CANTIDADDEMOVIMIENTOIMPULSIONCHOQUESCuando se quiere medir el movimiento mecfmico de traslaci6n de las particulas, existenmuchas formas de abordarla; laprimera de ellasytal vezlamas sencilla 10hicimos en elcapitulo de cinematica. EIanalisis fue meramente descriptivo, abordandoladesde unenfoque geometrico.Lasmagnitudes ffsicas(asociadas aftiempo) fueron principalmente laposici6n, velocidad yaceleraci6n. Asi, por ejemplo para un m6vil que desarrolla un MRUV.t=t V- ..!.Aot=OhC'-'- '.j-' "'1'-''15'p~ ~__C,UZCANQ'----------------~Como puede notarse ladescripcion esvectorial, pero nose menciona las medidas de suinercia (masa) 0sus interacciones (fuerzas).Posteriormente enel capftulo detrabajo yenergfa el movimiento mecanico detraslacion 10mediamo's asociando masa yrapidez, asf por ejemplo:Como puede notarse en ambos casos semide el movimiento mecanico, asociando 0noasu masa. Surge una interrogante (.seran las (micas formas de medirla?, iciertamente no!,existen otras formas, yese sera motivo de estudio en este fasc1culo.Detengamonos por unmomento; calculemos laenergfa cinetica de una esferita de 2kg endos situaciones yanalicemos :~o 0 0m~6m1s-hwi\Q.LbMf1 2Ek=Zx2x6:. Ek=36J~La energfa cinetica de la esferita es la misma en ambas situaciones a pesar de que ladireccion dela velocidad esdiferente. Sinembargo el efectoque produce sobre el coche esdifer~nte; en la situacion (I) queda en reposo, mientras que en lasituacion (II) adquieremvvimiento.La energfacineticaesunrnagnitud ffsicaescalarsumedida esindependientedela direcciondesu velocidad.Como el efecto producido por laesferita fue diferente, entonces surge entonces lanecesi-dad demedir el movimiento enforma vectorial, asociando sumasa; estosehara justamen-te eneste capftulo con ladenominada cantidad demovimiento.CANTIDAD DEMOVIMIENTO IMPULSO CHOQUESTambien si recordamos en el capitulo anterior, y para el caso de lafigura, el trabajo y laenergia serelacionaban mediante magnitudes.Wpersona_W lensi6n- .6.EAB -AB - kVa VfE E ~ -= kf ~ ko.. :t~~:!;.l:... .... ~Jt~~~.tensi6n.l";o( 2 2)W =- mV -V . AI d I BAB . - 2 "f 0.Enesta ecuacion las. interacciones yel movimiento estan relacionadas entre sf, en formaescalar, cosa que no nos brinda informacion precisa de ladireccion de lavelocidad. Eneste capitulo las interacciones (fuerzas 0impulsiones) estarim relacionadas con su movi-miento mecanico, todas exP\esadas en forma vectorial.v.\ All.,a ~.La pelotita Ilevaba una direcci6n, alinteractuar conI.araqueta, estamodificasu direcci6n.EI siguiente cuadra nos i1ustra caracterfsticas analogas entre las magnitudes usadas en elcapitulo de trabajo-energia ylas que usaremos en este capitulo.'".-.-~-ANALISI~:$OBRE:; f, lfEDlD~,ESCALAR. I...MEDIDA VECTORIALTransferencia0 transmisi6n TrabajoMecfmico (W) Impulso(I)demovimientoIW=fdlI I =FT Imecanico.MedidasdelEnergiacinetica(Ek)Cantidadde Movimiento(P)movimientomecanicoIEk=~mV21 IP=mVI detraslaci6n..Conservaci6n de:La EnergfaLa Cantidad deMovimiento-Trabajo- EnergfaImpulso- CantidaddeRelaci6nMovimientoWneto=~EkTR= AP_ cuziiRQ--- .AI!ICANTIDADDE M_O\ltMIENTO(firTambi~n denominado momentum, momentum lineal 0fmpetu, esta magnitud ffsica esusada para medir vectorial mente el movimiento mecanico de traslacion de una particulaasociada a su masa. (*)Se define;~~Unidad (5.1.)kgxm/s~4b ~:: :~::idad(*) Posteriormente definiremos lacantidad de movimiento de unsistema departfculas.Denominado tambien impulsion, esta magnitud ffsicanospermite medir laaccion de uncuerpo sobre otro actuando durante cierto intervaJo de tiempo (usualmente, relativamentepequeno). El resultado de la misma trae como consecuencia una modificaci6n en lacantidad de movimiento de loscuerpos que interactUan.EI impulso del bate sobre labola sera :Itt:Fm' )1 IFm: Fuerza mediailt : Intervalo de tiempo\, Unidad : N-sSi se tiene una grafica Fvst, esposible calcular como :I~CasliII I DELAFUERZACONSTANTE ENELT1EMPO.IIiICANTIDAD DEMOVIMIENTO - IMPULSO- CHOQUESrc.i~oI II I DE LAFUERZAVARIABLEENELTIEMPO.!G~MiCa IEl valorde Fmed. (valor media de la fuerza) noimplicaseala mitad deFmax; estamas bien estalque multiplicado par ~t en la grafica(II), esnumericamente igual al areadebajo de la graficaF vst enlagrafica (I)..~Historicamente IsaacNewton noenuncio susegunda ley, tal como 10 hemos formulado enel capitulo de dinamica. Una traduccion Iibredel latfnasus escritos en suobra magistral"Philosophiae Naturalis Principia Mathematica", esel siguiente :(*) Newton usael termino "movimiento" a10 que hayconocemos como cantidaddemovimiento.Es decir, si suponemas una fuerza canstante (F) actuando sobre un blaque recostadosabre una superficie lisa.III~ ---- CUZCA.Q---------------~ma: masainicialV: rapidez de la partfculaC: rapidez de laluzDurante la interacci6n bola-raqueta, lafuerza media de laraqueta sabre labola semide:v.P.;o ~---~ @';I~~.::=----- m~VF :--m ~t:. I~T= 4I5.j-CANTIDADDEMOVIMIENTO- IMPUL~Q"--~,~9UESNotaLque la ecuacion expresa unadikrencia vectorial, donde la direccionde "P " coincide con la direccion de V .:=> t=4F=6.;. Entonces :.:.;. F(N)EI valor de "f"cuando t=175 5e calcula enlarecta desde 12::;;t < 18 .F( N)6 fPor semejanza de triangul05: 6= 1: .:. (f = iN) Rpta.. Clave:ACANTIDAD DEMOVIMIENTO IMPULSO. CHOQUESCENTRO DEMASATambienconocida comoel centrodeinercia. EI centrodemasa deunsistemadepartfcu-las, nosindicala ubicaciondellugar 0 punto definidorespectodeunsistemadecoord ena-das; donde en forma real 0hipotetica se situa lamasa del sistema, que a suvezestarelacionada conparametros como