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Unidad 1. Geometría Moderna 1 Circuncentro, Incentro, Excentro, Ortocentro, Baricentro

Circuncentro, Incentro, Excentro

CircuncentroDe�nición 1. Sean A y B dos puntos en el plano. La mediatriz del segmento AB es la línea

perpendicular al segmento que pasa por el punto medio de AB.

La mediatriz del segmento AB divide al plano en dos regiones, de un lado están los puntos queestán más cerca de A, del otro lado están los puntos que están más cerca de B.Una manera de caracterizar a la mediatriz es como el conjunto de puntos P que cumplen que ladistancia a cada extremo A, B es la misma, esto es, PA = PB.En efecto, si M es el punto medio de AB y P se encuentra en la mediatriz, entonces podemos formarlos dos triángulos rectángulos PAM y PBM.

Por el criterio LAL, estos son congruentes (ya que AM=MB, PM es común y los ángulos entre loslados que se comparan son rectos), por tanto PA = PB.Reciprocamente, si P es un punto que satisface PA=PB entonces P está sobre la mediatriz de AB.Para ver esto consideramos a M' el pie de la perpendicular de P sobre AB.

Facultad de Ciencias UNAMGeometría Moderna I

Prof. Esteban Rubén Hurtado Cruz1


Veamos que M'=M de la siguiente manera: Como los triángulos rectángulos PAM' y PBM' tienendos pares de lados iguales (PA=PB y PM' es común), el teorema de pitágoras garantiza que losotros catetos son iguales, esto es, AM'=M'B. Por tanto, M' es el punto medio de AB.Teorema 1. Las mediatrices de los lados de un triángulo son concurrentes

Demostración. Sean `a y `b las mediatrices de los lados BC y CA del triángulo ABC. Sea O elpunto de intersección de estas mediatrices (hay un punto de intersección, ya que si son paralelasentonces también BC y CA son paralelos, por lo que no se formaría propiamente un triángulo).

Veamos que O se encuentra también en la mediatriz del segmento AB. Como O esta sobre `a,OB = OC y como O se encuentra en `b, OA=OC. Luego, O cumple OA=OB, esto es, O está en lamediatriz de AB.

El punto de concurrencia de las mediatrices, que se denota por O, se conoce como el circuncentrodel triángulo ABC. Como los vértices equidistan a O, la circunferencia de centro O y radio R (ladistancia común a los vértices) pasa por los vértices. La circunferencia se llama circuncírculo deltriángulo ABC y el radio R el circunradio.




IncentroDe�nición 2. La bisectriz interna del ángulo ∠ CAB del triángulo ABC es la recta por A que

divide al ángulo en dos ángulos iguales.

Cada punto P de la bisectriz equidista de cada lado del ángulo, esto es, si Z es el pie de la perpen-dicular de P sobre AB y Y es el pie de la perpendicular de P sobre CA, entonces PZ = PY ; estose sigue de que los triángulos rectángulos AZP y AYP son congruentes.

Recíprocamente, un punto P dentro del ángulo ∠ CAB de un triángulo ABC, que cumple PZ = PY(donde Y y Z son los pies de las perpendiculares de P sobre CA y AB) es necesariamente un puntode la bisectriz interna:En efecto, los dos triángulos rectángulos APY y APZ son congruentes (ya que tienen dos pares delados iguales, a saber PY = PZ, y AP es común, entonces, por el teorema de Pitágoras, el otro parde catetos son iguales), por tanto ∠ PAZ = ∠ PAY , lo que muestra que P se encuentra sobre labisectriz.




Teorema 2. Las bisectrices internas de un triángulo son concurrentes

Demostración. Denotaremos por ba, bb, bc a las bisectrices internas de los ángulos en A,B,C respec-tivamente

Sea I el punto de intersección de las bisectrices bb y bc (hay punto de intersección, pues en casocontrario los ángulos en B y C del triángulo sumarían 180◦). Sean X,Y y Z los pies de las perpen-diculares de I sobre los lados BC, CA y AB respectivamente.

Por estar I en la bisectriz bc, tenemos que IX = IY y por estar en la bisectriz bb, tenemos queIX = IZ. Luego, I cumple IY = IZ, lo que muestra que I se encuentra en la bisectriz ba.

De�nición 3. El punto de concurrencia de las bisectrices se denota I y se conoce por incentro del

triángulo ABC. La distancia del incentro a cada lado del triángulo es la misma, esta distancia se

conoce como inradio y se denota con r.

