Apendice 2

Funciones Vectoriales

Definition 1. Una funcion f : I ⊂ R → Rn cuya regla de correspondencia es

f (t) =(

f1(t), f2(t), . . . , fn(t))

se denomina funcion vectorial de una variable real t.

1. El nombre de funcion vectorial viene dado porque, f asigna a cada t ∈ I un vector enel espacio R

n.

2. Las n funciones reales fi, (i = 1, 2, . . . , n) se llaman funciones componentes de la funcionvectorial f .

3. El dominio de la funcion vectorial f es el conjunto

Dom(f ) = Dom(f1) ∩Dom(f2) ∩ . . . ∩Dom(fn)

4. Si esta regla de correspondencia la escribimos en la forma

x1 = f1(t), x2 = f2(t), · · · xn = fn(t), t ∈ I. (1)

Los puntos (x1, . . . , xn) = (f1(t), . . . , fn(t)), t ∈ I forman la curva C parametrizada enel espacio R

n, y describen normalmente la trayectoria de una particula,

5. A las ecuaciones xi = fi(t) se llaman ecuaciones parametricas de una curva C. Si en lasecuaciones parametricas xi = f(t) de la curva C se elimina el parametro t, logramosencontrar las ecuaciones cartesianas de la curva (similar a las ecuacion simetricasde una recta)

6. Si f : I → Rn es una funcion vectorial tal que f (t) = (f1(t), . . . , fn(t)) entonces f (t) es

el vector de posicion del punto P (f1(t); f2(t), . . . , fn(t)) en la curva C. El extremo delvector de posicion f (t) traza la trayectoria de la curva C e indica su orientacion.

Ejemplo 1. Trace la imagen de las siguientes funciones h(t) = (t, t, t2)

Solucion. Las ecuaciones parametricas de la curva descrita por la funcion vectorial h es

x = t, y = t z = t2

Al eliminar el parametro t en las ecuaciones parametricas, se obtiene que los puntos de lacurva h estan situados en la interseccion de las supeficies

y = x, z = x2

1

∆

Una curva C en el espacio tridimensional R3, se parametriza mediante tres ecuaciones

x = f(t) y = g(t) z = h(t)

como tambien puede representarse en forma vectorial, es decir, El vector

r(t) = f(t)i+ g(t)j+ h(t)k = (f(t), g(t), h(t))

representa la posicion de la partıcula en el instante t. De ahı que recibe el nombre de vectorposicion de la partıcula.

Las funciones f , g y h son las funciones componentes del vector de posicion r. Consideremosla trayectoria de la partıcula como la curva descrita por r durante el intervalo de tiempo I.la curva.

Una funcion de la formar(t) = f(t)i+ g(t)j

representa un curva el plano. Mientras que un funcion vectorial de la forma

r(t) = f(t)i+ g(t)j+ h(t)k

representa una curva en el espacio, donde las funciones componentes f , g y h son funcionesdel parametro t. Vease figura

Ejemplo 2. Grafique la funcion vectorial r(t) = cos ti+ sin tj+ tk

SOL: No es difıcil ver que las ecuaciones de las coordenadas son

x = cos t, y = sen t, z = t

Como x2 + y2 = 1 entonces afirmamos que la curva esta sobre un cilindro circular, pero lacurva “sube” cuando el componente en k, z = k aumenta. Adicionalmente, Cada vez que taumenta en 2π, la curva completa una vuelta, “solo” en en el plano xy. De manera que latrayectoria de esta curva es una Helice

2

La curva en el ejemplo anterior es una de tipos de curvas espaciales conocidas como curvashelicoidales. En general, una funcion vectorial de la forma

r(t) = a cos(kt)i+ a sen(kt)j+ ctk

describe una helice circular . El numero 2πc/k recibe el nombre de “horquilla” de unahelice, (es la separacion vertical de los lazos de la helice). Una helice circular es solo un casoespecial de la funcion vectorial

r(t) = a cos(kt)i+ b sen(kt)j+ ctk

que describe una helice elıptica cuando a 6= b. La curva definida por

r(t) = at cos(kt)i+ bt sen(kt)j+ ctk

se denomina helice conica . Por ultimo, una curva dada por

r(t) = a sin(kt) cos(t)i+ a sin(kt) sin(t)j+ a cos(kt)k

se llama helice esferica .En estas ecuaciones se supone que a, b, c y k son constantes posi-tivas.