suposicion, velocidad, aceleracion, etc.Paraentender mejor definamos unsistema de partfculas discretas.Laposicion del centrodemasa (7CM) sedefinira :n2: miri- _ i=1rCM --n--Imi;=1~celeraci6ndel centrode masa (itCM)Suponiendo quecada partfculapresenta ciertaaceleraci6n, entonces para el sistemasedefine :Lacantidad demovimiento del sistema departfculas, esla misma dela cantidadde movimiento desucentro de masa.IpCM=p;]1I~CM=P~brt~t~+pJJSi enunsistema aislado de particulas no aciUanfuerzasex:ternas, entonces secumple :It!tM2?c~1Sienunsistema aisladodepartfculas noactuanfuerzas externas eindividuales suVCM= 0; entonces secumple :Laspropiedades anteriores lasusaremos confrecuencia, establecida el principio deconservaci6n de la cantidad de movimiento.CANTIDAD DEMOVIMIENTO - IMPULSO - CHOQUESPROBLElMAS DEAP~leACIONPROBLEMA 45 Sem. CEPREUNI .:. tienen sucentro de masa ubicado en :D'Id 2k :~: I'= (4i + 61) mos parhcu as e masas m1 = g y .:.m2=3 kg estan en 105 puntos (0;1) y ::: Determinar lasmasas de laspartfculas si la(-1 ; 0) respectivamente, Hallar la posi- .;. sum ade ambas es6kg.ciondel centro de masa. :~:A) m1 = 1 kg ; m2= 5kgA) (-3/5; 2/5) B) (3/5; 2/5) .:..:. B) m1 = 2kg ; m2= 4kgC) (3/5; -2/5) D)(O; 0) .:.E) (-1/2; 1/2) :~:C) m1 = 2,5 kg ; m2= 3,5 kgRESOLUCION :~:D) m1 = 3kg ; m2= 3kg.:.Datos : .:. E) m1 = 5kg ; m2= 1 kg.:- ..:.Cl. A':' 19ualando componentes :ave. .:.o 2ml+5m2=24.:.Sem. CEPREUNI .:. 2ml + 8m2= 36.:. -------Dos partfculas ubicadas en : :~: 3m2= 12.:- ?=411'1=(2i+21)m y 1'2=(5i+81)m :~: m~,~ 'Masa ' c 'Posicion2kg (0; 1), ~kg (-1; 0)Delarelacion :- mlrl +m2r2rCM=ml +m2Reemplazando datos :_ 2x(0; 1)+3(-1; 0)r -CM- 2+3_ (0; 2)+(-3; 0)rCM=5- (3 2J'reM= -5; ~ Rpta.:~:RESOWCION:~:De larelacion anterior:(4; 6)= ml(2;2)~m2(5;8)(24; 36) = (2m1; 2ml)+ (5m2; 8m2)(24; 36) = (2m1; 5m2; 2ml+ 8m2)y I =rIDI2mI +Sx4 = 24ml = 2~mt = 2 kgm2 =4kg"====~1~i't1td~JJ :~:Podemos notar que ladistribucion de las 9 .;..:.partfculas denota simetria respecto de la .;.bisectrizdeXOY; ademas que lasmasas son :~:EI centro de masa del sistema de partfculasidenticas. .;. que se muestra en lafigura, formado por :Por tanto la ubicacion del centro de masa :~: ml =2kg ; m2= 6kg ; m3= 2kg y eldel sistema estara ensucentro geometrico, :~:C.M. se encuentra localizado en el pun-esdecir en: (a, a). :~:to (2 ; 2) ..;. ('Cual esladistancia (enem)desde laposi-:~:cionde m4 hasta el ejeY?(C.M: centro de:~:masa).Sem. CEPREUNI .;....Encontrar la posicion del centro de masa :~:del sistema mostrado. Todas lasmasas son .;.identicas. :~:2a ------(>------1), . . .a ------~------~, ., ., . . . .A) 3a(i+ 1)C) a(i +1)E) (9a/8)(i+ 1)RESOWCIONB) (i +1)D) 2a(i+ 1)mIl'! = m(O; 0)m2r2= mea ; 0)m3r3= m(2a ; 0)m4r4 =m(O; a)msrs = m(a; a)m6r6= m(2a ;a)m7r7= m(O; 2a)msrs =mea ;2a)m9r9:::::: m(2a ;2a).:..;. Luego:.:._ m(9a ; 9a) t~(a; a)reM = 9m - t~m.a4 -----------------------0____________ Qm3im1 ::0_-----2 : :I ::, ", ", " I.,: : IA) 4cmD)5,4cmB) 5,6cmE) 6mRESOWCI0NDatos:masas (m)ml = 2kgmz =6kgm3= 2kgm4=m* Lm=10+mposicion (r)1\=(-2;2)rz=(O;O)1'3=(3;3)r4=(a;4)* rCM= (2; 2)Delarelacion :- _mlrl+mZrZ+m3r3+m4r4rCM - Lm(2; 2)= 2(-2; 2)+6(0; 0)+2(3; 3)+m(a; 4)10+mLuego:(1O+m)(2; 2)=(am+2; 10 +4m)T - -------r-Igualando componentes :(1O+m)x2=10+4m20+2m = 1O+4mm=~(10+5)x2=ax5+2.. a=5,6~.:..:. En el grafico inicial podemos notar que la:~:distancia desde laposicion de m4 hasta el.:. ejeY sera :.:... (a=5,6cm)1 Rpta.___ =!JClave: B:~:PROBLEMA49:~:Se tienen 4 partfculas de masas iguales';' a m. Dispuestas sobre la recta y=2x tal'.'.:. como muestra lafigura. Halle la posicion:~:del centro de masa.:~:A) (3 1+ 51).:.::: C) (21+41).:.:~:E) (3 1+ 61)B) (2,51+ 2,51)D) (2,51+51).:.RESOWCI0N.:.:~:IMetodol I I:~:La recta donde estan ubicadas las partfcu-.:. lastiene por ecuacion: y=2x.:..:. Luego, tabulando :.:.CITIIITIIIJ~~ ....II- CUZCANO ----------------~.:. Hallese laposicion del centro de masa para.:..:. el sistema dado, si ::~: ' m1= 2m2= m3= 4m4 = 4ms.:. Z(m).:..:._ (1;2)+(2;4)+(3;6)+(4;8) .:.rCM= '4 .:..:.- _(10;20J ~rCM- 4 .:.---"--------., .:.:. (rCM= (2,5l + 5i)m) Rpta. :~:A) (5/61+ 2/3J + 1/3k)mIMeto~611I1-..- ...=- :~:B) (5/61+2/3J+1/2k)mEl C.Mpara dos partfculas identicas, sede- :~:C) (2/31 + 51 6J + k) mfineen un punta equidistante aambas. :~:D) (2/51 + 2/3 J + k)mO~~~_--------O :~:E) (wi +8J +6k) mt---d I d-----l .'. .:. RESOWCIONComo puede notarse el sistema presenta si- .;. Para ubicar la posicion del C.M. del siste-metria. Tomando las masas dos ados es :~:ma, primeramente ubiquemos la posicionfaci!de deducir': .:. de cada masa :.:.m m C.M. m m0-------0--------------0---.. --0I--d-+-d/2-+-d/2-f-d----iEsdecir en lafigura esta corresponde a :VIm)1 2t3 42.5(rCM=(2,5 ;5)1}~==-~Rpta. .:.Clave: D':'~~~"'".:..:.Si.:..:..:..:..:..:..:..:..:..:..:..:..:..:.';' Delosdatos :... _-----ms =m=>m4 =mm2=2mMasa(1!',) .1.4m2. 2m3. 4m4. mm(0;0 ;0)(O;0;6m)(8m;0;0)(2m;4m;0)Una partfcula de 5kgtiene una velocidad :~:VI= (2i - 31) m/s, otra partfcula de 3 kg :~:tiene velocidad V2 = (lOi-51) m/s. En- :~:A) (5,5i+1O,51)mcuentre lavelocidad del centro de masa. .:.(~~)(~~) '.::'. C') (l1i+2{J')mA) 7i-4,25j m/s B) 5i-4j m/sC) (3i+5,251) m/s D) (5i-3,751) m/s :~:E) (1O,5i+5,51)mE)(8i -3,751) m I s :~:RESOWCION':' Evaluemos primeramente la posicion deRESOWCION :;:cada partfcula en t=10s.Lavelocidad del centrode masa del siste- .:.::.:I Mavil I A Ima de dos partfculas se calcula de ::~:Si : V =1 m/s:~: d=lOm~_ (10m; 8m; 6m)rCM=12m)'1'\ (10 ; 8 ; 6)12)'1'\(5~ 2~ 1~)rCM=-i+-j+-k m6 . 