1

Unidad 1 – Matrices

PÁGINA 7

SOLUCIONES

1. La resolución de los sistemas puede expresarse de la forma siguiente:

La segunda matriz proporciona la solución x 5,y 6.= =

La última matriz proporciona la solución x y z2, 3, 4.= = =

2

2. Veamos que P P2 .= Para ello,

Las igualdades anteriores son debidas a:

(1) la definición de la potencia al cuadrado;

(2) la hipótesis PQ P;=

(3) la propiedad asociativa del producto;

(4) la hipótesis QP Q;=

(5) la hipótesis PQ P.=

3. La que indica las relaciones existentes en el grafo es:

3

PÁGINA 23

SOLUCIONES

1. Supongamos que la edad de la madre es de 39 años; imponiendo las condiciones del problema, obtenemos:

P H H H H P H H H H

P H H H H

1 2 3 4 1 2 3 4

1 2 3 4

393939 39 10101

37 13 7 3 1

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Luego si la madre tiene 39 años, el padre tiene 37 y los cuatro hijos tienen respectivamente, 13, 7, 3 y 1 años.

Observamos que si partimos de que la madre tiene 38 años obtenemos la misma respuesta, e igual que para 37, 36, 35 años. Es decir, independientemente de la edad de la madre, nos salen las edades del padre, 37 años, y las edades de los hijos: 13, 7, 3 y 1 años.

En general la madre tendrá xy años xy x y10= + años.

xyxyxyxyxyxy xy P H H H H P H H H H

xy1 2 3 4 1 2 3 4= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Ahora bien:

xyxyxy x y x y x y

xy x y

x y x y

x y x y

100000 10000 1000 100 10

10

101010 10101 10101(10 )10101

10 10

+ + + += =

+

+ += = =

+ +

Descomponemos 10 101 en factores y es: 10101 37 13 7 3 1= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Luego las edades serán:

Q H

H H

H

3

1 4

2

37años 3años

13años 1año

7años

= =

= =

=

4

2. Llamamos x, y a los números. Se debe cumplir que:

xx y x y

y+ = ⋅ =

Resolviendo:

xx y x yy

xxx y

xy x yy 2

1

1

+ = ⋅ ⇒ =

−⋅ = ⇒ = ⇒ = ±

Luego para x

yx

1 11

= + ⇒ =−

no tiene solución.

Para x

y xx

11 1

1 2= − ⇒ = − ⇒ =

−

La solución válida es: x y1

; 12

= = −

5

PÁGINA 28

6

SOLUCIONES

1. Realizando las operaciones indicadas y aplicando la igualdad de matrices, obtenemos:

Resolviendo el sistema, a 5, b 12, c 6, d 4.= = = − = −

2. La solución en cada caso queda:

a)

−

−=

−−+

−=+

11

15

21

04

30

11BA

b)

−−=

−

−−

−−−

−=−−

23

32

32

21

21

04

30

11CBA

c)

−−=

−

−−

−−−

−=−−

23

32

32

21

21

04

30

113 CBA

d) 1 1 4 0 4 0 1 2 5 2 4 8 9 6

0 3 1 2 1 2 2 3 3 6 5 8 8 2AB BC

− − − − − = ⋅ − ⋅ = − =

− − − − − − − − −

e) 1 1 4 0 1 1 1 2 4 0 1 2

2 3 5 2 3 50 3 1 2 0 3 2 3 1 2 2 3

AB AC BC− − − −

+ − = ⋅ + ⋅ − ⋅ = − − − − − −

−

−=

−

−−

−

−+

−−=

5549

3933

4025

4020

2718

33

126

410

3. Los productos quedan:

7

4. Los productos posibles son:

5. En general, las igualdades anteriores no son ciertas, ya que el producto de matrices no es conmutativo.

6. Encuentra todas las matrices, del orden correspondiente, que conmuten con las matrices siguientes:

=

10

11A y

−=

01

21B

Sea

=

dc

baX la matriz que conmuta con

=

10

11A . Debe cumplirse: XA AX=

=+

=

+=+

+=

⇔

++=

+

+⇔

⋅

=

⋅

=

ddc

cc

dbba

caa

dc

bbca

dcc

baa

dc

ba

dc

baX

10

11

10

11

Resolviendo el sistema, obtenemos

=

=

ad

c 0

Las matrices buscadas son de la forma

=

a

baX

0 con a y b números reales cualesquiera.