Resulta que la circunferencia de centro I y radio r, está completamente contenida en el triánguloy es tangente a los lados BC, CA, AB, en los puntos Y,Y,Z. A esta circunferencia le llamaremosincírculo




Teorema 3. Teorema de la Bisectriz

La bisectriz AL del ángulo A de un triángulo ABC divide internamente al lado opuesto BC en razón

BL

LC=AB

CA

donde L es el punto de intersección de la bisectriz interna con el lado BC

Demostración. Trazamos la paralela a la bisectriz que pasa por el punto C, llamamos R a la inter-sección de esta recta con la prolongación de AB

Notemos que AR = b. En efecto, tenemos que α1 = β1 por ser rectas paralelas y α2 = β2 ya queson ángulos alternos internos. Como β1 = β2 entonces α1 = α2, luego el triángulo ACR es isócelesy AR = b.Por otro lado los triángulos RBC y ABL son semejantes, por ser de lados paralelos, luego, por elteorem de Thales

BL

LC=c

b=AB

CA




Excentro En la siguiente �gura se muestra el incírculo del triángulo ABC que, como ya se vio es elpunto de concurrencia de las bisectrices. Llamamos X, Y, Z los puntos de tangencia con el lado BC,CA y AB respectivamente

Como las dos tangentes desde cualquier punto exterior a una circunferencia son iguales, tenemosque

1. AY = AZ = X, BZ = BX = y y CX = CY = z

2. y + z = a, x+ x = b y x+ y = cSumando estas últimas ecuaciones tenemos que

2x+ 2y + 2z = a+ b+ c = 2s

donde 2s denota el semiperímetro, luego

a) x+ y + z = s

b) x = s− a, y = s− b, z = s− cDe�nición 4. Se llaman bisectrices exteriores de un triángulo a las rectas que dividen en dos partes

iguales a los ángulos exteriores del triángulo




Teorema 4. Las bisectrices esternas de cualesquiera dos ángulos de un triángulo son concurrentes con

la bisectriz interna del tercer ángulo

Demostración. Tenemos que según la �gura

a) Cualquier punto P sobre IcIb del ángulo externo A, equidista de los lados AB y AC

b) Cualquier punto S sobre IaIb del ángulo externo C, equidista de los lados AC y BC

c) Si llamamos Ib al punto de intersección de las bisectrices externas IcIb, IaIb se tiene que Ib equidistade AB por (a) y de BC por (b), por lo tanto Ib se encuentra en la bisectriz del ángulo B




por tanto las bisectrices externas IcIb, IaIb junto con la bisectriz del ángulo A son concurrentes en Ib.Procediendo de manera análoga se con los otros ángulos B y C se obtiene el resultado

El cíeculo con centro Ib y radio rb es uno de los tres excírculos excritos que tiene como tangentes a los treslados y lo llamamos el excírculo (Ib, rb), análogamente se de�nen Ia, ra), Ic, rc). Llamaremos a Ia, Ib, Iclos excentros y sus radios ra, rb, rc sus exradios. Cada excírculo toca a uno de los lados del triángulointernamente y a los otros dos lados externamente, es decir, toca a la extensión del lado.En la siguiente �gura

Observamos que, como dos tangentes desde un punto exterior del círculo tienen la misma longitud,entonces BXb = BZb, además

BXb +BZb = (BC + CXb) + (ZbA+AB)

= BC + CYb + YbA+AB

= a+ b+ c = 2s

Luego las tangentes desde B al excírculo (Ib, rb) tienen longitud s.Similarmente sucede para cualquier otro vértice, por lo que tenemos

AYa = AZa = BZb = BXb = CXc = CYc = s




Podemos ahora calcular el radio del incírculo y el excírculo en términos de a, b y c, como sigue.En la siguiente �gura

tenemos que los triángulos 4 BIX y 4 BIbXb son semejantes, luego los lados son proporcionales yentonces,

r

rb=

BX

BXb=s− bs

(1)

donde s denota el semiperimetro.Los triángulos 4 IXC y 4 CXbIb también son semejantes por ser de lados correspondientes perpendi-culares (la bisectriz interior y exterior son perpendiculares).Por lo tanto

r

s− c=s− arb

⇔ r · rb = (s− c)(s− a) (2)

Al resolver el sistema de ecuaciones formado por (1) y (2) con incognitas r y rb, obtenemos que:

r =

√(s− a)(s− b)(s− c)

s

rb =

√s(s− a)(s− c)

s− bTenemos ecuaciones análogas para los circunradios ra y rb de las otras dos circunferencias excritas



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