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Unidad 3: Conjuntos

3.1 Introduccion

Georg Cantor [1845-1918] formulo de manera individual la teorıa de conjuntos a finales del siglo XIX y principiosdel XX. Su objetivo era el de formalizar las matematicas como ya se habıa hecho con el calculo cien anos antes.Cantor comenzo esta tarea por medio del analisis de las bases de las matematicas y explico todo basandoseen los conjuntos (por ejemplo, la definicion de funcion se hace estrictamente por medio de conjuntos). Estemonumental trabajo logro unificar a las matematicas y permitio la comprension de nuevos conceptos.

El proposito de este Capıtulo es el estudio de la teorıa intuitiva de conjuntos. En este sentido, los terminosconjunto, elemento y pertenencia son considerados como terminos primitivos, es decir, no se definen. Sobreesta base se definen la inclusion y la igualdad, y se estudian sus propiedades. El mismo tratamiento se hacecon las operaciones entre conjuntos. Luego desarrollamos ejemplos en los que se pretende mostrar un metodoadecuado de trabajo para demostrar distintas propiedades de conjuntos.

3.2 Notaciones y Definiciones

Afin de desarrollar ideas intuitivas consideramos un conjunto como una coleccion de objetos, con una determi-nada cualidad, los cuales pueden ser conjuntos. Utilizaremos, generalmente, letras mayusculas para referirnosa los conjuntos y para especificar elementos se usaran letras minusculas, a menos que dichos elementos sean, asu vez, conjuntos.

Ejemplo 1 Sea H el conjunto de “todos los seres humanos”, y sea d la persona “Diego Reyes”. Es claro qued es un miembro o elemento del conjunto H. En general decimos “el elemento d pertenece al conjunto H” y losimbolizamos:

d ∈ H.

El anterior ejemplo involucraba un conjunto “H” y un objeto “d”. La proposicion, ”d ∈ H” se lee:d pertenece a H o bien el elemento d pertenece al conjunto H.

Su negacion es: d no pertenece a H, la cual se simboliza:

d /∈ H.

En general, un conjunto A se define seleccionando los elementos de un cierto conjunto U de referencia quecumplen una determinada propiedad.

Ejemplo 2 El conjunto A de los numeros enteros menores que 2, esta formado por los elementos del conjuntoreferencial Z (numeros enteros) que satisfacen la propiedad de ser menores que 2.

El conjunto referencial o universal depende de la disciplina en estudio; se fija de antemano, y esta formadopor todos los elementos que intervienen en el tema de interes. En general se denotara con U . Ademas podemosdar los conjuntos por extension o por comprencion, es decir,

Definicion 1 Un conjunto se define por extension cuando se enumeran todos los elementos que lo constituyen.Un conjunto se define por comprension cuando se indica el conjunto referencial o universal y la propiedadque caracteriza a sus elementos.

Ejemplo 3 Dar por extencion y por comprencion el conjunto A, de las vocales.Al definir un conjunto A por extension, debemos enumerar todos sus elementos. Es decir, A = {a, e, i, o, u} ycuando se define por comprension se dar el conjunto referencial o universal y la propiedad que caracteriza asus elementos, en este caso A = {x ∈ U / x es una vocal} , donde U es el alfabeto.

25 Algebra 2013, segundo cuatrimestre

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Observacion: El conjunto A de los elementos de U que verifican la propiedad P se define por comprension

A = {x ∈ U /P (x)} = {x ∈ U : P (x)}

o mas brevemente (si U esta sobrentendido por el contexto)

A = {x /P (x)} = {x : P (x)}

y se lee: A es el conjunto formado por los elementos x pertenecientes a U , tales que P (x).P (x) es una funcion proposicional, que senala la propiedad en cuestion y un elemento del conjunto refer-

encial U , (a ∈ U ) pertenece al conjunto A si y solo si verifica la propiedad P (x), es decir,

a ∈ A⇔ P (a) es V.

Por otra parte si un elemento del conjunto referencial U (a ∈ U) , no esta en A (se lee a /∈ A), si no verifica lapropiedad P (x) , esto es:

a /∈ A⇔ P (a) es F.

En el Ejemplo (3) si A = {x ∈ U / x es una vocal} , U , es el alfabeto. Tenemos que P (x) : “x es unavocal”, por lo tanto a ∈ A, por que P (a) es una proposicion V, en cambio b /∈ A, por que P (b) es F.

Al numero de elementos de un conjunto A se lo llama cardinalidad. Formalmente

Definicion 2 La cardinalidad de un conjunto A, que lo indicamos con |A| o #A, es el numero o cantidad deelementos (distintos) de A.

