Un vector físico

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Un vector fsico es una magnitud fsica caracterizable mediante un punto de aplicacin u origen, una magnitud o mdulo, una direccin y un sentido; o alternativamente por un nmero de componentes independientes tales que los componentes medidas por diferentes observadores sean relacionables de manera sistemtica. Existe la necesidad de explicar fenmenos fsicos que no pueden ser descritos con un solo valor, es necesario definir las cuatro caractersticas mencionadas anteriormente: Punto de aplicacin u origen. Magnitud o mdulo: determina el tamao del vector. Direccin: determina la recta en el espacio en que se ubica el vector. Sentido: determina hacia qu lado de la recta de accin apunta el vector.

Matemticamente hablando, un vector no puede ponerse en correspondencia biunvoca y continua con el conjunto de los nmeros reales, como s es posible hacerlo con las magnitudes escalares (como la temperatura o el tiempo).

Contenido[ocultar]

1 Ejemplos 2 Representacin grfica 3 Notacin 4 Componentes de un vector

4.1 Vectores como combinacin lineal 4.2 Tipos de vectores 5.1 Suma de vectores

5 Operaciones con vectores

5.1.1 Mtodo del paralelogramo 5.1.2 Mtodo del tringulo

6 Mtodo analtico

6.1 Suma de vectores 6.2 Resta de vectores 6.3 Producto de un vector por un escalar 6.4 Producto escalar 6.5 Producto vectorial 6.6 Derivada de un vector 6.7 Otras operaciones

6.7.1 Mdulo resultante 6.7.2 ngulo entre dos vectores

6.7.3 ngulo de un vector con el semieje positivo x

7 Requerimientos fsicos de las magnitudes vectoriales 8 Vase tambin 9 Enlaces externos

Ejemplos [editar]La distancia final entre dos coches que parten de un mismo sitio no puede quedar determinada nicamente por sus velocidades. Si stas son 30 y 40 km/h, al transcurrir una hora la distancia entre los mismos podr ser, entre otras posibilidades: De 10 km, si los dos coches llevan la misma direccin y mismo sentido. De 70 km, si salen en la misma direccin y sentidos contrarios. De 50 km, si toman direcciones perpendiculares.

Como se puede ver, la distancia entre los dos coches, depende tambin de otras cualidades, adems de la velocidad de los coches. Es necesario utilizar un vector, que adems de describir su magnitud (en este caso la velocidad) defina su direccin y sentido.

Representacin grfica [editar]

Representacin grfica de dos vectores deslizantes Se representa como un segmento con direccin y sentido, dibujado como una "flecha". Su largo representa la magnitud, su pendiente la direccin y la "punta de flecha" indica su sentido.

Notacin [editar]En fsica las variables escalares se representan con una letra: s, a, u, etc., y los vectores con una flecha encima: negrita: , representndose tambin frecuentemente mediante letras en

. Adems de estas convenciones los vectores unitarios cuyo mdulo es igual

a uno son representados frecuentemente con un circunflejo encima, por ejemplo

Componentes de un vector [editar]

Las coordenadas o componentes del vector en un sistema de referencia pueden escribirse entre parntesis y separadas con comas: .

Componentes del vector Si se desea expresar al vector como combinacin de los vectores, se representar como:

Estas representaciones son equivalentes entre s, y los valores ax, ay, az, se llaman componentes o coordenadas del vector, que salvo que se indique lo contrario consideraremos siempre como nmeros reales.

Vectores como combinacin lineal [editar]Cualquier vector que se considere es siempre una combinacin lineal de un nmero n de vectores unitarios perpendiculares entre s, que forman la base del espacio vectorial en cuestin. Estos vectores unitarios se suelen llamar versores, y en el espacio tridimensional se representan por , , , si bien es tambin usual representarlos como , , , siendo

el vector unitario segn el eje de la x, el vector unitario en el eje de las y, y en el de las z. En el espacio de dos dimensiones se toman dos de estos versores, que corresponden a los ejes de coordenadas adoptados.

Tipos de vectores [editar]Segn los criterios que se utilicen para determinar la igualdad de dos vectores, pueden distinguirse distintos tipos de los mismos: Vectores libres: no tienen su extremo inicial -u origen- fijado en ningn punto en particular. Vectores fijos: tienen su extremo inicial -u origen- fijado en algn punto en particular. Vectores equipolentes: son vectores que presentan iguales mdulos, direcciones y sentidos.

