UNIDAD 2 (sistemas de colas o lineas de espera.)

7/26/2019 UNIDAD 2 (sistemas de colas o lineas de espera.)

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Y el fenmeno de la espera noes una experiencia que selimite slo a los humanos: lostrabajos esperan a serprocesados en una mquina,los aviones vuelan en crculohasta que la torre de controlles da permiso de aterrizar ylos automviles se detienen

ante la luz roja de lossemforos.


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El estudio de las lneas de espera tratade cuantifcar el enmeno de esperar

ormando colas, mediante medidas

representativas de efciencia, como la

longitud promedio de la cola, el tiempopromedio de espera en ella, y la

utilizacin promedio de las instalaciones.

El ejemplo que sigue demuestra cmo se

usan esas medidas para disear una

instalacin de servicio.


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Sepue

denan

alizarlosre

sultado

s

delan

lisis d

ecola

sen el

conteto

de

unmo

delo d

e

optimiz

acindec

ostos,e

nelqu

e

lasum

adelos

costosde

ofrecer

el

servicio

ydee

sperar

sereduzcan

almnim

o.


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!a fgura anterior representa un modelo caracterstico de

costo "en # por unidad de tiempo$, en el que el costo del

servicio aumenta al incrementar el nivel del servicio. %l mismo

tiempo, el costo de esperar disminuye al incrementar el nivel

del servicio.

El o&stculo principal para implementar los modelos de costo

es que se puede difcultar la o&tencin de un estimado fa&le

del costo unitario de espera, en especial cuando el

comportamiento 'umano in(uye so&re el uncionamiento del

caso.


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!os actores principales en una lnea de espera o cola son elcliente y el servidor.

!os clientes se generan en una fuente. %l llegar a la

instalacin pueden reci&ir servicio de inmediato, o esperar

en una cola o lnea de espera, si la instalacin est ocupada.

)uando en una instalacin se termina un servicio, en orma

automtica se *atrae+ a un cliente que espera, si lo 'ay, de la

cola.


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esde elpunto de

vista del anlisis de las colas, e

l

procesode llegada

se representa cone

ltiempoentre

lleadas, de los c

lientes sucesivos,y

el servicio se

descri&econeltiempodeservic

ioporcadacliente.

-or logeneral, lost

iemposentre llegada

sy de servicio

pueden ser pro&a&ilstic

os, comoen elunc

ionamiento

deunaofcinadeco

rreos,odeterminsticos,como

enla

llegadadesolicitante

salasentrevistasde

tra&ajo.


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ealizar un cuadro"como el anterior$

donde ejemplifque /situaciones$


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!ola: lnea de espera.

"leada de clientes: una persona, mquina,

pieza, etc. que llega y demanda un servicio.

#isciplina de cola: reglas para determinar el

orden en el cual las llegadas "clientes$ reci&en el

servicio.!anal: n0mero de lneas de espera o unidades

de servicio.

$ase: n0mero de pasos a seguir en el servicio.


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!os clientes llegan de orma aleatoria

istri&ucin discreta

Xes el n0mero de llegadas durante unaunidad de tiempo determinada "una

'ora, un minuto, etc.$

%&x'( n0mero promedio de llegadas

por unidad de tiempo


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El tama)o de la cola desempea un papel

en el anlisis de las colas, y puede ser

fnito, como en el rea de reserva entre dos

mquinas consecutivas, o puede ser infnito,

como en las instalaciones de pedidos por

correo.


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!a disciplina de la cola, que

representa el orden en el que se

seleccionan los clientes de una cola,

es un actor importante en el anlisis

de los modelos de colas.


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!a disciplina ms com0n es la de primero en llegar,

primero en servirse "-!-S1 tam&i2n 3)3S, del ingl2s

frst come, frst served$.

Entre otras disciplinas estn 0ltimo en llegar, primero

en servirse "4!-S1 tam&i2n !)3S de last come, frst

served$, y de dar servicio en orden aleatorio "SE5%1

tam&i2n S65, de service in random order$.


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7am&i2n, los clientes se pueden

seleccionar en la cola con &ase en

cierto orden de prioridad.

-or ejemplo, los tra&ajos urgentes en un

taller se procesan antes que los tra&ajos

normales.


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%l comportamiento de los clientes enespera juea un papel en el anlisisde las lneas de espera.

"os clientes *humanos+ se puedensaltar de una cola a otra, tratando dereducir la espera. ambi-n puedenrehusar totalmente a la cola por haberesperado demasiado.


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%l dise)o de la instalacin de servicio puede

comprender servidores en paralelo &por ejemplo, el

funcionamiento de la ocina de correos'.

ambi-n, los servidores pueden ordenarse en serie

&por ejemplo, cuando los trabajos se procesan en

mquinas sucesivas' o bien pueden formar una red

&por ejemplo, los enrutadores en una red de

computadoras'.


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!a uente donde se generan los clientes puede ser fnita o

infnita.

