Un problema de aproximación con espacios invariantes · 2020. 4. 5. · Un problema de...

Un problema de aproximacion con espaciosinvariantes

Carolina A. Mosquera

FCEyN, Universidad de Buenos AiresIMAS-CONICET.

Trabajo junto con Carlos Cabrelli y Victoria Paternostro

UMA 2016

C. A. Mosquera FCEyN - UBA. IMAS - CONICET

Un problema de aproximacion con espacios invariantes

Problema de aproximacion

Espacios MI optimos

Aplicacion a SIS en grupos LCA

Espacios MI optimos

Problema general

Dada F = f1, . . . , fm ⊆ H, encontrar un espacio de dimensionpequena “mas cercano” a F entre todos los posiblessubespacios de una cierta clase C.

Queremos minimizarm∑i=1

d2H(fi ,S),

sobre S ∈ C.

Problema general

Dada F = f1, . . . , fm ⊆ H, encontrar un espacio de dimensionpequena “mas cercano” a F entre todos los posiblessubespacios de una cierta clase C.

Queremos minimizarm∑i=1

d2H(fi ,S),

sobre S ∈ C.

Resultados previos

H = Rd , C` = S ⊆ Rd ∶S es un subespacio,dim(S) ≤ `.

En 1936, Eckart y Young probaron que la SVD puede usarsepara hallar un subespacio de dimension menor o igual que `que mejor aproxima a un conjunto finito de vectores.

En 2007, Aldroubi, Cabrelli, Hardin y Molter consideraron elproblema para cualquier espacio de Hilbert H y la clase C`.

Resultados previos

En 2007, Aldroubi, Cabrelli, Hardin y Molter H = L2(Rd),C` = shift invariant spaces (SIS) de longitud ≤ `

Un subespacio cerrado V ⊆ L2(Rd) es un SIS si

f ∈ V Ô⇒ Tk f ∈ V ∀k ∈ Zd .

Para Φ ⊆ L2(Rd), definimos el SIS generado por Φ

S(Φ) = spanTkφ ∶ φ ∈ Φ,k ∈ Zd.

Si V = S(Φ) para algun conjunto finito Φ, decimos que V es unSIS finitamente generado y definimos la longitud de V como

`(V) = minn ∈ N∶ ∃ φ1, . . . , φn ∈ V con V = S(φ1, . . . , φn).

f ∈ V Ô⇒ Tk f ∈ V ∀k ∈ Zd .

H = L2(Rd), CM` = SIS M − invariante de longitud ≤ `

Un SIS V ⊆ L2(Rd) es M- invariante si

f ∈ V Ô⇒ Tmf ∈ V ∀m ∈ M.

En 2010, Aldroubi, Cabrelli, Heil, Kornelson y Moltercaracterizaron los SIS con extra-invariancia para el caso d = 1.

En 2011, Anastasio, Cabrelli y Paternostro dieron unacaracterizacion de estos espacios para d > 1.

En 2010, Cabrelli y Paternostro caracterizaron estos espaciosen el contexto de grupos LCA.

f ∈ V Ô⇒ Tmf ∈ V ∀m ∈ M.

En 2012, Aldroubi, Krishtal, Tessera y Wang, dieron solucional problema de aproximacion para el caso de SIS principalesV = S(ϕ) en L2(R).

En 2015, con C. Cabrelli, dimos solucion para el casogeneral, para M ⊊ Rd y M = Rd .

En 2012, Aldroubi, Krishtal, Tessera y Wang, dieron solucional problema de aproximacion para el caso de SIS principalesV = S(ϕ) en L2(R).

En 2015, con C. Cabrelli, dimos solucion para el casogeneral, para M ⊊ Rd y M = Rd .

Problema de Aproximacion

Espacios MI optimosAplicacion a SIS en grupos LCA

Espacios MISea (Ω, µ) un espacio de medida σ−finito y H un espacio deHilbert. Definimos

L2(Ω,H) ∶= Φ∶Ω→ H ∶Φ es medible, ∥Φ∥

2= ∫

Ω∥Φ(ω)∥2

H dµ(ω) <∞ .

D ⊆ L∞(Ω) es un conjunto determinante para L1(Ω) si

∀f ∈ L1(Ω) tal que ∫

Ωfg dµ = 0∀g ∈ D Ô⇒ f = 0.

Ejemplo: Ω = [0,1), D = e−2πikk∈Z.

Un subespacio cerrado M ⊆ L2(Ω,H) es multiplicativamenteinvariante con respecto a D (D−MI) si

Φ ∈ M Ô⇒ gΦ ∈ M, ∀g ∈ D.

2= ∫

Ω∥Φ(ω)∥2

H dµ(ω) <∞ .

Ωfg dµ = 0∀g ∈ D Ô⇒ f = 0.

Φ ∈ M Ô⇒ gΦ ∈ M, ∀g ∈ D.

2= ∫

Ω∥Φ(ω)∥2

H dµ(ω) <∞ .

Ωfg dµ = 0∀g ∈ D Ô⇒ f = 0.

Φ ∈ M Ô⇒ gΦ ∈ M, ∀g ∈ D.

2= ∫

Ω∥Φ(ω)∥2

H dµ(ω) <∞ .

Ωfg dµ = 0∀g ∈ D Ô⇒ f = 0.

Φ ∈ M Ô⇒ gΦ ∈ M, ∀g ∈ D.

