Unidad 1 Algebra Superior.conj Num yEsp. Vect. RosaDePena

Algebra Superior

Rosa De Pena

Conjuntos Numéricos Espacio Vectorial

Unidad - 1

Índice

1.1 Conjuntos Numéricos ......................................................... 1

1.2 Propiedades De Los Numeros Reales ............................ 5

1.3 Definición de Campo Numérico ...................................... 11

1.4 Definición de Vector ......................................................... 15

1.5 El conjunto Rn es una generalización de R

2, .................. 17

1.6 Vector Cero o Vector Nulo. ............................................ 17

1.7 Demostrar que Rn define un Espacio Vectorial ............ 18

1.8 Igualdad de Vectores ......................................................... 19

1.9 Vector Opuesto de un Vector Dado ................................. 20

1.10 Operaciones con Vectores .............................................. 20

1.10.1 Suma o Adición ......................................................... 20

1.10.2 Diferencia ................................................................... 20

1.10.3 Producto de un Vector por un Escalar K ................ 21

1.10.4 Producto Escalar o Producto Interno o Producto Punto

............................................................................................... 21

1.11 Definición de Vector Asociado ....................................... 22

1.12 Norma, Longitud o Tamaño de un Vector .................... 24

1.13 Angulo entre dos Vectores ............................................ 26

1.14 Vector Unitario con el mismo sentido de un vector dado

................................................................................................... 27

BILIOGRAFIA CONSULTADA .............................................. 28

1

Algebra Superior Rosa De Peña


Unidad - 1

1.1 Conjuntos Numéricos

Los conjuntos numéricos fueron estudiados en cursos anteriores. Sin embargo, exponemos

a continuación algunos conceptos breves sobre los mismos.

El ser humano aprendió a contar antes de aprender a escribir, como lo hicimos la mayor parte

de nosotros. Los números naturales N = {0, 1, 2, 3, 4, ... } entraron a nuestro vocabulario

antes de ir a la escuela. Estos números, resultado de la más elemental y primera operación

matemática realizada por el hombre, vienen a satisfacer la necesidad de cuantificar (contar y

ordenar).

Se representan los Números Naturales como: N= { 0, 1, 2, 3, 4, .... }

Al referirnos a las propiedades del Conjunto de los Números Naturales podemos decir:

1. Es ordenado. Esto significa que entre sus elementos podemos establecer la relación de

menor/mayor que ( <, > ) .

2. A todo número natural siempre le sigue un número natural.

3. Es ilimitado, en el sentido de que no hay un último número natural

4. Entre dos números naturales consecutivos no existe ningún otro número natural.

Ley de composición interna definida en un conjunto no vacío A es una función

AxA A . Es una relación que asigna a determinadas parejas del conjunto AxA un

elemento único de A. Una operación interna en un conjunto no vacío A, es una aplicación

en AxA A. Una operación binaria puede ser unaria, binaria, ternaria…

En el Conjunto de los Números Naturales N se les llama Operaciones Naturales a aquellas

que son internas en dicho conjunto. Las operaciones naturales son la suma (+) y la

multiplicación (x). Son operaciones binarias en N porque operan sobre dos números naturales

cualesquiera y cerradas porque al operar con números naturales, el resultado es siempre un

número natural.

Al usar una calculadora debemos seguir una secuencia específica para realizar las operaciones

de suma y de multiplicación.

Ejemplos.

1 + 3 = 4 En este caso 1, 3 son sumandos y 4 es la suma o total.

8 + 20 = 28 Para este ejemplo 8, 20 son sumandos y 28 es la suma o total.

2(3) = 6 En la operación planteada 2, 3 son factores y 6 es el producto.

8(20) = 160 Para este ejemplo 8, 20 son factores y 160 es el producto.

Sin embargo, al plantear la operación de Sustracción con los números naturales encontramos

que no siempre la sustracción entre dos números naturales es otro número natural, tal como

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Unidad - 1

ocurre cuando en una sustracción [a – b] el minuendo “a” es menor que el sustraendo “b”.

Enfrentándose a este problema, los matemáticos se vieron en la necesidad de ampliar el

concepto de números naturales, inventándose una colección de números nuevos

= { ... ,4, 3, 2, 1}, llamados Enteros Negativos.

Los Enteros Negativos junto con los Números Naturales forman el conjunto de los Números

Enteros .

Así,

= { ... , 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, ... }

Entre las propiedades del Conjunto de los Números Enteros Z podemos señalar:

a) Es un conjunto ordenado e ilimitado en ambos sentidos.

b) Entre dos números enteros consecutivos no existen otros números enteros.

c) A todo número entero antecede siempre otro número entero.

d) A todo número entero le sigue otro número entero.

e) No hay un primer ni un último número entero.

En la escritura de un número entero identificamos dos partes:

1) Su sentido que será positivo (+) o negativo (-), exceptuando el cero, al cual no se le

atribuye sentido alguno.

