snakes

Rentas prepagables

El valor actual de la renta resulta natural calcularlo al momento que seimpuso el primer capital, que es el momento en el cual se inicia laoperción. Por otro lado, el valor nal de la renta debe ser calculado unperiodo despues del pago del ultimo término.

GRAFICAR

Ejemplo: Se paga el alquiler y luego se ocupa el inmueble. Además, lapropiedad no esta disponible (para el propietario) sino hasta despu es deun periodo del momento del pago del ultimo t ermino.

() October 14, 2014 1 / 10

Rentas prepagables

El valor actual de la renta resulta natural calcularlo al momento que seimpuso el primer capital, que es el momento en el cual se inicia laoperción. Por otro lado, el valor nal de la renta debe ser calculado unperiodo despues del pago del ultimo término.

GRAFICAR

Ejemplo: Se paga el alquiler y luego se ocupa el inmueble. Además, lapropiedad no esta disponible (para el propietario) sino hasta despu es deun periodo del momento del pago del ultimo t ermino.

() October 14, 2014 1 / 10

Rentas prepagables

El valor actual de la renta resulta natural calcularlo al momento que seimpuso el primer capital, que es el momento en el cual se inicia laoperción. Por otro lado, el valor nal de la renta debe ser calculado unperiodo despues del pago del ultimo término.

GRAFICAR

Ejemplo: Se paga el alquiler y luego se ocupa el inmueble. Además, lapropiedad no esta disponible (para el propietario) sino hasta despu es deun periodo del momento del pago del ultimo t ermino.

() October 14, 2014 1 / 10

Rentas prepagables

Dada una renta prepagable constante de n términos de montante Cdisponibles a los momentos 0; 1; 2; ...; n� 1 (p-periodos) y una tasap-periódica i (p) es claro que

VAprepagable (0) = VApostpagable (�1)(1+ i (p))

VAprepagable (0) = C1�

�1+ i (p)

��ni (p)

(1+ i (p)) (1)

Para el valor �nal tenemos que

VFprepagable (n) = VFpostpagable (n� 1)(1+ i (p)) = C

�1+ i (p)

�n� 1

i (p)(1+ i (p))

(2)

() October 14, 2014 2 / 10

Rentas prepagables

Dada una renta prepagable constante de n términos de montante Cdisponibles a los momentos 0; 1; 2; ...; n� 1 (p-periodos) y una tasap-periódica i (p) es claro que

VAprepagable (0) = VApostpagable (�1)(1+ i (p))

VAprepagable (0) = C1�

�1+ i (p)

��ni (p)

(1+ i (p)) (1)

Para el valor �nal tenemos que

VFprepagable (n) = VFpostpagable (n� 1)(1+ i (p)) = C

�1+ i (p)

�n� 1

i (p)(1+ i (p))

(2)

() October 14, 2014 2 / 10

Rentas prepagables

Dada una renta prepagable constante de n términos de montante Cdisponibles a los momentos 0; 1; 2; ...; n� 1 (p-periodos) y una tasap-periódica i (p) es claro que

VAprepagable (0) = VApostpagable (�1)(1+ i (p))

VAprepagable (0) = C1�

�1+ i (p)

��ni (p)

(1+ i (p)) (1)

Para el valor �nal tenemos que

VFprepagable (n) = VFpostpagable (n� 1)(1+ i (p)) = C

�1+ i (p)

�n� 1

i (p)(1+ i (p))

(2)

() October 14, 2014 2 / 10

Rentas perpetuas

Hay un número de situaciones que generan un �ujo in�nito de fondos:

1 Depósitar una suma de dinero, y retirar solamente los interesesgenerados.

2 Los presupuestos de ciertas agencias del estado.3 Los dividendos provenientes de acciones de una compañia.4 Las rentas inmobiliarias (los ingresos que produce una propiedad alser alquilada), etc.

Llamaremos rentas perpetuas a toda renta que conste de una sucesiónin�nita de términos

() October 14, 2014 3 / 10

Rentas perpetuas constantes vencidas (pospagables)

Si el compromiso comienza en el momento 0 (cero) y no tiene fecha de�nalización el momento n, los términos se imponen a período vencido(t1 = 1), y la renta esta sujeta a una tasa p-períodica i (p)

(dimensionalmente compatible con la unidad temporal usada para medirlos períodos entre imposiciones). Es claro que

VA (0) =n

∑k=1

C�1+ i (p)

�k

() October 14, 2014 4 / 10

Rentas perpetuas constantes vencidas (pospagables)

Ahora si el compromiso no tienen fecha de �nalización

VA (0) =∞

∑k=1

C

(1+i (p))k

= C∞

∑k=1

1

(1+i (p))k

= C 1(1+i (p))

1

1�1�

1+ i (p)�

= Ci (p)

∞

∑k=1

ar k�1 = a 11�r si jr j < 1

0 < a = r = 11+i (p)

< 1

() October 14, 2014 5 / 10

Rentas perpetuas constantes vencidas (pospagables)

Ahora si el compromiso no tienen fecha de �nalización

VA (0) =∞

∑k=1

C

(1+i (p))k

= C∞

∑k=1

1

(1+i (p))k

= C 1(1+i (p))

