UNIVERSIDAD DE LA SERENAFACULTAD DE CIENCIAS DEPTO. DE MATEMÁTICA

ESPACIOS VECTORIALES ( ING.)

DEFINICIONES Y PROPIEDADES

Definición 1 Se llama grupo a un conjunto no vacío V provisto de una operación: + : V x V V (v,w) v + wque satisface los siguientes axiomas:G0 u + v V, u , v V.G1 ( u + v) + w = u + ( v + w ), u , v , w V ( Asociatividad).G2 Existe elemento neutro en V, denotado por 0V o simplemente 0 tal que: v + 0 = 0 + v = v, v V.G3 Para cada v V existe un elemento en V, llamado opuesto de v, denotado

por -v tal que v + (-v) = 0 = (-v) + v. Denotaremos por ( V, + ) al grupo. Si ( V, + ) es un grupo y satisface además:G4 u + v = v + u, u , v V ( Conmutatividad ). Entonces ( V, + ) se llamará grupo abeliano o conmutativo.

Definición 2 Se dice que V es un espacio vectorial sobre el cuerpo IK, y se denota VK

( o simplemente V ) , si ( V, + ) es un grupo abeliano provisto de una operación : IK x V V ( , v ) vllamada producto por escalar, la cual satisface los siguientes axiomas:E0 v V, K, v VE1 (v) = ()v, , IK, v V.E2 ( + )v = v + v , , IK, v V.E3 (u + v) = u + v, IK, u , v V.E4 1v = v v V, 1 IK elemento neutro para la multiplicación. Los elementos de un espacio vectorial se denominan vectores.

Proposición 3 Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo IK. Entonces:a) El neutro aditivo 0V es único.b) Para cada v V, el opuesto aditivo –v es único.c) 0V = 0V , IKd) 0K v = 0V, v V e) (-1) v = - v , v V.

Definición 4 Sea V espacio vectorial sobre IK, y u , v V. Se define u – v = u + (-v).

GUIA DE EJERCICIOS 1.- En IRn se definen las operaciones: X Y = X Y , X = X ,

donde X = ( x1, ..., xn ) IRn, Y = ( y1, ..., yn ) IRn , IR y las operaciones del segundo miembro en la definición anterior son las usuales. ¿Qué axiomas de espacio vectorial se cumplen con estas operaciones?.

2.- Sea V = IR2 y K = IR el cuerpo de números reales. Se define ( x1 , x2 ) + ( y1 , y2 ) = ( x1 + y1 , 0 ) ( x1 , x2 ) = ( x1 , 0 ) , K.

Determine si V con estas operaciones es un espacio vectorial sobre K.3.- Demuestre que V = { a + b / a, b Q es un espacio vectorial sobre Q. Demuestre,

además que V con la suma y producto usual en IR es un cuerpo.4.- Sea V = { u IR / u 0 . Definamos en V las siguientes operaciones: u v = uv ( producto usual en IR )

u = u , IR. ¿ Es V un espacio vectorial sobre IR, con estas operaciones ?

5.- Sea V espacio vectorial sobre el cuerpo K, v , w V y K. Demuestre las siguientes propiedades usando los axiomas de espacio vectorial.a) – (v ) = v

b) ( v w ) = v w6.- a) Demuestre que el conjunto C2 es un espacio vectorial sobre IR. b)Demuestre que el conjunto de matrices Mm x n(C) es un espacio vectorial

sobre IR.7.- Sea V = IR+ x IR+ sobre IR , definamos en V las siguientes operaciones : ( x1 , x2 ) ( y1 , y2 ) = ( x1x2 , y1y2 ) y ( x1 , x2 ) = ( x1

, x2 ) .

¿ Es V espacio vectorial sobre IR?

SUBESPACIOS VECTORIALES

Definición 5 Sea V un espacio vectorial sobre IK, un subconjunto no vacío S de V se llama subespacio vectorial de V o simplemente subespacio de V si S es un espacio vectorial sobre K con las operaciones adición y producto por escalar definidas en V. Se denota S V.

