Unidad 2: Fundamentos de probabilidad

Integrantes: 

Salazar Salazar Valeria Alejandra Alfaro Vera Isay Jaramillo Hernández Juan Manuel García Mancillas Karely Lizbeth Pérez Rosales Karla Magaly Mendo Dimas Alejandro Isidoro Martagón Eduardo

Índice

2.1. Conjuntos y técnicas de conteo.2.2. Concepto clásico y como frecuencia relativa.2.3. Espacio muestral y eventos.2.4. Axiomas y teoremas.2.5. Espacio finito equiprobable.2.6. Probabilidad condicional e independencia.2.7. Teorema de Bayes2.8 Distribución marginal de frecuencias

2.1 Conjunto y técnicas de conteo

Un conjunto es una colección bien definida de objetos a los cuales también llamamos los elementos de un conjunto.A los conjuntos los identificamos con letras mayúsculas y a los elementos con letras minúsculas, encerrados en {}.Los conjuntos se pueden describir de 2 formas:1.- Método de la lista. Consiste en enumerar a todos los elementos que pertenecen a dicho conjunto. Ejemplo:

A={1,2,3,4,5,6} B={a,e,i,o,u}

2.- Método de la regla consiste en definir la característica común para ser considerado un elemento. Ejemplo.

A= x b= {x|x sea una letra vocal

Definición y notación de un conjunto

A los conjuntos se les representa con letras mayúsculas A, B, C, ... y a los elementos de los conjuntos  se denotan con letra minúsculas a, b, c, ...En base a la cantidad de elementos que tenga un conjunto, estos se pueden clasificar en conjuntos

Ejemplo : Supongamos que México es un conjunto, los elemento de ella son todos los estados.

Finitos e Infinitos. En el caso del ejemplo anterior México es un conjunto finito ya que se pueden contar sus elementos.Podemos definir de manera intuitiva a un conjunto, como una colección o listado de objetos con características bien definidas que lo hace pertenecer a un grupo determinado.Para que exista un conjunto debe basarse en lo siguiente:

La colección de elementos debe estar bien definida. Ningún elemento del conjunto se debe contar más de una vez,

generalmente, estos elementos deben ser diferentes, si uno de ellos se repite se contará sólo una vez.

El orden en que se enumeran los elementos que carecen de importancia.

Una interpretación gráfica de la unión de A y B es la siguiente:

En la gráfica la región rayada corresponde a la unión de A y B. Se presentan los conjuntos dentro de un rectángulo que representa el conjunto referencial del cual se seleccionan los conjuntos A y B.

TIPOS DE CONJUNTOSConjunto finito: en este conjunto los elementos o miembros que los conforman pueden ser enumerados o contados. Por ejemplo, el agrupamiento de todas las letras del abecedario confirmaría un conjunto de esta clase.

Conjunto infinito: en estos conjuntos, los miembros que lo conforman no pueden ser enumerados ni contados. Un ejemplo de conjunto infinito sería todos los granos de arena del planeta.

Conjunto unitario: estos conjuntos están conformados por un solo miembro o elemento, por ejemplo, la letra A.

Conjunto vacío: estos conjuntos carecen de elementos o bien, estos son inexistentes, por ejemplo un unicornio, en el caso del elemento inexistente.

Conjunto referencial: a este conjunto también se la conoce como universal y se caracterizan por estar conformados por los miembros de todos los elementos que forman parte de la caracterización. Por ejemplo: el conjunto A esta compuesto de 1,3, 5, 7 y el B por 2, 4, 6. Mientras que el conjunto universal es 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Conjuntos disyuntivos: estos conjuntos no poseen ningún elemento o miembro que coincida. Esto también se lo puede expresar diciendo que la intersección entre los conjuntos disyuntivos es el conjunto vacío. Por ejemplo el grupo A contiene los elementos a, b, c, d mientras que el B e, f, g, h. Los conjuntos A y B entonces no tienen ningún elemento en común.

Conjuntos equivalentes: son aquellos conjuntos que poseen el mismo número cardinal, lo que significa que contienen la misma cantidad de elementos. Por ejemplo el conjunto A es 1, 2, 3, 4 y el B a, b, c, d, por tanto A y B son equivalentes.