4na fuente nita limita a los clientes que llegan al servicio

"por ejemplo, las mquinas que piden el servicio de

mantenimiento$.

7am&i2n, una fuente innita es a&undante por siempre "por

ejemplo, las llamadas que llegan a una central telenica$.

!as variaciones de los elementos de un caso de colas dan


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8. 6dentifque al cliente y al servidor en cada uno de los casos

siguientes9

a$ %viones que llegan a un aeropuerto&$ :ase de tais donde 2stos esperan a que lleguen pasajeros

c$ ;erifcacin de las 'erramientas en un almac2n de un taller

de maquinado

d$ )artas procesadas en una ofcina de correos

e$ 6nscripcin a las clases en una universidad

$


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=. -ara cada uno de los casos del pro&lema 8, identifcar losiguiente9

a$ >aturaleza de la uente "fnita o infnita$

&$ >aturaleza de los clientes que llegan "individualmente o en

grupo$

c$ )lase de tiempo entre llegadas "pro&a&ilstico o determinstico$

d$ efnicin y clase de tiempo de servicio

e$ )apacidad de la cola "fnita o infnita$

$ isciplina de la cola


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?. Estudie el sistema siguiente e

identifque las situaciones

correspondiente de espera. -ara cada

situacin, defna los clientes, el o los

servidores, la disciplina de la cola, el

tiempo de servicio, la longitud mima

de la cola y la uente de los clientes.


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!as rdenes de tra&ajo se reci&en en un taller para

su procesamiento. %l reci&irlas, el supervisor

decide si el tra&ajo es normal o urgente. %lgunas

rdenes requieren usar una o varias mquinas

id2nticas. !as dems rdenes se procesan en una

lnea de produccin en dos etapas, y 'ay dos de

ellas disponi&les. En cada uno de los dos grupos,

se asigna una instalacin para manejar los

tra&ajos urgentes.


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!os tra&ajos que llegan a una

instalacin se procesan en el orden de

llegada. !os tra&ajos terminados se

em&arcan al llegar, en una zona de

em&arque con capacidad limitada.


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!as 'erramientas afladas para las distintas

mquinas son suministradas en un almac2n central

de 'erramientas. )uando una mquina se

descompone se manda a un reparador, de un grupo

de servicio, para arreglarla. !as mquinas que

tra&ajan en pedidos urgentes siempre reci&en

prioridad tanto en la adquisicin de 'erramientas

nuevas del almac2n, como en reci&ir reparaciones.


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En la mayor parte de los casos de colas, la

llegada de los clientes se 'ace en una orma

totalmente aleatoria.

%leatoriedad quiere decir que la ocurrencia de

un evento "por ejemplo, la llegada de un clienteo la terminacin de un servicio$ no est in(uido

por el tiempo que 'aya transcurrido desde la

ocurrencia del evento anterior.


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!os tiempos aleatoriosentre llegadas se

descri&en en orma

cuantitativa, en los

modelos de colas, con

la distribucin

exponencial, que se

defne como sigue9


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El 'ec'o de que la distri&ucineponencial sea totalmente aleatoria

se ilustra con el ejemplo siguiente9 si

a'ora son las @9=A am y la 0ltima llegada

ue a las @9A= am, la pro&a&ilidad de quela siguiente llegada sea a las @9=B am es

una uncin slo de las @9=A am a las

@9=B am, y es totalmente independiente

del tiempo que 'aya transcurrido desdela ocurrencia del 0ltimo evento "de las

@9A= am a las @9=A am$. % este resultado

se le llama amnesia o falta de

memoria de la eponencial.


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4na mquina en servicio tiene una unidad de reserva para

sustituirla de inmediato cuando alle.

El *tiempo a la alla+ "tiempo entre allas$ de la mquina "o de

su unidad de reserva$ es eponencial, y sucede cada CA

minutos, en promedio.

El operador de la mquina dice que 2sta *tiene la costum&re+

de descomponerse cada noc'e a eso de las @9?A -.D. %nalizar

lo que dice el operador.


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En cuanto a lo que dice el operador, ya se sa&e que no puede

ser correcto, porque se opone al 'ec'o de que el tiempo

entre allas es eponencial y, en consecuencia, es

totalmente aleatorio. !a pro&a&ilidad de que una alla

suceda a las @9?A -.D. no se puede usar para respaldar ni

reutar esa afrmacin, porque el valor de esa pro&a&ilidad

depende de la 'ora del da "en relacin con las @9?A -.D.$con la que se calcule. -or ejemplo, si a'ora son las @9=A -.D.,

la pro&a&ilidad de que lo que dice el operador sea cierto esta

noc'e es9


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Si en este mo

mentosonlas

9AA-.D.,la

pro&a&ilidad de

que suceda un

aallaalas

@9?A-.D.aument

a'asta aproim

adamente

A.B"Fcompru2&

eloG$.

Estos dosvalo

res etremos

indicanque no

sepuedeanalizarlaafrmaci

ndeloperador

con&aseenes

timacionesde

pro&a&ilidad,y

quesede&eco

nfarenlascar

actersticasde

la distri&ucin

eponencial "

aleatoriedad

areutarlaafrmacin.