Ejemplo 4 Calcular la cardinalidad del conjunto A de las raıces terceras de −1,

1. Si el conjunto referencial U es el conjunto de los numeros complejos , A se define por compresion como

A ={w ∈ C /w3 = −1

}.

y la propiedad que caracteriza a los elementos de A es: P (w) : w3 = −1. Ya que esta ecuacion tiene 3raıces, la cardinalidad de A es |A| = 3 y el conjunto A, dado por extension es

A =

{1

2+ i

√3

2, −1,

1

2− i√

3

2

}.

2. Si el conjunto referencial U es el conjunto de los numeros reales. El conjunto A se define por compresioncomo

A ={w ∈ R /w3 = −1

}y la propiedad que caracteriza a los elementos de A es: P (w) , en este caso la ecuacion w3 = −1 solotiene una raiz: w = −1, por lo tanto el conjunto A, definido por extension es A = {−1} , y la cardinalidadde A es |A| = 1.

3.2.1 Conjuntos especiales

Un conjunto unitario esta formado por un unico elemento.

Ejemplo 5 Si A es el conjunto cuyo unico elemento es a, escribiremos

A = {a} = {x /x = a}

El conjunto vacıo es el conjunto sin elementos, es decir que su cardinalidad es igual a cero. Consideramosel conjunto

{x ∈ U : x /∈ U}

la proposicion: “∀ x ∈U : x /∈U” es falsa. En otras palabras, no posee elementos, es decir, es un conjuntovacıo. ¿Podemos decir que este conjunto es el unico con esta propiedad? La respuesta es sı, como demostraremosen la proposicion1 y lo indicamos con la letra φ.


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Ejemplo 6 Determinar simbolicamente y por extension (en caso de ser posible) los siguientes conjuntosdefinidos por comprension:

1. A es el conjunto de los numeros reales cuyo cuadrado es igual a −1.

2. B es el conjunto de los numeros naturales mayores que 2, y que no superan a 6.

3. C es el conjunto de los numeros reales mayores que 2, y que no superan a 6.

1. A es el conjunto de los numeros reales cuyo cuadrado es igual a −1. Se tiene:

A = {x ∈ R/ x2 = −1}

Como el cuadrado de ningun numero real es negativo, P (x) : x2 = −1 es F para todo real x, resultaentonces

A = φ y |A| = 0.

2. B es el conjunto de los numeros naturales mayores que 2, que no superan a 6. La propiedad caracterısticade los elementos de B es la conjuncion de las siguientes funciones proposicionales:

P (n) : n > 2 y Q(n) : n ≤ 6

que podemos expresarR(n) : 2 < n ≤ 6

y se tieneB = {n ∈ N / 2 < n ≤ 6} (1)

Como en este caso consideramos a N como universal, podemos dar por extencion el conjunto y no queda:

B = {3, 4, 5, 6} y |B| = 4

3. C es el conjunto de numeros reales mayores que 2 que no superan a 6. La propiedad caracterıstica de loselementos de C es igual a la del conjunto B, es decir; R(x) : 2 < x ≤ 6, pero como el como conjuntouniversal es R, resulta:

C = {x ∈ R / 2 < x ≤ 6} .

Este conjunto es un intervalo de la recta real y por ser un conjunto no finito de elementos, no se puedeexpresar por extension. Lo denotaremos por:

C = {x ∈ R/ 2 < x ≤ 6} = (2, 6] .

La determinacion de conjuntos por extension no es posible en el caso de infinitos elementos y hay quelimitarse a la definicion por comprension. La matematica trabaja casi con exclusividad en este sentido.

Ejemplo 7 Caracterizar simbolicamente el siguiente conjunto: P es el conjunto de los numeros enteros pares.Por definicion, un entero es par si y solo si es el duplo de algun entero. Es decir

a es par⇔ ∃ k ∈ Z : a = 2k,

entoncesP = {x ∈ Z / x = 2k ∧ k ∈ Z}

Es claro que P consiste en el conjunto de los multiplos de 2.

A veces, acudiendo a un abuso de notacion, suele proponerse una aparente determinacion por extension deun conjunto infinito, con la adjuncion de puntos suspensivos. Ası,

P = {· · · ,−4,−2, 0, 2, 4, 6, · · · }


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3.2.2 Diagrama de Venn

Los diagramas de Venn reciben el nombre de su creador, John Venn, matematico y filosofo britanico. Vennintrodujo este util sistema de representacion grafica de conjuntos en el ano 1880.

