Unidad 3. Ecuaciones Diferenciales Con Valores a La Frontera

Matemáticas Aplicadas Unidad 3. Ecuaciones diferenciales con valores a la frontera

1 Ciencias de la Salud Biológicas y Ambientales | Ingeniería en Biotecnología

Ingeniería en Biotecnología

Noveno cuatrimestre

Matemáticas aplicadas a la ingeniería

Unidad 3. Ecuaciones diferenciales con valores a la

frontera

Clave

190930934

Universidad Abierta y a Distancia de México



Índice

Unidad 3. Ecuaciones diferenciales con valores de frontera .................................................... 3

Presentación de la unidad ........................................................................................................ 3

Propósitos ................................................................................................................................ 3

Competencia ............................................................................................................................ 3

3.1. Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales separables ................................. 4

3.1.1. Ecuación diferencial parcial (EDP) lineal ............................................................. 4

3.1.2. Solución de una EDP .......................................................................................... 5

3.1.3. Clasificación de las ecuaciones ........................................................................ 10

3.2. Ecuaciones clásicas y problemas de valores en la frontera ................................. 13

3.2.1. Condiciones iniciales ........................................................................................ 13

3.2.2. Condiciones en la frontera ................................................................................ 17

3.2.3. Tipos de condiciones en la frontera................................................................... 19

Actividad 1. Métodos de solución aplicados .................................................... 22

3.3. Ecuación de Laplace ............................................................................................ 22

3.3.1. Solución de un problema de valores en la frontera por separación de variables 22

3.3.2. Ecuación de Laplace con dos variables ............................................................ 31

3.4. Problemas de valores en la frontera con series de Fourier .................................. 40

3.4.1. Ecuación de transmisión de calor en dos dimensiones ..................................... 40

3.4.2. Ecuación de onda en dos dimensiones ............................................................. 47

3.4.3. Serie de senos, de cosenos con dos variables ................................................. 56

. Cuaderno de ejercicios y problemas ............................................ 68 Actividad 2

Autoevaluación ........................................................................................................... 68

Evidencia de aprendizaje. Solución de problemas que varían en el tiempo aplicados a

la Biotecnología .......................................................................................................... 70

Cierre de la unidad ................................................................................................................. 71

Para saber más ...................................................................................................................... 71

Fuentes de consulta ............................................................................................................... 71



Unidad 3. Ecuaciones diferenciales con valores de frontera

Presentación de la unidad

En esta unidad se presenta una breve introducción a las ecuaciones diferenciales parciales

presentando conceptos elementales como son: orden, tipo y linealidad. Se presentan los

conceptos con condiciones iniciales y condiciones de frontera. Después se utiliza el método

de separación de variables para resolver este tipo de ecuaciones en rectángulos, semiplanos

y semibandas, estas soluciones utilizan las series de Fourier en una o dos variables por lo

cual se finaliza presentando la serie de Fourier de una función doblemente periódica.

Propósitos

Identificar los conceptos básicos sobre

ecuaciones diferenciales.

Utilizar el método de separación de variables

para resolver ecuaciones diferenciales parciales.

Calcular la serie de Fourier de una función

doblemente periódica.

Competencia

Aplicar ED con valores a la frontera para obtener

soluciones a problemas que varían en el tiempo, bajo

condiciones específicas, para el análisis de procesos

dinámicos.



3.1. Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales separables

En los cursos de matemáticas elementales, se estudian ecuaciones algebraicas, estas son

expresiones que involucran expresiones derivadas de las operaciones de suma, resta,

multiplicación y división, resolver una ecuación de esta naturalezas consiste en encontrar

números que satisfagan la igualdad presentada.

En esta sección se presenta el concepto de ecuación diferencial, que es similar al de

ecuación algebraica.

3.1.1. Ecuación diferencial parcial (EDP) lineal

En esta sección se presentan las definiciones de los conceptos básicos que hay que tener

presente en el estudio de las ecuaciones diferenciales.

Definición: Una ecuación diferencial es una ecuación que contiene las derivadas de una

o más funciones desconocidas con respecto a una o variables independientes.

Antes de continuar, hay que tener presente que en cualquier curso de cálculo de una variable,

si la función f depende de la variable x , la derivada de f con respecto a x se denota por:

'( )ó ó x

dff x D f

dx

De forma similar, si la función f depende de las variables 1, , nx x las derivadas parciales de

f con respecto a kx para 1,k n se denota por

( )ó ókk x

k

ff x D f

x

Ejemplo: La ecuación

22 2

2

d fx y

dx

Es una ecuación diferencial donde y es la función que depende de la variable independiente

x .

Ejemplo: La relación

2 3'' (sen ) 'y x y y x



Es una ecuación diferencial, donde la variable y depende de la variable independiente x .


f fx

xy

y

Es una ecuación diferencial, donde la función f depende de las variables independientes y y

x respectivamente.


2 22sen senx y x y

No es ecuación diferencial, ya que en ella no se presenta ninguna derivada.

3.1.2. Solución de una EDP

En cursos elementales se muestra que la ecuación cuadrática

2 0bx cax donde , ,a b c y 0a

Tiene por solución

2 4

2

b b acx

a

cuando 2 4 0b ac

¿Por qué la expresión 2 4

2

b b ac

a

es solución de 2 0bx cax ?, por la siguiente razón:

Al sustituir dicha expresión se tiene:



2 2

2 2

2 2

2

2 2 2

2 2

4

4 40

2 2

2 4 40

4 2

2 2 4 2 2 4 40

4

00

4

0 0

4

b b ac b b aca b c

a a

b b b ac b b b b acc

a a

b b b ac b b b ac ac

a

a

ac

ac

Es decir, la expresión 2 4

2

b b ac

a

satisface la expresión 2 0bx cax .

En analogía con las ecuaciones algebraicas, se tiene (en forma intuitiva) el siguiente

concepto.

Definición: una solución de una ecuación diferencial, es una función que al ser sustituida

en la ecuación diferencial, esta conserva la igualdad, esta función puede presentarse de

forma explícita o implícita.

Ejemplo: Muestre que la función 2xy e es solución de la ecuación diferencial:

'' ' 2 0y y y .

Solución: Para resolver este ejercicio basta con sustituir la función 2xy e en la

expresión '' ' 2 0y y y . Para ello se tiene que observar lo siguiente:

2 2 2' 2 '' 4x x xy e y e y e

Lo que implica que:

2 2 2

'' ' 2 0

4 2 2 0

0 0

x x x

y y y

e e e

como la igualdad se tiene, la función 2xy e es solución de la ecuación diferencial

'' ' 2 0y y y .



Ejemplo: Muestre que la función 2 2 4x y es solución de la ecuación diferencial:

dy x

dx y

Solución: Este ejercicio se resuelve de forma similar al anterior, teniendo en cuenta que

la función está en forma implícita. Para ello se tiene que observar lo siguiente:

2 2

2 2

4

0

2 2 0

0

d dx y

dx dx

d dx y

dx dx

dyx y

dx

dyx y

dx

Despejando dy

dx en la última relación, se tiene que

dy x

dx y .

Ejemplo: Muestre que la función 2 312 4 3 2

27

xy x x e es solución de la ecuación

diferencial: 2'' 6 9y y y x .

Solución: Este ejercicio se resuelve de forma similar al anterior, solo basta con sustituir

la función 2 312 4 3 2

27

xy x x e en la expresión 2'' 6 9y y y x . Para ello se tiene que

observar lo siguiente:

2 3 3 31 12 4 3 2 4 6 6 18

27 27

2' ''

9

x x xx x e xy ey y e

Lo que implica que:



2

3 3 2 3 2

2 3 3 3 2

2 2

'' 6 9

1 118 4 6 6 2 4 3 2

27 27

26 9

9

2 23

14 6 2 4 3 1 18 6 8

9 9 3

x x x

x x x

y y y x

e x e x x e

x x x

x

e e x

x x

e

como la igualdad se tiene, la función 2 312 4 3 2

27

xy x x e es solución de la ecuación

diferencial 2'' 6 9y y y x .

Ejemplo: Muestre que la función 2 2, 3 4u x y x y x y es solución de la ecuación

diferencial: 2 2

2 20

x y

u u

.

Solución: De forma similar a lo anterior tienes que observar lo siguiente:

2 2

2 2

2 42 3

2 2

uyx

u

yx

u u

x y

Lo que implica que:

2 2

2 20

2 2 0

0 0

x y

u u

como la igualdad se tiene, la función 2 2, 3 4u x y x y x y es solución de la ecuación

diferencial 2 2

2 20

x y

u u

.

Ejemplo: Muestre que la función , cosnu x y r n donde n , es solución de la

ecuación diferencial: 2 2

2 2 2

1 10

u

r r

u

r y

u

r

.



Solución: De forma similar a lo anterior tienes que observar lo siguiente:

1

2 22 2

2 2

sencos

1 cos cos

nn

n n

nr nnr n

n n r n n r n

uu

yr

u u

r y

Lo que implica que:

2 2

2 2 2

2 1 2

2

2 2 2 2

1 10

1 11 cos cos cos 0

1 cos cos cos 0

0 0

n n n

n n n

u u

r r

n n r n nr n n r nr r

n n r n nr n

r r y

n r n

u

como la igualdad se tiene, la función , cosnu x y r n es solución de la ecuación diferencial

2 2

2 2 2

1 10

u

r r

u

r y

u

r

.

Ejemplo: Muestre que la función 3xy xe , no es solución de la ecuación diferencial:

'' 8 ' 4y y y x .

Solución: Basta mostrar que al sustituir la función 3xy xe , esta no satisface la igualdad

'' 8 ' 4y y y x , para ello se tiene lo siguiente:

3 3 3' 1 3 '' 3 2 3x x xy xe y x e y x e

Esto implica que:

2 3 3 3

3

'' 8 ' 4 3 2 3 8 1 3 4

2 11

x x x

xx

y y y x e x e xe

e x

como la igualdad no se tiene, por lo tanto 3xy xe no es solución de la ecuación diferencial

'' 8 ' 4y y y x .



3.1.3. Clasificación de las ecuaciones

Las ecuaciones diferenciales se clasifican en términos del tipo, orden y linealidad:

Por tipo: Se dice que una ecuación diferencial ordinaria es aquella que tiene únicamente

derivadas ordinarias de una o varias funciones desconocidas que dependen de una sola

variable independiente. De forma similar, una ecuación diferencial parcial es aquella que

tiene derivadas parciales de una o varias funciones desconocidas que dependen de varias

variables independientes.

Ejemplo: En la ecuación diferencial:

22 3

2

24 xd x dxt x e

dt x dt

es ordinaria. Observa que la variable desconocida x depende de la variable independiente t .


2

sendx dy

x ydt dt

es ordinaria. Observa que las variables desconocidas x y y dependen de la variable

independiente t .


ln x yu u

x y

es parcial. Observa la variable desconocida u depende de las variables independientes x y

y .


2 2 2

2 2 2

u u u v

x y z t

es parcial. Observa la variables desconocidas u y v depende de las variables independientes

x , y , z y t .



Por orden: En una ecuación diferencial, ya sea ordinaria o parcial, el orden es el orden de

derivación más grande que aparece en dicha ecuación.

