República Bolivariana de Venezuela

Ministerio del Poder Popular para la Educación Superior

Universidad Nacional Experimental Rafael María Baralt

Programa de Ingeniería en mantenimiento mecánico

Prof. Indira Rincón

Cátedra: Dinámica

Integrantes:

Edernelys Ocando CI: 23.479.082

Viviana Duarte CI: 16.212.495

Brenda García CI: 20.864.556

José Angulo CI: 20.850.093

Yessica Ramirez CI: 20.573.684

Altagracia, 04/12/12.

Cinética

de las

partícul

as:

Introducción.

La dinámica es la parte de la Mecánica que estudia las relaciones entre las

causas que originan los movimientos y las propiedades de los movimientos

originados. Las Leyes de Newton constituyen los tres principios básicos que

explican el movimiento de los cuerpos, según la mecánica clásica.

En la presente investigación se hablara de la segunda ley de Newton y se

aplicara el análisis del movimiento a partículas, se definirá la cantidad de

movimiento lineal en una partícula.

Esquema.

1._ Cinética de partículas: segunda ley de newton.

1.1._ Segunda ley de newton.

1.2._ Cantidad de movimiento de una partícula, razón de cambio de la cantidad del

movimiento lineal.

1.3._ Sistemas de unidades.

1.4._ Ecuación del movimiento.

1.5._ Equilibrio dinámico.

1.6._ Cantidad del movimiento angular de una partícula, razón de cambio de la

cantidad del movimiento angular.

1.7._ Ley de gravitación de newton.

1.8._ Leyes de Kepler en el movimiento planetario.

1.9._ Aplicación en mecánica celeste.

1._ Cinética de partículas: segunda ley de newton.

1.1._ Segunda ley de newton.

La segunda ley de Newton se puede enunciar de la manera siguiente: Si la

fuerza resultante que actúa sobre una partícula no es cero, la partícula tendrá una

aceleración proporcional a la magnitud de la resultante y en la dirección de esta

fuerza resultante. La segunda ley de movimiento de Newton se comprende mejor

al imaginar el siguiente experimento: una partícula se somete a una fuerza F, de

dirección constante y magnitud constante F1. Bajo la acción de esa fuerza, se

observa que la partícula se mueve en línea recta y en la dirección de la fuerza). Al

determinar la posición de la partícula en diferentes instantes, se encuentra que su

aceleración tiene una magnitud constante a1. Si el experimento se repite con

fuerzas F2, F3, o de diferente magnitud o dirección, se descubre que cada vez que

la partícula se mueve en la dirección de la fuerza que actúa sobre ella y que las

magnitudes a1, a2, a3 de las aceleraciones son proporcionales a las magnitudes

F1, F2, F3, de las fuerzas correspondientes.

F1a1

=F2a2

=F3a3

=constante

El valor constante que se obtiene para el cociente de las magnitudes de las

fuerzas y aceleraciones es característico de la partícula que se considera; se

denomina la masa de la partícula y se denota mediante m. Cuando sobre una

partícula de masa m actúa una fuerza F, la fuerza F y la aceleración a de la

partícula deben satisfacer entonces la relación.

∑ F=ma Ecu. (12.1)

Esta relación proporciona una formulación completa de la segunda ley de

Newton; no sólo expresa que la magnitud de F y a son proporcionales, sino

también (puesto que m es un escalar positivo) que los vectores F y a tienen la

misma dirección. Debe advertirse que la ecuación (12.1) sigue cumpliéndose

cuando F no es constante sino que varía con el tiempo de magnitud o dirección.

Las magnitudes de F y a permanecen proporcionales, y los dos vectores tienen la

misma dirección en cualquier instante determinado. Sin embargo, en general, no

son tangentes a la trayectoria de la partícula. Cuando una partícula se somete de

manera simultánea a varias fuerzas, la ecuación (12.1) debe sustituirse por:

∑ F=ma Ecu. (12.2)

