Unidad 1

MOMENTO LINEAL, ENERGIA CINETICA Y SUCONSERVACION

BERNARDO ARENAS GAVIRIAUniversidad de Antioquia

Instituto de Física

2013

Índice general

1. Momento lineal, energía cinética y su conservación 11.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Sistemas de referencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3. Concepto de partícula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4. Vector posición (r) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.5. Vector desplazamiento (∆r) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.6. Vector velocidad (v) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.6.1. Vector velocidad media (v̄) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.6.2. Vector velocidad instantánea (v) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.6.3. Movimiento rectilíneo uniforme (MRU) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.7. Momento lineal o cantidad de movimiento (p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.7.1. Conservación del momento lineal en una dimensión . . . . . . . . . . . . . . 11

1.8. Movimiento en un plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.8.1. Vector posición en dos dimensiones (r) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.8.2. Vector desplazamiento en dos dimensiones (∆r) . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.8.3. Vector velocidad en dos dimensiones (v) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.8.4. Vector velocidad media en dos dimensiones (v̄) . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.8.5. Vector velocidad instantánea en dos dimensiones (v) . . . . . . . . . . . . . . 16

1.9. Momento lineal o cantidad de movimiento en dos dimensiones (p) . . . . . . . . . . 181.9.1. Conservación del momento lineal en dos dimensiones . . . . . . . . . . . . . 191.9.2. Concepto del vector impulso (I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.10. Concepto de energía cinética Ek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.11. Colisiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.12. ENUNCIADOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Bibliografía 29

3

Capı́tulo 1Momento lineal, energía cinética y suconservación

CompetenciasEn esta unidad se busca que el estudiante

Infiera el concepto de sistema de referenciay el concepto de partícula.

Defina conceptual y matemáticamente losconceptos de vector posición, vector des-plazamiento y vector velocidad.

Opere adecuadamente con las cantidadesfísicas vector posición, vector desplaza-miento, vector velocidad y el escalar masa.

Identifique y defina el concepto de vectormomento lineal.

Infiera el concepto de sistema.

Distinga entre sistema aislado y sistema noaislado.

Analice y aplique el principio de conserva-ción del vector momento lineal total de unsistema aislado.

Defina y analice el concepto del escalarenergía cinética, relacionándolo con el con-cepto del vector momento lineal.

Defina el concepto de colisión.

Distinga entre choque y colisión.

Analice diferentes tipos de colisiones.

Distinga entre colisión elástica y colisióninelástica.

CONCEPTOS BASICOS DE LA UNIDADEn esta unidad, se definirán los siguientes con-ceptos: Sistema de referencia, partícula, vectorposición (r), vector desplazamiento (∆r), vectorvelocidad (v), masa (m), vector momento lineal(p), sistema, sistema aislado y energía cinética(Ek).

1.1. Introducción

El concepto de momento lineal o cantidad demovimiento, es de gran importancia en la física,ya que se presentan muchas situaciones realesen las que el momento lineal total de un sistemase conserva, tanto a nivel microscópico como anivel macroscópico. Esto da lugar al principiode conservación del momento lineal, que porser una regla que no tiene excepción, se aplicaen diferentes áreas de la física.

1.2. Sistemas de referencia

La frase traer el cuerpo A que se encuentra a unadistancia de 2 m , es una frase incompleta, yaque como se ilustra en la figura 1.1, puede ha-ber muchos cuerpos con una separación de 2 m.Esto lleva a la pregunta: ¿2 m a partir de quéo respecto a quién? Lo anterior muestra la ne-cesidad de especificar un punto u observador

2 CAPÍTULO 1. MOMENTO LINEAL, ENERGÍA CINÉTICA Y SU CONSERVACIÓN

de referencia respecto al cual se miden los 2 m.Por ello es más correcto decir: "Traer el cuerpoA que se encuentra a una distancia de 2 m res-pecto al observador B".

2 m

2 m 2 m2 m

Figura 1.1: Cuerpos separados entre sí por una dis-tancia de 2 m.

La frase anterior, aunque es menos ambigua,tampoco está completa ya que hay un conjuntomuy grande de puntos ubicados a una distan-cia de 2 m respecto al observador B. Al unir esteconjunto de puntos se obtiene una esfera de ra-dio 2 m en el espacio tridimensional, y una cir-cunferencia de radio 2 m en el espacio bidimen-sional, como se muestra en la figura 1.2 para elcaso de dos dimensiones.

B

Figura 1.2: Cuerpos a una distancia de 2 m respectoa B.

Para definir con toda claridad la posición delcuerpo, se puede hacer la afirmación: Traer elcuerpo A que se encuentra a una distancia de 2 mrespecto a un observador B, de tal manera que la rec-ta que une a B con A coincide con el eje x, toma-do horizontalmente. Esto equivale a decir que seha adicionado un sistema de coordenadas uni-dimensional al observador B, como se muestraen la figura 1.3, donde lo que realmente se hadefinido es un sistema de referencia, que con-siste en un observador al que se le ha asignado

o ligado un sistema de coordenadas en una di-mensión.

Bx (m)

A

2O

Figura 1.3: Posición de A respecto a B.

Por lo anterior, se puede concluir que paraconocer con certeza la posición de un cuerpo,es indispensable definir un sistema de referen-cia, ya que de lo contrario no tendría sentido laubicación del cuerpo en consideración. Como seindica más adelante, para dar una descripcióncompleta del movimiento de un cuerpo, se de-be disponer de un cronómetro o reloj con el finde poder conocer los instantes de tiempo en losque ocupa las diferentes posiciones sobre el ejex.

Lo discutido anteriormente sólo es válido pa-ra el observador B, ya que si se cambia de ob-servador, o lo que es equivalente, de sistema dereferencia, necesariamente la posición del cuer-po sería completamente diferente.

De esta forma, el movimiento de un cuerpopuede definirse como un cambio continuo desu posición respecto a otro cuerpo, es decir, elmovimiento de un cuerpo dado sólo puede ex-presarse en función de un sistema de referencia.Además, el movimiento del cuerpo A, respectoal cuerpo B, puede ser muy diferente al movi-miento del cuerpo A respecto a otro cuerpo C.

MovimientoA

CBx

O

Figura 1.4: A y C se mueven respecto a B.

Suponga que un auto y su conductor, en re-poso entre sí, se mueven sobre una pista rectahacia la derecha. Esta situación real, se modela-rá de tal forma que en la figura 1.4, el conductores el cuerpo A, el auto el cuerpo C y un postefijo al lado de la vía es el cuerpo B.

1.3. CONCEPTO DE PARTÍCULA 3

Los cuerpos A y C en reposo uno respecto alotro, se encuentran en movimiento hacia la de-recha respecto al cuerpo B, como en la figura 1.4.Pero una situación diferente se presenta cuandose toma un sistema de referencia con origen enel cuerpo C, como se indica en la figura 1.5.

MovimientoA

C

O '

Bx '

Figura 1.5: B se mueve respecto a C, A no se mueverespecto a C.

En este caso, el cuerpo A está en reposo res-pecto al cuerpo C y el cuerpo B en movimientohacia la izquierda respecto al cuerpo C.

De acuerdo con lo anterior, cuando se quie-re analizar el estado de reposo o de movimientode un cuerpo, es necesario definir con toda clari-dad cuál es el sistema de referencia a utilizar, yaque como en la situación de la figura 1.4, el mo-vimiento de A y C es hacia la derecha respectoal cuerpo B, mientras que para la situación de lafigura 1.5, A está en reposo y B en movimientohacia la izquierda respecto al cuerpo C.

Para obtener información completa sobre laforma como cambia la posición de un cuerporespecto a otro, es necesario medir tiempos, osea, que el observador debe disponer de un relojo cronómetro, además del sistema de coordena-das.

De la situación anterior también se puedeconcluir que reposo y movimiento son concep-tos relativos, ya que ambos dependen del siste-ma de referencia en consideración. Si un cuerpoestá en movimiento respecto a algunos sistemasde referencia, simultáneamente puede estar enreposo respecto a otros sistemas de referencia,esto es, el movimiento es relativo.

En lo que sigue, se supone que se tiene un sis-tema de referencia unidimensional bien defini-do. Los sistemas de referencia que se emplea-rán en adelante, se considera que están en re-poso respecto a la tierra. Estos sistemas recibenel nombre de sistemas de referencia inerciales.Posteriormente, se define de forma más concisa

este tipo de sistemas de referencia, donde tam-bién se incluyen otros sistemas de referencia,que aunque estén en movimiento respecto a latierra, cumplen la condición de ser inerciales.

Necesariamente, cuando un cuerpo se mueveen línea recta respecto a la tierra, bien sea so-bre ella o a una altura determinada dentro de laatmósfera terrestre, estará sometido a los efec-tos del aire. Esta situación se percibe cuando seviaja rectilíneamente en un auto con las ventani-llas abiertas o cuando se deja caer verticalmenteuna hoja de papel. En ambos casos los cuerpostienen un movimiento respecto al sistema de re-ferencia aire.

Por ahora, no se consideran los efectos del ai-re sobre el movimiento de los cuerpos. El análi-sis de esta situación se hace más adelante.

1.3. Concepto de partícula

Para ilustrar el concepto de partícula se consi-dera la siguiente situación: Un bloque desliza ose traslada sobre una superficie horizontal sincambiar su orientación ni su forma geométrica,es decir, se mueve como un todo de una posi-ción a otra. En este caso, como se indica en lafigura 1.6, los puntos A y B, pertenecientes albloque, se mueven la misma distancia d.

A

B

x

x

A

B

x

x

d

d

Figura 1.6: Traslación pura de un cuerpo.

Aunque sólo se han considerado los puntos Ay B, es cierto que todos los puntos del bloque semueven la misma distancia d.

Esto permite analizar el movimiento de soloun punto del bloque, ya que el comportamien-to de él es idéntico al comportamiento de todoslos demás puntos. Cuando es posible hacer lasimplificación anterior, se dice que el cuerpo seha reducido al modelo de una partícula. Poste-riormente, se dará una definición más precisade este concepto.


En esta unidad se considera sólo el movi-miento de traslación de los cuerpos a lo largode una línea recta; por ello el movimiento de loscuerpos se describe mediante el modelo de par-tícula.

1.4. Vector posición (r)

Para el caso de una dimensión, un cuerpo tra-tado bajo el modelo de partícula, se mueve a lolargo de un camino recto, también conocido co-mo trayectoria rectilínea, que en principio pue-de tener cualquier orientación. La posición de lapartícula, en un instante determinado y respec-to al origen del sistema de referencia mostradoen la figura 1.7, está dada por el vector posiciónr trazado desde el origen del sistema de refe-rencia hasta la posición donde se encuentre lapartícula.

x

O i

r( )t

Movimiento

Figura 1.7: Vector posición r de la partícula.

En este caso el vector posición se expresa enla forma r = x i , donde su magnitud está dadapor

r = x (1.1)

La forma de la expresión dada por la ecuación(1.1) es válida en el caso de un sistema de refe-rencia unidimensional.

En la figura 1.7 se observa que el vector po-sición r varía con el tiempo en magnitud, mien-tras la partícula se mueve a lo largo de su tra-yectoria rectilínea.

Ejemplo 1.1 El vector posición de una partí-cula que se mueve sobre el eje x, está dado porr(t) = (t − 3)i, donde r está dado en m y t ens. Cuando tA = 2.50 s la partícula pasa por elpunto A. Determine la posición de la partículaen dicho instante.SoluciónReemplazando tA = 2.50 s en la expresión da-da, se encuentra que el vector posición, cuandola partícula pasa por el punto A, está dado por

rA = (− 0.50 m)i.

Como en una dimensión el vector posición seexpresa en la forma r = xi, al comparar con laigualdad anterior se tiene que

xA = −0.50 m,

es la coordenada de la partícula cuando pasapor el punto A.

El siguiente diagrama es una representacióngráfica del resultado obtenido.

Ax (m)

i

rA

- 0.50 O

Ejercicio 1.1 El vector posición de una partícula quese mueve sobre el y, está dado por r = (2t2 − 1)j donde restá dado en m y t en s. Cuando tA = 2.50 s la partículapasa por el punto A. Determine la posición de la partículaen dicho instante. Muestre en un diagrama el resultadoobtenido.

1.5. Vector desplazamiento (∆r)

Como se indica en la figura 1.8, se considera unapartícula que en el instante tA pasa por el puntoA, definido mediante el vector posición rA . Sien un cierto tiempo posterior tB (tB > tA) la par-tícula pasa por el punto B, definido mediante elvector posición rB, el vector desplazamiento, quedescribe el cambio de posición de la partículaconforme se mueve de A a B, es dado por

∆r = rB − rA

= (xB − xA)i. (1.2)

x

O i A BDr

rB

rA

Figura 1.8: Vector desplazamiento ∆r entre A y B.

