UNIDAD 3. PRUEBAS DE HIPÓTESIS CON UNA MUESTRA

INSTITUTO TECNOLGICO SUPERIOR

DE ZONGOLICA Campus: Orizaba

UNIDAD 3. PRUEBAS DE HIPTESIS CON UNA MUESTRA

IGE

Estadstica Inferencial I

Elabor: MC.I.Q. Rosa Evelia Gmez Eugenio 1

UNIDAD 3

PRUEBAS DE HIPTESIS CON UNA MUESTRA

3.1 Metodologa para la prueba de hiptesis.

Una hiptesis estadstica es una aseveracin o conjetura respecto a una o ms

poblaciones.

Metodologa para la prueba de hiptesis.

Para saber verdad o falsedad de una hiptesis estadstica, se toma una

muestra aleatoria de la poblacin de inters y se utilizan los datos contenidos en ella

para proporcionar evidencia que respalde o no la hiptesis. La evidencia de la

muestra que es inconsistente con la hiptesis planteada conduce al rechazo de la

misma.

El rechazo de una hiptesis implica que fue refutada por la evidencia de la

muestra, es decir, que existe una pequea probabilidad de obtener la informacin

muestral observada cuando, de hecho, la hiptesis es verdadera. Lo anterior implica

que cuando el analista de datos formaliza la evidencia experimental con base en la

prueba de hiptesis, es muy importante el planteamiento formal de la hiptesis.

3.2 Hiptesis nula y alternativa.

La estructura de la prueba de hiptesis se establece usando el trmino

hiptesis nula, el cual se refiere a cualquier hiptesis que se desea probar y se denota

con H0. El rechazo de H0 conduce a la aceptacin de una hiptesis alternativa, que se

denota con H1. La hiptesis alternativa H1 por lo general representa la pregunta que

se responder o la teora que se probara, por lo que su especificacin es muy

importante. La hiptesis nula H0 anula o se opone a H1 y a menudo es el

complemento lgico de H1. Sin embargo, pueden ocurrir dos cosas:

Rechazar H0 a favor de H1 debido a evidencia suficiente en los datos

No rechazar H0 debido a evidencia insuficiente en los datos.

Prueba de una hiptesis estadstica. El estadstico de prueba.

Para ilustrar mejor algunos conceptos, estableceremos un ejemplo del que partiremos:

Se sabe que, despus de un periodo de dos aos, cierto tipo de vacuna contra un

virus que produce resfriado ya solo es 25% eficaz. Suponga que se eligen 20

personas al azar y se les aplica una vacuna nueva, un poco ms costosa, para

determinar si protege contra el mismo virus durante un periodo ms largo. Si ms de 8




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individuos de los que reciben la nueva vacuna superan el lapso de 2 aos sin contraer

el virus, la nueva vacuna se considerara superior a la que se usa en la actualidad.

La hiptesis nula de que la nueva vacuna es igual de eficaz despus de un periodo de

2 aos que la que se utiliza en la actualidad. La hiptesis alternativa es que la nueva

vacuna es mejor, y esto equivale a poner a prueba la hiptesis de que el parmetro

binomial para la probabilidad de un xito en un ensayo dado es p = , contra la

alternativa de que p > .

Esto por lo general se escribe como se indica a continuacin:

H0: p = 0.25,

H1: p > 0.25.

El estadstico de prueba en el cual se basa nuestra decisin es X, el nmero de

individuos en nuestro grupo de prueba que reciben proteccin de la nueva vacuna

durante un periodo de al menos 2 aos. Los valores posibles de X, de 0 a 20, se

dividen en dos grupos: los nmeros menores o iguales que 8 y aquellos mayores que

8. Todos los posibles valores mayores que 8 constituyen la regin crtica. El ltimo

nmero que observamos al pasar a la regin crtica se llama valor crtico. En nuestro

ejemplo el valor crtico es el nmero 8. Por lo tanto, si x > 8, rechazamos H0 a favor de

la hiptesis alternativa H1. Si x 8, no rechazamos H0. Este criterio de decisin se

ilustra en la figura 3.1

3.3 Error tipo I y error tipo II.

El procedimiento de toma de decisiones recin descrito podra conducir a cualquiera

de dos conclusiones errneas:

1. El rechazo de la hiptesis nula cuando es verdadera se denomina error tipo I.

2. No rechazar la hiptesis nula cuando es falsa se denomina error tipo II.

Al probar cualquier hiptesis estadstica, hay cuatro situaciones posibles que

determinan si nuestra decisin es correcta o errnea. Estas cuatro situaciones se

resumen en:

ROOSSticky NotePara la regin crtica usaremos el nivel de significacin y el valor critico esta dado por 1- alfa




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H0 es verdadera H0 es falsa

No rechazar H0 Decisin correcta Error tipo II

Rechazar H0 Error tipo I Decisin correcta

La probabilidad de cometer un error tipo I, se conoce como nivel de significancia y se

denota con . En nuestro ejemplo un error tipo I ocurrira si ms de 8 individuos

inoculados con la nueva vacuna superan el periodo de 2 aos sin contraer el virus y

los investigadores concluyen que la nueva vacuna es mejor, cuando en realidad es

igual a la vacuna que se utiliza en la actualidad. Por lo tanto, si X es el nmero de

individuos que permanecen sin contraer el virus por al menos dos aos,

( ) (

) (

)

(

)

Decimos que la hiptesis nula, p = 1/4, se prueba al nivel de significancia = 0.0409.

En ocasiones el nivel de significancia se conoce como tamao de la prueba. Una

regin crtica de tamao 0.0409 es muy pequea y, por lo tanto, es poco probable que

se cometa un error de tipo I. En consecuencia, sera poco probable que ms de 8

individuos permanecieran inmunes a un virus durante 2 aos utilizando una vacuna

nueva que en esencia es equivalente a la que actualmente est en el mercado.

La probabilidad de cometer un error tipo II, que se denota con , es imposible de

calcular a menos que tengamos una hiptesis alternativa especifica. Si probamos la

hiptesis nula p = 1/4 contra la hiptesis alternativa p = 1/2, entonces podremos

calcular la probabilidad de no rechazar H0 cuando es falsa. Simplemente calculamos

la probabilidad de obtener 8 o menos en el grupo que supera el periodo de 2 aos

cuando p = 1/2. En este caso,

( ) (

) (

)

Se trata de una probabilidad elevada que indica un procedimiento de prueba en el

cual es muy probable que se rechace la nueva vacuna cuando, de hecho, es mejor a

la que est actualmente en uso. De manera ideal, es preferible utilizar un




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procedimiento de prueba con el cual haya pocas probabilidades de cometer el error

tipo I y el error tipo II. Es posible que el director del programa de prueba est

dispuesto a cometer un error tipo II si la vacuna ms costosa no es significativamente

mejor.

La potencia de una prueba es la probabilidad de rechazar H0 dado que una alternativa

especfica es verdadera. La potencia de una prueba se puede calcular como 1 .

Aproximacin a la prueba de hiptesis con probabilidad fija del error tipo I

1. Establezca las hiptesis nula y alternativa.

2. Elija un nivel de significancia fijo.

3. Seleccione un estadstico de prueba adecuado y establezca la regin crtica

con base en .

4. Rechace H0 si el estadstico de prueba calculado est en la regin crtica. De

otra manera no rechace H0.

5. Saque conclusiones cientficas y de ingeniera.

Prueba de significancia (mtodo del valor P)

1. Establezca las hiptesis nula y alternativa.

2. Elija un estadstico de prueba adecuado.

3. Calcule el valor P con base en los valores calculados del estadstico de

prueba.

4. Saque conclusiones con base en el valor P y los conocimientos del sistema

cientfico.

Pruebas de una y dos colas

Una prueba de cualquier hiptesis estadstica donde la alternativa es unilateral, y se

denomina prueba de una sola cola, ejemplos de esto seran:

H0: = 0,

H1: > 0,

O quizs

H0: = 0,

H1: < 0,

La prueba de cualquier hiptesis donde la alternativa es bilateral se denomina prueba

de dos colas y estara dada como:

H0: = 0,

H1: 0,

El smbolo de la desigualdad

seala la direccin donde se

encuentra la regin crtica.