Ejemplo: En la ecuación diferencial: 42

20

u u

x y

es de orden 2 , ya que el término que tiene el orden máximo de derivación es 2

2

u

x

.


34

2

4

23

2sen 2

1

xd x x dx d yt y e

dt t dt dt

es de orden 4, ya que el término que tiene el orden máximo de derivación es 4

4

d x

dt.

Por linealidad: Una ecuación diferencial ordinaria es lineal si y solo si tiene la siguiente

forma:

2

(

1 0

) ( 1)

1( ) ( ) ( ) '' ( ) ' ( ) ( )n n

n na x y a x y a x y a x y a x y b x

Donde y es la variable desconocida dependiente, x es la variable independiente y las

funciones 0 ( ), (), , )(na xa bx x son funciones reales. Es decir, una ecuación diferencial lineal es

aquella en que las derivadas de la variable dependiente tienen potencia 1 y los coeficientes

de tales derivadas son funciones de la variable independiente, y es igual a una función de la

variable independiente.

En el caso particular cuando las funciones 0( , (), )na x a x constantes y ( ) 0b x , a la ecuación

diferencial lineal ( ) ( 1)

2 1 01 '' ' 0n n

n na y a y a y a y a y

Se le asocia la ecuación algebraica:

1 2

1 2 1 0 0n n

n na m a m a m a m a

Las soluciones de la ecuación anterior proporcionan la solución de la ecuación diferencial

lineal considerando los siguientes casos:

Caso 1. Soluciones reales y distintas: si las soluciones de la ecuación son 1, , nm m

reales y distintas entonces la solución está dada por la relación:



1 2

21nmm m xx x

ny c e c e c e

Ejemplo: Resolver '' 3 ' 2 0y y y

Solución: La ecuación algebraica asociada es 2 3 2 0m mm cuyas soluciones

son 1 1m y

2 2m , entonces la solución es 2

1 2

x xy c e c e

Caso 2. Soluciones repetidas: si una solución km se repite j veces la solución está

dada por 2

2 1

1

1 3k k k k kx x x xm m m m m

c e c xe c x e c x e

.

Ejemplo: Resolver ''' 3 '' 3 ' 0y y y y .

Solución: La ecuación algebraica asociada es 23 3 3 1 0mm m cuya única

solución (repetida 3 veces) es 1m , entonces 2

1 2 2

x x xc e cy c e x x e es la

solución buscada.

Caso 3. Soluciones complejas: cuando aparece una solución compleja, digamos

m a ib , la solución está dada por 21 cos senax axc e bx c e bx .

Ejemplo: Resolver '' 4 ' 13 0y y y

Solución: La ecuación algebraica asociada es 2 3 04 1m m cuyas soluciones

son 2 3m i , entonces 2 2

21 cos 3 sen 3x xy c e x c e x es la solución buscada.

A continuación se presentan otros ejemplos de ecuaciones lineales donde los coeficientes no

necesariamente son funciones constantes.

Ejemplo: La ecuación diferencial:

2

22

21 xd y dy

x x xy edx dx

Es lineal, ya que las derivadas 2

2

d y

dx,

dy

dx y y de y con respecto a x tienen potencial 1 y sus

coeficientes 2x , 1x y x son funciones de la variable independiente x respectivamente, la

expresión es igual a la función 2xe es una función de la variable independiente x .




2 33

3cos 2 1 ln 3 2

d y dyx x x

dx dx

Es lineal, ya que las derivadas 3

3

d y

dx,

2

2

d y

dx,

dy

dx y y de y con respecto a x tienen potencial 1

y sus coeficientes 2cos x , 0 , 32 1x y 0 son funciones de la variable independiente x

respectivamente, la expresión es igual a la función ln 3 2x que es una función de la

variable independiente x .


22 3 0dy dy

x ydx dx

No es lineal, ya que coeficiente de del término dy

dx es 2y y no es una función de la variable

independiente x .

3.2. Ecuaciones clásicas y problemas de valores en la frontera

En esta sección se presentan los dos tipos de condiciones que se le imponen a las

ecuaciones diferenciales, estos son muy importantes, ya que al momento de aplicar dichas

ecuaciones tales condiciones aparecen de forma natural en los planteamientos.

3.2.1. Condiciones iniciales

Las condiciones iniciales en una ecuación diferencial ordinaria o en parciales consiste en

poner condiciones en un punto fijo.

Ejemplo: Resolver la ecuación diferencial:

1, , ', ,n

n

n

df x y y

d

y

xy

Sujeta a la condición:

1

10 0 0 1 0, ' , , n

ny x y y x y y x y



Donde 0 1,, ny y son constantes arbitrarias, punto fijo es

0x .


' 2y x sujeta a (1) 2y .

Solución: Hasta ahora no se ha presentado un método para resolver ecuaciones

diferenciales, aquí se hará uso de resultados de cálculo de una variable. Para resolver lo

anterior, tienes que preguntarte: ¿qué función tiene primera derivada igual a 2x ?, la

respuesta a esta pregunta es 2y x c , esto resuelve la ecuación diferencial, pero tienes que

observar que es una familia de funciones (para cada c hay una solución), como lo muestra la

siguiente figura:

Hay que encontrar los elementos de la familia que cumplan con la condición inicial (1) 2y ,

observa que esta condición significa que la parábola que se busca tiene que pasar por el

punto 1,2 , para ello se hace lo siguiente:

2

22 1

1

y x c

c

c

Por consiguiente la función 2 1y x satisface el problema de valor inicial, gráficamente se

tiene lo siguiente:




'' 2y sujeta a (0) 1y y '(0) 1y

Solución: De forma similar al ejemplo anterior, tienes que preguntarte: ¿qué función

tiene segunda derivada igual a 2 ?, la respuesta a esta pregunta es 2

1 2y x c x c , es decir,

la solución a la ecuación diferencial es el conjunto de todas las parábolas verticales que abren

hacia arriaba. Solo resta encontrar qué parábola cumple con las condiciones iniciales (0) 1y

y '(0) 1y , para ello se hace lo siguiente:

2

1 2 1

2

1 2

2 1

1

' 2

1 0 0 1 2 0

1 1

xy x c y x c

c

c

c

c c

c

Por consiguiente la función 2 1y x x satisface el problema de valor inicial. Para interpretar

gráficamente el problema anterior, observa que la condición (0) 1y significa que la parábola

tiene que pasar por el punto 0,1 . Además, recuerda que la derivada es el valor de la

pendiente de la recta tangente en el punto de contacto, es decir, la condición '(0) 1y

significan que la recta tangente a la parábola en el punto 0,1 tiene pendiente 1 . Juntando

toda esta información se tiene la siguiente figura:




''y y sujeta a (0) 0y y '(0) 1y

Solución: De forma similar al ejemplo anterior, ¿qué función tiene segunda derivada

igual a si misma?, la respuesta a esta pregunta es 1 2

x xc e ey c . Solo resta encontrar qué

función de la forma 1 2

x xc e ey c cumple con las condiciones iniciales (0) 0y y '(0) 1y ,

para ello se hace lo siguiente:

1 2 1 2

0

1 2 1 2

1 2 1

0 0

2

'

0 1

0 1

x x x x

o

y c e y c e

c e c e

c c

c e c e

c e c e

c c

El anterior sistema tiene la solución 1

1

2c y 2

1

2c . Por consiguiente la función

1 1

2 2

x xy e e satisface el problema de valor inicial. Gráficamente, se tiene la siguiente figura:



3.2.2. Condiciones en la frontera

Los problemas de valores de frontera, son similares a los problemas de valor inicial, consiste

en resolver una ecuación diferencial ordinaria o parcial dando condiciones en la frontera del

dominio de definición de la función solución.

Ejemplo: Considera la ecuación diferencial:

2 2

2

2 2

u

xa

y

u

Sujeta a la condición

(0, ) 0 ( , ) 0 0

( ,0) ( ) 0

u y u A y y

u x f x x A

Hay que observar que el conjunto donde se está trabajando está determinado por las

relaciones: 0y y 0 x A , gráficamente se presenta en la siguiente figura:


2 2

2 2

u u

x yx y




(0, ) 0 ( , ) 0 0

(0, ) 0 ( , ) ( ) 0

y a y y b

u y u a y f x x

u

x

a

u

x

Similarmente al ejemplo anterior, el conjunto donde se está trabajando está determinado por

las relaciones: 0 x a y 0 y b , gráficamente se presenta en la siguiente figura:


2

2sen( ) 0xu u

xx y ye

y


2

2

( 1, ) sen( ) ( ,0) ( ) 0 4

(4 , ) 0 1 2

y y u x f x yx

x

ux

u y x

El conjunto donde se está trabajando está determinado por las relaciones: 1 2x y 20 4y x , gráficamente se presenta en la siguiente figura:



3.2.3. Tipos de condiciones en la frontera

Como habrás notado en los ejemplos de la sección anterior, hay muchas condiciones que se

pueden pedir en la frontera del dominio de definición de una función solución. En esta parte

se presenta tres tipos de condiciones que son muy útiles en la modelación de algunos

problemas clásicos de la física.

Problema de Dirichlet: Para una función f continua definida en la frontera de una

región de n y una ecuación diferencial ordinaria o en derivadas parciales, hay que

encontrar una solución u en la región de tal forma que ( ) ( )u x f x para todo x .


2 2

2 20

x y

u u


1 2

1 2

(0, ) ( ) ( , ) ( )

( ,0) ( ) ( , ) ( )

0 0

u y g y u a y g y

u x f x u x b f y

x a y b

Es un problema de Dirichlet, observa que y son el rectángulo y su interior como se

muestra en la siguiente figura:



Condición de Neumann: Dada una ecuación diferencial ordinaria o en derivadas parciales,

hay que encontrar una solución u a partir de los valores que su derivada a lo largo de la

frontera de una región de n .

Ejemplo: La ecuación diferencial: 2 2

2 20

x y

u u


(0, ) 0 ( , ) ( )

( ,0) ( , ) ( )

0 0

0

y a y f y

x x b g y

x

u u

x x

u u

y y

a y b

Presenta las condiciones de Neumann, observa que y son el rectángulo y su interior

como se muestra en la siguiente figura:



Condición de Robin: Dada una ecuación diferencial ordinaria o en derivadas parciales, la

condición del valor de frontera está dada entre combinaciones lineales de una función f y los

valores de su derivada 'f a los largo de la frontera de de n .


2 2

2 20

x y

u u


(0, ) 0 ( , ) ( , ) 0

( ,0) ( ) ( , ) ( )

0 0

uu

x

u

y u a y a y

u x f x x b g y

x

y

a y b

Presenta condiciones de Neumann, observa que y son el rectángulo y su interior como

se muestra en la siguiente figura:

Como habrás observado, los tres ejemplos pretenden resolver la misma ecuación diferencial,

sobre el mismo rectángulo, pero las condiciones que se le imponen sobre la frontera del

mismo son distintas, esto provoca que la solución, si es que existe, sea distinta.



Actividad 1. Métodos de solución aplicados

1. Investiga algún problema físico que sea modelado con un problema de Dirichlet o

una ecuación que cumpla las condiciones de Neumann o las condiciones de Robin.

2. Sube los resultados de tu investigación al foro y compáralas con las de tus

compañeros. Realiza los comentarios que consideres pertinentes.

*No olvides consultar la Rúbrica general de foros para identificar los criterios con los que será evaluado tu trabajo.