Ejemplo 1.2 Una partícula cuyo vector posición estádado por r(t) = (t − 3)i se encuentra en el punto A entA = 2.50 s. Si en el tiempo tB = 4.00 s pasa por el punto B,calcule la magnitud y dirección del vector desplazamientoentre A y B.SoluciónAl reemplazar tA = 2.50 s y tB = 4.00 s en la expresión

1.6. VECTOR VELOCIDAD (V) 5

dada, se encuentra que los vectores posición de la partícu-la, en componentes rectangulares, respectivamente estándados por

rA = (− 0.50 m)i,rB = (1.00 m)i.

Ahora, utilizando la ecuación (1.2), para este caso se tie-ne que el vector desplazamiento, entre A y B, en compo-nentes rectangulares está dado por

∆r = (1.50 m)i.

Por consiguiente, las magnitud del vector desplazamientoestá dada por

∆r = 1.5 m,

En el diagrama siguiente se muestra, el vector despla-zamiento.

x(m)

Or

Ar

B

Dr i= (1.5 m)

-0.5 1.0

Ejercicio 1.2 Una partícula cuyo vector posición estádado por r = (2t2 − 1)j , donde r está dado en m y t en s,se encuentra en el punto C en tC = 2.50 s . Si en el tiempotD = 4.00 s pasa por el punto D, calcule el vector despla-zamiento de la partícula entre C y D.

1.6. Vector velocidad (v)

Cuando la posición de una partícula respecto aun observador, cambia al transcurrir el tiempo,se dice que la partícula ha adquirido una velo-cidad respecto a dicho observador. En general,la velocidad de una partícula se define como larapidez con la cual cambia el vector posición dela partícula al transcurrir el tiempo, en determi-nada dirección.

1.6.1. Vector velocidad media (v̄)

De acuerdo con la figura 1.9, se considera unapartícula que en el instante tA pasa por el pun-to A, determinado por el vector posición rA. Sien un tiempo posterior tB (tB > tA) la partículapasa por el punto B, determinado por el vectorposición rB, la velocidad media de la partícula du-rante el intervalo de tiempo ∆t = tB − tA , se

define como el desplazamiento dividido entreel intervalo de tiempo correspondiente, es decir

v̄ ≡ ∆r∆t

=rB − rA

tB − tA

=(xB − xA)i

tB − tA

= v̄xi.

(1.3)

x

O A BDr

rB

rA

v

Figura 1.9: Vector velocidad media entre A y B.

Dimensiones y unidades del vector velocidadmediaDe acuerdo con la ecuación (1.3), las dimensio-

nes del vector velocidad media y en general dela velocidad, son LT−1 . Por consiguiente, lasunidades son m s−1 en el sistema SI, cm s−1 enel sistema gaussiano, p s−1 en el sistema Inglés;y en general, cualquier unidad de longituddividida por una unidad de tiempo, tal comokm h−1 ó mi h−1.

La definición (1.3) muestra que la velocidadmedia, v̄ , es un vector ya que se obtiene al divi-dir el vector desplazamiento ∆r entre el interva-lo de tiempo ∆t, o sea que la velocidad media in-cluye tanto magnitud como dirección. Donde sumagnitudmagnitud está dada por |∆r/∆t| y sudirección por la del vector desplazamiento ∆r.Esta cantidad es una velocidad media, ya que laexpresión no dice cómo fue el movimiento en-tre A y B, pues el movimiento pudo haber sidocontinuo o variable.

La siguiente es una situación en la que el vec-tor velocidad media es nulo. En la figura 1.10,un auto parte del punto A y pasando por el pun-to B regresa al punto A, luego de un tiempo ∆t .En este caso, la velocidad media es cero ya queel desplazamiento de la partícula es cero, aun-que la distancia recorrida es diferente de cero.

Ejemplo 1.3 Una partícula cuyo vector posición estádado por r(t) = (t − 3)i, se encuentra en el punto A en


x

O A B

rBA

-rBA

Figura 1.10: Vector desplazamiento nulo.

tA = 2.50 s. Si en el tiempo tB = 4.00 s pasa por el punto B,determine la magnitud y dirección de la velocidad mediaentre A y B.SoluciónObteniendo el vector desplazamiento ∆r y sabiendo que∆t = 1.5 s, mediante la ecuación (1.3), se encuentra que lavelocidad media en componentes rectangulares está dadapor

v̄ = (1.00 m · s−1)i.

En este caso se encuentra que la magnitud del vector ve-locidad media es

v = 1.00 m · s−1

Se observa que el vector desplazamiento y el vector ve-locidad media son paralelos, como se esperaba.

Ejercicio 1.3 Una partícula cuyo vector posición estádado por r(t) = (t − 3)j, con r en m y t en s, se encuentraen el punto C en el instante tC. Si en el tiempo tD pasapor el punto D, demuestre que la velocidad media cuandola partícula pasa del punto C al punto D, está dada porv̄ = (1 m · s−1)j.

Ejercicio 1.4 Una partícula cuyo vector posición estádado por r = (2t2 − 1)i, se encuentra en el punto A entA = 2.50 s. Si en el tiempo tB = 4.00 s pasa por el puntoB, calcule el vector desplazamiento entre A y B.

Ejemplo 1.4 La velocidad media cuando unapartícula pasa del punto A al punto B, está dada porv̄ = −(tB + tA)i . Obtenga la magnitud de la velocidadmedia, cuando la partícula se mueve durante los interva-los de tiempo mostrados en la tercera columna de la tabla1.1.SoluciónEn la tabla 1.1 se muestran los valores obtenidos para lamagnitud (v̄) del vector velocidad media, en diferentes in-tervalos de tiempo (∆t) con tB = 3.0 s.Tabla 1.1

tA(s) tB(s) ∆t(s) v̄(m/s)2.980000 3.0 0.020000 5.9800002.990000 3.0 0.010000 5.9900002.995000 3.0 0.005000 5.9950002.998000 3.0 0.002000 5.9980002.999000 3.0 0.001000 5.9990002.999500 3.0 0.000500 5.9995002.999800 3.0 0.000200 5.9998002.999900 3.0 0.000100 5.9999002.999990 3.0 0.000010 5.9999902.999995 3.0 0.000005 5.999995

Pregunta 1.1 ¿Qué puede concluir al observar los va-lores de las dos últimas columnas de la tabla 1.1?

Ejercicio 1.5 Para una partícula, el vector posición enfunción del tiempo está dado por r = (2t2 − 1)i , donde restá dado en m y t en s. a) Si la partícula pasa por el puntoC en el instante tC y por el punto D en el instante tD, halleel vector velocidad media. b) Obtenga la magnitud de lavelocidad media, cuando la partícula se mueve durantelos intervalos de tiempo mostrados en la tercera columnade la tabla 1.1.

1.6.2. Vector velocidad instantánea (v)

La velocidad instantánea de una partícula, es lavelocidad de ella en un instante dado cualquie-ra. O también, es la velocidad en un instante, res-pecto a determinado sistema de referencia, que en elcaso de una dimensión, puede variar sólo en magni-tud mientras el sentido de movimiento no cambie.

Para el movimiento de una partícula, repre-sentado en la figura 1.11, ¿cómo se puede deter-minar su velocidad en el punto A?

x

O i A BB´B´´

Dr´´´rA

rB

B´´´

Dr´´ Dr´

Dr

Figura 1.11: Vector velocidad instantánea.

Al considerar las posiciones intermedias de lapartícula en t2, t,

2, t,,2, t,,,

2 , determinadas por losvectores posición r2, r,

2, r,,2, r,,,

2 , se observa que losvectores desplazamiento ∆r, ∆r,, ∆r,,, ∆r,,,, cam-bian en magnitud.

Igualmente, los intervalos de tiempo corres-pondientes ∆t = t2 − t1, ∆t, = t,

2 − t1, ∆t,, =t,,2 − t1, ∆t,,, = t,,,

2 − t1, cada vez se hacen máspequeños.

Si se continúa este proceso haciendo que B seaproxime aún más al punto A, el vector despla-zamiento se hace cada vez más pequeño hastaque tiende a un valor límite. Este valor límite de∆r/∆t se conoce como velocidad instantánea en elpunto A, o sea, la velocidad de la partícula en elinstante de tiempo tA .


Si ∆r es el desplazamiento finito en un peque-ño intervalo de tiempo ∆t , a partir de un tiempoto, la velocidad en un tiempo posterior t , es elvalor al que tiende ∆r/∆t cuando tanto ∆r como∆t, tienden a cero, es decir,

v = lı́m∆t→0

∆r∆t

. (1.4)

La ecuación (1.4) no es más que la definición dederivada, esto es

v =drdt

. (1.5)

De la ecuación (1.5), se concluye que la veloci-dad instantánea es tangente a la trayectoria se-guida por la partícula, ya que el desplazamientoinfinitesimal dr es paralelo a ella. La magnitudde la velocidad se llama rapidez y es igual a

v = |v| =∣∣∣∣drdt

∣∣∣∣ . (1.6)

Como r = xi , se tiene que

v =drdt

=dxdt

i

= vxi= vi.

De acuerdo con la definición del vector velocidadinstantánea, se tiene que sus dimensiones y unidadesson las mismas del vector velocidad media.

En adelante, siempre que se hable de veloci-dad, se hace referencia a la velocidad instantá-nea.

Como, en este caso, la trayectoria rectilínea dela partícula coincide con el eje de coordenadasx, la velocidad es un vector cuya magnitud estádada por la ecuación (1.6) y cuya dirección coin-cide con la del movimiento. Así, la velocidad vestará dirigida en el sentido del vector unitarioi si dx

/dt > 0 y en el sentido opuesto de i si

dx/

dt < 0. O sea, el signo de dx/

dt indica elsentido de movimiento, como se muestra en lafigura 1.12.

En síntesis, de acuerdo con lo anterior, se tie-ne que el signo de la velocidad está dado por elsistema de referencia empleado.

O

O

i

ix

x

Movimiento

Movimiento

v > 0

v < 0

v

v

A

A

Figura 1.12: El signo de v indica el sentido de movi-miento.

Partiendo de la definición del vector veloci-dad, es posible conocer el vector posición deuna partícula si se conoce la forma como varíael vector velocidad con el tiempo.

Mediante la ecuación (1.5) y sabiendo que enel instante to la partícula se encuentra en la po-sición ro, se encuentra que la posición en el ins-tante t está dada por

r = ro +

t∫to

v(t)dt. (1.7)

Mientras no se conozca la forma como varía elvector velocidad (v(t)) con el tiempo, no es po-sible resolver la integral de la ecuación (1.7).

Para movimiento a lo largo del eje x, estoes en una dimensión, la expresión dada por laecuación (1.7) adquiere la forma

x = xo +

t∫to

v(t)dt, (1.8)

que como se sabe, es posible resolver la integralsi se conoce la forma funcional de v(t).

Un caso particular se presenta cuando el vec-tor velocidad permanece constante en magni-tud y dirección. Cuando ello ocurre, las ecua-ciones (1.7) y (1.8), respectivamente, se transfor-man en

r = ro + v(t − to), (1.9)

x = xo + v(t − to), (1.10)


Las ecuaciones (1.9) y (1.10), conocidas comoecuaciones cinemáticas de posición, correspon-den a un movimiento conocido como movi-miento rectilíneo uniforme, ya que al no cam-biar la dirección de la velocidad, la trayectoriaes rectilínea y al no cambiar la magnitud de lavelocidad su rapidez es constante.

Ejemplo 1.5 El vector posición de una partícu-la que se mueve a lo largo del eje x, está dado porr(t) = −(t2 − 15)i, donde r se da en m y t en s. Determinela velocidad de la partícula t = 3 s.SoluciónEmpleando la ecuación (1.5) se tiene que la velocidad encualquier instante de tiempo t está dada por

v = −2ti.

Reemplazando t = 3 s en la expresión para v, se tiene queel vector velocidad está dado por

v = −(6 m · s−1)i.

Pregunta 1.2 Compare este resultado con los valoresde la velocidad media mostrados en la tabla 1.1 del ejem-plo 1.4. ¿Qué puede concluir?

Ejercicio 1.6 El vector posición de una partícula quese mueve sobre el eje y, está dado por r = (2t2 − 1)j donder está dado en m y t en s. Determine la velocidad de lapartícula en el instante t = 3 s . Compare el resultado conlo obtenido en el ejercicio 1.4.