Teorema 6 Sea V espacio vectorial sobre IK, S V, entonces S V, si y sólo si: i) 0V S.ii) s1 + s2 S, IK, s1 , s2 S.

Teorema 7 Sea V un espacio vectorial sobre IK, si {S i}iI es una colección de subespacios de V, entonces Si es un subespacio de V.Definición 8 Sea V un espacio vectorial sobre IK y S un subconjunto no vacío de V. El subespacio generado por S se define como la intersección de todos los subespacios de V que contienen a S y se denota por S . Observación 9 a) Cuando S es un conjunto finito, S = { }, denotamos S = .

Los vectores se llaman generadores de S .b) Es claro que S V, ya que es una intersección de subespacios de V, además si

T V y S T entonces S = T. Es decir S es el menor ( referente a la relación ) subespacio de V que contiene a S.

c) De acuerdo con lo anterior es fácil ver que si S , T son subconjuntos de V tales que S T , entonces S T .

Definición 10 Sea V un espacio vectorial y V. Se dice que el vector v V es una combinación lineal de los vectores si existen escalares

IK tales que v = .

Teorema 11 El subespacio generado por un subconjunto no vacío S de un subespacio vectorial V sobre un cuerpo IK, es el conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores de S. Es decir,

S = .

Observación 12a) Sea V espacio vectorial, T V y { v1, ...,vn } T, entonces:

v1, ...,vn T. Esto es claro de la definición de subespacio generado.b) Si { v1,...,vn } V y { u1,...,um } V , entonces v1,...,vn = u1,..., um si y sólo si vi

u1,..., um i y ui v1,...,vn i .

Definición 13 Sean S1, ..., Sk subconjuntos no vacíos de un espacio vectorial V sobre IK. Entonces el conjunto S1+ + Sk = { v1+ + vk / vi Si , i = 1,... , k } se llama suma de los conjuntos S1,.....,Sk.

Proposición 14 Sean W1, ...,Wk subespacios de un espacio vectorial V sobre un cuerpo IK, entonces W = W1 + + Wk es un subespacio de V que contiene a cada W i para i = 1, ..., k.

Teorema 15 Si W1,...,Wk son subespacios de un espacio vectorial V sobre IK, entonces W1 + + Wk = < W1 Wk > .

Definición 16 Sean S , T subespacios de un espacio vectorial V sobre el cuerpo IK, se dice que V es la suma directa de S y T, si V = S + T y S T ={0}. Cuando V es la suma directa de S y T, anotamos V = S T.

GUIA DE EJERCICIOS 1.- Consideremos el espacio vectorial M2 x 3(IR). Determine si los siguientes subconjuntos de

M2 x 3(IR) son subespacios vectoriales:

a) El subconjunto formado por las matrices de la forma .

b) El subconjunto formado por las matrices de la forma .

2.- Consideremos el espacio vectorial IR3. Determine si los siguientes subconjuntos de IR3

son subespacios:a) S1 = { (x.y.z) IR3 / x + y z = 0 }b) S2 = { (x.y.z) IR3 / 2x y = z }c) S3 = { (1,1,2) / IR }.

3.- Sea V espacio vectorial sobre un cuerpo K. Si S y T son subconjuntos de V, pero no subespacios ¿ se puede tener que S T V ?

4.- Decida cuales de los siguientes subconjuntos del espacio vectorial V = { f : IR IR / f es función } sobre el cuerpo IR, son subespacios de V:

a) { f V / f(0) = 0 } b) { f V / f(0) = 3 } c) { f V / f es constante }.5.- Sea K un cuerpo, considere el espacio vectorial Pn(K) sobre el cuerpo K. Demuestre

que los siguientes subconjuntos de Pn(K) son subespacios:a) S = { p(x) Pn(IK) / p(x) = p(-x) x K } b) T = { p(x) Pn(IK) / p(1) = 0 }.