3.3. Ecuación de Laplace

En las secciones anteriores se presentaron algunos conceptos básicos que se utilizan en las

ecuaciones diferenciales parciales. En esta sección se presenta cómo resolver las ecuaciones

diferenciales parciales de variables separables y la ecuación de Laplace en dos variables.

3.3.1. Solución de un problema de valores en la frontera por separación de

variables

El método de separación de variables, también conocido como método de expansión de

eigenfunciones o método de Fourier es una técnica estándar en la solución de ecuaciones

diferenciales parciales, se utiliza en regiones acotadas. Todo se basa en el concepto de

separación de variables el cual consiste en expresar una función escalar f que depende de

las variables independientes 1, nx x como producto de funciones

1 ,, nf f donde cada kf es

una función exclusiva de la variable kx , en símbolos

1 1 1,, n n nf x f xx xf para toda 1 ,, n

nxx .

Como caso particular de ecuaciones diferenciales ordinarias, cuando una variable y depende

de la variable independiente x una ecuación diferencial es de variables separables si y solo

si tiene la forma:

( ) ( ) 0f x dx g y dy

Esta ecuación diferencial se resuelve integrando ambos lados de la igualdad para obtener lo

siguiente:



( ) ( )f x dx g y dy c

Donde c es una constante:

Ejemplo: Resolver la ecuación diferencial 2 0xy dx y xdy .

Solución: Basta observar que al dividir la ecuación 2 0xy dx y xdy entre 2y x se

obtiene la forma deseada, como lo muestran las siguientes relaciones:

3

2

2

2

2

0

0

0

2ln

3

xy dx y xdy

xy dx y xdy

y x

dyxdx

y

dyxdx c

y

x y c

Aplicando propiedades algebraicas se tiene que:

3 3 3

2 2 2

3

2

2 2 2

3 3 3

2ln

3

c x x xc

y c x

y e e e Ce

Aquí se ocupa el hecho de que si c es constante entonces ce también es contante.

Ejemplo: Resolver la ecuación diferencial 2

'x

yy

sujeto a (1) 1y .

Solución: Sustituyendo 'y por dy

dx se tienen las siguientes:



2 2

2

0

2

1

2

dy x

dx y

ydy

ydy

xdx ydy c

x y c

Sustituyendo la condición inicial (1) 1y se tiene que:

2 21

1 12

3

2

c

c

Por lo tanto la solución es 2 21 3

2 2x y .

En el caso de ecuaciones diferenciales parciales, en esta sección solo se considerarán

funciones f de dos variables x y t , en consecuencia se tiene que:

( , ) ( ) ( )f x t g x h t

Luego este producto se sustituye en la ecuación diferencial parcial, provocando que esta se

descomponga en dos ecuaciones diferenciales parciales, la primera en términos de ( )g x y la

segunda en términos de ( )h t . Hay que observar que la sustitución del producto en las

condiciones de frontera de la ecuación diferencial inducen condiciones de frontera sobre ( )g x

, lo que implica que hay una ecuación diferencial con valores de frontera para ( )g x y una

ecuación diferencial ordinaria para ( )h t . Estas dos ecuaciones se resuelven y su producto es

la solución ( , )u x t de la ecuación diferencial parcial con las condiciones de frontera dadas.


2

2

uu

t xk


(0, ) 0 ( , ) 0 ( ,0) ( ) 0 0u t u a t u x f x x a t

Por el método de separación de variables.



Solución: Para resolver esta ecuación diferencial, se realiza lo que se describe en el

párrafo anterior, el cual se muestra por medio de los siguientes pasos:

Paso 1. Debes supone que ( , ) ( ) ( )u x t g x h t y sustituir esto en la ecuación diferencial

parcial, del siguiente modo:

2

2

2

2

2

2

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) '( ) ( ) ''( )

uk

g x h t k g x h t

g

u

t x

t

x h t kh t g x

g x

x

t x

h t kh t g x

La última expresión es equivalente a:

'( ) ''( )

( ) ( )

h t g x

kh t g x

Observa que las variables en la última relación han sido separadas, si esto no

sucede, este método no funciona.

Paso 2. Ahora se procede a construir de ecuaciones diferenciales ordinarias una que

depende de ( )g x y otra de ( )h t . Como x y t son variables independientes para que

una función de t sea igual a una función de x , esta forzosamente tiene que ser

constante, digamos . Por consiguiente se tienen las siguientes relaciones:

'( ) ''( )

( ) ( )y

h t g x

kh t g x

De forma equivalente:

'( ) ( ) ''( ) ( )yh t kh t g x g x

La constante toma el nombre de constante de separación y tienes que tener en

cuenta que es un valor desconocido.

Paso 3. Se sustituye el producto en las condiciones de frontera dadas, del siguiente

modo:

(0, ) 0 ( ,0) ( ) ( , ) 0

(0) ( ) 0 ( ) (0) ( ) ( ) ( ) 0

u t u x f x u a t

g h t g x h f x g a h t



Ahora como ( )h t y ( )g x no son idénticamente igual a cero se tiene que

(0) ( ) 0g g a

Lo que permite obtener la ecuación diferencial con valores de frontera para ( )g x la

cual queda del siguiente modo:

''( ) ( ) (0) 0 ( ) 0 0 sujeta a y donde g x g x g g a x a

Paso 4. Se resuelve la ecuación diferencial del siguiente modo:


Se resuelve por casos: para 0 se tiene que ''( ) 0g x por consiguiente se tiene que

( )g x Ax B , pero las condiciones (0) 0g y ( ) 0g a inducen que 0A y 0B , en

consiguiente ( ) 0g x , es decir ( ) 0g x , lo cual es una solución que satisface las

ecuación diferencial pero no cumple con las condiciones de frontera, ya que se

requiere que ( ,0) ( )u x f x . Tomando 0 se tiene que la ecuación ''( ) ( ) 0g x g x

se le asocia el polinomio 2 0m que tiene como soluciones m , en

consecuencia 1 2( ) x xg x c e c e , aplicando las condiciones (0) 0g y ( ) 0g a se

obtiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

21

1 2

0

0a a

c c

c e c e

Cuya solución es 1 2 0c c , de forma similar al caso anterior se tiene que ( ) 0g x .

Finalmente para 0 , para mejor entendimiento considera que 2b , lo que

induce la ecuación 2''( ) ( 0)g x b g x se le asocia el polinomio 2 2 0m b que tiene

como soluciones m bi , en consecuencia 1 2( ) cos seng x c bx c bx , Aplicando la

condición (0) 0g se obtiene lo siguiente:

1

1

20 cos 0 sen 0

0

c c

c

Lo que implica que 2( ) seng x c bx . Aplicando la condición ( ) 0g a implica que

20 senc ba , claramente si 2 0c se satisface la relación anterior, pero eso nos lleva

a los dos casos anteriores, por lo que hay que supone que 2 0c y esto implica que



sen 0ab y entonces ab n donde \ 0n , así se obtiene que ba

n y en

consecuencia:

2 22

2b

n

a

La solución es:

2( ) senn

g x c xa

Finalmente se resuelve:

2 2

2

2 2

2

2 2

2

2 2

2

2 2

12

'( ) ( )

ln

( )

nkt

a

h t kh t

dh nh

dt a

dh nkdt

h a

dh nkdt

h a

nh kt c

a

t Ce

k

h

Paso 5. Se presenta la familia que genera la solución de la ecuación diferencial, cada

elemento de esta familia es el producto de las funciones encontradas en el paso

anterior, en este caso se tiene que la solución es la función:

2 2

2

2( , ) ( ) ( ) sen

nk t

anu x t g x h t c x Ce

a

Observa que por cada valor \ 0n se tiene una solución, por consiguiente el

resultado se presenta de la siguiente manera:

2 2

2

( , ) sen

nkt

an n

nu x t c e x

a

Paso 6. Se presenta la solución general como combinación lineal de la familia

encontrada en el paso anterior:



2 2

2

1 1

( , ) ( , ) sen

nkt

n

na

n

n

nu x t u x t c e x

a

Paso 7. Se procede a calcular los coeficientes nc con \ 0n , utilizando la condición

( ,0) ( )u x f x del siguiente modo:

2 2

20

1 1 1

( ,0) ( ,0) sen senn n n

nk

a

n n n

n nu x u x c e x c x

a a

Luego se tiene que:

1

( ) senn

n

nf x c x

a

Observa que el lado derecho de la igual anterior es la serie de Fourier de f en el

intervalo ,a a , por consiguiente se tiene que:

0

1 2( )sen ( )sen

a

n

a an n

c f v v dv f v v dva a a a

.

Paso 8. Se presenta el resultado final:

2 2

2

1 0

2( , ) ( )sen sen

nakt

a

n

n nu x t f v v dv e x

a a a

.


4u

x t

u


3(0, ) 8 0tu t e x t


Solución: Se procede de forma similar al ejemplo anterior:

Paso 1. Supóngase que ( , ) ( ) ( )u x t g x h t y sustituyendo en la ecuación diferencial

parcial se tiene que:



4

( ) ( ) 4 ( ) ( )

( ) ( ) 4 ( ) ( )

( ) '( ) 4 ( ) '( )

u

g x h t g x h t

h t g x g x h t

u

x t

x t

x

h t g x g h

t

x t


'( ) '( )

( ) 4 ( )

h t g x

h t g x

Paso 2. Como se mencionó en el ejemplo anterior, dado que x y t son variables

independientes una función de t que sea igual a una función de x tiene que ser

constante, digamos . Por consiguiente se tienen las siguientes relaciones:

'( ) '( )

( ) 4 ( )y

h t g x

h t g x


'( ) ( ) '( ) 4 ( )yh t h t g x g x


modo:

3

3

(0, ) 8

(0) ( ) 8

t

t

u t e

g h t e

Entonces (0) 1g



'( ) ( ) (0) 1 sujeta a donde g x g x g x

Paso 4. Se resuelve las ecuaciones diferenciales del siguiente modo:



1

1

'( ) ( )

ln

( ) t

h t h t

dhh

dt

dhdt

h

dhdt

h

h t c

h t C e

Por otro lado, la ecuación:

'( ) 4 ( ) (0) 1 sujeta a donde g x g x g x

Se resuelve de forma similar a la anterior:

1

4

2

4

4

ln 4

'( ) 4 ( )

4

( ) x

g

dgdx

g

dg

g x g x

dg

d

dxg

g

x

g x C e

x c

Tomando la condición (0) 1g se tiene que 1C

Paso 5. En este caso, la familia que genera la solución solo consta de un elemento que

es:

44

2 1( , ) ( ) ( ) t x txu x t g x h t C e C e Ce

Paso 6. No procede ya que solo hay una función.

Paso 7. Se procede a calcular el coeficiente C y la constante . Tomando las

condiciones de frontera 3(0, ) 8 tu t e se tiene que:

4 0 3(0, ) 8t t tu t Ce Ce e

Lo que implica que 8C y 3 .