Ejemplo 3. Encuentre una funcion vectorial para el segmento de recta del punto P0(3, 2, 1)al punto P1(1, 4, 5).

SOL: No es dificil ver que los vectores de posicion correspondientes a los puntos dadosson r0 = (3, 2− 1) y r1 = (1, 4, 5). Entonces, una funcion vectorial para el segmento de rectaes:

Ejemplo 4. Grafique la curva trazada por la funcion vectorial r(t) = 2 cos ti+ 2 sen tj+ 3k

SOL: Las ecuaciones parametricas de la curva son las componentes de la funcion vectorialson

x = 2 cos t, y = 2 sen t, z = 3

.

3

Ejemplo 5. Determine la funcion vectorial que describe la curva C de interseccion delplano y = 2x y el paraboloide z = 9− x2 − y2

SOL: Primero parametrizamos la curva C de interseccion haciendo, x = t, de donde sededuce que y = 2t y z = 9− t2 − (2t)2 = 9− 5t2. Por tanto las ecuaciones parametricas son

x = t, y = 2t, z = 9− 5t2,

y por tanto una funcion vectorial que describe el trazo del paraboloide en el plano y = 2xesta dada por

r(t) = ti+ 2tj+ (9− 5t2)k.

Ejemplo 6. Encuentre la funcion vectorial que describe la curva C de interseccion de loscilindros y = x2 y z = x3

SOL: En R2, y = x2 es una parabola en el plano xy y por tanto en R

3 es un cilindroparabolico cuya generatriz es paralela al eje z. Por otro lado, z = x3 es un cilindro cubicocuya generatriz es paralelo al eje y.

Ahora, la opcion mas natural para parametrizar es usar a x = t entonces y = t2 y z = t3.Por tanto, una funcion vectorial que describe a la curva C generada por interseccion de losdos cilindros es entonces

r(r) = ti+ t2j+ t3k

Ejemplo 7. Dibujar la grafica C representada por la interseccion del semielipsoide x2

12 +y2

24 + z2

4 = 1, z ≥ 0 y el cilindro parabolico y = x2. Despues, hallar una funcion vectorialque represente la grafica.

SOL: Una opcion natural para el parametro es: x = t, luego y = t2. Entonces

z2

4= 1− t2

12+

t4

24=

(6 + t2)(4− t2)

24,

Como la curva se encuentra sobre el plano xy, hay que elegir para z la raız cuadrada positiva.Por tanto, la funcion vectorial resultante es:

r(t) = ti+ t2j+

√

(6 + t2)(4− t2)

6k, −2 ≤ t ≤ 2

Muchas de las tecnicas y definiciones utilizadas en el calculo de funciones reales se puedenaplicar a funciones vectoriales. Por ejemplo, las funciones vectoriales se pueden sumar yrestar, multiplicar por un escalar, tomar su lımite, derivarlas, integrarlas y ası sucesivamente.

La estrategia basica consiste en aprovechar la linealidad de las operaciones vectoriales yextender las definiciones, componente por componente.

4

(f + g)(t) = f (t) + g(t), t ∈ Df ∩Dg

(f − g)(t) = f (t)− g(t), t ∈ Df ∩Dg

(φf )(t) = φ(t)f (t) = φ(t)(f1(t), . . . , fn(t)), φ : R → R, t ∈ Dφ ∩Df

(f · g)(t) = f (t) · g(t) =∑ni=1 fi(t)gi(t), t ∈ Df ∩Dg

(f × g)(t) = f (t)× g(t), f ,g : R → R3, t ∈ Dφ ∩Df

Esta extension, componente por componente, de las operaciones con funciones reales afunciones vectoriales se ilustra mas ampliamente en la definicion siguiente del lımite de unafuncion vectorial.