Donde ∑F representa la sumatoria, o resultante, de todas las fuerzas que

actúan sobre la partícula. Debe notarse que el sistema de ejes con respecto al

cual se determina la aceleración a no es arbitrario. Estos ejes deben tener una

orientación constante con respecto a las estrellas, y es necesario que su origen

esté unido al Sol† o se mueva con velocidad constante con respecto al Sol. Un

sistema de ejes de estas características recibe el nombre de sistema de referencia

newtoniano.† Un sistema de ejes unido a la Tierra no constituye un sistema de

referencia newtoniano, ya que la Tierra gira con respecto a las estrellas y está

acelerada con respecto al Sol. Sin embargo, en la mayoría de las aplicaciones de

ingeniería, la aceleración a puede determinarse con respecto a los ejes unidos a la

Tierra y las ecuaciones (12.1) y (12.2) se utilizan sin ningún error apreciable. Por

otro lado, estas ecuaciones no se cumplen si a representa una aceleración relativa

medida con respecto a ejes en movimiento, tales como los ejes unidos a un

automóvil acelerado o a una pieza de maquinaria rotatoria.

Se observa que si la resultante ∑F de las fuerzas que actúan sobre la

partícula es cero, se deduce de la ecuación (12.2) que la aceleración a de la

partícula también es cero, Si la partícula se encuentra inicialmente en reposo (V 0=

0) con respecto al sistema de referencia newtoniano utilizado, así se mantendrá en

reposo (v = 0). Si en un principio se movía con una velocidad V 0, la partícula

mantendrá una velocidad constante v = V 0; esto es, se moverá con velocidad

constante V 0en una línea recta. Esto es el enunciado de la primera ley de Newton

(sección 2.10). De tal modo, la primera ley de Newton constituye un caso particular

de la segunda ley y puede omitirse de los principios fundamentales de la

mecánica.

La Segunda Ley de Newton se puede resumir como sigue: La aceleración

de un objeto es directamente proporcional a la fuerza neta que actúa sobre él, e

inversamente proporcional a su masa.

La dirección de la aceleración es la misma de la fuerza aplicada.

A=f/m.

A representa la aceleración, m la masa y F la fuerza neta. Por fuerza neta

se entiende la suma vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo.

ACELERACIÓN, FUERZA NETA

La Primera ley de Newton afirma que en ausencia de fuerza neta sobre un

cuerpo, éste permanece reposo, o si está en movimiento, continúa moviéndose

con velocidad constante (conservando su magnitud y dirección). Pero, ¿qué

sucede si una fuerza actúa sobre un cuerpo? La velocidad debe cambiar, o sea,

una fuerza neta origina una aceleración.

La relación entre aceleración y fuerza podemos encontrarla en experiencias

cotidianas. Pensemos que empujamos un carrito de supermercado. La fuerza neta

que se ejerce sobre el carrito es la fuerza que yo aplico menos la fuerza de fricción

en las ruedas. Si la fuerza neta es F, la aceleración será a, si la fuerza es 2F, la

aceleración será 2a, y así sucesivamente. Por tanto, la aceleración de un cuerpo

es directamente proporcional a la fuerza neta aplicada. Pero la aceleración

depende también de la masa del objeto. Si mantengo la fuerza neta F y aumento

la masa al doble, la aceleración será a/2.

O sea, podemos afirmar:

A=F/M

Notemos que mediante esta segunda ley podemos dar una definición más

precisa de fuerza, como una acción capaz de acelerar un objeto. Cuando la masa

está en kilogramos y la aceleración en metros por segundo al cuadrado, la unidad

de fuerza se llama Newton(N), 1 N = 1 kg/S2 .

En el sistema inglés, la unidad de fuerza es la libra. Se define como el peso

(que es una fuerza) de un cuerpo cuya masa es 0.45359237 kg en determinado

lugar de la Tierra en el que la aceleración de gravedad sea 32.1734 pies/S2

EJEMPLO:

¿Qué fuerza neta se necesita para desacelerar uniformemente a un

automóvil de 1500 kg de masa desde una velocidad de 100 km/h. hasta el reposo,

en una distancia de 55 m?

SOLUCIÓN:

Usamos F = ma. Primero debemos calcular la aceleración a. Suponemos

que el movimiento es a lo largo del eje +x. La velocidad inicial es V 0= 100 km/h =

28 m/s, la velocidad final V 0 = 0, y la distancia recorrida x = 55 m.

De la ecuación cinemática v2 = v02 + 2ax, despejamos a:

a = (v2 - v02)/2x = [0 - (28m/s)2]/ (2x55m) = - 7.1 m/S2.