1

1�1�

1+ i (p)�

= Ci (p)

∞

∑k=1

ar k�1 = a 11�r si jr j < 1

0 < a = r = 11+i (p)

< 1

() October 14, 2014 5 / 10

Rentas perpetuas constantes vencidas (pospagables)

Ahora si el compromiso no tienen fecha de �nalización

VA (0) =∞

∑k=1

C

(1+i (p))k

= C∞

∑k=1

1

(1+i (p))k

= C 1(1+i (p))

1

1�1�

1+ i (p)�

= Ci (p)

∞

∑k=1

ar k�1 = a 11�r si jr j < 1

0 < a = r = 11+i (p)

< 1

() October 14, 2014 5 / 10

Rentas perpetuas constantes vencidas (pospagables)

Ahora si el compromiso no tienen fecha de �nalización

VA (0) =∞

∑k=1

C

(1+i (p))k

= C∞

∑k=1

1

(1+i (p))k

= C 1(1+i (p))

1

1�1�

1+ i (p)�

= Ci (p)

∞

∑k=1

ar k�1 = a 11�r si jr j < 1

0 < a = r = 11+i (p)

< 1

() October 14, 2014 5 / 10

Rentas perpetuas constantes vencidas (pospagables)

Ahora si el compromiso no tienen fecha de �nalización

VA (0) =∞

∑k=1

C

(1+i (p))k

= C∞

∑k=1

1

(1+i (p))k

= C 1(1+i (p))

1

1�1�

1+ i (p)�

= Ci (p)

∞

∑k=1

ar k�1 = a 11�r si jr j < 1

0 < a = r = 11+i (p)

< 1

() October 14, 2014 5 / 10

Rentas perpetuas constantes vencidas (pospagables)

Ahora si el compromiso no tienen fecha de �nalización

VA (0) =∞

∑k=1

C

(1+i (p))k

= C∞

∑k=1

1

(1+i (p))k

= C 1(1+i (p))

1

1�1�

1+ i (p)�

= Ci (p)

∞

∑k=1

ar k�1 = a 11�r si jr j < 1

0 < a = r = 11+i (p)

< 1

() October 14, 2014 5 / 10

Rentas perpetuas constantes vencidas (pospagables)

Ejemplo: El estado se compromete a entregar todos los meses (a mesvencido) la suma de $ 15.000 a una fundación sin �nes de lucros. ¿Cuál esel valor actual de dicha renta? si la fundación puede depositar susexcedentes al 1.3% mensual. GRAFICAR

VA (0) =15.0000, 013

= 1.153.846, 15385

Observación : El valor actual de una renta perpetua, vencida, p-períodica,constante de término C , a una tasa i (p): es la suma de dinero que se debedepositar a la tasa i (p) para retirar al �nal de cada p-período la suma C .

() October 14, 2014 6 / 10

Rentas perpetuas constantes vencidas (pospagables)

Ejemplo: El estado se compromete a entregar todos los meses (a mesvencido) la suma de $ 15.000 a una fundación sin �nes de lucros. ¿Cuál esel valor actual de dicha renta? si la fundación puede depositar susexcedentes al 1.3% mensual. GRAFICAR

VA (0) =15.0000, 013

= 1.153.846, 15385

Observación : El valor actual de una renta perpetua, vencida, p-períodica,constante de término C , a una tasa i (p): es la suma de dinero que se debedepositar a la tasa i (p) para retirar al �nal de cada p-período la suma C .

() October 14, 2014 6 / 10

Rentas perpetuas constantes vencidas (pospagables)

Ejemplo: El estado se compromete a entregar todos los meses (a mesvencido) la suma de $ 15.000 a una fundación sin �nes de lucros. ¿Cuál esel valor actual de dicha renta? si la fundación puede depositar susexcedentes al 1.3% mensual. GRAFICAR

VA (0) =15.0000, 013

= 1.153.846, 15385

Observación : El valor actual de una renta perpetua, vencida, p-períodica,constante de término C , a una tasa i (p): es la suma de dinero que se debedepositar a la tasa i (p) para retirar al �nal de cada p-período la suma C .

() October 14, 2014 6 / 10

Rentas perpetuas constantes vencidas (pospagables)

Observación: He aquí, otra deducción para el valor actual de una rentaconstante perpetua vencida (o pospagable). Recordando que

n

∑k=1

C�1+ i (p)

�k = C 1��1+ i (p)

��ni (p)

y que∞

∑k=1

C�1+ i (p)

�k = limn!∞

n

∑k=1

C�1+ i (p)

�ktenemos que

VA (0) = limn!∞

C1�

�1+ i (p)

��ni (p)

=Ci (p)

() October 14, 2014 7 / 10

Rentas perpetuas constantes vencidas (pospagables)

Observación: He aquí, otra deducción para el valor actual de una rentaconstante perpetua vencida (o pospagable). Recordando que

n

∑k=1

C�1+ i (p)

�k = C 1��1+ i (p)

��ni (p)

y que∞

∑k=1

C�1+ i (p)

�k = limn!∞

n

∑k=1

C�1+ i (p)

