Unidad 3. Medidas de tendencia central y dispersión

Presentación de la unidad

Para cualquier conjunto de datos estudiados es importante tener un resumen de la información y sus características. Esta información indica cómo se comporta la población de datos que tienes. Para resumir la información se utilizan dos tipos de valores que, en vez de representar cada uno de los datos, representan conjuntos de datos. Estos dos tipos de indicadores estadísticos son: las medidas de tendencia central, que muestran hacia qué valores se agrupan o acumulan los datos; y las medidas de dispersión, que de forma contraria a las anteriores, muestran cómo se dispersan o separan los datos.

En esta unidad:

Aplicarás el procedimiento para obtener las medidas de tendencia central y dispersión en datos agrupados y no agrupados.

Utiliza las medidas de tendencia central y dispersión para describir un conjunto de datos mediante la representación numérica y gráfica de la información obtenida en una muestra o población.

3.1. Medidas de tendencia central

Las medidas de tendencia central

Las medidas de tendencia central son los valores que representan un conjunto de datos de forma tal que te ayudan a saber dónde están acumulados los datos sin indicar cómo se distribuyen. Se llaman así porque tienden a ubicarse en la parte central del conjunto de datos. Las medidas de tendencia central más comunes son: la media aritmética (conocida como media o promedio), la mediana y la moda.

3.1.1. Media

Media aritmética

La media aritmética o, simplemente, media, se denota por x la letra μ según se calcule en una muestra o en la población, respectivamente. La media es resultado de dividir la suma de todos los valores de los datos entre el número total de datos.

La manera como se organizan los datos: no agrupados y agrupados (por frecuencias o intervalos), determina la expresión de la fórmula para calcular la media.

Fórmula para datos no agrupados

Los datos no agrupados son aquellos datos que se organizan en una tabla de datos, es decir, cada valor se representa de manera individual. Las fórmulas para calcular la media son:

En estas fórmulas la diferencia radica en que, el total de la población se representa con la letra N y el total de la muestra se representa con la letra n.

Fórmula para datos agrupados en frecuencias

Los datos agrupados en frecuencias son aquellos que se organizan en una tabla de frecuencias, es decir, las tablas que contienen, en una columna, el valor de la variable y, en otra columna, la frecuencia o el número de veces que se repite cada valor en una serie de datos.

Las fórmulas para calcular la media con los datos organizados de esta manera son:

Fórmula para datos agrupados en intervalos

Los datos agrupados en intervalos son los que se organizan dentro de un rango establecido entre un límite inferior y un límite superior. Recuerda que las tablas de intervalos muestran el número de datos que abarca cada intervalo (frecuencia por intervalo). Las fórmulas para calcular la media con los datos organizados de esta manera son:

Los siguientes documentos te ayudarán a comprender cómo se usan las fórmulas, da clic en los iconos para descargarlos.

Reglas de las sumatorias

Ejemplo de media en datos no agrupados

Ejemplo de media en datos agrupados por frecuencias

Ejemplo de media en datos agrupados por intervalos

Las medidas de tendencia central

Las medidas de tendencia central son los valores que representan un conjunto de datos de forma tal que te ayudan a saber dónde están acumulados los datos sin indicar cómo se distribuyen. Se llaman así porque

tienden a ubicarse en la parte central del conjunto de datos. Las medidas de tendencia central más comunes son: la media aritmética (conocida como media o promedio), la mediana y la moda.

Actividad 1: Medidas de tendencia central. Media

Para realizar las actividades de esta unidad, utilizarás los problemas que resolviste en la Actividad 2:

Frecuencias de la Unidad 2. Lo recomendable es que trabajes con las tablas que ya habías elaborado, si no

tienes el archivo puedes descargarlo a continuación.

Da clic en el icono para descargar el documento Frecuencias.

Con los datos de este problema, tendrás que obtener las medidas de tendencia central y dispersión que revisarás

a lo largo de la unidad, por lo tanto, esta actividad está dividida en seis momentos.

1. Es importante que la actividad la realices paso a paso, ya que si tienes dudas sobre el uso de las

fórmulas, puedes consultarlas a tiempo con tu Facilitador(a); además, tendrás que entregar tu trabajo al

final del tema. Analiza el problema y selecciona la fórmula adecuada para obtener la media aritmética.

2. Si tienes dudas sobre el uso de la fórmula que seleccionaste, puedes consultar a tus compañeros(as) y/o a

tu Facilitador(a). Para ello, utiliza el foro Medidas de tendencia central, donde puedes publicar todas tus

inquietudes sobre el tema y comentar las de tus compañeros(as).