Ejemplo 1.6 Si la velocidad de una partícula estádada por v = −2ti, halle el vector posición de la partículaen el instante de tiempo t, sabiendo que partió de unaposición en la cual ro = (15 m)i en to = 0.SoluciónReemplazando los vectores ro y v en la ecuación (1.8), seencuentra que al integrar, evaluar y simplificar, el vectorposición de partícula está dado por

r = −(t2 − 15)i,

De este resultado, se puede concluir que si se conoce elvector posición de una partícula, en función del tiempo, esposible conocer el vector velocidad y si se conoce el vectorvelocidad, en función del tiempo, se puede conocer el vec-tor posición de la partícula (recuerde que la integración esla operación inversa de la derivación).

Ejercicio 1.7 Si la velocidad de una partícula está dadapor v = −3t2j , halle el vector posición de la partícula en elinstante de tiempo t, sabiendo que partió de una posiciónen la cual en ro = −(1.00 m)j en to = 0.

Hasta este momento se han definido, para elcaso de movimiento rectilíneo, las cantidadescinemáticas vector posición y vector velocidadque permiten describir el movimiento de cuer-pos tratados bajo el modelo de partícula y quese mueven en línea recta. El movimiento recti-líneo es el movimiento más simple que puedeadquirir un cuerpo.

De acuerdo con lo anterior, la trayectoria rec-tilínea de una partícula se puede hacer coincidirtanto con el eje x como con el eje y. Igualmente,la trayectoria y por ende el eje coordenado pue-de ser horizontal o tener cualquier orientaciónes decir, la trayectoria en línea recta, puede servertical, horizontal u oblicua, como la mostradaen la figura 1.13.

MovimientoiO

x

Figura 1.13: Movimiento rectilíneo de una partícu-la.

Aunque el desplazamiento, por definición esuna cantidad vectorial, se ha considerado la si-tuación en la cual sólo una componente del des-plazamiento es diferente de cero, al hacer coin-cidir el eje de coordenadas con la trayectoriarectilínea descrita por la partícula.

En la figura 1.13, el eje x coincide con la tra-yectoria descrita por una partícula, por lo quesu vector posición y su vector velocidad estándados, respectivamente, por

r = xi, v = vi.

Ahora, la coincidencia entre el eje x y la trayec-toria rectilínea de la partícula, define la direc-ción del movimiento, por lo que es posible es-cribir las cantidades anteriores en la forma

x, v =dxdt

. (1.11)

O sea, las definiciones y conceptos considera-dos anteriormente son válidos, ecuaciones (1.1)


a (1.9), siempre y cuando se tenga presente quesolo aparece una componente en cada uno delos vectores, esto es, cuando la trayectoria coin-cida con el eje utilizado.

A BO

x

Figura 1.14: Desplazamiento y distancia recorrida.

Es preciso tener presente que no se debe con-fundir desplazamiento con distancia recorrida, co-mo se ilustra en la figura 1.14, donde una partí-cula va del origen de coordenadas O al punto Ay luego regresa, pasando por O, hasta llegar alpunto B.

Así, en este caso, el vector desplazamientode la partícula tiene una magnitud dada por∆x = OB, apuntando hacia la derecha; estocorresponde al vector que va del punto O alpunto B, mientras que la distancia recorrida esd = 2OA + OB.

Ejercicio 1.8 Una partícula, cuya ecuación cinemáticade posición está dada por y(t) = 3t3 − 4t2 − t + 5, don-de y se da en m y t en s, se mueve paralelamente al eje y. a) Determine la velocidad de la partícula en función deltiempo. b) Calcule la posición y la velocidad de la partícu-la en el instante t = 2.5 s. c) ¿Cuáles son las dimensionesde los coeficientes numéricos, en cada uno de los términosde las ecuaciones cinemáticas de posición y velocidad?

Ejercicio 1.9 Determine, en función del tiempo, la po-sición de una partícula que se mueve a lo largo del eje z,sabiendo que su ecuación cinemática de velocidad está da-da por v = 9t2 − 8t − 1, con zo = 5 m en to = 0. Comparesu resultado con la expresión para y(t) dada en el ejercicio1.8.

1.6.3. Movimiento rectilíneo uniforme(MRU)

En esta sección se analiza con mayor detalle elcaso de un movimiento con velocidad constan-te, es decir, v = Constante. Esta situación ocu-rre, por ejemplo, cuando la aguja del velocíme-tro de un auto no cambia de posición mientras

el auto está en movimiento por una vía recta. Deeste modo, la ecuación (1.10),

x = xo + v(t − to), (1.12)

es la ecuación cinemática de posición, denominadomovimiento rectilíneo uniforme (MRU).

En muchos casos, es posible tomar to = 0.

x

x

xo

to

t

tO

Figura 1.15: Gráfica de la posición en función deltiempo para un MRU.

De acuerdo con la geometría analítica, laecuación (1.12) corresponde a la ecuación deuna línea recta, donde su pendiente es la veloci-dad del movimiento.

v

v

to

ttO

Area = Dx

Figura 1.16: Gráfica de la velocidad en función deltiempo para un MRU.

En las figuras 1.15 y 1.16 se muestran las gráfi-cas de posición y velocidad en función del tiem-po, para el caso de una partícula con movimien-to rectilíneo uniforme.

En la figura 1.15 se tiene que la pendiente dela gráfica de posición en función del tiempo estádada por

Pendiente =x − xo

t − to= v. (1.13)


Al comparar las ecuaciones.(1.12) y (1.13) se en-cuentra que realmente la pendiente de la rectacorresponde a la velocidad de una partícula conmovimiento rectilíneo uniforme.

Ejercicio 1.10 Utilizando la figura 1.16, demuestreque para el intervalo de tiempo ∆t = t − to, el área som-breada es igual al desplazamiento ∆x de una partícula quetiene movimiento rectilíneo uniforme.

Ejemplo 1.7 Un auto A y y una moto B se muevencon velocidades vA y vB, sobre una pista recta, en carrilesparalelos y con sentidos opuestos. Inicialmente, los móvi-les están separados una distancia d. a) Haga un diagramailustrativo de la situación planteada, donde se muestreel sistema de referencia a emplear. b) Teniendo en cuentael sistema de referencia elegido, plantee las ecuacionescinemáticas de posición para cada móvil. c) Determineel tiempo que demoran los móviles en pasar uno frenteal otro. d) Halle el valor de la cantidad obtenida en elnumeral anterior, si vA = 216 km · h−1, vB = 40 m · s−1 yd = 50 mSolucióna) Diagrama ilustrativo de la situación planteada, en elcual se muestra el sistema de referencia a emplear.

Movimiento

O

Movimiento

A

d

x

B

b) De acuerdo con el enunciado, las cantidades d, vAy vB son dadas y los móviles se mueven con velocidadesconstantes, por lo que cada uno tiene movimiento rectilí-neo uniforme. Así, las ecuaciones cinemáticas de posicióntienen la forma general dada por la ecuación (1.12), conto = 0, xoA = 0 y xoB = d.

Respecto al sistema de referencia mostrado en el dia-grama y con origen en O, las ecuaciones cinemáticas deposición para el auto A y para la moto B, respectivamente,adquieren la forma

xA = vAt. (1)

xB = d − vBt. (2)

c) Cuando un vehículo pasa frente al otro la posición esla misma, por lo que las ecuaciones (1) y (2) son iguales,teniendo en cuenta que a partir de la situación inicial, eltiempo que demoran los móviles en encontrarse es el mis-mo.

Por lo tanto, luego de igualar las ecuaciones (1) y (2),y simplificar, se encuentra que el tiempo que demoran enencontrarse está dado por

t =d

vA + vB. (3)

d) Al reemplazar en la ecuación (3) los valores vA =

216 km · h−1 ≡ 60 m · s−1, vB = 40 m · s−1 y d = 50 m,se tiene

t =50 m

60 m · s−1 + 40 m · s−1

= 0.5 s,

que es el tiempo que los móviles demoran en pasar unofrente al otro.

Ejercicio 1.11 Dos autos A y B se mueven con veloci-dades vA y vB (vA > vB), sobre una pista recta, en carri-les paralelos y en el mismo sentido. Inicialmente, los au-tos están separados una distancia d. a) Haga un diagramailustrativo de la situación planteada, donde se muestre elsistema de referencia a emplear. b) Teniendo en cuenta elsistema de referencia elegido, plantee la ecuación cinemá-tica de posición para cada auto. c) Determine el tiempoque demoran los autos en pasar uno frente al otro. d) Ha-lle el valor de la cantidad obtenida en el numeral anterior,si vA = 60 m · s−1, vB = 144 km · h−1 y d = 50 m, e) ¿Quése puede afirmar respecto al tiempo, cuando las velocida-des de los autos son iguales?

1.7. Momento lineal o cantidad demovimiento (p)

En esta sección se analiza la expresión matemá-tica que relaciona los conceptos de masa y ve-locidad con el concepto de momento lineal ocantidad de movimiento, en el caso de una di-mensión. Por ello, es necesario hacer referenciaa las cantidades dinámicas masa y momento linealque son el punto de partida de la mayoría de losconceptos que se tratarán en adelante.

La física dispone de una cantidad escalar quees característica o propia de cada cuerpo y lacual permite conectar la cinemática de una par-tícula con la dinámica de una partícula; estapropiedad de los cuerpos es su masa. En lo quesigue, no se hace una definición operacional dela masa, sino que en su lugar se emplea el con-cepto intuitivo que de ella se tiene, esto es, loque marca una balanza cuando un cuerpo se co-loca sobre ella.

La masa de un cuerpo, que se representa me-diante los símbolos M o m, es una cantidad fun-damental cuya dimensión es M. De acuerdo conesta dimensión, las unidades respectivas son: elkilogramo (kg) en el sistema de unidades SI, yel gramo (g) en el sistema gaussiano de unida-des. En el sistema inglés la unidad de masa es elslug, que se definirá más adelante.

1.7. MOMENTO LINEAL O CANTIDAD DE MOVIMIENTO (P) 11

La equivalencia entre estas unidades está da-da por la identidad: 1kg ≡ 103g.

Una vez que se han considerado los concep-tos de vector velocidad y del escalar masa, laprimera cantidad dinámica a definir, es el vectormomento lineal o cantidad de movimiento, que esde gran importancia en la física ya que permiteobtener mayor información que la que permiteobtener el vector velocidad.

O

pm

x

Figura 1.17: Momento lineal de una partícula.

Cuando una partícula de masa m, posee unavelocidad v respecto a determinado observador,se dice que su vector momento lineal, respectoa dicho observador, está dado por

p ≡ mv= mvi, (1.14)

De acuerdo con la definición dada por laecuación (1.14), se tiene que el momento lineales una cantidad vectorial que apunta en la mis-ma dirección del vector velocidad, como se ilus-tra en la figura 1.17.

Además, como la velocidad depende del sis-tema de referencia, entonces el momento linealtambién depende del sistema de referencia.Igualmente, como la velocidad es paralela a latrayectoria descrita por la partícula, el momen-to lineal también es paralelo a la trayectoria quela partícula describe.

Dimensiones y unidades del vector momentolinealDe acuerdo con la definición de momento lineal,se tiene que sus dimensiones son iguales a ladimensión de masa por la dimensión de velo-cidad, es decir [p] = [m][v] = MLT−1 . Por lotanto, las unidades en los respectivos sistemasestán dadas por: kg · m · s−1 en el sistema SI deunidades, g · cm · s−1 en el sistema gaussiano deunidades y como se verá más adelante, lb · s enel sistema inglés de unidades.

En el ejemplo 1.8, se muestra que el momentolineal permite obtener mayor información que

la velocidad.

Ejemplo 1.8 El camión de masa M y el auto demasa m de la figura 1.18 (M > m), se mueven con igualvelocidad v respecto al sistema de referencia mostrado.¿Cuál es más difícil llevar al estado de reposo?SoluciónLa experiencia muestra que el camión, con mayor momen-to lineal, es más difícil de llevar al estado de reposo. Lo an-terior indica que aunque cinemáticamente no existe dife-rencia alguna entre el estado de los dos autos, velocidadesiguales, dinámicamente se presenta una diferencia comoconsecuencia de la diferencia en sus momentos lineales.

x

v

v

O

mM

Figura 1.18: Cuerpos con igual velocidad y diferentemomento lineal.

1.7.1. Conservación del momento linealen una dimensión

Aunque solo se consideran dos casos particula-res, el principio de conservación del momentolineal tiene validez general, sin importar elnúmero de partículas que intervengan en unsistema. Este principio es de gran utilidad enla física, tanto desde el punto de vista teóricocomo experimental. En los dos casos que seconsideran a continuación, se recurre a losresultados que muestra el experimento, cuandoeste se lleva a cabo.

