problemas. La informacin se completa

con las imgenes, grficas y ejemplos mostrados.


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BIBLIOGRAFIA

1.- Beer and Johnston, Mecnica Vectorial para Ingenieros. Dinmica.

Editorial Mc Graw Hill, Sptima Edicin

2.- Berford and Fowler. Dinmica, Mecnica para Ingeniera.

Editorial Pearson Prentice Hall

http://www.esi2.us.es/DFA/FISICATELECO/archivos/curso0405/apuntes/Cap05.pdf

http://es.wikipedia.org/wiki/Impulso

http://es.wikipedia.org/wiki/Cantidad_de_movimiento
http://www.esi2.us.es/DFA/FISICATELECO/archivos/curso0405/apuntes/Cap05.pdfhttp://es.wikipedia.org/wiki/Impulsohttp://es.wikipedia.org/wiki/Cantidad_de_movimientohttp://es.wikipedia.org/wiki/Cantidad_de_movimientohttp://es.wikipedia.org/wiki/Impulsohttp://www.esi2.us.es/DFA/FISICATELECO/archivos/curso0405/apuntes/Cap05.pdf

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