3. Guarda tu documento como EB_U3_MTC_XXYZ, en formato Word 97-2003. Sustituye las XX por las

dos primeras letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la inicial de

tu apellido materno. Recuerda que tu archivo no debe pesar más de 4 MB.

Aún no debes enviar tu documento, recuerda tenerlo a la mano para realizar la Actividad 2. No olvides incluir la

fórmula y las operaciones que realices.

Para ingresar al foro: En la ruta (parte superior izquierda del aula) da clic en Estadística. Se enlistarán las

actividades, da clic en Foro: Medidas de tendencia central.

3.1.2. Mediana

Mediana

La segunda medida de tendencia central es la mediana, esta se define como:

El valor que divide en dos partes iguales una serie de datos, es decir, la cantidad de datos que quedan a la

derecha de la mediana es igual a la cantidad de datos que quedan a la izquierda. Se representa por Me.

Para calcular la mediana, debes hacer lo siguiente:

Para cuando la cantidad de valores es impar

Para cuando la cantidad de valores es par

Ordena los valores de menor a mayor y busca el

valor del centro.

Por ejemplo:

1. Supón que tienes los siguientes valores:

2, 4, 0, 8, 6, 4, 7, 1, 1, 0, 8, 6, 9 2. Ordena:

Ordena los valores de menor a mayor, busca y

promedia los valores del centro.

Por ejemplo:

1. Supón que tienes los siguientes valores:

5, 7, 2, 3, 1, 6, 9, 8, 6, 4, 7, 1 ,3, 2

0, 0, 1, 1, 2, 4, 4, 6, 6, 7, 8, 8, 9

3. El dato que divide a la mitad es:

4, por lo tanto Me: 4

2. Ordena:

1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 9

3. Busca y promedia los datos del centro:

4+5=9/2= 4.5, por lo tanto Me: 4.5

Mediana en datos agrupados por intervalos

Cuando quieres calcular la mediana en datos agrupados por intervalos, tienes que buscar el intervalo

donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas, es decir, es

necesario localizar el intervalo donde se encuentre N/2, para ello utiliza la siguiente fórmula:

Lee el documento Mediana por intervalos. Ejemplo de mediana por intervalos

Actividad 2: Medidas de tendencia central. Mediana

1. Retoma el problema que utilizaste en la actividad anterior para obtener la media

aritmética.

2. Con los datos obtenidos, calcula la mediana, incluyendo fórmula y las operaciones que

realices.

3. Recuerda que en el foro Medidas de tendencia central, puedes plantear tus dudas sobre

el tema.

4. La nomenclatura que debe tener tu archivo es la misma que se definió en la actividad

anterior, EB_U3_MTC_XXYZ. Sustituye las XX por las dos primeras letras de tu

primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu

apellido materno. Recuerda que tu archivo no debe pesar más de 4 MB.

Nota: Todavía no debes enviar tu documento, consérvalo.

3.1.3. Moda

La tercera medida de tendencia central es la moda.

Donde:

Li es el límite inferior del intervalo donde se encuentra la

mediana.

es la división de las frecuencias absolutas entre 2.

Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior al intervalo de la

mediana.

fi es la frecuencia absoluta del intervalo donde se

encuentra la mediana.

ai es la amplitud del intervalo.

La moda es el valor que tiene mayor frecuencia absoluta, es decir, el valor que se repite más veces en una serie

de datos. La moda se denota por Mo.

Cuando todos los valores de la distribución de datos tienen igual número de frecuencia, se dice que no hay moda

Moda en datos agrupados por intervalos

Cuando la distribución de datos es por intervalos de clase, primero se localiza el intervalo que tiene mayor

frecuencia absoluta utilizando la siguiente fórmula para calcular la moda:

Donde: Li es el límite inferior del intervalo modal. fi es la frecuencia absoluta del intervalo modal. fi—1 es la frecuencia absoluta del intervalo anterior al intervalo modal. fi-+1 es la frecuencia absoluta del intervalo siguiente al intervalo modal. ai es la amplitud del intervalo.

Lee el documento Moda por intervalos de clase. Ejemplo de moda por intervalos

Actividad 3: Medidas de tendencia central. Moda

1. Calcula la moda en el problema Frecuencias. Recuerda que ya debiste haber obtenido la media y

la mediana.

2. Si tienes dudas, plantéalas en el foro Medidas de tendencia central, para que sean resueltas de

manera grupal.

3. Conserva el nombre que ya le habías dado a tu documento, EB_U3_MTC_XXYZ. Súbelo a la

base de datos para que tus compañeros(as) y tu Facilitador(a) lo revisen y te retroalimenten.

Recuerda que tu archivo no debe pesar más de 4 MB.