1. Como primer experimento se considera lasituación en la que a una partícula, de masa m yen movimiento rectilíneo, se le impide interac-tuar con cualquier otra, como se ilustra en la fi-gura 1.19. Al no interactuar la partícula con nin-guna otra, el resultado que se obtiene es que suestado de movimiento no es alterado, esto es,su velocidad permanecerá constante, o lo quees igual, su momento lineal debe permanecerconstante. Lo anterior se puede expresar mate-máticamente en la forma

p = mv = mvi = Constante o sea ∆p = 0


vm

x

Figura 1.19: Conservación del momento lineal deuna partícula aislada.

2. En el segundo experimento, como se indi-ca en la figura 1.20, se aíslan, del resto del uni-verso, dos partículas con masas constantes m1y m2. Decir que se aíslan del resto del universo,equivale a afirmar que sólo se permiten sus in-teracciones mutuas. A un sistema como este sele llama sistema aislado.

v1

m1

v2

m2

t

t´ >t

v1´

m1

v2´

m2

x

x

Figura 1.20: Momento lineal de dos partículas ais-ladas.

Cuando a las partículas se les permite interac-tuar entre sí, se encuentra que sus momentos li-neales individuales pueden cambiar al transcu-rrir el tiempo. Por otro lado, el momento linealtotal del sistema formado por las dos partícu-las, en cualquier instante, está dado por la sumade los momentos lineales de las partículas. Deacuerdo con lo anterior, en el instante t el mo-

mento lineal del sistema aislado, está dado por

P = p1 + p2

= m1v1 + m2v2

= m1v1i + m2v2i, (1.15)

y en el instante posterior t′ por

P′ = p′1 + p′

2

= m1v′1 + m2v′

2

= m1v′1i + m2v′2i. (1.16)

Cuando se realiza este experimento, se encuen-tra que independientemente de los valores de ty t′, el momento lineal total del sistema perma-nece constante, o sea,

P = P′

Pi = P′i (1.17)

Para el caso unidimensional, se puede enunciarel principio de conservación del momento li-neal, en la forma: El momento lineal total del siste-ma aislado formado por las dos partículas, permanececonstante.

Para la situación de interés, se tiene que elmomento lineal ganado (o perdido) por unapartícula, es perdido (o ganado) por la otra par-tícula; así, al reemplazar las ecuaciones (1.15) y(1.16) en la ecuación (1.17) se tiene

p1 + p2 = p′1 + p′

2

= Constantep1i + p2i = p′1i + p′2i

= Constante,

o lo que es igual

∆p1 = −∆p2

∆p1i = −∆p2i, (1.18)

de donde, el momento lineal que gana una par-tícula es igual al momento lineal que pierde laotra.

Como consecuencia de este resultado, de va-lidez general, el cambio en el momento linealde una partícula se debe a su interacción con laotra partícula. En conclusión, toda interacción en-tre dos partículas genera cambios en sus momentoslineales individuales.

1.8. MOVIMIENTO EN UN PLANO 13

A diario se presentan situaciones en las que semanifiesta la conservación del momento lineal.Por ejemplo, cuando un rifle en reposo respectoa la tierra es disparado, se observa que el rifle re-trocede. Este retroceso es una consecuencia delprincipio de conservación del vector momentolineal, ya que en este caso, el momento linealtotal del sistema rifle-proyectil, inmediatamen-te antes del disparo e inmediatamente despuésdel disparo, debe ser nulo.

1.8. Movimiento en un plano

Las cantidades físicas vector posición (r), vec-tor desplazamiento (∆r), vector velocidad (v) yvector momento lineal (p), se han definido pa-ra el caso de una dimensión. En lo que sigue,se analizan situaciones en las que los cuerposse mueven sobre un plano y no sólo en línearecta. Por consiguiente, los vectores anteriorestendrán dos componentes rectangulares, lo cualsignifica que en este caso los sistemas de refe-rencia deben ser bidimensionales.

1.8.1. Vector posición en dos dimensio-nes (r)

Para el caso de dos dimensiones, un cuerpo tra-tado bajo el modelo de partícula, se mueve alo largo de un camino, también conocido comotrayectoria. La posición de la partícula, en uninstante determinado y respecto al sistema dereferencia mostrado en la figura 1.21, está dadapor el vector posición r trazado desde el origendel sistema de referencia hasta la posición don-de se encuentre la partícula.

x

y

O i

j

r( )t

A( , )x y

Trayectoria

q

Figura 1.21: Vector posición r de la partícula.

Si el vector posición en componentes rectan-gulares está dado por r = x i + yj , se tiene quesu magnitud y dirección están dadas, respecti-vamente, por

r =√

x2 + y2 y θ = tan−1 yx

. (1.19)

La forma de las expresiones dadas por la ecua-ción (1.19) son válidas, en general, para obtenerla magnitud y dirección de cualquier vector, sise conocen sus componentes rectangulares.

En la figura 1.21 se observa que el vector posi-ción r varía con el tiempo tanto en magnitud co-mo en dirección, mientras la partícula se muevea lo largo de su trayectoria.

Ejemplo 1.9 El vector posición de una partí-cula que se mueve en el plano xy, está dado porr(t) = (t − 3)i − (t2 − 15)j, donde r está dado en m y ten s. Cuando tA = 2.50 s la partícula pasa por el puntoA. Determine: a) Las coordenadas de la partícula en elpunto A. b) La magnitud y dirección del vector posiciónen dicho instante.Solucióna) Reemplazando tA = 2.50 s en la expresión dada, se en-cuentra que el vector posición en componentes rectangu-lares, cuando la partícula pasa por el punto A, está dadopor

rA = (− 0.50 m)i + (8.75 m)j.

Como en el plano el vector posición en general se expre-sa en la forma r = xi + yj, al comparar con la igualdadanterior se tiene que

xA = −0.50 m y yA = 8.75 m,

que son las coordenadas de la partícula cuando pasa porel punto A.

b) Utilizando las ecuaciones (1.19), se encuentra que lamagnitud y dirección del vector posición están dadas por

rA = 8.76 m y θA = 86.73o.

Así, el vector posición se puede expresar en la forma

rA

= 8.76 m 86.73o

El siguiente diagrama es una representación gráfica delos resultados obtenidos.

Ejercicio 1.12 El vector posición de una partícula quese mueve en el plano xy, está dado por r(t) = (t − 3)i −(t2 − 15)j donde r está dado en m y t en s. a) Encuentrela ecuación de la trayectoria seguida por la partícula. Deacuerdo con su resultado, ¿qué trayectoria describe la par-tícula? b) Halle el instante en que la partícula pasa por eleje x y el instante en que pasa por el eje y . c) Obtenga elvector posición de la partícula en el instante t = 0.


A

x (m)

y (m)

i

j

rA

8.75

- 0.50 O

qA

Ejercicio 1.13 El vector posición de una partícula quese mueve en el plano xy, está dado por r(t) = (2t2 − 1)i −(t3 + 2)j donde r está dado en m y t en s. Cuando tA =

2.50 s la partícula pasa por el punto A. Determine: a) Lascoordenadas de la partícula en el punto A. b) La magnitudy dirección del vector posición en dicho instante.

1.8.2. Vector desplazamiento en dos di-mensiones (∆r)

Para el caso de movimiento en dos dimensio-nes, como lo muestra la figura 1.22, se conside-ra una partícula que en el instante tA pasa porel punto A, definido por el vector posición rA. Sien un instante de tiempo posterior tB (tB > tA )la partícula pasa por el punto B, definido me-diante el vector posición rB, el vector desplaza-miento, que describe el cambio de posición de lapartícula conforme se mueve de A a B, es dadopor

∆r = rB − rA

= (xB − xA)i + (yB − yA)j. (1.20)

x

y

O ij

A( , )x yA A

B( , )x yB B

Dr

rB

rA

Figura 1.22: Vector desplazamiento ∆r entre A y B.

Ejemplo 1.10 Una partícula cuyo vector posiciónestá dado por r(t) = (t − 3)i − (t2 − 15)j se encuentra enel punto A en tA = 2.50 s. Si en el tiempo tB = 4.00 s pasapor el punto B, calcule la magnitud y dirección del vectordesplazamiento entre A y B.

SoluciónAl reemplazar tA = 2.50 s y tB = 4.00 s en la expresióndada, se encuentra que los vectores posición de la partícu-la, en componentes rectangulares, respectivamente estándados por

rA = (− 0.50 m)i + (8.75 m)j,rB = (1.00 m)i − (1.00 m)j.

Ahora, utilizando la ecuación (1.20), se tiene que el vectordesplazamiento, entre A y B, en componentes rectangula-res está dado por

∆r = (1.50 m)i − (9.75 m)j.

Por último, utilizando las ecuaciones (1.19), se encuentraque la magnitud y dirección del vector desplazamiento es-tán dadas por

∆r = 9.86 m y β = 81.25o,

Es decir

rA

= 9.86 m 81.25o

En el diagrama siguiente se muestra, tanto el vectordesplazamiento como el ángulo que forma con la horizon-tal.

x

y

O

b

rA

rB

D r

Ejercicio 1.14 Una partícula cuyo vector posición estádado por r(t) = (2t2 − 1)i − (t3 + 2)j, donde r está dadoen m y t en s, se encuentra en el punto A en tA = 2.50 s.Si en el tiempo tB = 4.00 s pasa por el punto B, calcule lamagnitud y dirección del vector desplazamiento entre A yB.


1.8.3. Vector velocidad en dos dimensio-nes (v)

Igual que en el caso de movimiento rectilíneo,cuando la posición de una partícula cambia conel tiempo, la partícula ha adquirido una veloci-dad. En general, la velocidad de una partículase define como la rapidez con la cual cambia laposición con el tiempo.

1.8.4. Vector velocidad media en dos di-mensiones (v̄)

Para el caso de movimiento en el plano y deacuerdo con la figura 1.23, se considera una par-tícula que en el instante tA pasa por el punto A,determinado por el vector posición rA. Si en untiempo posterior tB (tB > tA ) la partícula pasapor el punto B, determinado por el vector po-sición rB, la velocidad media durante el intervalode tiempo ∆t = tB − tA , se define como el vec-tor desplazamiento dividido entre el intervalode tiempo correspondiente, es decir

v̄ ≡ ∆r∆t

=rB − rA

tB − tA

=(xB − xA)i + (yB − yA)j

tB − tA

= v̄xi + v̄yj.

(1.21)

x

y

O i

j

A( , )x yA A

B( , )x yB B

v

rA

rB

D r

Figura 1.23: Vector velocidad media entre A y B.

Dimensiones y unidades del vector velocidadmediaDe acuerdo con la ecuación (1.21), las dimen-siones y en general de la velocidad, son LT−1 .Por consiguiente, las unidades son m · s−1 enel sistema SI, cm · s−1 en el sistema gaussiano,

p · s−1 en el sistema Inglés; y en general, cual-quier unidad de longitud dividida por unaunidad de tiempo, tal como km · h−1.

La definición (1.21) muestra que la velocidadmedia, v̄ , es un vector ya que se obtiene al di-vidir el vector ∆r entre el escalar ∆t, por lo tan-to, la velocidad media incluye tanto magnitudcomo dirección. Donde su magnitud está dadapor |∆r/∆t| y su dirección por la del vector des-plazamiento ∆r. Esta cantidad es una velocidadmedia, ya que la expresión no dice cómo fue elmovimiento entre A y B. La trayectoria pudohaber sido curva o recta, el movimiento pudohaber sido continuo o variable.

La siguiente es una situación en la que elvector velocidad media es nulo. La figura 1.24,muestra la trayectoria de un auto que parte delpunto A y pasando por el punto B regresa alpunto A, luego de un tiempo ∆t. En este caso, lavelocidad media es cero pues el desplazamientode la partícula es cero, aunque la distancia reco-rrida es diferente de cero, ya que correspondea la longitud de la trayectoria cerrada seguidapor la partícula.

x

y

O

A

B

Figura 1.24: Vector desplazamiento nulo.

Ejemplo 1.11 El vector posición de una partículaen movimiento está dado por r(t) = (t − 3)i − (t2 − 15)j,se encuentra en el punto A en tA = 2.50 s. Si enel tiempo tB = 4.00 s pasa por el punto B, determinela magnitud y dirección de la velocidad media entre A y B.SoluciónObteniendo el vector desplazamiento ∆r y sabiendo que∆t = 1.5 s, utilizando la ecuación (1.21), se encuentra quela velocidad media en componentes rectangulares está da-da por

v̄ = (1.00 m · s−1)i − (6.5 m · s−1)j. (1)

Mediante las ecuaciones (1.19) y para este caso, se encuen-tra que la magnitud y dirección del vector velocidad me-


dia, están dadas por

v = 6.58 m · s−1 y β= 81.25o

o sea que es la misma dirección del vector desplazamiento

v = 6.58 m s-1

81.25o

∆r , como se esperaba.