Si r(t) tiende al vector L cuando t → a, la longitud del vector r(t) − L tiende a 0. Esdecir,

‖r(t)− L‖ → 0 Cuando t → a

Ejemplo 8. Calcule lımt→t0

f (t) (en caso exista) de las siguientes funciones vectoriales

1. f (t) =

(

1−√t+ 1

t+ 2,

t

t+ 1, 2

)

, para t0 = 0 R/ (0, 0, 2)

2. f (t) =

(

et − e

t− 1,ln t

1− t,sen(t− 1)

t− 1

)

, para t0 = 1 R/ (e,−1, 1)

3. f (t) =

(

1− cos(sen t)

sen2 t,cos t− cos(sen t)

t2,

1

t− π

)

, para t0 = 0 R/ ( 12 , 0,1π )

5

4. f (t) =

(

(2− t)tan(π

2t),

sen( 5√t− 1)

tan( 5√t− 1)

,

√t− 1

t− 1

)

, para t0 = 1 R/ (e2/π, 1, 12 )

La definicion siguiente extiende la nocion de continuidad a funciones vectoriales.

Definition 2. una funcion vectorial f es continua en el numero a si

f (a) esta definido lımt→a

f (t) existe lımt→a

f (t) = f (a)

De acuerdo con esta definicion, una funcion vectorial

f (t) =(

f1(t), f2(t)), . . . , fn(t))

es continua en t = a si y solo si las funciones componentes fi, son continuas en t = a.

Ejemplo 9. 1. Dada la funcion vectorial f (t) =

(

t2 − 1

t+ 1,sen(πt)

cos(πt),ln t+ 1

t+ 2

)

Determine

si la funcion vectorial es continua en t = 1. R/: SI

2. Dada la funcion vectorial f (t) =

(

sen t

t,ln(1 + t)

1− t,cos t− 1

t

)

Determine si la funcion

vectorial es continua en t = 0. R/: NO

La definicion de la derivada de una funcion vectorial es paralela a la dada para funcionesreales.

Definition 3. La derivada de una funcion vectorial f es

f ′(t) = lımt→a

f (t+ h)− f (t)

h

para todo t para el cual existe el lımite.

Si f ′(t) existe, entonces f es derivable en t.

Si f ′(t) existe para toda t en un intervalo abierto I, entonces f es derivable en I.

La derivabilidad de funciones vectoriales puede extenderse a intervalos cerrados consi-derando lımites unilaterales.

6

NOTA: Ademas de la notacion f ′(t) otras notaciones para la derivada de una funcionvectorial son

Dt[f (t)],d

dt[f (t)],

df

dt

Velocidad y aceleracıon

Si una partıcula se mueve a lo largo de una curva C en el espacio Rn, de modo que suvector posicion en el tiempo t es f (t) = (f1(t), f2(t), . . . , fn(t)) entonces, el vector velocidadv(t) y el vector aceleracion a(t) de la partıcula en el instante t son dadas por

v(t) = f ′(t) =(

f ′

1(t), f′

2(t), . . . , f′

n(t))

a(t) = v′(t) = f ′′(t) =(

f ′′

1 (t), f′′

2 (t), . . . , f′′

n (t))

El vector velocidad v(t) tiene la direccion del vector tangente a la curva C en el punto f (t)y el vector aceleracion a(t) apunta hacia el lado concavo de la curva C (lado hacia donde sedoble la curva).