8

Sea

=

dc

baX la matriz que conmuta con

−=

01

21B . Debe cumplirse: XB BX=

−=

−=−

+=

+=−

⇔

−−

++=

−

−⇔

⋅

−=

−⋅

=

bc

adc

dba

caba

ba

dbca

cdc

bba

dc

ba

dc

baX

2

22

2

22

2

2

01

21

01

21

Resolviendo el sistema, obtenemos

−=

+−=

cb

dca

2

Las matrices buscadas son de la forma

−+−=

dc

cdcX

2 con c y d números reales

cualesquiera.

7. Llamamos A y B a las matrices numéricas que aparecen en cada uno de los sistemas. Resolvemos éstos por el método de reducción y obtenemos:

9

d)

1 13

3 2 21 1

1 32 2

2 2

x y A x A Bx y A

x y B x A By A B

+ = = − + =

⇔ ⇔ + = = − = − +

Por tanto,

−=

2/12/3

01X e

=

2/12/3

80Y

e)

+−=

+−=⇔

+−=

=−⇔

=−

=−

BAy

BAx

BAy

Byx

Byx

Ayx

2

3

2

32

Por tanto,

−−=

165

54X e

−−=

102

53Y

8. Las operaciones quedan:

a) ( )tC A 7 1⋅ = − b) t tA B

12 9

0 1

9 4

−

⋅ = −

c) tC C

8 4 12

2 4 2 6

12 6 18

⋅ ⋅ =

d) tB A C3

5

− ⋅ ⋅ =

−

9. Toda matriz cuadrada A puede expresarse de la forma t tA A A A

A2 2

+ −= + .

En la suma anterior, el sumando tA A

2

+ es una matriz simétrica y el sumando

2

tA A− es una

matriz antisimétrica.

Las descomposiciones pedidas son:

10

10. En cada uno de los dos casos queda del siguiente modo:

Calculamos las potencias sucesivas de A.

Observamos que las potencias de la matriz A se repiten de cuatro en cuatro. Así:

IAAIAIAAAA −==⋅=⋅=⋅==+⋅ 222122124212450 )(

AAIAIAAAA =⋅=⋅=⋅==+⋅ 24244124497 )(

La matriz 0

1

a

b

que conmuta con A cumplirá: 0 1 0 0 0 1

1 0 1 1 1 0

a a

b b

− − ⋅ = ⋅

Finalmente: 1 0

0 1

b a

a b

− − − =

− con 1 y 0.a b= =

11

PÁGINA 29

12

SOLUCIONES

11. Las triangulares equivalentes son:

13

12. Las inversas quedan del siguiente modo:

14

13. Despejamos la matriz X en la ecuación dada:

CXBACBXAX =−⇒=− )( y calculemos esta matriz X:

−=

−− 1

0

23

12

y

x

=

−=⇒

−=−−

=+

2

1

123

02

y

x

yy

yx donde la matriz X es:

−=

2

1X

14. Queda:

La matriz )(AB es

=

13

77

32

13

01

21

La matriz traspuesta de la anterior tAB)( es

17

37

La matriz inversa de la anterior 1)( −AB es

−

−

2/114/3

2/114/1

15. La solución queda:

La matriz B es

−

−

=

012

111

210

B

Resolvemos la ecuación:

−

−

=

−

−

036

333

630

012

111

210

ihg

fed

cba

Operando e igualando matrices obtenemos tres sistemas:

2 0 3

0 0

2 6 0

b c a

a b c b

a b c

− + = =

+ + = ⇒ = − + = − =

=

=

=

⇒

=+−

=++

−=+−

0

3

0

32

3

32

f

e

d

ed

fed

fe

=

=

=

⇒

=+−

=++

=+−

3

0

0

02

3

62

i

h

g

hg

ihg

ih

La matriz X viene dada por:

=

300

030

003

X

15

16. Queda del siguiente modo:

a) Rango de =

012

101Rango de 2

210

101=

−

b) Rango de =

−

240

101

120

Rango de 2

000

120

101

=

−

c) Rango de =

−

163

151

112

Rango de =

−−

−−

290

390

151

Rango de 3

100

390

151

=

−−

d) Rango de =

742

122

310

Rango de =

620

310

122

Rango de 2

000

310

122

=

17. Quedan:

a) Escribe tres matrices de dimensión 3x3 que tengan, respectivamente, rango 3, 2 y 1

Una matriz 3x3 de rango 3 es

1 1 0

1 0 1

0 1 1

A

=

. Tiene las tres filas independientes.

