SEMANA VI: CANTIDAD DE MOVIMIENTO

CANTIDAD DE MOVIMIENTO

Es una magnitud vectorial definida como el producto de la masa de un

cuerpo y su velocidad.

Unidades

Donde:

p =Cantidad de movimiento(vectorial)

V=Velocidad(vectorial)

m=masa(escalar)

P:Kg.m/s

MOMENTUN LINEAL

Reemplazando valores se obtiene:

Sabemos que: p =mVp =mV

Si m=2kg y V=5m/s ; Calcular p.

Ejercicios Resueltos

Solución

Es una magnitud vectorial definida como el producto de la fuerza que actúa sobre un cuerpo y el intervalo de tiempo que dura la acción de la fuerza.

Donde: F=Es el valor de la fuerza( vectorial)

t=Es el intervalo de tiempo que dura la acción de la fuerza(escalar)

I=Es el valor del impulso(vectorial)

Unidades

I=FtI=Ft

I: N s

→

1V→I

→F

→

2Vt

Sabemos que:

Si F=10N y t=0.02s, entonces I es:

I=FtI=Ft


I=(10N)(0.02s)


Solución

→

1V→I

→F

→

2Vt

IMPULSO.-“La impulsión de la fuerza resultante que actúa sobre un cuerpo es igual al incremento de la cantidad de movimiento del cuerpo”

→F

→

2V→a

Las relaciones anteriores se pueden expresar en forma vectorial, es decir:

∑ = amF

Sabemos que:

Entonces:

El impulso es:

∑ −= )()( 12 ttFI

pI;tFI

∆==

m=4kg

V2=2m/s

V1=4m/s


2400NF

:queda F, Finalmente01.0

24

01.0

168

01.0

4(-4)-4(2)F

:obtiene se F Despejando

;mV-mV)V-m(VFtI 1212

=

=+==

===Sabemos que:


Hallar la fuerza media en el choque; si dura 1 centésimo de segundo.

La velocidad de impacto es hacia la izquierda, entonces se considera negativa y la del rebote es a la derecha entonces es positiva.

Solución

PIp-pI 12 ∆=⇒=

A un péndulo de madera se le golpea con un pedazo de fierro con una fuerza de 600N, el impacto dura 0.01s. Si la masa de la madera es de 10Kg. ¿Cuál será la velocidad que adquiere?


Solución

1212 mV-mV)V-m(VFtI ===

Aplicando el teorema de la cantidad de movimiento:


(600N)(0.01s)=10kg(V2 - 0); 6Ns=10kg(V2)

Área= IMPULSIONÁrea= IMPULSION

A) FUERZA VARIABLE

∫=1

o

t

t

FdtIMPULSO

LA MAGNITUD DEL IMPULSO ES:

F

Área= F.(t2 - t1)

SE CUMPLE Área= IMPULSIONÁrea= IMPULSION

B) FUERZA CONSTANTE

1.Cuando un cohete es lanzado, la fuerza que permite su impulso es

F=100+400t-800t2 donde t esta en segundos y F en Newton, si el intervalo de

tiempo de lanzamiento es 2seg. calcular: a)El impulso realizado para el

lanzamiento del cohete, b)La fuerza promedio durante el impulso.

Solución

∫=1

o

t

t

FdtIMPULSO

Sabemos que:


400N.sI

2400-8002000)3

2900()

2

2400(1000(2)I

)3

t900()

2

t400(1000(t)I

)dt900t-400t(1000FdtI

32

32

2

0

22

0

=

+=−+=

−+=

+== ∫∫

Fuerza promedio: ∫=1

o

t

t

_

FdtΔt

1F 200N

2

400Fdt

Δt

1F

1

o

t

t

_

=== ∫

Ejemplos

Solución

) m/s(k4j3i2v→→→→

+−=

Sabemos que:

2.Una partícula de masa m=1kg en el instante t1=0 tiene una velocidad de:

∫→

=1

o

t

t

dtFIMPULSO

luego inmediatamente actúa sobre la masa la fuerza New) kt3jt4i3(F 2→→→→

+−= durante 1 segundo; luego la velocidad de la partícula al cabo de 1seg, será

)V-Vm(I 12

→→=


2

1

0

1 VmdtFVm →→→

=+ ∫

2

1

0

2 V(1))dt k3tj4t-i(3) k4j3-i(1)(2 →→→→→→→

=+++ ∫

“Cuando sobre el sistema no actúa ninguna fuerza resultante exterior, la cantidad de movimiento del sistema permanece constante tanto en magnitud, como en dirección y sentido”

CONSERVACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO

→

1V →

2V→

2Vm1 m2

→

1F→

2F m1 m2

→

4V→

3Vm1 m2

ANTES DEL CHOQUE

CHOQUE

DESPUES DEL CHOQUE

La Cantidad de movimiento total inicial es igual la Cantidad de movimiento total Final

CONSERVACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO

La Ley de la conservación de la cantidad de movimiento es una igualdad vectorial que se puede expresar en forma escalar si todas las velocidades están dirigidas a lo largo de una misma recta, es decir:

42312211 vmvmvmvm +=+

Es el fenómeno de la colisión entre dos cuerpos, en el que aparecen fuerzas de acción y reacción de gran magnitud, que actúan durante un brevísimo lapso de tiempo.

Choques Elásticos ( e = 1 )

Choques Inelásticos ( 0 < e < 1 )

Choques perfectamente inelásticos ( e = 0 )

“En los choques, la ley de la conservación de la cantidad de movimiento se cumple en todos los casos, mientras que la Ley de Conservación de la Energía no siempre se cumple”

CHOQUES

COEFICIENTE DE RESTITUCION (e)

Es un numero que establece la relación entre las velocidades relativas de los cuerpos después y antes del choque.

2

43

V-V1

VVe

−−=

→

1V→

2V ANTES DEL CHOQUE

→

2V

m1 m2

→

3V→

4V DESPUES DEL CHOQUE

m1 m2

Nota

•e=0, En choques perfectamente inelásticos

•e=1, En choques elásticos

• 0 < e < 1 Choques Inelásticos

La figura muestra la colisión de los bloques 1 y 2. Entonces, el coeficiente de restitución entre los bloques es:

20m/s

1

V=0

2

12m/s

1 2

16m/s

Solución:

2

43

V-V1

VVe

−−=

2.0)20

4(

0-20

1612e =−−=−−=

Sabemos que :



Este es el caso en el que la energía cinética total antes del choque es igual a la energía cinética después del choque.

CASO1: CHOQUES ELASTICOS ( e = 1 )

CHOQUE

DESPUES DEL CHOQUE

CONSERVACION DE LA ENERGIA CINETICALa energía cinética antes del choque es igual a después del choque

242

231

222

211 vm

21

vm21

vm21

vm21 +=+

CONSERVACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTOLa Cantidad de movimiento antes del choque es igual a después del choque

42312211 vmvmvmvm +=+No hay desprendimiento de calor

Dos “canicas” de masas iguales van a realizar un choque elástico y

unidimensional. Si una de ellas esta en reposo y la otra posee una

velocidad de 4m/s antes del choque, determinar las velocidades que

adquieren después del choque.

Solución:

Aplicando el principio de conservación de la cantidad de movimiento

42312211 VmVmVmVm +=+

V2=0V1=4m/s

Como las masas son iguales, m1=m2=m, se tiene

(4)m +(0)m = mV3+ mV4

V3+ V4 = 4 ..............( 1 )Como el choque es perfectamente elástico(e=1)

)2...(.................... 4VV

10-4

VV

V-V1

VVe

43

43

2

43

−=−

=−

−=−

−=

NOTA: Este caso se ve en el choque de bolas de billar, en la cual tienen masas iguales y una de ellas está en reposo; entonces las partículas intercambian velocidades

Ejemplos de choque elástico

CASO 2: CHOQUES INELASTICOS ( 0 <e < 1 )

ANTES DEL CHOQUE

CHOQUE

DESPUES DEL CHOQUE

CONSERVACION DE LA ENERGIA CINETICALa energía cinética total no es constante

CONSERVACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO La Cantidad de movimiento antes del choque es igual a después del choque

42312211 vmvmvmvm +=+

Coeficiente de restitución ( e):

NOTA: El choque de una pelota de plástico con una superficie dura es inelástico, porque un poco de energía cinética se pierde cuando esta se deforma mientras está en contacto con la superficie. Depende del material de los cuerpos que chocan.

En este caso los cuerpos permanecen adheridos “se pegan” después de la colisión.