3 2.:.Clave: B:-V m1V1 +m2V2CM=m1 +m2Reemplazando sus datos :V _5x(2;-3)+3(1O;-5)CM- 5+3VCM=(10;-15)+(30 ;-15)8V-(40 ;-30)CM=8(VCM= (Si-3,7SJ) m/S):::::azm~:n:t:uz_~_:~:Dos partfculas forman unsistema aislado y.:. se encuentran en las posiciones mostradas:~:en el grafico. Halle la posicion del centro.:. demasa al cabo de 10s. Considere que las.:..:. masas son iguales..:.B) (5i+101)mD) (21i+ll1)m.. La posicion de "pt sera :TA= i + lOi = lli ~ ,:~:I Mavin BI.:. Si : V=2 m/s ; el)t=10srecorre :.:..:. d= 2 x10= 20m.:.:~: :. Suposicion sera: TB= 2111_:~:Laposicion del centro de masa sera ::~: - mATA+mBTBClave: D: rCM= mA + mB.:.Masa,Ve16Cidadml=2 kg (4; 3) m/sm2=2 kg(6; 1) m/sm3=2 kg (2; 2) m/s(rf = ra+Vt)rl= (-2; 0) + (4; 3) x 2rl=(6;6)m~1'2 =(0; 0)+(6; 1)x21'2 =(12; 2) m~r3 =(4; 0)+(2; 2)x2r3= (8; 4) m~Las pamculas quesemuestranenel siste- :~:matienenmasa 2kg ypartenent=O s' de ':''.'las posiciones mostradasconvelocidades: .:. *VI = (4 i+ 3j) m/s , V2 = (6 1+j) m/s , :::y V3= (2 1+ 2j) m/s. :~:*Determine la-posicion (en m) delcentro de :::masadelsistemaent=2s. .; ..:. La posicion del centro de masa en el instan-.:. tet=2s es..:. .A) (121+3 J)C) (26/3)1+4 jE) (17/3)1RESOLUCIONSeg(ln el problema:yB) (261-4 j)D)(16/3)1+4/3j_ 2(6; 6)+2(12; 2)+2(8; 4)r -------~-~-~CM- 2+2+2_ (26; 12)rCM:;: 3Rpta.Clave: C.:..:. Tres partfculas cuyas masas sonm, 2my:;: 3m se mueven en el planoX-Ycon velo-.:. cidades constantes. En t=O sus posiciones::: son las indicadas en la figura. Encuentre la.;. velocidad del centro demasa(en m/s)..:.: A) (lli-4,5J)m ; (i-1,5J) m/s:~~;~ v:~::~~~i:- ~: B) (lli+4,5J)m ; (i+l,5J) m/sm2=2m V2=(7;O)m/s :~:C) (lli+4,5J)m; (l,si-J) m/s1113=3m V3= (2; 5) m/s ~: D)(4,5i -6J)m; (i + 1,5J) m/s~ velocidaddelcentrode~asa secalcu--:~:E) t4,5i-llJ)m ; (i+1,5J) m/sa: .) RESOWCIONVCM=mi VI + m2V2+m3V3:~:Si las dos masas estan dentro de un sistem~. ml + m2 + m3 ' ::aislado, entoncesla cantidaddemovimien-.:. todel sistema(0desucentro demasa) se..:. ..:. conserva. Lavelocidaddesucentrode:~:masa semantiene constante y secalculaVCM:: (4; 3)+(14; 0)+(6; 15) ~: por:- 6 .:.VCM =(24; 18) :~:6 . ~.).. (VCM= (4~:~)m/S] Rpta. :~:Clave: A:~:X(m)B) (4i-3J) m/s.:.D)(4,8i+3,6J) m/s :~:A) (4i+3J) m/sC) (8i-6J) m/sE) (24i +18J)mlsRESOWCIONDe los datosdel problema:'VCM =m(4 ;-3)+2m(7; 0)+3m(2; 5)- m+2m+3mCANTIDADDE MOVIMIENTO- IMPULSO - CHOQUES:::'PROBLEMA55'~::: Dos esferas se mueven sobre unasuperficie.:. horizontallisay en un instante deterrninado.:...:. estandispuestascomosemuestraen.la fi-:~:gura. Hallar los vectores posicion y veJoci-.:. daddel centro de masa 3 segundos despues:~:deproducidoeJ choque. (Considere a/as';' esferas como unsistema ais/ado)'.'.:. Y(m).:.lkg 4m/s...,+2m/s-4 ~._ ~3kgV _lx4i+3xZJCM- 1+3( ~ (Velocidad enyCM= (i + 1,SJ) m/s~todo instante) .G~ _ =-~""' Rpta. (II)~ ~__ CUZCAIfQ----------------~---~Hofq.-En la figura original podemos notarfo-ci/mente que alosdos segundos deini-ciado el movimiento las partfculascolisionan; aLin as! Psist. = cte en todoinstante.Masa Velocidadml=4 kg Vl=(4; 2t)m/sm2=6m V2=(2t; -8) m/sLa posicion inicial del centro de masas se :~:La velocidad del centra de masa en cual-calcula par : .:. quier instante sera :.:._mlrl + m2rZ.:.rCMo .:.ml +mz .:..:._lxO+3x(8 ;-4).:.rCMo.:.1+3.:.(fCMo =(6;-3)m].:..:....:.VCM= _m_I_V_I_+_m_Z V_zmi+mzv _4 (4 ; 2t) + 6 (2t ; - 8 )CM- 4+6V _(16+12t; 8t-48)CM- 10La posicion del C.M. 3 segundos despues .:. Ent=.4s sera :dela colision,significa 3+2=S segundos des- :~:pues de iniciado el movimiento. .:..:.Resolviendo : :~: ..:. (fCMf = (Hi +4~5j).:JJRpta (1) :~:Clave: B:;:.:. PROBLEMA 57.Sem. CEPRE UNI .:..:. Tres partfculas m 1 = 2 kg, m z = S kg yEnel instante (t=O) una partfcula de masa ':' m3= S kg se encuentran en movimiento.!!II = 4) VI = 300 m/s 1_Para hacer lasolucion menos tediosa, ima-ginemos un nuevo sistema de coordenadasX' Y' donde inicialmente la granada semueva eneleje XI y'~~ :':180O,6"!... ~?~__d/*'_ 240,;.;",.' 37Por conservacion de la cantidad de movi-miento antes ydespues de laexplosion.,m' (250; 0) = 0,6,m' (240; 180) + 0,4,m' (~2). V2=(106; -108) = (265; _ 270). 0,4V2= ~2652 + (270)2.' ,:. (V2=318,3m/s] Rpta..~ ~__ CUZCAN~ ----------------~PROBLEMA 85.:.EI proyectil que tiene una rapidez inicial de .'.tira de 25 m/s; describe una trayectoria :::parab6lica; hasta el punta mas alto, donde .;.se fragmenta en dos pedazos iguales. :~: d= 30 m1_Comolas fuerzas que hicieran posible la :~:Luego, ladistancia pedida sera:fragmentaci6n son intern3.s;entonces latra- :~:yectoria que sigue su centro de masa es la .;.misma que seguirfa el prayectil si esta nose :~:fragmentara. .:..;. PROBLEMA86Lagraficaque describe estemovimiento es: .;.~::Unproyectil de 10kgse prepara parasalir:~:conuna velocidad de (30i+ 40]) m/s. Jus-,;. to en el instante de salida se fragment3. en,;. dos partes iguales, uno de ellos con veloci-.:.:~:dad (64i +48]) m/s y todo el conjunto bajo.;. la influencia de la gravedad t.~rresk~ ..:. 