Conjuntos iguales: esto se da cuando dos o más conjuntos contienen iguales elementos. Por ejemplo el conjunto A es 2, 4, 6, 8 y el B es 8, 6, 4, 2. Ambos conjuntos son iguales por que poseen los mismos elementos, sin importar su orden.

Congruentes: aquí pertenecen aquellos conjuntos numéricos cuyos respectivos miembros se corresponden uno a uno de modo que la distancia entre ellos se conserve, por ejemplo: el conjunto A es: 2, 4, 6, 8, 10 mientras que B es 7, 9, 11, 13, 15. De esta manera, 10 y 15, 8 y 13, 6 y 11, 4 y 9, 2 y 7 mantienen entre sí una distancia de 5.

Conjuntos no congruentes: en estos conjuntos, en cambio, no se establece correspondencia alguna entre sus miembros, por lo que la distancia entre los elementos es inconstante. Por ejemplo, el conjunto A es 2, 4, 6, 8, 10 mientras que B es 4, 5, 6, 7, 8.

Conjuntos homogéneos: en estos conjuntos los elementos o miembros que los componen responden al mismo género o tipo. Por ejemplo el conjunto A que contiene los elementos 1, 5, 3, 7, 6, 8. Aquí todos sus elementos son números por lo que conforman un conjunto homogéneo.

Conjuntos heterogéneos: estos conjuntos están compuestos por elementos que corresponden a distintos tipos, géneros o clases, por ejemplo, el conjunto A es 2, j, perro, azul.

2.2 Concepto clásico y como frecuencia relativa

Definición Clásico. La probabilidad clásica: el enfoque clásico o a priori de la probabilidad se basa en la consideración de que los resultados de un experimento son igualmente posibles. Empleando el punto de vista clásico, la probabilidad de que suceda un evento se calcula dividiendo el número de resultados favorables, entre el número de resultados posibles.

La probabilidad clásica de un evento E, que denotaremos por P(E), se define como el número de eventos elementales que componen al evento E, entre el número de eventos elementales que componen el espacio muestral:

Como frecuencia relativa

Probabilística: se basa en las frecuencias relativas. La probabilidad de que un evento ocurra a largo plazo se determina observando en que fracción de tiempo sucedieron eventos semejantes en el pasado. La probabilidad de que un evento suceda se calcula por medio de:

P (E)= número de veces que el evento ocurrió en el pasado Numero total de observaciones

Definición Frecuencial: La definición frecuentista consiste en definir la probabilidad como el límite cuando n tiende a infinito de la proporción o frecuencia relativa del suceso. Sea un experimento aleatorio cuyo espacio muestral es E Sea A cualquier suceso perteneciente a E Si repetimos n veces el experimento en las mismas Condiciones, la frecuencia relativa del suceso A será: Cuando el número n de repeticiones se hace muy grande la frecuencia relativa converge hacia un valor que llamaremos probabilidad del suceso A. Es imposible llegar a este límite, ya que no podemos repetir el experimento un número infinito de veces, pero si podemos repetirlo muchas veces y observar como las frecuencias relativas tienden a estabilizarse Esta definición frecuentista de la probabilidad se llama también probabilidad a posteriori ya que sólo podemos dar la probabilidad de un suceso después de repetir y observar un gran número de veces el experimento aleatorio correspondiente. Algunos autores las llaman probabilidades teóricas.

2.3. Espacio muestral y eventos.

Cuando se realiza un experimento, que es cualquier proceso que produce un resultado o una observación, se van a obtener un conjunto de valores. A este conjunto de valores que puede tomar una variable se le denomina espacio muestral.

Por ejemplo: Si se tiene un dado cualquiera, el espacio muestral (EM) es EM={1,2,3,4,5,6}.

El espacio muestral es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento o situación aleatoria.

    Si en una caja hay 10 manzanas y 2 están echadas a perder (¡al menos en este momento!), al extraer tres manzanas y ver cuantas son buenas podemos obtener 1, 2 o 3 buenas (¡0 buenas es imposible!). De modo que en este ejemplo el espacio muestral es: { 1, 2, 3 }.

