Pruebas de Hipótesis

• López Mora Aguarena Marisol

• Sandoval Hernández Diana

• Solís Aguilar Diana Laura

Media con muestras grandes.

Se utiliza una distribución normal

Se denota por:

Se considera una muestra grande, si se tiene mas de 30 elementos.

P-valor es pequeño si es menor a 0.05, si el P-valor es pequeño H0 se rechaza y H1 se acepta.

Ejemplo: En un experimento, 45 bolas de acero, lubricadas con parafina purificada, estaban

sujetas a una carga de 40 kg a 600 rpm durante 60 minutos. El promedio de desgaste,

medido por la reducción en el diámetro, era de 673.2 µm, y la desviación estándar era de

14.9 µm. Suponga que la especificación para un lubricante es que la media del desgaste

sea menor de 675 µm. Determine un P-valor para probar H0 : µ > 675 contra H1 : µ < 675.

=673.2 H0 : µ > 675 contra H1: µ < 675.

s = 14.9

n = 45

µ0 =675

P-valor es > que 0.05, por lo tanto H0 es factible.

Conclusión: Los datos no muestran que el lubricante satisfaga la especificación.

Media con muestras pequeñas.

• Aproximar a la desviación estándar σ con la desviación estándar muestral s.

• Se utiliza la distribución t de Student .

• Se denota por:

• Ejemplo: Los separadores de anillos para una transmisión de eje tienen una especificación de espesor de 38.98-39.02 mm. El proceso con el que se fabrican los anillos se supone que está calibrado para que la media de los espesores sea de 39 mm en el centro de la ventana de especificación. Se extrae una muestra de seis anillos y se mide su espesor. Las seis capas son 39.030, 38.997, 39.012, 39.008, 39.019 y 39.002. Suponga que la población de los espesores de los anillos es aproximadamente normal. ¿Se puede concluir que el proceso necesita recalibración? Se denota la media poblacional con s, las hipótesis nula y alternativa son:

H0 : 39.00 contra H1: µ ≠ 39.00

= 39.01133 H0 : 39.00 contra H1: µ ≠ 39.00

s = 0.011928

n = 6

µ = 39

5 grados de libertad.

0.05*2=0.10

0.025*2= 0.05 P-valor esta entre 0.05 y 0.10 por lo tanto H0 es factible.

Conclusión: Sería prudente recalibrarlo.

Proporción poblacional de muestras

grandes.

• Es simplemente una media poblacional para una población de 0 y 1: una población de Bernoulli.

• Se denota por :

• Ejemplo El artículo “Refinement of Gravimetric Geoid Using GPS and Leveling Data” (W. Thurston, en Journal of Surveying Engineering, 2000:27-56) presenta un método para medir las alturas ortométricas arriba del nivel del mar. Para una muestra de 1 225 puntos de partida, 926 dieron resultados que están dentro del espíritu de la clase C nivelando los límites de tolerancia. ¿Se puede llegar a la conclusión de que este método produce resultados dentro de los límites de tolerancia más de 75% de las veces?

n=1225 H0 : p ≤ 0.75 H1: > 0.75

X= 926

P= 926/1225

P =0.7559

P0 = 0.75

Z de 0.48 = 0.6844

A = 1- 0.6844

A = 0.3156

P-valor es > 0.05 por lo que H0 es factible.

Conclusión: el método no produce resultados dentro de los límites de tolerancia más de 75% de las veces.

Diferencia de dos medias con

muestras grandes.

Son muestras grandes nX >30 y nY >30 de las poblaciones con medias µX y µY y las desviaciones

estándar sX y sY.

Se denota por:

Ejemplo:

El artículo “Effect of Welding Procedure on Flux Cored Steel Wire Deposits” (N. Ramini de Rissone, I. de S.

Bott y cols., en Science and Technology of Welding and Joining, 2003:113-122) compara las propiedades

de soldaduras hechas con dióxido de carbono como gas de protección con respecto a las de

soldaduras hechas mediante una mezcla de argón y dióxido de carbono. Una propiedad estudiada era

el diámetro de inclusiones, que son partículas incrustadas en la soldadura. Una muestra de 544

inclusiones en soldaduras hechas al usar argón como protección tiene un diámetro promedio de 0.37

mm, con desviación estándar de 0.25 mm. Una muestra de 581 inclusiones en soldaduras hechas al

emplear dióxido de carbono como protección tiene diámetro promedio de 0.40 mm, con desviación

estándar de 0.26 mm. (Las desviaciones estándar se calcularon con una gráfica.) ¿Se puede concluir

que las medias de los diámetros de las inclusiones son diferentes entre los dos gases de protección?