2) Su módulo o valor absoluto, el cual queda definido de la siguiente forma:

a = a , si a > 0 ó a = 0

a= - a , si a < 0

La suma, la resta y la multiplicación son operaciones internas en , por lo que se les llama

Operaciones Enteras.

Ejemplos

3 - 5 = - 2 En este caso 3 es el minuendo, 5 es el sustraendo y -2 resto o

diferencia.

2 x ( - 4 ) = - 8

Entre tanto, veamos que a pesar de su belleza y utilidad, los números enteros padecen de un

serio defecto: no siempre el cociente entre dos números enteros es otro número entero. Al

plantear en el conjunto , la división de un entero entre un entero distinto de cero puede

resultar otro entero, o por el contrario, una “expresión fraccionaria”. Para que esta última

tenga sentido, es necesario agrandar nuestro sistema de numeración. Este nuevo número que

amplia el conjunto y hace posible la división de q

p siendo q 0 , lo llamaremos

Número Racional y podemos definirlo como aquel que se expresa como el cociente entre

dos números enteros.

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Unidad - 1

El Conjunto de los Números Racionales lo llamaremos Q. Cuando un número racional se

presenta como el cociente indicado entre dos números enteros, se dice que está en la forma

fraccionaria. Si en cambio se realiza la división decimal indicada, al cociente obtenido le

llamaremos forma o expresión decimal.

Al hallar la expresión decimal de un número racional puede ocurrir que la división sea exacta

o que no lo sea, apareciendo en el cociente a partir del punto decimal, una cifra o un ciclo de

cifras que se repiten periódicamente, originándose dos casos: periódicos puros y periódicos

mixtos.

Ejemplos

Decimal exacto: a) 75.04

3 b) 875.0

8

7

Decimal periódico puro: a) ...666.06

1 b) ...090909.0

11

1 c) ...3131.2

99

229

Decimal periódico mixto: a) ...42323.0990

419

Al efectuar la división: 4

36

4

27 27 = (4)(6) +3

27 es el dividendo, 4 es el divisor , 6 es el cociente y 3 es el resto.

La división es exacta cuando el resto es cero. Decimos que es inexacta cuando el resto

no es cero.

El conjunto de los Números Racionales Q incluye al conjunto de los Números Enteros y el

conjunto de los Números Fraccionarios.

El conjunto de los Números Racionales es ordenado e ilimitado. No existe un primer ni un

último número racional. En el conjunto Q no existen elementos consecutivos, ya que entre

dos números racionales cualesquiera pueden intercalarse infinitos números racionales. Esta

propiedad se conoce como Densidad del Conjunto de los Números Racionales.

Existen otros números que no pertenecen al conjunto de los Números Racionales. Estos

números que no pueden expresarse por el cociente entre dos enteros o que expresados en

forma de fracción tienen infinitas cifras decimales que no se repiten periódicamente son

los llamados Números Irracionales (Q’).

Un Número Irracional es un número decimal de infinitas cifras no periódicas.

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Unidad - 1

Ejemplos

Indicamos a continuación elementos de Q’:

2 = 1.414213562... 5 = 2.2360679... 3 7 = 1.912931183... 5 17 =1.762340348... log 2 = 0. 3010299957...

sen 70º = 0. 9396926207859... = 3.14159...

La unión de los conjuntos de los números racionales e irracionales forman el conjunto de los

Números Reales (R). Simbólicamente se expresa así:

R = Q U Q’

Un número real es una expresión decimal infinita, la cual podemos hacer corresponder con

un punto de una recta numérica. Esa correspondencia biunívoca entre los números reales y los

puntos de una recta numérica, llamada por esta razón eje real, se atribuye al matemático

francés René Descartes.

5



Unidad - 1

1.2 Propiedades De Los Numeros Reales

La suma, resta, multiplicación y la división [p /q siendo q0] son operaciones internas en el

conjunto de los Números Reales.

En el conjunto R no existen elementos consecutivos, ya que entre dos números reales

cualesquiera pueden intercalarse infinitos números reales (Propiedad de densidad del

conjunto de los números reales).

Resumiremos a continuación las propiedades de las operaciones o de la aritmética de los

números reales, en donde las letras a, b, c se pueden sustituir por números reales

arbitrarios:

A) Adición. A.1) a+b es un número real único. Ley Uniforme (Operación Interna).

R es cerrado para la adición.

A.2) (a + b) + c = a + (b + c) Ley Asociativa.

A.3) a + 0 = 0 + a = a Ley de la Identidad

El elemento neutro de la operación interna Suma en R es el cero

(Elemento Neutro Aditivo)

A.4) a + (-a) = (-a) + a = 0 Ley del Opuesto (Inverso Aditivo)

A.5) a + b = b + a Ley Conmutativa

B) Multiplicación.

B.1) a x b es un número real único. Ley Uniforme (Operación Interna).

R es cerrado para la multiplicación.

B.2) (a x b) x c = a x (b x c) Ley Asociativa.