Existe una representacion visual de los conjuntos dados por diagramas llamados de V enn. En este sentido,el conjunto de referencial suele representarse por un rectangulo y los conjuntos en U , por recintos cerrados enel interior del mismo. Si los conjuntos en cuestion son finitos sus elementos se representan mediante puntos enel interior de los correspondientes recintos.

U

A

Ejemplo 8 Sean U = N y los conjuntos

A = {x / x |6}B = {x / x |8}C = {x /x ≤ 2}

Se pide la representacion de tales conjuntos mediante diagramas de Venn.Definimos la relacion de divisibilidad en N mediante

a | b si y solo si ∃n ∈ N : b = a.n

Se lee: a divide a b, o a es divisor de b o b es multiplo de a. Teniendo en cuenta esta definicion, y la relacionde menor o igual, la representacion por extension de tales conjuntos es

A = {1, 2, 3, 6} B = {1, 2, 4, 8}C = {1, 2}

y en terminos de diagramas de Venn

N

C

12

A

3

6

B

4

8

Ejemplo 9 Consideremos el conjunto referencial U de todos los triangulos; si I denota el conjunto de lostriangulos isosceles, E de los equilateros y R de los triangulos rectangulos, verifique las relaciones planteadaspor el siguiente diagrama:

U

EI

R


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3.2.3 Conjuntos y Subconjuntos

Definicion 3 Sean A y B dos conjuntos, si todos los elementos de A pertenecen a B, diremos que A estaincluido en B, o que A es un subconjunto de B, y escribimos A ⊆ B. Simbolicamente:

A ⊆ B si ∀x : x ∈ A⇒ x ∈ B. (2)

U

AB

Ejemplo 10 El conjunto de los numeros reales R es un subconjunto de los numeros complejos C, ya que six ∈ R entonces x = x+ 0i ∈ C.

Usando la definicion de inclusion podemos definir la igualdad de dos conjuntos

A = B si A ⊆ B y B ⊆ A, (3)

esto significa que para afirmar que dos conjuntos son iguales debe cumplirse que todo elemento de cualquierade ellos pertenezca al otro. Es claro, entonces que dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos.

Ejemplo 11 Los siguientes conjuntos son iguales.

1. M = {x ∈ N / x < 5} N = {1, 2, 3, 4} ,El conjunto M , esta dado por comprension en cambio el conjunto N, esta dado por extension.

2. A ={x ∈ Z / x2 = 1

}B = {x ∈ Z / |x| = 1} .

La relacion (3) nos permitira demostrar cuando dos conjuntos son iguales. En este caso diremos que estamoshaciendo una demostracion por doble inclusion.

Definicion 4 A no es subconjunto de B, que denotamos A * B, si es falso que A ⊆ B.

El lema siguiente muestra como a partir de las nociones de subconjunto y usando conceptos de logicapodemos dar una definicion simbolica de A * B.

Lema 1 Si A no es subconjunto de B, si ∃x : [ x ∈ A ∧ x /∈ B]

Demostracion. Como A no es subconjunto de B, tenemos que (2) es falsa por lo tanto la proposicion“∼ (∀x : x ∈ A⇒ x ∈ B)” es verdadera usando proposiciones equivalentes nos queda que:

∃x :∼ (x ∈ A⇒ x ∈ B) Negacion del cuantificador existencial∃x : [ x ∈ A ∧ x /∈ B] Negacion de la implicacion

Ası tenemos que , A * B si: ∃x : [ x ∈ A ∧ x /∈ B] . �

Definicion 5 A es subconjunto propio de B cuando A ⊆ B y A 6= B, lo denotaremos por A ⊂ B, o A B.

Las siguientes son propiedades que satisfacen los subconjuntos de un conjunto dado:

Proposicion 1 Para cualquier conjunto A

1. A ⊆ A,


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2. φ ⊆ A, y

3. φ es unico.

Demostracion.1. Se verifica que A ⊆ A, porque ∀x : x ∈ A⇒ x ∈ A, es una proposicion verdadera (ley logica p⇒ p), por

lo tanto por (2) tenemos: A ⊆ A.2. (Por el absurdo) Supongamos que φ * A entonces por Lema 1, ∃x : x ∈ φ ∧ x /∈ A, pero esta

proposicion es falsa, por que contradice la definicion del conjunto φ, esto proviene de suponer que φ * A, porlo tanto φ ⊆ A.

3. Supongamos que existen dos conjuntos vacıo: φ1 y φ2, por 2 . tenemos φ1 ⊆ φ2 y φ2 ⊆ φ1 entonces por(3), tenemos que φ1 = φ2. �

3.2.4 Conjunto de Partes

Dado un conjunto A, podemos formar un nuevo conjunto constituido por todos los subconjuntos de A, el cualrecibe el nombre de conjunto de partes de A.

