TRANSFERENCIA DE RESULTADOS DE INVESTIGACIÓN AL AULA:

EL CASO DEL VOLUMEN

Mariana Sáiz Roldán

Universidad Pedagógica Nacional

En este artículo se reflexiona acerca del concepto matemático volumen, sus

múltiples significados y su relación con otros conceptos tales como área, capacidad,

masa, peso y con el Principio de Arquímedes, porque se considera que estas

relaciones provocan confusión y dificultades para su enseñanza.

La idea de este escrito no es presentar más definiciones, o nuevos conceptos, para

ser trabajados con los niños en la escuela primaria, sino mostrar, a los maestros de

educación básica, los diversos significados que pueden asociarse al vocablo volumen

para que ellos recapaciten en ellos como origen de muchos de los malentendidos y

errores que cometen los niños al trabajar con este concepto.

El hecho de que el volumen tenga varios significados no debe paralizarnos;

actualmente los maestros conocen los diferentes significados de las fracciones como

fracturador, como comparador, como tasa, etc. Un concepto no tiene por qué tener un

solo uso o aplicación. Los conceptos se han construido a lo largo de la historia de la

humanidad con la finalidad de organizar fenómenos del mundo (ver Freudenthal,

1983) y el volumen no es la excepción.

Como el título de este trabajo afirma, se pretende transferir resultados de

investigación al aula, en este caso los resultados a transferir son producto de una

investigación teórica llevada a cabo para construir un Modelo Teórico Local (Filloy,

1999) en el cual insertar una investigación empírica cuyos resultados han sido

presentados en otros espacios (ver por ejemplo Autor 2002 y 2003). Este marco

teórico permitió construir instrumentos de toma de datos y analizar dichos datos;

pero consideramos que ese marco teórico puede, además, brindar luz sobre los

procesos de enseñanza y aprendizaje del concepto volumen en la escuela primaria.

Para iniciar el trabajo se hace una reseña breve de cómo se enseña actualmente el

volumen en la escuela primaria de acuerdo con los materiales oficiales de la SEP

(libro para el niño, libro para el maestro, fichero de actividades, planes y programa de

estudio).

En una segunda sección se establecen algunas definiciones teóricas necesarias

para poder referirse e interpretar el análisis del concepto matemático volumen que se

expondrá en la tercera parte.

Por último, se hará una reflexión vinculando lo expuesto en la primera y la

segunda parte, con el fin de mostrar cómo el análisis teórico aporta ideas y resultados

que se pueden aprovechar en el aula, al menos, en el caso del volumen.

Modelo de enseñanza del volumen en la escuela primaria

Aunque actualmente el estudio del volumen como tal se inicia hasta el cuarto

grado de educación primaria, desde primer grado se incluye el estudio de la

capacidad. Los materiales de la SEP y las lecciones de los libros de texto de primero

de primaria hacen hincapié en actividades de vaciado y llenado de recipientes de

distinta forma, de modelado con plastilina y de trabajo con cajas de todos tipos.

También, se invita a los niños a que busquen y observen en su entorno cuerpos

distintos y a que reflexionen sobre las cualidades abstractas de lo que perciben, tales

como la longitud, el área, la capacidad y el volumen.

Como se ha dicho, el estudio del volumen inicia en cuarto grado, sin embargo,

sólo hay una lección sobre el tema en el libro de texto correspondiente. La lección

introduce la reflexión sobre ese concepto desde un punto de vista cualitativo.

En el grado siguiente se continúa el estudio del volumen en tres lecciones, pero

ya no se trata de un trabajo de tipo cualitativo, sino que se presentan problemas en los

que los alumnos deben contar cubitos de un centímetro cúbico para calcular el

volumen de varios prismas. La siguiente lección pone a los niños a calcular

volúmenes con la unidad “ladrillo” y después a convertir sus resultados a centímetros

cúbicos. Por último la lección 69 plantea la conversión de unidades de volumen a

unidades de capacidad. En esta lección se hace hincapié en el conjunto de objetos

capacidad medibles o recipientes.

En sexto grado hay tres lecciones, en la 27 se trabaja con áreas y volúmenes de

cuerpos y un problema que pregunta sobre la capacidad de una pecera. En la lección

41 calculan volúmenes contando centímetros cúbicos. En la lección 85 se resuelven

problemas de cálculo de volúmenes tendientes a que los alumnos deduzcan la

fórmula para calcular el volumen de un prisma.