B.3) a x 1 = 1 x a = a Ley de la Identidad.

El elemento neutro de la operación interna multiplicación en R es el uno (1).

El uno (1) es el elemento neutro multiplicativo.

B.4) a

a

1= 1

1

a

a para a 0 Ley del Recíproco

(Inverso Multiplicativo)

B.5) a x b = b x a Ley Conmutativa.

B.6) a x (b+c) = a x b + a x c Ley Distributiva de la Multiplicación

con relación a la Adición.

La resta y la división no son operaciones conmutativas ni asociativas.

Debemos recordar que:

La operación de:

Resta origina los números negativos.

División origina los números fraccionarios.

Radicación de índice par y cantidad subradical negativa da origen a los números

imaginarios.

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Unidad - 1

Regla de los signos en el producto de dos números reales:

(+) (+) = +

(-) (-) = +

(+) (-) = -

(-) (+) = -

Hay, entretanto, muchos problemas que no se pueden resolver con el uso solamente de los

números reales. Tal es la situación que se presenta al enfrentarse a ecuaciones sencillas como

x2 + a = 0, en donde hágase lo que se haga, nunca se podría resolver dentro del conjunto de

números reales. Las potencias de exponentes irracionales, los logaritmos de números

negativos y la correspondencia entre números y los puntos del plano. Fue el matemático

Carlos Federico Gauss que designó a estos números por complejos y los represento en los

ejes cartesianos. Hamilton desarrolla la teoría de números complejos a través del

concepto de par ordenado. J. R. Argand hace la representación de complejos como

coordenadas polares.

Con el objeto de poder manejar tales situaciones se introduce ó se crea el nuevo símbolo i =

1 , llamado unidad imaginaria, el cual satisface i 2 = -1.

A partir de la introducción de la unidad imaginaria, también se crean expresiones de la forma:

a + bi , en donde “a” y “b” son números reales, llamándoseles Números Complejos.

Decimos que “a” es la parte real y “bi” la parte imaginaria de: a + bi .

Los Números Complejos constituyen una ampliación genuina de los Números Reales. Estos

incluyen a los números reales, ya que todo número real “a” se puede escribir como a + 0i .

También los Números Complejos (a + bi) se presentan como imaginarios puros, cuando “a =

0”, resultando: 0+ bi, donde “b” es cualquier número real. Un numero complejo es un par ordenado(a, b) de números reales que cumplen con la

condición de:

Igualdad [ (a, b) = (c, d) ] [ ( a = c) ( b = d)]

Suma [ (a, b) + (c, d) ] = ( [ a + c] , [ b + d] )

Multiplicación [ (a, b)(c, d) ] = ( [ a c-bd ] , [ ad+ bc] )

Propiedades que se verifican en el conjunto de los Números Complejos:

Es infinito.

No posee primer elemento

No es ordenado. La relación de menor o mayor que no puede ser establecida entre

números complejos.

No se les puede atribuir ningún signo.

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Unidad - 1

Distintas formas de representación de un número complejo:

a) Par ordenado : (a, b)

b) Binómica : a + bi

c) Modulo argumental o polar : P

d) Trigonometrica : P ( cos + i sen )

Relaciones entre los números complejos:

Complejos iguales.

En la forma de par ordenado o binomica cuando a partir de dos complejos dados sus

componentes correspondientes son iguales.

En el caso de forma polar o Trigonometrica si sus módulos son iguales y sus argumentos

difieren en 360 0 , o un múltiplo de este valor.

Complejos opuestos.

En la forma de par ordenado o binomica cuando sus componentes poseen el mismo

valor absoluto y difieren en signos.


difieren en 180 0 , o un múltiplo de este valor.

Complejos conjugados.

En la forma de par ordenado o binomica cuando sus componentes se diferencian

únicamente en el signo de la segunda componente.


suman 360 0 , o un múltiplo de este valor.

Operaciones con Números Complejos.

Adición: ( a + bi ) + ( c +di ) = ( a + c) + ( b + d)i

Diferencia: ( a + bi ) - ( c +di ) = ( a - c) + ( b - d)i

Multiplicación: ( a + bi ) ( c + di ) =

(a)(c) + (a) (di) + (bi )( c) + (bi )( di) = (ac-bd, (ad+bc)i)

Division: ( a + bi ) ( c + di ) =

22

)(

))(())(()()(

))(()()()(

))((

))((

dc

ibcadbdac

didicdidiccc

dibicbidiaca

dicdic

dicbia

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Unidad - 1

Potenciación:

Se realiza atendiendo al desarrollo del binomio de Newton.

i = 1 12 i ii 3 14 i ii 5 . . .

Radicación: n bia

Conversión de una forma de número complejo a otra.

a) (a, b) = a + bi = P = P ( cos + i sen )

En los ejemplos que se incluyen más abajo se repasan algunas operaciones con números

complejos.