4. Revisa los trabajos de tus compañeros(as) y coméntalos.

Para subir tu documento: En la ruta(parte superior izquierda del aula) da clic en Estadística. Se

enlistarán las actividades, da clic en Actividad 3: Medidas de tendencia central.

3.2. Medidas de dispersión

A diferencia de las medidas de tendencia central, que miden acumulaciones en un solo punto, las medidas de

dispersión miden el grado de separación o alejamiento que tiene una variable estadística con respecto a una

medida de posición o tendencia central. Dicho grado de separación indica lo representativa que es la medida de

posición con respecto al conjunto total de datos. A mayor dispersión, menor representatividad de la medida de

posición y viceversa.

3.2.1. Recorrido

El recorrido representa la diferencia que hay entre el primero y el último valor de la variable, también se le

conoce como rango y se denota por Re.

La fórmula para calcularlo es:

Por ejemplo:

Si tienes la siguiente distribución de datos: 69, 68, 52, 57, 69, 71, 78, 52, 74, 74, 69, 52, 76, calcula el rango,

sustituyendo los valores Re=78-52=26

Actividad 4: Medidas de tendencia central. Recorrido

Las actividades de este tema se desarrollarán de manera similar que las actividades del tema anterior. En

esta actividad también está disponible un espacio para que plantees tus dudas sobre le tema y el uso de las

fórmulas, este foro se titula Medidas de dispersión.

1. Con los datos del problema Frecuencias (el cual trabajaste en actividades anteriores), calcula el

recorrido de la distribución.

2. Guarda tu documento como EB_U3_MD_XXYZ. Sustituye las XX por las dos primeras letras de

tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido

materno. Recuerda que el peso de tu archivo no debe ser mayor a 4 MB.

3. Conserva tu archivo porque lo utilizarás en las Actividades 5 y 6. No olvides incluir las fórmulas

y las operaciones que realizas.

Para ingresar al foro: En la ruta (parte superior izquierda del aula) da clic en Estadística. Se

enlistarán las actividades, da clic en Foro: Medidas de tendencia central.

3.2.2. Varianza

La varianza mide la mayor o menor dispersión de los valores de la variable respecto a la media aritmética.

Siempre es mayor o igual que cero y menor que infinito. Se define como la media de los cuadrados de las

diferencias del valor de los datos menos la media aritmética de éstos.

La fórmula de la varianza para datos no agrupados es:

Varianza para datos agrupados por intervalos

La fórmula para calcular la varianza en datos agrupados por intervalos es la siguiente

Actividad 5: Medidas de dispersión. Varianza

1. Ya que obtuviste el recorrido de la distribución de datos del problema Frecuencias, calcula la

varianza, incluyendo la fórmula y las operaciones.

2. Conserva tu archivo como EB_U3_MD_XXYZ. Sustituye las XX por las dos primeras letras de tu

primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno.

3. Recuerda, si tienes dudas puedes comentarlas en el foro Medidas de dispersión.

Nota: Aún no envíes tu tarea. Hace falta trabajar una medida más.

Para ingresar al foro: En la ruta (parte superior izquierda del aula) da clic en Estadística. Se enlistarán las

actividades, da clic en Foro: Medidas de dispersión.

3.2.3. Desviación típica

La desviación típica o estándar muestra qué tan alejado está un dato del valor de la media aritmética, es decir, la

diferencia que hay entre un dato y la media aritmética.

Se denota como S o según se calcule en una muestra o en toda la población, respectivamente.

Se define como la raíz cuadrada positiva de la varianza. Se expresa mediante las siguientes fórmulas:

Para ver un ejemplo de la aplicación de la fórmula, descarga los documentos Desviación estándar en datos

no agrupados y Desviación estándar en datos agrupados por intervalos.

Ejemplo de desviación estándar en datos no agrupados

Ejemplo de desviación estándar en datos agrupados por intervalos

Actividad 6: Medidas de dispersión. Desviación típica

1. Con los datos de la varianza que obtuviste en la actividad anterior, calcula la desviación típica en

el mismo problema.

2. Conserva el nombre que ya le habías dado a tu documento (EB_U3_MD_XXYZ) y compártelo

en la base de datos para que tus compañeros(as) y tu Facilitador(a) lo revisen y te retroalimenten.

3. Revisa los trabajos de tus compañeros(as) y coméntalos.

Recuerda que tu documento debe incluir las fórmulas y operaciones correspondientes a cada medida.

Para subir tu documento: En la ruta (parte superior izquierda del aula) da clic en Estadística. Se

enlistarán las actividades de la unidad, da clic en la Actividad 6: Medidas de dispersión.

Autoreflexiones 3

En adelante como usaré las técnicas estadísticas aprendidas en el curso para facilitar mi vida laboral, escolar y personal.