UNIDAD 1: Aritmética

CONCEPTOS BÁSICOS: Números Naturales

Para empezar …sabías que…

Los números naturales tienen su origen en una necesidad tan antigua como lo son las primeras civilizaciones:

la necesidad de contar.

El hombre primitivo identificaba objetos con características iguales y podía distinguir entre uno y otro; pero no le era posible captar la cantidad a simple vista.

Por ello empezó a representar las cantidades mediante marcas de huesos, trozos de madera o piedra; cada marca representaba un objeto observado. Así concibió la idea del número.

Son un conjunto de números de la forma:

= {1, 2, 3, 4, 5,…}

Los Números Naturales ( )

Dicho de otra forma, cualquier número mayor que cero y sin decimales, es un número natural. Como por ejemplo:

A continuación aprenderemos algunas propiedades de los números naturales:

20137

2938484738271920

1000000000999999999

Consecutividad numérica

Todo número natural tiene un sucesor, y se obtiene sumando 1 al número, es decir:

Sucesor:

Si n pertenece a , su sucesor será n + 1.

Por ejemplo:

Número naturaln

Sucesor (natural)n+1

35 36

1238 1239237485 237486

1000000000 1000000001999999 1000000

Es decir, si n es un número natural.

n - 1 n + 1n

Naturales Consecutivos

Antecesor:

antecesor sucesor

0

Si n pertenece a , su antecesor será n – 1.

Todo número natural (exceptuando el 1), tiene un antecesor, y se obtiene al restar 1 al número, es decir:

Número naturaln

Sucesor (natural)n-1

35 341238 1237

237485 2374841000000000 999999999999999 999998

Por ejemplo:

En resumen, podemos visualizar los números naturales como todos los números sin decimales a la derecha del cero en la recta numérica:

Paridad e imparidad de los números naturales

Los Números Pares {2, 4, 6, 8, 10……, 2n} Son de la forma 2n, siendo n cualquier número natural.

Sucesor par: Se obtiene sumando 2 al número. Si el número es 2n, entonces su sucesor es

2n+2.

Antecesor par: Se obtiene restando 2 al número. Si el número es 2n, entonces su antecesor es 2n-2.

2n - 2 2n + 22nAntecesor par Sucesor par

Este tema en realidad es muy fácil de comprender. Sin embargo, el hecho de incluirlo como tema de estudio en esta unidad es para mostrarte lo fácil que pueden ser las matemáticas si comienzas por el principio.

Son de la forma 2n-1, siendo n un número natural

Números Impares {1, 3, 5, 7, 9…… ,2n-1}

Se obtiene sumando 2 al número. Si el número es 2n-1, entonces su sucesor es 2n +1.

Sucesor impar:

Antecesor impar:

2n - 3 2n2n -1Antecesor impar Sucesor impar

Se obtiene restando 2 al número. Si el número es 2n-1, entonces su antecesor es 2n -3.

Haz la prueba con cualquier número par o impar y comprobarás que las fórmulas son exactas. También puedes comprobar que la suma de dos números pares o dos números impares, da siempre como resultado un número par.

2n - 2 2n + 1

Divisores:

Por ejemplo: Los divisores de 24 son los números que lo dividen exactamente: {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24}

Nota: El 5, el 7 y todos los que faltan en la lista, no son divisores de 24, ya que, por ejemplo, al dividir 24 por 5 resulta 4.8 (La división no es exacta)

Múltiplos:

Por ejemplo: 5, 10, 15, 20 son múltiplos de 5, los cuales se obtienen de multiplicar 5x1, 5x2, 5x3 y 5x4, respectivamente.

Múltiplos y DivisoresSe llama “múltiplo” de un número, a aquel que se obtiene al multiplicar dicho número por otro cualquiera.

Se llama “divisor” de un número a aquel que lo divide exactamente.

(Es decir, cabe en él una cantidad exacta de veces)

Te gustaría resolver divisiones entre números

muy grandes sin la necesidad de usar la calculadora????

En el siguiente tema descubrirás la forma de hacerlo.

Criterios de

divisibilidad

Por ejemplo:

20, 12, 114, 336 y 468 son divisibles entre 2, ya que terminan en 0,2,4, y 8, respectivamente

Un número entero es divisible entre 2 si termina en 0,2,4, u 8. Los números divisibles entre 2 se llaman pares.

Nos permiten visualizar cuándo un número es divisible entre otro sin efectuar la división. A continuación se enuncian algunos de ellos:

Divisibilidad entre 2.

Criterios de

divisibilidad

Por ejemplo:

51 es divisible entre 3, ya que 5+1=6 y 6 es múltiplo de 3486 es divisible entre 3, ya que 4+8+6=18 y 18 es múltiplo de 3

Un número entero es divisible entre 3 si la suma de sus dígitos es un múltiplo de 3.

Divisibilidad entre 3.

Criterios de

divisibilidad

Por ejemplo:

900 es divisible entre 4, porque termina en doble 0628 es divisible entre 4, porque 28 es múltiplo de 4

Un número entero es divisible entre 4 si sus últimos dos dígitos son 0 o un múltiplo de 4.

Divisibilidad entre 4

Criterios de

divisibilidad

Por ejemplo:

5215 y 340 son divisibles entre 5, ya que terminan en 5 y 0, respectivamente.

Un número entero es divisible entre 5 si su último dígito es 0 o 5.

Divisibilidad entre 5

Criterios de

divisibilidad

Por ejemplo:

216 es divisible entre 2, ya que termina en 6, y es divisible entre 3, porque la suma de sus dígitos es múltiplo de 3. Por lo tanto, 216 es divisible entre 6. 9000 es divisible entre 6, ya que es divisible entre 2 y 3.