Luego, la fuerza neta necesaria es entonces:

F = ma = (1500 kg) (-7.1m/s2) - 1.1x104 N.

1.2._ Cantidad de movimiento de una partícula, razón de cambio de la

cantidad del movimiento lineal.

Si en la ecuación ∑F=ma se remplaza a por dv/dt, y se escribiría como:

F=m (dv/dt) o en caso de ser constante la masa como:

∑F=d (mv)/dt.

El vector mv se denominará como la cantidad de movimiento lineal de la

partícula y se denotará por L.

L=mv

Al sustituir mv por L en la ecuación tenemos que:

∑F=dL/dt

Esta ecuación expresa que: la resultante de las fuerzas que actúan sobre la

partícula es igual a la razón de cambio de la cantidad de movimiento lineal de la

partícula. Así fue como Newton enunció originalmente la segunda ley de

movimiento.

Si la razón de cambio de la cantidad de movimiento lineal mv es cero

cuando ∑F=0, se dice que: cuando la fuerza resultante que actúa sobre una

partícula es cero, la cantidad de movimiento lineal de la partícula permanece

constante, tanto en magnitud como en dirección. Este es el principio de la

conservación de la cantidad de movimiento lineal, el cual puede reconocerse como

un enunciado alternativo de la primera ley de Newton.

Si se reemplaza la aceleración a por la derivada dv/dt en la ecuación

(12.2), se escribe:

Ecu. (12.2) ∑ F=ma

Reemplazando:

∑ F=m dvdt

O, ya que la masa m de la partícula es constante,

∑ F= ddt

(mv ) Ecu. (12.3)

El vector mv se denomina como la cantidad de movimiento lineal, o

simplemente cantidad de movimiento de la partícula. Tiene la misma dirección que

la velocidad de la partícula, y su magnitud es igual al producto de la masa m y la

velocidad v de la partícula (figura 12.3). La ecuación (12.3) expresa que la

resultante de las fuerzas que actúan sobre la partícula es igual a la razón de

cambio de la cantidad de movimiento lineal de la partícula. En esta forma fue que

Newton enunció originalmente la segunda ley de movimiento. Al denotar por L la

cantidad de movimiento lineal de la partícula,

L=mv

Y por L˙ su derivada con respecto a t, es posible escribir la ecuación

(12.3) en la forma alternativa.

∑ F=L̇

Debe notarse que la masa m de la partícula se supone constante en las

ecuaciones (12.3) a (12.5). La ecuación (12.3) o (12.5) no debe entonces usarse

para resolver problemas que impliquen el movimiento de cuerpos, como cohetes,

que ganan o pierden masa. Los problemas de ese tipo se considerarán en la

sección 12.12.† Se desprende de la ecuación (12.3) que la razón de cambio de la

cantidad de movimiento lineal mv es cero cuando ∑F = 0. De tal modo, si la fuerza

resultante que actúa sobre una partícula es cero, la cantidad de movimiento lineal

de la partícula permanece constante, tanto en magnitud corno en dirección. Éste

es el principio de conservación de la cantidad de movimiento lineal para una

partícula, el cual puede reconocerse como un enunciado alternativo de la primera

ley de Newton (sección 2. 10).

1.3._ Sistemas de unidades.

Sistema Internacional de unidades (SI) Sistema de uso común en Estados

Unidos

F=ma F=ma

1N=(1kg)(1m/s2)=1kg.m/s2 1lb=(1slug)(1ft/s2)

Si despejamos la masa de la ecuación:

1slug=1lb/(1ft/s2)=1lb.s2/ft

W=mg g=9.81m/s2 W=mg g=32.2ft/s2

W=(1kg)( 9.81m/s2)=9.81N W=(1lb.s2/ft)( 32.2ft/s2)=32.2lb

mv=(kg)(m/s)=kg.m/s mv=( lb.s2/ft)(ft/s)=lb.s

Al utilizar la ecuación fundamental F=ma, las unidades de fuerza, masa,

longitud y tiempo no pueden elegirse de manera arbitraria. Si eso ocurriera, la

magnitud de la fuerza F que se requiere para proporcionar una aceleración “a” a la

masa m no sería numéricamente igual al producto ma; sólo sería proporcional a

este producto. En consecuencia, se pueden elegir tres o cuatro unidades de

manera arbitraria, pero se debe escoger la cuarta unidad de manera que se

satisfaga la ecuación F = ma. Se dice entonces que las unidades forman un

sistema de unidades cinéticas consistentes.