    Si un juego consiste en tirar todas las aves que hagan falta hasta obtener tres perdoces seguidas o hasta que sean 15 aves, si nos fijamos en el número de aves requeridas, el espacio muestral es: { 3, 4, 5, . . . , 15 }. Pero si nos fijáramos en el número de disparos que resultan, entonces el espacio muestral es: { 0, 1, 2, . . . , 15 }.

    Es claro que para determinar el espacio muestral en un experimento aleatorio es necesario entender perfectamente:

Qué se va a hacer. Qué se va a observar o contar.

EVENTOS o SUCESOS.

1. La probabilidad clásica de un evento E, que denotaremos por P(E), se define como el número de eventos elementales que componen al evento E, entre el número de eventos elementales que componen el espacio muestral:

    Cuando se tiene un espacio muestral llamamos, formalmente evento o suceso a cualquier subconjunto del espacio muestral.

    Decimos que un suceso se realiza, cuando el resultado del experimento aleatorio es uno de los sucesos posibles.

    Las dos definiciones anteriores son muy abstractas. Veamos un par de ejemplos.

    En el caso de contar cuantas aves hacen falta para conseguir tres perdices seguidas o tirar 15 aves; el espacio muestral son los números: 3, 4, 5, . . . , 15. Un evento podría ser {3, 5, 7,. . ., 15}. Este evento corresponde a que el número de tiros necesario sea non. Si al hacer los disparos los resultados fueran:

    PPSPPSSSPPP (aquí nos detenemos porque han caído ya, tres perdices seguidas), el evento si se realizó porque el número necesario fue 11 y es non.

    SSSPPP (aquí paramos porque ya hay tres perdices), el evento no se realizó.

Podemos pensar que cada experimento al azar es un juego y que un evento es una lista de los resultados que hacen que YO gane.

    Otro ejemplo más. Al comprar llantas para mi coche, puede ser que manifiesten un defecto de fabricación dentro del período de garantía total y que el fabricante deba reponerlas. También puede pasar que el defecto se manifieste en el período de garantía parcial y que el fabricante bonifique sólo un porcentaje o que el defecto se manifieste después de vencido el período de garantía en cuyo caso el fabricante no paga nada. También puede pasar que las llantas no tengan defecto de fabricación aparente y que no haya garantía que reclamar. Como se puede considerar que las llantas que me vendieron se escogieron al azar de entre toda la producción, tenemos un experimento aleatorio.

2.4 Axiomas y Teoremas

Un axioma es una premisa que, por considerarse evidente, se acepta sin demostración, como punto de partida para demostrar otras fórmulas. Tradicionalmente los axiomas se eligen de las consideradas afirmaciones evidentes, porque permiten deducir las demás fórmulas.Dado un experimento con espacio muestral S y un espacio de eventos a, la probabilidad del evento A, representada por P(A), será el valor numérico que debe cumplir con los 3 axiomas deKolmogorov:

  Axioma 1. Para cualquier evento A se cumple que P(A 1)

Axioma 2. Para el espacio muestral S, se cumple que P(S)=1

Axioma 3. Si A y B son dos eventos mutuamente excluyentes de S, entonces 

            Este axioma se puede generalizaren la forma siguiente:

Sea   donde   son eventos mutuamente excluyentes. Entonces:

 

Un teoremaes una fórmula bien formada que puede ser demostrada dentro de un sistema formal.Basándose en los axiomas anteriores, se pueden establecer los teoremas necesarios para desarrollar una teoría axiomática de probabilidades. 