2.Que distancia horizontal alcanza el otroHaciendo uso de lageometrfa, es facil cal- :~:fragmento antes de impactar con elsuelo?cular la" componentes de lavelocidad im- .;. A) 612 B) lnr. A -, ~2r.;. , m V2 = ~IlPor conservaci6n de laenergfa mecanicaEMo=EMfEpo+yt = ~ + EKf1212mgR=-mVI+-MV2221 1 (VJ21x10xO,3=-x1xVI2+-x2x --l222Resolviendo :VI2 =4.. (~~ ~2 ~)jClave: B:~:.ml =lkge~__ F?m2=;4k9:~:A)+0,1m/s /'. :~:. C) -0,4mls.:. E) 1,0 m/s.:..:. RESOWCION.:..:. Si el carrito se mueve sobre laplataforma,.;. es porque existerozamiento entre sussuper-....:. ficies, luego si el carrito avanza a Ia dere-.:..:. cha, la plataforma 10hara a la izquierda.:. (principio de acci6n yreacci6n) ..:..:. Tomando como sistema aI conjunto de ma-:~:sas ml y m2; la fuerza de fricci6n sera.:' una fuerza interna, por tanto seconserva la.:..:. cantidad de movimiento del sistema.B)-0,8m/s2D)+0,8m/s.:..:. Como ademas acrua una fuerza constante.:. entonces suaceleraci6n sera tambien cons-.:. tante..:..:..:. Calculo delavelocidad del carrito res-.:.pecto dela plataforma en t=2 s.:.:~:De: (Vf= Vo +at)Vf=0+0,5x2Vf= 1 m/s~.:. Enuna vistadeplanta, mientras el gatoesta.:..:. cruzando se vera que el m6vil 1tambj(~n:;: tiene movimiento transversal (V1y ).: t%[-]1 :;: -==- r:ltr'?1'f');..".",...";.....,j=50~$g,,,.., 1--- "1x=??:. VI = +0,8m!s,j Rpta, .:.m.. 5kgkv.Clave: D :;:.:. \llG.:.IPROBLEMA9i~ Sem. CEPREUNI :;: ==112);4~ak(. I- ~=8m1sEnlafigura el m6vil 1tiene masa 50 kg :;: * V?: Velocidad del gatorespecto del movi/l,y rapidez 10 m/s; y el m6vil 2 tiene .:. C'I I d r Id dfi I d I "1 (1)'.. a cu 0 eraveOCI a na e .moVimasa 20 kg y rapidez 8 m/s. Cuando ~:.---------------estan muy cerca uno del otro un gato :;: Analicemos instantes antes ydespues quede 5kg impulsandose transversalmente ::: elgato sedesprende del m6v~1~1).dI d''. d I . 'II I Antes ~Despues,r~specto e a lreCClOn e mOVI sa ta .:. ---. vhaciu el m6vil 2. En la situaci6n final, ::: ~=IOmls----!.determine las rapideces que presenta- :~:' =:1C) VA =40 i::: D) VA = 40 i.:..:. E) VA =-20 i.:.';' RESOWCION'.'.:. Graficando lassitUaciones inicial yfinal del:~:problema :VB=-40 iVB= 20 i_ AVB=-20 i_ A; VB=40i3m!...... b .4m~ MJ!IIIII!III_ CUZCANQ ----------------~Ademas: K=2 400 Nlm .;. rando que cambiara laluz del semMoro. ElNo existiendo fuerzas extern as en ladirec- :~:auto pequeno es impulsado hacia el cruce-ci6nhorizontal y tomando como sistema las .;. rocon una rapidez de 12mls yelauto pe-masas A, Byel resorte. :~:queno es impulsado hacia el crucero conPor conservacion de la cantidad de mo- ':' una rapidez de 12m/s yel auto grande si-'.'vimiento, en lahorizontal : .:. gue detras conuna rapidez V. Hallar lara-.:-.:. pidezdel centro demasa despues dela coli-.;. si6n. Lamasa de Cadillac con suconduc-.:-.:. tor es 3 veces mayor que la masa de:~:Volswagen con su conductor ..;. A) 3mls.:..:. D) 12 m/s E) 4mls.:..:. RESOWCIONPor conservacion de laenergia meca- .:.nica : .:. EI movimiento realizado por el CadiiIac.:..:. (ml) yvolswagen (m2) antes ydespues':'. de lacolisi6n es :.:..:.:. Vl~s v2=o ....Y.- ~s2400(1,52-0,52)=4VA+2V~ :~: --...~ A~'-"'(---o("." &.:. ~ m ,r-(~ m2400 = 2V; + V~I ... (II) .:.___ ~I_ .:. La cantidad de movimiento del sistema seReemplazando (I) en (II) yresolviendo, sus ':' conserva, asimismo lavelocidad del centrorapideces seran : :;: de masas, por 10que debe cumplir :- - -VA=20mls~ :~: PCM=Po=Pr.I .:.Entonces :VB =40 m/s I_ .:.:.Sus velocidades seran : .;.AmVA =20i-sAmVB =-40i-S.:.Rpta. .:.Clave: B:~:.:.PROBLEMA93 Sem. CEPREUNI .:.UnCadillac a12m/sgolpea laparte trasera :~:de un Volswa~en que se encontraba espe- :~:~~PCM= Pomtotalx VCM= (3m)V1+ mJK.(3m+m)VCM= (3m)(12 i):. ( .~ eM = 9 m1~ Rpta.Clave: CCANTIDAD DE MOVIMIENTO- IMPULSO - CHOQUESPROBLEMA94 Sem. CEPREUNI .:. bre lamesa Iisa. Determine laaceleraci6nLafigura muestra el instante enque sesuel- :~:del C.M. del sistema en el instante en quetan losbloques sujetos alas fuerzas indica- :~:sobre una de las partfculas se ejerce unadas. Si en estas condiciones elresorte esta .:. fuerza de 50 N, como muestra lafigura ..:.comprimido 3cm, determine laaceleraci6n .:..:.de sucentro de masas.:~:A) 2,5 (i +..J3 3) m/s2.:.:~B) 5(i +..J3 3) m/s2RESOLUCION:~:C) 2,5 (..J3 i+3) m/s2Paralasituaci6n de lafigura, podemos no- :~:D) (..J3 i +1) m/s2tarque hayuna fuerz~resultante enel siste- :~:E) 5 (..J3 i +3) m/s2maconformado por los bloques y el resorte. llmia) Si no existe rozamiento, entonces la componente horizontal de la velocidad nocambia, es decir :VI cosa = III cos~VI cos~-=--III cosab) Lacomponente delavelocidad inicialenlavertical; cambia debido al coeficiente derestituci6n.IIIIIII(t":~.w~i .icosa sen~e=--x---cos~ senaIllsen~ = eVlsenaIII sen~e=-x--VI senaj),-~ ~_ CUZCAN~ ----------------~DEPROBLEMA98 Sem.CEPRE UNI ':'----------------- '.'Una esfera de 1kgcan una velocidad de ':'4 im/s realiza una colisi6n elastica frontal :;:can otra esfera estacionaria identica en sus .:.dimensiones. :~:2.Aque distancia de la primera esfera, se ':'encuentra lasegunda esfera; 3sdespues de :;:la colisi6n? .:..:... (d = 12=1 Rpta.A) 6mD)24mB) 10 mE) 8m:~:,PROBLEMA99.:..:. Dospelotas deigual masa moviendose can:~:rapidez de 3mis, chocan de frente. En-.:. cuentrese la rapidez de cada una despues.:..:. de lacolisi6n (enm/s) .RESOLUCIONR~.:. I) Si quedan juntas..:.I) III =112 = 0II) III =112 = 0III) I) III =112 =0Despues de facolision ;3sJ.Ll=O~ J.L2=4m/smrZ;l ~Q~.v: "X'R'f~d-.:..:..:. C)I)III =112 = 1,5.:..:.II)III =112 = 3.:..:..:. III)III =112 = 0,9.:.CANTIDAD DEMOVIMIE:NTO- IMPULSO- CHOQUES::: a) Por conservacion de P.:..:. Po==PI:~: mVI+ mVz==mill + mllz0)I) ~l ==~z==0II) ~l ==~z==3Ill) ~l ==~z==0E) I) ~l ==~z==3II) ~l ==~z==0Ill) ~l ==~z==2,7RESOLUCION3 i-3i==1l1 +ilzill + ilz==0.:.k~~'d.'11 I .:..:.Esbozando una grMicaantes ydespues de .:..:.la colision plastica. .:.~=3m/s-V2=3m/s-ilz~ill ==e(VI-Vz)ilz - ill ==1x( 3.i - (-3 i))ilz- ill == 6iIlz== 3 i m/sill == -3 i m/sPor conservacion de la cantidad de movi- .:. Losmodulos desusvelocidades 0 rapidecesmiento. ::: seran :Po ==PI :~::. (~1=~2= 3 m/~]RPta. (II)~~':m (3i) + m (-3 i)== 2mVr:~: It~{[ill]Significa que laspelotas sedetienen; enton- ':'. . .ces : .:. Graficamos instantes antes ydespues de la[-----lli ::: colision inelastica (e=O,9). '~l= ~~.