Suelen utilizarse dos sistemas de unidades cinéticas consistentes: el

Sistema Internacional de Unidades (unidades del 5.11) y unidades utilizadas

comúnmente en Estados Unidos. Ambos sistemas se estudiaron en detalle en la

sección 1.3 y se describen sólo de manera breve en esta sección.

Sistema Internacional de Unidades (unidades del SI).

En este sistema, las unidades básicas son las de longitud, masa y

tiempo, y se denominan respectivamente, el metro (m), el kilogramo

(kg) y el segundo (s). Las tres se definen en forma arbitraria (sección

1.3). La unidad de fuerza es una unidad derivada. Se denomina

Newton (N) y se define como la fuerza que produce una aceleración

de 1 m/s 2 a una masa de 1 kg (figura 12.4). De la ecuación (12.1) se

describe:

1 N = (1 kg)(1 m/s2) =1 kg * m/s2.

Se afirma que las unidades del SI forman un sistema absoluto de

unidades. Lo anterior significa que las tres unidades básicas elegidas

son independientes de la ubicación donde se efectúan las

mediciones. El metro, el idlogramo y el segundo pueden ser

utilizados en cualquier parte sobre la Tierra; incluso pueden ser

usados en otro planeta. Y siempre tendrían el mismo significado.

El peso W de un cuerpo, o la fuerza de gravedad que se ejerce sobre

ese cuerpo, al igual que otra fuerza, se expresará en newtons.

Puesto que un cuerpo sometido a su propio peso adquiere una

aceleración igual a la aceleración de la gravedad g, se deduce de la

segunda ley de Newton que la magnitud W del peso de un cuerpo de

masa m es:

W=mg

Conversión de unidades.

Las conversiones de las unidades del sistema de uso común en

Estados Unidos a las del Sistema Internacional de Unidades, y

viceversa, se estudió en la sección 1.4. Hay que recordar que los

factores de conversión que se obtuvieron para las unidades de

longitud, fuerza y masa, son, respectivamente,

Longitud: 1 ft = 0.3048 m

Fuerza: 1 lb = 4.48 N

Masa: 1 slug = 1lb.S2/ft= 14.59 kg.

Aunque no puede utilizarse como una unidad de masa consistente, la masa

de una libra estándares:

1 libra/masa = 0.4536 kg

Es posible utilizar esta constante para determinar la masa en unidades del

SI (kilogramos) de un cuerpo que se ha caracterizado por su peso en unidades de

uso común en Estados Unidos (libras).

1.4._ Ecuación del movimiento.

Considérese una partícula de masa m sobre la que actúan varias fuerzas se

tiene de la ecuación 12.2 que la segunda ley de newton puede representarse de la

forma:

∑F= ma (12.2)

Aquí se relacionan las fuerzas que actúan sobre una partícula y el vector

ma (ver fig. 12.8) , sin embargo para resolver los problemas que implican el

movimiento de una partícula se encontrara más conveniente sustituir la ecuación

12.2 por ecuaciones equivalentes que contienen productos escalares.

Componentes rectangulares

Al descomponer cada fuerza F y la aceleración a en componentes

rectangulares, se escribe:

∑ ( f x i¿+ f y j+f zk)=m(ax i+a y j+az k)¿

De lo que se deduce:

∑ fx=max∑ fy=ma y∑ fz=maz Ecu. 12.8.

Recordando que en la sección 11.11 en que las componentes de la

aceleración son iguales a la segunda derivada de las coordenadas de la partícula,

se tiene que:

∑ f x=mx∑ f y=my∑ f z=mz Ecu. 12.8.

Un ejemplo de esto puede ser el proyectil, ya que si se ignora la resistencia

del aire, la única fuerza que actuara sobre el proyectil después de ser lanzado

será su propio peso W= Wj (por estar en el eje de las y) por lo tanto sus

ecuaciones que definan su movimiento, serán:

mx=0my=−wmz=0

Y las de aceleración serán:

x=0 y=−wm

=−g z=0

En donde la variable g pertenece a la gravedad y sabemos que es de 9.81

m/s^2 o 32.2 ft/s^2. Ya teniendo las ecuaciones procedemos a integrar para poder

conocer el desplazamiento y velocidad del proyectil en cualquier instante que se

indique.

