Unidad 1 Integrales Múltiples 1.7 eoremaT de Cambio de...

Unidad 1 Integrales Múltiples 1.7 Teorema de Cambio de Variables

Planteamiento del Problema Dada una región A ⊂ R2 sabemos que el volumen del sólido entre la

grá�ca de una función f : A ⊂ R2 → R esta dado por∫A

f

Y lo que planteamos es que a través de una función g : R2 → R2 desde un sistema de coordenadas

(u, v) a un sistema (x, y) nosotros podamos enviar un rectángulo R′ en (u, v) a la región A y calcular

de esta manera ∫A

f =

∫R′f ◦ g

Herramientas previas para un esbozo de la demostración del Teorema de cambio de variable

Consideramos la región R′ = {(u, v) ∈ R2 | u0 ≤ u ≤ u0 + ∆u , v0 ≤ v ≤ v0 + ∆v}

Sea g : R2 → R2 g(u, v) = (x, y) = (x(u, v), y(u, v)) la transformación de coordenadas que manda la

región R′ del plano uv en la región R del plano xy.

Consideramos la curva α : [u0, u0 + ∆u]→ R2 dada por: α(t) = g(t, v0) = (x(t, v0), y(t, v0))

y β : [v0, v0 + ∆v]→ R2 dada por β(t) = g(u0, t) = (x(u0, t), y(u0, t)) y los vectores de velocidad de estas

curvas son:

Facultad de Ciencias UNAM

Cálculo Diferencial e Integral IV

Prof. Esteban Rubén Hurtado Cruz

1


α′(t) =

(∂x

∂u(t, v0),

∂y

∂u(t, v0)

)β′(t) =

(∂x

∂v(u0, t),

∂y

∂v(u0, t)

)y sus longitudes se pueden calcular como

LAB

∫ u0+∆u

u0

‖α′(t)‖dt LAD =

∫ v0+∆v

v0

‖β′(t)‖dt

Si ∆u y ∆v son pequeños estas integrales son casi iguales. Ahora bien, por el T.V.M∫ u0+∆u

u0

‖α′(t)‖dt = ‖α′(u∗)‖∆u

∫ v0+∆v

v0

‖β′(t)‖dt = ‖β′(v∗)‖∆v

y podemos ver ahora que

‖α′(u∗)‖∆u = ‖u‖ si u = α′(u∗)∆u o bien u =

(∂x

∂u,∂y

∂u

)∆u

‖β′(v∗)‖∆v = ‖v‖ si v = β′(v∗)∆v o bien v =

(∂x

∂v,∂y

∂v

)∆v

donde las derivadas estan evaluadas en (u0, v0). Asi el área del paralelogramo curvilineo R es entonces

aproximadamente igual al área del paralelogramo generado por los vectores u y v. Esta aproximación será

un tanto mejor en cuanto ∆u y ∆v sean pequeños y sabemos que el área del paralelogramo generada por

2 vectores es igual a la norma del producto cruz de estos vectores.

u× v = (α′(u∗)∆v)× (β′(v∗)∆v) = ∆u∆vα′(u∗)× β(v∗) =

= ∆u∆vdet

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

i j k

∂x

∂u

∂y

∂u0

∂x

∂v

∂y

∂v0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= ∆u∆v

∣∣∣∣∣∣∣∣∂x

∂u

∂y

∂u

∂x

∂v

∂y

∂v

∣∣∣∣∣∣∣∣de modo que el área de la región R es aproximadamente

‖u× v‖ =

∣∣∣∣∂(x, y)

∂(u, v)

∣∣∣∣∆u∆v

en resumen AreaR =

∣∣∣∣∂(x, y)

∂(u, v)

∣∣∣∣ (AreaR′)




2


Esbozo del Teorema de Cambio de Variables

Si consideramos el rectángulo R′ y una particiónQ de R′ tal que para cada subrectángulo R′i que intersectaa un conjunto B ⊂ R′ elegimos un ηi ∈ R′i

⋂B y nos �jamos en g(R′i)

Queremos ver ∫A

f ≈∑

R′i

⋂B 6=∅

f(g(ηi))m(g(R′i))

según lo anterior ∑R′

i

⋂B 6=∅

f(g(ηi))m(g(R′i)) =∑

R′i

⋂B 6=∅

f(g(ηi)) |det(Dg(ηi))| m(R′i)

≈∫B

f ◦ g |det(Dg)|

por lo tanto ∫A

f ≈∫B

f ◦ g |det(Dg)|

Teorema de cambio de variables

Versión f : Rn → R

Teorema 1. Sean A ⊂ Rn, f : A ⊂ Rn → R continua en A, g : B ⊂ Rn → Rn de clase C1 en B y B

Jordan medible

Si g es inyectiva en B y det(Dg(x)) 6= 0, ∀ x ∈ B entonces A es Jordan medible y además∫A

f =

∫B

(f ◦ g) · | det(Dg)|




3


Versión f : R2 → R

Teorema 2. Sea f : R ⊂ R2 → R una función continua de las variables x,y de�nida en la región R ⊂ R2.

