Unidad 2 Dinamica de Sistemas

7/21/2019 Unidad 2 Dinamica de Sistemas

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UNIDAD 2SUBTEMA 2.1: ECUACIONES DIFERENCIALES Y DE DIFERENCIA2.1.1: ECUACIONES DIFERENCIALES

En ingeniera, ciencias naturales y sociales hay muchos problemas de inters que,cuando se plantean, exigen la determinacin de una funcin la cual debe verificaruna ecuacin que involucra derivadas de la funcin desconocida. Dichasecuaciones se denominan ecuaciones diferenciales. Tal ve el e!emplo m"sconocido es la ley de #e$ton%&

'()*+T#-'

'saac #e$ton se daba cuenta de la importancia que tenan las ecuacionesdiferencialespara el an"lisis de los fenmenos de la naturalea. )or algo susrenombrados )rincipios matem"ticos de la filosofa natural /&0123 que englobanmec"nica ne$toniana, arrancan con la ecuacin diferencial del movimiento. Estaecuacin se considera como axioma, mientras que los planteamientos posterioresde la mec"nica son, de hecho, teoremas que se derivan de dicho axioma, ascomo de la ley de gravitacin universal que se desga!a de los hechosexperimentales /leyes de 4epler3 y del mencionado axioma% md 56dt57 8.5

9na ecuacin diferencial ordinaria /ED*3 puede plantearse, siendo Funa relacin

o funcin, como

/&a3

... para representar la ED* en que la funcin incgnita /tambin conocida comovariable dependiente3, lo es de una :nica variable independiente.

En general, una ecuacin diferencial linealde orden npuede formularse, siendocada una funcin dependiente de t, como%

/&b3

9na solucin de la ecuacin /&a3 o /&b3 ser" una familia de curvas o funciones

del tipo que substituida dentro de la ecuacin la convierte en unaigualdad en la que todos los trminos son conocidos.
http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinaria#cite_note-1http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinaria#cite_note-2http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinaria#cite_note-2http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_(matem%C3%A1ticas)http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinaria#Eqnref_1ahttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_linealhttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_linealhttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinaria#Eqnref_1bhttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinaria#Equation_1ahttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinaria#Equation_1bhttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinaria#cite_note-2http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_(matem%C3%A1ticas)http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinaria#Eqnref_1ahttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_linealhttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinaria#Eqnref_1bhttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinaria#Equation_1ahttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinaria#Equation_1bhttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinaria#cite_note-1


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En la formulacin m"s simple, la funcin incgnita es una funcin para cierto valorreal o comple!o pero con mayor generalidad, puede serlo para el valor de unvector o matri, lo que lleva a considerar un sistema de ecuaciones diferencialesordinarias /ED*3 para una :nica funcin.

DE8'#'-'*#E;

E-9-'*# D'8E+E#-'< *+D'#+'

;i yes una funcin desconocida%

Dexsiendo la ensima derivadade y, entonces una ecuacin de la forma

/&3

Es llamada una ecuacin diferencial ordinaria /ED*3 de orden n. )ara funcionesvectoriales,

,


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;iendo, tanto ai/x3 como r/x3 funciones continuas dex. la ecuacindiferencial lineal es llamada homognea, de lo contrario es llamada nohomognea.

;oluciones

Dada una ecuacin diferencial

9na funcin u% I+ ? + es llamada la solucin, y su gr"fica se llama curva

integralde F,@si ues nveces derivable en I, y

Dadas dos soluciones u% J+ ? + y v% I+ ? +, ues llamadauna extensin de vsi IJ, y

9na solucin que no tiene extensin es llamada una solucin general

9na solucin general de una ecuacin de orden nes una solucin quecontiene nvariables arbitrarias, correspondientes a nconstantes de integracin.9na solucin particulares derivada de la solucin general mediante la fi!acin devalores particulares para las constantes, a menudo elegidas paracumplir condiciones iniciales. 9na solucin singulares la que no puede derivarsede la general.

Solucin de una EDO de primer orden

;ea yA 7 f/x, y3 /&3

9na ecuacin de primera orden resuelta con respecto a la derivada, se llamasu solucin general de la ecuacin diferencial /&3 una funcin

y 7 B/x, -3,
http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial#Soluci.C3.B3n_de_una_ecuaci.C3.B3n_diferencialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Curva_integralhttp://es.wikipedia.org/wiki/Curva_integralhttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinaria#cite_note-3http://es.wikipedia.org/wiki/Constante_de_integraci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_Cauchyhttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial#Soluci.C3.B3n_singularhttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial#Soluci.C3.B3n_de_una_ecuaci.C3.B3n_diferencialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Curva_integralhttp://es.wikipedia.org/wiki/Curva_integralhttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinaria#cite_note-3http://es.wikipedia.org/wiki/Constante_de_integraci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_Cauchyhttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial#Soluci.C3.B3n_singular


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Cue depende de una constante arbitraria -. ;atisface la ED* /&3 para cualquiervalor de la constante -. dem"s cualquiera que sea la condicin inicial

//x>3 7 y>3 /53,

;iempre se puede asignar un valor ->a la constante -, tal que la funcin y 7 B/x,->3 satisfaga la condicin inicial dada. ;e presume que el punto /x >, y>3 est" en laregin donde se cumplen las condiciones de existencia y de unicidad de lasolucin.