= 0.37

sX = 0.25

nx= 544

sY = 0.26

nY= 581

= Diámetro de las

soldaduras de Argón

= Diámetro de las soldaduras

de dióxido de carbono.

= =

P-valor es 0.0488 Conclusión:

Debido a que P-valor es menor a 0.05 entonces

H0 se rechaza y H1 se acepta.

En el problema se puede concluir que las

medias de los diámetros de las inclusiones son

diferentes en los gases de protección.

No obstante, debido a que el P-valor es

bastante cercano a 0.05 se necesitarían hacer

mas pruebas para estar seguros.

Diferencia de dos proporciones con

muestras grandes.

Sea X (pX ) y sea Y (pY ), donde pX y pY son dos proporciones poblacionales para los individuos

que cumplan una propiedad de interés.

Muestras aleatorias de n1 observaciones de X y n2 observaciones de Y , independientes, y tanto

n1 como n2 son grandes.

Para resolver los problemas y probar las hipótesis:

Se compran resistores etiquetados con 100 Ω a dos distribuidores diferentes. La

especificación para este tipo de resistor es que su resistencia verdadera esté dentro del

5% de su resistencia etiquetada. En una muestra de 180 resistores del distribuidor A, 150 de

éstos satisfacían la especificación.

En otra muestra de 270 resistores comprados al distribuidor B, 233 cumplían la

especificación. El distribuidor A es el proveedor actual, pero si los datos demuestran

convincentemente que una proporción mayor de los resistores del distribuidor B satisface

la especificación, se hará el cambio.

a) Establezca las hipótesis nula y alternativa adecuadas.

b) Determine el P-valor.

833.0

180

150

150

180

Px

p

x

Nx

862.0

270

233

233

270

Py

p

x

Ny

nynx

yxp

ny

yPy

nx

xPx

nynxpp

PyPxz

p

,

)11

)(1(

85.0450

383

27080

23315085.0

034.0

029.0

001166.0

029.0

)108

1(126.0

0029

)270

1

180

1)(85.01(85.0

)862.0833.0(

z

P-valor=0.1977

ABH

ABH

0

1

Diferencia de datos apareados.

Utiliza muestras pequeñas.

Se denota por:

Ejemplo:

Las emisiones de materia partícula (MP) de los automóviles son un problema ambiental

serio. Se eligieron aleatoriamente ocho vehículos de una flota, y se midieron sus emisiones

durante su recorrido en autopista y en condiciones de arranque y frenado; además, se

calcularon las diferencias en ambas situaciones. Los resultados, en miligramos de partículas

por galón de combustible, fueron los siguientes:

¿Se puede concluir que la media del nivel de emisiones es menor para el recorrido en autopista

que para el arranque y frenado?El valor observado de la media muestral de diferencias es D =190.5. La desviación estándar

muestral es sD=284.1 . Las hipótesis nula y alternativa son:

H0: μD ≤ 0 contra H1: μD > 0

n=8

D =190.5

sD=284.1Grados de libertad= 8-1= 7

Conclusión:

Como P-valor es menor que 0.05 entonces H0

Se rechaza y H1 se acepta. En el problema, se puede

decir que existe uma emision mas grande

De partículas em el arranque y frenado que en el

recorrido de autopista. No obstante, debido a que el P-

valor es muy cercano a 0.05 se recomendaria hacer mas

pruebas para estar mas seguro.

Ji cuadrada.

Esta prueba puede utilizarse incluso con datos medibles en una escala nominal. La hipótesis nula

de la prueba Chi-cuadrado postula una distribución de probabilidad totalmente especificada

como el modelo matemático de la población que ha generado la muestra.

Para realizar este contraste se disponen los datos en una tabla de frecuencias. Para cada valor o

intervalo de valores se indica la frecuencia absoluta observada o empírica (Oi). A continuación, y

suponiendo que la hipótesis nula es cierta, se calculan para cada valor o intervalo de valores la

frecuencia absoluta que cabría esperar o frecuencia esperada (Ei=n·pi , donde n es el tamaño de

la muestra y pi la probabilidad del i-ésimo valor o intervalo de valores según la hipótesis nula).

El estadístico de prueba se basa en las diferencias entre la Oi y Ei y se define como:

Entre mayor sea el valor χ2 , más fuerte es la evidencia contra H0. Para determinar el P-

valor para la prueba se debe conocer la distribución nula de este estadístico de

prueba. En general, no se puede determinar exactamente la distribución nula. Sin

embargo, cuando los valores esperados son todos grandes, una buena aproximación

está disponible.

Ejemplo Resuelto

Bibliografía.

Navidi, William. (2006). Estadística para Ingenieros . México, D.F.: McGraw-Hill.