Reglas de Derivacion de funciones vectoriales: Sean f ,g : I → Rn funciones

vectoriales derivables de t, c una constante real y α : I → R una funcion real derivablede t. Entonces se tiene:

1. [f ± g]′(t) = f ′(t)± g′(t)

2. [cf (t)]′ = cf ′(t)

3. [α(t)f(t)] = α′(t)f (t) + α(t)f ′(t)

4. [f (t) · g(t)]′ = f ′(t) · g(t) + f (t) · g′(t)

5. [f (t)× g(t)]′ = f ′(t)× g(t) + f (t)× g′(t), (valido solo en R3)

6. ‖f(t)‖′ = f (t) · f ′(t)‖f (t)‖ si f (t) 6= 0)

El modulo del vector velocidad v(t), esto es,

‖v(t)‖ = ‖f ′(t)‖ =√

[f ′

1(t)]2 + [f ′

2(t)]2 + · · ·+ [f ′

n(t)]2 (2)

es la rapidez de la partıcula en el instante t. Si una partıcula se mueve con una rapidezconstante c, entonces su vector de aceleracion es perpendicular al vector de velocidad v. Enefecto,

‖v‖ = c, ⇒ ‖v‖2 = c2 ⇒ v · v = c2

Diferenciamos ambos lados con respecto a t,

0 =d

dt(v · v) = 2v · dv

dt= 2v · a Entonces, v(t) · a(t) = 0 para todo t.

Ejemplo 10. Si f (t) = (t, t2; 3 + t), g(t) = (cos t, sen t, ln(t+ 1)) y α(t) = e−4t, calcule

7

(αf )′(0) (f + g)′(0) (f · g)′(0) (f × g)′(0)

Ejemplo 11. Considere la curva C dada por r(t) = cos(2t)i + sin(t)j, −π/2 ≤ t ≤ π/2.Encuentre la derivada r′(t) y grafique los vectores r′(0) y r′(π/6)

SOL: La curva C es suave Porque? R/:

r′(t) = −2 sen(2t)i+ cos tj

en concecuencia

r′(0) = j, r′(π/6) = −√3i+

1

2

√3j

Como graficamos la curva? R/:

Ejemplo 12. Encuentre las ecuaciones parametricas de la recta tangente a la curva C cuyasecuaciones parametricas son x = t2, y = t2 − t, z = −7t en el punto correspondiente a t = 3.

SOL: La funcion vectorial posicion es r(t) = , y por tanto punto encuestion e r(3) = . Luego los vectores tangentes a C estan dados por

r′(0) = y r′(3) =

De manera que las ecuaciones parametricas de la recta tangente son

8

Integrales de funciones Vectoriales

Definition 4.

Si f : [a, b] → Rn es una funcion vectorial continua en el intervalo [a, b] tal que

f (t) = (f1(t), f2(t), . . . , fn(t)) entonces la integral indefinida de f es

ˆ

f (t)dt =

(

ˆ

f1(t)dt,

ˆ

f2(t)dt, . . . ,

ˆ

fn(t)dt

)

y la integral definida de f es

ˆ b

a

f (t)dt =

(

ˆ b

a

f1(t)dt,

ˆ b

a

f2(t)dt, . . . ,

ˆ b

a

fn(t)dt

)

Ejemplo 13. 1. Halle la integral indefinida de la funcion vectorial f (t) =(

cos t,1

1 + t, tet

)

2. Calcule la integral

ˆ 1

0

f (t)dt, donde f (t) = (2t,1

1 + t, tet)

Teorema 5 (Teorema Fund. del Calculo). Sea f : [a, b] → Rn es una funcion vectorial

continua en [a, b] entonces

La funcion F definida por F(t) =

ˆ t

a

f (u)du, a ≤ t ≤ b es derivable y F′(t) =

f (t), ∀t ∈ [a, b]

ˆ b

a

f (u)du = F(b)− F(a),

Ejemplo 14. Calcule

ˆ π/4

0

f (t)dt× h(0) , donde

f (t) =

(

√tan t sec4 t, sen3(2t) cos2 t− sen3(2t) sen2 t,

1

π

√

t

π

)

y

h(t) =

(

ˆ 1

−1

et2−1dt,

ˆ 1

0

(t2 − t)dt,

ˆ 1

0

t3dt

)

, R : (5

288,−5

2,−10

63)

9

Curvas regulares

Definition 6.