Teorema 1. Sea f el conjunto vacío, entonces 

Teorema 2. Si A es cualquier evento en el espacio de eventos S, entonces 

Teorema 3.    Si A y B son dos eventos cualesquiera del mismo espacio muestral S, tales que AÌB, entonces P(A)   P(B)

Teorema 4. Para cualquier evento A S se cumple que 0 P(A) 1

Teorema 5.    Si A y B son dos eventos cualesquiera del mismo espacio muestral S, entonces

Teorema 6. Si A y B son dos eventos cualesquiera del mismo espacio muestral S, entonces P(A-B) = P(A) - P(AÇB)

Teorema de la probabilidad total

El teorema de la probabilidad total afirma lo siguiente:

Sea   una partición sobre el espacio muestral y sea   

un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales  ,

entonces la probabilidad del suceso   viene dada por la expresión:

2.5. Probabilidad clásica: Espacio finito equiparable

Probabilidad clásica

Sea E un espacio muestral cualquiera y A un evento de ese espacio. Se define la probabilidad P del evento A, como:

donde

#A - número de casos favorables

#E - número de casos totales

Se supone que todos los elementos del espacio tienen la misma posibilidad de ocurrir

Ejemplo:

Experimento.- Se lanza una moneda

Evento A.- que al lanzar una moneda caiga águila.

Calcular la probabilidad de A:

E = { A, S}

A = { A }

Ejemplo. Sea el experimento lanzar un dado

Sea A: Obtener el número 6. A={6}

El espacio muestral (espacio equiprobable)

E = { 1,2,3,4,5,6 }

la probabilidad de obtener el número 6 es dada por

P( A )=¿ A¿ E

(1)

P( A )=¿ A¿ E

=12

P( A )=¿ A¿ E

=16

ESPACIOS FINITOS EQUIPROBABLES. Sea d un espacio muestral que contiene n elementos, d = {a1, a2, a3,....,an}, si a cada uno de los elementos de d le asignamos una probabilidad igual de ocurrencia, pi = 1/n por tener n elementos d, entonces estamos transformando este espacio muestral en un espacio finito equiprobable, el que debe cumplir con las siguientes condiciones: 

1. Las probabilidades asociadas a cada uno de los elementos del espacio muestral deben ser mayores o iguales a cero, pi ³ 0.

 2. La sumatoria de las probabilidades asociadas a cada elemento del

espacio muestral debe de ser igual a 1.  Spi = 1 

En caso de que no se cumpla con las condiciones anteriores, entonces no se trata de un espacio finito equiprobable.Solo en el caso de espacios finitos equiprobables, si deseamos determinar la probabilidad de que ocurra un evento A cualquiera, entonces; 

p(A) = r*1/n = r/n 

p(A) = maneras de ocurrir el evento A/ Número de elementos del espacio muestral  

r = maneras de que ocurra el evento A1/n = probabilidad asociada a cada uno de los elementos del espacio muestraln = número de elementos del espacio muestral 

Ejemplos:

 1. Se lanza al aire una moneda normal (una moneda perfectamente

equilibrada) tres veces, determine la probabilidad de que: a. Aparezcan puros sellos, b. Aparezcan dos águilas, c. Aparezcan por lo menos dos águilas.

 Solución: Para calcular las probabilidades de este problema, hay que definir el espacio muestral en cuestión; si representamos los tres lanzamientos de la moneda mediante un diagrama de árbol, encontraremos que el espacio muestral o el conjunto de todos los resultados posibles es: 

d = {AAA, ASS, SAS, SSA, AAS, SAA, ASA, SSS} a. A = evento de que aparezcan puros sellos = {SSS}   p(A) = p(aparezcan puros sellos) = p(SSS) = 1/8 = 0.125¿Porqué un octavo?, sí el espacio muestral consta de 8 elementos como se ha observado, entonces la probabilidad asociada a cada uno de los elementos del espacio muestral es de 1/8, por ser un espacio finito equiprobable ya que cada uno de los elementos mostrados tiene la misma probabilidad de ocurrencia. b. B = evento de que aparezcan dos águilas = {AAS, SAA, ASA}  p(B) = p(aparezcan dos águilas) = p(AAS, SAA, ASA) = 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8 = 0.375 c. C = evento de que aparezcan por lo menos dos águilas = {AAS, SAA,

ASA, AAA}  p(C) = p(AAS, SAA, ASA, AAA)=p(aparezcan dos águilas) + p(aparezcan tres águilas) p(C) = 4/8 = 1/2 = 0.5

2.6 Probabilidad condicional e independiente

Probabilidad condicionada es la probabilidad de que ocurra un evento A, sabiendo que también sucede otro eventoB. La probabilidad condicional se escribe P(A|B), y se lee «la probabilidad de A dado B.No tiene por qué haber una relación causal o temporal entre A y B. A puede preceder en el tiempo a B, sucederlo o pueden ocurrir simultáneamente. A puede causar B, viceversa o pueden no tener relación causal. Las relaciones causales o temporales son nociones que no pertenecen al ámbito de la probabilidad. Pueden desempeñar un papel o no dependiendo de la interpretación que se le dé a los eventos.

