Unidad 3 Funciones Vectoriales

Unidad 3

Funciones vectorialesde una variable real

En esta unidad Una curva en el plano así como una curva e en el espacio tridimensional pue-den definirse mediante ecuaciones paramétricas. Al emplear las funciones como componentesen un conjunto de ecuaciones paramétricas, podemos construir una función de valores vectoria-les cuyos valores son los vectores de posición de los puntos sobre la curva C. En esta unidadconsideraremos el cálculo y las aplicaciones de estas funciones vectoriales.

Competencias específicas

• Reconocer una función vectorial en distintos contextos y manejarla como unvector.

• Manejar con soltura ecuaciones paramétricas y el software para graficar curvas.

• Analizar gráficas de curvas de funciones vectoriales en el espacio.

• Determinar los parámetros que definen una curva en el espacio.

97

3.1 Funciones vectoriales

98 UNIDAD 3 Funciones vectoriales de una variable real

I Introducción Vimos en la sección 2.1 que una curva e en el plano xy puede parametrizarsemediante dos ecuaciones

x = f(t), y = g(t), a:5 t :5 b. (1)

En ciencias e ingeniería muchas veces es conveniente introducir un vector r con las funciones fy g como componentes:

r(t) = (J(t), g(t)) = f(t)i + g(t)j, (2)donde i = (1, O) Yj = (O, 1). En esta sección se estudian los análogos de (1) y (2) en tres dimen-siones.

I Funciones de valores vectoriales Una curva e en el espacio tridimensional, o una curvaespacial, se parametriza mediante tres ecuaciones

x = f(t), y = g(t), Z = h(t), a:5 t :5 b. (3)

Como en la sección 2.2, la orientación de e corresponde a valores crecientes del parámetro t.Al emplear las funciones en (3) como componentes, la contraparte en el espacio tridimensionalde (2) es

r(t) = (J(t), g(t), h(t)) = f(t)i + g(t)j + h(t) k, (4)

donde i = (1, O, O), j = (O, 1, O) Y k = (O, O, 1). Afmnamos que r en (2) y (4) es una función devalores vectoriales, o simplemente una función vectorial. Como se ilustra en la FIGURA 3.1.1, paraun número dado to, el vector reto) es el vector de posición de un punto P sobre la curva C. Enotras palabras, cuando varía t, podemos prever la curva e como si fuera trazada por la punta deflecha móvil de r(t).

y

e

e

r----1--y

x

a) Espacio bidimensional b) Espacio tridimensional

FIGURA 3.1.1 Funciones vectoriales en los espacios bidimensional y tridimensional

I Rectas Ya se dio un ejemplo de ecuaciones paramétricas así como la función vectorial deuna curva espacial en la sección 1.5 donde analizamos la recta en el espacio tridimensional.Recuerde, las ecuaciones paramétricas de una recta L que pasa por un punto Po(xo, Yo,lo) en elespacio y es paralela a un vector v = (a, b, e), v i= O, son

x = Xo + at, Y = Yo+ bt, Z = Zo + ct, -00 < t < oo.

Estas ecuaciones resultan del hecho de que los vectores r - ro y v son paralelos de modo quer - ro es un múltiplo escalar de v, esto es, r - ro = tv. En consecuencia, una función vectorialde la recta L está dada por r(t) = ro + tv. La última ecuación se expresa en las formas alternas

r(t) = (xo + at, Yo+ bt, Zo + ct)

r(t) = (xo + at)i + (Yo + bt)j + (lo + ct) k.y

Si r¿ = (xo, Yo,Zo)Yr¡ = (XI>Yl>z.) son los vectores de posición de dos puntos distintos Po YP ¡,

entonces podemos considerar v = rl - ro = (XI - Xo, YI - Yo,ZI - lo). Una función vectorialde la recta que pasa por los dos puntos es r(t) = ro + t(rl - ro) o

r(t) = (1 - t)ro + trl. (5)

Si el intervalo del parámetro es cerrado [a, b], entonces la función vectorial (5) traza el segmen-to de recta entre los puntos definidos por r(a) y r(b). En particular, si O ::; t::; 1 Y r =O - t)ro + tr¡, entonces la orientación es tal que r(t) traza el segmento de recta del punto Po alpunto P1•

~ Gráfica de una función vectorialEncuentre una función vectorial del segmento de recta del punto Po(3, 2, -1) al punto P1

0,4,5).

Solución Los vectores de posición correspondientes a los puntos dados son ro = (3,2, -1) Yr¡ = (1,4,5). Entonces, de (5) una función vectorial para el segmento de recta es

r(t) = (1 - t)(3, 2, -1) + t(l, 4, 5)

r(t) = (3 - 2t,2 + 2t, -1 + 6t),o

donde O ::; t ::; 1. La gráfica de la ecuación vectorial está dada en la FIGURA 3.1.2.

~ Gráfica de una función vectorialGrafique la curva e trazada por la función vectorial

r(t) = 2 cos ti + 2 sen tj + tk, t ~ O.

Solución Las ecuaciones paramétricas de la curva e son x = 2 cos t, y = 2 sen t, Z = t. Al eli-minar el parámetro t de las primeras dos ecuaciones,

x2 + l = (2 cos t)2 + (2 sen t)2 = 22,

observamos que un punto sobre la curva yace en el cilindro circular x2 + l = 4. Como adver-timos en la FIGURA 3.1.3 Y la tabla adjunta a la misma, cuando aumenta el valor de t, la curva seenrolla hacia arriba en una espiral cilíndrica o una hélice circular.

t O 7T12 7T 37T/2 27T 57T/2 37T 77T/2 47T 97T12

x 2 O -2 O 2 O -2 O 2 O

Y O 2 O -2 O 2 O -2 O 2

z O 7T/2 7T 37T/2 27T 57T/2 37T 77T/2 47T 97T/2

cilindro 'lx2+/=4

(777) "". (O, 2, T)

O, -2, 2 " .._~__•••.__ (-2,O,37T)

(2,O,47T) • (577)37T • O, 2, 2

(O,-2, 2)", _.. __.~.. ( )>"'1'-+- - 2, O, 7T

(2,O,27T) (O, 2,~)

~--y

(2,0,0)x

FIGURA 3.1.3 Gráfica de la función vectorial del ejemplo 2

I Curvas helicoidales La curva en el ejemplo 2 es una de varios tipos de curvas espacialesconocidas como curvas helicoidales. En general, una función vectorial de la forma

r(t) = a cos kti + asen ktj + ctk

describe una hélice circular. El número 27TCj k recibe el nombre de horquilla de una hélice. Unahélice circular es sólo un caso especial de la función vectorial

r(t) = a cos kti + b sen ktj + ctk,

que describe una hélice elíptica cuando a *- b. La curva definida por

r(t) = at cos kti + bt sen ktj + ctk

se denomina hélice cónica. Por último, una curva dada por

r(t) = asen kt cos ti + asen kt sen tj + a cos ktk

se llama hélice esférica. En (6)-(9) se supone que a, b, e y k son constantes positivas.

3.1 Funciones vectoriales 99

• x

Po(3,2,-I)

FIGURA 3.1.2 Segmento de rectadel ejemplo 1

•

(6)

(7)

La hélice definida por (6) seenrolla hacia arriba a lo largodel eje z. La horquilla es laseparación vertical de los lazosde la hélice.

(8)

(9)


z

xFIGURA3.1.5 Círculo en unplano en el ejemplo 4

v2 ."~~/ :I II II II II II II II II II II I

I

> > /x-+ y-= 9 x

FIGURA3.1.6 Curva e deintersección del ejemplo 5

l!ID:liDJICurvas helicoidalesa) Si se intercambian, por ejemplo, las componentes y y z de la función vectorial (7), obte-

nemos una hélice elíptica que se enrolla lateralmente a lo largo del eje y. Por ejemplo,con la ayuda de un SAC, la gráfica de la hélice elíptica

r(t) = 4 cos ti + tj + 2 sen tk

se muestra en la FIGURA 3.1.4a).

b) La figura 3.1.4b) muestra la gráfica de

r(t) = t cos ti + t sen tj + tk

e ilustra por qué una función vectorial de la forma dada en (8) define a una hélice cóni-ca. Para mayor claridad, se ha decidido suprimir la caja que por omisión rodea a la sali-da 3D de Mathematica.

25~~

z z O

4

-25

-50-50

-25 Ox 25

50b) Hélice cónicaa) Hélice elíptica

FIGURA 3.1.4 Curvas helicoidales del ejemplo 3 •I!IBDI Gráfica de una función vectorialGrafique la curva trazada por la función vectorial r(t) = 2 cos ti + 2 sen tj + 3k.

Solución Las ecuaciones paramétricas de la curva son las componentes de la función vectorialx = 2 cos t, y = 2 sen t, Z = 3. Como en el ejemplo 1, advertimos que un punto sobre la curvadebe yacer sobre el cilindro x2 + / = 4. Sin embargo, puesto que la coordenada z de cualquierpunto tiene el valor constante z = 3, la función vectorial r(t) traza un CÍrculo en el plano 3 uni-dades arriba y paralelo al plano xy. Vea la FIGURA3.1.5. •

y

~ Curva de intersección de dos superficiesDetermine la función vectorial que describe la curva e de intersección del plano y = 2x y elparaboloide z = 9 - x2 - /.

Solución Primero se parametriza la curva e de intersección dejando x = t. Se deduce quey = 2t y z = 9 - t2 - (2t)2 = 9 - 5t2. De acuerdo con las ecuaciones paramétricas

x = t, Y = 2t, Z = 9 - 5P, -00 < t < 00,

vemos que una función vectorial que describe el trazo del paraboloide en el plano y = 2x estádada por

r(t) = ti + 2tj + (9 - 5t2)k.

Vea la FIGURA3.1.6. •~ Curva de intersección de dos cilindrosEncuentre la función vectorial que describe la curva e de intersección de los cilindros y = x2 Yz = x3

.

