Un vi movimiento pendular

FISICA I

Unidad N°: 6 - “Movimiento pendular”

Profesor: Cazzaniga, Alejandro J. – Física I – E.T.N°: 28 - “República Francesa” Pág. 1 de 7

“Las ciencias tienen las raíces amargas, pero muy dulces los frutos”

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Movimiento del péndulo Un péndulo es un objeto cualquiera suspendido de un punto, de modo que pueda oscilar. Un ejemplo: el péndulo de los relojes de pared. Es muy fácil construir un péndulo y con él se pueden estudiar las propiedades que mencionaremos: basta una piedra o una bolita atada a un hilo. Para el estudio de las propiedades tendremos en cuenta que el hilo que sostiene a la bolita es inextensible, y no tiene peso; y en lugar de la piedra o bolita hay un punto geométrico, pero que tiene peso, al que llamaremos punto material. El inconveniente de este tipo de péndulo es que solo existe en nuestra imaginación, llamaremos al mismo péndulo matemático. En la figura a continuación se muestra una aproximación al péndulo que utilizaremos:

Elementos del movimiento pendular Es preciso que nos pongamos de acuerdo sobre el significado exacto de las palabras que usaremos.

- Longitud del péndulo: es la longitud del hilo. Se mide desde el punto de suspensión hasta el centro de gravedad del cuerpo que oscila (L).

- Oscilación: es el movimiento realizado por el péndulo desde una de sus posiciones extremas hasta

otra, y su vuelta hasta la primera posición.

- Período: es el tiempo que emplea el péndulo en realizar una oscilación.

- Amplitud: es el ángulo formado por la vertical con el hilo, cuando el péndulo está en una de sus posiciones extremas (α ).

- Frecuencia (f): Es el número de oscilaciones en cada unidad de tiempo tiempo

esoscilacionnf

°= .

Relación entre frecuencia y periodo Siendo: T = período f = frecuencia Supongamos un péndulo que en 1 segundo cumple 40 oscilaciones. En consecuencia: 40 oscilaciones se cumplen en 1 seg., por lo que 1 oscilación se cumple en T=1/40 seg. (periodo). Obsérvese que: el período es la inversa de la frecuencia.

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fT

1= y

Tf

1=

¿Por qué oscila el péndulo?

Si dejamos al péndulo de manera que el hilo esté perfectamente vertical, el péndulo no oscila: el peso de la bolita es anulado por la reacción del hilo (Fig. a). Pero si lo apartamos de esa posición de equilibrio y lo soltamos, el péndulo oscila. ¿Por qué? Imaginémoslo en una de sus posiciones extremas y estudiemos las fuerzas que actúan: el peso del péndulo y la reacción del hilo.

El peso sigue siendo vertical, pero la reacción del hilo es ahora oblicua. Resulta así que la reacción del hilo sólo en parte compensa al peso.

Si descomponemos el peso en dos componentes: una P', que tenga la dirección del hilo, y la otra P", perpendicular al hilo, se advierte que el hilo sólo puede anular a P'. Como nada se opone a P", ésta mueve al péndulo (Fig. b). Pero sucede una cosa curiosa: consideremos al péndulo en otra posición, más cercana a la de equilibrio, y hagamos la misma descomposición del peso. A simple vista se advierte que la componente P", que hace mover al péndulo, es ahora menor. Y será cada vez menor cuando más se acerque el péndulo a su posición de equilibrio (Fig. c). Más todavía: cuando el péndulo pasa por su posición de equilibrio, esa fuerza

es nula. Aquí cabe una pregunta: si cuando el péndulo está en su posición de equilibrio la fuerza es nula, ¿cómo es que el péndulo puede pasarla y llegar al otro lado? La respuesta es muy simple: por inercia (Fig. d).

Sigamos estudiando las fuerzas después que el péndulo ha pasado por la posición de equilibrio. Algo llama inmediatamente la atención: la componente del peso que estábamos estudiando reaparece después de pasar por la posición de equilibrio... ¡pero ha cambiado de sentido! Ahora se opone al movimiento del péndulo, y lo va frenando, hasta detenerlo cuando alcanza su posición extrema (Fig. e).

En el instante en que el péndulo alcanza su posición extrema, su velocidad es nula, e inmediatamente después el movimiento cambia el sentido. Sin embargo, la fuerza alcanza ahí su valor máximo. No nos extrañemos: cuando arrojamos una piedra hacia arriba, el peso, que es constante, la va frenando; cuando la piedra alcanza su altura máxima, su velocidad es nula, e inmediatamente después el movimiento se invierte.

En resumen: la fuerza que mueve a un péndulo no es constante, y está siempre dirigida de modo tal, que tiende a llevar al péndulo hacia la posición de equilibrio. Lo mismo la aceleración tangencial, pues tiene igual dirección y sentido que la fuerza.

Leyes del Péndulo: Primera Ley El período de un péndulo es independiente de su amplitud. Segunda Ley El período de un péndulo es independiente de su masa. Tercera Ley El período de un péndulo es directamente proporcional a la raíz cuadrada de su longitud.

Ln

Tn

L

T

L

T....