�k

tenemos que

VA (0) = limn!∞

C1�

�1+ i (p)

��ni (p)

=Ci (p)

() October 14, 2014 7 / 10

Rentas perpetuas constantes vencidas (pospagables)

Observación: He aquí, otra deducción para el valor actual de una rentaconstante perpetua vencida (o pospagable). Recordando que

n

∑k=1

C�1+ i (p)

�k = C 1��1+ i (p)

��ni (p)

y que∞

∑k=1

C�1+ i (p)

�k = limn!∞

n

∑k=1

C�1+ i (p)

�ktenemos que

VA (0) = limn!∞

C1�

�1+ i (p)

��ni (p)

=Ci (p)

() October 14, 2014 7 / 10

Rentas perpetuas constantes vencidas (pospagables)

Observación: He aquí, otra deducción para el valor actual de una rentaconstante perpetua vencida (o pospagable). Recordando que

n

∑k=1

C�1+ i (p)

�k = C 1��1+ i (p)

��ni (p)

y que∞

∑k=1

C�1+ i (p)

�k = limn!∞

n

∑k=1

C�1+ i (p)

�ktenemos que

VA (0) = limn!∞

C1�

�1+ i (p)

��ni (p)

=Ci (p)

() October 14, 2014 7 / 10

Rentas perpetuas constantes adelantadas (prepagables)

En este caso tenemos que GRAFICAR.

VAprepagable (0) = VApostpagable (�1)(1+ i (p)) =Ci (p)(1+ i (p)) (3)

() October 14, 2014 8 / 10

Rentas perpetuas constantes adelantadas (prepagables)

Observación: Una deducción para el valor actual de una renta constanteperpetua adelantada (prepagable). Recordando que el valor actual de unarenta de este tipo de n términos es

n�1∑k=0

C�1+ i (p)

�k = C 1��1+ i (p)

��ni (p)

�1+ i (p)

�

y que∞

∑k=1

C�1+ i (p)

�k = limn!∞

n

∑k=1

C�1+ i (p)

�ktenemos que

VA (0) = limn!∞

C1�

�1+ i (p)

��ni (p)

�1+ i (p)

�=

Ci (p)

�1+ i (p)

�

() October 14, 2014 9 / 10

Rentas perpetuas constantes adelantadas (prepagables)

Observación: Una deducción para el valor actual de una renta constanteperpetua adelantada (prepagable). Recordando que el valor actual de unarenta de este tipo de n términos es

n�1∑k=0

C�1+ i (p)

�k = C 1��1+ i (p)

��ni (p)

�1+ i (p)

�y que

∞

∑k=1

C�1+ i (p)

�k = limn!∞

n

∑k=1

C�1+ i (p)

�k

tenemos que

VA (0) = limn!∞

C1�

�1+ i (p)

��ni (p)

�1+ i (p)

�=

Ci (p)

�1+ i (p)

�

() October 14, 2014 9 / 10

Rentas perpetuas constantes adelantadas (prepagables)

Observación: Una deducción para el valor actual de una renta constanteperpetua adelantada (prepagable). Recordando que el valor actual de unarenta de este tipo de n términos es

n�1∑k=0

C�1+ i (p)

�k = C 1��1+ i (p)

��ni (p)

�1+ i (p)

�y que

∞

∑k=1

C�1+ i (p)

�k = limn!∞

n

∑k=1

C�1+ i (p)

�ktenemos que

VA (0) = limn!∞

C1�

�1+ i (p)

��ni (p)

�1+ i (p)

�=

Ci (p)

�1+ i (p)

�() October 14, 2014 9 / 10

Rentas diferidas

"lleve hoy y comience a pagar recién en octubre"Ejemplo: La señora Mariela compró hoy en su tienda habitual ropa porunos $ 7.000, aprovechando la promoción �llevé hoy y comience a pagaren 3 meses�. Si la operación fue pactada a 6 cuotas iguales, concecutivasy mensuales, a una tasa del 2% mensual, ¿Cuál es el monto de las cuotas?Gra�car

El problema puede ser resuelto de varias formas. Utilizando la teoría derentas postpagables, tenemos que GRAFICAR

7.000 (1+ 0, 02)2 = C11� (1+ 0, 02)�6

0, 02

donde C1 es el valor de las cuotas.También podemos resolverlo usando la noción de renta prepagable.

() October 14, 2014 10 / 10

Rentas diferidas

"lleve hoy y comience a pagar recién en octubre"Ejemplo: La señora Mariela compró hoy en su tienda habitual ropa porunos $ 7.000, aprovechando la promoción �llevé hoy y comience a pagaren 3 meses�. Si la operación fue pactada a 6 cuotas iguales, concecutivasy mensuales, a una tasa del 2% mensual, ¿Cuál es el monto de las cuotas?Gra�carEl problema puede ser resuelto de varias formas. Utilizando la teoría derentas postpagables, tenemos que GRAFICAR

7.000 (1+ 0, 02)2 = C11� (1+ 0, 02)�6

0, 02

donde C1 es el valor de las cuotas.También podemos resolverlo usando la noción de renta prepagable.

() October 14, 2014 10 / 10