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Unidad 3. Introducción a la Geometría Moderna Trigonometría

Trigonométria

Los triángulos semejantes tienen sus tres ángulos interiores respectivamente iguales; si consideramos elconjunto de triángulos que tienen un ángulo recto, entonces, al �jar uno de los otros ángulos obtendremostodo un conjunto de triángulos semejantes, puesto que el tercer ángulo tendrá que ser el suplementariode los dos conocidos. Como los triángulos semejantes tienen sus lados proporcionales, si conocemos larazón de dos lados de uno de los elementos de un conjunto de triángulos semejantes, conoceremos la razóncorrespondiente de todos los demás. Esta propiedad nos permite establecer las razones de los lados decualquier triángulo rectángulo como función de uno de los ángulos no rectos.

Por ejemplo, supongamos que en el triángulo rectángulo de la Figura, el ángulo B midiera 60◦, entonces

podríamos decir que las relacionesAC

AB,BC

AB,AC

BC,BC

AC,AB

BCy

AB

ACson las mismas para todos los trián-

gulos rectángulos con un ángulo de 60◦. Así que, si hacemos AB = 1, entonces BC =1

2y, por el teorema

de Pitágoras tendremos que

AC =

√3

2,AC

AB=

√3

2,BC

AB=

1

2,AC

BC=√

3,BC

AC=

√3

3,AB

BC= 2,

AB

AC=

2√

3

3

Como el valor de las razones depende del ángulo, que en este ejemplo es 60◦, las razones de los lados seexpresan como funciones de dicho ángulo.

Facultad de Ciencias UNAMGeometría Moderna I

Prof. Esteban Rubén Hurtado Cruz1


Razones Trigonométricas

En un triángulo rectángulo llamamos hipotenusa al lado opuesto al ángulo recto y catetos a los otros doslados. Si �jamos uno de los ángulos agudos, por ejemplo el ánguloφ del triángulo rectángulo HIJ ilustradoen la Figura, al cateto que delimita ese ángulo, HI, se le llama cateto adyacente y al otro cateto, JH, sele llama cateto opuesto.

Entonces, el seno del ángulo φ es el cociente del cateto opuesto (CO) entre la hipotenusa (H), el cosenodel ángulo φ es el cociente del cateto adyacente (CA) entre la hipotenusa, y la tangente del ángulo φ esel cociente del cateto opuesto entre el cateto adyacente; en símbolos,

sin φ =CO

H, cos φ =

CA

H, tan φ =

CO

CA

Las razones recíprocas también reciben nombres especiales: la recíproca del seno de φ se denomina co-secante de φ y es el cociente de la hipotenusa entre el cateto opuesto, la razón recíproca del coseno sedenomina secante y es el cociente de la hipotenusa entre el cateto adyacente, y la razón recíproca de latangente se denomina cotangente y es el cociente del cateto adyacente entre el cateto opuesto; en símbolos

csc φ =H

CO, sec φ =

H

CA, cot φ =

CA

CO

Ejemplo calcular las razones trigonométricas de los ángulos de 30◦, 45◦ y 60◦.

Solución Consideremos los siguientes triángulos

Según las razones dadas tenemos entonces que




Si en lugar de �jarnos en el ángulo φ utilizamos el otro ángulo agudo, 90 − φ, llamado ángulocomplementario, es inmediato obtener las relaciones siguientes

cos(90− φ) = sen φsen(90− φ) = cos φtan(90− φ) = cot φ

es decir, dados dos ángulos complementarios el seno de uno es el coseno del otro y la tangente deuno es la cotangente del otro.

Ejemplo Obtener el coseno de un ángulo que está dado como la suma de otros dos

Solución Consideremos los triángulos rectángulos:

4 OHI para el angulo α+ β

4 KL para el angulo α

4 OLI para el angulo β

Entonces, si aplicamos la de�nición de coseno en el 4 OHI y trazamos JL paralela a HK tenemos

cos(α+ β) =OH

OI=OK − JL

OI




y utilizando el 4 OKL,

cos α =OK

OL⇒ OK = OL cos α

También podemos expresar JL en términos de α, pues como IL es perpendicular a OL,γ = 90◦ − αpor lo que

sen α = cos γ =JL

IL⇒ JL = IL sen α

Si sustituimos OK y JL obtenemos

cos(α+ β) =OL cos α− IL sen α

OI=OL cos α

OI− IL sen α

OI

en el triángulo 4 OLI se tiene

cos β =OL

OI, sen β =

IL

OI

por lo tanto

cos(α+ β) =OL cos α

OI− IL sen α

OI= cos α cos β − sen α sen β

Ejemplo Obtener el seno de un ángulo que está dado como la suma de otros dos

Solución Consideremos los triángulos rectángulos:

4 OHI para el angulo α+ β

4 KL para el angulo α

4 OLI para el angulo β

Entonces, si aplicamos la de�nición de seno en el 4 OHI y trazamos JL paralela a HK tenemos

sen(α+ β) =HI

OI=IJ + LK

OI

y utilizando el 4 OKL,

cos α = sen γ =IJ

IL⇒ IL cos α = IJ




También podemos expresar LK en términos de α, pues como IL es perpendicular a OL,γ = 90◦−αpor lo que

sen α = cos γ =LK

OL⇒ LK = OL sen α

Si sustituimos IJ y LK obtenemos

sen(α+ β) =IL cos α +OL sen α

OI=IL cos α

OI+OL sen α

OI

en el triángulo 4 OLI se tiene

sen β =IL

OI, cos β =

OL

OI

por lo tanto

sen(α+ β) =IL cos α

OI+OL sen α

OI= sen β cos α+ cos β sen α

Ejemplo Obtener el coseno de un ángulo que está dado como la diferencia de otros dos

Solución El área del rombo blanco en el rectángulo de la izquierda es cos(α − β) y es igual a la sumade las áreas de los rectángulos blancos en el rectángulo de la derecha.