Solución En el espacio bidimensionalla gráfica de y = x2 es una parábola en el plano xy y porello en el espacio tridimensional es un cilindro parabólico cuyo bastidor es perpendicular al

3.1 Funciones vectoriales 101

plano xy, esto es, paralelo al eje z. Vea la FIGURA3.1.7a). Por otro lado, z = x3 puede interpretarsecomo un cilindro cúbico cuyo bastidor es perpendicular al plano zz, esto es, paralelo al eje y. Veala figura 3.1.7b). Como en el ejemplo 5, si se deja x = t, entonces y = t2 y z = t3. Una funciónvectorial que describe a la curva e de intersección de los do cilindros es entonces

donde -00 < t < oo.

z5

o

-5

a)y=x2

b)z=x3

FIGURA 3.1.7 a) y b) dos cilindros; e) curva e de intersección en el ejemplo 6

(10)

e)

•La curva e definida por la función vectorial (10) recibe el nombre de cúbica trenzada. Con

la ayuda de un SAC e ha graficado r(t) = ti + t2j + t3k en la FIGURA 3.1.8. Las partes a) y b)de la figura muestran dos perspectivas, o puntos de vista, distintas de la curva e de intersec-ción de los cilindros y = x2 y Z = x3. En la figura 3.1.8c) advertimos la naturaleza cúbica de eutilizando un punto de vista que es hacia el plano xz. La cúbica trenzada tiene varias propieda-des de interés para los matemáticos y por ello se estudia frecuentemente en cursos avanzados degeometría algebraica.

0.5 I I

-0.5

-- -L__-------I

a) Viendo hacia arriba la curva b) Viendo hacia abajo la curvaFIGURA 3.1.8 Cúbico trenzado del ejemplo 6

x-1 -O 5 O 05<, /1

~

V \

0.5

O z

-0.5

e) Viendo en el plano xz

DESARROLLE SU COMPETENCIA Las respuestas de los problemas impares comienzan en la página RES-9.

= FundamentosEn los problemas 1-4, encuentre el dominio de la función vec-torial dada.1. r(t) = ~i + 3tj

2. r(t) = (t + l)i + ln(1 - t2)j

3. r(t) = ti + ~t2j - sen " tk

4. r(t) = e-ti + cos tj + sen 2tk

En los problemas 5-8, escriba las ecuaciones paramétricasdadas como una función vectorial r(t).

s. x = sen -trt, y = cos ttt, Z = -COS27ft

6. x = cos? t, y = 2 serr' t, Z = t2

8. x = -16P,y = 50t,z = 10


En los problemas 9-12, escriba la función vectorial dada r(t) 33.como ecuaciones paramétricas.

9. r(t) = t2i + sen tj + cos tk

10. r(t) = t sen t(i + k)

11. r(t) = In ti + (l + t)j + t3k

12. r(t) = 5 sen t sen 3ti + 5 cos 3tj + 5 cos t sen 3tk

En los problemas 13-22, grafique la curva trazada por la fun-ción vectorial que se indica.

13. r(t) = 2 sen ti + 4 cos tj + tk, t 2: O

14. r(t) = ti + cos tj + sen tk, t 2: O

15. r(t) = ti + 2tj + cos tk, t 2: O16. r(t) = 4i + 2 cos tj + 3 sen tk

17. r(t) = (e', e2')

18. r(t) = cosh ti + 3 senh tj

19. r(t) = (V2 sen t, V2 sen t, 2 cos t), 0::5 t ::5 7T/2

20. r(t) = ti + t3j + tk

21. r(t) = e' cos ti + e' sen tj + e'k

22. r(t) = (t cos t, t sen t, t2)

En los problemas 23 y 24, grafique la recta cuya función vec-torial se indica.

23. r(t) = (4 - 4t)i + (2 - 2t)j + 3tk

24. r(t) = (2 + 3t)i + (3 + 2t)j + 5tk

25. Encuentre una función vectorial para el segmento derecta en el espacio bidimensional con orientación tal quer(t) traza la recta desde el punto (4, O) hasta el (0,3).Dibuje el segmento de recta.

26. Determine una función vectorial para el segmento derecta en el espacio tridimensional con orientación tal quer(t) traza la recta desde el punto (1, 1, 1) hasta (O, O, O).Dibuje el segmento de recta.

En los problemas 27-32, encuentre la función vectorial r(t)que describe la curva e de intersección entre las superficiesdadas. Dibuje la curva C. Emplee el parámetro indicado.

27. z = x2 + l, y = x; x = t

28. x2 + l - Z2 = 1, Y = 2x; x = t

29. x2 + l = 9, Z = 9 - X2; X = 3 cos t

30. Z = x2 + l, Z = 1; x = sen t

31. x + y + Z = 1, Y = x; x = t

32. 3x - 2y + z = 6, x = 1; Y = t

En los problemas 33-36, asocie la gráfica indicada con una delas funciones vectoriales en a)-d).

a) r(t) = ti + cos 3tj + sen 3tk

b) r(t) = sen6ti + tj + tk

e) r(t) = cos ti + sen tj + (1 - sen t)k

á) r(t) = cos ' ti + serr' tj + 5k

oFIGURA 3.1.9 Gráfica del problema 33

34.

2

1.5

Z l

-0.5 Oy 0.5 l

FIGURA 3.1.10 Gráfica del problema 34

35.

10

Z 5]

0.5O x

-0.5

~ -0.5 _]-]

Gráfica del problema 35FIGURA 3.1.11

36.

FIGURA 3.1.12 Gráfica del problema 36

37. Demuestre que los puntos sobre una hélice cónica

r(t) = at cos ti + bt sen tj + ctk,

a > O, b > O, e > O, yacen sobre un cono elíptico cuyaecuación es

38. Una variación de la hélice cónica del problema 37 estádada por

r(t) = ti + t cos tj + t sen tk.

a) antes de graficar r(t) analice la orientación de lacurva.

b) Utilice un SAC para graficar r(r). Experimente con elintervalo del parámetro y el punto de vista de la curva.

39. La función vectorial

r(t) = ae" cos ti + be" sen tj + cek/k,

a > O, b > O, e > O, k > O describe también a unahélice cónica. Demuestre que los puntos sobre esta héli-ce cónica yacen sobre un cono elíptico cuya ecuaciónestá dada en el problema 37.

40. Un caso especial de la curva en el problema 39 está dadopor

r(t) = ~eO.05/ cos ti + ~eO.05/ sen tj + eo.o5/k.

a) Emplee un SAC para graficar r(t) en relación con -30::5 t ::5 30.

b) Reexamine la figura 3.1.4b). Luego discuta la diferen-cia geométrica básica entre la hélice cónica en el pro-blema 37 y la que se da en el problema 39.

41. Demuestre que los puntos sobre una hélice esférica

r(t) = asen kt cos ti + asen kt sen tj + a cos ktk

yacen sobre una esfera de radio a > O.

42. Un caso especial de la curva en el problema 41 está dadopor

r(t) = sen kt cos ti + sen kt sen tj + cos ktk.

Utilice un SAC para graficar r(t) respecto a k = 1,2,3,4,10, 20 Y O ::5 t ::5 211". Experimente con diferentes pers-pectivas de las gráficas.

3.2 Cálculo de funciones vectoriales

3.2 Cálculo de funciones vectoriales 103

43. a) Use un SAC para superponer las gráficas de los cilin-dros z = 4 - x2 Yz = 4 - y2 sobre los mismos ejes decoordenadas.

b) Encuentre funciones vectoriales que describan las doscurvas de intersección de los cilindros.

e) Emplee un SAC para dibujar ambas curvas en el inci-so b). Superponga las curvas sobre los mismos ejes decoordenadas. Experimente con la perspectiva hastaque la visualización de las gráficas tenga sentido.

44. Suponga que r(t) es una función vectorial no constanteque define a una curva e con la propiedad Ir(t)1 = a,donde a > Oes una constante. Describa geométricamen-te a la curva C.

= Problemas con calculadora/SAC

45. Use un SAC para graficar la función vectorial

r(t) = (10 + sen 20t)cos ti + (10 + sen 20t)sen tj + cos 2tk

para O ::5 t ::5 211".Experimente con diferentes perspecti-vas de la gráfica. Discuta por qué la curva se denominauna espiral toroidal.

46. Utilice un SAC para graficar la función vectorial

r(t) = cos(arctan kt)cos ti + cos(arctan kt)sen tj- sen(arctan kt)k

para -1011" ::5 i s: 1011"Yk = 0.1, 0.2, 03. Experimente condiferentes perspectivas de la gráfica. La curva se conocecomo espiral esférica.

En los problemas 47 y 48, emplee un SAC para graficar lafunción vectorial dada relativa a los valores indicados de k.Experimente con diferentes perspectivas de la gráfica.

47. r(t) = sen kt sen ti + sen kt cos tj + sen tk; k = 2,4

48. r(t) = sen ti + cos tj + In (kt)sen tk; k = 10, 1

I Introducción En esta sección consideraremos el cálculo de funciones de valores vectoriales,en otras palabras, límites, derivadas e integrales de función vectorial. Como los conceptos sonsimilares a los que se discutieron en la sección 2.2, se recomienda un repaso de esa sección.

I Límites y continuidad La noción fundamental de límite de una función vectorial r(t) =

(j(t), g(t), h(t») se define en términos de los límites de las funciones componentes.

Definición 3.2.1 Límite de una función vectorial

Si límf(t), límg(t) y límh(t) existe, entoncest=va t-+a l-+a

lím r(t) = (límf(t), lím g(t), lím h(t»).l-+a t~a I-+a t-+a

(1)

El símbolo t -+ a en la definición 3.2.1 puede, desde luego, sustituirse por t -+ a+, t -+ a,t -+ 00, o t -+ - oo.


Como una consecuencia inmediata de la definición 3.2.1, tenemos el siguiente resultado.

ii) lím [rl(t) + r2(t)] = LI + L2' ....•a

Teorema 3.2.1 Propiedades de los límites

Suponga que a es un número real y Ifmry(z) y límr2(t) existe. Si límrl(t) = LI Y límrzCt) = L2,t-+a l---+a (-+a t-+a

entonces

i) lím crl(t) = cLI, e un escalar' ....•a

iii) lím rl(t) . r2(t) = LI .L2·t ....•a

i) r(a) es definido, ii) lím r(t) existe y' ....•a

iii) límr(t) = r(a).t ....• a

Definición 3.2.2 Continuidad

Una función vectorial r es continua en el número a si

Equivalentemente la función vectorial r(t) = (t(t), g(t), h(t)) es continua en un número a si ysólo si las funciones componentes f, g y h son continuas en a. Por brevedad, a menudo afirma-mos que una función vectorial r(t) es continua en un número a si

lím r(t) = r(a).t ....•a(2)

Escribiendo (2) se supone que las condiciones i) y ii) de la definición 3.2.2 se cumplen en unnúmero a.