~ OJ Rpta (I) ::: m;.ta,~~~~el~ condicion esbozamos elgrMico si- :~: .-;Sj i~, I~~L1FAn1'&1 rQes"p'u~ :~:a) Por conseivacion de P.Po==Pr,m'VI+ ,m'V2=,m'1l1'+ ,m'ilz'r3m/s~=3m/s~l ~.:.- -- -.:.::;;:!I ~@~ ::;;:tt,.:.~~.:..:.~" MI!II!R~CUZCA.Q---------------~3 i+(-3 i)== ill +il2== ill +il2~. Parconservaci6ndelacantidaddemovi-:~:miento enel sistema:... (1)b) Sielchoque esinelastico(e==O,9);en- :~tonces : .:.~..:..;. PROBUMA.',101, Sem. CEPRE UNI.;..;. Sobre una mesa horizontal Iisa se en-:~ cuentran dos esf~rasjuntas enreposo y.. (J.lI ==J.l2 = 2,7 mlS) Rpta. (III) .;. una tercera vaalencuentro deellas. SiCl 'A:~:las velocidades despues del choque sonave. ~:ill ==(21- 0,53) m/s , il2 ==(1+43) mlsfpa"OB~Oi Sem. CEPRE UNI":~ y il3 ==(3 1-33) mis, hallarlavelocidad, "" " . ~. dela esfera quese estabamoviendo, antesUnap.?-rhcula Ade masa m yvelocl- ~. delchoque.dad 2i mls vaalencuentro deuna par- :;tfcula Bde masa 2my ~n reposo. Si .:.despues de la colisi6n eAntre A y B; :~Badquiere la velocidad i mis, deter- .:'~,mine lavelocidad de A. .:.il2-ill ==e(VI-V2)il2 - ill == 0,9(3 1- (-31))il2 - ill == 5,4 1De (I) y(II) ;A) 51m/s::) 1 m/s:.~0 i m/s21.:.B)m/s.:.D) (1/2)m/s.;..:..:.ill == 0.. (ill = 0 i mI:J Rpta.Clave: E(antes del choque)--------X:~:A) (10 1- 2,53) mlsRESOWCION .:'Gfd I 'tu' t d ' ';'B) (101 -1,5 3) mlsra lean0 asSl aClones an esy espues '.'dela colisi6n. :~:C) (10 1-0,53) m/s~DeSpues, :~:D) (13i-1,5 3) mls_ Vt=2tmls v=o ~ - Ami .:'~~------G'-' ~-- ::;:~ 8:~E) (131-2,53) m/sA B A B .'.'CANTIDAD DEMOVIMIENTO IMPULSO- CHOQUESRESOLUCIONLassituaciones antes ydespues del choquesegun elproblema serim:.:. A) 1,67mls:~:C) 1,33mls:~:E) 2mls.:. RESOLUCION.:.';' Inicialmente el cai-rito'.'.:. estan detenidos .B)2,67mlsD)0,67mls.:..:. EI bloque iniciasumovimiento con rapidez:~:de 2m/s; como no existe rozamiento, en-~L' 3i' .:. tonces el carroseguira enreposo y el bloquema:~:se movera avelocidad constante.-3j' .:.Por conservacion de la cantidad de movi- .:..:.miento.Po=Pfml Vl = ml~l + m2~2+ m3~3Resolviendo :.. (VI = (13 i-1,Sj) mlsJ Rpta.\\=2m1s ~=oUiJ:m:~:Cuando el bloque llegaalextremo dela pa-';' red del carrito; seproduce lacolisionelasti-... ..:. ca, entonces cada uno de ellostendran ye-:~:locidades ~l e ~2 constantes, respecto de.:. tierra ..:..:.Unbloque de masa 2mse encuentra den- .:.trodeuncarrito de masa "m", inicialmente ';' I) Por conservacion de P'.' ---------en reposo, tal como indica lafigura. Si el .:.bloque parte del centro del carrito con una :~:rapidez de2m/s. Hallelarapidez del carri- :~:to despues de la primera colision elastica .:.con el bloque. Ignore todo efecto de fric- :~:Asumimos un signa a sus vectores veloci-cion. .:. dad:.:..:. Luego ;.:.II'- J:'U~ .I.If!I!II) 5i el choque es elastico (e=l).il2 - ill = e (VI -1:.)112 - III = 1x 2ml (V)+ m2 (-V) = ml x 0 + m2 (1l2)V(ml-m2)=m21l2 ... -(1)... (II) :~:5i el choque esperfectamente elastico..:. e=l.:.(Vl-V2).:.il2 -ill =e.:..:.Ilz = l(V-(-V)).:..:..:.Ilz = 2V. .. (II).:..:.Resolviendo (1)y(II) :2III=-38Ilz =-3Luego :... [~=2,67.~s ' Rpta....... =====~ .:.Reemplazando (II) en (1):Clave: B:~:.:.Sem. CEPREUNI .:.Resolviendo :(E'3:. _1 =- Rptam2 1.Dos esferas perfectamente elasticas van al .:.encuentro con igual rapidez ydespues del :~:choque una de ellas queda enreposo. -J: ..:.IDidoj Final " .:..:. Asignado unsigna aladireccion dela velo-:~:cidad.2m 2V + mV= 3mll~ [~=~v]Por conservacion de la cantidad de movi- .:.miento en el sistema. :~:Calculo delaenergia disipada1 Z 1 ZEK=-x2m(2V)+-xmVo 2 2EKo= 4,5mVzl_EKf =~x3mx(%v J25 ZEKf =6mV~.;. mV::: A) 0,13 M.:..;. MV.;.C)0,5-.;. mB) 0,13 MVm. mVD)0,5-V.:.;. E) 1,86MV/m.:..;. RESOWCION.:..;. Dato del problema: (Para labala).:.:;: Sipierde el 75%de su EKo' entonces :.:.'Q=EKo-EKfQ =4 5mV2_25 mVz,6Q=l.mVz3~Finalmente : eI porcentaje de energfa disi- :::pada en forma de calor es : .;.Q 1/3 ';' Calculo delarapidez del bloque%EdisiPada = -- x 100 = - x 100 '.' --------------EKo4,5::: Analizando instantes antes ydespues que Iq..;. bala perfora el bloque.V111= -l2VIII =-2~=V.;. ---Sem. CEPREUNI .;. __~ _.;. mjDesptibi"II_=??r-" ..-Clave: E:;:Lafigura muestra unproyectil demasa "m" .;.que se mueve con una velocidad V, hacia :;: Por conservacion de la cantidad de movi-unbloque demasa M, enreposo. Si la bala ';' miento.'.'perfora al bloque perdiendo el 75%de su ';' Po= Pfenergfacinetica, determine la rapidez del :;:bloque despues que labala 10atraveso. .;. mV1 =mill + Milz.:..;.-Asignamos a cada vector velocidad un sig-.:..;. no.VmV = mx-+Mllz2CANTIOADDEMOVIMIENTO - IMPULSO. CHOQUES.:. Ccilculo de la cantidad de calor des- ..:~: prendido durante lacolisi6n.~2 = i (1-~)v.. [~2= 0,5 iiV)Sem. CEPREUNI :~:Se tienen dos partfculas cuyas masas son 4 :~:gy 2g cuyas velocidades son 2im/s e: * * EKf=.!ml~i + .! m2~~im/s, respedivamente. Despues de coli- :;: 2 2sionar la partfcula de rI;asa 2g tiene una .:. 1 (3 )2 1 2velocidad de 2im/s; determine la canti- :;: EKf ="2 (2m) x"2 + "2x m x 2dad de calor desprendido en lacolision. :~:A) 0,3 mJ B)0,4 mJ C) 0,5 mJ :~: EKf = 4,25 m~D)5mJ E)2mJ :~:Luego :RESOLUCION :Esbocemos ungraficoantes y despues dela .:.'.'colision. .:.Q=EKo-EKfQ = (4,5 -4,25)mQ = 0,25 x 2 x10-3 J:. ( ~= 0,5mJ JJ Rpta.Clave: CV. =2f ~=f' ill il2=2t :~:- ~ --'- .j---'''- -- -- .:. ----.--- ~0--1..