Notamos que los dos rectángulos grandes son congruentes por lo que tienen la misma área.

El primer rectángulo esta formado por dos triángulos rojos cuyas áreas son:(cos α)(sen α)

2, dos

triángulos amarillos de área(cos β)(sen β)

2y un rombo blanco cuya área es cos(α− β) y ya que

∠ C ′B′E + ∠ EC ′B′ +π

2= ∠ DC ′E + ∠ EC ′B′ + ∠ B′C ′C = α+ ∠ EC ′B′ +

(π2− β

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Geometría Moderna IProf. Esteban Rubén Hurtado Cruz

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simpli�cando la primera igualdad con la tercera tenemos ∠ C ′B′E = α − β, por lo que B′E =cos(α− β) es la altura del rombo blanco de lado 1.El segundo rectángulo esta formado por un rectángulo rojo cuya área es (cos α)(sen α), otrorectángulo amarillo cuya área es (cos β)(sen β), además dos rectángulos blancos uno de ellos deárea (cos α)(cos β) y el otro de área (sen α)(sen β).Igualando ambas áreas de los rectángulos grandes tenemos

2

[(cos α)(sen α)

2

]+ 2

[(cos β)(sen β)

2

]+ cos(α− β)

= cos α sen α+ cos β sen β + cos α cos β + sen α sen β

Por lo tantocos(α− β) = cos α cos β + sen α sen β

Ejemplo Obtener el seno de un ángulo que está dado como la diferencia de otros dos

Solución Para el triángulo ABC tenemos que h = b sen (x− y) por lo que su área esa[b sen (x− y)]

2.

Para el triángulo BCD tenemos BD = α sen x, CD = a cos x.

Y para el triángulo DAC tenemos CD = b cos y, AD = b sen y.Las áreas de los triángulos DBC y DAC son respectivamente

(b cos y)(a sen x)

2y

(a cos x)(b sen y)

2

Luego el área del triángulo ABC es igual al área del triángulo DBC menos el área del triánguloDAC, es decir

ab

2sen(x− y) =

ab

2sen x cos y − ab

2cos x sen y

simpli�candosen(x− y) = sen x cos y − cos x sen y




Ley de Senos Dado un triángulo cualquiera, denotaremos por A, B y C sus vértices, por α, β y γ losángulos correspondientes (y también sus medidas), y por a, b y c los respectivos lados opuestos (ysus medidas), como en la �gura siguiente.

Al trazar la altura desde un vértice cualquiera, por ejemplo C, se determinan dos triángulos rec-tángulos con ángulo recto en H, el pie de la altura. Tenemos entonces

sen α =h

by sen β =

h

a

y, en consecuencia, b sen α = a sen β lo cual da lugar a la llamada Ley de los senos:

a

sen α=

b

sen β=

c

sen γ

Teorema Generalizado de Pitagoras

Dado un triángulo ABC trazamos la altura CD yformamos dos triángulo rectángulosPara el triángulo CDB se tiene

a2 = (c−m)2 + h2 = c2 − 2cm+m2 + h2

Para el triángulo ADC se tiene

b2 = m2 + h2 ⇒ b2 −m2 = h2

por lo tanto

a2 = c2 + b2 − 2cm




Ley de Cosenos

Dado un triángulo ABC trazamos la altura BDSegún el teorema generalizado de pitágoras

a2 = b2 + c2 − 2bAD

Por otro lado se tiene

cosA =AD

c⇒ c cosA = AD

por lo tanto

a2 = b2 + c2 − 2bc cosA

Procediendo analogamente se tieneb2 = a2 + c2 − 2ac cosB

c2 = a2 + b2 − 2ab cosC

Ley de los cosenos via el teorema de Ptolomeo Tenemos que

c2 = a2 + b2 − 2ab cos θ

Solución En la �gura




Como BC = DA, entonces el segmento DC es paralelo a AB. Trazamos las rectas perpendiculares aAB que pasen por A y por B, respectivamente. A los puntos de intersección de las perpendicularescon DC los llamamos E y F.Como el ángulo ∠ ADE = π− θ, tenemos x = b cos(π− θ), ya que el triángulo AED es rectángulo,luego

DC = a+ 2x = a+ 2b cos(π − θ)

Usando el teorema de Ptolomeo

c2 = a[a+ 2b cos(π − θ)] + b2

�nalmente usando que cos(π − θ) = − cos θ y simpli�cando tenemos que

c2 = a2 + b2 − 2ab cos θ

Seno y coseno del ángulo doble Tenemos que

sen 2θ = 2 sen θ cos θ y cos 2θ = 2 cos2 θ − 1

Solución En la �gura se tiene




Como el ángulo ∠ BAC = θ, entonces ∠ DOC = 2θ.Para el triángulo ODC tenemos OD = cos 2θ, DC = sen 2θ. Y para el triángulo ABC tenemosBC = 2 sen θ, AC = 2 cos θ ya que AB = 2 el diámetro de la circunferencia y la hipotenusa deltriángulo ABC.Como el triángulo ABC, es semejante al triángulo ACD, ya que DC es altura del triángulo ABC,tenemos que

CD

AC=BC

AB, es decir

sen 2θ

2 cos θ=

2 sen θ

2

por lo tantosen 2θ = 2 sen θ cos θ

Notemos queAD = AO +OD = 1 + cos 2θ

además como los triángulos ABC y ACD son semejantes

AD

AC=AC

AB, es decir

1 + cos 2θ

2 cos θ=

2 cos θ

2

por lo tantocos 2θ = 2 cos2 θ − 1



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