Definicion 6 Sea A un conjunto llamamos conjunto de partes de A, al conjunto

P (A) = {X / X ⊆ A}

Los elementos de este conjunto son a su vez conjuntos, por lo tanto decidir si un objeto es un elemento deP (A) se reduce a determinar si dicho objeto es un subconjunto de A. Es decir:

X ∈ P (A) si X ⊆ A (4)

Lema 2 Sea A un conjunto, entonces A ∈ P (A) y φ ∈ P (A).

Demostracion: este lema es consecuencia inmediata de la proposicion 1. �

Ejemplo 12 Determinar el conjunto de partes de A = {2, 3, 4} .Los elementos de P (A) son todos los subcon-juntos de A, es decir

φ

{2} {3} {4}{2, 3} {2, 4} {3, 4}A

Ası tenemos que:P (A) = {φ, {2} , {3} , {4} , {2, 3} , {2, 4} , {3, 4} , A} .

Ejemplo 13 El conjunto de partes del conjunto vacio, φ, es

P (φ) = {φ} .

�

3.2.5 Operaciones entre Conjuntos

Complemento de un conjunto

Definicion 7 Sea A un conjunto el complemento de A es el conjunto formado por los elementos que nopertenecen a A. Lo denotamos por Ac o A, en sımbolos

Ac = {x : x /∈ A} = {x ∈ U : x /∈ A} .


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Por lo tantox ∈ Ac ⇔ x /∈ A,

el complemento es una operacion unitaria, en el sentido de que a partir de un conjunto se obtiene otro.Es usual tambien obtener el complemento de un conjunto A, respecto de otro B, en cuyo caso la

definicion es:CBA = {x ∈ B : x /∈ A}

UA

CB (A)

B

Ahora daremos algunas operaciones binarias entre conjuntos, en el sentido de que a partir de dos conjuntosse obtiene otro.

Union, Interseccion, Diferencia y Diferencia Simetrica

Definicion 8 Sean A y B dos conjuntos, definimos:

1. La union de A y B:A ∪B = {x / x ∈ A ∨ x ∈ B} .

BA

2. La interseccion de A y B :A ∩B = {x / x ∈ A ∧ x ∈ B} .

BA

UBA

3. La diferencia de A y B:A−B = {x /x ∈ A ∧ x /∈ B} .


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UBA

A−B

B

De la definicion se sigue que A−B = A ∩Bc.

4. La diferencia simetrica de A y B es

A∆B = (A ∪B)− (A ∩B) = {x : (x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ (x /∈ A ∩B)}

UBA

Definicion 9 Dos conjuntos A y B son disjuntos si A ∩B = ∅.

Ejemplo 14 Sea U = {1, 2, 3, ..., 9, 10} el conjunto de referencia, A = {1, 2, 3, 4, 5} , B = {3, 4, 5, 6, 7} yC = {7, 8, 9} tenemos que:

A ∪B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} A ∩B = {3, 4, 5} A∆B = {1, 2, 6, 7} = (A ∪B)− (A ∩B)

A ∩ C = ∅ (son disjuntos) A ∪ C = A∆C = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9} .

En el ejemplo tambien tenemos que:a) A ∩B ⊆ A ⊆ A ∪B,b) A ∪ C = A∆C con A y C disjuntos.c) A∆B = (A−B) ∪ (B −A) (Ejercicio No12)Estos resultados no son algo particular de este ejemplo, valen en general como lo muestra el siguiente

teorema.

Teorema 1 Sean A y B dos conjuntos, entonces

1. A ∩B ⊆ A ⊆ A ∪B.

2. Los conjuntos A y B son disjuntos si y solo si A ∪B = A∆B.

Demostracion.

1. Tenemos que probar:

(a) A ∩B ⊆ A y

(b) A ⊆ A ∪B.


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(a) Por (2) debemos probar que ∀x : x ∈ A∩B ⇒ x ∈ A. Sea x (arbitrario) que cumple que x ∈ A∩B,debemos demostrar que x ∈ A. En efecto:

x ∈ A ∩B (1)⇒ x ∈ A ∧ x ∈ B (2)⇒ x ∈ A.

(1) Definicion de interseccion de conjuntos. (2) Ley logica “p ∧ q ⇒ p”.

(b) La demostracion de esta inclucion es similar a la anterior, usando la definicion union de conjuntos yde la ley logica “p⇒ p ∨ q”. Los detalles quedan como ejercicio.