3 4( , ) 8

x tu x t e

3.3.2. Ecuación de Laplace con dos variables

El operador de Laplace o laplaciano para n variables independientes 1, , nx x se define por:

2 22

2

1

n

nx x

Algunos autores también utilizan el símbolo para denotar al operador de Laplace. Cuando

el operador de Laplace es aplicado a una función f se presenta de la siguiente forma:

2 2

2

1

n

n

f x xx x

f f

Donde

1, , nxx x

La ecuación de Laplace es una de las ecuaciones básicas en el estudio de la física-

matemática, esta aparece de forma natural en muchos problemas de la física que no

requieren del uso del tiempo, entre ellos el flujo de calor y los potenciales, además dentro de

las matemáticas es parte fundamental en el estudio del análisis amónico. En esencia, la

ecuación de Laplace busca funciones f que anulen al operador de Laplace en una

determinada región de n , es decir, la ecuación de Laplace es:

2 0f x para todo x

En esta presentación solo se trabaja la ecuación de Laplace para dos variables

independientes x y y , en este caso se tiene lo siguiente:

2 2

2 20

x y

f f

Ejemplo: Resolver la ecuación de Laplace:

2 2

2 20

x y

u u




(0, ) 0 ( , ) 0

( ,0) ( ,0 ) ( )

0 0

y a y

u x u x b f x

x a

u u

y b

x x




Paso 1. Sea ( , ) ( ) ( )u x y g x h y , sustituyendo en la ecuación de Laplace se tiene lo

siguiente:

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

0

( ) ( ) ( ) ( ) 0

( ) ( ) ( ) ( ) 0

( ) ''( ) ( ) ''( )

u u

g x h y g x h y

h y g x g x h y

h y g x g x

x y

x y

x y

h y


''( ) ''( )

( ) ( )

h y g x

h y g x

Paso 2. Por la independencia de las variables x y y existe una constante que

satisface las siguientes:

''( ) ''( )

( ) ( )y

h y g x

h y g x


''( ) ( ) ''( ) ( )yh y h y g x g x


modo, pero antes hay que observar que

( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) '( )x y g x hu

x x xy h y g x h y g x



Además como ( , ) ( ) ( )u x y g x h y implica ( ,0) ( ) (0) 0u x g x h y como ( )g x no es

idénticamente igual a cero implica que (0) 0h . A demás, sustituyendo las condiciones

(0, ) 0u

xy

y ( , ) 0a

u

xy

se tiene que:

( ) '(0) 0 ( ) '( ) 0yh y g h y g a

Ahora como ( )h y no es idénticamente igual a cero se tiene que

'(0) '( ) 0g g a




Y la otra ecuación diferencial a resolver es:

''( ) ( ) (0) 0 0 sujeta a donde hh y y h y b

Paso 4. Se resuelve las ecuaciones diferenciales del siguiente modo: se comienza

resolviendo la ecuación

''( ) ( ) '(0) 0 '( ) 0 0 sujeta a y donde g x g x g g a x a

Esta se obtiene por casos: para 0 se tiene que ''( ) 0g x por consiguiente se tiene

que 1 1( )g x C x D , las condiciones '(0) 0g , '( ) 0g a junto con el hecho

1'( )g x A

implican que 1 0C , es decir,

1( )g x B lo cual es una solución no trivial. Luego,

tomando 0 se tiene que la ecuación ''( ) ( ) 0g x g x se le asocia el polinomio

2 0m que tiene como soluciones m , en consecuencia

2 2( ) x xg x C e D e , se aplican las condiciones '(0) 0g , '( ) 0g a junto con el

hecho 2 2'( ) x xg x C e D e para obtener el siguiente sistema de ecuaciones

lineales:

2 2

2 2

0

0a a

C D

C e D e

Cuya solución es 22 0C D , lo que lleva a la solución trivial ( ) 0g x , el cual no se

tomará en cuenta. Finalmente para 0 , para mejor entendimiento considera que 2k , lo que induce la ecuación 2''( ) ( 0)g x k g x se le asocia el polinomio



2 2 0m k que tiene como soluciones m ki , en consecuencia

3 3( ) cos seng x C kx D kx , así se tiene que 3 3'( ) sen cosg x kC kx kD kx .

Aplicando la condición '(0) 0g se obtiene lo siguiente:

3 3 30 sen 0 cos 0kC kD kD

Como 0k implica que 3 0D , así se tiene que 3( ) cosg x C kx y

3'( ) seng x kC kx . Aplicando la condición '( ) 0g a implica que 30 senkC ka ,

claramente si 2 0c se satisface la relación anterior, pero eso lleva a la solución trivial,

por lo que hay que supone que 2 0c y esto implica que sen 0ka y entonces

ak n donde \ 0n , así se obtiene que ka

n y en consecuencia

2 22

2k

n

a

.

La solución es:

3( ) cosg x C xa

n

para \ 0n

Por otro lado, cuando 0 se tiene la siguiente ecuación diferencial:

''( ) 0h y sujeta a (0) 0h

cuya solución es 1 1( )h y A y B , la condición inicial (0) 0h implican que

1 0B , luego

1( )h y A y . Por otro lado cuando 2 2

2

n

a

se tiene la ecuación diferencial

2 2

2''( ) ( ) 0

nh y h y

a

sujeta a (0) 0h ,

Tiene asociada la ecuación algebraica 2 2

2

20

nm

a

que tiene soluciones

nm

a

,

luego se tiene que 2 2( )n n

y ya ah y A e B e

, aplicando la condición (0) 0h implica que:

2 2

0

2

0

20n n

a aA e B e A B

Luego:



2 2 2 2

2

( ) 2 senh

senh

n n n ny y y y

a a a an

h y A e A e A e e A ya

nA y

a

Recuerda que si 2A es constante, también lo es

22A .

Paso 5. La familia que genera la solución de la ecuación diferencial está formada por

funciones de la forma ( , ) ( ) ( )u x y g x h y , entonces cuando 0 se tiene que

0 1 0 0( , )u x y B A y E y y cuando 0 se tiene que:

3 2( , ) ( ) ( ) cos senh ,

cos senh

n

n

u x y g x h y C x A y a ba a

n n

E x ya a

n n



0

0 1

( , ) ( , ) cos senhn n

n nu x t u x t E y E x ya

n n

a

Paso 7. Se procede a calcular los coeficientes nE con n , utilizando la condición

( , ) ( )u x b f x del siguiente modo:

1

0( , ) senh cos ( )n

n

u x b E b E b x f xa a

n n

Luego la expresión anterior tiene la siguiente forma:

1

0( ) cos2 n

n

Ef x E x

n

a

Es decir, la serie de Fourier de f en el intervalo ,a a , haciendo las identificaciones:

00 senh

2y n nE b

nEE b E

a

.

Luego se tiene lo siguiente:



0

0

0

1( )

2

1( )

a

a

a

E b f v dva

E f v dvab

Además:

0

senh

1( )cos senh

2( )cos

senh

n n

n

a

a

n

a

E E ba

f v v dv E ba a a

E f v v dva

a ba

n

n n

n

n


0

1

( , ) cos2

n

n

Eu x t E x

n

a

.

Donde

0

0

0

1 2( ) ( )cos

senh

y n

a a

E f v dv E f v v dvab a

a ba

n

n

Ejemplo: Resolver la ecuación de Laplace:

2 2

2 20

x y

u u


(0, ) ( ) (1, ) 0

( ,0) 0 ( ,1) 0

0 1 0 1

u y f y u y

u x u x

x y


Solución: Se procede de forma similar al ejemplo anterior:



Paso 1. Sea ( , ) ( ) ( )u x y g x h y , sustituyendo en la ecuación de Laplace se tiene lo

siguiente:

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

0

( ) ( ) ( ) ( ) 0

( ) ( ) ( ) ( ) 0

( ) ''( ) ( ) ''( )

u u

g x h y g x h y

h y g x g x h y

h y g x g x

x y

x y

x y

h y


''( ) ''( )

( ) ( )

h y g x

h y g x

Paso 2. Por la independencia de las variables x y y existe una constante que

satisface las siguientes:

''( ) ''( )

( ) ( )y

h y g x

h y g x


''( ) ( ) ''( ) ( )yh y h y g x g x


modo: como ( , ) ( ) ( )u x y g x h y implica ( ,0) ( ) (0) 0u x g x h y como ( )g x no es

idénticamente igual a cero implica que (0) 0h , de forma similar cuando

( ,1) ( ) (1) 0u x g x h implica que (1) 0h y finalmente (1, ) (1) ( ) 0u y g h y implica que

(1) 0g . La ecuación diferencial con valores de frontera que se obtiene es la siguiente:

''( ) ( ) (0) 0 (1) 0 0 1 sujeta a y donde h y h y h h y

La otra ecuación diferencial a resolver es:

''( ) ( ) (1) 0 0 1 sujeta a donde g x g x g x

Paso 4. Se resuelve las ecuaciones diferenciales del siguiente modo. Se comienza

resolviendo la ecuación

''( ) ( ) (0) 0 (1) 0 0 1 sujeta a y donde h y h y h h y



Esta se obtiene por casos: para 0 se tiene que ''( ) 0h y por consiguiente se tiene

que 1 1( )h y C y D , las condiciones (0) 0h y (1) 0h implican que

1 1 0C D , es

decir, se tiene la solución trivial ( ) 0h y . Luego, tomando 0 se tiene que la

ecuación ''( ) ( ) 0h y h y tiene como solución la función 2 2( ) y yh y C e D e ,

aplicando las condiciones (0) 0h y (1) 0h se obtiene el siguiente sistema de

ecuaciones lineales:

2 2

2 2

0

0

C D

C e D e

Cuya solución es 22 0C D , obteniendo la solución trivial ( ) 0h y . Finalmente para

0 , se toma 2k , lo que permite tener 2''( ) ( 0)g x k g x cuya solución es la

función 3 3( ) cos senh y C ky D ky , aplicando la condición (0) 0h se obtiene lo

siguiente:

3 3 30 cos 0 sen 0C D C

Es decir 3( ) senh y D ky , aplicando la condición (1) 0h se tiene que 3 sen 0D k ,

como 3D no puede ser cero se tiene que sen 0k , lo que implica que k n donde

n y en consecuencia

2 2 2nk

La solución es:

3 \ 0( ) cos para h y D nny

Por otro lado, 2 2n tomando la ecuación diferencial lineal homogénea con

coeficientes constantes:

2 2''( ) ( ) (1) 0 0 1 sujeta a donde g x n g x g x

Los casos 0 y 0 inducen soluciones triviales por consiguiente solo basta tomar 2 2n lo que permite obtener la siguiente ecuación diferencial:

2 2''( ) ( ) (1) 0 0 1 sujeta a donde g x n g x g x

tiene como solución la función 2 2( ) nx xng x A e B e , aplicando la condición (1) 0g

implica las siguientes relaciones:



2 2

2 2

2 2

2

0n n

n n

n

A e B e

A e B e

A e B

Luego:

2 2 2

2

2

2

2

2

2 2

2

2 2

2

2

( )

cosh senh cosh senh

cosh 1 senh 1

1senh cosh

1

senh cosh tanh

senh cosh ccosh

n n n n n n

n

n

n

x x x x

n

n n n n

g x A e A e e A e e e

A x x e x x

A x e x e

eA x x

n n

n n

n n n

n nn

e

A x x

Ax

2

osh senh

senh 1cosh

x

Ax

n n

nn

Paso 5. La familia que genera la solución de la ecuación diferencial está formada por

funciones de la forma ( , ) ( ) ( )u x y g x h y , entonces cuando 0 se tiene que

0 1 1( , ) 0 0u x y A x A lo que nos da una solución trivial. Cuando 0 se tiene

que:

32( , ) ( ) ( ) senh 1 cos

senh 1 cos

n

n

n ny

n

u x y g x h y

E x n

A x D

y



1 1

( , ) ( , ) senh 1 cosn n

n n

nu x t u x t yE x n

Paso 7. Se procede a calcular los coeficientes nE con n , utilizando la condición

(0, ) ( )u y f y del siguiente modo:

1

(0, ) senh cos ( )n

n n nyu y E f y

Luego la expresión anterior tiene la siguiente forma:



0

1

( ) cos2 n

n

Ef x E xn

Es decir, la serie de Fourier de f en el intervalo 1,1 , haciendo las identificaciones:

0 0 senh2

y n n

EE nE .