I Derivada de una función vectorial La definición de derivada r'(t) de una función vectorialr(t) es el equivalente vectorial de la definición de derivada de una función real de variable real.En la siguiente definición se asume que h representa a un número real distinto de cero.

r(t + h) - r(t)r'(t) = lím ------

h ....•O h (3)

Definición 3.2.3 Derivada de una función vectoriaJ

La derivada de una función vectorial r es

para toda t para la cual existe el límite.

La derivada de r también se escribe dtf dt. El siguiente teorema muestra que en un nivelpráctico, se obtiene la derivada de una función vectorial diferenciando simplemente sus funcio-nes componentes.

r'(r) = (f'(t), g'(l), h'(t)).

Teorema 3.2.2 Diferenciación

Si las funciones componentes f, g y h son diferenciables, entonces la derivada de la funciónvectorial r(t) está dada por

(4)


DEMOSTRACiÓN De (3) tenemos1

r'(t) = lím -h [(f(t + h), g(t + h), h(t + h)) - (f(t), g(t), h(t)))h-->O

= lím / f(t + h) - f(t) , g(t + h) - g(t) , h(t + h) - h(t) \h-->O\ h h h /

\

' f(t + h) - f(t) , g(t + h) - g(t) , h(t + h) - h(t))= lím ' lírn ' 11m -'---,----'-'-h-->O h h-->O h 11-->0 h

= (f'(t), g'(t), h'(t)).

I Curvas suaves Cuando las funciones componentes de una función vectorial r tienen prime-ras derivadas continuas y r'(r) *' O para toda t en un intervalo abierto (a, b), entonces r se diceque es una función suave y la curva e trazada por r se denomina curva suave.

I Interpretación geométrica de r '(t) Si el vector r'(t) existe y no es O en el punto P sobre lacurva e definida por la función vectorial r(t), entonces la derivada r'(r) se define como el vectortangente a la curva en P. Como puede verse en las FIGURAS 3.2.18) Y b), para h > O el vectorr(t + h) - r(t) y el múltiplo escalar

1 r(t + h) - r(t)¡¡-[r(t + h) - r(t)] = h

son paralelos. Suponiendo que el límite

, r(t + h) - r(t)hm------11-->0 h

existe, entonces los vectores r(t) y r(t + h) se vuelven cada vez más cercanos cuando h ----+ O.Como sugieren las figuras 3.2.1b) y e), la posición límite del vector [r(t + h) - r(t))/h es unvector sobre la recta tangente en P. También definimos la recta tangente como la recta que pasapor P que es paralela al vector r'(r).

recta tangente

~(ll-; t: -,e

xx

a) Vector secante b) Múltiplo escalar del vector secante

FIGURA 3.2.1 Vector tangente en P sobre una curva ee) Vector tangente

_ El vector r'(t)

Considere la curva e en el espacio bidimensional que es trazada por un punto P cuya posiciónestá dada por r(t) = cos 2ti + sen tj, -7r/2:S i s: 7r/2. Encuentre la derivada r'(r) y grafique losvectores r'(O) y r'( tt /6).

Solución La curva e es suave debido a que las funciones componentes de r(t) = cos 2t i + sen t jtienen derivadas continuas y r(t) *' O sobre el intervalo abierto (-7r/2, 7r/2). De (4),

r'(t) = -2 sen 2ti + cos tj.

En consecuencia, r'(O) = j y r'(7r/6) = -V3i + ~V3j.

Para graficar e primero eliminamos el parámetro de las ecuaciones para métricas x = cos 2t,y = sen t:

x = cos 2t = cos? t - serr' t = 1 - 2 serr' t = 1 - 2/.

Puesto que -7r/2:S t :S 7r/2, advertimos que la curva e es la porción de la parábolax = 1 - 2/ sobre el intervalo definido por -1 :S x :S 1. Los vectores r'(O) y r'( tt /6) se dibu-jan tangentes a la curva e en (1, O) y (!, !), respectivamente. Vea la FIGURA 3.2.2. •

•

r'(O)

~--~---~~X

e

FIGURA 3.2.2 Curva e y vectoresdel ejemplo I


~ Ecuaciones paramétricasEncuentre las ecuaciones paramétricas de la recta tangente a la curva e cuyas ecuaciones para-métricas son x = t2, y = t2 - t, Z = -7t en el punto correspondiente a t = 3.

Solución La función vectorial que produce la posición de un punto P sobre la curva está dadapor r(t) = t2i + (t2 - t)j - 7tk. Ahora,

r'(t) = 2ti + (2t - l)j - 7k Y r'(3) = 6i + 5j - 7k.

El vector r'(3) es tangente a e en el punto P cuyo vector de posición es

r(3) = 9i + 6j - 21k,

esto es, en el punto P(9, 6, -21). Al emplear las componentes de r'(3), advertimos que las ecua-ciones paramétricas de la recta tangente son

x = 9 + 6t, Y = 6 + 5t, Z = -21 - 7t. •• Derivadas de orden superior Las derivadas de orden superior de una función vectorial seobtienen también diferenciando sus componentes. En el caso de la segunda derivada, tenemos

r"(t) = (f"(t), g"(t), h"(t») = f"(t)i + g"(t)j + h"(t)k.

l:!ImDII Vectores r'(t) y r"(t)

Si r(t) = (t3 - 2t2)i + 4tj + e-1k, entonces

r'(t) = (3t2 - 4t)i + 4j - e-1k

y r"(t) = (6t - 4)i + e-1k.

(5)

•En el siguiente teorema se enlistan algunas reglas de diferenciación para funciones vectoriales.

Teorema 3.2.3 Reglas de diferenciación

Considere que r, r¡ Y r2 son funciones vectoriales diferenciables y J(t) es una función escalardiferenciable.

i) ![r,(t) + rz(t)] = r~(t) + ri(t)

ii) ![f(t)r(t)] = J(t)r'(t) + f'(t) r(t)

iii) ![r(f(t)] = r'(f(t»f'(t) (regla de la cadena)

iv) :t[r,(t). r2(t)] = r,(t) . ri(l) + r~(t)· rz(t)

dv) dt[r,(t) X r2(t)] = r,(t) X ri(t) + r~(t) X r2(t)

DEMOSTRACiÓN DE iv) Si r,(l) = (J,(t), g,(t), h,(t») y rz(t) = (J2(t), g2(t), h2(t»), entonces por(2) de la sección 1.3 el producto punto es la función escalar

r,(t) . r2(t) = ft(t)J2(t) + g,(t)gz(t) + h,(t)hz(t).

Después de usar la regla del producto agrupamos los términos:

d d d ddt r¡(t) . rit) = d/' (t)fz(t) + dt g, (t)g2(t) + dt h, (t)h2(t)

= J,(t)Ji(t) + J~(t)J2(t) + g,(t)gi(t) + g~(t)g2(t) + h,(t)hi(t) + h~Ct)h2(t)

= (ft(t), g,(t), h,(t») . (Ji(t), giCt), hi(t)) + (J~(l), g~Ct), h~(t») . (Jit), g2(t), h2(t»)

= r,(t) . ri(l) + r~(t) . r2(t). •

Nota: Puesto que el producto cruz de dos vectores no es conmutativo, el orden en el cual r, yr2 aparecen en la parte v) del teorema 3.2.3 debe observarse estrictamente. Desde luego, en iv) yv) podemos efectuar el producto punto y el producto cruz primero y después diferenciar el esca-lar o la función vectorial resultantes.


I Integrales de funciones vectoriales Si r(t) = f(t)i + g(t)j + h(t)k es una función vectorialcontinua sobre el intervalo [a, b], entonces la integral indefinida de r está definida por

f r(t)dt = [ff(t)dt} + [f g(t)dt]j + [J h(t)dt]k.

La integral indefinida de r es otro vector R + e, donde e es un vector constante, tal queR'(r) = r(t). Debido a la continuidad de las funciones componentes f, g y h, la integral definidade r(t) sobre [a, b] puede definirse como

ib n

a r(t)dt = }.!..~~ r(t;;)Llt

= [}.!..~~f(tk)Llt} + [,~~ ~ g(tDLlt]j + [}.!..~~ h(tDLlt] k.

En otras palabras, r r(t)dt = [rf(t)dt} + [rg(t)dt]j + [rh(t)dt]k.

El teorema fundamental del cálculo, extendido a funciones vectoriales, esrr(t)dt = R(t)r = R(b) - R(a),

donde R es una función vectorial tal que R'(t) = r(t).

~ Integrales~--~-------------------------------------------------------a) Si r(t) = 6ri + 4e-21j + 8 cos 4tk, entonces

f r(t)dt = [f 6t2dt] i + [f 4e-2Idt]j + [f 8 cos 4tdt] k

= [2t3 + cdi + [-2e-21 + C2]j + [2 sen 4t + C3] k= 2t3i - 2e-21j + 2 sen 4tk + e,

donde e = c)i + C2j + c3k. Las componentes c), C2 Y C3 del último vector son cons-tantes reales arbitrarias.

b) Si r(t) = (4t - 3)i + 12t2j + ~k, entonces1 + t

[r(t)dt = (2t2 - 3t)i + 4t3j + 2 tan " tk [)

= (-i + 4j + 2· : k) - (Si - 4j - 2· : k)= -6i + 8j + 7Tk. •

I Longitud de una curva espacial En la sección 2.2 vimos que la fórmula de la longitud dearco para una curva suave e en el espacio bidimensional definida por las ecuaciones paramétri-cas x = f(t), Y = g(t), a :5 t :5 b, es

L = fV[f'(t)]2 + [g'(t)]2dt = f~(:Y+ (:Ydt.a a

De manera similar, si e es una curva suave en el espacio tridimensional definida por las ecua-ciones paramétricas

x = f(t), Y = g(t), Z = h(t), a:5 t :5 b,

entonces como hicimos en la sección 2.2 podemos construir una integral definida utilizando unatrayectoria poligonal, como se ilustra en la FIGURA 3.2.3, para llegar a la integral definida

L = rV[f'(t)]2 + [g'(t)]2 + [h'(t)]2dt = r~(:Y+ (:Y + (~~ydt (6)

~

(f(b),g(b)'h(b))

e

(f(a), g(a), h(a)) y

x

FIGURA 3.2.3 Aproximación dela longitud de e (por medio de lalongitud de una trayectoria poli-gonal)


que define la longitud L de la curva entre los puntos (f(a), g(a), h(a» y (f(b), g(b), h(b». Si lacurva e se traza por medio de una función suave de valores vectoriales r(t), entonces su longi-tud entre el punto inicial en t = a y el punto terminal en t = b puede expresarse en términos dela magnitud de r'(z):

L = flr/(t)ldt.a

(7)En (7), [r'(z) I es

Ir/(t)1= V[f/(t)]2 + [g/(t)]2 o Ir/(t)I = V[f'(t)]2 + [g/(t)]2 + [h'(t)]2

dependiendo de si e está en el espacio bidimensional o tridimensional, respectivamente.