Una matriz 3x3 de rango 2 es

1 2 3

0 1 1

1 3 2

B

= −

. La fila tercera es suma de la primera y la

segunda.

Una matriz 3x3 de rango 1 es

1 2 1

4 8 4

5 10 5

C

−

= − − −

. La fila segunda es cuatro veces la

primera y la fila tercera es el producto de –5 por los elementos de la fila primera.

16

b) Escribe tres matrices 3x2 que tengan, respectivamente, rango 1, 2 y 3.

Una matriz 3x2 de rango 1 es

1 2

4 8

3 6

A

= − −

. La fila segunda es cuatro veces la fila primera y

la fila tercera es el producto de los elementos de la fila primera por –4.

Una matriz 3x2 de rango 2 es

1 2

1 0

0 2

A

= −

. La fila tercera es suma de los elementos de las

filas primera y segunda. Una matriz 3x3 de rango 3 no puede existir.

18. La solución queda:

Sean X, Y, Z tres matrices tales que es posible efectuar Zt – XY. ¿Es posible efectuar (Y · Z)t + X? Sea Z una matriz de dimensión (m x n) por tanto Zt tendrá por dimensión (n x m).

Para que sea posible efectuar la operación Zt – X Y las matrices X e Y tendrán por

dimensiones X ( n x p) e Y ( p x m). De este modo YZ es una matriz de dimensión (p x n) y (Y

Z )t será de dimensión (n x p) y como X es de dimensión (n x p) es posible efectuar la suma (Y

Z)t + X.

19. Quedan:

a) 100 pizzas de calidad extra necesitan 15 000 g de masa, 20 000 g de ingredientes y 25 000 g de queso; 120 pizzas de calidad superior necesitan 24 000 g de masa, 24 000 g de ingredientes y 24 000 g de queso, y 200 pizzas de calidad normal necesitan 50 000 g de masa, 30 000 g de ingredientes y 20 000 g de queso.

b)

=

€10,1

€45,1

€512,1

€75,2

€00,3

€50,1

100,0150,0250,0

200,0200,0200,0

250,0200,0150,0

Esta matriz nos da el precio de cada pizza extra, superior y normal, respectivamente.

17

PÁGINA 30

18

SOLUCIONES

20. Queda del siguiente modo:

El valor que hace que la última matriz sea la matriz nula es 1k = .

21. Operando en la ecuación matricial, obtenemos:

BAXBAXBAAXABAXABBA 12222 −=⇔=⇔=⇔+=+

Por tanto, la solución es la matriz BAX 12 −= .

Al ser

−−− 542

752

321

, la matriz buscada es la resultante de efectuar la operación:

−

−−

−−

=

−

−

−

−−−

==−

26144

32186

1482

110

101

211

542

752

321

22 1BAX

22. Queda:

19

23. Queda del siguiente modo:

24. Queda:

20

25. La solución es:

a)

=⋅

700233000239500286

000240500239500284MT

El elemento 11a de esta matriz representa el precio en euros que cobra la empresa 1E por llevar

el producto A a estos cuatro países.

El elemento 23a nos da el precio que cuesta transportar C con la empresa 2E .

b) La suma de los elementos de cada fila de esta matriz nos muestra la más barata y es la

empresa 2E .

26. Queda:

IIAAAIAIAIAIAIABBB =+−−=+−−=−⋅−=⋅= 224224)2()2( 222

Por tanto, la matriz 2B es la identidad.

27. Queda:

La matriz 1−B es

−

−

43

54

La matriz 2A es

=

−

−

−

−

90

09

30

03

30

03

La matriz 1−B 2A es

−

−

43

54

−

−=

3627

4536

90

09

La matriz 1−B 2A B es

−

−

3627

4536

=

−

−

90

09

43

54

28. La solución queda:

Sea a b

Ac d

=

la matriz que conmuta con 1 1

2 3X

− =

.

Debe cumplirse: AX XA= ⇔ 1 1 1 1

2 3 2 3

a b a b

c d c d

− − ⋅ = ⋅

21

Entonces:

2 3

2 3

a b a b

c d c d

+ − + =

+ − 2 3 2 3

a c b d

a c b d

− −

+ ⇔

2

3

2 2 3

3 2 3

a b a c

a b b d

c d a c

c d b d

+ = −

− + = −

+ = +− + = +

Resolviendo el sistema, obtenemos 2

2

c b

d a b

= −

= −

Las matrices buscadas son de la forma 2 2

a bA

b a b

=

− − con a y b números reales

cualesquiera.