Luego se tiene lo siguiente:

1

1

1

0

senh

1( )sen senh

1

2( )sen

senh

n n

n

n

n

nn

n

n

E E

f v v dv Ea

E f v v dva


1

( , ) cosn

n nu x t F y

.

Donde

1

0

2( )sen

senhnF f v v dvn

nb

3.4. Problemas de valores en la frontera con series de Fourier

Como habrás notado en los ejemplos presentados en la sección anterior, muchas ecuaciones

diferenciales con valores de fronteras se resuelven por medio de una serie de Fourier, en esta

sección se continúa con la resolución de algunas ecuaciones diferenciales clásicas donde

aparecen las series de Fourier como solución de las mismas.

3.4.1. Ecuación de transmisión de calor en dos dimensiones

El objetivo de la ecuación de transmisión del calor consiste en encontrar una función ,u x t

que representa la temperatura en el punto nx de un cuerpo sólido en el instante t . La

ecuación del calor es la siguiente:



2ku

ut

En particular, la ecuación del calor en una dimensión es:

2

2

uu

t xk

En dos dimensiones es:

2 2

2 2

u u

t

uk

x y

En tres dimensiones:

2 2 2

2 2 2

u u u

t x y z

uk

En el modelo físico original, esta ecuación es planteada en tres dimensiones, además la

constante k toma el nombre de difusión y es igual a K

k

donde K es la conductividad

térmica del cuerpo, es el calor específico de cuerpo y es la densidad del mismo, las tres

cantidades se consideran constantes.

Esta ecuación se resuelve por medio de variables separables, como se muestra a

continuación.

Ejemplo: Resolver la ecuación de difusión del calor:

2

22

uu

t x


(0, ) 0 (3, ) 0 0 3 0

( ,0) 5sen 4 3sen 8 12sen 10

u t u

x x

t x t

u x x






Paso 1. Supóngase que ( , ) ( ) ( )u x t g x h t , esto implica que:

'( ) ''( )

2 ( ) ( )

h t g x

h t g x

Paso 2. Sea tal que satisface

'( ) ''( )

2 ( ) ( )y

h t g x

h t g x


'( ) 2 ( ) ''( ) ( )yh t h t g x g x

Paso 3. Sustituyendo las condiciones de frontera dadas, se tiene que:

(0, ) 0 (3, ) 0

(0) ( ) 0 (3) ( ) 0

u t u t

g h t g h t

Lo que permite obtener que (0) (3) 0g g . Luego se llega a las siguientes ecuaciones

diferenciales:

''( ) ( ) (0) 0 (3) 0 0 3 sujeta a y donde g x g x g g x

Junto con la ecuación diferencial '( ) ( )h t kh t

Paso 4. Por otro lado la ecuación

''( ) ( ) (0) 0 (3) 0 0 3 sujeta a y donde g x g x g g x

Se procede por casos: para 0 se tiene que ''( ) 0g x lo que implica que

( )g x Ax B , pero las condiciones (0) 0g y (3) 0g inducen que 0A y 0B , en

consiguiente ( ) 0g x . Para 0 la ecuación ''( ) ( ) 0g x g x tiene solución

1 2( ) x xg x c e c e , las condiciones (0) 0g y (3) 0g permiten se obtiene el

siguiente sistema de ecuaciones lineales:

1

3 3

1

2

2

0

0

c c

c e c e



Cuya solución es 1 2 0c c , es decir ( ) 0g x . Finalmente para 0 , donde 2b ,

se tiene la ecuación 2''( ) ( 0)g x b g x cuya solución está dada por

1 2( ) cos seng x c bx c bx , aplicando la condición (0) 0g se obtiene lo siguiente:

1

1

20 cos 0 sen 0

0

c c

c

Lo que implica que 2( ) seng x c bx

.

Aplicando la condición (3) 0g implica que 20 sen 3c b , para 2 0c implica que

sen 3 0b y entonces 3b n donde \ 0n , luego 3

bn

y 2 2

2

9b

n .

La solución es:

2( ) sen3

ng x c x

Por otro lado se tiene que:

2 2

2 2

2 2

9

2 2

2 2

1

2

'( ) 2 ( )

29

9

9

ln9

( )

2

2

2

tn

h t h t

dhh

dt

dhdt

h

dhdt

h

h t c

h

n

n

n

t e

n

C

Paso 5. La familia que genera la solución de la ecuación diferencial es la siguiente: 2 2

9

2

( , ) sen3

nt

n n

nu x t c e x





2 22

9

1

( , ) sen3

t

n

n

nn

u x t c e x

Paso 7. Para calcular los coeficientes nc , observa que:

( ,0) 5sen 4 3sen 8 12sen 10x xu x x :

Entonces:

2 2

02

9

1 1

( ,0) sen sen9 9

n

n

n n

n

n nu x c e x c x

Luego se tiene que:

1

sen 5sen 4 3sen 8 12sen 103

n

n

nc x x xx

Observa que la igualdad anterior solo se puede dar cuando 12, 24, 30n , en

consecuencia:

12 24 303 125 0 en otro casonc c c c

Paso 8. La solución es:

2 2 2 2 2 212 24 30

9 9 9

2 2 2

( , ) 5 sen 4 3 sen 8 12 sen 10t t t

u x t e x e x e x

.


2

2

uu

t x


(0, ) 0 ( , ) 0 0 0

0

( , )2

0

2

si

si

u t u t x t

x x

x

u x

x




Solución: Realizando los pasos antes mencionados se tiene:

Sea ( , ) ( ) ( )u x t g x h t y sustituyendo se tiene que:

( ) '( ) ( ) ''( )g x h t h t g x

Lo cual es equivalente a:

'( ) ''( )

( ) ( )

h t g x

h t g x .

Paso 1. Tomando de tal forma que:

'( ) ''( )

( ) ( )y

h t g x

h t g x

Implica que:

'( ) ( ) ''( ) ( )yh t kh t g x g x

Paso 2. Sustituyendo las condiciones iniciales se tiene lo siguiente:

(0, ) 0 ( , ) 0

(0) ( ) 0 ( ) ( ) 0

u t u t

g h t g h t

Esto implica que (0) ( ) 0g g a . Lo que permite obtener:

''( ) ( ) (0) 0 ( ) 0 0 sujeta a y donde g x g x g g x

Paso 3. Para resolver la ecuación:

''( ) ( ) (0) 0 ( ) 0 0 sujeta a y donde g x g x g g x

Como ya se vio previamente, para 0 y 0 se obtiene la solución trivial por lo

cual no serán tomados en cuenta. Para 0 y tomando 2b , la ecuación 2''( ) ( 0)g x b g x tiene solución 1 2( ) cos seng x c bx c bx , las condiciones iniciales

(0) ( ) 0g g implican que 1 0c y sen 0b . Luego nb con \ 0n , es

decir, b n obteniendo que 2 2nb . Así 2( ) seng x c nx es la función buscada.

Finalmente se resuelve



2

2

2

2

2

1

'( ) ( )

ln

( ) n kt

h t h t

dhn h

dt

dhn dt

h

dhn dt

h

h n t c

h t Ce

Paso 4. Cada elemento de la familia que genera la solución de la ecuación diferencial

tiene la forma:

2

( , ) senkt

n

n

nu x t c e nx .

Paso 5. La solución buscada tiene la forma:

2

1

( , ) senn kt

n

nu x t c e nx

Paso 6. La relación:

02

2

( ,0)

si

si

x

x x

x

u x

Permite obtener:

2 0

1 1

( ,0) sen senn k

n n

n nu x c e nx c nx

Luego se tiene que:

1

0

sen2

2

si

si n

n

x

c nx

x

x x

Así, la solución buscada es la serie de Fourier de la función ( ,0)u x en el intervalo

, , la cual se procede a calcular a continuación:



2

2 2

0

2

0

0

2

2

2

1 2( )sen ( )sen

cos sen cos sen2

cos sen c2 2

2s

2 2

en se

2

n

n n

n v n

v nv nv v nv nv

n n n n

n n

n

c f v nv dv f v v dv

v v dv v d

n

v

2

2

os sen2 2

4sen

2

n n

n n

nn

Observa que:

0 2sen

2 1 2 1

si

si k

n kn

n k

Por consiguiente

2 2 1 2

04 1

2 1 y

n

n nc cn

Paso 7. La solución es:

22 1

21

4 1

2( , ) sen 2 1

1

n t

n

n nu x t e n x

3.4.2. Ecuación de onda en dos dimensiones

El objetivo de la ecuación onda consiste en encontrar una función ,u x t que representa el

movimiento de una superficie en el punto nx en el instante t . La ecuación del calor es la

siguiente: 2

2

2k ut

u



En particular, la ecuación onda en una dimensión

22

2 2

u uk

t x

Modela la oscilación de una cuerda.

En dos dimensiones la ecuación:

2 2

2 2

2

2

uk

u

t

u

x y

Modela la oscilación de una membrana, por ejemplo el movimiento una bandera con respecto

al viento.

En tres dimensiones

2 2 2

2 2 2

2

2

u u

t x

u u

zk

y

Modela la oscilación de un sólido, por ejemplo la vibración de una sustancia gelatinosa.

Inicialmente, esta ecuación es planteada en una dimensión donde la constante k es positiva

y es la velocidad de propagación.

El objetivo de esta sección es resolver la ecuación de onda para el caso de dos dimensiones

por medio de variables separables, esto pretende ejemplificar el método de variables

separables para más de dos variables independientes, este caso concreto serán tres

variables.

Ejemplo: Resolver la ecuación de onda:

2 2 2

2 2 20 para

u

y

u

t x

uk k


(0, , ) 0 ( ,0, ) 0 ( , ,0) ( , )

( , , ) 0 ( , , ) 0 ( , ,0) ( , )

0 0 0

u y t u x t u x y f x y

u a y t u x b t x y g x y

x a

t

b t

u

y



Solución: Se procede de manera similar a los ejemplos anteriores, cabe mencionar que solo

se presenta parte del algoritmo para calcular la solución, ya que esta requiere del contenido

desarrollado en la siguiente sección.

Paso 1. Se supone que la función ( , , )u x y t tiene la forma siguiente:

( , , ) ( ) ( ) ( )u x y t X x Y y T t .