Ejemplos

Efectuar con los números complejos ( 4+5i ) y (6-8i ) las operaciones de:

1) Adición (+) :

( 4+5i ) + ( 6 – 8i ) = ( 4+6) + ( 5i -8i ) = 10 – 3i

2) Diferencia (-) :

( 4+5i ) - ( 6 – 8i ) = (4+5i) + (-6 +8i) = ( 4- 6) + (5i +8i) = -2 + 13i

3) Multiplicación(x) :

( 4+5i ) ( 6 – 8i ) = (4)(6) + (4) (- 8i) + (5i )( 6) + (5i )( - 8i ) = 24-32i+30i+40 = 64 – 2i

4) División () :

( 4+5i ) ( 6 – 8i ) =

100

6216

64484836

40303224

)8)(8()6)(8()8(6)6(6

)8)(5()6(5)8(4)6(4

)86)(86(

)86)(54( i

ii

ii

iiii

iiii

ii

ii

=

- 25

4+

50

31i

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Unidad - 1

¿Qué es Algebra?

Algunos matemáticos se refieren al álgebra como una aritmética generalizada que

trabaja con cantidades consideradas de la manera más general posible.

En aritmética las cantidades están representadas por números o valores determinados. En

álgebra para lograr la generalización, las cantidades se representan por medio de letras, las

cuales pueden representar o tomar cualquier valor.

Ejemplos: Aritmética: a) 12 + 5 b) 36

5 c) (13)(20)

Algebra: a) x + y b) n

m c) a . b

Formulación de frases en notación algebraica.

1) Un número más un tercio de otro número.

x +3

y

2) El área de un triángulo cuya altura es 5

1 de la longitud de su base.

A = 2

bh =

10252

5

122 xx

xx

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Unidad - 1

Exprese la frase con una ecuación algebraica en “x”, y después resuelva para “x”.

1) Un rectángulo tiene x metros de ancho. La longitud del rectángulo es 3 metros mayor

que su ancho y su perímetro es de 48 metros. Encuéntrese x.

P = 2A+ 2L = 2x + 2 (x + 3) = 48

2x + 2x + 6 = 48

4x = 48 – 6 = 42 x = 2

21

4

42

Prueba: 2

2

21+ 2

3

2

21 = 21 + 21 + 6 = 48

2) Dos círculos tangentes de 10 pies de radio están inscritos en un rectángulo (el rectángulo

encaja perfectamente alrededor del ocho formado por los círculos). Encuéntrese el área de la

parte del rectángulo exterior a los dos círculos.

Area del rectángulo = A r = BH = ( 4r ) ( 2r ) = 8 r2

Area del círculo = A c = r2

= (10)2

A = Ar – 2Ac = 8( 10 )2 – 2 ( 10 )

2 = 100 ( 8 - 2 ) =200(4 - )

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Unidad - 1

1.3 Definición de Campo Numérico

Sea K un conjunto no vacío, entre cuyos elementos se definen dos operaciones internas

llamadas suma y multiplicación. Diremos que K es un campo si satisface las siguientes

condiciones:

1) x, y K , entonces: (x + y) K . Clausura para la adición.

2) x, y , z K : (x + y) + z = x + (y + z) Ley asociativa de la adición.

3) eK, x K : x + e = e + x = x Neutro aditivo.

4) x K, ( -x ) K : x + (-x) = (-x) + x = e . Inverso aditivo.

5) x , y K : x + y = y + x . Ley conmutativa de la adición.

6) x , y K : x y K . Clausura para el producto.

7) x , y , Z K : (x y) Z = x (y Z) . Ley asociativa del producto.

8) e K , x K : e x = x e = x . Neutro multiplicativo.

9) x e , ( x –1

) K : x (x –1

) = (x –1

) x = e . Recíproco.

10) x , y : x y = y x . Conmutativa del producto.

11) x , y , Z : x (y + Z) = x y + x Z. Distributiva del producto

respecto a la adición.

Los elementos de K también se llamarán números o bien se llamarán escalares.

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Unidad - 1

Espacio Vectorial

Un espacio vectorial V sobre el campo K es un conjunto de objetos, llamados

vectores, que junto con dos operaciones, llamadas suma y multiplicación por un escalar,

satisfacen las propiedades siguientes:

Sean u, v, w V a, b, c K

1) u, v: (u + v) V La suma es una operación interna de V

2) u, v: (u + v) = (v + u) Ley Conmutativa de la suma

3) u, v , w: (u + v) + w = u + (v +w) Ley Asociativa de la suma

4) u V, Existe un elemento de V denotado por 0,

tal que 0 + u = u + 0 = u Neutro aditivo

5) u V, existe un elemento (– u ) V tal que u + (-u) = 0 .

Opuesto aditivo.

6) u V , a K : a( u) V , La multiplicación por un escalar es una

operación interna de V.

7) v V , a, b K : (a b) v = a (b v) = b (av) Ley asociativa de la multiplicación

de escalares por un vector. Uniforme.