ROOSHighlight




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ya que la regin critica se divide en dos partes, a menudo con probabilidades iguales

en cada cola de la distribucin del estadstico de prueba. La hiptesis alternativa

0 establece que < 0 o que > 0.

Con frecuencia la hiptesis nula H0 se plantea usando el signo de igualdad. Con este

mtodo se observa claramente cmo se controla la probabilidad de cometer un error

tipo I. Sin embargo, hay situaciones en que no rechazar H0 implica que el

parmetro podra ser cualquier valor definido por el complemento natural de la

hiptesis alternativa. La decisin de plantear una prueba de una cola o una de dos

colas depende de la conclusin que se obtenga si se rechaza H0. La ubicacin de la

regin crtica solo se puede determinar despus de que se plantea. H1.

Ejemplo 3.1

Un fabricante de cierta marca de cereal de arroz afirma que el contenido promedio de

grasa saturada no excede a 1.5 gramos por porcin. Plantee las hiptesis nula y

alternativa que se utilizaran para probar esta afirmacin y establezca en donde se

localiza la regin crtica.

Solucin:

La afirmacin del fabricante se rechazara solo si es mayor que 1.5 miligramos y no

se rechazara si es menor o igual que 1.5 miligramos. Entonces, probamos:

H0: = 1.5,

H1: > 1.5.

El hecho de no rechazar H0 no descarta valores menores que 1.5 miligramos. Como

tenemos una prueba de una cola, el smbolo mayor indica que la regin crtica reside

por completo en la cola derecha de la distribucin de muestreo estadstico de prueba

.

Ejemplo 3.2

Un agente de bienes races afirma que 60% de todas las viviendas privadas que se

construyen actualmente son casas con tres dormitorios. Para probar esta afirmacin

se inspecciona una muestra grande de viviendas nuevas. Se registra la proporcin de

las casas con 3 dormitorios y se utiliza como estadstico de prueba. Plantee las

hiptesis nula y alternativa que se utilizaran en esta prueba y determine la ubicacin

de la regin crtica.

Solucin:

Si el estadstico de prueba fuera considerablemente mayor o menor que p = 0.6,

rechazaramos la afirmacin del agente. En consecuencia, deberamos plantear las

siguientes hiptesis:




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H0: p = 0.6,

H1: p 0.6.

La hiptesis alternativa implica una prueba de dos colas con la regin crtica dividida

por igual en ambas colas de la distribucin de , nuestro estadstico de prueba.

Valor P para la toma de decisiones de la prueba de hiptesis.

Por generaciones enteras de anlisis estadstico se ha vuelto costumbre elegir una

de 0.05 o 0.01 y seleccionar la regin critica de acuerdo con esto. Entonces, desde

luego, el rechazo o no rechazo estrictos de H0 depender de esa regin crtica. Por

ejemplo, si la prueba es de dos colas, se fija a un nivel de significancia de 0.05 y el

estadstico de prueba implica, digamos, la distribucin normal estndar, entonces se

observa un valor z de los datos y la regin critica es

z 1.96 o z > 1.96,

Donde el valor 1.96 corresponde a z0.025 en la tabla A.3. Un valor de z en la regin

crtica sugiere la aseveracin: El valor del estadstico de prueba es significativo, el

cual se puede traducir al lenguaje del caso. Por ejemplo, si la hiptesis es dada por:

H0: = 10,

H1: 10,

El clculo del valor P tambin proporciona al usuario informacin importante cuando el

valor z cae dentro de la regin crtica ordinaria.

Un valor P es el nivel (de significancia) ms bajo en el que el valor observado del

estadstico de prueba es significativo.

Demostracin grfica de un valor P

Suponga que se estn considerando dos materiales para cubrir un tipo especfico de

metal con el fin de evitar la corrosin. Se obtienen especmenes y se cubre un grupo

con el material 1 y otro grupo con el material 2. Los tamaos muestrales son n1 = n2 =

10 para cada muestra y la corrosin se mide en el porcentaje del rea superficial

afectada. La hiptesis plantea que las muestras provienen de distribuciones comunes

con media = 10. Supongamos que la varianza de la poblacin es 1.0. Entonces,

probamos:

H0: 1 = 2 = 10.

El valor P se puede considerar simplemente como la probabilidad de obtener este

conjunto de datos dado que las muestras provienen de la misma distribucin.