T')*; DE ED*s 8*+(; DE +E;*


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)ara las ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales no existen mtodosgenerales.

;oluciones numricas

lgunos de los mtodos de solucin numrica de ecuaciones diferenciales sonel mtodo de +unge4utta,los mtodos multipaso y los mtodos de extrapolacin.

E-9-'*#E; D'8E+E#-'


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9na ecuacin de la forma%

;e dice exacta si existe una funcin Fque cumpla%

;u solucin es entonces%

ED* de primer orden y homognea


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-*()+-'*#

2.1.3 DEFINICIN DE ECUACIN DE DIFERENCIAS (PRIMERA DIFERENCIAPROGRESIVA DE LA FUNCIN)8*+(9.9na diferencia regresiva, atrasada o anterior

8inalmente, la diferencia central es la media de las diferencias anteriores yposteriores.

+elacin con las derivadas


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;in embargo, la diferencia central lleva a una aproximacin m"s a!ustada. ;u errores proporcional al cuadrado del espaciado /si fes dos veces continuamentediferenciable3.

-"lculo de diferencias finitas


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*tro aspecto importante es que las diferencias finitas aproximan cocientesdiferenciales a medida que hse acerca a cero. s que se pueden usar diferenciasfinitas para aproximar derivadas. Esta tcnica se emplea a menudo en an"lisisnumrico, especialmente en ecuaciones diferenciales numricas ordinarias,ecuaciones en diferencias y ecuacin en derivadas parciales.


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+E


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Donde Ddenota el operador derivada, que hace corresponder con su derivada

, es decir,

8ormalmente, invirtiendo la exponencial,

Esta frmula sigue siendo v"lida en el sentido de que ambos operadores dan el

mismo resultado cuando se aplican a unpolinomio. 'ncluso para funciones

analticas, las series de la derecha no convergen con seguridad, sino que puede

tratarse de una serie asinttica. ;in embargo, pueden emplearse para obtener

aproximaciones m"s precisas de la derivada. )or e!emplo,


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*tro aspecto importante es que las diferencias finitas aproximan cocientes

diferenciales a medida que hse acerca a cero. s que se pueden usar diferencias

finitas para aproximar derivadas. Esta tcnica se emplea a menudo en an"lisis

numrico, especialmente en ecuaciones diferenciales numricas

ordinarias, ecuaciones en diferenciasy ecuacin en derivadas parciales.


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De /&[email protected] y /&[email protected] obtenemos

Cue s es lineal y la podemos resolver con el uso de la frmula /&[email protected]. 3 no aparece entonces llamamos y por lo tanto nuestroproblema se reduce al sistema de dos ecuaciones de orden uno


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E!emplo 3 se convierte en el sistema

E!emplo


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Entonces tenemos%

De /&.@.&@3 obtenemos

Derivamos en /&.@.&M3 y obtenemos

;upongamos que la cuerda es homognea, esto es% una constante,entonces reescribimos /&.@.&F3 as%


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Existe una funcin denominada transformada de Laplaceque toma como

argumento y produce una funcin de los comple!os en los comple!os.


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Existe una funcin denominada transformada que toma como

argumento F( t) y produce una funcin F(s) de los comple!os en los

comple!os.


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!ransformada de

Laplace

!ransformada


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M.


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-onvolucin% -onvolucin%

5.5.@ )are!as de transformadas


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Tabla 5.0% Tabla de pare!as de transformadas elementales multiplicadas por eltiempo

!ransformada de

Laplace!ransformada

iterar

iterar

Tabla 5.2% 9bicacin de los polos en los planos comple!os y funciones en el tiempo

"aso "ontinuo "aso Discreto

9bicacinde lospolos

8uncin 9bicacinde los polos

8uncin

*rigen

escaln escaln

;emi exponen 'ntervalo series


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e!erealpositivo

cialescrecientes

dele!e real

geomtricascrecientes noalterna

ntes'ntervalo

del e!e real

seriesgeomtricascrecientesalternantes

;emie!e

realnegativo

exponenciales

decrecientes

'ntervalo

dele!e real

seriesgeomt

ricasdecrecientesnoalternantes

'ntervalo

dele!e real

seriesgeomtricasdecreci

entesalternantes

E!eimaginario

sinusoidales

circunferencia unitaria

;inusoidales.