Un número entero es divisible entre 6 si a su vez es divisible entre 2 y 3.

Divisibilidad entre 6

Criterios de

divisibilidad

Por ejemplo:

315 es divisible entre 7, ya que 5x2=10 y 31-10=21 y 21 es múltiplo de 7.147 es divisible entre 7, porque 7x2=14 y 14-14=0.

Un número entero es divisible entre 7, cuando al multiplicar el último dígito entre 2 y restar el producto al número que se forma con los dígitos restantes, la diferencia es 0 o múltiplo de 7.

Divisibilidad entre 7

Criterios de

divisibilidad

Por ejemplo:

6000 es divisible entre 8, ya que sus últimos 3 dígitos son 03160 es divisible entre 8, porque sus últimos 3 dígitos, 160, forman un múltiplo de 8.

Un número entero es divisible entre 8, cuando sus 3 últimos dígitos de la derecha son 0 o forman un múltiplo de 8.

Divisibilidad entre 8

Criterios de

divisibilidad

Por ejemplo:

1233 es divisible entre 9, ya que 1+2+3+3=9 y 9 es múltiplo de 9.6786 es divisible entre 9, ya que 6+7+8+6 = 27 y 27 es múltiplo de 9

Un número entero es divisible entre 9 si la suma de sus dígitos es un múltiplo de 9.

Divisibilidad entre 9

Criterios de

divisibilidad

Por ejemplo:

360 es divisible entre 10, porque su último dígito es 0 2500 es divisible entre 10, ya que su último dígito es

0

Un número entero es divisible entre 10 si su último dígito es 0.

Divisibilidad entre 10

Son aquellos números que son divisibles única y exclusivamente por 1 y por sí mismos.

Entre ellos se encuentran: {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29…}

Nota: El 1 no es considerado número primo

144144 / 2 = 72

72 / 2 = 36

36 / 2 = 18

18 / 2 = 2

9 / 3 = 3

3 / 3 = 1

72

36

18

9

3

1

2

2

2

2

3

3

Por lo tanto, 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 = 144

Ejemplo: Expresar 144 como el producto de sus factores primos.

La descomposición de un número en sus factores primos se realiza expresándolo como el producto de sus factores primos.Para obtenerlo, se divide el número entre el menor divisor primo posible, el cociente que se obtiene se vuelve a dividir entre el menor divisor primo posible, y así sucesivamente hasta que el último cociente sea 1.

Los Números Primos

Descomposición en Factores Primos

Mínimo Común Múltiplo El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números, corresponde al menor de los múltiplos que tienen en común.

Ejemplo: Algunos múltiplos de 3 son:

{3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36,…, 60}

Algunos múltiplos de 6 son:

{6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48…, 60}

Algunos múltiplos de 15 son:

{15, 30, 45, 60, 75,…}

El m.c.m. entre 3, 6 y 15 es 30. (Dentro de los múltiplos que tienen en común, 30 es el menor)

Máximo Común Divisor El máximo común divisor (M.C.D.) de dos o más números, corresponde al mayor número que los divide simultáneamente.

Ejemplo:

-Los divisores de 36 son:

{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}

-Los divisores de 18 son:

{1, 2, 3, 6, 9, 18}

-Los divisores de 24 son:

{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}

El M.C.D. entre 36, 18 y 24 es 6. (Dentro de los divisores que tienen en común, 6 es el mayor)

Ejemplos sobre el cálculo del mcm y MCD

Determinar el mcm de 4 y 6

Múltiplos de 4: 4,8,12,16,20,24,28,32,36,…Múltiplos de 6: 6,12,18,24,30,36,42,48,54,…

Los múltiplos comunes son: 12,24,38,48,…

El menor de todos los múltiplos en común es 12

Por lo tanto, el mcm es 12

m.c.m. = 3 ∙ 2 ∙ 5 =30

3 6 15 34 2 5 2 1 5 5 1

Se descomponen simultáneamente en factores primos hasta que los cocientes sean 1. Si alguno de los números no es divisible entre el factor dado, se baja y se continúa hasta encontrar el factor primo que lo divida. El producto de los factores primos corresponde al m.c.m.

El m.c.m. entre 3, 6 y 15 se puede obtener también a través del siguiente método:

Determinar el mcm de 28 y 42

28 42 2

14 21 2

7 21 3

7 7 7

1 1

28/2 = 14 42/2=21

14/2= 7 21/2=No es divisible y solo se baja

7/3=No es divisible y solo se baja 21/3= 7

7/7 = 1 7/7=1

2 * 2* 3* 7 = 84

El mcm de 28 y 42 es 84

Obtener el MCD de 18 y 24

Los divisores de 18 son: 1,2,3,6,9 y 18Los divisores de 24 son: 1,2,3,4,6,8,12 y 24

Los divisores comunes son 1,2,3 y 6El mayor de los divisores es 6

Por lo tanto, el MCD de 18 y 24 es 6

El M.C.D. entre 36, 18 y 24 se puede obtener a través del siguiente método:

36 18 24 218 9 12 3 6 3 4

Se divide por números primos que sean divisores de cada número, hasta que ya no se pueda dividir a todos en forma simultánea. Cada factor debe dividir a todos los números a la vez.

M.C.D. = 2 ∙ 3 = 6

Obtener el MCD de 48,36 y 60

48 36 60 2

24 18 20 2

12 9 15 3

4 3 5

Se hace lo mismo que para el mcm. Recuerda que estos números deben ser siempre números primos.

En este caso, 4,3 y 5 no tienen divisores primos en común. Así que

2 * 2 * 3 = 12

Por lo tanto, el MCD de 48, 36 y 60 es 12.