.




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3.4 Pruebas de hiptesis Z para la media (desviacin estndar poblacional

conocida)

El modelo para la situacin subyacente se centra alrededor de un experimento con X1,

X2,..., Xn, que representan una muestra aleatoria de una distribucin con media y

varianza2 > 0. Considere primero la hiptesis

H0: = 0,

H1: 0.

El estadstico de prueba adecuado se debe basar en la variable aleatoria . Sabemos

segn el teorema del lmite central que la distribucin de X, la variable aleatoria tiene

una distribucin casi normal con media y varianza 2/n para muestras de tamao

razonablemente grande. Por consiguiente, .Podemos

determinar, entonces, una regin critica basada en el promedio muestral calculado

. Habr una regin crtica de dos colas para la prueba.

Estandarizacin de

Debemos incluir la variable aleatoria normal estndar Z; donde

Sabemos que, bajo H0, es decir, si =0, entonces ( ) tiene una

distribucin n(x; 0, 1) y, por lo tanto, la expresin

336

se puede utilizar para escribir una regin de no rechazo adecuada. Sabemos que la

regin crtica se disea para controlar , la probabilidad de cometer un error tipo I. Se

necesita una seal de evidencia de dos colas para apoyar H1. As, dado un valor

calculado , la prueba formal implica rechazar H0 si el estadstico de prueba z

calculado cae en la regin critica que se describe a continuacin.

Procedimiento de una prueba para una sola media (varianza conocida)

Si z/2 < z < z /2, no se rechaza H0. El rechazo de H0, desde luego, implica la

aceptacin de la hiptesis alternativa 0. Con esta definicin de la regin critica

ROOSSticky NoteA la inversa los signos de igualdad




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debera quedar claro que habr probabilidades de rechazar H0 (al caer en la regin

critica) cuando, en realidad, = 0.

Aunque es ms fcil entender la regin critica escrita en trminos de z, escribimos la

misma regin crtica en trminos del promedio calculado . Lo siguiente se puede

escribir como un procedimiento de decisin idntico:

Rechazar H0 si < a o > b,

Donde

En consecuencia, para un nivel de significancia , los valores crticos de la variable

aleatoria z y se presentan en la figura 3.2.

Figura 3.2 Regin crtica para la hiptesis alternativa o

Las pruebas de hiptesis unilaterales sobre la media incluyen el mismo estadstico

que se describe en el caso bilateral. La diferencia, por supuesto, es que la regin

crtica solo est en una cola de la distribucin normal estndar. Por ejemplo,

supongamos que buscamos probar

H0: = 0,

H1: > 0.

La seal que favorece H1 proviene de valores grandes de z. As, el rechazo de H0

resulta cuando se calcula z > z. Evidentemente, si la alternativa es H1: < 0, la

regin critica esta por completo en la cola inferior, por lo que el rechazo resulta de z <

z. Aunque en el caso de una prueba unilateral la hiptesis nula se puede escribir

como H0: < 0 o H0: > 0, por lo general se escribe como H0: = 0.

ROOSSticky NoteEstn a la iversa es decir X mayor que a y X menor que b




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Ejemplo 3.3

Una muestra aleatoria de 100 muertes registradas en Estados Unidos el ao pasado

revelo una vida promedio de 71.8 aos. Si se supone una desviacin estndar de la

poblacin de 8.9 aos, esto parece indicar que la vida media actual es mayor que 70

aos? Utilice un nivel de significancia de 0.05.

Solucin

1. H0: = 70 aos.

2. H1: > 70 aos.

3. = 0.05.

4. Regin critica: z > 1.645, donde

5. Clculos: = 71.8 aos, = 8.9 aos, en consecuencia,

= 2.02

6. Decisin: rechazar H0 y concluir que la vida media actual es mayor que 70

aos.

El valor P que corresponde a z = 2.02 es dado por el rea de la regin sombreada en

la figura:

Si usamos la tabla A.3, tenemos

P = P (Z > 2.02) = 0.0217.

Como resultado, la evidencia a favor de H1 es incluso ms firme que la sugerida por

un nivel de significancia de 0.05.