Antes de empezar

La primera idea que es pertinente subrayar, para comentar el modelo de

enseñanza del volumen en la propuesta educativa vigente, surge de la lectura de un

libro de Rouche (1992) en el que examina el sentido de la medición. En su

exposición, el autor pasa de una magnitud a otra y analiza cómo el eje de la medición

puede favorecer la introducción de los números, desde los naturales hasta los reales,

en la enseñanza. Un aspecto remarcable de la exposición de Rouche es que, al

trabajar con cualquier magnitud, inicia estableciendo el conjunto de objetos

susceptibles de ser medidos respecto a tal magnitud: habla para la longitud de los

objetos alargados, para el peso de los objetos pesados y así. Al retomar esta idea para

el caso del volumen, observamos que el conjunto de objetos susceptibles de ser

medidos respecto al volumen está formado por todos los cuerpos que nos rodean y

los denominamos objetos volumen medibles (en adelante nos referiremos con las

siglas OVM a estos objetos).

La idea de iniciar el tratamiento de cualquier magnitud presentando los objetos

susceptibles de ser medidos respecto a esa magnitud puede considerarse que está

relacionada con el concepto de dominio de una función; todas las magnitudes como

la longitud, el área, la capacidad, el peso y el volumen son funciones de medida. En

matemáticas, cuando se trabaja con funciones, es muy importante que el dominio de

la función quede bien establecido. Trasladando esta idea a la educación básica, la

recomendación es que antes de trabajar con cualquier magnitud se haga una

observación y análisis que permitan constituir un conjunto variado y lo más completo

posible de objetos susceptibles de ser medidos respecto a la magnitud en cuestión

(establecer el dominio de la función de manera informal).

“Volumen”: un vocablo con muchos significados

En esta sección se discute acerca de los significados distintos que se asocian a la

palabra “volumen”. Esto da lugar a una clasificación de tales significados. En cada

caso, se considera importante describir el conjunto de objetos que son susceptibles de

ser medidos respecto a cada tipo de volumen (OVM).

El volumen puede concebirse de muchas maneras distintas. Piaget, Inhelder y

Szeminska (1970) distinguen tres clases de significados asociados al vocablo

volumen:

1. volumen interno;

2. volumen como espacio ocupado, y

3. volumen complementario.

Los investigadores le otorgan al término volumen interno dos acepciones, las

cuales usan indistintamente como si las consideraran equivalentes. La primera es

“aquello que está limitado por superficies” (Ibid. pág. 355). La otra es “la cantidad de

unidades de material que forman un cuerpo” (Ibid. pág. 358).

De acuerdo con esos autores, el volumen interno es una concepción primitiva de

tipo cualitativo adquirida por los niños desde los cinco años aproximadamente; dicha

concepción les permite entender lo que significa “el mismo espacio dentro de un

cuarto” y, también, “la misma cantidad de madera” de un cuerpo sólido.

Lo anterior lleva a pensar que la clase de material encerrada por las superficies no

establece ninguna diferencia cognitiva para los niños. Aunque no hemos indagado

sobre esta cuestión, la postura de Piaget y su equipo no se juzga del todo

convincente; en este escrito, sin embargo, no se discute el argumento de estos

investigadores, ni se exploran con mayor profundidad los problemas de definición

expuestos en los párrafos precedentes.

La expresión volumen interno se utilizará en este artículo para referirse a la

cantidad de material que forma un cuerpo. De acuerdo con esta definición, los OVIM

(hemos añadido la I de interno a OVM y continuaremos de manera análoga con otros

tipos de volumen) son todos los objetos que nos rodean, sean éstos sólidos, huecos,

abiertos o cerrados. En todos los casos, para medir el volumen interno se considera la

cantidad de material con el que están hechos los objetos, sin tomar en cuenta el aire

encerrado en un objeto hueco o en el interior de un recipiente cerrado.

El término volumen encerrado se utilizará para referirse a la cantidad de espacio

limitada por una o varias superficies o cáscara. Los OVEM son objetos huecos y

cerrados; no tiene sentido hablar del volumen encerrado en un objeto completamente

sólido o en un recipiente abierto.