Ejercicio 1.15 Una partícula cuyo vector posición es-tá dado por r(t) = (t − 3)i − (t2 − 15)j, se encuentra enel punto A en el instante tA. Si en el tiempo tB pasa porel punto B, demuestre que la velocidad media cuandola partícula pasa del punto A al punto B, está dada porv̄ = i − (tB + tA)j.

Ejercicio 1.16 Una partícula cuyo vector posición estádado por r(t) = (2t2 − 1)i − (t3 + 2)j, se encuentra en elpunto A en tA = 2.50 s. Si en el tiempo tB = 4.00 s pasapor el punto B, calcule la magnitud y dirección del vectordesplazamiento entre A y B y del vector velocidad mediaen dicho intervalo.

Ejemplo 1.12 La velocidad media cuando unapartícula pasa del punto A al punto B, está dada porv̄ = i − (tB + tA)j . Obtenga la magnitud y dirección de lavelocidad media, cuando la partícula se mueve durantelos intervalos de tiempo mostrados en la tercera columnade la tabla 1.2.SoluciónEn la tabla 1.2 se muestran los valores obtenidos para lamagnitud (v̄) y la dirección (θ) del vector velocidad media,en diferentes intervalos de tiempo (∆t) con tB = 3.0 s.

Tabla 1.2

tA(s) tB(s) ∆t(s) v̄(m/s) θ(o)2.980000 3.0 0.020000 6.060000 80.500002.990000 3.0 0.010000 6.070000 80.520002.995000 3.0 0.005000 6.078000 80.530002.998000 3.0 0.002000 6.081000 80.534002.999000 3.0 0.001000 6.082000 80.536002.999500 3.0 0.000500 6.082300 80.536902.999800 3.0 0.000200 6.082600 80.537402.999900 3.0 0.000100 6.082700 80.537502.999990 3.0 0.000010 6.082750 80.537662.999995 3.0 0.000005 6.082758 80.53767

Pregunta 1.3 ¿Qué puede concluir al observar los va-lores de las tres últimas columnas de la tabla 1.2

Ejercicio 1.17 Para una partícula, el vector posición enfunción del tiempo está dado por r(t) = (2t2 − 1)i − (t3 +

2)j , donde r está dado en m y t en s. a) Si la partícula pa-sa por el punto A en el instante tA y por el punto B en el

instante tB , halle el vector velocidad media en sus com-ponentes rectangulares. b) Obtenga la magnitud y direc-ción de la velocidad media, cuando la partícula se muevedurante los intervalos de tiempo mostrados en la terceracolumna de la tabla 1.2.

1.8.5. Vector velocidad instantánea endos dimensiones (v)

La velocidad instantánea, es la velocidad deuna partícula en un instante dado cualquiera.O también, es la velocidad, respecto a determinadosistema de referencia, que puede variar bien sea por-que cambia sólo su magnitud ó sólo su dirección ósimultáneamente, cambian tanto su magnitud comosu dirección.

Para el movimiento de una partícula, repre-sentado en la figura 1.25, ¿cómo se puede deter-minar su velocidad en el punto A?

x

y

O i

j

A

B

v

B '

B ''Dr''

Dr'

Drr

A

rB

Figura 1.25: Vector velocidad instantánea.

Al considerar las posiciones intermedias de lapartícula en t,

2, t,,2, t,,,

2 , determinadas por los vec-tores posición r,

2, r,,2, r,,,

2 , se observa que los vecto-res desplazamiento ∆r,, ∆r,,, ∆r,,,, cambian tantoen magnitud como en dirección, o sea que la ve-locidad media varía tanto en magnitud como endirección al tener en cuenta los puntos entre Ay B.

Igualmente, los intervalos de tiempo corres-pondientes ∆t = t2 − t1, ∆t, = t,

2 − t1, ∆t,, =t,,2 − t1, ∆t,,, = t,,,

2 − t1, cada vez se hacen máspequeños.

Si se continúa este proceso haciendo que B seaproxime al punto A, el vector desplazamientose hace cada vez más pequeño hasta que tien-de a un valor y a una dirección límite, que co-rresponde a la de la tangente a la trayectoria de


la partícula en el punto A. Este valor límite de∆r/∆t se conoce como velocidad instantánea en elpunto A, o sea, la velocidad de la partícula en elinstante de tiempo tA .

Si ∆r es el desplazamiento finito en un peque-ño intervalo de tiempo finito ∆t, a partir de untiempo to, la velocidad en un tiempo posteriort, es el valor al que tiende ∆r/∆t cuando tanto∆r como ∆t, tienden a cero, es decir,

v = lı́m∆t→0

∆r∆t

. (1.22)

La ecuación (1.22) no es más que la definiciónde derivada, esto es

v =drdt

. (1.23)

De la ecuación (1.23), se concluye que la veloci-dad instantánea es tangente a la trayectoria se-guida por la partícula, ya que el desplazamientoinfinitesimal dr es tangente a la trayectoria. Lamagnitud de la velocidad se llama rapidez y esigual a

v = |v| =∣∣∣∣drdt

∣∣∣∣ .

Como r = xi + yj, se tiene que en componentesrectangulares

v =drdt

=dxdt

i +dydt

j

= vxi + vyj.

Si en la figura 1.26, se conocen las componentesrectangulares, se tiene que su magnitud y direc-ción están dadas por

v =√

v2x + v2

y y θ = tan−1 vy

vx.

De acuerdo con la definición del vector velocidad ins-tantánea, se tiene que sus dimensiones y unidadesson las mismas del vector velocidad media.

En adelante, siempre que se hable de veloci-dad, se hace referencia a la velocidad instantá-nea.

Partiendo de la definición del vector veloci-dad, es posible conocer el vector posición de

x

y

O i

j

r( )t

q

vy

vx

v

Figura 1.26: Componentes rectangulares del vectorvelocidad.

una partícula si se conoce la forma como varíael vector velocidad con el tiempo.

Teniendo en cuenta que en el instante detiempo to la partícula se encuentra en la posi-ción ro, mediante la ecuación (1.23) se encuentraque que la posición de la partícula en el instantet está dada por

r = ro +

t∫to

v(t)dt. (1.24)

Lo que se ha hecho es, partiendo de la forma di-ferencial de la ecuación (1.23), obtener la formaintegral dada por la ecuación (1.24). Mientras nose conozca la forma como varía el vector veloci-dad (v(t)) con el tiempo, no es posible resolverla integral de la ecuación (1.24).

Ejemplo 1.13 El vector posición de una partí-cula que se mueve en el plano xy, está dado porr(t) = (t − 3)i − (t2 − 15)j, donde r está dado en m y t ens. Determine la velocidad de la partícula, en el instantet = 3 s.Solucióna) Empleando la ecuación (1.23) se tiene que la velocidaden cualquier instante de tiempo t está dada por

v = i − 2tj.

Reemplazando t = 3 s en la expresión para v, se tiene queel vector velocidad en componentes rectangulares está da-do por

v = (1 m · s−1)i − (6 m · s−1)j. (1)

Así que su magnitud y dirección están dadas respectiva-mente por

v = 6.08 m · s−1 y θ = 80.54o,

es decir


v = 6.083 m.s-1

80.54o

Ejercicio 1.18 El vector posición de una partícula quese mueve en el plano xy, está dado por r(t) = (2t2 − 1)i −(t3 + 2)j donde r está dado en m y t en s. Determine lavelocidad de la partícula, en el instante t = 3 s . Compareel resultado con lo obtenido en el ejercicio 1.12.

1.9. Momento lineal o cantidad demovimiento en dos dimen-siones (p)

En esta sección, de nuevo se hace referencia alas cantidades dinámicas masa y momento linealque son el punto de partida de la mayoría de losconceptos que se tratarán en adelante.

Como se sabe, la física dispone de una can-tidad escalar que es característica o propia decada cuerpo como es su masa. Recuerde que nose hace una definición operacional de la masa,sino que en su lugar se emplea el concepto in-tuitivo que de ella se tiene, esto es, lo que marcauna balanza cuando un cuerpo se coloca sobreella.

Igualmente, se debe tener presente que la ma-sa de un cuerpo es una cantidad fundamentalcuya dimensión es M y que de acuerdo con estadimensión, las unidades respectivas son: el ki-logramo (kg) en el sistema de unidades SI, y elgramo (g) en el sistema gaussiano de unidades.

En el caso de dos dimensiones, la primeracantidad dinámica a definir, es el vector momen-to lineal o vector cantidad de movimiento, de granimportancia en la física pues permite obtenermás información que el vector velocidad.

Una partícula de masa m que posee una velo-cidad v respecto a determinado observador, tie-ne, respecto a dicho observador, un momentolineal dado por

p ≡ mv. (1.25)

De acuerdo con la definición dada por la ecua-ción (1.25), se tiene que el momento lineal esuna cantidad vectorial que apunta en la mismadirección del vector velocidad, como se ilustraen la figura 1.27.

O

p

m

y

x

Figura 1.27: Momento lineal de una partícula.

Además, como la velocidad depende del sis-tema de referencia, entonces el momento linealtambién depende del sistema de referencia.Igualmente, como la velocidad es tangente a latrayectoria descrita por la partícula, el momen-to lineal también es tangente a la trayectoriaque la partícula describe.

Dimensiones y unidades del vector momentolinealDe acuerdo con la definición de momento lineal,se tiene que sus dimensiones son iguales a ladimensión de masa por la dimensión de velo-cidad, es decir [p] = [m][v] = MLT−1 . Por lotanto, las unidades en los respectivos sistemasestán dadas por: kg · m · s−1 en el sistema SI deunidades, g · cm · s−1 en el sistema gaussiano deunidades y como se verá posteriormente lb · sen el sistema inglés de unidades.

Ejemplo 1.14 Si el momento lineal de una partículade masa 600 g, está dado por p = 0.6i − 1.2tj, halle elvector posición de la partícula en el instante de tiem-po t, sabiendo que partió de una posición en la cualro = −(3.0 m)i + (15 m)j cuando to = 0.SoluciónUtilizando la definición del vector momento lineal, se en-cuentra que en componentes rectangulares el vector velo-cidad está dado por

v = i − 2tj (1).

Al reemplazar los vectores ro y v en la ecuación (1.24), seencuentra que al integrar, evaluar y simplificar, el vectorposición de partícula está dado por

r = (t − 3)i − (t2 − 15)j,

que es el mismo vector posición considerado en el ejemplo1.1. De este resultado, se puede concluir que si se conoceel vector posición de una partícula, en función del tiempo,

1.9. MOMENTO LINEAL O CANTIDAD DE MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES (P) 19

es posible conocer el vector momento lineal y si se conoceel vector momento lineal, en función del tiempo, se puedeconocer el vector posición de la partícula (recuerde que laintegración es la operación inversa de la derivación).

Ejercicio 1.19 Si el momento lineal de una partículacon masa 400g está dado por p = 1.6ti − 1.2t2j, halle elvector posición de la partícula en el instante de tiempo t,sabiendo que partió de una posición en la cual en ro =

−(1.00 m)i − (2.00 m)j en to = 0. Compare su resultadocon el vector posición dado en el ejercicio 1.17.

1.9.1. Conservación del momento linealen dos dimensiones

Como se indicó antes, aunque solo se consi-deran dos casos particulares, el principio deconservación del vector momento lineal tienevalidez general, sin importar el número departículas que intervienen en un sistema. Esteprincipio es de gran utilidad en la física, tantodesde un punto de vista teórico como experi-mental. En los dos casos que se consideran acontinuación, se recurre a los resultados quemuestra el experimento, cuando este se lleva acabo.

1. En el primer experimento se considera lasituación en la que a una partícula, de masa my con movimiento en el plano, se le impide in-teractuar con cualquier otra, como se ilustra enla figura 1.28. Al no interactuar la partícula conninguna otra, el resultado que se obtiene es quesu estado de movimiento no es alterado, esto es,su velocidad permanecerá constante, o lo quees igual, su momento lineal debe permanecerconstante. Lo anterior se puede expresar mate-máticamente en la forma

p = mv = Constante o sea ∆p = 0

2. En el segundo experimento, como se indi-ca en la figura 1.29, se aíslan, del resto del uni-verso, dos partículas con masas constantes m1 ym2 y que se mueven en un plano. Decir que seaíslan del resto del universo, equivale a afirmarque sólo se permiten sus interacciones mutuas.A un sistema como este se le llama sistema aisla-do.

v

m

Figura 1.28: Conservación del momento lineal deuna partícula aislada.

v1

m1

v2

m2

t

t>t'm

1

m2

v1'

v2'

Figura 1.29: Momento lineal de dos partículas ais-ladas.