8) c K , u,v v :c (u +v) = cu +cv Ley distributiva de la suma de vectores

respecto a la multiplicación por un

escalar.

9) a, b K , v V : v (a + b) = va + v b . Ley distributiva del producto de un

vector respecto a la adición de

escalares.

10) u V se tiene que 1 K: 1. u = u . 1 = u . Unidad Escalar.

Entonces (V, K) se llama un espacio vectorial, y a todo elemento de V se identifica como

vector.

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Unidad - 1

Sub-espacio Vectorial

Sea V un espacio vectorial sobre el campo K, respecto a las operaciones de suma

y multiplicación, podemos decir que U define un subespacio vectorial, cuando sea U

no vacío, y además UV, en donde se cumpla:

1) u , v U : (u + v) U

2) u U, a K: ua U

3) 0 U

Ejemplo de Sub-espacio Vectorial

Pruebe si RyRxxyyxU ;6/, define un subespacio vectorial en 2R

1. Como 1x R, 1y R; siendo 1y = 6 1x entonces ( 1x , 1y ) 2R

^ 2x R, 2y R; siendo 2y = 6 2x entonces ( 2x , 2y ) 2R

1y + 2y = 6 1x +6 2x = 6( 1x + 2x ) = 2R

Entonces : 3y = 6 3x entonces ( 3x , 3y ) 2R

2. 1y R, a K: a 1y =6a 1x ; (a 1x ,a 1y ) = a( 1x , 1y ) 2R

3. Como 0 R, x= 0, y = 6(0) = 0 , entonces (x, y) = (0,0 ) 2R

Como se verifican los tres requerimientos de la definición, entonces U define un

subespacio vectorial.

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Unidad - 1

Definición de puntos en un espacio n-dimensional

Se puede emplear un número para representar un punto sobre una recta, una vez que se ha

seleccionado la unidad de longitud.

0 x

Sistema de coordenadas rectangulares.

Un punto del plano esta asociado a un par ordenado (x, y) donde x corresponde a la

abscisa, y es la ordenada.

Para ubicar un par ordenado en el plano nos referimos a dos ejes normales entre si que

se cortan en un punto denominado origen de coordenadas, que ubica signos a cada

semirrecta referidos a partir del origen de coordenadas. Este sistema se identifica como

sistema de coordenada cartesiana. Define los planos cartesianos.

Para representar un punto en el plano podemos usar un par de números (x, y):

Y . (x, y)

X

Un punto en el espacio se representa mediante una terna de números (x, y, z):

Z . (x, y, z)

X

Y

En el espacio n-dimensional, un punto se define a partir de n– upla ordenada de números:

( x1, x2, x3, ... , xn )

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Unidad - 1

1.4 Definición de Vector

Si bien el concepto de vector es de índole geométrica y ha nacido de la Física, también

presenta un aspecto aritmético – algebraico de gran importancia por su aplicación en lo

que se llama el Algebra Lineal. Podemos considerar que cualquier elemento de un espacio

vectorial es un Vector.

Los elementos que definen a un vector son: Módulo, dirección y sentido.

Vectores en el Plano

Un vector es un segmento dirigido o flecha, por ejemplo OA, que tiene su origen en el

origen del sistema de coordenadas cartesianas, y su extremo (punta de la flecha ) en

cualquier punto del plano.

Y

A

a2

X

a1

Esto es lo que en Física se llama un vector aplicado en el origen. Aquí sólo nos interesan éstos

(vectores cuyo origen coincide con el origen del sistema coordenado) por la significación

algebraica que poseen.

Matemáticamente, identificamos un vector por su punto final, esto es, llamamos al par

ordenado (a1, a2) de números reales un vector.

Llamaremos R2 al conjunto formado por todos los pares ordenados ( a1, a2 ) de números

reales.

16



Unidad - 1

Siendo R = Conjunto de los Reales

R R = R2 = { (x, y) / x, y R }

A los elementos de R2 le llamamos vectores en R

2.

Así a cada elemento de R2 le corresponde un punto del plano, e inversamente, a cada

punto del plano se le puede asignar un vector cuyo origen esté en el origen de coordenadas

(0,0).

Vectores en el Espacio

Un vector, así como se ha definido en el plano, también podemos definirlo en el espacio

tridimensional. En este caso, para describir uno cualquiera de éllos necesitamos tres

números

(a1 , a2 , a3)

X3

A (a1, a2, a3)

X2

X1

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Unidad - 1

Como se ha convenido en que todos los vectores comienzan ( o tienen su origen) en el

origen del sistema coordenado, nótese que al especificar el punto (a1, a2, a3) , o sea el

extremo, hemos caracterizado completamente el vector A.

Así queda establecida una correspondencia biunívoca entre el conjunto de todos los puntos del

espacio y el de todos los vectores que parten del origen.

RxRxR = R3 = { (x,y,z) / x,y,z R }

A los elementos de R3

le llamamos vectores en R3.