El condicionamiento de probabilidades puede lograrse aplicando el teorema de Bayes.La probabilidad condicional es cuando se desea determinar la probabilidad de algún evento, dado que antes otro evento haya ocurrido. Se denota como P(A|B) y se lee la “ probabilidad de A dado B”. Esta se utiliza para revisar la probabilidad de algún evento dado sobre el cual se ha recolectado información. En la vida real existen millones de ejemplos en los cuales se aplica esta probabilidad esta es utilizada en ventas, mercadotecnia, las aseguradoras para determinar las probabilidades de riesgo de sus usuarios, en las escuelas, oficinas, etc.Este método se determina con la siguiente ecuación:

PROBABILIDAD CONDICIONAL DE A DADO BP(A|B)= P(A ∩ B) = P(A)P(B\A)P(B)P(B)

LAS DOS REGLAS DE LA PROBABILIDADExisten dos reglas básicas que deben de tomarse en cuenta para calcular la probabilidad de eventos complejos: la regla de la multiplicación y la regla de la adición. Cada una de ellas se utiliza para propósitos específicos.

REGLA DE LA MULTIPLICACIÓNEsta determina la probabilidad del evento conjunto P(A ∩ B ). Es decir, que para encontrar la probabilidad de “A y B”, simplemente se multiplican sus respectivas probabilidades. El procedimiento exacto es si A y B son dependientes o independientes. Los eventos A y B son independientes si P(A) = P(A|B). Es decir, la probabilidad de A es la misma bien se considere o no B. son también independientes si P(B)=P(B|A). Para eventos independientes se utiliza la siguiente ecuación:P(A∩ B)= P(A) X P(B)Y para eventos dependientes se utiliza:P(A ∩ B) = P(A) X P(B|A)

REGLA DE ADICIÓNLa regla de adición se utiliza para determinar la probabilidad de A o B, P(A U B).La probabilidad del evento A o B (cuando los eventos no son mutuamente excluyentes)P(A U B)= P(A) + P(B) – P(A ∩ B)Se dice que no son excluyentes si ambos pueden ocurrir al mismo tiempo. En ese caso, la fórmula requiere que se reste la probabilidad del evento conjunto A y B.La razón por la cual se debe restar la probabilidad conjunta es para evitar el doble conteo.

La probabilidad del evento A o del evento B (cuando los eventos son mutuamente excluyentes) P(A U B)= P(A) + P(B)Si A y B son mutuamente excluyentes, P( A ∩ B) = 0. por definición no pueden ocurrir simultáneamente. Debido a que no tiene sentido restar cero. Se puede concluir que la probabilidad condicional nos ayuda a determinar las posibilidades que tenemos a que un evento ocurra, haciendo un análisis del comportamiento de las muestras en estudio, dando con esto una idea al empresario o bien a todo aquel que tenga la curiosidad de saber que es lo que pudiera o no suceder, ya que las probabilidades existen y si se estudian con detenimiento pueden ayudar a dar respuestas certeras.

2.7 Teorema de Bayes

La probabilidad de cada evento

La probabilidad de ocurrencia de un evento cualquiera dado un evento de

la partición . Esto es,

Teorema

Sea un espacio muestral y , , una colección de eventos mutuamente excluyentes tal que

para . Entonces para cualquier evento de ,

Ejemplos

En cierta planta de montaje, tres máquinas B B B , montan 30%, 45% y 25% de los productos, respectivamente. Se sabe de la experiencia pasada que 2%, 3%, y 2% de los productos ensamblados por cada máquina, respectivamente, tiene defectos. Ahora, suponga que se selecciona de forma aleatoria un producto terminado y se encuentra que es defectuoso, ¿ cuál es la

probabilidad de que esté ensamblado por la máquina B ?