Una vez que se le permite a las partículas in-teractuar entre sí, se encuentra que sus momen-tos lineales individuales cambian al transcurrirel tiempo. Adicionalmente, el momento linealtotal del sistema formado por las dos partícu-las, en cualquier instante, está dado por la sumade los momentos lineales de las partículas. Deacuerdo con lo anterior, en el instante t el mo-mento lineal del sistema aislado, está dado por

P = p1 + p2

= m1v1 + m2v2, (1.26)

y en el instante posterior t′ por

P′ = p′1 + p′

2

= m1v′1 + m2v′

2. (1.27)

El experimento muestra, que independiente-mente de los valores de t y t′, el momento linealtotal del sistema aislado permanece constante, osea,

P = P′ (1.28)


Como la ecuación (1.28) es válida independien-temente del número de partículas que confor-man el sistema, se enuncia el principio de con-servación del momento lineal, en la forma: Elmomento lineal total de un sistema aislado de partí-culas, permanece constante.

De este modo, el momento lineal ganado(perdido) por una partícula, es perdido (gana-do) por el resto del sistema.

Para la situación que interesa en este momen-to, se tiene que el momento lineal ganado (o per-dido) por una de las partículas, es perdido (oganado) por la otra partícula. Así, al reempla-zar las ecuaciones (1.26) y (1.27) en la ecuación(1.28) se tiene

p1 + p2 = p′1 + p′

2

= Constante,

o lo que es igual

∆p1 = −∆p2, (1.29)

de donde, el momento lineal que gana una par-tícula es igual y de sentido opuesto al momentolineal que pierde la otra.

El resultado anterior tiene validez general ypermite afirmar que el momento lineal de unapartícula cambia cuando interactúa con otra uotras partículas. En conclusión, toda interacciónentre partículas genera cambios en sus momentos li-neales individuales.

A menudo ocurren situaciones en las que semanifiesta claramente la conservación del vec-tor momento lineal en dos dimensiones. Unejemplo, de conservación del vector momentolineal en dos dimensiones, se presenta cuandouna moto choca contra un camión. Es evidenteque el camión prácticamente no cambia su tra-yectoria, en cambio la moto generalmente ter-mina en un lugar relativamente alejado de don-de ocurrió el choque.

1.9.2. Concepto del vector impulso (I)

El impulso es una cantidad física que se defi-ne en función del momento lineal, en la forma

∆p = p − po,≡ I, (1.30)

donde la ecuación (1.30) lo define como elcambio en el vector momento lineal. De acuer-do con esta definición, las dimensiones y uni-dades de impulso son las mismas de momentolineal. De este modo, por definición, el impulsono depende explícitamente de la masa m ni dela velocidad inicial vo de la partícula, ya que só-lo importa el cambio en el momento lineal de lapartícula.

El impulso es una cantidad física que adquie-re importancia cuando se presenta un gran cam-bio en el momento lineal de una partícula perodurante un pequeño intervalo de tiempo. Porejemplo, cuando el bate le da a una pelota debéisbol o cuando se le pega con el palo a unapelota de golf.

1.10. Concepto de energía cinéticaEk

Otra cantidad física de importancia en la físi-ca es la energía cinética de una partícula. Estacantidad es un escalar, que se puede expresaren función de la magnitud del vector velocidado de la magnitud del vector momento lineal.

Como se vio anteriormente, el momento li-neal de una partícula en movimiento cambiacon el tiempo mientras esta interactúa con otrapartícula. Se supone que el momento lineal dela partícula sufre un cambio dp durante un in-tervalo de tiempo dt en el cual la partícula se hadesplazado un dr.

Derivando respecto al tiempo, a ambos ladosde la ecuación (1.25), se tiene

dpdt

= mdvdt

. (1.31)

Multiplicando escalarmente, a ambos lados dela ecuación (1.31), por el desplazamiento dr, esposible obtener la igualdad

1m

p · dp = mv · dv. (1.32)

Como se muestra en la figura 1.30, se consideraque la partícula se mueve desde una posición Adonde la rapidez es vA y la magnitud del mo-mento lineal pA, hasta una posición B donde la

1.11. COLISIONES 21

rapidez es vB y la magnitud de su momento li-neal pB. Mediante la ecuación (1.32) y luego deintegrar y evaluar, se llega a

p2B

2 m− p2

A2 m

=12

mv2B − 1

2mv2

A

∆(p2

2 m) = ∆(

12

mv2). (1.33)

x

y

O

BA

m

m

vA

vB

pA

pB

Figura 1.30: Movimiento de m entre A y B

La ecuación (1.33) muestra que el cambio enla cantidad ∆( p2

2 m ) es igual al cambio en la can-tidad ∆( 1

2 mv2), mostrando con ello que ambasexpresiones se refieren a la misma cantidad fí-sica conocida como energía cinética, es decir, laenergía cinética se define matemáticamente por

Ek ≡ p2

2 m≡ 1

2mv2. (1.34)

Como lo muestra la ecuación (1.34) la energíacinética es una cantidad escalar ya que dependebien sea de la magnitud del vector momento li-neal o de la rapidez de la partícula, es decir, esindependiente de la dirección en que se muevela partícula. O sea, la definición de energía ciné-tica no tiene en cuenta el hecho que el sistemade referencia sea unidimensional o bidimensio-nal.

Como la energía cinética es una cantidad físi-ca que depende, bien sea de la magnitud de lavelocidad ó de la magnitud del momento lineal,entonces depende del sistema de referencia yaque la velocidad, igual que el momento lineal,depende de él. Por otro lado, al ser la energíacinética una función de la rapidez o de la mag-nitud del momento lineal, es una energía quese le asocia a los cuerpos como consecuencia desu movimiento. Un cuerpo en reposo respecto a

determinado observador, no tiene energía ciné-tica respecto al sistema de referencia asociado,aunque puede ser diferente de cero respecto aotros observadores, es decir, la energía cinéticaes una cantidad relativa.

En el caso particular de un movimiento rec-tilíneo uniforme, esto es, cuando una partículase mueve con velocidad constante, el cambio enla energía cinética es nulo, es decir, ∆Ek = 0,lo que indica que la energía cinética permane-ce constante durante su movimiento. Esta situa-ción se ilustra en la figura 1.31

x

O

v = Constante

Figura 1.31: Cuerpo con movimiento rectilíneo uni-forme.

Dimensiones y unidades de energía cinéticaDe acuerdo con las ecuaciones (1.33) y (1.34),las dimensiones de energía cinética son ML2T−2

por lo que su unidad en el sistema internacionalde unidades es el kg · m2 · s−2, unidad conocidacomo Joule, en el sistema gaussiano de unida-des es el g · cm2 · s−2 unidad conocida como er-gio y en el sistema inglés de unidades lb · p. Esdecir

1kg · m2 · s−2 ≡ 1J(Joule)

1g · cm2 · s−2 ≡ 1 ergio

En mecánica cuántica y particularmente físi-ca nuclear, se encuentra que las unidades defi-nidas anteriormente para trabajo y energía sonmuy grandes, por ello, a nivel microscópico seutiliza otra unidad más pequeña de energía lla-mada electronvoltio (eV) y cuya relación con launidad SI es

1 eV ≡ 1 .602 × 10−19 J.

Un múltiplo de esta unidad bastante utilizadoes el MeV, cuya relación es 1 MeV ≡ 106 eV.

1.11. Colisiones

Se habla de una colisión, cuando ocurre una in-teracción entre dos o más partículas, en un in-


tervalo corto de tiempo, en una región limitadadel espacio y donde las interacciones entre loscuerpos son muy intensas. Esta definición indi-ca que las partículas interactuantes forman unsistema aislado.

En toda colisión, la interacción entre las par-tículas altera su movimiento, ya que general-mente se presenta un intercambio de momen-to lineal y de energía. Lo anterior, no significanecesariamente que las partículas hayan estadoen contacto físico. En general, se quiere indicarque ha ocurrido una interacción cuando las par-tículas estaban próximas como se muestra en laregión encerrada de la figura 1.32 para el casode dos partículas. Cuando se presenta contac-to físico entre las partículas, se acostumbra de-nominar la colisión como un choque, esto ocurrepor ejemplo entre dos bolas de billar o entre dosautos.

En muchos casos, los cuerpos antes de unchoque son diferentes a los cuerpos después delchoque. En una reacción química, por ejemplo,el átomo A choca con la molécula BC, aparecien-do luego del choque la molécula AB y el áto-mo C, esto es A + BC ↔ AB + C. En el casode un disparo, antes de la colisión se tiene uncuerpo formado por el arma y el proyectil y lue-go del disparo se tienen dos cuerpos, el arma yel proyectil. En el enganche de vagones de untren, antes del choque se tienen dos cuerpos, ca-da uno de los vagones, y luego del choque setiene un cuerpo formado por los dos vagonesenganchados.

Se dice que ocurre una dispersión, cuando enun choque o colisión los cuerpos iniciales sonlos mismos cuerpos finales.

Región decolisión

m1

m1'

m2

m2'

v1

v2v2'

v1'

Figura 1.32: Colisión entre dos partículas.

Como un resultado del experimento y sabien-

do que en un choque se tiene un sistema aislado,puesto que únicamente actúan fuerzas internasque afectan el estado de cada cuerpo, se pue-de afirmar, el momento lineal total de un sistema esigual antes y después de una colisión. Matemática-mente y para el caso de dos partículas se tiene

p1 + p2 = p,1 + p,

2, (1.35)

donde p1 y p2 son los momentos lineales decada una de las partículas antes de la colisión,p,

1 y p,2 los momentos lineales de cada una de

las partículas después de la colisión.Comúnmente, la ecuación (1.35) se escribe en

la forma

m1v1 + m2v2 = m,1v,

1 + m,2v,

2 ,

siendo m1, m2 las masas de las partículas antesde la colisión y m,

1, m,2 las masas después de la

colisión.En general, uno de los objetivos al analizar

una colisión es poder relacionar las velocidadesde las partículas antes y después que esta ocu-rra. Para el caso de una colisión en dos dimen-siones y entre dos partículas, si se conocen lasvelocidades antes de la colisión se tienen cua-tro incógnitas, correspondientes a las compo-nentes de las velocidades de cada partícula enlas dos dimensiones; pero como la conservacióndel momento lineal sólo proporciona dos ecua-ciones, una en cada dirección, es necesario obte-ner más información y para ello se recurre a laconservación de la energía.

Como en una colisión el sistema de cuerposinteractuantes conforman un sistema aislado,significa que no intervienen fuerzas externas alsistema. Por ello, la energía mecánica macroscó-pica del sistema se conserva y en este caso soloaparece en forma de energía cinética.

Para considerar la conservación de la energía,se define el factor de colisión Q en la forma

Q ≡ E′k − Ek,

donde Ek y E,k son, respectivamente, las ener-

gías cinéticas totales del sistema antes y des-pués de la colisión.

1.11. COLISIONES 23

Para el caso de dos partículas que colisionan,el factor de colisión adquiere la forma

Q = ( 12 m,

1v,21 + 1

2 m,2v,2

2 )

−( 12 m1v2

1 +12 m2v2

2). (1.36)

Dependiendo del valor en el factor de colisión,puede ocurrir

i) Que la colisión sea elástica, significa queQ = 0, por lo que en este caso no hay cam-bio en la energía cinética del sistema, o sea,E

′k = Ek. De acuerdo con lo anterior, en toda

colisión elástica se conserva tanto la energía ci-nética total del sistema, como el momento linealtotal del sistema.

ii) Que la colisión sea inelástica, quiere decirque Q ̸= 0 y en esta situación, la energíacinética aumenta si Q > 0 o disminuye siQ < 0 . En el primer caso, las partículasal colisionar desprenden parte de su ener-gía interna, como ocurre en una explosión,y en el segundo caso absorben parte de laenergía mecánica intercambiada en la coli-sión, como ocurre en un choque plástico deautos. En este caso es válido afirmar en unacolisión inelástica no se conserva la energía ci-nética total del sistema, pero sí se conserva elmomento lineal total del sistema.

De las dos definiciones anteriores se concluyeque en toda colisión se conserva el momento li-neal total del sistema.

Si después del choque sólo aparece una par-tícula, se dice que se tiene una colisión comple-tamente inelástica o plástica. Debe quedar claroque toda colisión completamente inelástica esuna colisión inelástica, pero una colisión inelás-tica no tiene que ser una colisión completamen-te inelástica.

El parámetro de impacto b, es una cantidad quepermite saber si una colisión ocurre en una odos dimensiones. Este parámetro está dado porla distancia de separación b entre la línea de mo-vimiento de la partícula incidente y la línea pa-ralela que pasa por la otra partícula, como semuestra en la figura 1.33.