I Función de la longitud de arco La integral definida

s(t) = flr/(u)ldua

(8)

se llama la función de longitud de arco para la curva C. En (8) el símbolo u es una variable deintegración sustituta. La función s(t) representa la longitud de e entre los puntos sobre la curvadefinida por los vectores de posición r(a) y r(t). Muchas veces es útil parametrizar unacurva suave e en el plano o en el espacio en términos de la longitud de arco s. Al evaluar (8) seexpresa s como una función del parámetro t. Si podemos resolver esa ecuación para t en térmi-nos de s, entonces es factible expresar r(t) = (t(t), g(t») o r(t) = (t(t), g(t), h(t») como

res) = (x(s), y(s)) o res) = (x(s), y(s), z(s»).

El siguiente ejemplo ilustra el procedimiento para determinar una parametrización de lon-gitud de arco res) para una curva C.

~ Una parametrización de longitud de arco

Encuentre una parametrización de longitud de arco de la hélice circular del ejemplo 2 de la sec-ción 3.1:

r(t) = 2 cos ti + 2 sen tj + tk.

Solución De r'(z) = -2 sen ti + 2 cos tj + k se encuentra [r'(z) I = YS. Se deduce de (8) quela longitud de la curva empezando en r'(O) hasta un punto arbitrario definido por r(t) es

s = fYSdU = YSu 1= YSt.

Al resolver s = YSt para t se encuentra que t = s/YS. Al sustituir respecto a t en r(t) obtene-mos una función vectorial de la hélice como una función de la longitud de arco:

(9)

Las ecuaciones paramétricas de la hélice son entonces

s sx = 2 cos YS' y = 2 sen YS'

sz=-'YS •Advierta que la derivada de la función vectorial (9) respecto a la longitud de arco s es

Es particularmente fácil encon- ~trar una parametrización de lon-gitud de arco de una rectar(t) = ro + tv, Vea el problema Y su magnitud es49 en los ejercicios 3.2.

/( ) 2 s. 2 s. 1 kr s = --sen-I + -cos-J + -YS YS YS YS YS

1/ 1- /4 2 s 4 2 S 1 _ {5_res) - ,tssen YS + SCos YS + S - Vs - 1.

El hecho de que [r'(sj] = 1 indica que r'(s) es un vector unitario. Esto no es coincidencia. Comohemos visto, la derivada de una función vectorial r(t) con respecto al parámetro t es un vector


tangente a la curva e trazada por r. Sin embargo, si la curva e se parametriza en términos de lalongitud de arco s, entonces:

• La derivada r '(s) es un vector tangente unitario. (10)

Para ver por qué esto es así, recuerde que la forma de la derivada del teorema fundamental delcálculo muestra que la derivada de (8) con respecto a t es

dsdt = Ir'Ct)I· (11)

Sin embargo, si la curva e es descrita por una parametrización de longitud de arco res), enton-ces (8) muestra que la longitud s de la curva de r(O) a res) es

s = i'lr'(u)ldU.

dComo dss = 1, la derivada de (12) con respecto a s es

!s = Ir'(s)1 o Ir'(s)I

En la siguiente sección veremos por qué (lO) es importante.

(12)

1.


= FundamentosEn los problemas 1-4, evalúe el límite dado o enuncie que ésteno existe.1. lím [t3i + t4j + t5k]

1~2

2. lílll[sen 2ti + (t - 2)5j + t In tk]I~O t

\

t2 - 1 St - 1 2e'-¡ - 2)3 lím -- --- ----• H¡ t - l' t + l' t - 1

, \ e21 e -1 _ ¡ )4. 11m 2' ,tan tI~OO 2e 1 + t 2e-1 + 5

En los problemas 5 y 6, suponga que

Iím r.Ir) = i - 2j + k Y límrit) = 2i + Sj + 7k.t~a l---t-a

Encuentre el límite dado.5. lím [ -4r¡ (r) + 3r2(t)]

I~a6. límr¡(t)·rit)

I~a

En los problemas 7 y 8, determine si la función vectorial indi-cada es continua en t = l.

7. r(t) = (t2 - 2t)i + t ~ 1j + ln(t - l)k

8. r(t) = sen mi + tan l7tj + cos mk

En los problemas 9 y 10, encuentre los dos vectores indicadospara la función vectorial dada.

9. r(t) = (3t - l)i + 4t2j + (St2 - t)k;

110. r(t) = 1+ St i+ (3t2 + t)j + (1- t)3k;

r(l.l) - r(l)r'(l), 0.1

r(O.OS) - r'(Ü)r'(O), 0.05

En los problemas 11-14, determine r'(t) y r"Ct) para la funciónvectorial dada.

11. r(t) = In ti + lj, t > Ot

12. r'(r) = (t cos t - sen t, t + cos t)

13. r(t) = (te21, t', 4t2 - t)

14. rCt) = t2i + t3j + tan " tk

En los problemas 15-18, grafique la curva e que es descritapor r(t) y grafique r'(t) en el punto correspondiente al valorindicado de t.15. r(t) = 2 cos ti + 6 sen tj; t = 17/6

16. r(t) = t3i + t2j; t = -1

17. r'(r) = 2i + tj + ~k; t = 11 + t

18. r'(z) = 3 cos ti + 3 sen tj + 2tk; t = 17/4

En los problemas 19 y 20, encuentre ecuaciones paramétricasde la recta tangente a la curva dada en el punto correspondien-te al valor que se indica de t.

1 119. x = t, Y = 2t2, Z = 3't3; t = 2

20 x = t3 - t Y = ~ z = (2t + 1)2. t = 1. 't + l' ,

En los problemas 21 y 22, determine un vector tangente uni-tario para la curva dada en el punto correspondiente al valorque se indica de t. Encuentre ecuaciones paramétricas de larecta tangente en este punto.

21. r(t) = te'i + (f + 2t)j + (f - t)k; t = O

22. r'(r) = (1 + sen 3t)i + tan 2tj + tk; t = 17


En los problemas 23 y 24, encuentre una función vectorial dela recta tangente a la curva dada en el punto correspondienteal valor que se indica de t.

23. r(t) = (cos t, sen t, t); t = 7T/324. r(t) = (6e-'/2, e", e3t); t = O

En los problemas 25-30, determine la derivada indicada.Suponga que todas las funciones vectoriales son diferenciables.

d d25. dt [r(t) X r'(t)] 26. dt [r(t) . (tr(t))]

d d27. dt [r(t) . (r'(r) X r"(t))] 28. dt [rl(t) X (r2(t) X r3(t))]

29. ![r¡(2t) + ril/t)] 30. :t[t3r(t2)]

En los problemas 31-34, evalúe la integral dada.

31. r(ti + 3t2j + 4t3k)dt

32. fCv'2t+li - Vtj + sen 7Ttk)dt

33. I(te'i - e-2'j + te,2k)dt 34. I_l_2(i + tj + t2k)dt1 + t

En los problemas 35-38, encuentre una función vectorial r(t)que satisfaga las condiciones indicadas.

35. r'(t) = 6i + 6tj + 3t2k; r'(G) = i - 2j + k

36. r'(t) = t sen t2i - cos 2tj; r'(D) = ~i37. r"(t) = l2ti - 3t-I/2j + 2k; r'(l) = j, r(l) = 2i - k

38. r"(t) = sec? ti + cos tj - sen tk;r'(O) = i + j + k, r'(O) = - j + 5k

En los problemas 39-42, encuentre la longitud de la curva tra-zada por la función vectorial dada en el intervalo que se indica.

39. r(t) = a cos ti + asen tj + ctk; 0:5 i s: 27T

40. r(t) = ti + t cos tj + t sen tk; 0:5 i s: 7T41. r(t) = e' cos 2ti + e' sen 2tj + e'k; 0:5 t :5 377

42. r(t) = 3ti + \3t2j + ~t3k; 0:5 t :5 1

En los problemas 43-46, emplee (8) y la integración de u = Oa u = t para determinar una parametrización de longitud dearco res) para la curva dada. Verifique que r'(s) es un vectorunitario.

43. r(t) = 9 sen ti + 9 cos tj

44. r(t) = 5 cos ti + l2tj + 5 sen tk

45. r(t) = (1 + 2t)i + (5 - 3t)j + (2 + 4t)k46. r(t) = e' cos ti + e' sen tj + k

= Piense en ello47. Suponga que r es una función vectorial diferenciable

para la cual Ir(t) I = e para toda t. Demuestre que el vec-tor tangente r'(t) es perpendicular al vector de posiciónr(t) para toda t.

48. Si v es un vector constante y r(t) es integrable sobre [a, b],demuestre que rv· r(t)dt = v . rr(t)dt.

a a

49. Suponga que r(t) = ro + tv es una ecuación vectorial deuna recta, donde ro y v son vectores constantes. Utilicela función de longitud de arco s = I~lr'(u)1 du parademostrar que una parametrización de longitud de arco

de la recta está dada por res) = ro + s I~I' Demuestreque r'(s) es un vector unitario. En otras palabras, paraobtener una parametrización de longitud de arco de unarecta sólo se necesita normalizar al vector v.

50. Emplee los resultados del problema 49 para encontraruna parametrización de longitud de arco de cada una delas siguientes rectas.

a) r(t) = (1 + 3t,2 - 4t) = (1,2) + t(3, -4)b) r(t) = (1 + t, 1 + 2t, 10 - t)

3.3 Movimiento sobre una curvaI Introducción Suponga que una partícula o cuerpo se mueve a lo largo de la curva e de mane-ra que su posición en el tiempo t está dada por la función de valores vectoriales

Podemos describir la velocidad y la aceleración de la partícula en términos de derivadas de r(t).

r(t) = f(t)i + g(t)j + h(t)k.