Vectores deslizantes: son vectores equipolentes que actan sobre una misma recta. Vectores concurrentes: comparten el mismo extremo inicial -u origen-. Vectores unitarios: vectores de mdulo igual a uno. Vectores opuestos: vectores de distinto sentido, pero igual magnitud y direccin (tambin vectores anti - paralelos) Vectores colineales: son aquellos que actan en una misma lnea de accin

Operaciones con vectores [editar]Suma de vectores [editar]Para sumar dos vectores libres vector y vector se escogen como representantes dos vectores tales que el extremo final de uno coincida con el extremo origen del otro vector. Mtodo del paralelogramo [editar]

Mtodo del paralelogramo Consiste en disponer grficamente los dos vectores de manera que los orgenes de ambos coincidan en los puntos, completando el resto del paralelogramo con las paralelas a cada uno (ver grfico a la derecha). El resultado de la suma se obtiene partiendo del origen de ambos vectores. Este mtodo es aplicado dentro de la existencia de 2 fuerzas las cuales tienen ngulo de separacin entre las 2 de tal forma que al realizar la proyeccin o traslacin de cada una de ellas formemos un cuadriltero y que para esto es importante considerar que para la solucin se deben emplear dos condiciones. El mtodo matemtico consiste en emplear un clculo de la fuerza resultante la ley de los csenos, la cual establece la apertura del ngulo entre la combinacin de un tringulo de 90 y un tringulo mayor o menor de 90. Mtodo del tringulo [editar]

Mtodo del tringulo

Consiste en disponer grficamente un vector a continuacin de otro, es decir, el extremo inicial del vector "b" coincide con el extremo final del vector "a". Luego se traza una diagonal que une el inicio del vector "a" con el resto de los extremos. si un vector es mayor o menor que otro se sumara para la satisfaccin de los ngulos. El mtodo del tringulo podr, realizarse ,cuando el sistema esta constituido por dos componentes vectoriales. 1.trazar los ejes de coordenadas 2.- se establece la escala grfica o numrica, se representan las longitudes de los componentes incluyendo la resultante final. se traza la direccin del componente (A) con la inclinacin determinada partiendo del (o).

Mtodo analtico [editar]Suma de vectores [editar]Dados dos vectores por sus coordenadas:

El resultado de la suma es:

ordenando los componentes:

Pongamos un ejemplo numrico:

el resultado:

agrupando trminos:

esto es:

La suma de vectores tambin se puede realizar como operacin aritmtica, del siguiente modo:

Resta de vectores [editar]Para restar dos vectores libres y se suma con el opuesto de , esto es:

Dados dos vectores por sus coordenadas:

El resultado de la resta es:

ordenando los componentes:

Con un ejemplo numrico:

el resultado:

agrupando trminos:

esto es:

La resta de vectores tambin se puede realizar como operacin aritmtica, restando o cambiando de signo el segundo termino y sumndolos del siguiente modo:

Los componentes del vector resta se obtienen restando los componentes de los vectores. [1]

Producto de un vector por un escalar [editar]

Producto por un escalar Partiendo de la representacin grfica del vector, sobre la misma lnea de su direccin tomamos tantas veces el mdulo de vector como marque el escalar, que de ser negativo cambia el sentido (ver grfico). Partiendo de un escalar y de un vector , el producto de por es , es el producto de cada una de las coordenadas del vector por el escalar, representando el vector por sus coordenadas:

si lo multiplicamos por el escalar n:

esto es:

Representando el vector como combinacin lineal de los vectores:

y multiplicndolo por un escalar n:

esto es:

Hagamos un ejemplo con valores numricos, partimos del vector:

y multiplicamos el vector por 2,5:

esto es:

haciendo las operaciones:

La multiplicacin tambin puede hacerse as:

Producto escalar [editar]

Producto escalar Producto vectorial

Producto vectorial [editar] Derivada de un vector [editar]Dado un vector que es funcin de una variable independiente

Podemos calcular la derivada de a respecto de t, para cada una de sus componentes, como si de un escalar se tratara, siendo el vector de las derivadas:

.

Para calcular esta derivacin hay que tener en cuenta que los vectores son constantes en mdulo, direccin, y sentido. Cuando se deriva sobre un sistema de referencia en movimiento este punto tiene que ser tenido en cuenta. Veamos un ejemplo de derivacin de un vector, partiendo de una funcin vectorial:

Esta funcin representa una espiral que su eje es el eje z, y de radio 1, en el plano xy, como el de la figura, partamos de la base que sta es la trayectoria de una partcula y la funcin determina el vector de posicin en funcin del tiempo. Si derivamos, tendremos:

Realizando la derivada:

La derivada de la posicin respecto al tiempo, es la velocidad, esta segunda funcin determina el vector velocidad de la partcula en funcin del tiempo, podemos decir:

Este vector velocidad, tiene su origen en el centro de coordenadas, y determina las componentes de la velocidad en cada instante, la velocidad de la partcula es un vector par