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4na mquina en servicio tiene una unidad de reserva

para sustituirla de inmediato cuando alle. El

*tiempo a la alla+ "tiempo entre allas$ de lamquina "o de su unidad de reserva$ es

eponencial, y sucede cada =A minutos, en

promedio.

El operador de la mquina dice que 2sta *tiene la

costum&re+ de descomponerse cada noc'e a eso de

/ ( 01231(4

$&t' ( 4e54t t(

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-ero -or ejemplo, si a'ora son las B9=A pm, la pro&a&ilidad deque lo que dice el operador sea cierto esta noc'e es

Si la cola est vaca, la instalacin se vuelve inactiva 'asta

que llega un cliente nuevo.


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a' Eplique lo que

entiende de la relacin en

tre la

recuencia de llega

das y eltiempo promedio entre

llegadas.H)ules so

n las unidades que

descri&encada

varia&leI

b' En cad

a uno de los casossiguientes

, determine la

recuencia promedio

de llegadas por 'ora,y eltiempo

promedioentrellega

das,en'oras.

i)4nall

egadacada8Aminu

tos.

ii)osllegadascadaJminuto

s.

iii) !a cantidad de

llegadasen un periodo de

?A

minutoses8A.

iv)Elintervaloprom

edioentrelasllegad

assucesivases

A./'ora.


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c' En cada uno de los casos siguientes, determinela recuencia promedio de servicio por 'ora, y eltiempo promedio de servicio en 'oras.

i' Se termina un servicio cada 8= minutos.ii' Kay dos salidas cada 8/ minutos.iii' !a cantidad de clientes atendidos en un periodo

de ?A minutos es de /.


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3. El tiempo entre llegadas en una dependencia dela State evenue 5Lce es eponencial, con valor

medio de A.A/ 'ora. !a ofcina a&re a las @9AA am

a' Escri&a la distri&ucin eponencial que descri&ael tiempo entre llegadas.

b' etermine la pro&a&ilidad de que no lleguen

clientes a la ofcina 'asta las @98/ am


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c'Son

las@

9?/%.D.

El0ltim

oclien

teentr

alas

@9=J

am. H

)ul es la

pro&a&

ilidad

deque e

l

siguiente

cliente

llegue

antesd

elas@

9?@am

IHM

deque

nollegue'

astala

s@9CA

amI


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!os clientes llegan a un &anco o a una tienda en

orma *totalmente aleatoria+, lo que quiere decir

que no 'ay orma de pronosticar cundo va a llegar

alguien. !a uncin de densidad de pro&a&ilidad

para descri&ir la cantidad de tales llegadas durante

determinado periodo que se apega a la distri&ucin

de -oisson.


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!a media y la varianza de -oisson son

!a distri&ucin de -oisson es importante en

el estudio de las flas de espera.


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x ( n0mero de llegadas durante una unidad

de tiempo determinada "una 'ora, un

minuto$

%&x' ( n0mero promedio de llegadas por

unidad de tiempo


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!os tra&ajos de reparacin llegan a un taller en

orma totalmente aleatoria, con una tasa o

recuencia de 8A diarios.

a$H)ul es la cantidad promedio de tra&ajos que se

reci&en diariamente en el tallerI

&$H)ul es la pro&a&ilidad de que no lleguentra&ajos durante cualquier 'ora, suponiendo que el

taller a&re @ 'oras diariasI


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!a cantidad promedio de tra&ajos

reci&idos por da es igual a NO 8A

tra&ajos por da. -ara calcular lapro&a&ilidad de que no 'ayan llegadas

por 'ora se de&e calcular la recuencia

de llegadas por 'ora, que es

tra&ajos por 'ora. %s


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En &ase al ejemplo anterior responda las siguientescuestiones9

PH)ul es la pro&a&ilidad de que lleguen al menos

? clientes durante cualquier 'oraIPH)ul es la pro&a&ilidad de que lleguen a lo ms =

clientes durante cualquier 'oraI

PH)ul es la pro&a&ilidad de que lleguen ms de ?clientes durante cualquier 'oraI

PH)ul es la pro&a&ilidad de que lleguen menos de

= clientes durante cualquier 'oraI


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!a caja de un supermercado realiza las transacciones en un

tiempo medio de / minutos.

!os clientes llegan con una tasa media de 8= clientes por

'ora. Si se supone que las llegadas siguen un proceso de

-oisson, si se tra&aja B 'oras al da, determina9

P H)ul es la cantidad promedio de tra&ajos que se reci&en

diariamenteI

P H)ul es la pro&a&ilidad de que lleguen al menos C clientes

durante cualquier 'oraI


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c$ H)ul es la pro&a&ilidad de que lleguen a lo ms ? clientes


d$ H)ul es la pro&a&ilidad de que lleguen ms de C clientes


e$ H)ul es la pro&a&ilidad de que lleguen menos de ? clientes


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