I Velocidad y aceleración Si/, g Y h tienen segundas derivadas, entonces los vectores

v(t) = r'(t) = f'(t)i + g'(t)j + h'(t)k

a(t) = r"(t) = f"(t)i + g"(t)j + h"(t)k

(1)

(2)

se denominan la velocidad y la aceleración de la partícula, respectivamente. La función escalar

Iv(t) I = [r'(r) I = Y[f'(t)]2 + [g'(t)]2 + [h'(t)]2 (3)

es la rapidez de la partícula. La rapidez se relaciona con la longitud de arco. De (7) de la sec-ción 3.2 se observa que si una curva e es trazada por una función de valores vectoriales suave

r(t), entonces su longitud entre el punto inicial en t = a y el punto terminal en t = b está dada porL = rlr'(t)1 dt. En vista de (1) y (3), esto es lo mismo que

a

L = fIV(t),dt. (4)

Si P(x" y" z.) es la posición de la partícula sobre la curva e en el tiempo ti, entonces envista de la discusión en la sección 3.2 acerca de la interpretación geométrica de r'(t) concluimosque

• v(t,) es tangente a la curva e en P.

Se hacen comentarios similares para curvas trazadas por la función vectorial r(t) = f(t)i + g(t)j.

~ Gráfica de la velocidad y la aceleraciónLa posición de una partícula en movimiento está dada por r(t) = t2i + tj + ~tk. Grafique lacurva e definida por r(t) y los vectores v(2) y a(2).

Solución Puesto que x = t2, Y = t, la trayectoria de la partícula está por arriba de la parábolax = y2 que yace en el plano xy. Cuando t = 2, el vector de posición r(2) = 4i + 2j + 5k indi-ca que la partícula está en el punto P(4, 2, 5) sobre C. Ahora,

v(t) = r'(t) = 2ti + j + ~k Y a(t) = r"(t) = 2i

v(2) = 4i + j + ~ k Y a(2) = 2i.de modo que

Estos vectores se ilustran en la FIGURA3.3.1.

Si una partícula se mueve con una rapidez constante e, entonces su vector de aceleración esperpendicular al vector de velocidad v. Para ver lo anterior, advierta que

o

Diferenciamos ambos lados con respecto a t, y con la ayuda del teorema 3.2.3iv) obtenemos

d dv dv dvdt (v . v) = V· dt + dt . v = 2v· dt = O.

dv-·v= Odt

Entonces, o a(t) . v(t) = O para toda t.

l!I:DIiI!iJfJ Gráfica de la velocidad y la aceleraciónSuponga que la función vectorial del ejemplo 4 de la sección 3.1 representa la posición de unapartícula que se mueve en una órbita circular. Grafique los vectores de velocidad y aceleraciónen t = 7T/4.

Solución La función de valores vectoriales

r(t) = 2 cos ti + 2 sen tj + 3k

es el vector de posición de una partícula que se mueve en una órbita circular de radio 2 en elplano z = 3. Cuando t = 7T/4, la partícula está en el punto p(v'2, v'2, 3). En este caso,

v(t) = r'(t) = -2 sen ti + 2 cos tj

y a(t) = r"(t) = -2 cos ti - 2 sen tj.

Puesto que la rapidez Iv(t) I = 2 es constante para todo tiempo t, se sigue de (5) que a(t) es per-pendicular a v(t). (Verifique lo anterior.) Como se muestra en la FIGURA3.3.2, los vectores

v( :) = -2 sen : i + 2 cos : j = - v'2i + v'2j

y a(:) = -2cos:i - 2sen:j = -v'2i - v'2j

se dibujan en el punto P. El vector v(7T/4) es tangente a la trayectoria circular en tanto quea(7T/4) apunta a lo largo de un radio hacia el centro del círculo. •

3.3 Movimiento sobre una curva 111

z

v(2)

P(4, 2, 5)

a(2) e-+,L-+--+-~Y,

,'x=i,, ,, ,""(4,2, O),

X ,

•FIGURA3.3.1 Vectores develocidad y aceleración delejemplo 1

(5)

r---Yx

FIGURA3.3.2 Vectores develocidad y aceleración delejemplo 2


El proyectil se dispara o lanzaen vez de autoimpulsarse. En elanálisis del movimiento de balís-tica de largo alcance, debetomarse en cuenta la curvaturade la Tierra.

FIGURA3.3.3 Vectar deaceleración centrípeta a

y t Vo

(vosenO)j~,\

soj t (vo cas O)i \

~ ~ x

FIGURA3.3.4 Proyectil balística

I Aceleración centrípeta Para el movimiento circular en el plano, descrito mediante r(t) =ro cos wti + ro sen wtj, ro y co constantes, es evidente que r" = -0-r. Esto significa que el vec-tor aceleración a(t) = r"(t) apunta en la dirección opuesta a la del vector de posición r(t). Afirma-mos entonces que a(t) es la aceleración centrípeta. Vea la FIGURA3.3.3. Si v = Iv(t) I ya = la(t) 1,se deja como ejercicio demostrar que a = v2/ ro. Vea el problema 17 en los ejercicios 3.3.

I Movimiento curvilíneo en el plano Muchas aplicaciones importantes de las funciones vecto-riales ocurren en la descripción del movimiento curvilíneo en un plano. Por ejemplo, los movimien-tos planetarios y de proyectiles se efectúan en un plano. Al analizar el movimiento de proyectilesbalísticos de corto alcance, se empieza con la aceleración de la gravedad escrita en forma vectorial

a(t) = -gj.

Si, como se ilustra en la FIGURA3.3.4, se lanza un proyectil con una velocidad inicial va = va cos ei+ va sen ej, desde una altura inicial So = sd, entonces

v(t) = I(-gj)dt=-gtj+C"

donde veO) = va implica que CI = va. Por tanto,

v(t) = (va cos e)i + (-gt + va sen e)j.

Al integrar de nuevo y utilizar r'(O) = So se obtiene

r(t) = (va cos e)ti + [ -kgt2 + (va sen e)t + So]j.Por consiguiente, las ecuaciones paramétricas para la trayectoria del proyectil son

x(t) = (va cos e)t,1

y(t) = -2"gt2 + (va sen e)t + So. (6)

Vea (3) de la sección 2.1.Existe un interés natural en determinar la altura máxima H y la distancia horizontal R máxi-

ma, o alcance, a la que llega el proyectil. Como se muestra en la FIGURA3.3.5, estas cantidades sonlos valores máximos de y(t) y x(t), respectivamente. Para calcular estos valores se determinan lostiempos ti y t2 > O para los cuales y'(tl) = O Yy(t2) = O, respectivamente. Luego

(7)y

y y

-r-----L----~~x -r----------~~~xa) Altura máxima H b) Alcance R

FIGURA3.3.5 Altura y alcance máximos de un proyectil

I!:J:&DI Movimiento de proyectiles

Un obús es lanzado desde el nivel del suelo con una rapidez inicial de 768 pies/s a un ángulo deelevación de 30°. Encuentre

a) la función vectorial y las ecuaciones paramétricas de la trayectoria del obús,b) la altura máxima alcanzada,e) el alcance del obús yá) la rapidez en el impacto.

Solucióna) En términos de vectores, la posición inicial del proyectil es So = O Y su velocidad ini-

cial corresponde a

va = (768 cos 300)i + (768 sen 300)j = 384 '\I3i + 384 j. (8)

3.3 Movimiento sobre una curva 113

Al integrar a(t) = - 32j Yutilizar (8), se obtiene

v(t) = (384V3)i + (-32t + 384)j. (9)

Al integrar (9) y emplear So = O se encuentra la función vectorial

r(t) = (384V3t)i + (-16t2 + 384t)j.Por consiguiente, las ecuaciones paramétricas de la trayectoria del obús son

x(t) = 384 V3t, y(t) = -16t2 + 384t. (10)

b) De (10) advertimos que dyf dt = O cuando

-32t + 384 = O o t = 12.

Entonces, de acuerdo con la primera parte de (7), la altura máxima H alcanzada por elobús es

H = y(12) = -16(12)2 + 384(12) = 2304 pies.

e) De (6) vemos que y(t) = O cuando

-16t(t - 24) = O o t = O, t = 24.De la segunda parte de (7), el alcance R del obús es

R = x(24) = 384 V3(24) = 15963 pies.d) De (9) obtenemos la rapidez de impacto del obús:

Iv(24)I = V(384V3)2 + (-384)2 = 768 pies/s.

r(t) NOTAS DESDE EL AULA

•

La tasa de cambio de la longitud de arco dL/ dt es la misma que la rapidez Iv(t) I = [r'(r) l. Sinembargo, como veremos en la siguiente sección, no se deduce que la aceleración escalard2L/dt2 es la misma que la(t) I = Ir"(t)l. Vea el problema 18 en los ejercicios 3.3.

DESARROLLE SU COMPETENCIA Las respuestas de los problemas impares comienzan en la página RES-lO.

= FundamentosEn los problemas 1-8, r(t) es el vector de posición de una par-tícula en movimiento. Grafique la curva y los vectores develocidad y aceleración en el tiempo indicado. Encuentre larapidez en ese tiempo.

1. r(t) = t2i + it4j; t = 1

2. r(t) = t2i + ~j; t = 1t

3. r(t) = -cosh 2ti + senh 2tj; t = O

4. r(t) = 2 cos ti + (1 + sen t)j; t = 7T/35. r(t) = 2i + (t - 1)2j + tk; t = 2

6. r(t) = ti + tj + t3k; t = 2

7. r(t) = ti + t2j + t3k; t = 1

8. r(t) = ti + t3j + tk; t = 19. Suponga que r(t) = t2i + (t3 - 2t)j + (t2 - 5t)k es el vec-

tor de posición de una partícula en movimiento.a) ¿En qué puntos la partícula pasa por el plano xy?b) ¿Cuáles son su velocidad y aceleración en los puntos

del inciso a)?10. Suponga que una partícula se mueve en el espacio de mane-

ra que a(t) = Opara todo tiempo t. Describa su trayectoria.11. Un obús se lanza desde el nivel del suelo con una rapidez

inicial de 480 pies/s a un ángulo de elevación de 30°. En-cuentre:

a) una función vectorial y las ecuaciones paramétricasde la trayectoria del obús,

b) la altura máxima alcanzada,e) el alcance del obús yd) la rapidez en el impacto.

12. Vuelva a trabajar el problema 11 si el obús se lanza conla misma rapidez inicial y el mismo ángulo de elevaciónpero desde un acantilado a 1 600 pies de altura.

13. Un automóvil se empuja con una rapidez de 4 pies/sdesde un escarpado acantilado frente al mar que tiene unaaltura de 81 pies. Encuentre la rapidez a la cual el auto-móvil golpea el agua.

14. Un pequeño proyectil se lanza desde el nivel del suelocon una rapidez inicial de 98 mis. Encuentre los ángulosposibles de elevación de manera que su alcance sea de490m.