ROOSHighlight

ROOSSticky NoteNos indicara en que valores buscaremos a z, este nos indica que los busquemos en los negativos por que suponemos que 2.02 es menor que z.

Se aplica lo mismo a la inversa.




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Ejemplo 3.4

Un fabricante de equipo deportivo desarrollo un nuevo sedal para pesca sinttico que,

segn afirma, tiene una resistencia media a la rotura de 8 kilogramos con una

desviacin estndar de 0.5 kilogramos. Pruebe la hiptesis de que =8 kilogramos

contra la alternativa de que 8 kilogramos si se prueba una muestra aleatoria de

50 sedales y se encuentra que tienen una resistencia media a la rotura de 7.8

kilogramos. Utilice un nivel de significancia de 0.01.

Solucin.

1. H0: = 8 kilogramos.

2. H1: 8 kilogramos.

3. = 0.01.

4. Regin critica: 2.575 > z 2.575, donde

5. Clculos: = 7.8 kilogramos, n = 50, en consecuencia,

6. Decisin: rechazar H0 y concluir que la resistencia promedio a la rotura no

es igual a 8 sino que, de hecho, es menor que 8 kilogramos.

Como la prueba en este ejemplo es de dos colas, el valor de P que se desea es el

doble del rea de la regin sombreada en la figura siguiente:

a la izquierda de z = 2.83. Por lo tanto, si usamos la tabla A.3, tenemos

P = P (Z 2.83) = P (Z > 2.83) = 0.0046,

Que nos permite rechazar la hiptesis nula de que = 8 kilogramos a un nivel de

significancia menor que 0.01.




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3.5 Pruebas para proporciones.

Consideraremos el problema de probar la hiptesis de que la proporcin de xitos

en un experimento binomial es igual a algn valor especifico. Es decir, probaremos la

hiptesis nula H0 de que p = p0, donde p es el parmetro de la distribucin binomial.

La hiptesis alternativa puede ser una de las alternativas unilaterales o bilaterales

usuales:

p < p0, p > p0, o p p0

La variable aleatoria adecuada sobre la que basamos nuestro criterio de decisin es la

variable aleatoria binomial X; aunque tambin podramos usar el estadstico p = X/n.

Los valores de X que estn lejos de la media = np0 conducirn al rechazo de la

hiptesis nula. Como X es una variable binomial discreta, es poco probable que se

pueda establecer una regin critica cuyo tamao sea exactamente igual a un valor

preestablecido de . Por esta razn es preferible, al trabajar con muestras pequeas,

basar nuestras decisiones en valores P. Para probar la hiptesis

H0: p = p0,

H1: p < p0,

utilizamos la distribucin binomial para calcular el valor P

P = P(X x cuando p = p0)

El valor x es el nmero de xitos en nuestra muestra de tamao n. Si este valor P es

menor o igual que , nuestra prueba es significativa al nivel y rechazamos H0 a

favor de H1. De manera similar, para probar la hiptesis

H0: p = p0,

H1: p > p0,

al nivel de significancia , calculamos

P = P(X x cuando p = p0)

y rechazamos H0 a favor de H1 si este valor P es menor o igual que . Finalmente,

para probar la hiptesis

H0: p = p0,

H1: p p0,

a un nivel de significancia , calculamos

P = 2P (X x cuando p = p0) si x < np0

o

P = 2P (X x cuando p = p0) si x > np0

y rechazamos H0 a favor de H1 si el valor P calculado es menor o igual que .

Los pasos para probar una hiptesis nula acerca de una proporcin contra varias

alternativas usando las probabilidades binomiales de la tabla A.1 son los siguientes:




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Prueba de una proporcin (muestras pequeas)

1. H0: p = p0.

2. Una de las alternativas H1: p < p0, p > p0 o p p0.

3. Elegir un nivel de significancia igual a .

4. Estadstico de prueba: variable binomial X con p = p0.

5. Clculos: obtener x, el nmero de xitos, y calcular el valor P adecuado.

6. Decisin: sacar las conclusiones apropiadas con base en el valor P.

Ejemplo 3.5

Un constructor afirma que en 70% de las viviendas que se construyen actualmente en

la ciudad de Richmond, Virginia, se instalan bombas de calor Estara de acuerdo con

esta afirmacin si una encuesta aleatoria de viviendas nuevas en esta ciudad revelara

que 8 de 15 tienen instaladas bombas de calor? Utilice un nivel de significancia de

0.10.