Sea F : R′ ⊂ R2 → R2, F (u, v) = (x, y) = (φ(u, v), ψ(u, v)) una función que manda de manera inyectiva

los puntos (u, v) de la región R′, en los puntos (x, y) de la región R del plano XY. Supóngase que F es

de clase C1 y que la derivada F ′(u, v) es una matriz inversible para todo (u, v) ∈ R′. Entonces se tiene

la fórmula de cambio de variables en integrales dobles∫ ∫R

f(x, y)dxdy =

∫ ∫R′f(φ(u, v), ψ(u, v))

∣∣∣∣∂(φ, ψ)

∂(u, v)

∣∣∣∣ dudvEjemplo Se quiere calcular la integral de la función f(x, y) = x+ y + 1 sobre la región limitada por las

rectas y − x = 1 , y − x = −1 , y + x = 1 , y + x = 2

Solución con integrales dobles

Para ello vamos a dividir a la region en 3 subregiones y cada una de ellas vamos a calcularla de

manera independiente, para despues sumar los resultados. Tenemos entonces que




4


Para la región verde

0 ≤ x ≤ 1

21− x ≤ y ≤ 1 + x

∴ la integral∫ ∫

Rf(x, y)dA se convierte en∫ 1

2

0

∫ 1+x

1−x(x+ y + 1)dydx =

∫ 12

0

xy +y2

2+ y

∣∣1+x1−xdx =

∫ 12

0

x(1 + x)(1 + x)2

2+ (1 + x)−

(x(1− x) +

(1− x)2

2+ (1− x)

)=

∫ 12

0

4x+ 2x2dx =

2x2 +2x3

3

∣∣∣ 120 =7

12

Para la región azul1

2≤ x ≤ 1 1− x ≤ y ≤ 2− x



12

∫ 2−x

1−x(x+ y + 1)dydx =

∫ 1

12

xy +y2

2+ y

∣∣2−x1−xdx =

∫ 1

12

x(2− x)(2− x)2

2+ (2− x)−

(x(1− x) +

(1− x)2

2+ (1− x)

)=

∫ 1

12

5

2dx =

5

4




5


Para la región roja

1 ≤ x ≤ 3

2x− 1 ≤ y ≤ 2− x



2

1

∫ 2−x

−1+x

(x+ y + 1)dydx =

∫ 32

1

xy +y2

2+ y

∣∣2−x−1+xdx =

∫ 32

1

x(2− x)(2− x)2

2+ (2− x)−

(x(−1 + x) +

(−1 + x)2

2+ (−1 + x)

)=

∫ 32

1

−2x2 +9

2dx =

−2x3

3+

9x

2

∣∣∣ 321 =2

3

∴ el valor de la integral∫ ∫

Rf(x, y)dA es:∫ 1

2

0

∫ 1+x

1−x(x+ y + 1)dydx+

∫ 1

12

∫ 2−x

1−x(x+ y + 1)dydx+

∫ 32

1

∫ 2−x

−1+x

(x+ y + 1)dydx =7

12+

5

4+

2

3=

5

2

Solución con cambio de variables Se quiere calcular la integral de la función f(x, y) = x + y + 1sobre la región limitada por las rectas y− x = 1 , y − x = 1 , y + x = 1 , y + x = 2 y tomemos las

variables u = y − x , v = y + x

haciendo el cambio de variables∫ ∫R

f(x, y)dxdy =

∫ ∫R′f(x(u, v), y(u, v))

∣∣∣∣∂(x, y)

∂(u, v)

∣∣∣∣ dudv =

∫ ∫R′

(v − u

2+v + u

2+ 1

) ∣∣∣∣−1

2

∣∣∣∣ dudv

x =v − u

2y =

v + u

2

∣∣∣∣∂(x, y)

∂(u, v)

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣∣∣∂x

∂u

∂y

∂u

∂x

∂v

∂y

∂v

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣∣∣−1

2

1

2

1

2

1

2

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣−1

2

∣∣∣∣ =




6


1

2

∫ 1

−1

∫ 2

1

(v + 1)dvdu =1

2

∫ 1

−1

(v + 1)2

2

∣∣∣∣21

du =5

4

∫ 1

−1

du =5

4(2) =

5

2

Ejemplo Calcular la integral de la función f(x, y) = x2y2 sobre la región R limitada por las hipérbolas

equilateras

xy = 1, xy = 2, y =1

2, y = 3x

usando la transformación

F (u, v) =

(√u

v,√uv

)donde x =

√u

vy =√uv

Solución La región de integración es:

Vamos a transformarla para integrar sobre un ractángulo, tenemos que

x =

√u

v, y =

√uv ⇒ u = xy v =

y

x

por lo que necesitamos los puntos de intersección




7


vamos ahora a transformar esos puntos, tenemos que(x = 1√

3

y =√

3

)⇒(u = xy = 1v = y

x = 3

)(x =√

2y = 1√

2

)⇒(u = xy = 1v = y

x = 12

)(x = 2y = 1

)⇒(u = xy = 2v = y

x = 12

)(x =

√2√3

y = 3√

2√3

)⇒(u = xy = 2v = y

x = 3

)




8


ahora aplicamos la transformación a la función

f(x, y) = x2y2 ⇒x=√

uv

y=√

uv=u2

2v

para el Jacobiano de la transformación∣∣∣∣ ∂x∂u ∂x∂v

∂y∂u

∂x∂v

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣ 12 (uv)−12 − 1

2u12 v

32

12

(vu

) 12 1

2

(uv

) 12

∣∣∣∣∣ =1

2v

�nalmente integramos sobre la región transformada∫ 2

1

∫ 3

12

u2

2vdvdu =

7

6ln(6)




9

Unidad 1 Integrales Múltiples 1.7 eoremaT de Cambio de...

Documents

Transcript of Unidad 1 Integrales Múltiples 1.7 eoremaT de Cambio de...