CASO 3: CHOQUES PERFECTAMENTE INELASTICOS

→

1V →

2V→

2V

→

4V→

3V

m1 m2

m1 m2

ANTES DEL CHOQUE

CHOQUE

DESPUES DEL CHOQUE

Se cumple V3=V4

Por conservación de la cantidad de movimiento y si V3=V4=V entonces:

)vmm(vmvm 212211 +=+

Durante este tipo de interacción, parte de la energía cinética se transforma en calor

Dos masas disparadas en sentidos contrarias, tal como se muestra en la figura,

chocan y quedan pegadas ¿Cuál será la velocidad del conjunto? si los datos son:

m1 = 50g; V1 = 100 m/s ; m2 = 40g; V2 =60 m/s

m2m1

Solución:

Aplicando el principio de conservación de la cantidad de movimiento

Como las masas quedan pegadas se cumple, V4 = V3 = V, se tiene

(50g)(100m/s) - (40g)(60m/s) = (50g)V+ (40g)V

(5000 -2400 )g.m/s= 90g(V) 2600 g.m/s = 90g(V)

42312211 VmVmVmVm +=+

Finalmente la velocidad(V) que se obtiene es:

V = 28.89m/s

Ejemplo de choque perfectamente inelástico

COLISIONES EN DOS DIMENSIONES

Para el caso de dos dimensiones la conservación del momento se expresa

para cada componente como:

m1v1ix + m2v2ix = m1v1fx + m2v2fx

m1v1iy + m2v2iy = m1v1fy + m2v2fy


m1

m2

v1i

v2f

v1f

Antes de la colisión Después de la colisión

v2i


Consideraremos el caso en que m2 está en reposo

inicialmente. Después del choque m1 se mueve a un

ángulo θ con la horizontal y m2 se mueve a un ángulo φ

con la horizontal. Las ecuaciones anteriores quedan

como:

m1v1i = m1v1fcos θ + m2v2fcos φ

0 = m1v1f senθ − m2v2fsen φ


La ley de la conservación de la energía suministra otra ecuación. Sin embargo, dadas las masas y la velocidad inicial deberá darse alguna de las cantidades restantes v1f,v2f, φ, θ.

2222

12112

12112

1ffi vmvmvm +=

Ejemplo.-Un auto de 1500Kg a 25 m/s hacia el este choca con una camioneta de 2500Kg que se mueve hacia el norte a 20m/s en un cruce. Encuentre la magnitud y dirección de la velocidad de los autos después del choque, suponga un choque perfectamente inelástico.

25 m/s

20 m/s

vf

Momento en x:

Antes Después

(1500 kg)(25 m/s) = (4000 kg) vf cos(θ)

Momento en y:

Antes Después

(2500 kg)(20 m/s) = (4000 kg) vf sen(θ)

Resolviendo

θ = 53.1° vf = 15.6 m/s

EJERCICIOS

1.Un bloque de masa m1=1.6kg, moviéndose hacia la derecha con una velocidad de 4m/s sobre un camino horizontal sin fricción, choca contra un resorte sujeto a un segundo bloque de masa m2=2,1kg que se mueve hacia la izquierda con una velocidad de 2,5m/s. (k=de 600N/m). En el instante en que m1 se mueve hacia la derecha con una velocidad de 3m/s determine: a) la velocidad de m2 b) la distancia x que se comprimió el resorte

DINAMICA DE UN SISTEMA DE PARTICULAS

Las fuerzas internas se anulan…..

CENTRO DE MASA

M

m

m

m ii

i

iiCM

∑∑∑ ==

rrr

m1

m2

mn

mi

r1

r2 ri

rn

rCM

x

y

z

El centro de masa de un sistema de partículas es un punto en el cual parecería estar concentrada toda la masa del sistema.

MOVIMIENTO DE UN SISTEMA DE PARTICULAS

M

m

dt

dm

Mdt

d

iiCM

ii

CMCM

∑∑

=

==

vv

rrv

1

∑∑ === totiiiCM mM ppvv

ACELERACIÓN DE CENTRO DE MASA

∑∑ === iii

iCM

CM mMdt

dm

Mdt

da

vva

11

De la segunda ley de Newton:

∑∑ == iiiCM mM Faa

dt

dM tot

CMext

paF ==∑

Tomando en cuenta la 3era. Ley de Newton:

El centro de masa se mueve como una partícula imaginaria de masa M bajo la influencia de la fuerza externa resultante sobre el sistema.

Ejemplo: Calcular el centro de masa de la barra.

Por ser un objeto simétrico zcm = 0 ycm = 0

Consideremos una densidad lineal de masa

Si dividimos la barra en elementos de longitud dx, entonces la masa de cada elemento es

5.Una bala de 0,15kg con rapidez de 200m/s penetra en una

pared de madera deteniéndose al recorrer 0,3 m. La magnitud de la

fuerza media que detiene la bala es.

GRACIAS

SEMANA VI: CANTIDAD DE MOVIMIENTO

Documents

Transcript of SEMANA VI: CANTIDAD DE MOVIMIENTO