-omple!osen elsemip

lanoderecho

funcionessinusoidales

amplificadaspor unaexponencialcreciente

-omple!osfuera delcrculounitario

sinusoidalesamplificadas

por unaseriegeomtricacreciente


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-omple!osen elsemiplano

iquierdo

sinusoidalesamplificadaspor una

exponencialdecreciente

-omple!osdentro delcrculounitario

sinusoidalesamplificadaspor una

seriegeomtricadecreciente


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5.5.M 9tiliacin de la tabla de pare!as de transformadas


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)ara emplear las tablas 5.Fy5.0para obtener la transformada inversa de unafuncin, primero hay que expresar sta :ltima como alguno de los casos queaparecen en dichas tablas. ;uele ser :til recordar que las transformaciones de


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&. ;i entonces se realia la divisin hasta obtener una fraccin en laque el grado del polinomio del denominador sea mayor al del numerador=en los siguientes puntos se traba!a slo con la fraccin.E!emplo 5.F

5. 'dentificar las races del polinomio del denominador / 3, y cu"ntas veces se

repite cada una de ellas / , o multiplicidad de la ra3.

Evidentemente la suma de las multiplicidades ser" , el grado del

polinomio@. Escribir la fraccin como suma de fracciones parciales%

M. *btener los coeficientes

Este sencillo procedimiento tiene dos puntos de dificultad, el primero de los cuales

es cmo encontrar las races de , y el segundo cmo obtener los coeficientes

.

)ara la obtencin de las races suponemos que disponemos de alg:n tipo deprocedimiento /analtico o computacional3 para ello. )ara la obtencin de los

coeficientes , por su parte, pueden seguirse los siguientes procedimientos,seg:n sea el caso%

&. )olos de multiplicidad & ;i el polo tiene multiplicidad , el coeficiente

de la expansin podr" calcularse como%/5.&F3

5.

@. E!emplo 5.0


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M.

F.

0.2. )olos de multiplicidad mayor que &

;i el polo tiene multiplicidad , el coeficiente de la expansin podr"calcularse como%

/5.&03

Esta expresin tambin es v"lida para , si se considera que , yque la derivada de orden cero es la misma funcin.E!emplo 5.2


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El procedimiento anterior tambin es v"lido cuando las races del denominadorson comple!as%

E!emplo 5.1

Las fracciones comple,as pueden sumarse )ntese (ue los numeradores y

denominadores de una fraccin son los con,ugados de la otra*%

T+#;8*+(D Q '#IE+; )*+ (ED'* DE ER)#;'S# E# ;E+'E; DE)*TE#-'

G ;e expande R/3 en una serie de potencias que converge en la +*- de R/3, dela forma%

G Este es el caso particular de series de G Este mtodo es :til para obtener Q & UR/3V para R/3 no racional


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;eries de )otencias&. ;i la regin de convergencia est" dentro de un crculo, la divisin polinomial esde la forma &W a&X& y se obtiene una expansin en potencias positivas de 5. ;i la regin de convergencia es el exterior de un crculo, la divisin polinomial es

de la forma &W& a& y se obtiene una expansin en potencias negativas de ;istemas en tiempo discretoG 9n sistema discreto transforma entradas de variable discreta en salidas devariable discreta. yYnZ7T UxYnZV

G Tipos de sistemas en tiempo discretoG ;istemas 'nvariantes y Iariantes en el tiempoG ;istemas Z

RYnZ RYQZ

RYn&Z Q&RYQZ

RYn5Z Q5RYQZ

RYn@Z Q@RYQZ

RYnMZ QMRYQZ

Ejemplo 1% +esuelva la siguiente ecuacin en diferencias. R

YnX5ZX@RYnX&ZX5RYnZ7> con RY>Z7>, RY&Z7&

;olucin


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l tomar la transformadas Q de ambos miembros de la ecuacin en diferencias

dadas, se obtiene% Q5RYQZ Q5RY>Z QRY&Z X @QRYQZ @QRY>Z X 5RYQZ7>

l sustituir las condiciones iniciales y simplificar, se obtiene%

)or tanto, RYnZ7Y/&3\/53\Z9YnZ

Ejemplo 2 +esuelva la siguiente ecuacin en diferencias% RYnX5Z7RYnX&ZXRYnZ

-on RY>Z7>, RY&Z7&

;olucin l tomar la transformada Q de esta ecuacin en diferencias, se obtiene%

Q5RYQZ Q5RY>Z QRY&Z7QRYQZ QRY>Z X RYQZ. l resolver para RYQZ se obtiene%

l sustituir la condicin inicial se obtiene%

por tanto,

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