6.- Sean S y T subespacios de un espacio vectorial V sobre un cuerpo K. Se define el conjunto S T = { u v / u S v T }. Demuestre que S T es un subespacio vectorial de V.

7.- En cada uno de los siguientes casos determine si el vector v es combinación lineal de los vectores , y en el espacio vectorial dado. Si la respuesta es afirmativa escriba la combinación lineal.a) v = , = , = , = 1 en P3(IR).b) v = x2 1 , = x2 + ix 1 , = x2 i , = 1 + i + x en P3(C).

c) v = , = , = , = en M2 x 3(IR).

d) v = en un espacio vectorial V cualquiera.8.- Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K. Supongamos que el vector no nulo v

V, es una combinación lineal de los vectores y . Demuestre que es combinación lineal de v y o bien es combinación lineal de v y .

9.-Encontrar un conjunto de generadores para los siguientes subespacios:a) S1 = { p(x) P3(IR) / p(1) = 0 } P3(IR)b) S2 = { p(x) P2(IR) / p(i) = 0 } P2(C)c) S3 = { A M2 x 2(IR) / A = At } M2 x 2(IR) }d) S4 = { (x,y,z,t) IR4 / x y = 0 y x 2z + t = 0 }e) S5 = { (x,0) C2 } f) S6 = { (x,o) C2 } .

10.-Encontrar un sistema de ecuaciones lineal homogéneo para el cual el espacio solución de exactamente:a) S1 = (1,0,1,0) , (0,0,1,0) , (1,1,0,0) b) S2 = (1,2,3) , (0,1,0) , (1,1,3) c) S3 = (1,0,0,0) , (0,1,0,0) , (0,0,1,0) , (0,0,0,1) .

11.-Demostrar que (1,5,6) , (-1,2,0) = (0,7,6) , (5,4,12) .

12.-Sea W = { (x,y,z,t) IR4 / x + y + 3z + 2t = 0 } IR4. Demuestre que: W = (1,1,0,-1) , (1,0,-1,1) , (1,2,-1,0) .

13.-Sea V = { f : IR IR / f es función } espacio vectorial sobre IR. Demuestre que: sen2x , cos2x , senx cosx = 1 , sen2x , cos2x .

14.-Sean u , v elementos de un espacio vectorial V sobre un cuerpo K. Demuestre que: u , v = u + v , u v .

BASES Y DIMENSIÓN

Definición 17 Sean V un espacio vectorial sobre un cuerpo IK y {v1, ..., vn } V. El conjunto {v1 ,... , vn} se dice linealmente dependiente ( o simplemente dependiente) si existen en K escalares 1,·········,n , no todos nulos , tales que 1v1+ ········ + nvn = 0. Un conjunto que no es linealmente dependiente ( l.d.) se llama linealmente independiente ( l.i.).

Observación 18 El conjunto{v1,.......,vn} es linealmente independiente (l.i) si y solo si dada la combinación lineal 1v1 + .......+nvn = 0 implica i = 0 , i 1,.....,n. Es decir {v1,.....,vn} es l.i si la única manera de que el vector 0 se pueda expresar como combinación lineal de v 1,....., vn es que todos los escalares sean 0.

Proposición 19 Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo IK. Entonces. a) Todo subconjunto de V que contiene a 0V es l.d. En particular {0V} es l.d. b) El conjunto {v1,.....,vm} es l.d. si y solo si existe vi con i {1,....,m} tal que vi es combinación lineal de v1,......, vi-1,vi+1,.......,vm. De esta propiedad se deduce que dos vectores no nulos son l.d. si y sólo si uno de ellos es un múltiplo escalar del otro. c) Todo subconjunto de un conjunto l.i. es l.i. d) Todo conjunto que contiene un conjunto l.d es l.d.

Definición 20 Sean V un espacio vectorial sobre un cuerpo IK y {v1,.....,vn} V, se dice que el conjunto {v1,.....,vn } genera el espacio V si < v1,.....,vn > = V. También se dice que los vectores v1,.....,vn generan el espacio V.

