Unidad 1 Introduccion Modelos Estocasticos

ICI2212 Modelos Estocsticos

Profesor Claudio C. Araya Sassi

Unidad 1: Introduccin a los Procesos Estocsticos

Curso Perodo Verano, Enero de 2015

Facultad de Ingeniera

Escuela de Industrias

Ingeniera Civil Industrial

Profesor

Claudio Christian Araya Sassi

Propietario y Gerente General MSC Management Science Consulting. Consultora y capacitacin en Optimizacin, Simulacin, Pronsticos, Ingeniera de Marketing y Strategic Management Science.

Ingeniero Civil Industrial, Universidad Tcnica Federico Santa Mara.

Master in Management Science, Universidad Adolfo Ibez.

Doctorado en Ingeniera Industrial, Pontificia Universidad Catlica de Valparaso (previsto 2016).

[email protected] www.managementscience.cl

2 Profesor MSc. Claudio Araya Sassi
mailto:[email protected]:[email protected]://www.managementscience.cl/

Programa

1. IDENTIFICACIN DE LA ASIGNATURA Curso : Modelos Estocsticos Cdigo : ICI2212 Tipo de actividad : Terico-Prctico Prerrequisitos : ICI2209 2. DESCRIPCIN DE LA ACTIVIDAD CURRICULAR Analizar los sistemas de gestin y operacin que presenten componentes probabilsticas o aleatorias, as como con presencia de elementos de incertidumbre y utilizando metodologas de simulacin y modelacin para la resolucin de problemas en ambientes complejos.

Profesor MSc. Claudio Araya Sassi 3

Programa

3. SENTIDO Y UBICACIN DE LA ASIGNATURA EN EL PLAN DE ESTUDIOS Se encuentra en el eje Gestin de Operaciones, en el que el alumno una vez aprobado el eje, se encontrar en condiciones de disear, dirigir y optimizar procesos productivos y de servicios, orientado a la creacin de valor en la organizacin con especial atencin en la calidad, aplicando su dominio en herramientas de simulacin, heursticas para la solucin de problemas, construccin de modelos determinsticos y estocsticos de optimizacin, imprimiendo siempre en su accionar un sello de responsabilidad social y de respeto por el medio ambiente.


Programa

4. APRENDIZAJES ESPERADOS

El estudiante desarrollar aprendizajes que le permitirn: 1. Comprender de manera general y especfica sistemas de gestin y

operacin que presenten componentes probabilsticas o aleatorias, as como con presencia de elementos de incertidumbre.

2. Comprender y modelar sistemas en los cuales sus componentes

interactan a travs del tiempo de acuerdo a comportamientos aleatorios.

3. Modelar y resolver problemas reales de operacin y gestin de sistemas que presentan componentes probabilsticos o aleatorios.


Programa

5. CONTENIDO

Unidad 1: Introduccin a los Procesos Estocsticos (10%)

Definicin de incertidumbre Ejemplos de sistemas con incertidumbre Definicin y caractersticas bsicas de Procesos Estocsticos Enfoques de modelacin (modelos analticos y simulacin)

Unidad 2: Repaso Probabilidad y Estadsticas (12%)

Funciones de distribucin de probabilidades Esperanza, varianza y momentos Probabilidades y Esperanza condicionales


Programa

5. CONTENIDO Unidad 3: Proceso de Poisson: (12%)

Definicin y propiedades del proceso Ejemplos de proceso de Poisson Distribucin de probabilidades del proceso Distribucin de los tiempos entre eventos Distribucin condicional de los tiempos entre llegadas. Descomposicin del proceso de Poisson y proceso de Poisson compuesto.

Unidad 4: Proceso de Renovacin (12%) Definicin, distribucin de probabilidades del proceso Polticas de mantencin y reemplazo Comportamiento del proceso en el largo plazo

Unidad 5: Cadenas de Markov en Tiempo Discreto (12%) Definicin, propiedades, probabilidades de transicin, Ecuaciones de Chapman-Kolmogorov Distribucin de probabilidades Clasificacin de estados, anlisis del estado transiente Anlisis en el largo plazo, distribucin lmite


Programa

5. CONTENIDO

Unidad 6: Cadenas de Markov en Tiempo Continuo (12%)

Definicin y propiedades Tiempos de permanencia y probabilidades de transicin Ecuaciones de Chapman- Kolmogorov Anlisis en el largo plazo, ecuaciones de equilibrio Procesos de nacimiento y muerte.