Como se aprecia en los párrafos anteriores, el conjunto OVIM es más amplio que

el conjunto OVEM. Esto nos hace pensar que, efectivamente, son nociones diferentes

y pueden acarrear dificultades distintas para los niños, aunque para hacer cualquier

afirmación al respecto haría falta llevar a cabo una investigación empírica que de luz

sobre este asunto.

Parte de la importancia del objeto mental volumen encerrado y su significado

radica precisamente en las consideraciones señaladas por Piaget et al. (Ibid., 1970,

pág. 357) quienes afirman que esta noción “revela el carácter topológico de las

primeras intuiciones acerca del volumen”. Para estos investigadores, las nociones

topológicas preceden con mucho a las que denominan nociones euclidianas. Desde su

punto de vista, el volumen de un cuerpo como noción euclidiana, es el lugar que

ocupa en el espacio, mismo que es cuantificable a través de sus dimensiones lineales.

La diferencia establecida entre este objeto mental y el de volumen interno puede

ejemplificarse considerando una esfera navideña. La cantidad de cristal que conforma

la esfera, lo que forma la “cáscara”, es el volumen interno de la esfera. El espacio

libre dentro de la esfera es el espacio encerrado. La suma del volumen interno y el

espacio encerrado corresponde al volumen como espacio ocupado de la mencionada

esfera.

Para Piaget, Inhelder y Szeminska (1970, pág. 360) el volumen ocupado es la

cantidad de espacio ocupado por las unidades que conforman un cuerpo como un

todo, en relación con otros objetos a su alrededor. De esta manera, el espacio

ocupado es aquel que ya no puede ser utilizado por otro objeto.

Por resultados de la física sabemos que dos cuerpos no pueden ocupar el mismo

lugar en el espacio. Así, en el caso de un sólido, toda la materia que lo conforma es

su volumen ocupado y es equivalente a su volumen interno. En el caso de un objeto

hueco y cerrado, además de la materia que lo forma, el espacio ocupado considera el

espacio vacío que encierra, pues el objeto también ocupa ese espacio en el sentido de

que no permite que otro cuerpo lo ocupe. Todo cuerpo, ocupa un lugar en el espacio

por lo que el conjunto OVOM es el mismo que el conjunto OVIM, pero un cuerpo

puede tener un volumen ocupado distinto a su volumen interno.

Por último, se tiene el significado de volumen desplazado, el cual para Piaget y

sus colaboradores (op. cit.) corresponde a la cantidad de agua desplazada al

introducir un objeto en ese líquido. De nuevo, cualquier objeto es susceptible de ser

medido respecto a este volumen y OVDM coincide con OVIM.

Para algunos cuerpos las mediciones de todos los tipos de volumen tienen el

mismo resultado, pero para otros no. Una esfera de madera sólida, sin huecos en su

interior, tiene el mismo volumen interno, ocupado y desplazado y no tiene sentido

referirse al volumen encerrado de un objeto así. En el caso de una pelota llena de

aire, el volumen interno es sólo el material con el que la pelota fue fabricada, el

volumen encerrado sería el aire que infla la pelota, el volumen desplazado y el

volumen ocupado sí serían los mismos y equivaldrían al volumen interno junto con el

volumen encerrado.

Además de que el volumen, como se ha visto, tiene muchos significados, existe

otro factor que contribuye a dificultar su aprendizaje, éste es que el concepto

volumen está asociado con otros conceptos estudiados en las matemáticas mismas y

en otras ciencias. De estas relaciones se comenta en la siguiente sección.

El volumen y otras propiedades de los cuerpos

Volumen y capacidad

La capacidad es una magnitud, esto es, una propiedad medible que tienen ciertos

cuerpos. Como en el caso del volumen, su estudio requiere de familiarizarse con un

conjunto de objetos susceptibles de ser medidos respecto a la capacidad. Como

sabemos, tales objetos son los recipientes o contenedores; usando un lenguaje

coloquial, la capacidad de estos objetos puede definirse como: “lo que les cabe”, o

bien, “lo que contienen”.

De forma un poco más precisa, la capacidad de un recipiente es igual al volumen

del objeto moldeable (cuerpo o unión de cuerpos, líquido o gas) que llena al

recipiente. Esto es, la capacidad de un recipiente está relacionada con el volumen,

pero no con el volumen del recipiente mismo, sino con el volumen de otro cuerpo

distinto y ajeno al recipiente.