15. Un mariscal de campo de futbol americano lanza una"bomba" de 100 yardas a un ángulo de 45° con respectoa la horizontal. ¿Cuál es la rapidez inicial del balón en elpunto de lanzamiento?

16. Un mariscal de campo lanza un balón de futbol con lamisma rapidez inicial a un ángulo de 60° desde la hori-zontal y después a un ángulo de 30° desde la horizontal.Muestre que el alcance del balón es el mismo en cadacaso. Generalice este resultado para cualquier ángulo delanzamiento O < (J < 7T/2.


17. Suponga que r(t) = ro cos wti + ro sen wtj es el vector deposición de un objeto que se está moviendo en un círcu-lo de radio ro en el plano xy. Si Iv(t)1 = v, muestre quela magnitud de la aceleración centrípeta es a = la(t)1 =

v2/ro.18. El movimiento de una partícula en el espacio tridimen-

sional se describe mediante la función vectorial

r(t) = b cos ti + b sen tj + ctk, t ~ O.

a) Calcule Iv(t)l.b) Calcule la función de longitud de arco s(t) = f ~Iv(u)1

du y verifique que dsfdt es la misma que el resultadodel inciso a).

e) Verifique que d2s/dt2 *- la(t)I.

= Aplicaciones19. Se lanza un proyectil desde un cañón directamente a un

blanco que se deja caer desde el reposo en forma simul-tánea cuando se dispara el cañón. Demuestre que el pro-yectil golpeará al blanco en el aire. Vea la FIGURA 3.3.6.[Sugerencia: Suponga que el origen está en la boca delcañón y que el ángulo de elevación es e. Si rp y r, son losvectores de posición del proyectil y el blanco, respectiva-mente, ¿hay al.gún tiempo en el cual rp = r,?]

FIGURA 3.3.6 Cañón y blancodel problema 19

20. Para dar abasto a las víctimas de un desastre natural, se de-jan caer simplemente equipo sólido y resistente así comopaquetes de suministros de alimentos/medicinas desdeaviones que vuelan horizontalmente a baja rapidez y altu-ra. Un avión de suministros viaja horizontalmente sobreun blanco a una altura de 1 024 pies y una rapidez cons-tante de 180 miIh. Emplee (2) para determinar la distanciahorizontal que recorre un paquete de suministros con rela-ción al punto desde el cual se dejó caer. ¿A qué ángulo dela línea visual ex debe soltarse el paquete de suministropara que dé en el blanco indicado en la FIGURA 3.3.17

::-- a-------------------t-----__ paquete de

"<f. surrurustro I 024 pies\. tb eo

FIGURA 3.3.7 Avión de suministro del problema 20

21. El peso efectivo We de un cuerpo de masa m en el ecua-dor de la Tierra se define mediante We = mg - ma, don-de a es la magnitud de la aceleración centrípeta dada enel problema 17. Determine el peso efectivo de una perso-na de 192 lb si el radio de la Tierra es de 4000 mi,g = 32 pies/s'' y v = 1 530 pies/s.

22. Considere un ciclista que viaja sobre una pista circularplana de radio ro. Si m es la masa combinada del ciclistay la bicicleta, llene los blancos de la FIGURA 3.3.8. [Suge-rencia: Refiérase al problema 17 y a fuerza = masa X

aceleración. Suponga que las direcciones positivas sonhacia arriba y a la izquierda.] El vector resultante U dala dirección a la cual el ciclista debe inclinarse para evi-tar caer. Encuentre el ángulo 4> respecto de la vertical alcual el ciclista debe inclinarse si su rapidez es de44 pies/s y el radio de la pista es de 60 pies.

resultanteU=(_,_)

fuerza ejercida por( O, _ ) la pista = el opuesto

del peso combinadode la bicicletay la persona

FIGURA 3.3.8 Ciclista del problema 22

23. Emplee el resultado que se obtuvo en (6) para demostrarque la trayectoria de un proyectil balístico es parabólica.

24. Se lanza un proyectil con una rapidez inicial Vo desde elsuelo a un ángulo de elevación e. Emplee (6) para demos-trar que la altura y el alcance máximos del proyectil son

v6 sen2 e V6 sen 2eH = 2g Y R = g

respectivamente.25. La velocidad de una partícula que se mueve en un fluido

se describe por medio de un campo de velocidades v =

VIi + v~ + V3k, donde las componentes VI> V2 Y V3 sonfunciones de x, y, z y el tiempo t. Si la velocidad de lapartícula es v(t) = 6t2xi - 4t/j + 2t(z + l)k, determi-ne r(t). [Sugerencia: Emplee separación de variables.]

26. Suponga que m es la masa de una partícula en movimien-to. La segunda ley del movimiento de Newton puedeescribirse en forma vectorial como

d dpF = ma = -(mv) = -,

dt dt

donde p = mv se denomina el momento lineal. Elmomento angular de la partícula respecto al origen sedefine como L = r X p, donde r es el vector de posición.Si el movimiento de torsión de la partícula alrededor delorigen es T = r X F = r X dp/ dt, demuestre que 7' es latasa de cambio en el tiempo del momento angular.

27. Suponga que el Sol se localiza en el origen. La fuerzagravitacional F ejercida sobre un planeta de masa m porel Sol de masa M es

MmF = -k-2-u.

r

F es una fuerza central, esto es, una fuerza dirigida a lolargo del vector de posición r del planeta. Aquí k es laconstante gravitacional, r = [r], u = (l/r)r es un vectorunitario en la dirección de r, y el signo menos indica queF es una fuerza atractiva, esto es, una fuerza dirigidahacia el Sol. Vea la FIGURA3.3.9.

a) Emplee el problema 26 para demostrar que el momen-to de torsión que actúa sobre el planeta debido a estafuerza central es O.

b) Explique por qué el momento angular L del planeta esconstante.

__ -- __ Planeta

Sol

M

FIGURA 3.3.9 Vector de fuerzacentral F del problema 27

= Piense en ello28. Un cañón lanza una bala horizontalmente como se indica

en la FIGURA3.3.10.

a) Cuanto mayor es la cantidad de pólvora que se utiliza,tanto mayor resulta la velocidad inicial Vo de la balade cañón y mayor la distancia a la que llega. Conargumentos matemáticos sólidos explique la razón.

b) Si se ignora la resistencia del aire, explique por qué labala de cañón siempre alcanza el suelo en el mismotiempo, independientemente del valor de la velocidadinicial Vo > O.

e) Si la bala de cañón se suelta simplemente desde laaltura So que se indica en la figura 3.3.10, muestre queel tiempo en el que golpea el suelo es el mis-mo que el tiempo en el inciso b).

VD

..················.·.·.·.·.-~ a.:::~.::::: ·.··.··.·:·::~~·:·:·~::::::·'·'·::::~:::::::.'·-:Ti::

••••

•••••••••••••••••••••••••••••• ,o'~ Bala de cañón ¡

........ que se deja caer ¡

FIGURA3.3.10 Cañón del problema 28

3.4 Curvatura y aceleración

3.4 Curvatura y aceleración 115

= Proyectos29. En este proyecto usted empleará las propiedades de las

secciones 1.4 y 3.1 para demostrar la primera ley deKepler del movimiento planetario.

• La órbita de un planeta es una elipse con el Sol en unfoco.

Se supone que el Sol es de masa M y está ubicado en elorigen, r es el vector de posición de un cuerpo de masa mque se mueve bajo la atracción gravitacional del Sol yu = (l/r)r es un vector unitario en la dirección de r.

a) Emplee el problema 27 y la segunda ley del movi-miento de Newton F = ma para demostrar que

b) Utilice el inciso a) para demostrar que r X r" = O.

e) Utilice el inciso b) para demostrar que 1t (r X v) = O.

ti) Se deduce del inciso e) que r X v = e, donde e es unvector constante. Demuestre que e = r2(u X u').

de) Demuestre que -(u· u) = O y consecuentemente

dtu· u/ = O.

f) Utilice los incisos a), d) y e) para demostrar que

d dudt (v X e) = kM-;¡¡'

g) Después de integrar el resultado en el inciso f) res-pecto a t, se deduce que v X e = kMu + d, donde des otro vector constante. Efectúe el producto punto enambos lados de esta última expresión con el vectorr = ru y utilice el problema 61 de los ejercicios 1.4para demostrar que

c2/kMr = -l-+-(d-/ k-M)-c-o-s-O'

Ir

donde e = [e], d = [d], y O es el ángulo entre d y r.h) Explique por qué el resultado del inciso e) prueba la

primera ley de Kepler.i) En el perihelio, los vectores r y v son perpendiculares

y tienen magnitudes ro y vo, respectivamente. Empleeesta información y los incisos d) y g) para demostrarque e = rovo y d = rov6 - kM.

• Introducción Sea e una curva suave en el espacio bidimensional o tridimensional que es tra-zada por la función de valores vectoriales r(t). En esta sección consideraremos con mayor deta-lle el vector aceleración a(t) = r"(t), introducido en la sección anterior. Sin embargo, antes dehacer esto, es necesario examinar una cantidad escalar llamada curvatura de una curva.


T

P,FIGURA 3.4.1 El vector tangentecambia con respecto a la longitudde arco

oGran curvatura K

Pequeña curvatura K

FIGURA 3.4.2 Curvatura de uncírculo en el ejemplo 1

I Curvatura Si r(t) define a una curva e, entonces se sabe que r'(t) es un vector tangente en unpunto P sobre C. En consecuencia,

r'(t)T(t) = Ir'(t) I (1)

es una tangente unitaria. Sin embargo, es necesario recordar del final de la sección 3.2 que sie es parametrizada por una longitud de arco s, entonces la tangente unitaria a la curva tambiénestá dada por dr] ds. Como vimos en (11) de la sección 3.3, la cantidad Ir'(t)1 en (1) se relacionacon la función de longitud de arco s por medio de ds] dt = [r'(z) l. Puesto que la curva e es suave,se sabe que dsf dt > O. Por consiguiente, mediante la regla de la cadena,

dr dr dsdt ds dtdr _ dr/dt _ r'(t) _ T tds - ds/dt - Ir'(t) I - ().y por ello (2)

Suponga ahora que e es como se ilustra en la FIGURA 3.4.1. Conforme s aumenta, T se mueve a lolargo de e cambiando dirección pero no longitud (siempre es de longitud unitaria). A lo largo dela parte de la curva entre P, y P2 el vector T varía poco en dirección; a lo largo de la curva entreP2 y P3, donde e se dobla obviamente en forma más pronunciada, el cambio en la direcciónde la tangente T es más pronunciado. Utilizaremos la tasa a la cual el vector unitario T cam-bia de dirección respecto a la longitud de arco como un indicador de la curvatura de una curvasuave C.