Componentes tangencial y normal

Al descomponer las fuerzas y aceleración de las partículas y la aceleración

de la partícula en componentes a lo largo de la tangente a la trayectoria (en

dirección de movimiento) y la normal (hacia el interior de la trayectoria) (figura

12.9) y sustituir la ecuación (12.2), se obtiene dos ecuaciones escalares:

∑ ft=mar

Al sustituir a_ (t) y a_n de las ecuaciones, se tiene:

∑ ft=m dydt

∑ fn=m v2

p

1.5._ Equilibrio dinámico.

Al volver a la ecuación (12.2) y trasponer el miembro del lado derecho, se

escribe la segunda ley de Newton en la forma alternativa:

∑ F−ma=0 Ecu. (12.10)

En la que se expresa que si se suma el vector - ma a las fuerzas que

actúan sobre la partícula, se obtiene un sistema de vectores equivalente a cero

(figura 12. 10). El vector - ma, de magnitud ma y de dirección opuesta a la de la

aceleración, se denomina vector de inercia. De tal modo, es factible considerar

que la partícula está en equilibrio bajo la acción de las fuerzas dadas y del vector

de inercia. Se afirma que la partícula está en equilibrio dinámico, y el problema

que se considera puede resolverse mediante los métodos que se desarrollaron

antes en estática.

En el caso de fuerzas coplanares, todos los vectores que se muestran en la

figura 12.10, incluyendo al vector de inercia, pueden trazarse uno después del otro

para formar un polígono vectorial cerrado. También es posible igualar a cero la

suma de los componentes de todos los vectores en la figura 12.10, incluyendo de

nuevo al vector de inercia. En consecuencia, utilizando componentes

rectangulares, se escribe:

∑ F x=0 ; ∑ F y=0. Incluyendo el vector de inercia

Cuando se usan las componentes tangencial y normal, resulta más

conveniente representar el vector de inercia por medio de sus dos componentes

−maty −manen el mismo dibujo (figura 12.11). La componente tangencial del

vector de inercia ofrece una medida que la resistencia de la partícula presenta a

un cambio en la velocidad, en tanto que su componente normal (también llamada

fuerza centrífuga) representa la tendencia de la partícula a abandonar su

trayectoria curva. Es necesario advertir que cualquiera de estas dos componentes

pueden ser cero en condiciones especiales: 1) si la partícula parte del reposo, su

velocidad inicial es cero y la componente normal del vector de inercia es cero en t

t= 0; 2) si la partícula se mueve con velocidad constante a lo largo de su

trayectoria, la componente tangencial del vector de inercia es cero y sólo es

necesario considerar su componente normal.

Debido a que mide la resistencia que la partícula ofrece cuando se trata de

ponerla en movimiento, o cuando se intenta cambiar las condiciones de este

mismo, los vectores de inercia a menudo se denominan fuerzas de inercia. Sin

embargo, las fuerzas de inercia no son similares a las que se encuentran en

estática, que son fuerzas de contacto o fuerzas gravitacionales (pesos). Por

consiguiente, muchas personas objetan el uso de la palabra “Fuerza” cuando se

refieren al vector −ma, o incluso evitan el concepto de equilibrio dinámico. Otros

afirman que las fuerzas de inercia y las fuerzas reales, como las gravitacionales,

afectan nuestros sentidos en la misma forma y no es posible distinguirlas por

mediciones físicas. Un hombre que viaja en un elevador que se acelera hacia

arriba puede sentir que su peso se ha incrementado de manera repentina; y

ninguna medida efectuada dentro del elevador podría establecer si éste en verdad

está acelerado o si se ha incrementado de manera repentina la fuerza de atracción

ejercida por la Tierra. Se ha llegado a las soluciones de los problemas resueltos

de este texto mediante la aplicación directa de la segunda ley de Newton, como se

ilustra en la figura 12.8 y 12.9, y no mediante el método de equilibrio dinámico.