Los recipientes son, además, OVM y esto causa confusión. Aunque en general, lo

que interesa conocer de un recipiente es su capacidad, en ocasiones puede ser

importante conocer su volumen. Por ejemplo pensemos en una taza de cerámica;

conocer su capacidad es de mucha utilidad si la vamos a usar para tomar un café,

pero para un artesano puede ser importante, también, conocer su volumen interno, es

decir, la cantidad de barro con la que se moldea dicha taza.

Volumen y masa

Considerar al volumen como la cantidad de material que forma un cuerpo, puede

llevar a definirlo como la cantidad de materia que lo forma. “¿Podríamos afirmar que

la masa de un cuerpo es la cantidad de materia que esta posee?” (Felix et al.1985,

pág. 101).

Es fácil ver que una afirmación de esta naturaleza no tiene mucho sentido, pues si bien es cierto

que cuanta más materia tiene un cuerpo mayor es su masa, hay que tener en cuenta que la masa es

una propiedad de la materia y no la materia en sí. (...) Y esta diferencia entre ambos conceptos está

más que justificada cuanto que se sabe actualmente que la masa de un cuerpo puede variar con su

velocidad, cosa que no hace la materia y que, por otra parte, la masa no se conserva ya que puede

transformarse en energía, en tanto que la materia sí lo hace [...] (Ibid.).

Aunque mis conocimientos de física no son nada firmes, me parece que de la

definición anterior se observa que no hay manera de concluir que el volumen interno

de un cuerpo, entendido como la cantidad de unidades de material que lo forman, sea

equivalente a la masa del cuerpo; sin embargo, muchas personas los consideran

sinónimos.

Masa y peso

La masa gravitatoria, o simplemente masa, es una característica de los cuerpos

que le permite atraer otros cuerpos con mayor o menor intensidad. Como los cuerpos

están formados por partículas, la masa del cuerpo es la masa total de las partículas

que lo forman. La unidad de masa es el kilogramo y corresponde a la masa de un

cilindro de platino iridiado.

El peso de un cuerpo es la fuerza con la que un cuerpo es atraído por la Tierra y

su unidad de medida es el Newton, que corresponde a la fuerza gravitatoria que a un

kilogramo de masa le produce una aceleración de un metro por segundo cada

segundo. Sin embargo, al pesar un objeto, en la báscula se observa una escala en

kilogramos, ya que, el peso de un cuerpo en la Tierra es igual a masa por aceleración

de la gravedad pero, como ésta es una constante, se soslaya y se considera solamente

la masa; sabiendo, de manera implícita, que el peso corresponde al producto de la

masa por la constante de atracción gravitacional: 9.81 m/s2. Esto ha provocado una

confusión entre estos los conceptos físicos peso y masa, esto, a su vez, puede ser

causa de confusiones con el concepto volumen.

El principio de Arquímedes

A pesar de que Freudenthal (1983, pág. 399) duda en considerar como un

elemento esencial en la constitución del objeto mental volumen al principio de

Arquímedes, el hecho de que algunos materiales usados en la escuela primaria, así

como en algunos textos de secundaria, incluyan actividades relacionadas con esta

propiedad y las evidencias de que algunos niños y algunos adultos adjudican al peso

el cambio en el nivel del agua, que ocurre al sumergir un objeto en ella, obliga a

comentar acerca de este principio que dice lo siguiente:

Todo cuerpo que se encuentra dentro de un fluido (líquido o gas), experimenta un empuje vertical

ascendente, igual al peso del fluido desalojado por dicho cuerpo (Espino, 1942, pág. 47).

De este principio se sigue que si el empuje vertical experimentado por el cuerpo

es menor que el peso del objeto, éste flota en la superficie. Si ambas fuerzas son

iguales, el cuerpo permanece donde es colocado sin hundirse ni elevarse. Si el peso

del cuerpo es mayor que la fuerza que experimenta, el cuerpo se hundirá. Las

aplicaciones de este principio en la fabricación de vehículos marítimos son evidentes,

aunque deben considerarse algunas otras variables para lograr que un barco no se

hunda.