2

2

1

1==

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Cuarta Ley El período de un péndulo es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la aceleración de la gravedad.

cteg

T

g

T

g

T===

"/1

"

´/1

´

/1

Fórmula del tiempo de oscilación del péndulo:

Para poder obtener el tiempo de oscilación de un péndulo se aplica la siguiente expresión:

g

lT π2=

Donde: T: tiempo de oscilación; L: longitud de péndulo; g: aceleración de la gravedad. Esta fórmula equivale al período o tiempo de oscilación completa.

Aplicaciones del péndulo El uso más importante es en los relojes: la cuerda hace marchar el mecanismo, pero es necesario regular la velocidad, y para eso está el péndulo. Dándole una longitud fija, su período de oscilación es siempre el mismo y cualquiera que sea la fuerza con que actúe la cuerda en cada instante, el reloj no atrasa ni adelanta. Como el calor dilata los cuerpos, resulta que el péndulo se alarga en verano, y por lo tanto atrasa, Para evitar este fenómeno los péndulos se construyen de material especial, aleaciones que se dilatan poco, o combinaciones adecuadas que compensan la dilatación.

El péndulo físico El péndulo al que nos hemos referido hasta ahora es muy particular, pues, como dijimos, sólo existe en nuestra imaginación. Los péndulos que podemos construir no tienen una masa puntual: son los péndulos físicos también llamados compuestos. Un cartón colgado por uno de sus puntos, de modo que pueda oscilar, es un péndulo físico. Si en el extremo de un hilo suspendido sujetamos un cuerpo cualquiera, habremos construido un péndulo físico. Por esto, todos los péndulos que se nos presentan (columpios, péndulo de reloj, una lámpara suspendida, la plomada) son péndulos físicos. El problema que nos proponemos resolver ahora, es hallar la relación que vincula el período de un péndulo físico con su peso. La fórmula que nos permite realizar esta vinculación es:

D

IT π2=

Donde: I es el momento de inercia del péndulo. D es la cupla directriz.

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dPD .= P es el peso. d es la longitud del péndulo.

Como se muestra en la figura a continuación:

Péndulo de torsión y de tracción:

Péndulo de torsión

Llamamos péndulo de torsión al dispositivo formado por un alambre MN, sujeto por uno de sus extremos —M— a un punto fijo y el otro extremo N unido a una barra AB que a su vez termina en dos

esferas. Torsión: Fenómeno que se produce al aplicar al extremo de un cuerpo una cupla, mientras el otro extremo está fijo. También puede producirse torsión al aplicar simultáneamente un par de cuplas en cada uno de sus extremos. El péndulo de torsión permite calcular el momento de una fuerza F perpendicular al eje de torsión (alambre MN). Factores que determinan su período o frecuencia: Apliquemos a los extremos de la barra AB la cupla F1=F2. La barra AB pasaría a la posición A’B’ girando un ángulo a y el alambre sufre una determinada torsión. Liberada la barra AB de esa cupla, el alambre tiende a volver a su posición primitiva debido a la existencia de fuerzas elásticas recuperadoras. En estas condiciones la barra AB comienza a oscilar como un verdadero péndulo físico.

Si deseamos detener al péndulo en el momento que forma el ángulo a será necesario aplicar una fuerza que anule la torsión del alambre. Esta fuerza será mayor o menor según sea el punto de aplicación respecto del centro de giro (respecto del alambre).

Puede verificarse que la intensidad de esta fuerza es la misma que hubiéramos necesitado para que desde la posición de reposo la barra AB formara el ángulo de torsión alfa.

De lo expuesto surge que todo depende del momento de la fuerza aplicada (fuerza por distancia). Se puede comprobar que entre el momento de la fuerza aplicada y el ángulo de torsión a

determinado, se cumple la siguiente relación:

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En el péndulo de torsión, se cumple: El tiempo de oscilación es independiente del ángulo de amplitud. El tiempo de oscilación se calcula mediante la expresión:(*)

(*): Para el péndulo físico es:

(Para ángulos pequeños: P.d=K) Similar a la del péndulo físico en la cual es: I: momento de inercia respecto al eje (hilo); K: constante que resulta del cociente entre M y alfa. Péndulo de tracción: Elasticidad por tracción: Es el fenómeno producido por fuerzas que provocan el aumento de longitud de un cuerpo.

Sea el alambre a sujeto por un extremo M, y en el otro extremo, un platillo. Si sobre éste colocamos una pesa P, cualquiera, se provocará una fuerza que permitirá verificar un estiramiento o aumento de longitud del alambre. El dispositivo descripto constituye un péndulo de tracción.

Repitamos el experimento variando los pesos y observaremos que a mayor fuerza (peso) se verifica mayor estiramiento. Como es natural pensar, hay ciertos valores para la carga o fuerza F aplicada, en que los estiramientos dejan de ser proporcionales a esas fuerzas.

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Existe entonces una tensión (fuerza aplicada) máxima para la cual se produce el estiramiento que permite recobrar al cuerpo su longitud inicial una vez desaparecida esa tensión. Las fuerzas elásticas recuperadoras tienden a llevar al cuerpo —alambre— a su posición o longitud primitiva.

Se produce así un movimiento oscilatorio que tiene un determinado período, que puede calcularse mediante la expresión:

Formula similar a la estudiada inicialmente para un péndulo de longitud l.

“Sólo hay felicidad donde hay virtud y esfuerzo serio, pues la vida no es un juego”

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