Solucin.

1. H0: p = 0.7.

2. H1: p 0.7.

3. = 0.10.

4. Estadstico de prueba: Variable binomial X con p = 0.7 y n = 15.

5. Clculos: x = 8 y np0 = (15) (0.7) = 10.5. Por lo tanto, de la tabla A.1, el valor P

calculado es

P = 2P(X 8 cuando p = 0.7) = 2 ( )

6. Decisin: No rechazar H0. Concluir que no hay razn suficiente para dudar de la

afirmacin del constructor.

Para n grande se requieren procedimientos de aproximacin, por lo general se

prefiere la aproximacin de la curva normal, con los parmetros = np0 y 2 = np0 q0, la cual es muy precisa, siempre y cuando p0 no este demasiado cerca de 0 o de 1.

Si utilizamos la aproximacin normal, el valor z para probar p = p0 es dado por

que es un valor de la variable normal estndar Z. Por consiguiente, para una prueba

de dos colas al nivel de significancia , la regin critica es z < z/2 o z > z/2. Para la

ROOSSticky NoteEstn invertidos




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alternativa unilateral p < p0, la regin critica es z < -z, y para la alternativa p > p0, la

regin critica es z > z.

Ejemplo 3.6

Se considera que un medicamento que se prescribe comnmente para aliviar la

tensin nerviosa tiene una eficacia de tan solo 60%. Los resultados experimentales de

un nuevo frmaco administrado a una muestra aleatoria de 100 adultos que padecan

tensin nerviosa revelaron que 70 de ellos sintieron alivio. Esta evidencia es

suficiente para concluir que el nuevo medicamento es mejor que el que se prescribe

comnmente? Utilice un nivel de significancia de 0.05.

Solucin:

1. H0: p = 0.6.

2. H1: p > 0.6.

3. = 0.05.

4. Regin crtica: z > 1.645.

5. Clculos: x = 70, n = 100, = 70/100 = 0.7 y

( )( ) ( )

6. Decisin: Rechazar H0 y concluir que el nuevo frmaco es mejor.

3.6 Seleccin del tamao de muestra (para estimar la media poblacional)

Por lo general el tamao de la muestra se determina de modo que permita lograr una

buena potencia para una fija y una alternativa especifica fija. Esta alternativa fija

puede estar en la forma de - 0 en el caso de una hiptesis que incluya una sola

media o 1 - 2 en el caso de un problema que implique dos medias.

Suponga que deseamos probar la hiptesis

H0: = 0,

H1 = > 0,

con un nivel de significancia , cuando se conoce la varianza 2. Para una

alternativa especfica, digamos, = 0 + , la potencia de nuestra prueba es

1 = P ( > a cuando = 0 +).

Por lo tanto

= P ( < a cuando = 0 +)




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[ ( )

( )

]

Bajo la hiptesis alternativa = 0 + , el estadstico

( )

es la variable normal estndar Z. Por lo tanto,

(

) (

)

de donde concluimos que

y, en consecuencia,

Eleccin del tamao de la muestra: ( )

Un resultado que tambin es verdadero cuando la hiptesis alternativa es 0

En el caso de una prueba de dos colas obtenemos la potencia para una nativa

especfica cuando

( )

Ejemplo

Suponga que deseamos probar la hiptesis

H0: = 68 kilogramos,

H1: > 68 kilogramos,

para los pesos de estudiantes hombres en cierta universidad usando un nivel de

significancia = 0.05 cuando se sabe que = 5. Calcule el tamao muestral que se

requiere si la potencia de nuestra prueba debe ser 0.95 cuando la media real es 69

kilogramos.




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Solucin. Como = = 0.05, tenemos z = z = 1.645. Para la alternativa = 69

tomamos = 1 y entonces,

( ) ( )

Por lo tanto, se requieren 271 observaciones si la prueba debe rechazar la hiptesis

nula el 95% de las veces cuando, de hecho, es tan grande como 69 kg.

TAREA

3.7 Seleccin del tamao de muestra (para estimar la proporcin poblacional).

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