A cada elemento de R3

le corresponde un punto del espacio, e inversamente, a cada punto

del espacio se le puede asignar un vector de origen en el origen de coordenadas (0,0,0).

Asi sucesivamente, ...

RxRxRx ... xR = Rn

= { ( x1 , x2 , x3 , ... xn ) / x1 , x2 , x3 , ... xn R

n }

A los elementos de Rn le llamamos vectores en R

n.

A los números reales x i, se les llama componentes del vector.

1.5 El conjunto Rn es una generalización de R

2, pues en vez de estar conformado por

pares ordenados de números reales, lo forman todas las n-uplas ordenadas de números reales. Cada énupla

ordenada es un vector de ”n” componentes definido en Rn.

Hablando de Rn, debemos destacar de que para un n 3 , ya se pierde toda intuición

geométrica y nuestros razonamientos se harán por vía puramente algebraica; no obstante lo

cual es útil conservar en algunas cuestiones el lenguaje geométrico, aún cuando esté

desprovisto de toda significación concreta.

1.6 Vector Cero o Vector Nulo. Es el que tiene todas sus componentes iguales a cero.

En R2 es aquel cuyas coordenadas son (0,0)

R3 = (0, 0, 0)

R4 = (0, 0, 0, 0)

.

.

.

Rn = (0,0, . . . ,0) hasta “n” componentes

18



Unidad - 1

Vector unidad. Un vector unidad Ei Rn

es aquel cuya i-ésima componente es igual a la

unidad y las demás componentes son cero.

Ejemplo: En R2 : E1 = (1,0) E2 = (0,1)

R3 : E1 = (1,0,0) E3 = (0,1,0) E3 = (0,0,1)

Rn: E1 = (1,0,0, … ,0) E2 = (0,1,0, ... ,0) En = (0,0, ... ,1)

Vector localizado. Es un vector cuyos extremos inicial y final son conocidos.

Si nxxxP ,...,, 211 , nyyyP ,...,, 212 son los extremos de un vector, entonces,

El vector nn xyxyxyPP ,...,, 221121 es un vector localizado.

1.7 Demostrar que Rn define un Espacio Vectorial

Sean A = (a1, a2, ..., an) Rn

B = (b1, b2, ..., bn) Rn

C = (c1, c2, ..., cn) Rn

K, K1, K2 escalares.

Para que Rn defina un espacio vectorial debe satisfacer la definición, por lo tanto:

1) A + B = (a1 + b1, a2 + b2, ... , an + bn) (A + B) Rn

Ley Uniforme

2) A + B = B + A Ley Conmutativa.

(a1, a2, ... , an) + (b1, b2, ... , bn) = (b1, b2, ... , bn) + (a1, a2, ... , an)

(a1 + b1, a2 + b2, ... , an + bn) = (b1 + a1, b2 + a2, ... , bn + an)

Se verifica la propiedad conmutativa de la suma.

3) (A + B) + C = A + (B + C) Ley Asociativa

(A + B) + C = (a1 + b1, a2 + b2, ... , an + bn) + (c1, c2, ... , cn) = (a1, + b1 +c1 , ... , an + bn + cn)

A + (B + C) = (a1, a2, ... , an) + (b1 + c1, b2 + c2, ... , bn + cn) =

= (a1 + b1 + c1, a2 +b2 +c2, ... , an + bn + cn) La propiedad asociativa de la suma se

verifica.

19



Unidad - 1

4) 0 + A = A + 0 = A Ley de la Identidad. Existencia del neutro

aditivo

(0,0, ... , 0) + (a1, a2, ... , an) = (a1, a2, ... , an) Rn

5) A + (-A) = 0 Ley del Opuesto. Existencia del opuesto

aditivo

(a1, a2, ... , an) + (-a1, -a2, ... , -an) = (a1 – a1, a2 – a2 , ... , an – an) = 0

6) kA = k (a1, a2, ... , an) = (ka1, ka2, ... , kan) kA Rn

Ley Uniforme

7) (k1 k2) A = k1 (k2A) Propiedad asociativa de la multiplicación de escalares por un

elemento del espacio.

(k1 k2 a1, k1 k2 a2, ... , k1 k2 an) = k1 (k2 a1, k2 a2, ... , k2 an)

(k1 k2 a1, k1 k2 a2, ... , k1 k2 an)

8) k(A + B) = kA + kB Propiedad distributiva del producto de un escalar K respecto

a la adición de elementos del espacio.

k(a1 + b1, a2 + b2, ... , an + bn) = (k(a1 + b1), k(a2 + b2), ... , k(an + bn))

(ka1, ka2, ... , kan) + (kb1, kb2, ... , kbn) = (k(a1 +b1), k(a2 + b2), ... , k(an + bn))

9) (k1 + k2) A = k1A + k2A Propiedad distributiva de un elemento del espacio

respecto a la adición de escalares.