Solución:

Considere los eventos siguientes:

A: el producto está defectuoso,

B : el producto está ensamblado por la máquina B .

B : el producto está ensamblado por la máquina B .

B : el producto está ensamblado por la máquina B .

Al aplicar el teorema, podemos escribir:

De los datos del problema sabemos que:

Entonces:

Así, al seleccionar de forma aleatoria un producto terminado y encontrar que es defectuoso, la probabilidad de que esté haya sido ensamblado por la máquina

B es del 20%.

2.8 Distribución marginal de frecuencias

Las distribuciones marginales son las distribuciones unidimensionales que nos informan del número de observaciones para cada valor de una de las variables,(prescindiendo de la información sobre los valores de las demás variables).

En el caso bidimensional hay dos (una para la x y otra para la y), en el caso multidimensional hay tantas como variables.

A partir de la tabla de correlación pueden construirse las distribuciones marginales, asignando a cada valor de la variable considerada su frecuencia marginal.

En el caso de dimensión mayor de dos, y supuestos los datos en forma de base datos matricial, habrá que considerar únicamente una de las variables (una columna) y a partir del listado de observaciones, se podrá construir la tabla de frecuencias de la distribución marginal.

Las distribuciones marginales son distribuciones de frecuencias unidimensionales como las ya estudiadas y pueden analizarse de la manera habitual (media, varianza, asimetría, curtosis, etc.).

Al analizar una distribución bidimensional, uno puede centrar su estudio en el comportamiento de una de las variables, con independencia de cómo se comporta la otra. Estaríamos así en el análisis de una distribución marginal.

De cada distribución bidimensional se pueden deducir dos distribuciones marginales: una correspondiente a la variable x, y otra correspondiente a la variable y.

Distribución marginal de X

X ni.x x

x1 n1.x2 n2...... ...

xn-1 nn-1.xn nn.

Distribución marginal de Y

Y n.jx x

y1 n.1y2 n.2..... ...

ym-1 n.m-1ym n.m

 

Ejemplo: a partir del ejemplo que vimos en la lección anterior (serie con los pesos y medidas de los alumnos de una clase) vamos a estudiar sus distribuciones marginales.

 

Estatura / Peso 31 kg 32 kg 33 kg 34 kg 35 kg1,21 cm 0 0 1 2 01,22 cm 0 1 1 0 11,23 cm 0 0 0 0 01,24 cm 0 2 1 0 01,25 cm 1 1 1 0 01,26 cm 0 0 0 0 01,27 cm 2 1 0 2 11,28 cm 0 1 1 0 11,29 cm 3 0 1 1 11,30 cm 0 0 0 2 1

 

Las variables marginales se comportan como variables unidimensionales, por lo que pueden ser representadas en tablas de frecuencias.

a) Distribución marginal de la variable X (estatura)Obtenemos la siguiente tabla de frecuencia:

 

Variable Frecuencias absolutas Frecuencias relativas(Estatura) Simple Acumulada Simple Acumulada

Xx xx xx xx xx1,21 3 3 10,0% 10,0%1,22 3 6 10,0% 20,0%1,23 0 6 0,0% 20,0%1,24 3 9 10,0% 30,0%1,25 3 12 10,0% 40,0%1,26 0 12 0,0% 40,0%1,27 6 18 20,0% 60,0%1,28 3 21 10,0% 70,0%1,29 6 27 20,0% 90,0%1,30 3 30 10,0% 100,0%

 

b) Distribución marginal de la variable Y (peso)Obtenemos la siguiente tabla de frecuencia:

Variable Frecuencias absolutas Frecuencias relativas(Peso) Simple Acumulada Simple Acumulada

Xx xx xx xx xx31 6 6 20,0% 20,0%32 6 12 20,0% 40,0%33 6 18 20,0% 60,0%34 7 25 23,3% 83,3%35 5 30 16,6% 100,0%

 

Bibliografía:www.probabilidad.com