Definición 3.4.1 Curvatura

Sea r(t) una función vectorial que define a una curva suave C. Si s es el parámetro de lon-gitud de arco y T = dtf ds es el vector tangente unitario, entonces la curvatura de e en unpunto P se define como

(3)

El símbolo K en (3) es la letra griega kappa. Ahora, puesto que las curvas a menudo no separametrizan por medio de la longitud de arco, es conveniente expresar (3) en términos de unparámetro general t. Al emplear de nuevo la regla de la cadena, es posible escribir

dT dT dsdt ds dt

dT dT/dt-=--.ds ds/dt

y consecuentemente

En otras palabras, la curvatura definida en (3) produce

IT'(t)IK(t) = Ir'(t) I . (4)

l!I:imDII Curvatura de un círculoEncuentre la curvatura de un círculo de radio a.

Solución Un círculo puede describirse por medio de una función vectorial r(t) = a cos ti +asen tj. En este caso, de r'(t) = -a sen ti + a cos tj y Ir'(t)1 = a obtenemos

r'(t) • .T(t) = Ir'(t) I = - sen ti + cos tJ y T'(t) = -cos ti - sen tj.

Por consiguiente, de acuerdo con (4) la curvatura es

IT'(t) I Vcos2 t + sen2 t 1K(t) = Ir'(t)I = a = ~. (5)

El resultado en (5) muestra que la curvatura en un punto sobre un círculo es el recíproco delradio del círculo e indica un hecho que concuerda con nuestra intuición: un círculo con un radiopequeño se curva más que uno con un radio más grande. Vea la FIGURA 3.4.2. •


I Componentes tangencial y normal de la aceleración Suponga que una partícula se mueve enel espacio bidimensional o tridimensional sobre una curva suave e descrita por la función vec-torial r(t). Entonces la velocidad de la partícula sobre e es v(t) = r'(t), en tanto que su rapidezcorresponde a dsf dt = v = Iv(t)l. Entonces, (1) implica v(t) = vT(t). Diferenciando esta últimaexpresión con respecto a t obtenemos la aceleración:

dT dva(t) = v-;¡¡ + -;¡¡T. (6)

Además, con ayuda del teorema 3.2.1iii) se deduce de la diferenciación de T . T = 1 queT . dT/dt = O. Por consiguiente, en un punto P sobre e los vectores T y dT/dt son ortogona-les. Si IdT/dtl =F O, entonces el vector

es una normal unitaria a la curva e en P con dirección dada por dT/dt. El vector N se denomi-na vector normal principal, o simplemente normal unitaria. Sin embargo, puesto que la cur-vatura es x(r) = IT'(t)I/v, se sigue de (7) que dT/dt = KvN. Entonces, (6) se convierte en

a ~-----

)------+-;~y

T'(t)N(t) = IT'(t) I (7)

2 dva(t) = KV N + -;¡¡T. (8)

Escribiendo (8) como

(9)x

advertimos que el vector aceleración a de la partícula en movimiento es la suma de dos vectores FIGURA 3.4.3 Componentes delortogonales aNN Y aTT. Vea la FIGURA3.4.3. Las funciones escalares vector aceleración

aT = dvf dt y

se llaman componentes tangencial y normal de la aceleración, respectivamente. Note que la com-ponente tangencial de la aceleración resulta de un cambio en la magnitud de la velocidad v, mien-tras que la componente normal de la aceleración proviene de un cambio en la dirección de v.

I La binormal Un tercer vector definido por el producto cruz

B(t) = T(t) X N(t) (lO)

recibe el nombre de vector binormal. Los tres vectores unitarios T, N Y B forman un conjuntode mano derecha de vectores mutuamente ortogonales denominado triedro móvil. El plano deT y N se denomina plano osculante, el plano N y B se dice que es el plano normal, y el plano •••Literalmente, las palabrasde T y B es el plano de rectificación. Vea la FIGURA3.4.4. "plano osculante" significan

Los tres vectores unitarios mutuamente ortogonales T, N, B pueden considerarse como un "plano del besador",sistema de coordenadas de mano derecha móvil, ya que

B(t) = T(t) X N(t), N(t) = B(t) X T(t), T(t) = N(t) X B(t). z B=TXNEste sistema de coordenadas móvil se conoce como sistema TNB.

l!IB!iB Determinación de T, N Y BEn el espacio tridimensionalla posición de una partícula en movimiento está dada por la funciónvectorial r(t) =2 cos ti + 2 sen tj + 3tk. Encuentre los vectores T(r), N(t) Y B(t). Determine lacurvatura K(t).

Planoosculante)------::7""'-l~y

x

Solución Puesto que r'(t) = -2 sen ti + 2 cos tj + 3k, Ir'(t)1timos que una tangente unitaria es

r'(t) 2 . 2 . 3 kT(t) = Ir'(t)I = - VI3senn + VI3costJ + VI3 .

VI3,y por ello de (1) adver-

eFIGURA 3.4.4 Triedro móvil y

plano osculante

Después de esto, se tiene

T'( ) 2 . 2 .t = ---cos ti - --sen tJ yVI3 VI32

IT(t)1 = VI3.

Por consiguiente, (7) produce la normal principal

N(t) = -cos ti - sen tj.

De tal manera, de (10) la binormal es


-5 -2.5 O 2.5 5x

FIGURA 3.4.5 Hélice y planoosculante del ejemplo 3

B(t) = T(0 X N(0 = (11)

j2

~ ¡,-;;- cos tV 13-sen t

k3

Vl3O

2---sen tVl3-cos t

3 . 3 . 2 k= --sen ti - --cos tJ + -- .Vl3 Vl3 Vl3

Por último, al emplear IT/(t)1 = 2/Vl3 Y [r'(r) I = Vl3, encontramos de (4) que la curvaturaen cualquier punto es la constante

2/Vl3 2K(t) = Vl3 = 13· •

El hecho de que la curvatura K(t) en el ejemplo 2 es constante no es una sorpresa, ya que lacurva definida por r(t) es una hélice circular.

l!lmimiJII Planos osculante, normal y de rectificación

En el punto correspondiente a t = 7T/2 sobre la hélice circular del ejemplo 2, encuentre unaecuación de

a) el plano osculante,b) el plano normal ye) el plano de rectificación.

Solución De r( 7T/2) = (O, 2, 37T/2) el punto en cuestión es (O, 2, 37T/2).a) De (11) un vector normal al plano osculante en P es

B(7T/2) = T(7T/2) X N(7T/2) = • ~i + . ~k.v 13 v 13

Para encontrar una ecuación de un plano no se requiere una normal unitaria, por lo queen lugar de B(7T/2) es un poco más simple usar (3, O, 2). De (2) de la sección 1.6, unaecuación del plano osculante es

3(x - O) + O(y - 2) + 2(Z - 3;) = O o 3x + 2z = 37T.

2010

O z

b) En el punto P, el vector T(7T/2) = ~(-2, O, 3) o (-2, O, 3) es normal al plano quecontiene N(7T/2) YB(7T/2). Consecuentemente, una ecuación del plano normal es

-2(x - O) + O(y - 2) + 3(Z - 3;) = O o -4x + 6z = 97T.

e) Por último, en el punto P, el vector N(7T/2) = (O, -1, O)es normal al plano que contie-ne T(7T/2) y B(7T/2). Una ecuación del plano de rectificación es

O(x - O) + (-I)(y - 2) + o(z - 3;) = O o y = 2. •

-10

En la FIGURA 3.4.5 se presentan porciones de la hélice y del plano osculante del ejemplo 3. Elpunto (O, 2, 37T/2) se indica en la figura.

• Fórmulas para ar. aN Y la curvatura Efectuando primero al producto punto y después el pro-ducto cruz, para el vector v = vT con el vector de aceleración (9), es posible obtener fórmulasexplícitas que impliquen a r, r' y r" para las componentes tangencial y normal de la aceleracióny la curvatura. Observe que

v . a = aN(vT· N) + ar(vT . T) = arV~ ~O 1

produce la componente tangencial de la aceleración:

dv v . a r'(t) . r"(t)a ------

T - dt - Ivl - Ir'(t)IPor otro lado,

v X a = aN(vT X N) + aT(vT X T) = aNvB.'---v---" '---v---"

B O

Puesto que lB I 1, se concluye que la componente normal de la aceleración es

a = KV2 = Iv X alN Ivl

Ir'(t) X rlf(t) IIr'(t)I

Resolviendo (13) para la curvatura K, obtenemos

Ir'(t) X rlf(t) IIr'(tW

~ Determinación de al! aN y K

La curva trazada por r(t) = ti + ~t2j + 1t3k es una variación del cúbico trenzado que se discu-tió en la sección 3.1. Si r(t) es el vector de posición de una partícula que se mueve sobre unacurva e, encuentre las componentes tangencia] y normal de la aceleración en cualquier puntosobre C. Encuentre la curvatura.

Solución De

v(t) = r'(t) = i + tj + t2k

a(t) = rlf(t) = j + 2tk

encontramos v . a = t + 2t3 y Ivl = \11 + t2 + t'. Por consiguiente, de (12) obtenemos

dv t + 2t3

aT = dt = -Y-;;:::1 =+=t2:==+=t=74

j kEn este caso, v X a = 1 t2 = t2i - 2tj + k

O 1 2t

Y [v X al Yt4 + 4r2 + 1. Por tanto, (13) produce

Vt4 + 4t2 + 1aN = KV2 = -'-¡===:====-VI + t2 + (4 .

Por último, de (14) encontramos que la curvatura del cúbico trenzado está dada por

(t4 + 4t2 + 1)1/2K(t) = -'------~

(1 + (2 + t4)3/2 .