Sustituyendo es se tiene que:

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ''( ) ( ) ( ) ''( ) ( ) ( ) ''( )

X x Y y T t k X x Y y T t

X x Y y T t k Y y T t X x X x T t Y y

X x Y y T t k Y y T t X x X x T t Y

t x y

t x

y

y

Dividiendo la última expresión entre ( ) ( ) ( )kX x Y y T t se tiene lo siguiente:

''( ) ''( ) ''( )

( ) ( ) ( )

T t X x Y y

kT t X x Y y

Paso 2. Como las variables x , y y t son independientes se tiene que existe una

constante tal que:

''( ) ''( ) ''( )

( ) ( ) ( )y

T t X x Y y

kT t X x Y y

De forma equivalente se tiene que:

''( ) ''( )''( ) ( )

( ) ( )y

X x Y yT t kT t

X x Y y

Observa que la ecuación ''( ) ''( )

( ) ( )

X x Y y

X x Y y relaciona las variables independientes x y

y por lo cual existe una constante tal que:

''( ) ''( )

( ) ( )y

X x Y y

X x Y y

Lo que lleva al siguiente sistema:



( ) 0

''(

''

) ( )

( )

0

X x

Y y Y

X

y

x

Paso 3. Sustituyendo en las condiciones de frontera se tiene lo siguiente:

(0, , ) 0 ( ,0, ) 0

(0) ( ) ( ) 0 ( ) (0) ( ) 0

( , , ) 0 ( , , ) 0

( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0

u y t u x t

X Y y T t X x Y T t

u a y t u x b t

X a Y y T t X x Y b T t

Esto implica que (0) ( ) (0) ( ) 0X X a Y Y b . Ahora ternemos las siguientes

ecuaciones diferenciales:

( ) 0 (0) ( ) 0

''

''( )

''( ) ( )

( ) ( ) 0 (0) ) 0

0

(

sujeta a

sujeta a

X x

T t k

X x X X a

Y y Y y Y Y b

T t

Paso 4. Se resuelve primero la ecuación:

( ) 0 (0''( ) ( ) 0) sujeta a X aX X xx X

Esta depende de los valores que tome el parámetro : para 0 se tiene que la

ecuación ''( ) 0X x tiene por solución 1 1( )X x A x B , las condiciones de frontera

(0) ( ) 0X X a implican que 1 1 0A B , obteniendo la función ( ) 0X x . Para 0 se

tiene que la ecuación ''( ) ( ) 0X x X x tiene solución 2 2( ) x xX x A e B e , las

condiciones de frontera (0) ( ) 0X X a llevan al sistema de ecuaciones lineales:

2 2 2 20 0a aA B A e B e

Cuya solución es 2 2 0A B , obteniendo la función ( ) 0X x . Para 0 y haciendo

2r se tiene que la ecuación diferencial 2''( ) ( ) 0X x r X x tiene por solución a la

función 3 3( ) cos( ) sen( )X x A rx B rx , sustituyendo las condiciones de frontera

(0) ( ) 0X X a se tiene que 3 0A y sen( ) 0ra , lo que implica que ra m con

\ 0m , es decir ra

m y

2 2

2a

m , así se tiene que 3( ) senX x B x

a

m

.

De forma similar la ecuación diferencial

''( ) ( ) 0 (0) ( ) 0 sujeta a Y y Y y Y Y b



Tiene por solución 3( ) senY y D yb

n

, donde

2 2

2b

n , así se obtiene le valor

de :

2 2 2 2 2 2

2 2 2b a

n n m

b

Finalmente, sustituyendo 2 2 2 2

2 2

n m

b a

en ''( ) ( ) 0T t kT t permite obtener la

siguiente ecuación diferencial:

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

2 2

''( ) ( ) 0

''( ) ( ) 0

n mT t kT t

b

n mT t kT

b at

a

Cuya solución es

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2( ) cos senmn mn

n m n mT t E t k F t k

b ba a

Paso 5. Cada elemento de la familia que genera la solución de la ecuación tiene la

forma:

( , , ) sen sen cos senmn mn mn mn mn

m nu x y t H x y E t F t

a b

Donde 2 2 2 2

2 2mn

n m

bk

a

.


( , , ) sen sen cos senmn mn mn mnu x y t x y E t F ta

m n

b

Recuerda que mnH ,

mnE y mnF son constantes entonces

mn mnH E y mn mnH F también lo

son.

Paso 6. La solución de la ecuación diferencial es:

1 1

( , , ) sen sen cos senmn mn mn m

n m

n

m nu x y t x y E t F t

a b



Donde 2 2 2 2

2 2mn

n m

bk

a

.

Paso 7. Toca el turno de calcular los valores mnH , para ello se hace uso de las

condiciones de frontera la condición ( , ,0) ( , )u x y f x y , lo que permite obtener que:

1 1

( , ) ( , ,0) sen senmn

n m

f x y u x y E x ya

n

b

m

La condición ( , ,0) ( , )x y g x yu

t

permite lo siguiente:

0

0

1 1

1 1

( , ) ( , ,0)

sen sen cos sen

sen sen cos sen

sen sen sen

mn mn mn mn

t

mn mn mn m

n m

n t

mn n

m

m

n

mn m

ug x y x y

x y E

t

mt F t

a b

x y E t F ta b

x y E ta b

n

t

m n

t

m n

1

1 1

01

cos

sen sen

n mn mn

t

mn m

n m

n

n

m

F t

F x ya

m n

b

Como habrás observado, en los ejemplos anteriores se hacia el uso de las series de

Fourier de una función de una variable, las dos series que se encontraron son dos

ejemplos de series de Fourier de dos variables, este tema se expondrá en la siguiente

sección, por lo que la respuesta queda pendiente.

Paso 8. El resultado que se obtendrá en la siguiente sección es:

, 1

( , , ) sen sen cos senmn mn mn mn

m n

u x y t x ym n

E t F ta b

Donde:



2 2

2

0

0

2

0

0

2

2

1( , )cos cos

1( , )cos cos

b a

b

mn

mn

m

a

n

mn

n m

b

f x y x y dxdyab a b

F g x y x y

ka

dxdyab a b

m nE

m n

.

Ejemplo: Resolver la ecuación de onda:

2 2 2

2 2 24

u u u

t x y


(0, , ) 0 ( ,0, ) 0 ( , ,0)

( , , ) 0 ( , , ) 0 ( , ,0)

0 0 0

u y t u x t u x y xy

uu a y t u x b t x y xy

x

t

y t

Solución: Se procede de manera similar a los ejemplos anteriores, cabe mencionar que

solo se presenta parte del algoritmo para calcular la solución ya que esta requiere del

contenido desarrollado en la siguiente sección.

Paso 1. Se tiene que ( , , ) ( ) ( ) ( )u x y t X x Y y T t

Sustituyendo:

2 2 2

2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ''( ) ( ) ( ) ''( ) ( ) ( ) ''( )

X x Y y T t k X x Y y T t

X x Y y T t k Y y T t X x X x T

t x

Y y

y

t


''( ) ''( ) ''( )

4 ( ) ( ) ( )

T t X x Y y

T t X x Y y

Paso 2. Luego existe una constante tal que:

''( ) ''( ) ''( )

4 ( ) ( ) ( )y

T t X x Y y

T t X x Y y



Es decir:

''( ) ''( )''( ) 4 ( )

( ) ( )y

X x Y yT t T t

X x Y y

Luego, existe una constante tal que:

''( ) ''( )

( ) ( )y

X x Y y

X x Y y

Lo que lleva al siguiente sistema:

( ) 0

''(

''

) ( )

( )

0

X x

Y y Y

X

y

x

Paso 3. Las condiciones de frontera implican que:

(0) ( ) ( ) 0 ( ) (0) ( ) 0

( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0

X Y y T t X x Y T t

X a Y y T t X x Y b T t

Es decir (0) ( ) (0) ( ) 0X X Y Y . Obteniendo las siguientes ecuaciones

diferenciales:

( ) 0 (0) ( ) 0

''( ) ( ) 0 (0) (

''( )

''( ) ( )

0

4 0

)

sujeta a

sujeta a

X x

T t k

X x X X

Y y Y y Y Y

T t

Paso 4. De forma similar al ejemplo anterior la ecuación:

( ) 0 (0''( ) ( ) 0) sujeta a X aX X xx X

Depende de los valores que tome el parámetro : para 0 y 0 obtienen la

solución ( ) 0X x . Para 0 y haciendo 2r se tiene que la ecuación diferencial

2''( ) ( ) 0X x r X x tiene por solución a la función 3 3( ) cos( ) sen( )X x A rx B rx , las

condiciones de frontera (0) ( ) 0X X , implican que 3 0A y r m , en consecuencia

3( ) senX x B mx .

Similarmente, la ecuación diferencial

''( ) ( ) 0 (0) ( ) 0 sujeta a Y y Y y Y Y



Tiene por solución 3( ) senY y D ny , donde 2n , luego:

2 2 2 2 2n n m n m

Sustituyendo 2 2n m en ''( ) 4 ( ) 0T t T t permite obtener la siguiente ecuación

diferencial 2 2''( ) 4 ( ) 0T n mt T t , cuya solución es

2 2 2 2( ) cos 2 sen 2mn mnn mT t E t F t n m

Paso 5. La familia que genera la solución de la ecuación tiene la forma:

( , , ) sen sen cos senmn mn mn mn mnu x y t H mx ny E t F t

Donde 2 22mn n m .

Paso 6. La solución de la ecuación diferencial es:

1 1

( , , ) sen sen cos senm

n

n mn mn mn

m

u x y t mx ny E t F t

Donde:

2 22mn n m .

Paso 7. Toca el turno de calcular los valores mnH , para ello se hace uso de las

condiciones de frontera de la condición ( , ,0) ( , )u x y f x y , lo que permite obtener que:

1 1

( , ) ( , ,0) sen senm

mn

n

f x y u x y E mx ny

La condición ( , ,0)x t yt

xu

implican que:

1 1

1 1

0

( , ,0) sen sen sen cos

sen sen

mn mn mn mn mn mn

t

mn mn

n m

n m

x y mx ny E t F t

F mx

u

xy

t

ny

El cálculo de los coeficientes queda pendiente para la siguiente sección.