2. Usamos la ley logica: “p⇔ q” que es logicamente equivalente a “(p⇒ q) ∧ (q ⇒ p)”. En este caso:

p : Los conjuntos A y B son disjuntos, es decir, A ∩B = φ

q : A ∪B = A∆B

(a) Probemos que la implicacion p⇒ q es verdadera. Supongamos que p es verdadera y demostraremosque q es verdadera. Es decir, debemos probar que: A ∪ B = A∆B, lo haremos por la dobleinclusion. Sea x ∈ A ∪ B, entonces x ∈ A o x ∈ B (o tal vez a ambos). Pero como hipotesislos conjuntos A y B son disjuntos, es decir A ∩ B = φ entonces x /∈ A ∩ B, es decir x ∈ A ∪ B yx /∈ A ∩B. por lo tanto

A ∪B ⊆ A∆B (5)

Sea x ∈ A∆B, por definicion de diferencia simetrica tenemos: (x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ (x /∈ A ∩B)entonces x ∈ A ∨ x ∈ B (es consecuencia de “p ∧ q ⇒ p” ) y por definicion de la union de conjuntotenemos que x ∈ A ∪B, es decir

A∆B ⊆ A ∪B (6)

Por lo tanto de (5) y (6) resulta:q : A ∪B = A∆B

es verdad.

(b) Probemos que la implicacion “q ⇒ p” es verdadera. Haremos una demostracion por el con-trarecıproco, es decir probaremos: “v p⇒v q” lo cual es:

A ∩B 6= φ⇒ A ∪B 6= A∆B.

Como A∩B 6= φ existe y ∈ A∩B, entonces por la parte 1. y ∈ A∪B. Ası y ∈ A∪B ∧ y ∈ A∩B,entonces y /∈ A∆B. Por lo tanto:

A ∪B 6= A∆B,

como querıamos demostrar. �

La siguiente tabla muestra las propiedades mas usadas, que cumplen las operaciones entre conjuntos, lasdemostraciones quedan como ejercicios.


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Proposicion 2 Sean A, B y C conjuntos, entonces se verifican las siguientes igualdades:

1 InvolucionA = A

2 IdempotenciaA ∪A = AA ∩A = A

3 ConmutatividadA ∪B = B ∪AA ∩B = A ∩B

4 AsociatividadA ∪ (B ∪ C) = (A ∪B) ∪ CA ∩ (B ∩ C) = (A ∩B) ∩ C

5 DistributividadA ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C)A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C)

6 Leyes de De Morgan A ∪B = A ∩BA ∩B = A ∪B

7 Ley de AbsorcionA ∪ (A ∩B) = AA ∩ (A ∪B) = A

8 Universo y Vacıo A ∪A = UA ∩A = φ

A ∪ U = UA ∩ U = A

A ∪ φ = AA ∩ φ = φ

Las demostraciones de estas propiedades son consecuencias inmediatas de las definiciones de las operacionesentre conjuntos.

En lo que queda de esta seccion presentamos una manera efectiva (en muchos casos) de mostrar que dosconjuntos son iguales.

Ejemplo 15 Mostrar que A = (A ∩B) ∪ (A ∩B).Una primera alternativa (que no constituye una prueba rigurosa pero puede ser una buena guıa) consistirıa endibujar un diagrama de Venn y convencerse de la igualdad. O para una prueba rigurosa podrıamos utilizar,como lo hemos venido haciendo, de doble inclusion. Sin embargo existe otro procedimiento que consiste entransformar un conjunto en otro, por medio de propiedades ya establecidas (como la distributividad, el doblecomplemento y las leyes de De Morgan, etc.). Veamos como:

Conjunto Propiedades

(A ∩B) ∪ (A ∩B) =(A ∪ (A ∩B)

)∩(B ∪ (A ∩B)

)= (4)(

A ∪ (A ∩B))∩(B ∪ (A ∩B)

)= (2) y (4)

A ∩[(B ∪A) ∩

(B ∪B

)]= (8)

A ∩ [(B ∪A) ∩ U ] = (8) y (3)A ∩ (A ∪B) = A (7)

Ejemplo 16 Simplificar la siguiente expresion: (A ∪B) ∩ C ∪B

Razones

(A ∪B) ∩ C ∪B = (6) Leyes de De Morgan

= (A ∪B) ∩ C ∩B (1) Involucion= ((A ∪B) ∩ C) ∩B (4) Asociativa= (A ∪B) ∩ (C ∩B) (3) Conmutativas= (A ∪B) ∩ (B ∩ C) (4) Asociativa= [(A ∪B) ∩B] ∩ C (7) Absorcion= B ∩ C


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