Unidad 7: Sistemas de Espera (30%)

Introduccin a los problemas de sistemas de espera. Indicadores de Performance de un sistema Sistemas M/M/1 Frmula de Little. Otros Sistemas: M/M/1/K, M/M/C. M/G/1. Sistemas con servicio dependiente del estado, llegadas en lotes. Redes de Sistemas de Espera


Programa

6. EVALUACIN La nota de presentacin a examen se calcular como sigue: Promedio de Solemnes (2) = 70% Tarea = 30% Ponderacin final: Nota presentacin a examen = 70% Nota examen = 30% La nota de eximicin del examen es 5.0 sin rojos, 5.5 con un rojo. Asistencia a clases: Se exigir una asistencia del 87%, esto es, 13 das de los 15 das en total. Los alumnos que no cumplan con esta norma quedarn automticamente reprobados.


Programa

7. BIBLIOGRAFA OBLIGATORIA: Ttulo: Introduccin a la Investigacin de Operaciones. Autor: Hillier y G.J. Lieberman Editorial: McGraw-Hill, 1982 COMPLEMENTARIA: Ttulo: Modelos Estocsticos para la Gestin de Sistemas Autor: P. Gazmuri Editorial: Ediciones Universidad Catlica, 1994.


Programacin

ID Fecha (Enero de 2015) Contenidos

1 Lunes 5

Unidad 1: Introduccin a los Procesos Estocsticos (10%) Definicin de incertidumbre Ejemplos de sistemas con incertidumbre Definicin y caractersticas bsicas de Procesos Estocsticos Enfoques de modelacin (modelos analticos y simulacin)

TAREA

2 Martes 6

Unidad 2: Repaso Probabilidad y Estadsticas (12%) Funciones de distribucin de probabilidades Esperanza, varianza y momentos Probabilidades y Esperanza condicionales

3 Mircoles 7

Unidad 3: Proceso de Poisson: (12%) Definicin y propiedades del proceso Ejemplos de proceso de Poisson Distribucin de probabilidades del proceso

4 Jueves 8

Distribucin de los tiempos entre eventos Distribucin condicional de los tiempos entre llegadas. Descomposicin del proceso de Poisson y proceso de Poisson compuesto.

5 Viernes 9 LABORATORIO 1 (Unidades 2 y 3)


Semana 1

ID Fecha (Enero de 2015) Contenidos

6 Lunes 12 Unidad 4: Proceso de Renovacin (12%)

Definicin, distribucin de probabilidades del proceso

7 Martes 13 Polticas de mantencin y reemplazo Comportamiento del proceso en el largo plazo

8 Mircoles 14

SOLEMNE 1 (Unidades 1 -2-3-4) Unidad 5: Cadenas de Markov en Tiempo Discreto (12%)

Definicin, propiedades, probabilidades de transicin, Ecuaciones de Chapman-Kolmogorov

9 Jueves 15

Distribucin de probabilidades Clasificacin de estados, anlisis del estado transiente Anlisis en el largo plazo, distribucin lmite

10 Viernes 16 ENTREGA SOLEMNE 1 LABORATORIO 2: Unidades 4 y 5


Programacin

Semana 2

ID Fecha Contenidos

11 Lunes 19 Unidad 6: Cadenas de Markov en Tiempo Continuo (12%)

Definicin y propiedades Tiempos de permanencia y probabilidades de transicin

12 Martes 20 Ecuaciones de Chapman- Kolmogorov Anlisis en el largo plazo, ecuaciones de equilibrio Procesos de nacimiento y muerte.

13 Mircoles 21

SOLEMNE 2 (Unidades 5,6 y 7) Unidad 7: Sistemas de Espera (30%)

Introduccin a los problemas de sistemas de espera. Indicadores de Performance de un sistema Sistemas M/M/1

LABORATORIO 3: Unidades 6 y 7

14 Jueves 22

Frmula de Little. Otros Sistemas: M/M/1/K, M/M/C. M/G/1. Sistemas con servicio dependiente del estado, llegadas en lotes. Redes de Sistemas de Espera

15 Viernes 23 ENTREGA TAREA ENTREGA SOLEMNE 2


Programacin

Semana 3

Definicin de incertidumbre


En los problemas de toma de decisiones, con frecuencia surge la necesidad de tomar decisiones basadas en fenmenos que tienen incertidumbre asociada a ellos. Esta incertidumbre proviene de la variacin inherente de las fuentes que la provocan y que eluden el control o proviene de la inconsistencia de fenmenos naturales. En lugar de manejar esta variabilidad como cualitativa, puede incorporarse a un modelo matemtico y manejarse en forma cuantitativa. En general, este tratamiento se puede lograr si el fenmeno natural muestra un cierto grado de regularidad, de forma que sea posible describir la variacin mediante un modelo probabilstico. Los procesos que evolucionan en el tiempo de una manera probabilstica son llamados Procesos Estocsticos, los cuales pueden ser descritos mediante un modelo probabilstico.