Otra aplicación del principio de Arquímedes es permitir la medición del volumen

de un cuerpo de manera indirecta sumergiéndolo en agua. Como se ha dicho, al

introducir el objeto en dicho líquido, ésta lo empuja hacia arriba con una fuerza cuyo

valor en gramos representa, al mismo tiempo, el volumen en centímetros cúbicos que

dicho cuerpo tiene, ya que es sabido que un centímetro cúbico de agua pesa

aproximadamente un gramo. De manera que, si se pesa el agua desalojada por un

cuerpo, el resultado en gramos corresponde al volumen en centímetros cúbicos del

cuerpo.

Cuando se mide el volumen de un objeto utilizando inmersión lo que se hace es

medir el volumen de agua que tal cuerpo desaloja. Basándose en el principio de

impenetrabilidad, dicho volumen corresponde al volumen como espacio ocupado del

objeto en cuestión. Sin embargo, esto no es claro para muchos niños y adultos,

quienes creen que el peso del cuerpo determina el cambio en el nivel de líquido.

Análisis de los modelos de enseñanza del volumen en la Educación Básica

El trabajo con la capacidad, desde los primeros grados de la escuela primaria es

un acierto de la actual propuesta educativa. Posponer el trabajo con el volumen hasta

cuarto grado es un acierto también. Pero en este grado vale la pena subrayar la

diferencia entre ambos conceptos.

El análisis aplicado a estos conceptos apunta hacia la importancia de presentarlos

partiendo de la introducción, en primer grado, de un conjunto amplio de recipientes,

y en cuarto, con una colección variada de objetos volumen medibles, entre ellos

algunos recipientes. Aquí, sería fundamental desarrollar actividades que lleven a los

estudiantes a darse cuenta de que los recipientes también son OVM, pero que hay

OVM que no son recipientes.

Sobre la diferencia entre volumen y capacidad, así como es importante que los

alumnos experimenten midiendo capacidades con líquidos y semillas, lo cual está

planteado en la propuesta actual desde el primer grado de primaria

Sin embargo, en este acercamiento didáctico no se distingue de manera clara, que

la capacidad de la caja coincide con el volumen del cuerpo construido en su interior.

Por ello, es frecuente que los niños y adultos afirmen que el volumen de una caja es

igual a su capacidad. Esta situación puede conducir a emplear los términos capacidad

y volumen como sinónimos y a que no se distinga la medida del volumen del propio

recipiente como algo diferente a la medida de su capacidad. Es necesario tener en

mente que la capacidad de un recipiente es equivalente a un volumen, pero ese

volumen es de un cuerpo ajeno al recipiente mismo. La capacidad del recipiente y el

volumen del recipiente no están relacionados entre sí.

Es necesario que este tipo de actividades se encaminen a que los niños logren

comprender que la capacidad de un recipiente está directamente relacionada con un

volumen, pero ese volumen corresponde a otro cuerpo que no es el recipiente mismo,

sino un cuerpo formado de agua, semillas, tierra, yeso u otro material, que llena

completamente el interior del recipiente.

También vale la pena subrayar la importancia del trabajo cualitativo, previo a

cualquier consideración de tipo cuantitativo. Este trabajo cualitativo puede iniciarse

con la búsqueda en el entorno de objetos volumen-medibles de todo tipo. Objetos

huecos y sólidos, cerrados y abiertos, llenos y vacíos, de manera que todos los

significados presentados en los apartados anteriores se pongan en juego.

Los aspectos cuantitativos del volumen deben postergarse; si acaso se llega al

trabajo con fórmulas, en primaria bastará con estudiar el caso de algunos de los

poliedros y prismas más comunes, puede pensarse, incluso, en posponer todo este

trabajo hasta la secundaria.

En sexto se podría explorar la fórmula para obtener el volumen de un prisma

rectangular pero, de acuerdo con Vergnaud et al. (1983), es muy poco probable que

un niño de esa edad logré deducir la fórmula a partir de esas exploraciones. No

obstante, trabajar con arreglos tridimensionales de cubitos puede resultar fructífero a

un plazo más largo.

La utilización de la inmersión para medir volúmenes causa problemas debido a

que el cambio en el nivel del líquido se asocia con el peso del objeto sumergido, y no

con su volumen. Esta confusión puede deberse al procedimiento de medición mismo,

en el cual está implicado el principio de Arquímedes cuyo enunciado, como se vio

anteriormente, menciona al peso. También, es posible que se deba a una intuición

equivocada puesta de manifiesto por muchos niños: “si pesa, se sume más”.