De este modo, el parámetro de impacto es ladistancia por la cual una colisión deja de ser

bm

1

m2

m1

m2

v1

v1'

v2= 0

v2'

j

Figura 1.33: Parámetro de impacto.

frontal. Una colisión frontal, o en una dimen-sión, corresponde a b = 0 y valores mayores quecero para b, indican que la colisión es oblicua, oen dos dimensiones.

Ejemplo 1.15 Como se muestra en la figura, un autode masa m1 y que se mueve con velocidad v1 hacia la de-recha, choca frontalmente con otro auto de masa m2 quese encuentra en reposo sobre la misma vía. Analice la co-lisión de los autos si esta es a) completamente inelástica,b) elástica. c) Sabiendo que m1 = 300 g, m2 = 700 g yv1 = 10 m · s−1, halle los valores de las cantidades obte-nidas en los numerales anteriores.

v1

v2= 0

2

m2m

1

SoluciónComo en toda colisión, el momento lineal total del sistemaformado por los dos autos se conserva en el choque. Deeste modo, la ecuación (1.35) adquiere la forma

m1v1 = m1v,1 + m2v,

2, (1)

donde se ha tomado como positivo el sentido inicial demovimiento para el auto de masa m1.

Por otro lado, por la conservación de la energía, la ecua-ción (1.36) para el factor de colisión, se transforma en

Q =(

12 m1v,

12 + 1

2 m2v,2

2)− 1

2 m1v21. (2)

a) Cuando la colisión es completamente inelástica, des-pués del choque aparece sólo una partícula de masa m1 +m2 con velocidad v,

1 = v,2 = V.

Así, mediante la ecuación (1) se encuentra que la velo-cidad final del sistema tiene la forma

V =m1

m1 + m2v1. (3)

Por consiguiente, independientemente de la relación entrelas masas m1 y m2, después de la colisión plástica, la velo-cidad del sistema es menor y apunta en el mismo sentidoque la velocidad con la cual incide el auto de masa m1.


Igualmente, para el factor de colisión, la ecuación (2)permite llegar a

Q = − m1m22(m1 + m2)

v21. (4)

En esta colisión los autos se deforman, o sea que parte dela energía cinética del sistema se transforma en energía in-terna ya que Q < 0, sin tener en cuenta cual auto tienemasa mayor. En síntesis la colisión es inelástica.

b) Si la colisión es elástica, la energía cinética total delsistema se conserva en el choque, por lo que el factor decolisión es nulo y las ecuaciones (1) y (2) se pueden escri-bir, respectivamente, en la forma

m1(v,1 − v1) = −m2v,

2, (5)

m1(v,1 − v1)(v

,1 + v1) = −m2v,

22. (6)

Dividiendo las ecuaciones (5) y (6) se obtiene

v,1 + v1 = v,

2. (7)

Finalmente, por medio de las ecuaciones (5) y (7) y lue-go de simplificar, se encuentra que las velocidades de losautos después del choque están dadas por

v,1 =

m1 − m2m1 + m2

v1

v,2 =

2m1m1 + m2

v1. (8)

En esta colisión, la velocidad del bloque m2 tiene el mismosentido que la velocidad de incidencia de m1. En cambio,el sentido de movimiento de m1 después de la colisión,depende de la relación entre las masas de los bloques, estoes, si m1 > m2 el bloque de masa m1 se mueve en el mismosentido que m2; si m1 < m2 el bloque de masa m1 rebotaen el choque moviéndose en sentido opuesto a m2, y sim1 = m2 el bloque de masa m1 queda en reposo despuésde la colisión.

c) Reemplazando valores, con m1 = 0.3 kg, m2 = 0.7 kg,se tiene- Para la colisión completamente inelástica, por las ecua-ciones (3) y (4), se encuentra

V = 3.0 m · s−1,Q = −10.5 J.

- Para la colisión elástica, la ecuación (8) lleva a los valores

v,1 = −4.0ms−1,

v,2 = 6.0ms−1.

El signo menos en la velocidad de m1, significa que estebloque rebota en el choque por cumplirse la relación m1 <

m2.

Ejercicio 1.20 Como se muestra en la figura, un au-to de masa m1 y con velocidad v1 hacia la derecha, choca

v1 v

2

2

m2m

1

frontalmente con un segundo auto de masa m2 que ini-cialmente se mueve hacia la izquierda con velocidad v2 =

−v1. Analice la colisión de los autos si esta es a) completa-mente inelástica, b) elástica. c) Sabiendo que m1 = 300 g,m2 = 700 g y v1 = 10 m · s−1, halle los valores de las can-tidades obtenidas en los numerales anteriores.

Ejemplo 1.16 El cuerpo de la figura de masa m1 y ve-locidad v1, tiene una colisión oblicua con el cuerpo de ma-sa m2 inicialmente en reposo. a) Determine la magnitudde la velocidad de los bloques inmediatamente despuésdel choque, si las masas después de la colisión se muevenen las direcciones mostradas. b) Resolver para m1 = 0.2kg,m2 = 0.3kg, v1 = 15.0ms−1, φ1 = 30o y φ2 = 40o. ¿Es lacolisión elástica o inelástica?

j2

m1

m2

m1

m2

v1

v1'

v2= 0

v2'

x

y

j1

Solucióna) Como el momento lineal total de las dos partículas seconserva en la colisión, la ecuación (1.35) adquiere la for-ma

m1v1 = m1v,1 + m2v,

2.

Descomponiendo las velocidades en sus componentes rec-tangulares, se obtiene para las direcciones x y y, respecti-vamente, las expresiones

m1v1 = m1v,1cosφ1 + m2v,

2cosφ2, (1)

0 = −m1v,1senφ1 + m2v,

2senφ2. (2)

Resolviendo las ecuaciones (1) y (2), se obtiene

v,1 =

senφ2sen(φ1 + φ2)

v1,

v,2 =

m1m2

senφ1sen(φ1 + φ2)

v1.

De estos resultados se tiene que para valores fijos de φ1y φ2, la velocidad de m1 después del choque es indepen-diente de la masa de los cuerpos, mientras que para m2 lavelocidad sí depende de la relación entre las masas de loscuerpos.

b) Reemplazando valores se encuentra que la magnitudde las velocidades son

v,1 = 10.3ms−1,

v,2 = 5.3ms−1.

1.12. ENUNCIADOS 25

Al calcular el factor de colisión, se encuentra que la coli-sión es inelástica ya que Q = −7.7J. De este modo, partede la energía mecánica se transforma en energía interna delas partículas.

1.12. ENUNCIADOS

1. Un auto que se mueve en línea recta haciala izquierda, pasa por las ciudades conse-cutivas A, B y C, regresando luego a la ciu-dad B. En un diagrama que incluya el siste-ma de referencia, muestre el vector despla-zamiento del auto y expréselo matemática-mente en función de su respectiva compo-nente.

2. Un auto está 16 m al Este de la señal de PA-RE en el instante de tiempo ti , y 37 m alOeste de la señal al tiempo tf. Si la señal esel origen de coordenadas y el eje x apuntahacia el este. Determine: (a) xi , (b) xf, (c) ri,(d) rf y (e) ∆r.

3. Un ciclista se movió en línea recta duran-te cierto intervalo de tiempo y de tal formaque el vector desplazamiento es paralelo alvector unitario i. ¿De lo anterior es posibleconcluir que el ciclista sólo se desplazó enel mismo sentido del vector unitario i? Ex-plique.

4. Las gráficas de la figura muestran la varia-ción de la posición x en función del tiem-po t, para un atleta que se mueve en línearecta. Describa el movimiento del atleta yllévelo a cabo con la punta de su lápiz.

x

t

x

t

x

t

5. La gráfica de la figura muestra la forma co-mo cambia la posición de una hormiga enfunción del tiempo, cuando se mueve a lolargo de una trayectoria rectilínea. (a) Pa-ra t = 5s, trace el vector desplazamiento

en la gráfica y expréselo vectorialmente. (b)Obtenga la gráfica de la forma como varíala velocidad de la hormiga en función deltiempo. (c) Utilizando la gráfica anterior,encuentre la magnitud del desplazamientodurante el movimiento y compare su resul-tado con el hallado en el numeral (a).

x (cm)

t (s)

10

-10

20

-20

1 2 3 4 5

6. En la gráfica se indica el cambio en la com-ponente de la velocidad en función deltiempo (t), para un auto que se mueve so-bre una autopista recta. Obtenga la gráficade la posición en función del tiempo parael auto, suponiendo que pasó por el origenen t = 0.

v (m s )-1

t (s)

30

60

1 2 3 4 5-30

-60

7. La ecuación cinemática de posición, parauna bicicleta que se mueve sobre el eje x, es-tá dada por la expresión x(t) = −14t + 74, donde x se da en m y t en s. (a) ¿Cuál esla posición inicial de la bicicleta? (b) ¿Cuáles el momento lineal de la bicicleta, en fun-ción del tiempo, si esta tiene una masa de10.5 kg? De acuerdo con el resultado, ¿quémovimiento tiene la bicicleta? ¿Por qué? (c)Haga un diagrama que ilustre la situación,teniendo en cuenta las respuestas de los nu-merales anteriores. (d) Haga una gráfica dela posición de la bicicleta en función del


tiempo, desde t = 0 s a t = 6 s. ¿Qué infor-mación puede obtener de esta gráfica? Cal-cule el valor numérico respectivo. (e) Ha-ga una gráfica de la velocidad de la bicicle-ta en función del tiempo, desde t = 0 s at = 6 s. ¿Qué información puede obtenerde esta gráfica? Calcule el valor numéricorespectivo.

8. Un auto A se mueve hacia la derechapor una pista recta y con una rapidez80 km · h−1. El conductor del auto A obser-va otro auto B que se encuentra 50 m delan-te de él sobre un carril paralelo. Supongaque el auto B se mueve en el mismo sentidoque el auto A con una velocidad de magni-tud 60 km · h−1. (a) Halle la posición en lacual un auto pasa frente al otro. (b) Encuen-tre el momento lineal de cada auto si cadauno tiene una masa de 103kg. Resuelva lamisma situación para el caso en el cual unauto se mueve hacia el otro.

9. ¿Será posible encontrar una situación físi-ca, de un cuerpo en movimiento, en la queel momento lineal no sea paralelo a la velo-cidad? Explique.

10. Un niño tira un pequeño juguete para quesu perro, de masa 8 kg, lo recoja. El perroemprende la carrera en busca del juguete,que se encuentra a 9 m del punto de lanza-miento, y lo trae de vuelta. El viaje le toma4.3 s. (a) ¿Cuál es el desplazamiento del pe-rro? (b) ¿Cuál es la distancia total que reco-rrió el perro? (c) ¿Cuál es el momento linealdel perro antes y después de haber recogi-do el juguete? (d) ¿Cuál es el cambio en elmomento lineal del perro en el proceso derecoger el juguete?

11. La magnitud del momento lineal de un au-to con movimiento rectilíneo, varía con lamagnitud de la velocidad en la forma mos-trada en la figura. ¿Cuál es el significadofísico de la pendiente de la recta? Halle elvalor numérico correspondiente.

12. Un camión y su carga, con una masa de2 × 104 kg, se mueve en línea recta con una

16v ( 10 m s )x

-1

p

( 10 kg m s )x4 -1

1 3 5 7

48

112

80

rapidez de 1 km · h−1. ¿Con qué rapideztendrá que correr usted para adquirir lamisma magnitud de la cantidad de movi-miento del camión? Utilice su propia ma-sa. Exprese su resultado en km · h−1 y enm · s−1. ¿Será posible que usted alcance es-ta rapidez? Explique.

13. Una bala de 30 g tiene una velocidad hori-zontal de magnitud 100 m · s−1. ¿Con quérapidez tendrá que correr usted para alcan-zar la magnitud de la cantidad de movi-miento de la bala? Utilice su propia ma-sa. Exprese su resultado en km · h−1 y enm · s−1. ¿Será posible que usted alcance es-ta rapidez? Explique.

14. La partícula α es un núcleo de helio con unamasa de 6.88 × 10−27kg, la cual es emitidaen una desintegración radiactiva del 238

92 U.Una partícula α tiene una rapidez de 1.4 ×107m · s−1. Esta es una rapidez pequeñacomparada con la de la luz (3× 108m · s−1).(a) ¿Cuál es la magnitud de la cantidad demovimiento de la partícula α? (b) ¿Cuál esla magnitud de la velocidad de una masade 1 g con la misma magnitud de la can-tidad de movimiento de la partícula α? (c)¿Cuánto tiempo demora la masa de 1 g enrecorrer 1 m con esta rapidez? Exprese suresultado en años.