((k1 + k2) a1, (k1 + k2) a2, ... , (k1 + k2) an) =

k1 (a1, a2, ... , an) + k2 (a1, a2, ... , an) =

(k1a1, k1a2, ... , k1an) + (k2a1, k2a2, ... , k2an) =

((k1 + k2) a1, (k1 + k2) a2, ... , (k1 + k2) an)

10) 1A = A 1 = unidad Ley de la Identidad. Existencia del neutro

multiplicativo.

Al verificarse todas las condiciones requeridas para un espacio vectorial, podemos afirmar

que Rn

define un espacio vectorial.

1.8 Igualdad de Vectores

Sean A = (a1, a2, a3, ... , an) y B = (b1, b2, b3, ... , bn) Rn

[ A = B ] [ a1 = b1 a2 = b2 a3 = b3 ... an = bn ]

20



Unidad - 1

Propiedades Básicas de la Igualdad de Vectores definidos en Rn

Reflexiva A = A

Simétrica A = B entonces B = A

Transitiva Si A = B B = C entonces A = C

1.9 Vector Opuesto de un Vector Dado

Sea B = (b1, b2, .. . , bn) un vector conocido, luego el Vector Opuesto de B será:

-B = (-b1, -b2, ... , -bn)

1.10 Operaciones con Vectores

Sean A = (a1, a2, ... , an) B = (b1, b2, ... , bn)

1.10.1 Suma o Adición

A + B = (a1 + b1, a2 + b2, ... , an + bn)

1.10.2 Diferencia

A – B = (a1 – b1, a2 – b2, ..., an – bn)

Propiedades de la Adición de Vectores

Conmutativa A + B = B + A

Asociativa (A + B) + C = A + (B + C)

Del Cero A + 0 = A

Del Opuesto A + (-A) = 0

21



Unidad - 1

1.10.3 Producto de un Vector por un Escalar K

KA = K (a1, a 2,... ,an) = ( Ka1, Ka2, ... , Kan )

1.10.4 Producto Escalar o Producto Interno o Producto Punto

Sean A = ( a1, a2, ... , an ) Rn

B = ( b1, b2, ... , bn ) Rn

nni

ni

i

i babababaBA

...2211

1

Llamaremos Producto Interno BA al escalar que se obtiene al efectuar la

sumatoria de los productos de las componentes correspondientes de los vectores.

El producto escalar es un número, no un vector. No está definido entre vectores con

diferentes números de componentes.

Ejemplos:

1) A = (1, 3, -2) B = (-1, 4, -3)

AB = 1 (-1) + 3 (4) + (-2)(-3) = -1 + 12 + 6 = 17

2) M = (2, - 1, 5, 3) N = ( 3, 3, -2, 5)

(2, - 1, 5, 3) ( 3, 3, -2, 5) = 2(3) + (-1)(3) + 5(-2) +3(5) = 6 – 3 – 10 +15 = 8

22



Unidad - 1

Las propiedades básicas del producto escalar en Rn

son las siguientes:

Sean A, B, C vectores en Rn

y K un escalar ( K R )

A B = BA

( A + B) C = AC + BC

A (kB) = k (A B)

A A = A2

0 y A A = 0 si y solo si A = 0

1.11 Definición de Vector Asociado

Se dice que dos vectores A y B son vectores asociados si existe un escalar K0, tal que se

satisface que k A = B

Ejemplo

Dado el vector A = (1, 2,-3) , determine un vector B asociado al vector A conocido,

si k = 3

B = 3 (1, 2, -3) = (3, 6, -9)

Propiedades de la multiplicación de un vector por un escalar

1. Conmutativa k A = A k

2. De la unidad 1A = A

3. Asociativa respecto a escalares ( k1 k2)A = k1 (k2A)

4. Distributiva respecto de los escalares (k1 + k2) A=k 1 A + k2 A

5. Distributiva respecto de los vectores k(A + B) = kA + kB

23



Unidad - 1

Ejemplos

Efectúe las operaciones indicadas con los vectores dados en cada caso:

1) A = (1, 2) B = (-3,5) A + B = (-2,7)

2) A = (-1, , 3) B = ( 2 , 7, -2) A + B = ( 2 – 1, + 7, 1)

3) A = (2, -1, 5) K = 7 KA = (14, -7, 35)

4) Si A = (2, -1, 3) B = (4, 3, -5) Calcular: A – 2B =

A-2B = (2, -1, 3) – 2(4, 3, - 5) = (2, -1, 3) + (-8, -6, 10) = (-6, -7, 13)

5) Encuentre el vector X R3, tal que 3A + 2X = 5B, si A = (2, 3, -1) , B = (-1, 2, 4)

2X = 5B – 3A

X =2

1[5B – 3A] =

2

1[ 5( -1,2,4) – 3( 2,3, - 1) ] =

2

1 [(-5, 10, 20) + (-6, -9 , 3)]

X =2

1 [(-11, 1, 23)] =

2

23,

2

1,

2

11

24



Unidad - 1

1.12 Norma, Longitud o Tamaño de un Vector

Se le llama así a la raíz cuadrada no negativa de la suma de los cuadrados de las

componentes de dicho vector.