Paso 8. La solución está dada por la relación:



2 2 2 2

2 2, 1

4 1 4 12 2

2( , , ) sen sen cos sen

m n m

m n

n

m n m nmn mn

u x y t mx ny t tm n

3.4.3. Serie de senos, de cosenos con dos variables

La serie de Fourier de dos variables resuelves el problema de expresar una función

doblemente periódica en términos de funciones senos y cosenos de dos variables, esta

sección es análoga a la presentada en la segunda sección de la Unidad 2. Primero se

comienza con definiendo una función doblemente periódica, dicho concepto es el siguiente:

Definición: Una función 2:f es doblemente periódica si y solo si existen 1 2, 0T T

tales que 1 2, ,f x T y T f x y . El rectángulo fundamental de una función doblemente

periódica es 2 21 1, ,2 2 2 2

T T T T

, gráficamente se tiene lo siguiente:

Observa que fijando y se tiene una función ,f x y depende de x y es periódica de periodo

1T , esta tiene su serie de Fourier generada por el conjunto:

1 1

2 21,cos ,sen

m mx x

T T

De la siguiente forma:

0

1 11

2 2( , ) cos sen

2m m

m

maf x y a x b x

T T

m

Donde:



1 1 1

1 1 1

2 2 2

2 2

1 1 1 1 1

2

0

2 2 2 2 2( , ) , cos , sen

T T T

m m

T T T

ma f x y dx a f x y x dx b f x y x dx

T T T

m

T T

De forma similar, fijando x se tiene una función 2f de y periódica de periodo

2T definida por

2 ( ) ( , )f y f x y . su serie de Fourier generada por el conjunto

2 2

2 21,cos ,sen

n nx x

T T

De la siguiente forma:

1 2 2

0 2 2( , ) cos sen

2n

n

n

c n nf x y c y d y

T T

Donde:

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2

0

2 2 2 2 2( , ) , cos , sen

T T

T

n

T

T

n

T

nc f x y dy c f x y y dy d f x y y dy

T T T

n

T T

Combinando las dos representaciones se tiene que:

1 1

1 1

2 2

2 2

2

2

2 2

12 2

2 2

2 2 2

0

2 2

2 2 2

0

1 1

1 1 1 1

2 2 2 2( , ) cos sen

2

2 1 2 2 2 2 2( , ) , cos cos

2

T T

m m

mT T

T T T

T T T

ac f x y dy a x b x dy

T T T T

f x y dx dy f x y x dx xT T T T

m

T

m

m

T

m

2

1

1

2

2

2

2

1

2

2 2

12

2 2

1 1 1

2 2 2 2, sen cos

T

m T

T T

m T T

dy

f x y x dx x dyT

m

T T T

m

Análogamente, al agrupar términos se tiene que:

2 1 2 1

2 1 2 1

2 1

2 1

2 2 2 2

1 1

2

0

1 2 2

2 2 2

2 2

1 1

1

2 2

1

2 1 1

2 4 2 2, , cos cos

4 2 2, sen sen

T T T T

mT T T T

T T

m T T

c f x y dxdy f x y x dxdy xTT TT T T

f x y x dxd

m m

m my x

TT T T

De forma similar se tiene lo siguiente:



2

2

2

1

2

2

1

2

2

2 2

2

2

12 2

2

2 2

2

2 2

0

1 1

1 2

2 11 2

2 2, cos

2 2 2 2cos sen cos

2

2 2, cos

4 2 2, cos cos

T

T

T

m m

mT

T T

T

n

T

c f x y y dyT T

aa x b x y dy

T T T

n

m m

T

f x y y dxdyTT T

f x y x y

n

T T

md

T T

n

n

2 1

2 1

2 1

2 1

2

1

2 1

2

1

2 2

2 2

1 1 2

2 2

1

2cos

4 2 2 2, sen cos sen

T T

m T T

T T

m T T

m

m n

xdy xT

f x y x y dxdy xTT T T T

m

Finalmente se tiene que:

2 1

2 1

2 1

2 1

2 1

2 1

2 2

2

2 2

2 2

1 1 2

2 2

2 2

1 2

2 1 1

2 11 2

2 2

2 2, sen

4 2 2 2, cos sen cos

4 2 2, sen sen

T T

T T

T T

m T T

T T

T

n

T

d f x y y dxdyTT T

f x y x y dxdy xTT T T T

f x y x y dxdyTT T T

n

m n m

m n

1 1

2sen

m

xT

m

Sustituyendo todas expresiones anteriores en

1 2 2

0 2 2( , ) cos sen

2n

n

n

c n nf x y c y d y

T T

se obtiene que:



1 2 1 2

1 2

0

2

,

1

2 2 2 2( , ) cos cos cos sen

2 2 2 2sen cos sen sen

mn mn mn mn

mn mn n

n

mn m

m

f x y a x y b x yT T T T

c x y d x yT T

m n m n

m n m n

T T

Donde

00 0 0

1

4

11

2n m mn

Además

2 1

2 1

2 1

2 1

2 1

2 1

2 2

2 2

2 2

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1

2

2 2

2 2

2

2

4 2 2( , )cos cos

4 2 2( , )cos sen

4 2 2( , )sen cos

4

T T

T T

T T

T T

T T

T T

mn

mn

mn

mn

m n

m n

a f x y x y dxdyTT T T

b f x y x y dxdyTT T T

c fm

x y x y dxdyTT T

d

n

T

2 1

2 11 2

2 2

2 2

1 2

2 2( , )sen sen

T T

T T

m nf x y x y dxdy

TT T T

Esta es la serie de Fourier de la función doblemente periódica de periodo 1T y

2T en el

intervalo fundamental 2 21 1, ,2 2 2 2

T T T T

.

Observa que en representación de ( , )f x y como doble serie se tiene que los términos 0mb ,

0nc , 00d son iguales a cero, por consiguiente solo hay que calcular los términos

00a , 0ma ,

0ma ,

0nb , mnb ,

0mc y mnd para \, 0m n .

Ejemplo: En el rectángulo fundamental , ( , ) se define la función 2( , )f x y xy ,

hallar su serie de Fourier.

Solución: Este ejercicio es similar a los realizados en la segunda unidad, para ello hay

observar que 1 2 2T T y después calcular los coeficiente de Fourier

mna , mnb ,

mnc y mnd del

siguiente modo:



Para 00a se tiene que:

2 1

2 1

22 2 2

00 2 2

1 2

2 2

2

2

2

2

2

4 4 1( , )

4

10

1

2

1

2

T T

T T

a f x y xdy xy dxdy dyTT

d

x y

yy

Para 0na se tiene que:

2 1

2 1

2 2

2

2

0 2

1 2 2

2 2 2 2 2

2

2

2

1 1) )

2

4 2 4( , )cos cos

4

1 1cos( c s( 0

2o

T T

T T

n

n

x y ny y

a f x y y dxdy xy ny dxdyTT T

dy dny y

Para 0ma se tiene lo siguiente:

2 1

2 1

2

0 2

1 2 1

2 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

cos( ) sen(

4 2 4( , )cos cos

4

1 11 1)0

T T

T

m

m m

T

m

mx x mxy y

m m

a f x y x dxdy xy mx dxdyTT T

dy dym m

Para mna se tiene lo siguiente:

2 1

2 1

2

2

1 2 1 2

2 2

2 2

2

2 2

2 2 2

24 2 2 4( , )cos cos cos cos

4

1 11 cos( ) 1cos(

sen( )) )cos(

0

mn

T T

T

m m

T

a f x y x y dxdy xy mx ny dxdyTT T T

mxd

m n

x mxy ny y ny

m m my

my d

Para 0nb te tiene lo siguiente:



2 1

2 1

2

0 2

1 2 2

2

2 2 2 2 2

2

2

2

2 2

4 2 4( , )sen sen

4

1 1sen( sen 0

1) (

1)

2 2

T

n

T

T T

b f x y y dxdy xy ny dxdyTT T

d

n

x y y y nyy dyn

Para mnb se tiene que:

2 1

2 1

2

2

1 2 1 2

2 2

2

2 2

2 2

2 2 2 2

cos( ) sen(

4 2 2 4( , )cos sen cos sen

4

1 11 1sen( sen(

0

)) )

mn

T T

T

m

T

m

b f x y x y dxdy xy mx ny dm n

mx x mxy ny y ny

m m

xdyTT T T

dy dym m

Para 0mc se tiene:

2 1

2 1

2

0 2

1 2 1

2 2

2 2 2

1 1

3

2 2

2

2 2

2

2 1sen( ) cos( )

4 2 4( , )sen sen

4

1 1

1 1 12 1 2

3

1

m

m

m m

T T

T T

m

mx x mxy y

m m m

c f x y x dxdy xy mx dxdyTT T

dy d

m

y

ym

21

34 1

3

2

3

m

m

Para mnc se tiene que:



2 1

2 1

2

2

1 2 1 2

2

2 2

2 2

2

2 2 2

1

2

2 1sen( ) cos( )

4 2 2 4( , )sen cos sen cos

4

1 1cos( ) c

1 1

s(

2

o )

mn

T

T

m

T

m

T

c f x y x y dxdy xy mx ny dxdyTT T T

n

m n

mx x mxy y

m m my dy d

m

ny y

2 2

2 3

1 1

2 2 2 2

)2 cos( )

2 1 2 1 2 1

2 sen(

81 1m n n m n

n y nyy ny

n n

m n n mn

Para mnd se tiene que:

2 1

2 1

2

2

1 2 1 2

2

2 2

2 2

2

2 2 2

2

2 1sen( ) cos( )sen( )

2 1

4 2 2 4( , )sen sen sen sen

4

1 1sen( )

1

T T

T

mn

m

T

m

m n

m

d f x y x y dxdy xy mx ny dxdyTT T T

dy nx x mx

y ny ym m m

m

y dy

2 2

2 3

2 2 2 2

2 3 3

2 sen( 2 cos( ))

2 1 2 1 2 110

n nm

n yy ny

n n

n y n y

m n n

ny

Por consiguiente se tiene que:

1 2 1 2

1 2

, 0

1 2

0 0

, 0

2 2 2 2( , ) cos cos cos sen

2 2 2 2sen cos sen sen

sen cos

mn mn mn mn

mn mn mn

m n

m n

mn

n mn m

m

m m

m n m n

m n

f x y a x y b x yT T T T

c x y d x yT T T T

c mx ny

m n

c

1 , 0

2

1

1

,

1

20

2 1 8 1

3

sen sen cos

sen sen cos

mn mn

m m n

m n

m m n

mx c mx ny

mx mm

ym

xn

n



Ejercicio: En el rectángulo fundamental ,2 (2 3,3) se define la función ( , )f x y xy ,

hallar su serie de Fourier.

Solución: Observa que 1 4T y

2 6T , solo resta calcula los coeficiente de Fourier mna ,

mnb , mnc y

mnd del siguiente modo:

Para 00a se tiene que:

2 1

2 1

23 2 32 2

23 2 3

2

00

2 2

1 2

4 4 1( , ) 0

24

1

26

T T

T T

a f x y xdy x xyd yxdy dyTT

Para 0na se tiene que:

2 1

2 1

3 22 2

0

1 2 2 3 2

2 2

23

2

3 2

4 2 4( , )cos cos

24 3

1cos

2 30

1

6

T T

T T

n

na f x y y dxdy xy y dxdy

TT T

dx y

n

ny y

Para 0ma se tiene lo siguiente:

2 1

2 1

3 22 2

3 2

2 2

23

3 2

0

1 2 1

3

2

2

2 2

3

2

2 2

4 2 4( , )cos cos

24 2

1 4

24

2cos sen

2 2

4 410

24

1 1

m

m m

T T

T T

ma f x y x dxdy xy

m

m x x m xy

m m

ym m

x dxdyTT T

dy

dy

Para mna se tiene lo siguiente:



2 1

2 1

3 22 2

3 2

2 2

23

3 2

1 2 1 2

2 2

2

2

4 2cos cos sen

3 2

4 2 2 4( , )cos cos cos cos

24 2 3

1

6

11cos

2

4)(

m

m

T T

n

T T

m na f x y x y dxdy xy x y dxdy

m n

n y m x x m xy

TT T T

dm m

y ny

y

2 2 2 2

10

4m

m mdy

Para 0nb te tiene lo siguiente:

2 1

2 1

3 22 2

3

0

2

2 2

1

23 3

3 32

2 2

2

4 2 4( , )sen sen

24 3

1 1 1 1sen 4 4 sen 0

6 2 3 6 2 3

T T

n

T T

nb f x y y dxdy xy y dxdy

TT T

n nx y y dy y

n

y dy

Para mnb se tiene que:

2 1

2 1

3 22 2

3 2

2

1 2 1 2

2 2

2

2

2

23

3 2

2 2 2 2

4 2 2 4( , )cos sen cos sen

24 2 3

1sen(

6

4 1 4

4 2cos sen )

2 2

11

T T

T T

mn

m m

m nb f x y x y dxdy xy x y dxdy

m n

m x x m xy ny

m

TT T

md

m

y

y

T

m

)sen( 0ny dy

Para 0mc se tiene:

2 1

2 1

0

1 2 1

3 22 2

3 2

2 2

23

3 2

3

2

2

2 2

3

4 2 4( , )sen sen

24 2

1 1

6 6

1 1

6

8 14 2sen cos

2 2

8 1

2

T T

m

m

T

m

T

mc f x y x dxdy xy x dxdy

TT T

dy dy

y

m

m x x m xy y

m m m

m

8 11 19 9 0

6 2

m

m



Para mnc se tiene que:

2 1

2 1

3 22 2

3 2

2 2

1 2 1 2

23

3

2 2

2

4 2se

4 2 2 4( , )sen cos sen cos

24 2 3

1cos

6 3

1cos

3

n cos2 2

6

T T

T

m

T

n

m nc f x y x y dxdy xy x y dxdy

m n

m x x

TT T

m xy

T

ny dy

n

m m

y y

1

2 2

3

1

2 2

33

2 2

3

18( 1) 8( 1) 9 3cos sen

3 3

9 1 9 14( 1)0

3

6

m m

n nm

n y y n y

m md

n

m n

yn

n

Para mnd se tiene que:

2 1

2 11 2 1 2

2 2

3 22 2

3 2

2 2

23

3 2

4 2sen

4 2 2 4( , )sen sen sen sen

24 2 3

1 1sen sen

6 3cos

2 362

T T

mn

T T

md f x y x y dxdy xy x y dxdy

m n n

n m x x

TT T T

y dm x n y

y ym m

y

1

2 2

3

2

2

3

2

3

3

8 1 4 1 18 19 3sen cos

3 3 3

1

6

24 1 24 1

m m n

m n m n

dy

yn y y n y

m n n m n

mn mn

Por consiguiente se tiene que:

2

, 1 , 0

( , ) sen se24

n sen sen2

1

3 2 3

m n

m n m

m mn

n

nf x y d x ym n

xm n

ny

m

Para esta unidad se muestra cómo se aplica la serie de Fourier en dos variables para la

solución de la ecuación de onda presentada en la sección anterior.

Ejemplo: En el Paso 7 del primer ejemplo de la sección anterior se llegó a que la solución de

la ecuación diferencial 2 2 2

2 2 20 para

u

y

u

t x

uk k




(0, , ) 0 ( ,0, ) 0 ( , ,0) ( , )

( , , ) 0 ( , , ) 0 ( , ,0) ( , )

0 0 0



x a

t

b t

u

y

A partir de las condiciones de frontera se tiene que:

1 1

1 1

( , ) sen sen

( , ) sen sen

mn

m

n

n mn

n m

m

f x y E x ym

a b

g x y F x ya b

n

m n

Estas son las series de Fourier en el rectángulo fundamental , ,ba a b de las funciones

( , )f x y y ( , )g x y respectivamente. Lo que implica que:

( ) ( )ymn mn mn mn mnd f F dE g

Donde ( )mnd f y ( )mnd g son los respectivos coeficientes mnd de la series de Fourier de ( , )f x y

y ( , )g x y respectivamente.

0 0

0 0

1( ) ( , )cos cos

1( ) ( , )cos cos

mn mn

mn mn m

a

n

b

b a

md f f x y x y dxdy

ab a b

F d g g x y x y dxdya

n

b

n

a

m

b

E

En resumen la ecuación diferencial

2 2 2

2 2 20 para

u

y

u

t x

uk k


(0, , ) 0 ( ,0, ) 0 ( , ,0) ( , )

( , , ) 0 ( , , ) 0 ( , ,0) ( , )

0 0 0



x a

t

b t

u

y

Tiene por solución:

, 1

( , , ) sen sen cos senmn mn mn mn

m n

u x y t x ym n

E t F ta b



Donde

2 2

2

0

0

2

0

0

2

2

1( , )cos cos

1( , )cos cos

b a

b

mn

mn

m

a

n

mn

n m

b

f x y x y dxdyab a b

F g x y x y

ka

dxdyab a b

m nE

m n

Ejemplo: Para la ecuación diferencial

2 2 2

2 2 24

u u u

t x y


(0, , ) 0 ( ,0, ) 0 ( , ,0)

( , , ) 0 ( , , ) 0

0 0 0

u y t u x t u x y xy

u a y t u x b t

x y t

Presentada en el segundo ejercicio de la sección anterior se lleva a que la solución debe

tener la forma:

1 1

( , , ) sen sen cos senm

n

n mn mn mn

m

u x y t mx ny E t F t

Las condiciones de frontera implica que:

1 1

1 1

( , ,0) sen sen

( , ,0) sen sen

mn

mn

n

mn

m

n m

u

t

xy u x y E mx ny

xy x y F mx ny

Entonces mn mn mnE F d donde

mnd son los correspondientes coeficientes de la serie de

Fourier de la función ( , )f x y xy . Realizando el cálculo de dicho coeficiente se tiene que:



2

2

2 2 2

1 1

2

2 1sen( ) cos( )sen( )

4sen s

2 1 2 1

en4

1

2 1 4 1sen( ) co

1sen

)

( )

(1 s

mn

m

m m n m n

mx x mxy ny y

m m m

d xy mx ny dxdy

ny y ny

m n n m n m

y n d

n

d y y

En consecuencia:

2 2

4 1 4 1

2y

m n m n

mn mn

mE

nF

mn n m

Por lo tanto, la solución buscada es:

2 2 2 2

2 2, 1

4 1 4 12 2

2( , , ) sen sen cos sen

m n m

m n

n

m n m nmn mn

u x y t mx ny t tm n

.

. Cuaderno de ejercicios y problemas Actividad 2

1. Descarga el documento titulado “Actividad 2. Cuadernos de ejercicios y

problemas” en la pestaña de la asignatura y resuelve los ejercicios que se te

presentan.

2. Guarda tu documento con la nomenclatura BMAI_U3_ACT2_XXYZ y envíalo

a tu Facilitador (a) mediante la sección de Tareas para que lo revise y te

retroalimente.

*Recuerda que tu documento deberá pesar menos de 4 MB.

**No olvides consultar la lista de cotejo para identificar los criterios con los cuales será

evaluada tu actividad.

Autoevaluación

Realiza el siguiente cuestionario de autoevaluación para medir tu aprovechamiento de los

temas estudiados a lo largo de la unidad. Al finalizar, compara tus resultados. Encontrarás

las respuestas correctas junto con los materiales de la asignatura.



1. Es la solución de la ecuación diferencial ' 0''y y y sujeta a (0) 1y y '(0) 2y

a. 3 3sen2 2

cos3 3

xx x

y e

b. 23 3

3sen2

cos2

xx x

y e

c. 23 3

sencos 22 2

xx x

y e

d. 2 3sen2 2

cos2 2

xx x

y e

2. De las siguientes funciones escoger la que satisface la ecuación de Laplace:

a. ( , ) cos 2xu x y e y

b. ( , ) x yu x y e e

c. ( , ) 3 2 yx y eu x

d. cos( , ) senx yu x y y ee x

3. Es la familia que genera la solución de la ecuación 2

20

u u

t x

sujeta a las

condiciones (0, ) 0u t y ( , ) 0u L t para 0 x T y 0t .

a.

2 2

2

sen

nt

Ln

x eL

b.

2 2

2

cos

nt

Ln

x eL

c.

2 2

2

sen

nt

Ln

x eL

d.

2 2

2

cos

nt

Ln

x eL

4. Es la solución de la ecuación: 2 2 2

2 2 2

u u u

x y t




(0, , ) ( ) ( ,0, ) ( , ) 0

( , ,0)

, ,

0 ( , ,0) 1

0 0

,

0

u y t u u x t u x

u x y x y

x y

t

t

t

y t

u

a.

2 2

2 2, 1

2

1 1 1 14( , , ) sen sen sen

nm

m n

u x y t mx ny t m nmn m n

b.

2 2

2 2, 1

2

1 1 1 14( , , ) cos sen sen

nm

m n


c.

2 2

2 2, 1

2

1 1 1 14( , , ) sen cos sen

nm

m n


d.

2 2

2 2, 1

2

1 1 1 14( , , ) cos cos sen

nm

m n


5. Es la solución de la ecuación: 2 2

2

2

u ua

t x


(0, ) (1,0) 0 ( , ) 3sen ( ,0) 0 0 1 0u

xt

u t u u x t x x t

a. ( , ) 3cos cosx a tu x t

b. ( , ) 3sen senau x tx t

c. ( , ) 3sen cosx a tu x t

d. ( , ) 3cos cosau x tx t

Evidencia de aprendizaje. Solución de problemas que varían en el tiempo

aplicados a la Biotecnología

1. Descarga el documento titulado “Evidencia de aprendizaje” en la pestaña de la

asignatura y resuelve los ejercicios que se te presentan.

2. Guarda tu documento con la nomenclatura BMAI_U3_EA_XXYZ y envíalo a tu

Facilitador (a) mediante el Portafolio de evidencias para que lo revise y te

retroalimente.

*Recuerda que tu documento deberá pesar menos de 4 MB.



**No olvides consultar la lista de cotejo para identificar los criterios con los cuales será

evaluada tu actividad.

Cierre de la unidad

En esta unidad los aprendiste los conceptos de orden, tipo, linealidad de las ecuaciones

diferenciales parciales, estudiaste los problemas con condiciones iniciales y condiciones de

frontera. Resolviste ecuaciones diferenciales parciales con valores de frontera sobre

rectángulos, semiplanos y semibandas utilizando el método de separación de variables,

finalmente calculaste la serie de Fourier de una función doblemente periódica.

¡Felicidades!

Para saber más

Para un estudio más detallado sobre ecuaciones diferenciales ordinarias con valores iniciales

y sus aplicaciones, puedes consultas las siguientes páginas:

http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/DE/DE.aspx

http://mathinsight.org/ordinary_differential_equation_introduction_examples

http://www.analyzemath.com/calculus/Differential_Equations/applications.html

Fuentes de consulta

Churchill, R., Brown, J. (2011). Fourier series and boundary valued problems, 8

edición. USA: Mc Graw Hill.

Dyke, P. (2004). An introduction to Laplace transforms and Fourier series. Great

Britain: Springer-Verlag.

Pinchover, Y. Rubinstein J. (2005). An introduction to partial differential equations.

USA: Cambridge University Press.

Tolstov, G. (1976). Fourier series. USA: Dover publications.

Zill, D. (2009). Ecuaciones diferenciales con problemas de valor de frontera, 7a

edición. México: Cengage Learning Editores.

http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/DE/DE.aspx

http://mathinsight.org/ordinary_differential_equation_introduction_examples

http://www.analyzemath.com/calculus/Differential_Equations/applications.html

Unidad 3. Ecuaciones Diferenciales Con Valores a La Frontera

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