15. ¿Con qué rapidez debe correr usted para al-canzar la misma magnitud de la cantidadde movimiento que un auto de 103kg demasa que se desplaza a 1 km · h−1? ¿Seráposible que usted alcance esta rapidez? Ex-plique.

16. La figura muestra la forma como varía la

1.12. ENUNCIADOS 27

posición x de una partícula en función deltiempo t, mientras esta se mueve en línearecta. La masa de la partícula es 400 g. (a)¿El momento lineal de la partícula es ceroen algún instante? Explique. (b) ¿Es cons-tante el momento lineal de la partícula? Ex-plique. (c) ¿Cuál es el momento lineal dela partícula en el instante t = 0 s (d) ¿Cuáles su momento lineal en el instante t = 3 s(e) ¿En qué instante la partícula pasa por elorigen? ¿Cuál es su momento lineal en eseinstante?

x (m)

t (s)

1

-1

2

-2

1 2 3 4 5

17. Un auto de masa 1.2 × 103kg se desplazacon una velocidad horizontal de magnitud100 km · h−1 en dirección Suroeste. El siste-ma de coordenadas se toma de tal formaque el eje x apunta hacia el Este y el eje y ha-cia el Norte. (a) ¿Cuál es el momento linealdel auto? (b) ¿Cuáles son las componentesrectangulares de la cantidad de movimien-to?

18. Una granada explota en dos fragmentos deigual masa. Si un fragmento sale disparadoen la dirección oeste, ¿en que dirección semueve el otro fragmento? ¿Por qué?

19. Un auto de 103kg que se desplaza hacia laizquierda sobre una pista recta, choca con-tra un camión estacionado de 4× 103kg. In-mediatamente después de la colisión, el au-to queda en reposo, mientras que el camiónse desplaza con una rapidez de 2 m · s−1.(a) Halle la velocidad del auto inmediata-mente antes de la colisión. (b) En el choque,¿se conserva el momento lineal del auto?Explique.

20. Una bola de masa 4 kg y velocidad1.2 m · s−1, choca frontalmente con otra bo-la de masa 5 kg moviéndose a 0.6 m · s−1 en

el mismo sentido. Si la velocidad de la bolade 4 kg después del choque es 0.54 m · s−1,encuentre el cambio en el momento linealde cada bola. ¿Qué puede concluir de losresultados obtenidos?

21. Repita la situación anterior, suponiendoque la bola de 5 kg se mueve en sentidoopuesto antes del choque y con una velo-cidad de 1.13 m · s−1 luego del choque.

22. En los dos enunciados anteriores, supongaque las bolas quedan pegadas en el choque.(a) Encuentre la velocidad de las bolas in-mediatamente después del choque. (b) Ha-lle el cambio en el momento lineal de cadabola en el choque. ¿Qué puede concluir delos resultados obtenidos?

23. Un bloque se lanza sobre una superficie ho-rizontal, de tal manera que este se mueveen línea recta. ¿Se conserva el momento li-neal del bloque? Explique.

24. Un ciclista y su bicicleta, de masa 102kg, semueven en el plano xy de tal manera quelas ecuaciones cinemáticas de posición es-tán dadas por x = −30t − 6 y y = 60t − 9,donde x, y se dan en m y t en s. (a) Obtengala ecuación de la trayectoria seguida por elsistema ciclista-bicicleta. (b) Exprese el vec-tor momento lineal del sistema en sus com-ponentes rectangulares, cuando t = 15 s.Halle la magnitud y dirección del momentolineal del sistema en t = 15 s. (c) Encuentrela energía cinética del sistema en t = 15 s.

25. La energía cinética de un auto varía con elcuadrado de su rapidez en la forma mos-trada en la figura. ¿Cuál es el significadofísico de la pendiente de la recta? Halle elvalor numérico respectivo.

26. La velocidad de un bloque de 2 kg es v1 =(3i − 3j)m · s−1 en el instante t = 3 s. Pos-teriormente, cuando t = 6 s, la velocidades v2 = (8i + 4j)m · s−1. (a) Halle el cam-bio en la velocidad del bloque. (b) Calculeel cambio en el momento lineal del bloque.(c)Encuentre el cambio en la energía ciné-tica del bloque. (d) ¿El auto interactúa con


v2( 10 m s )

2 2 -2x

Ek

( 10 J)x3

2 4 6 8 91

5

20

45

otro cuerpo mientras está en movimiento?Explique.

27. Dos deslizadores de masas m1 y m2 se mue-ven, respectivamente, con velocidades v1 yv2 sobre un riel de aire y en sentidos opues-tos. Los deslizadores chocan elásticamente.(a) Halle la velocidad de los deslizadoresdespués del choque. (b) Analice el resulta-do en los siguientes casos particulares: (i)m1 = m2, (ii) m2 = 2m1, (iii) v2 = 0 ym1 = m2, (iv) v2 = 0 y m2 = 2m1. En cadacaso, ilustre gráficamente la situación lue-go del choque. Para cada una de las situa-ciones consideradas en el numeral (b), halle(c) el cambio en el momento lineal de cadadeslizador y (d) el cambio en la energía ci-nética de cada deslizador.

28. Dos autos de igual masa m se mueven so-bre el mismo carril y en el mismo sentido,con velocidades v1 y v2. Luego del choquelos autos quedan pegados. (a) ¿Bajo quécondición chocan los autos? Explique. (b)Halle la velocidad de los autos inmediata-mente después del choque. (c) Determine sila colisión es elástica o inelástica.

29. Una bola de billar que se mueve horizontal-mente hacia la derecha, choca con otra bolaque se encuentra en reposo. Luego de la co-lisión, ¿cuál situación de las mostradas es lacorrecta? Explique su respuesta.

30. Un auto de masa m se mueve en el senti-do Norte-Sur con una velocidad de mag-nitud 40 km · h−1, mientras que otro au-to de masa 2m se mueve en el sentidoOeste-Este con una velocidad de magnitud

(i) (ii)

(iii) (iv)

30 km · h−1. Los dos autos chocan en el cru-ce entre las dos avenidas sobre las cuales semueven, de tal forma que quedan engan-chados moviéndose en una dirección queforma un ángulo de 33.69o con la horizon-tal. (a) Haga un diagrama ilustrativo de lasituación planteada, tanto inmediatamen-te antes como inmediatamente después delchoque. (b) Obtenga, en componentes rec-tangulares, la velocidad de los autos in-mediatamente después del choque. (c) En-cuentre el factor de colisión. ¿Parte de estaenergía cómo aparece luego de la colisión?(d) ¿Qué nombre recibe esta colisión? Ex-plique.

31. Una bola de billar de masa m1 se mueve ho-rizontalmente hacia la derecha con una ve-locidad v1, cuando choca elásticamente conotra bola de masa m2, inicialmente en repo-so. Luego de la colisión, las velocidades delas bolas forman entre sí un ángulo de 90o.(a) Haga un diagrama ilustrativo donde semuestre la situación tanto inmediatamen-te antes como inmediatamente después delchoque. (b) Encuentre la relación entre lasmasas de las bolas de billar.

32. Con el fin de probar la resistencia de losmateriales que conforman su estructura, ados autos de igual masa se les permite cho-car, desplazándose en sentidos opuestoscon movimiento rectilíneo uniforme. Su-ponga que los autos adquieren velocidadesconstantes de 60 m · s−1 y 80 m · s−1 cuan-do la separación entre ellos es 100 m, y queluego del choque quedan enganchados. (a)Halle la posición donde chocan los autos.(b) Encuentre la velocidad de los autos in-mediatamente después del choque. (c) Si

1.12. ENUNCIADOS 29

luego del choque los autos se desplazancon movimiento rectilíneo uniforme, deter-mine su posición a los 5 s de este haber ocu-rrido.

33. La ecuación cinemática de posición, paraun móvil de masa 50 kg, está dada por laexpresión x = 15 − 30t, donde x se da enm y t en s. (a) ¿Qué dimensiones y a quécantidad física corresponde cada uno de losvalores numéricos que aparecen en la ecua-ción anterior? (b) Haga un diagrama ilus-trativo donde se muestre el sistema de refe-rencia respecto al cual se mueve el cuerpo,la posición inicial del cuerpo y el sentidode movimiento sobre su trayectoria. ¿Quémovimiento tiene el cuerpo? ¿Por qué? (c)Halle, en función del tiempo, la velocidad,el momento lineal y la energía cinética delcuerpo. ¿Qué puede concluir de sus resul-tados? ¿Por qué? (d) ¿En algún instante elmóvil pasa por el origen de coordenadas?Explique. (e) ¿En algún instante el móvilcambia su sentido de movimiento? Expli-que. (f) Obtenga las gráficas de posición yvelocidad para el móvil , en el intervalo detiempo 0 ≤ t ≤ 10 s. ¿Qué información fí-sica se puede obtener de las gráficas ante-riores? ¿Cuáles son los valores numéricosrespectivos?

34. Las ecuaciones cinemáticas de posición, pa-ra dos móviles con masas m1 = 60 kg ym2 = 80 kg, y que se mueven sobre elmismo carril de una pista recta, están da-das por las expresiones x1 = −20 + 39t yx2 = 18 − 37t. (a) Haga un diagrama ilus-trativo donde se muestre el sistema de refe-rencia respecto al cual se mueven los cuer-pos, la posición inicial de cada cuerpo y elsentido de movimiento sobre la trayectoria.¿Qué movimiento tiene cada cuerpo? ¿Porqué? (b) Halle el instante y la posición don-de se encuentran los cuerpos. (c) Si los mó-viles chocan elásticamente, encuentre la ve-locidad de cada uno de ellos luego del cho-que. De acuerdo con estos resultados, ¿quéle ocurre a cada cuerpo en el choque? Ex-plique. (d) Plantee las ecuaciones cinemáti-

cas de posición que satisfacen el movimien-to de cada cuerpo después del choque. (e)Obtenga la posición de cada auto y su sepa-ración, 6 s después de ocurrido el choque.

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31

Índice alfabético

C,cantidad

fundamental, 18choque

plástico, 23colisión, 21–25

elástica, 23en dos dimensiones, 22frontal, 23inelástica, 23oblicua, 23

componentes rectangularesdel vector desplazamiento, 14del vector posición, 13del vector velocidad, 17del vector velocidad media, 15

conceptode choque, 22de colisión, 21de dispersión, 22de energía cinética, 20–21de masa, 10, 18de movimiento, 2de partícula, 3–4del vector impulso, 20

conservaciónde la energía, 22

D,definición

de energía cinética, 21de momento lineal, 11de rapidez, 7, 17de velocidad instantánea, 7, 17de velocidad media, 5del factor de colisión, 22del vector desplazamiento, 14

del vector impulso, 20del vector momento lineal, 18

dimensiónde masa, 10, 18

dimensionesde energía cinética, 21de impulso, 20de velocidad, 5de velocidad instantánea, 7, 17del momento lineal, 11del vector momento lineal, 18del vector velocidad media, 15

direcciónde la velocidad instantánea, 7, 17de la velocidad media, 5, 15de un vector, 13del vector momento lineal, 11, 18del vector posición, 13

distanciarecorrida, 9

E,ecuación

de la trayectoria, 13ecuación cinemática

de posición, 8de posición en el MRU, 9

efectodel aire, 3

electronvoltio (eV), 21energía

interna, 23, 24ergio, 21estado

de reposo o de movimiento, 3

F,

32

ÍNDICE ALFABÉTICO 33

fuerzaexterna, 22

G,gráfica

de posición en el MRU, 9de velocidad en el MRU, 9

I,interacción, 19–22

entre partículas, 12

J,Joule, 21

M,magnitud

de la velocidad media, 15de un vector, 13del vector posición, 13del vector velocidad media, 5

modelode partícula, 3

momentolineal total, 12

movimientode traslación, 4en un plano, 13–18rectilíneo uniforme, 9–10

P,parámetro

de impacto, 23posición

de un cuerpo, 2principio de conservación

del momento lineal, 11–13del vector momento lineal, 19–20del vector momento lineal total, 20, 22

S,sistema

aislado, 12, 19, 22de coordenadas unidimensional, 2de referencia, 1–3de referencia bidimensional, 13de referencia inercial, 3de referencia unidimensional, 4moto-auto, 20

T,trayectoria

rectilínea, 4

U,unidad

de masa, 10, 18unidades

de energía cinética, 21de impulso, 20de velocidad, 5de velocidad instantánea, 7, 17del momento lineal, 11del vector momento lineal, 18del vector velocidad media, 15

V,vector

desplazamiento, 4–5, 14momento lineal, 10–11, 18, 19momento lineal total, 19posición, 4, 8, 13–14velocidad, 5, 8, 15–18velocidad instantánea, 6–9, 16–18velocidad media, 5–6, 15–16

velocidadconstante, 7media cero, 5

Unidad 1

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