Una forma alternativa de escribir la segunda ley de Newton es:

∑ f−ma=0

En la que expresa que si se suma el vector ma a las fuerzas que actúan

sobre la partícula, se obtiene un sistema de vectores igual a cero. Al cumplirse

esto se afirma que la partícula está en equilibrio dinámico y se puede resolver

mediante los métodos utilizados en la estática. En consecuencia, utilizando

componentes rectangulares, se escribe:

∑ fx=0∑ fy=0(Aquí también estamos incluyendo el vector inercia) fig. 12.11.

Cuando se usan las componentes tangencial y normal, resulta más

conveniente representar el vector inercia por medio de sus dos componentes

_ma_t y -ma_n en el mismo dibujo. El componente tangencial del vector ofrece

una medida que la resistencia de la partícula presenta a un cambio en la

velocidad, en tanto la componente normal representa la tendencia de la partícula a

abandonar su trayectoria curva.

1.6._ Cantidad del movimiento angular de una partícula, razón de cambio de

la cantidad del movimiento angular.

En mecánica newtoniana, el momento angular de una partícula o masa

puntual con respecto a un punto O del espacio se define como el momento de su

cantidad de movimiento P con respecto a ese punto. Normalmente se designa

mediante el símbolo L. Siendo R el vector que une el punto O con la posición de la

masa puntual, será:

L=r ×P=r ×mv

El vector L es perpendicular al plano que contiene R y V, en la dirección

indicada por la regla del producto vectorial o regla del sacacorchos y su módulo o

intensidad es:

L=mrϑ sinθ=Pr sin θ=Pbp

Esto es, el producto del módulo del momento lineal por su brazo ( b pen el

dibujo), definido éste como la distancia del punto respecto al que se toma el

momento a la recta que contiene la velocidad de la partícula.

Momento angular y momento dinámico

Derivemos el momento angular con respecto al tiempo:

dLdt

= ddt

(r× P )=( drdt ×P)+(r× dPdt )

El primero de los paréntesis es 0 ya que la derivada de R con respecto al

tiempo no es otra cosa que la velocidad y, como el vector velocidad es paralelo al

vector cantidad de movimiento P, el producto vectorial es cero. En cuanto al

segundo paréntesis, tenemos:

dLdt

=r × ddt

(mv )=r × (ma )

Donde a es la aceleración de la partícula, de modo que ma= F, es la fuerza

que actúa sobre ella. Puesto que el producto vectorial de por la fuerza es el

momento o momento dinámico aplicado a la masa, tenemos:

dLdt

=r ×F=M

Así, la derivada temporal del momento angular es igual al momento

dinámico que actúa sobre la partícula. Hay que destacar que en esta expresión

ambos momentos, L y M deberán estar referidos al mismo punto O.

1.7._ Ley de gravitación de newton.

En su ley de la gravitación universal Newton establece que dos partículas

de masa M y m, separadas una distancia r, se atraen mutuamente con fuerzas

constantes y opuestas F y ∑F dirigidas a lo largo de la línea que une dos

partículas.

F=G MmR2

G= constante universal llamada constante de gravitación.

66.73+- .03 x 10−12 m³/ Kg. s²

Al realizar un análisis sobre la tierra, la fuerza se sustituye por el peso (w) y

el radio de la tierra (R) por r.

w=mg=GMR2mòg=GM

R2

M= masa de la tierra

R= distancia desde el centro de la tierra a cualquier otro punto de la

superficie.

El producto de la constante de la gravitación G y la masa M de la tierra

puede expresarse como:

GM= g R²

g= 9.81 m/s²

r=6.37 x10−6m

La ley de la Gravitación Universal es una ley física clásica que describe la

interacción gravitatoria entre distintos cuerpos con masa. Ésta fue presentada por

Isaac Newton en su libro Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, publicado

en 1687, donde establece por primera vez una relación cuantitativa (deducida

empíricamente de la observación) de la fuerza con que se atraen dos objetos con

masa. Así, Newton dedujo que la fuerza con que se atraen dos cuerpos de

diferente masa únicamente depende del valor de sus masas y del cuadrado de la

distancia que los separa. También se observa que dicha fuerza actúa de tal forma

que es como si toda la masa de cada uno de los cuerpos estuviese concentrada

únicamente en su centro, es decir, es como si dichos objetos fuesen únicamente

un punto, lo cual permite reducir enormemente la complejidad de las interacciones

entre cuerpos complejos.