__~--~-------~--- :.::,r . 5tR~BLEMA'109.:.Data : :~:Uncuerpo conenergfa cinetica Eoproduce* m=2g=2 x 10-3kg .:. un choque perfedamente inelastico con un:~:segundo cuerpo deigual masa einicialmen-Por conservacion de la cantidad de movi- ::: te en reposo. La energfa cinetica del con-miento. .;. junto despues del choque es :(2m)(2 i)+m(i)= 2mill +m(2 i)- =~i1~l~:~:RESOLUCION:~:Esbozamos lagrafica instantes antes ydes-.:. pues de lacolision plastica..:-~ .....-- PUZCAIIQ -----------------~Por conservacion de P.Po=PfmVl=2mxll[Il=i]La' energia cinetica final se calcula por :E 1 2 zf=2xmxll1 VZEf=-x2mx-l241 z 1Ef=-xmxVl x-2 2. . (Ef = ~o) Rpta.(. A) 0,5:;: D)0,8B) 0,6E) 0,9.:. RESOWCION:~ Las masas de las particulas son de 2 kg;: conodendo la energia cinetica, determina-.) mos surapidez.(..) ~: ~.. .";41' .... .. 2'" .' . I .:. ,ftt; .Nr../f:::J:l ~/:. ---:J 0:~: ' Nt. JQ fPodemos notar en los triangulos de veloci- ';''.'dades; la velocidad horizontal disminuyo, ::. Por teoria : si el pisoesrugosa y el coeficien-esto fue debido alafriccion. ::: tede restitucion es "e".tan a -l-le=----tane+l-lfx 0, 1 = 1x (2i - 4i).. (f= (-20 ~)~;08= tan45-2/9, tane+2/9.:.Rpta. .:..:.Clave: D:tane+2/9= _1-_2_/_9. 0,8CANTIDAD DEMOVIMIENTO IMPULSO CHOQUEStan8=0,75 :~:D) ~A=(91+1,4j-0,9k)xl0-3 ;.. (~::::37~1Rpta. :~: ~B=(281+4,3j-2,8k)xl0-3Clave: B :~: (' ~ ~ ~)---- .:. E) iIA = 0,032i+O,123 j-O,S kPROBLEMA125 :~:~B =(0,03 1+0,02 j-O,OOI k)Sem. CEPREUNI .:.Las naves AyNquisieron acoplarse el :~:RESOWCION15/07/75. Si el primer intento notuvoexito :~:Para simplificar lasoluci6n, consideraremosyel coeficiente de restituci6n del imp acto ::: alasnaves como partfculas que realizan unresultante fue e=O,95. .;. choque inelastico.lCuales fueron lasvelocidades de los2ve- :~:Graficamos instantes antes ydespues de lahfculos despues del impacto, (enm/s)? :~:colisi6n elastica.Datos : :~:Antes . 'b~puesVB= 0 (respecto de XYZ)VA= (0,2 1+ 0,03 j - 0,02 k) m/smA =18x103kgmB= 6,6xl03kg----~----------A) ~A = (0,03 1+ 0,234 j - 0, 2k)~B = (0,24 1+ 0,003 j - 0, 2k)B) ~A =(0,9 1+0,14 j-0,09 k)P:B= -(0,28 1+ 0,43 j - 0,28 k)C) ~A =(0,09 1+0,0145 j-0,09 k)~B = (0,28 1+ 0,043 j - 0,028 k).:. V.':'. ~ "a=o:::~O-----------"_--O.;. IDA IDB.:. Usando los datos del problema ..:..:. Por conservaci6n de la cantidad de movi-:~:miento..:.Po=Pf-:..:.mAVA+ 0= mA~A + mB~BX-:..:..:.- mB - -.:.f..lA+-f..lB =VA.:. mA.:..:.- 6,6_ V.:.f..lA+-f..lB= A.:.18.:..:.- I,L V.:. f..lA+3'f..lB = A... (I).:..:..:. Si el choque es inelastico (e=0,95).:.~ MlW!II-- C,UZCANO ----------------~De (1)+(II) :~B( 1+131)=1,95\1Ai1B = 1,427(0,2 i+0,03 j -0,02 k).;. La colision fue perfectamente elastica, en-.:. tonces :.:.mV1+ 0= (m+ 300)V2mx15=(m+300)xV2 '"(I)JIB= (0,28 i+ 0,043 j -0, 028k) m Rpta.(l) :~: Despues de lacolision elastica elautomovil, 5 .;. Yel muro sedesplazaron una distancia "d".~1~ ~A ~/tg.;.:;:~~ ~~M:ijii!:~~~A =(0,09i+o,0145J-O,009k)m Rpta.(H) :~: A f__ _ _ . _ _5 .;. NClave: C.;. ~-----d=9m-----v=%!-i it8.:.,.;. Porrelacion entre trabajo yenergfa mecani-.:.Sem. CEPREUNI .;. ca ..:.Unauto que viaja a54kmlh seincrusta en :~:un muro de proteccion de 300 kgy poste- .;.riormente el auto yel muro recorren una. :~:distancia de 9 mhasta que se detienen .. ;.Calcular lamasa (enkg)del auto si elcoefi- :~:ciente de friccion cinetica entre el auto yla :~:pista es Jlk = 0,2 . .;..:.B)300 C)400 v.:.E)600 .;.A)200D)500M:M=W~C~ -EKA=-fxd1 2--MV2= -JlxN xd21 2-MV2= JlxMgxd2vi= 2 x 0, 2 x 10 x 9V2= 6m/s~.:.Despues delacolisi6n .;.mx15=(m+300)x6,:. (m=200kg)1 Rpta .. Clave: ACANTIDAD DEMOVIMIENTO IMPULSO. CHOQUESDos autom6viles chocan perpendicular- :::mente en una intersecci6n. Los autos .:.A (m= 1 200 kg) y B(m= 1 500 kg) que- :~:dan unidos despues del choque ydeslizan ';'(Ilk= 0,2) juntos hasta a1canzar 100mse- :;:gun se i1ustraen la figura. Determine las :~:rapideces de Ay Binmediatamente antes .:.de chocar. .:..:.di... 100m.. : 53 ....~........~Cp. .... ...... ~ \~BA) VA=16m/sB) VA=12 m/sC) VA=20 m/sD) VA= 27m/sE) VA= 28,8m/sVB=12 m/sVB=16 m/sVB=20 m/sVB=28,8 m/sVB=27 m/s.:.RESOWCION .:.Analizamos primeramente 10 ocurrido ins- :::tantes despues de la colisi6n hasta que fi- :~:nalmente sedetiene : .:.:::Por relacion entre Wy EM.:.&:M=W~e.:..:..:.~ -EKe =-fxd.:..:..:.--!,MVi =-Jlx,Mgxd.:..:..:.2.:.vi = 2(0,2xl0xlOO).:~.:..:.V2 = 20m/s ~ .:..:.:~:Ahora, analicemos antes dela colisi6neins-.:. tantes despues de lacolisi6n.~ ~II- CUZCANQ ----------------~(12oovAi+1500 VBJ)=2 700 \}2(1200 VA ; 1500 VB) = 2700 (12; 16) .:..:.VA= 27~1 500 VB= 2700x 16VB=2~:. ( VA= 27 m/s 1:. ( VB= 28,8 m/s].:.Rpta. ~.Clave: D:~:~=oI:. . ., . . , .R=l"smj./____ ~.:::~:~~~?ef.-~.:. VI2 =2xlOx1,8PROBLEMA128 Sem. CEPREUNI .:..:.EI costal ''P:.' de2kgsesuelta desde el repo- :~: VI = 6m/s ~ /so en e = 00eimpacta contra la caja "B" .:.o. . . .:. Analicemos ahora instantes antes ydespuesde 4k~; c~~ndo e = 90 . 51 el. coeficlent~ ':' de lacolisi6n inelastica entre el costal ''P:.' yde restituclon es e=0,5; determme larapl- :;: el bloque "B".dez(enm/s) dela caja instantes despues del.:.impacto. .:..:..:. Por conservaci6n de la cantidad de movi-:~:miento al sistema : costal -bloqueA) 1m/s B)2m/s C)3m/s .:.D)4m/s E)5m/s .:..:.RESOLUCION ';''.'Analicemos el movimiento del costal desde .:.que fue soltado, 'hasta instantes antes que :~:colisione con "B". .:..:.Asignando un signa a cada vector veloci-dad.2(-6) + = 2x (Ill ) + 4(-112)III - 2112 = -6 L ... (I)Dato del problema: e=0,5.:. hasta instantes antes de colisionar con el:~:otro cuerpo.il2 -ill =e (V1- V2)-ilz-ill = 0,5(-6 -0)III = Ilz =3. 