Proposición 21 Sean V un espacio vectorial sobre un cuerpo IK. Entonces, a) Si S = {v1,....,vn} genera V entonces cualquier subconjunto de V que contenga a S genera V. b) Si V {0V} y S = {v1 ,...,vn} es l. d. y genera V entonces existe un subconjunto l.i .de S que genera V. c) Si S = {v1,....,vn} genera V entonces cualquier subconjunto de V que contenga propiamente a S es l.d.

Definición 22 Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo IK. Un conjunto de vectores {v1,......,vn} V se llama base de V si es linealmente independiente y genera V. Es decir, {v1,....,vn} es base de V si {v1,.....,vn} es l.i. y < v1,....,vn > = V.

Lema 23 Sea V espacio vectorial sobre un cuerpo IK , Si V = <v1,.....,vn > entonces todo subconjunto l.i. de V tiene a lo más n elementos.

Teorema 24 Si V es un espacio vectorial que posee una base de n elementos, entonces toda base de V tiene n elementos.

Definición 25 Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo IK y B una base de V, se llamará dimensión del espacio V sobre K , al número de elementos de B. Se denota por dim IK V o simplemente dim V. Por convención la dimensión del espacio { 0 } será 0 y la base es .

Lema 26 Sean V un espacio vectorial sobre un cuerpo IK y S un subconjunto l.i. de V. Si v < S > entonces S {v} es l.i.

Teorema 27 (Extensión de una base). Sea V un espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo K. Si W V entonces todo subconjunto l.i de W es finito y es parte de una base de W.

Corolario 28 Sea W un subespacio propio de un espacio vectorial de dimensión finita V, entonces W es de dimensión finita y dimW dimV.

Corolario 29 Si V es un espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo IK, S y T subes-pacios de V tales que S T entonces dim S dim T.

Corolario 30 Sean V un espacio vectorial de dimensión finita sobre el cuerpo IK, S y T subespacios de V tales que S T y dim S = dim T, entonces S = T.

Corolario 31 Sea V un espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo IK, entonces todo conjunto l.i de V es parte de una base de V.

Corolario 32 Sean V un espacio vectorial de dimensión finita n sobre un cuerpo IK y {v1,...,vn}V entonces {v1 ...,vn} es l.i. {v1,.....,vn} genera V.

Corolario 33 Sea A una matriz nxn sobre el cuerpo IK, tal que los vectores fila de A forman un conjunto l.i. en el espacio Kn, entonces A es invertible.

Teorema 34 Sean W1 y W2 subespacios de dimensión finita de un espacio vectorial , enton-ces W1 + W2 es de dimensión finita y dim( W1 + W2 ) = dim W1 + dim W2 - dim ( W1 W2 ).

Definición 35 Sea A Mnm(IK) , las filas de A pueden ser vistas como los vectores r1, ..., rn y las columnas como los vectores c1,.....,cn . Cada vector fila tiene m coordenadas y cada vector columna tiene n coordenadas , es decir; ri Km , i = 1,....,n y cj Kn, j = 1,....,n . Los vectores fila generan un subespacio de IKm llamado espacio fila de A y los vectores columna generan un subespacio de IKn llamado espacio columna de A.

Definición 36 La dimensión del espacio fila de una matriz A se llama rango de la matriz A.

Teorema 37 Sea A Mnxm(IK) y B matriz que se obtiene de A después de una sola operación elemental con filas. Entonces el espacio fila A es igual al espacio fila de B y por lo tanto rango A = rango B.

COORDENADAS

Definición 38 Sea V un espacio vectorial de dimensión finita, una base ordenada de V es una sucesión finita de vectores linealmente independiente y que genera V. Así una base ordenada de V será un conjunto de vectores con un orden dado, el cual es una base para V. Se denotará por B = {v1,.....,vn} y se dice que B es una base ordenada de V.