Así, con todo esto resulta que la ley de la Gravitación Universal predice que

la fuerza ejercida entre dos cuerpos de masas y separados una distancia es

proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado

de la distancia, es decir:

Dónde:

F es el módulo de la fuerza ejercida entre ambos cuerpos, y su dirección

se encuentra en el eje que une ambos cuerpos. G es la constante de la

Gravitación Universal.

Es decir, cuanto más masivos sean los cuerpos y más cercanos se

encuentren, con mayor fuerza se atraerán. El valor de esta constante de

Gravitación Universal no pudo ser establecido por Newton, que únicamente dedujo

la forma de la interacción gravitatoria, pero no tenía suficientes datos como para

establecer cuantitativamente su valor. Únicamente dedujo que su valor debería ser

muy pequeño. Sólo mucho tiempo después se desarrollaron las técnicas

necesarias para calcular su valor, y aún hoy es una de las constantes universales

conocidas con menor precisión. En 1798 se hizo el primer intento de medición

(véase el experimento de Cavendish) y en la actualidad, con técnicas mucho más

precisas se ha llegado a estos resultados:

1.8._ Leyes de Kepler en el movimiento planetario.

Las leyes de Kepler fueron enunciadas por Johannes Kepler para describir

matemáticamente el movimiento de los planetas en sus órbitas alrededor del Sol.

Aunque él no las describió así, en la actualidad se enuncian como sigue:

Primera ley (1609): Todos los planetas se desplazan alrededor del

Sol describiendo órbitas elípticas. El Sol se encuentra en uno de los

focos de la elipse.

Segunda ley (1609): el radio vector que une un planeta y el Sol barre

áreas iguales en tiempos iguales.

La ley de las áreas es equivalente a la constancia del momento angular, es

decir, cuando el planeta está más alejado del Sol (afelio) su velocidad es menor

que cuando está más cercano al Sol (perihelio). En el afelio y en el perihelio, el

momento angular L es el producto de la masa del planeta, su velocidad y su

distancia al centro del sol.

Tercera ley (1618): para cualquier planeta, el cuadrado de su período orbital

es directamente proporcional al cubo de la longitud del semieje mayor de su órbita

elíptica.

Donde, T es el periodo orbital (tiempo que tarda en dar una vuelta alrededor

del Sol), (L) la distancia media del planeta con el Sol y K  la constante de

proporcionalidad.

Estas leyes se aplican a otros cuerpos astronómicos que se encuentran en

mutua influencia gravitatoria, como el sistema formado por la Tierra y la Luna.

Las ecuaciones que gobiernan el movimiento d un satélite terrestre se

puede utilizar para describir el movimiento de la Luna alrededor de la Tierra. En

este caso, sin embargo, la masa de la Luna no es despreciable comparada con la

masa terrestre, y los resultados que se obtienen no son del todo precisos.

La teoría que se desarrolló en las secciones procedentes también se aplica

al estudio del movimiento de los planetas alrededor del Sol. Aunque se introduce

otro error al ignorar las fuerzas que los planetas ejercen entre sí. La aproximación

que se obtiene es excelente.

Las tres Leyes del movimiento planetario de Kepler se enuncian del modo

siguiente.

Cada planeta describe una elipse, con el Sol ubicado en uno de sus

focos.

El vector radio trazado desde el Sol hasta un planeta barre áreas

iguales en tiempos iguales.

Los cuadrados de tiempos periódicos de los planetas son

proporcionales a los cubos semimayores de sus órbitas.

1.9._ Aplicación en mecánica celeste.

Kepler fue el primero en desarrollar las leyes que rigen las órbitas a partir

de observaciones empíricas del movimiento de Marte apoyadas, en gran parte, en

observaciones astronómicas realizadas por Tycho Brahe. Años después, Newton

desarrolló su ley de gravitación basándose en el trabajo de Kepler.

Isaac Newton introdujo la idea de que el movimiento de los objetos en el cielo,

como los planetas, el Sol, y la Luna, y el movimiento de objetos en la Tierra, como

las manzanas que caen de un árbol, podría describirse por las mismas leyes de la

física. En este sentido él unificó la dinámica celeste y terrestre por eso su Ley de

gravitación se llama Universal.