1 z 1 ZEKA=2"mVA=2"x2x1O=100EKA=looJ~[] Rta. :~:Enel trayecto AB pierde energfa cinetica de-:. 112 = 3m!SIl P'-'- -..;1-, .:. bido a lafricci6n, Luego :Clave:C':':~: w/,s= -fxd = -llxN xd= -Ilx mgxdSem. CEPRE UNI :~: fWAB= -Ilmgxd =-D,5x2x1Ox3,6Un cuerpo de2kg eslanzado conuna velo- :~:cidad de 10i m sobre una superficie rugo- :~: wk= -36J5 ~sa de 3,6 mde longitud yde Ilk = 0,5; al ';' Por tanto en el punta "B"lIegara con ener-final de esta se encuentra con otro cuerpo :;: gfacinetica :de 1 kg enreposo. Calcular las rapideces de .:.ambos cuerpos despues del choque elasti- :~:co,si lasuperficie sobre lacual sedesplaza- ';''.'ron finalmente es Iisa. .:.A) 1,67 m/s ; 10,67 m/sB)3,67 m/s ; 12,67 m/sC) 2,67 m/s ; 10,67 m/sD)3,33 m/s ; 8,53 m/sE) III =112= 5,33 m/sRESOWCION.:.Analicemos el movimiento del cuerpo por .:.la superficie rugosa desde que es lanzado :~:1 z2"x2x VB = 64:. [VB= 8:]~ ~-- CUZCANG ----------------~Cuando el cuerpo llega a Bcolisiona con .;. choca elasticamente con mz= 209 iConotro cuerpo en forma elastica. :~:que rapidez inicia mlsuretroceso?.:..:.Por conservaci6n de la cantidad de movi- .;.miento al sistema. :~:.:.Po=Pf.;.A) M/5.:.mVI+MVz=mi:i1 +Mi:iz .:. C) MIl5.:. E) 2J15/3~Asignando unsigna ala direcci6n del vector :::velocidad. .:. RESOWCION.:. ~.:. Analizamos a lamasa pendular "ml"des-::: deque essoltada hasta que liegeasupunto.:. mas bajo.Ademas, en el choque elastico (e=1)(i:iz-i:il)=e(V1-V2)/-Lz - /-LI = 1x (8 - 0)III = 2,67 m/s l- IIlz= 10,67m/s I11B) 2M/50) 2M/15L1.ml 1T' v.=o ih 0 llJ:21 ~~---~:~-~VI.:..:. Por conservaci6n de laenergfa mecanica.Rpta. .:..:.Clave: C:~:EMO=EMf1 zmgh1 ='2mV1=>(VI =~)Sem. CEPRE UNI :~: Reemplazando datos :Lafiguramuestra dos masas una delascua- :~:les es la masa pendular ylaotra descansa .:..:.sobre una mesa Iisa. La masa ml = 10 g.:.se deja caer desde hI=3cm de altura y :~:VI =~2xlOx3xlO-ZVI =M/5 m1s~l:;A:NTlDAD DE MOVIMIENTO IMPULSO -CHOQUESAnaHzamos ahara, instantes antes ydespus .:. IPBOBLED"f131!de laeolision elastica. ..:.:~:Las esferitas de la figura ehaean elastica-:~:mente en el punta A, si : 1 = 10em;~ 1.:. m1 = 0,2kg; mz=0,2kg ; casal ="2 y.:. 1:~: ~cas az ="6' Determinar lalangitud z .J ~=O---. -G-----ill' il2..,:- ----6=~-~-- :~:--~ .:.... (I) .:. A) 2.:. em: D) 6.emDel eaeficiente de restitucion :~Z-~l =e(V1-VZ)A' , ,'.-m..zB)4emE) 8em.).:.RESOWCION.:.::: Analizanda a laesferita ml desde que es.;. Iiberada hasta que lIegaaA.De (I) y (II) :21lz - III =Ilz+IIIIlz = 2111VIII=.....l3J151III = 15m/s Rpta.Clave: C:~:~ MMI!lJIII-- CUZCANG ----------------~.;. Por geometria elemental :h2= f2 - f2COS0.2EMB =EMAEntonces:EpB=EKA1zmghl= -,-mVI2.;. Por conservacion de laenergia mecanica :.:.VI = J2ghIVI = J2 x 10x 5x 10-2EMA=EMC!;ri'!1~= ;ri'ghz2.Parala condicion mostrada, se sabe por teo- :::ria(propiedad L pag. 98); luego delacoli- .;. PROBLEMA132sian: .;..:. La grafica corresponde al movimiento de.:..:. una pelota que rebota elasticamente sobre.:. una mesa. Determinar el modulo desu can-.:..:. tidad de movimiento ysu energia cinetica':' despues del enesimo rebote. (masa de la'.'.:. pelota 0,5 kg).:.3 \!z=o- ~~-----@---_.:. ( 2= 63 Rpta.Clave: D.:..:.V(m!s).:..:..:..:..:..:..:..:..:..:..:..:.CANTIDAD DEMOVIMIENTO - IMPULSO- CHOQUESA) 20N - s 100 JB) 10 N -s 100 JC) 20 N -s 50 J0) lON-s 200JE) 50N - s ; 200 JRESOWCION.;. Respecto a la conservaci6n de la cantidad:~:demovimiento, sefialela verdad (V) 0false-':' dad (F)de lassiguientes proposidones..,.;. I) No se conserva la cantidad de movi-.:..;. miento de unladrilJocuando este desli-Ffsicamente, elmovimiento realizado por la .;..:.partfcula es : (considerando positiva la velo- .;. II).:.cidad dirigida hada arriba). .;.. ,..-..... ~""",I I I'i i i i t I I I II I I I -'!!..:! l! j*':t':v: vi, '..:. .' ..L~r'i ,f)::! ~Es imposible hacer un experimento enunpisohorizontalliso, donde seconser-velacantidad demovimiento enesa di-recd6n; debido a que la gravedad terres-tre esuna fuerza externa.:~:III) Es un sistema donde se conserva el.:. momentum total no necesariamente se.:..;. conserva laenergfa cinetica ..:.;A)VW:~:C) WF:~:E)FFFB)VFF0) VFVLa rapidez antes ydespues de lacoli- .;.si6n es lamisma. :~:RESOWCIONEnelenesimo rebote :a) P=mVP=0,5x20jP=lOj N -s.. (P~lON-s]1 2b) EK=ZmV1 2EK=ZxO,5x20EK=100J.. (=~2..00J]:~: IP-ropos~n I]] (V)':' Si hacemos O.C.L. alladrillo, deslizando en'.'.;. unpisorugoso..:....,~--E~- =.Slstema7:"~"f" :es una Juerza externa desequi-Iibrante, par tanto lacantidad de movi-miento noseconserva.:~:I ProposicionIn1(F)Rpta .. (II) :~:Hacemos O.c.L. al ladrillo en una superfi-Clave: B';' de lisa.~ MJI!W!I.'I- C'UZCA.~-----------------~* En lahorizontal: No hay fuerzas exter-nas por tanto lacantidad de movimien-toen esa direccion si seconserva.PH= de* En la vertical : Hay fuerzas externas,aunque se anulan.IProposicffin 111I IRecordar por teorfa :- En una colision elastica se conserva lacantidad demovimiento y su energfa me-canica.- En una colision plastica (totalmenteinelastica) lacantidad de movimiento seconserva, mas no laenergfa cinetica.(EKf~CANTIDAD DEMOVIMIENTO - IMPULSO CHOQUES.;. "V" sera la minima velocidad yreempla-.;. zando L por R, obtenemos :.:.~l~(v=~x~J Rpta.J..l2=J..li + 4gR 1_ c (II) :::PROBLEMA143] Sem. CEPRE UNIAhId' ,. . .;. Unbloque de masa "m", colisiona en for-ora ana lcemos por mamlca Clrcun- .;. , . . , .ferencial larapidez en el punto mas alto. .;. ma elastica con otro bloque Identlco como. .;. semuestra enlafigura. Despreciando toda:: fricci6ncalcule lamaxima deformaci6n que:~:sufre elresorte.;. V.;. -oDela2da Leyde Newton ::~:A) V,Jm/K:LFrad = mTa .'