Si A = ( a1 , a 2 , ... , a n )

222

2

1

2

1

...//// n

n

i

i aaaaAAA

Ejemplos:

A = (1,2) 54121//// 22 A

2) B = (-1,2,3) 14941321//// 222B

3) C = ( -2, 1, 0, 6 , - 5 )

253601456012////22222

C = 66

Propiedades

//A// O No negatividad

//A + B// //A// + //B// Desigualdad triangular.

25



Unidad - 1

Ejemplos

1) Probar la desigualdad triangular, si A= ( 4, 3 ) B = ( 6, 0 )

52591634//// 22 A

63603606//// 22 B

// A // + // B // = 11

A+ B = ( 4+ 6, 3+ 0 ) = (10, 3)

// A+B // = 1099100310 22

11109

2) Para C = ( -1, -2, -4 ) D = ( -1, 2,3)

Probaremos las propiedades: a) No Negatividad

b) Desigualdad Triangular

No Negatividad :

/ C // = C . C = 211641421222

021

26



Unidad - 1

Desigualdad Triangular:

14941321//// 222D

1421//////// DC

C + D = ( -1-1, -2+2, - 4+3 ) = ( - 2, 0, -1)

5104102////222

DC

// C + D // < // C // + // D //

14215 Desigualdad Triangular

Otra Definición de Producto Escalar

AB = //A// //B// cos donde es el ángulo que forman BA

= 00 cos 00 = 1

AB = //A// //B// BA son paralelos.

= 90 cos 90 = 0

AB = //A// //B// 0 BA = 0 BA son perpendiculares

1.13 Angulo entre dos Vectores

Si A = (a1, a2, ... , an) B = (b1, b2, ... , bn)

AB = //A// //B// cos

////////arccos

BA

BA

27



Unidad - 1

Ejemplos

Calcular el ángulo entre A y B siendo:

1) A = ( 2, -1 , 3 ) B = ( 4, 3, -5 )

5014

10

25916914

1538

534312

533142

////////cos

222222

BA

BA

= 112.20o

1.14 Vector Unitario con el mismo sentido de un vector dado

M es un Vector Unitario con el sentido de A si:

kAAA

M ////

1 donde

////

1

Ak

Ejemplo

Hallar un vector M unitario con el sentido de A = ( 1, 2,-3)

14

3,

14

2,

14

13,2,1

14

13,2,1

941

13,2,1

321

1

222M

Comprobación:

1

14

14

14

9

14

4

14

1

14

3

14

2

14

1////

222

M

28



Unidad - 1

BILIOGRAFIA CONSULTADA

Poole, David (2006). Algebra Lineal. Una introducción moderna. (Segunda edición). Mexico: Thomson Learning Iberoamerica. Grossman, Stanley I. ( 1996). Algebra Lineal. (Quinta edición). Mexico: MacGraw-Hill Interamericana. Zill, Dennis G.; Dewar, Jacqueline M. (1999). Algebra y Trigonometria. ( Segunda edición actualizada). Colombia: McGraw-Hill. Interamericana S. A.

Millar, Charles-Heeren; CERN-Homsby,John. (2006). Matemática. ( Décima edición). México: Pearson.

Zill, Dennis G.; Dewar, Jacqueline M. (2008). Precálculo con avances de Cálculo. (Cuarta edición). México: McGraw-Hill. Interamericana Editores S. A. Báez Veras, José Justo;De Peña Olivares, Rosa Cristina.(2010). Manual de Prácticas. (Décima edición). República Dominicana: Editora Universitaria UASD. Notas de Cátedra de: Mateo, Tulio; De Peña, Rosa. (2007). Curso de Algebra Superior. Navarro Peña, Tomás Darío. (2008).Apuntes de Algebra Superior.

Direcciones Electrónicas:

http://www.profesorenlinea.cl/matematica/ConjuntosNumericos.htm

http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Numeros_reales.html

http://es.wikiversity.org/wiki/Principales_conjuntos_num%C3%A9ricos

http://es.wikipedia.org/wiki/Notaci%C3%B3n_matem%C3%A1tica

http://www.ditutor.com/numeros_naturales/conjuntos_numericos.html

http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial

http://es.wikipedia.org/wiki/Subespacio_vectorial

http://www.profesorenlinea.cl/matematica/ConjuntosNumericos.htm

http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Numeros_reales.html

http://es.wikiversity.org/wiki/Principales_conjuntos_num%C3%A9ricos

http://es.wikipedia.org/wiki/Notaci%C3%B3n_matem%C3%A1tica

http://www.ditutor.com/numeros_naturales/conjuntos_numericos.html

http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial

http://es.wikipedia.org/wiki/Subespacio_vectorial

Unidad 1 Algebra Superior.conj Num yEsp. Vect. RosaDePena

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