(12)

(13)

(14)

e•I Radio de curvatura El recíproco de la curvatura, p = l/K, se denomina radio de curvatu-ra. El radio de curvatura en un punto P sobre una curva e es el radio de un círculo que "enca-ja" en la curva mejor que cualquier otro círculo. El círculo en P se denomina círculo de curva-tura y su centro es el centro de curvatura. El círculo de curvatura tiene la misma recta tangenteen P que la curva e, y su centro yace sobre el lado cóncavo de C. Por ejemplo, un automóvil quese mueve sobre una pista curva, como se ilustra en la FIGURA 3.4.6, puede considerarse en cual-quier instante como si se moviera sobre un círculo de radio p. En consecuencia, la componentenormal de su aceleración aN = kv2 debe ser la misma que la magnitud de su aceleración centrí-peta a = v2/p. Por tanto, K = I/p Y P = +]«. Conociendo el radio de curvatura, es posibledeterminar la rapidez v a la cual el automóvil puede superar la curva peraltada sin patinarse. FIGURA 3.4.6 Círculo y radio de

(Ésta es esencialmente la idea en el problema 22 en los ejercicios 3.3.) curvatura


r(t) NOTAS DESDE EL AULA

Al escribir (6) como

a(t) = ds dT + d2s T

dt dt dt2

observamos que la llamada aceleración escalar d2s/dt2, referida en las Notas desde el aula dela sección 3.3, es vista ahora como la componente tangencial aT de la aceleración a(t).


= FundamentosEn los problemas 1 y 2, para la función de posición dada,encuentre la tangente unitaria T(t).

1. r(t) = (t cos t - sen t)i + (t sen t + cos t)j + t2k, t > °2. r(t) = el cos ti + el sen tj + v'2elk

3. Use el procedimiento descrito en el ejemplo 2 para deter-minar T(r), N(t), B(t) y x(z) en relación con el movimien-to sobre una hélice circular general que se describe me-diante r(t) = a cos ti + asen tj + et k.

4. Emplee el procedimiento descrito en el ejemplo 2 para mos-trar en el cúbico trenzado del ejemplo 4 que en t = l:

T(l) = ~(i + j + k),

B(l) = - ~(-i + 2j - k),

N(l) = - ~(i - k),

v'2K(1) = 3·

En los problemas 5 y 6, encuentre una ecuación de

a) el plano osculante,b) el plano normal ye) el plano de rectificación para la curva espacial dada en

el punto que corresponde al valor indicado de t.

5. La hélice circular en el ejemplo 2; t = 7T/ 4

6. El cúbico trenzado del ejemplo 4; t = 1

En los problemas 7-16, r(t) es el vector de posición de la par-tícula en movimiento. Encuentre las componentes tangencialy normal de la aceleración en el tiempo t.7. r(t) = i + tj + t2k8. r(t) = 3 cos ti + 2 sen tj + tk

9. r(t) = t2i + (t2 - l)j + 2t2k

10. r(t) = t2i - t3j + t4k

11. r(t) = 2ti + t2j

12. r(t) = tan" ti + 11n(l + t2)j

13. r(t) = 5cos ti + 5 sen tj

14. r(t) = cosh ti + senh tj

15. r(t) = e-I(i + j + k)

16. r(t) = ti + (2t - l)j + (4t + 2)k

17. Encuentre la curvatura de una hélice elíptica que se des-cribe mediante la función vectorial r(t) = a cos ti + b sen tj+ et k, a > O, b > O, e > O.

18. a) Encuentre la curvatura de una órbita elíptica que sedescribe mediante la función vectorial r(t) = a cos ti+ b sen tj + ek, a > O, b > O, e > O.

b) Demuestre que cuando a = b, la curvatura de unaórbita circular es la constante K = l/a.

19. Demuestre que la curvatura de una línea recta es la cons-tante K = O. [Sugerencia: Utilice (1) de la sección 1.5.]

20. Encuentre la curvatura de la cicloide que se describemediante

r(t) = a(t - sen t)i + a(l - cos t)j, a > ° en t = 7T.

21. Considere que e es una curva plana trazada por r(t) = f(t)i+ g(t)j, dondefy g tienen segundas derivadas. Demuestreque la curvatura en un punto está dada por

If'(t)gl/(t) - g'(t)f"(t) IK= .

([f'(t)]2 + [g'(t) ]2)3/2

22. Demuestre que si y = f(x), la fórmula para la curvatura K

en el problema 21 se reduce a

1F"(x) I

En los problemas 23 y 24, utilice el resultado del problema 22para encontrar la curvatura y el radio de curvatura de la curvaen los puntos indicados. Decida en cuáles puntos la curva es"más angulosa".

23. Y = X2; (O, O), (1, 1)

24. Y = x3; (-1, -1), (1. k)25. Dibuje la gráfica de la curvatura y = K(X) para la parábo-

la del problema 23. Determine el comportamiento dey = K(X) cuando x -+ z oo. En otras palabras, describaeste comportamiento en términos geométricos.

= Problemas con calculadora/SAC26. En el ejemplo 4 se demostró que la curvatura para r(t) =

ti + 1t2j + 1t3k está dada por

(t4 + 4t2 + 1)1/2K(t) = .

(1 + t2 + t4)3/2

a) Utilice un SAC para obtener la gráfica de y = K(t)con -3 ::5 t s: 3.

b) Utilice un SAC para obtener K'(t) y los números críti-cos de la función y = K(t).

Competencia final de la unidad 3Las respuestas de los problemas impares comienzan en la página RES-ll.

Competencia final de la unidad 3 121

e) Encuentre el valor máximo de y = K(t) y aproxime lospuntos correspondientes sobre la curva trazada porr(t).

= Piense en ello27. Suponga que (e, Ftc¡ es un punto de inflexión de la grá-

fica de y = F(x) y que F" existe para toda x en algúnintervalo que contenga a C. Analice la curvatura cerca de(e, F(c».

28. Demuestre que la(tW = a1 + aj..

A. Verdadero/falso _

En los problemas 1-10, indique si el enunciado dado es verdadero (V) o falso (F).

1. Una partícula cuyo vector de posición es r(t) = cos ti + cos tj + v'2 sen tk se mueve conrapidez constante. __

2. Un círculo tiene curvatura constante.

3. El vector binormal es perpendicular al plano osculante. __

4. Si r(t) es el vector de posición de una partícula en movimiento, entonces el vector veloci-dad v(t) = r'(t) y el vector aceleración a(t) = r"(t) son ortogonales. __

S. Si s es la longitud de arco de una curva C, entonces la magnitud de velocidad de una partí-cula en movimiento sobre e es dsf dt. __

6. Si s es la longitud de arco de una curva e, entonces la magnitud de la aceleración de unapartícula sobre e es d2s/dt2. __

7. Si la binormal está definida por B = T X N, entonces la normal principal es N = B X T.

8. Si lím r.fr) = 2i + j y límr2(t) = -i + 2j, entonces límr¡(t) . r2(t) = 0. __l~a 1---+a f---+a

9. Si rl(t) Y r2(t) son integrables, entonces f:[rl(t) . rz(t)]dt = U:rl(t)dt} . U:r2(t)dt]. __

lO. Si r(t) es diferenciable, entonces :t1r(tW = 2r(t) . ~~. __

B. Llene los espacios en blanco _

En los problemas 1-10, llene los espacios en blanco.

1. La trayectoria de una partícula en movimiento cuyo vector de posición es r(t) = (t2 + l)i +4j + t4k yace en el plano _

2. La curvatura de una línea recta es K =

Para la función vectorial r(t) = (t, t2, 1t3),

3. r'(1) = 4. r"(l) =

5. K(1) = 6. T(1) =

7. N(l) = 8. B(l) =

y en el punto correspondiente a t = 1 una ecuación del

9. plano normal es , y una ecuación del10. plano osculante es _


c. Ejercicios _

1. Encuentre la longitud de la curva que traza la función vectorial

r(t) = sen ti + (1 - cos t)j + tk, O -s t :s 7T.

2. El vector de posición de una partícula en movimiento está dado por r(t) = 5ti + (1 + t)j +7tk. Ya que la partícula empieza en un punto correspondiente a t = O, encuentre la distanciaque la partícula recorre hasta el punto correspondiente a t = 3. ¿En qué punto la partículahabrá recorrido 80\13 unidades a lo largo de la curva?

3. Encuentre las ecuaciones paramétricas para la recta tangente a la curva trazada por

r(t) = -3t2i + 4vt+lj + (t - 2)k

en el punto correspondiente a t = 3.4. Dibuje la curva trazada por r(t) = t cos ti + t sen tj + tk.

5. Dibuje la curva trazada por r(t) = cosh ti + senh tj + tk.

6. Dado que

r¡ (t) = t2i + 2tj + t3k Y r2(t) = - ti + t2j + (t2 + l)k,

calcule la derivada :t[r¡(t) X rit)] de dos maneras diferentes.

7. Dado que

r¡(t) = cos ti - sen tj + 4~k Y r2(t) = ri + sen tj + e2k

calcule :t [r¡(t) . r2(t)] de dos maneras diferentes.

8. Dado que r¡, r2 Y r, son diferenciables, encuentre :t [r¡ (t) . (rit) X r3(t))].

9. Sobre una partícula de masa m actúa una fuerza continua de magnitud 2, que tiene direcciónparalela al eje y positivo. Si la partícula empieza con una velocidad inicial veO) = i + j + kdesde (1, 1, O), encuentre el vector de posición de la partícula y las ecuaciones paramétricasde su trayectoria. [Sugerencia: F = ma.]

10. El vector de posición de una partícula en movimiento es r(t) = ti + (1 - t3)j.a) Dibuje la trayectoria de la partícula.b) Dibuje los vectores de velocidad y aceleración en t = 1.e) Encuentre la rapidez en t = 1.

11. Encuentre la velocidad y la aceleración de una partícula cuyo vector de posición es r(t) =6ti + tj + t2k cuando ésta pasa por el plano -x + y + z = -4.

12. La velocidad de una partícula en movimiento es v(t) = -lOti + (3t2 - 4t)j + k. Si la par-tícula empieza en t = Oen (1, 2, 3), ¿cuál es su posición en t = 2?

13. La aceleración de una partícula en movimiento es a(t) = v'2 sen ti + v'2 cos tj. Dado quela velocidad y la posición de la partícula en t = 7T/ 4 son v( 7T/4) = - i + j + k Y r( 7T/ 4) =i+ 2j + (7T/4)k, respectivamente, ¿cuál es la posición de la partícula en t = 37T/4?

14. Dado que r(t) = !t2i + 1t3j - !t2k es el vector de posición de una partícula en movimien-to, encuentre las componentes tangencial y normal de la aceleración en el tiempo t. Deter-mine la curvatura.

15. Suponga que la función vectorial del problema 5 es el vector de posición de una partículaen movimiento. Encuentre los vectores T, N y B en t = 1. Determine la curvatura en estepunto.

Unidad 3 Funciones Vectoriales

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