Otro problema, relacionado con la inmersión, es el empleo de una escala lineal

para medir el volumen. Es decir, se usan recipientes graduados con una escala lineal

(una especie de regla pegada al recipiente); el volumen del objeto se mide asociando

a la longitud, que va de la marca en la que se encontraba el nivel de agua antes de

sumergir el objeto a la marca en donde queda el nivel de agua al sumergirlo, un cierto

número de unidades cúbicas.

De modo que es recomendable usar la inmersión para medir volúmenes, pero

primero es deseable que los niños experimenten y observen el fenómeno de cómo el

agua sube al sumergir en ella un objeto y que, sumergiendo objetos de volumen

similar pero pesos evidentemente distintos, se aprecie que el nivel de agua sube lo

mismo. De manera que ellos puedan concluir que es el volumen el que provoca el

cambio de niveles. Posteriormente, se pueden hacer mediciones, sin pedir mucha

precisión. Ni siquiera es necesario utilizar una escala con unidades convencionales,

sino cualquier tira pegada al recipiente con cinco o seis divisiones y pidiendo

resultados usando una de estas divisiones como la unidad.

Referente a las relaciones entre el concepto matemático volumen y el concepto

físico de volumen Potari y Spiolotopoulou (1996) han subrayado las

recomendaciones de otros expertos de integrar la enseñanza de las matemáticas y la

de las ciencias (física, química y biología, principalmente). Aunque ellos afirman que

se ha hecho poca investigación respecto a conceptos comunes de las matemáticas y

otras ramas del conocimiento. Sería deseable que los maestros de educación básica y

los investigadores mexicanos reflexionáramos sobre este tema también.

Para este momento de la lectura es posible que el lector se pregunte si no todo se

está complicando en lugar de simplificarse. Es posible que el lector se pregunte

¿debo enseñar a los niños todos estos aspectos del volumen por separado? ¿Debo

mencionar toda esta nomenclatura a los niños?

La respuesta a todas estas preguntas es siempre un “NO”. Lo que se intenta no es

complicar la enseñanza del volumen, lo que se procura es mostrar que el concepto

volumen es muy rico en significados, relaciones y usos; esa riqueza es lo que lo

convierte en un concepto complejo de enseñar y aprender. También se pretende

llamar la atención sobre todos los significados del volumen. Gracias al conocimiento

de todos los significados asociados a las fracciones, en los libros de texto actuales

podemos encontrar actividades y problemas diversos, para que todos los significados

sean puestos en juego. La idea es que las actividades y problemas sobre el volumen

que se planteen en la educación básica sean variados también y pongan en juego la

mayor cantidad de significados, usos y relaciones de este concepto matemático.

Referencias

Espino F., G. (1942). Guía Elemental de Física. México: Sin editorial.

Félix E., A., de Oyarzábal, J. y Velazco, M. (1985). Lecciones de Física. México,

D.F. México: Cía. Editorial Continental.

Filloy, E. (1999). Aspectos Teóricos del Álgebra educativa. México: Grupo Editorial

Iberoamérica.

Freudenthal, H. (1983). Didactical Phenomenology of Mathematical Structures,

Holanda: Reidel Pub. Co.

Piaget, J., Inhelder, B. y Szeminska, A. (1970). The child’s conception of geometry.

Londres, GB: Routledge and Kegan Paul.

Potari, D. y Spiliotopoulou, V. (1996) Children´s approaches to the concept of

volume. Science Education 80 (3): 341-360.

Rouche, N. (1992). Le sens de la mesure. Bruselas, Bélgica: DIDIER HATIER.

Autor, M. (2002) El pensamiento del maestro de primaria sobre el concepto

matemático de volumen. Tesis Doctoral. México: DME, Cinvestav.

Autor, Mariana (2003). Algunos objetos mentales relacionados con el concepto de

volumen de maestros de primaria. Revista Mexicana de Investigación

Educativa. Vol. VIII, núm. 18, mayo-agosto de 2003. pp. 447-478.

Vergnaud, G., et al (1983). Une experience didactique sue le concept de volume en

classe de cinquiéme (12-13 ans). Recherches en Didactique des

Mathématiques, 4 (1): 71-120.