Proposición 39 Sea B = {v1,.....,vn} una base ordenada de un espacio vectorial V sobre un cuerpo

IK, entonces para cada v V, existe una única n-tupla (1,......,n) IKn tal que v = i ii

nv

1, i

se llamará la i-ésima coordenada de v con respecto a la base ordenada B.

Observación 40 Cada base ordenada B = {v1,.....,vn} de un espacio vectorial sobre un cuerpo IK

determina una función biyectiva : V IKn tal que (v) = ( 1,....., n) donde v = i ii

nv

1.

Definición 41 Sean V un espacio vectorial sobre un cuerpo IK y B = {v1,.....,vn} una base ordenada

de V, si V = i ii

nv

1 V entonces la matriz [ v B = Mnx1 (IK) se llamará la matriz de las

coordenadas de v respecto a la base ordenada B.

GUIA DE EJERCICIOS

1.- Sean V un espacio vectorial sobre un cuerpo K, v1, v, V. Demuestre que a) {v1,v2 ,v3} es l.i entonces {v2 + v3 ,v3 + v1 ,v1 + v2 } es l.i. b) {v1,v2,v3}es l.i entonces {v1 + 2v2 - v3 ,3v1 - 2v , 6v2 - v3} es l.i.

2.- Demostrar que los vectores 2 + 3i y 1 - 2i generan el espacio vectorial C 2 sobre C , pero no generan el espacio vectorial C2 sobre IR.

3.- Demuestre que el conjunto {(1 - x)3,(1 - x)2,(1 - x),1} genera P3(IR) ¿ Es una base para P3(IR) ?

4.- Demuestre que los únicos subespacios propios de IR3 son las rectas que contienen al origen y los planos que contienen al origen.5.- Sea S = {(x,y,z,t) } IR4 / x - y = z - t = 0} IR4. Encuentre T IR4 tal que IR4 = S T?

6.- Sea S = < (1,1,1) ,(2,1,0), (0,1,2) > IR3 a)Encuentre dim S. b) Encuentre una base de IR3 que contenga una base de S.

7.- Sean S y T subespacios de IR3 de dimensión 2. Demuestre que dim (S T) > 0.

8.- Sean S = {p(x) P3 (IR) / p(1) = 0} y T = < 1 + x,1 + 2x + 2x2 - x3 > .

a) Encuentre dim ( S + T) .

b)Encuentre ( S T) y dim ( S T) .

9.- Encuentre una base del espacio solución en C3 del sistema de ecuaciones lineales homogéneo siguiente: x + 2y - iz = 0 ; x + y = 0 ; x + (1 + i)y + z = 0. 10.- Considere el espacio vectorial C4 sobre C. Demuestre que los vectores (1, i ,1 + i , -i),(1, 0, 2 - i ,1 + i),(0,-1,0,1) y (3i , -2 - i ,3i - 5, -i ) son l.d.

11.- Sean S = {(x,y,z,t) IR4 / x + t = 0 , x - z + 2t = 0} y T ={(x,y,z,t) IR4/ x - y = 0} a) Encuentre base y dim de S y T. b) Encuentre bases y dimensión de S + T y S T.

12.- Dados los vectores ( 1,2,0,1) y (3,2,1,0) en IR4. Extienda el conjunto { (1,2,0,1),(3,2,1,0)} a una base de IR4

13.- Consideremos el espacio vectorial P2(IR), sean a IR fijo, p1(x) = , p2(x) = x + a y p3(x) = (x + a)2.

a) Demuestre que{p1,p2,p3} es una base de P2( IR ). b) Considere la base ordenada B = {p1, p2, p3} y encuentre la coordenadas de p(x) = mx2 + nx + 1, respecto de esta base.

14.- Sean B = {(i,1), (0,i)} y B`= {(1, i),(1 + i , i)} bases ordenadas de C.

Sean v , w C2 tales que [v B = y [w B` = encuentre [v + wB` y [v +2wB`.