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Ecuaciones Lineales en el Algebra Lineal

ECUACIONES VECTORIALES

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ECUACIONES VECTORIALES Vectores en

§  Una matriz con unicamente una columna se dice que es un vector columna, o simplemente un vector.

§  Un par de ejemplos de vector con dos entradas son ,

donde w1 y w2 son números reales cualesquiera.

w =w1w2

!

"

##

$

%

&&

!2

u = 3−2

"

#$

%

&'



§  El conjunto de todos los vectores con 2 entradas se denota por (se lee “r-dos”).

§  Un vector genérico u en se escribe como

u =u1u2

!

"

##

$

%

&&

!2

!2


ECUACIONES VECTORIALES §  La se refiere a los números reales que aparecen como

entradas en el vector, y el exponente 2 indica que cada vector contiene 2 entradas.

§  Dos vectores en son iguales si y unicamente si sus entradas correspondientes son iguales.

§  Dados dos vectores u y v en , su suma es el vector u + v que se obtiene sumando las entradas correspondientes de u y v.

§  Dado un vector u y un número real c, el múltiplo escalar de u por c es el vector cu que se obtiene multiplicando cada entrada en u por c.

!

!2

!2



§  Ejemplo 1: Dados y , encontrar

Solución:

u = 1−2

"

#$

%

&' v = 2

−5

"

#$

%

&'

4u, (−3)v, y 4u+ (−3)v

4u = 4−8

"

#$

%

&' (−3)v = −6

15

"

#$

%

&'

4u+ (−3)v = 4−8

"

#$

%

&'+ −6

15

"

#$

%

&'= −2

7

"

#$

%

&'


DESCRIPCION GEOMETRICA DE

§  Si consideramos un sistema de coordenadas rectangulares, donde cada punto de ese plano está determinado por un par ordenado de números, podemos identificar un punto geométrico (a, b) con el vector columna .

§  De manera que podemos considerar (el conjunto de todos los pares ordenados de números reales) como el conjunto de todos los puntos del plano.

!2

ab

!

"#

$

%&

!2

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SUMA GEOMETRICA DE VECTORES EN EL PLANO (regla del paralelogramo)

§  Si u y v en se representan como puntos en el plano, la suma u + v corresponde al cuarto vértice del paralelogramo cuyos otros vértices son u, 0, y v. Como se muestra en la figura.

!2


VECTORES EN §  Los vectors en son matrices columna con tres

entradas. §  Se representan geométricamente por puntos en un

espacio de coordenadas tridimensional, con puntos o flechas desde el origen.

!3

!3 3×1


VECTORES EN §  Si n es un número entero positivo, (se lee “r-ene”)

se refiere a la colección de todas las listas (o n-duplas) de n número reales, usualmente se escriben como matrices columna

.

n×1

!n

!n

u =

u1u2!un

!

"

#####

$

%

&&&&&


PROPIEDADES ALGEBRAICAS DE §  Al vector con todas sus entradas de valor cero se le

llama el vector cero y de escribe 0. §  Para toda u, v, w en y todos escalares c y d:

(i) (ii) (iii) (iv) , donde es

(v) (vi)

!n

!n

u+ v = v+u(u+ v)+w = u+ (v+w)u+0 = 0+u = uu+ (−u) = −u+u = 0

−u (−1)uc(u+ v) = cu+ cv(c+ d )u = cu+ du


PROPIEDADES ALGEBRAICAS DE (vii) (viii)

c(du)=(cd)(u)1u = u

!n


COMBINACIONES LINEALES §  Dados los vectores v1, v2, ..., vp en y dados los

escalares c1, c2, ..., cp, al vector y definido por

se le llama una combinación lineal de v1, …, vp con pesos c1, …, cp.

§  Los pesos en una combinación lineal pueden ser

cualesquier número real, incluyendo cero.

!n

y = c1v1 + ...+ cpv p

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COMBINACIONES LINEALES

§  Ejemplo 2: Dados

, y .

Determine si b se puede escribir (o generar) como una combinación lineal de a1 y a2. Esto es, determine si existen pesos c1 and c2 tales que

----(1) Si la ecuación vectorial (1) tiene solución, encontrarla.

a1 =1

−2−5

"

#

$$$

%

&

'''a2 =

256

!