Usando la ley de Newton de gravitación, se pueden demostrar las leyes de

Kepler. Esta demostración es fácil para el caso de una órbita circular y más difícil

para las órbitas elípticas, parabólicas e hiperbólicas. En el caso de la órbita de dos

cuerpos aislados, por ejemplo el Sol y la Tierra, encontrar la situación en un

momento posterior, conociendo previamente la posición y velocidad de la Tierra en

un momento inicial, se conoce como el (problema de los dos cuerpos) y está

totalmente resuelto, es decir, hay un conjunto de fórmulas que permiten hacer el

cálculo.

Si el número de cuerpos implicados es tres o más el problema no está

resuelto. La solución del problema de la n-cuerpo (que es el problema de

encontrar, dado las posiciones iniciales, masas, y velocidades de n cuerpos, sus

posiciones para cualquier instante) no está resuelto por la mecánica clásica. Sólo

determinadas simplificaciones del problema tienen solución general.

Los movimientos de tres cuerpos se pueden resolver en algunos casos

particulares. El movimiento de la Luna influido por el Sol y la Tierra refleja la

dificultad de este tipo de problemas y ocupó la mente de muchos astrónomos

durante siglos.

La mecánica celeste es una rama de la astronomía y la mecánica que tiene

por objeto el estudio de los movimientos de los cuerpos en virtud de los efectos

gravitatorios que ejercen sobre él otros cuerpos celestes. Se aplican los principios

de la física conocidos como mecánica clásica (Ley de la Gravitación Universal de

Isaac Newton). Estudia el movimiento de dos cuerpos, conocido como problema

de Kepler, el movimiento de los planetas alrededor del Sol, de sus satélites y el

cálculo de las órbitas de cometas y asteroides.

Después de que ha terminado la última etapa de los cohetes de

lanzamiento, los satélites terrestres y otros vehículos espaciales están sujetos sólo

a la atracción gravitacional de la Tierra.

F=GMmr2

=GMmu2

Donde M=masa de la Tierra, m=masa del vehículo, r=distancia del centro

de la Tierra al vehículo.

u= Ir

Se obtiene la ecuación diferencial:

(d2udθ2)+u=GMh2

Donde se observa que el miembro del lado derecho es una constante, al

resolver se tiene que:

1r=u=(GM /h2 )+C cos θ

Esta ecuación es la correspondiente a una sección cónica en las

coordenadas r y ɵ. El origen O se ubica en el centro de la Tierra.

La excentricidad se define como :ϵ=( CGM /h2 )= Ch

2

GM

Las constantes C y GM/h2 que caracterizan la trayectoria de un vehículo

espacial, se determinan a partir de la posición y velocidad del vehículo al principio

de su vuelo libre.

Al denotar el vector radio y la velocidad del vehículo al principio de su vuelo

libre como: ro y vo, al calcular el momento angular por masa unitaria (h) se obtiene

que:

h=ro2θo=¿ roθo¿

También se tiene que:GM=gR2, donde R es el radio de la Tierra

(6.37x106m ò 03960 mi) y g es la gravedad terrestre.

La constante C se obtiene fijandoθ=0 , r=r oen :C=(1 /ro )−(GM /h2 )

Periodo orbital

Una característica importante del movimiento de un satélite es el tiempo en que

recorre su órbita. Este tiempo se conoce como periodo orbital y se denota por T.

t=2πab /h

Conclusión.Esperamos que hayan entendido todo sobre este tema en común que es la

cinética de las partículas en la segunda ley de Newton ya que podemos decir que

es la aplicación de una fuerza a un cuerpo rígido no vinculado (por ejemplo, no

tiene ejes de rotación fijos preestablecidos) provocará una traslación de su centro

de masa y una rotación en torno a un eje que lo contenga. Esto último es así

debido a la condición de rigidez: dado que las partículas que componen al cuerpo

rígido deben conservar constantes sus distancias relativas, el único movimiento

que se puede superponer al de traslación del centro de masa y compatible con

esta exigencia, es el de una rotación en torno a un eje que pase por el centro de

masa.