Ejemplos de sistemas con incertidumbre


Sistemas de Inventarios

Orgenes del material

Localizaciones del inventario

Productos terminados En

vo

Inventarios en proceso

Recep

ci

n

Materiales en Produccin

Transporte de entrada

Produccin Transporte de salida

Almacenamiento de productos terminados

Clientes



Determinacin de la cantidad ptima de pedido




Control de Punto de Reorden con Demanda Incierta o Estocstica

PRO

Ca

ntid

ad d

isp

on

ible

0

Q

Q

Recepcin del pedido

Colocacin del pedido

Falta de existencias

LT Tiempo

LT

DDLT

P



Sistemas de servicio (Teora de colas)

Tiempo entre llegadas es estocstico Tiempo de servicio aleatorio



Sistemas logsticos

Distribuidor

Transporte de salida

Transporte de entrada

Punto de agrupacin

Proveedor

X s p p 1 0 1 2

, .

X s i i 4 1 0 2

, .

X s o o 2 0 25 2

, .

Tiempo de procesamiento

Tiempo de transporte

Tiempo de transporte



Sistemas Productivos (tiempos de detenciones atribuibles a fallas de equipos)


ti (n+1) tf (n+1) tf (n) ti (n) ti (n+2)

T1 (n) T2 (n) T3 (n+1) T2 (n+1)

Downtime Downtime Uptime Uptime

Falla n Falla n+1


Sistemas Productivos (tiempos de detenciones atribuibles a fallas de equipos)



Sistemas Productivos (Levantamiento de Cuellos de botella)


Elementos de Sistemas y Modelos


Sistema: Una coleccin de entidades (gente, partes, mensajes, mquinas, servidores, ) que actan e interactan juntos hacia algn fin (Schmidt and Taylor, 1970)*

En la prctica, depende de los objetivos de estudio Podra limitar los lmites (fsicos y lgicos) del sistema Juicio: nivel de detalle (e.g., qu es una entidad?) Usualmente asume un elemento de tiempo sistema dinmico

Estado de un sistema: Coleccin de variables y sus valores necesarios para describir el sistema en un tiempo determinado.

Podra depender de los objetivos deseados, medidas de desempeo de resultados Modelo de Banco: Podra incluir nmero de cajeros ocupados, tiempo de arribo de cada cliente, etc.

* Simulation and Analysis of Industrial Systems, Richard D. Irwin, Homewood, Illinois.


Tipos de Sistemas

Discretos

o Variables de estado cambian instantneamente en puntos separados en el tiempo.

o Modelo de Banco: Cambios de estado ocurren slo cuando un

cliente llega o parte.

Continuos

o Variables de estado cambian continuamente como una funcin del tiempo.

o Vuelo de avin: Variables de estado como la posicin y

velocidad cambian continuamente.

Elementos de Sistemas y Modelos

Procesos Estocsticos


Definicin

Coleccin indexada de variables aleatorias

caracterstica de inters medible en el tiempo o estado del proceso en el tiempo

Por ejemplo, el proceso estocstico puede representar:

Niveles de inventario semanales (o mensuales) de un producto dado Demandas semanales (o mensuales) de este producto Tiempo entre llegadas a un sistema de espera Tiempos de detenciones por fallas imprevistas de un equipo


Procesos Estocsticos en tiempo discreto Definicin

Coleccin indexada de variables aleatorias El conjunto de ndices es un conjunto contable y Ejemplos

Procesos Estocsticos en tiempo continuo Definicin

Coleccin indexada de variables aleatorias El conjunto de ndices es un conjunto continuo y Ejemplos



Cualquier realizacin de es llamada una trayectoria muestral. En cada instante de tiempo tenemos una variable con un comportamiento aleatorio. Una conjunto o secuencia de realizaciones de dichas variables en un conjunto de instantes definir una trayectoria. Si se repiten diferentes secuencias de realizaciones de la variable en estudio, se podr obtener diferentes trayectorias. La trayectoria en s posee un comportamiento estocstico.



Si generamos cientos de trayectorias o secuencias de realizaciones se genera una nube de trayectorias



En cada instante t, tendramos una media y una varianza Existe una distribucin de probabilidades en cada instante del tiempo, la cual estamos interesados en conocer y estudiar cmo cambia la distribucin de probabilidades en el tiempo? cambia el tipo de funcin de distribucin?


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