Se dice que una curva C ⊂ Rn es una curva parametrizada, si existe una fun-

cion vectorial α : [a, b] → Rn tal que a α([a, b]) = C A la funcion vectorial

α(t) =(

α1(t), α2(t), . . . , αn(t))

se llama parametrizacion de la curva C.

Ejemplo 15. la curva C : x2 + y2 = 1 tiene como parametrizacion a la funcion vectorialα : [0, 2π] → R

2 definida por α(t) = (cos(t), sen(t))

Ejemplo 16. Halle una parametrizacion para la curva C : y = f(x) =

x x ≤ 0

x2 x > 0

Solucion. : No es difıcil ver la funcion vectorial α : R → R2 definida por

α(t) =

(t, t) t ≤ 0

(t, t2) t > 0

es una parametrizacion para la curva C. ∆

PROPIEDADES

1. Se dice que C es una curva con puntos dobles si α(t1) = α(t2), con t1 6= t2

2. Se dice que C es una curva simple si no tiene puntos dobles.

3. Se dice que C es una curva cerrada si α(a) = α(b)

4. Se dice que C es una curva regular, si la funcion vectorial α(t) tiene derivada continuay a α′(t) 6= 0 , ∀t ∈ [a, b]

Definition 7 (Reparametrizacion de una curva regular). Sea C ⊂ Rn una curva

regular, es decir, existe una funcion vectorial α : [a, b] → Rn tal que α([a, b]) = C

y α′(t) 6= 0, ∀t ∈ [a, b]. Una reparametrizacion de α(t) es una funcion vectorialγ = α ◦ ϕ : [c, d] → R

n tal que

γ(u) = (α ◦ ϕ)(u) = α(ϕ(u)), u ∈ [c, d]

donde ϕ : [c; d] → [a, b] es una funcion real derivable y sobreyectiva tal que ϕ′(u) 6= 0,∀u ∈ [c, d].

10

1. Si ϕ′(t) > 0 se conserva la misma orientacion en la curva reparametrizada.

2. Si ϕ′(t) < 0 se invierte la orientacion en la curva reparametrizada.

Ejemplo 17. Sea α : [0, 2π] → R2 una funcion vectorial dada por α(t) = (cos t, sen t)

1. Consideremos la funcion ϕ : [0, 1] → [0, 2π] definida por ϕ(u) = 2πu, entonces

γ(u) = (α ◦ ϕ(u)) = α(ϕ(u)) = (cos(2πu), sen(2πu))

es una reparametrizacion de la curva α(t). Com ϕ′(u) = 2π > 0, entonces la curva γ(u)mantiene la misma orientacion de la curva α(t).

2. Consideremos la funcion φ : [0, 2π] → [0, 2π] definida por φ(u) = 2π − u entonces

γ(u) = (α ◦ φ(u)) = α(φ(u)) = (cos(2π − u), sen(2π − u))

es una reparametrizacion de α(t). Como φ′(u) = −1 < 0, entonces la curva γ(u) inviertela orientacion de la curva α(t).

Definition 8 (Longitud de arco de una funcion regular). Sea α : [a, b] → Rn una

curva regular en [a, b], tal que

C : α(t) = (α1(t), α2(t), . . . , αn(t))

La longitud de arco de la curva medida desde t = a hasta t = b es

L(C) =

ˆ b

a

‖α′(t)‖dt =ˆ b

a

√

[α′

1(t)]2, . . . , [α′

n(t)]2dt

La funcion longitud de arco de la curva α(t) es dada por

s(t) = l(t) =

ˆ t

a

‖α′(u)‖du, t ∈ [a, b] (3)

Ejemplo 18. Halle la longitud de arco de las siguientes curvas

1. α(t) = (a cos t, a sen t, bt), desde t = 0 hasta t = 2π. R/ 2π√a2 + b2

11

2. α(t) = (t, 1,1

6t3 +

1

2t), desde t = 1 hasta t = 3. R/ 14

3

12