.cp .;. C) V,J2K/mT + mTg = mT ~ L ~1~E) 2V,Jm/KPara la condici6n de minima velocidad .;. RESOWCIONT=O. :~:Antes de analizar ladeformaci6n producidaLuego : :~:enelresorte, analicemos que ocurre instan-.....v": ,.,./ Ilf .;.tes antes ydespues de lacolisi6n elastica.Y'Tg = Y'T R .; .B) V~m/(2K)D) V,J2m/K.:..:.Antes... (III).:..:..:.Vv=o-.:..:..:..:.J..li=~Reemplazando en (II) ::~:Durante este breve intervalo de tiempo la.;. fuerza elastica es nula. Luego sededuce a:~:partir dela propiedad I(pag. 98); seconclu-.;. ye:.:..JSgR= m xV(M+m)lID~ ~-- CUZCAN. ----------------~Una vez que el bloque unido al resorte .:. PROBLEMA144recibe lacolisi6n, el resorte iradeforman- .:.dose progresivamente, del mismo modo ::: Una bola fue lanzada con cierta rapidezque el otro bloque atado al resorte iraau- .:. inicial Voyrealiza los movimientosmentando su rapidez. ::: parab6licos que se indica, debido al co-la maxima deformaci6n ocurrira cuando ';' eficiente derestituci6n bola-piso (e). Eva-ambos bloques (unidos por el resorte) ten- :;: hie la distancia horizontal (d) desde quegan igual rapidez; esto porque luego de ';' fue lanzado hasta que deja de rebotar.ese instante en que la velocidad relativa :;: Desprecie fricci6n yg: aceleraci6n de laes nula; el bloque que inicialmente reci- .:. gravedad.bi6 el impacto ira disminuyendo su rapi- :::dez yel otro ira aumentando, por 10que .:. -lv............ . .el resorte ahora ira descomprimiendose. .:. .... -.... .'-..:. ~ . : ..:. .$............., .' 'i " "'(.Enel grafico : :~: I d IDespues :~: A V2sene V2sen2e~ ~ .:. ) g(l-e) B) g(l+e).:.:;:. eV2sen2e.:. C) g(l-e)Por conservaci6n de la cantidad de movi- .':'miento : :~: V2sen2ePo=Pf:~:E) g(l-e)mV= (m+ m)ll :;:RESOWCIONII= V/ 2 ~... (I) :;: Para lasoluci6n de este problema recorde-.:.EMo= EMf12121212-mV=-mll+-mll+-Kx ml= 0I.:. Resulta absurdo..;- I Caso 11111(F).:.=(,m-e,mJ'V=(~)VIII l' 2,m 2.:.-:- PROBLEMA 152-:- A) 1000 B) 1100 C) 1200.:..:- D) 1300 E)2400.:.-;- RESOWCION.:. Analizando descle antes de lacoIision has-.:..~ta lasituacion final en que ambos quedan.:.-:- adheridos.~ MJ!!JIII!IlI.....- C,UZCANCl ----------------~Por conservaci6n de la cantidad de movi- .:. Resolviendo:.'.miento. .;.Po=Pf1x8= (1 + 1) . J.!(K= l:~~~/mJRpta.Clave: C-~;Paralasituacion del problema hemossupuesto que "h" eslaalturaaque seeleva el CM. del sistema, cosa que noes cierto. EI problema presenta estaambiguedad porque solodanlas dimen-siones delalongitud del bloque mas nosus otras dimensiones.J.!:;= 4 m/sl :~:Considerando ambos bloques comounos610:~:de masa :M=2kg, yque inicialmente esta ::: ll'RoBaMA---YS3~-- Sem. CEPREUNIenla superficie horizontal, estacuando sub a .:. Elf' tr t f d. .:. n a 19ura semues aun SISema orma 0por la rampa comprimira al resorte; consi- .:.. d 'I d 2k. . , .. .'. por os parhcu as e masas m1 =g yderando que conslgulo compnmlr alresorte : 'como maximo en0)0 m, entonces por con- :;: m2= 3kdg'2Sil(a50veJ)ocid/adrelat~dvadedI. , , ',. .:. respecto e es I ms yconsl eran 0servaclon de laenergla mecamca. .:. -V 3-V d . I I'd d(.:. que CM= 2' etermme -.il veOCI a en.:. m/s) del centro de masa (VCM)del siste-.:..:.ma .~(M)(V)2 = (M)gxh+~ Kx212' 1 2 .:.'2x2x4 =2xl0x(0,5)+'2.K.(0,1) :~:.:. b).:..:. A) 30 i . B) 401 C) 501.:..:. D) 601 E) 701.:..:. RESOWCION.:.:~:Par lacondidon del problema :-1 ~V2 =50I\11-\12=5011-VGM=3V2CANTIDAD DEMOVIMIENTO -IMPULSO - CHOQUESPero: VCM=m1V1 +m2V2... (a)m1 +m23V =2xV1 +3V22 (2+3)15V2= 2V1 + 3V212V2=2V1VI=6V2l-De (I) y(II), resolviendo :_ AV2= 10 i.:..:. Mientras el bloque desciende por el plano,:~:lasfuerzas de interaccion haran que el pla-.:. noavance aladerecha yelbloquecito ala0.:-.:. izquierda.VI = 60 i :~: ~F.ib'il::gLavelocidad del centro de masas del siste- .:...:.ma se calcula segtin (a) 0 .:..;. Notar que cuando el bloque llega al punto'..Clave: A:~:inferior tiene una velocidad l!que esla ve-Sem. CEPRE UNI::: locidad relativa del bloquecito respecto del.:. plano. IEnlafigura se muestra un plano inc1ina- .:. Lavelocidad resultante en el bJoquecito esdo de masa "M"y un bloque de masa ::: lasuma vectorial :"m", Si no existe rozamiento entre las .:.superficies en contacto. Determine el :~modulo de la velocidad del centro de :;: * 112= 11: Velocidad relatiuade1respecto de 2,masa de! sistema, cuando "m" lIegue al .~..:.extremo inferior del plano, si el bloque .:.parte del reposo enel punta lOA". .:.:.V _ 2 x 60i + 3 x lOieM- 2+3"....,'a..:..:. a) Si tomamos como sistema bloquecito-:~: plano inclinado, notamos que noactUan.:. fuerzasextern as enla horizontal; por tan-.:..:. tola~antidad de movimiento enesa di-o ~eccion seconserva.~ M'J!W!III-- J:UZCAK. ----------------~Asociando un signa a 105 vectores veloci- :~:dad, se obtiene : .:..:.a = M~2 + m( -(~coso: - ~2))(m~cosa=(M+m)~2) ... (I)-:.b) Porconservacion dela energia enel sis- .:.tema bloque-plano ii1Clinado. :~:Para calcular la velocidad del centro deJ 2 1 2mgh=-m~l +-M~22 22mgh = (M + m)~~ + m~2- 2m~ ~2 cosa .:..:.-:-masas, razonamos :.:..:. Enel sistema noactUanfuerzas externas ho-:~:rizontales; por tanto lavelocidad desucen-.:. trode masas enesa direccion nosemodifi-.:..:. ca ..:. Luego lavelocidad de su centro de masas.:. solamente 10evaluaremos enlavertical..:..:. Para la'situation final..:. --------Iv 1= m~ena+ aCM (M+m)v. _ msenaCM- (M +m)2(M+m)gh(M +msen2a)2gh(M+rn)(M+rnsen2a)Rpta.