"

###

$

%

&&&b =

74−3

"

#

$$$

%

&

'''

c1a1 + c2a2 = b


COMBINACIONES LINEALES Solución: Sustituir los valores de los vectores en la

ecuación vectorial

y utilizar la definición de multiplicación por un escalar

c11

−2−5

"

#

$$$

%

&

'''+ c2

256

"

#

$$$

%

&

'''=

74−3

"

#

$$$

%

&

'''

a1 a2 b

c1−2c1−5c1

"

#

$$$$

%

&

''''

+

2c25c26c2

"

#

$$$$

%

&

''''

=74−3

"

#

$$$

%

&

'''


COMBINACIONES LINEALES luego por la definición de suma de vectores

. ----(2)

§  Por la definición de vectores iguales, los vectores en

los lados izquierdo y derecho de (2) son iguales si y solo si las entradas correspondienes son iguales.

c1 + 2c2−2c1 +5c2−5c1 +6c2

"

#

$$$$

%

&

''''

=74−3

"

#

$$$

%

&

'''


COMBINACIONES LINEALES . ----(2)

§  Esto es, c1 y c2 hacen válida la ecuación vectorial si y unicamente si c1 y c2 satisfacen el sistema de ecuaciones.

----(3)

x1 + 2x2−2x1 +5x2−5x1 +6x2

"

#

$$$$

%

&

''''

=74−3

"

#

$$$

%

&

'''

c1 + 2c2 = 7−2c1 +5c2 = 4−5c1 +6c2 = −3

c1a1 + c2a2 = b


COMBINACIONES LINEALES §  Para resolver este sistema de ecuaciones, podemos

utilizar Gauss o Gauss-Jordan.

§  La solución del sistema (3) es y . Entonces b es una combinación de a1 and a2, con pesos and

. Esto es, .

1 2 7−2 5 4−5 6 −3

"

#

$$$

%

&

'''∼

1 2 70 9 180 16 32

"

#

$$$

%

&

'''∼

1 2 70 1 20 16 32

"

#

$$$

%

&

'''∼

1 0 30 1 20 0 0

"

#

$$$

%

&

'''

c1 = 3 c2 = 2c1 = 3

c2 = 23

1−2−5

"

#

$$$

%

&

'''+ 2

256

"

#

$$$

%

&

'''=

74−3

"

#

$$$

%

&

'''



§  Del ejemplo anterior observamos que los vectores originales a1, a2, y b son las columnas de la matriz aumentada que reducimos por filas:

§  Que escrita de manera que se identifiquen las columnas es.

----(4)

1 2 7−2 5 4−5 6 −3

"

#

$$$

%

&

'''

a1 a2 b

a1 a2 b!"#

$%&

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§  Podemos generalizar y decir que la ecuación vectorial

tiene el mismo conjunto solución que el sistema lineal con la matriz aumentada

. ----(5)

§  O dicho de otra manera, b puede generarse como una combinación lineal de a1, …, an si y unicamente si existe solución para el sistema lineal correspondiente a la matriz (5).

1 1 2 2a a ... a bn nx x x+ + + =

a1 a2 ! an b!"#

$%&



§  Definición: Si v1, …, vp están en , entonces el conjunto de todas las combinaciones lineales de v1, …, vp se denota como Gen{v1, …, vp} y se dice que es el subconjunto de generado por v1, …, vp. Esto es, Gen {v1, ..., vp} es la colección de todos los vectores que se pueden escribir en la forma

con c1, …, cp escalares.

!n

!n

1 1 2 2v v ... vp pc c c+ + +


UNA DESCRIPCION GEOMETRICA DE Gen {v}

§  Si v es un vector no cero en . Entonces Gen{v} es el conjunto de todos los múltiplos escalares de v, y corresponde al conjunto de todos los puntos sobre la línea en que pasa por v y 0. Como se muestra en la figura

!3

!3


UNA DESCRIPCION GEOMETRICA DE Gen {u,v} §  Si u y v son vectores no cero en , y v no es un

múltiplo de u, entonces Gen{u, v} es el plano en que contiene a u, v, and 0.

§  En particular, Gen{u, v} contiene la línea en que pasa por u y 0 y la línea que pasa por v and 0.

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!3

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