2= ∫

Ω∥Φ(ω)∥2

H dµ(ω) <∞ .

Ωfg dµ = 0∀g ∈ D Ô⇒ f = 0.

Φ ∈ M Ô⇒ gΦ ∈ M, ∀g ∈ D.

Espacios MI descomponiblesFijados κ ∈ N y un conjunto determinante D para L1(Ω),supongamos que H puede descomponerse como

H = H1 ⊕ ⋅ ⋅ ⋅ ⊕Hκ.

Para cada subespacio D−MI M, y 1 ≤ j ≤ κ, definimos

Mj ∶= Pj(Φ)∶Φ ∈ M,

donde Pj ∶L2(Ω,H)→ L2(Ω,Hj), Pj(Φ)(ω) ∶= PHj (Φ(ω)).

Decimos que un subespacio D−MI M es descomponible conrespecto a H1, . . . ,Hκ si

Mj ⊆ M para todo 1 ≤ j ≤ κ.

H = H1 ⊕ ⋅ ⋅ ⋅ ⊕Hκ.

Mj ∶= Pj(Φ)∶Φ ∈ M,

H = H1 ⊕ ⋅ ⋅ ⋅ ⊕Hκ.

Mj ∶= Pj(Φ)∶Φ ∈ M,

H = H1 ⊕ ⋅ ⋅ ⋅ ⊕Hκ.

Mj ∶= Pj(Φ)∶Φ ∈ M,

H = H1 ⊕ ⋅ ⋅ ⋅ ⊕Hκ.

Mj ∶= Pj(Φ)∶Φ ∈ M,

H = H1 ⊕ ⋅ ⋅ ⋅ ⊕Hκ.

Mj ∶= Pj(Φ)∶Φ ∈ M,

Problema [CMP2016]: Dados ` ∈ N,F = F1, . . . ,Fm ⊆ L2(Ω,H), y una clase C de espacios D−MI,encontrar M∗ ∈ C tal que

m∑j=1

∥Fj −PM∗Fj∥2≤

m∑j=1

∥Fj −PMFj∥2, ∀M ∈ C.

C` ∶= M ⊆ L2(Ω,H)∶M es D-MI, `(M) ≤ `.

Dada una descomposicion H = H1 ⊕ ⋅ ⋅ ⋅ ⊕Hκ,

CH1,...,Hκ,` ∶= M ⊆ L2(Ω,H)∶M is D-MI, `(M) ≤ `,Mj ⊆ M ∀1 ≤ j ≤ κ.

m∑j=1

C` ∶= M ⊆ L2(Ω,H)∶M es D-MI, `(M) ≤ `.

m∑j=1

C` ∶= M ⊆ L2(Ω,H)∶M es D-MI, `(M) ≤ `.

Espacios MI optimos

Problema: Sea G un grupo LCA y H un lattice uniforme de G.Dados F = f1, . . . , fm ⊆ L2(G), y una clase C de espaciosH−invariantes, encontrar un V ∗ ∈ C tal que

m∑j=1

∥fj −PV∗ fj∥22 ≤

m∑j=1

∥fj −PV fj∥22 ∀V ∈ C.

C` ∶= V ⊆ L2(G) ∶ V es H-invariante con `(V) ≤ `.

Sea Γ un subgrupo cerrado discreto de G que contiene a H.

CΓ,` ∶= V ∈ C` ∶ V tiene extra-invariancia en Γ.

m∑j=1

∥fj −PV∗ fj∥22 ≤

m∑j=1

∥fj −PV fj∥22 ∀V ∈ C.

m∑j=1

∥fj −PV∗ fj∥22 ≤

m∑j=1

∥fj −PV fj∥22 ∀V ∈ C.

m∑j=1

∥fj −PV∗ fj∥22 ≤

m∑j=1

∥fj −PV fj∥22 ∀V ∈ C.

Conexion entre espacios H−invariantes y espacios MI:Sea G el grupo dual de G y H∗ ⊆ G el anulador de H, es decir,

H∗ = γ ∈ G ∶ (x , γ) = 1 ∀x ∈ H.

Sea Ω ⊆ G una seccion medible del cociente G/H∗.

Proposicion [CP10]: T ∶ L2(G)→ L2(Ω, `2(H∗)) definida como

T f (ω) = f (ω + δ)δ∈H∗

es un isomorfismo isometrico y satisface

T Thf (ω) = (−h,w)T f (ω), ∀f ∈ L2(G),∀h ∈ H c.t.p. ω ∈ Ω.

Sea D = ehχΩh∈H , eh∶ G → C, eh(γ) = γ(h),∀γ ∈ G.Entonces V ⊆ L2(G) es un espacio H−invariante si y solo siT V ⊆ L2(Ω, `2(H∗)) es un espacio MI con respecto a D.

H∗ = γ ∈ G ∶ (x , γ) = 1 ∀x ∈ H.

T f (ω) = f (ω + δ)δ∈H∗

H∗ = γ ∈ G ∶ (x , γ) = 1 ∀x ∈ H.

T f (ω) = f (ω + δ)δ∈H∗

H∗ = γ ∈ G ∶ (x , γ) = 1 ∀x ∈ H.

T f (ω) = f (ω + δ)δ∈H∗

H∗ = γ ∈ G ∶ (x , γ) = 1 ∀x ∈ H.

T f (ω) = f (ω + δ)δ∈H∗

Sea D = ehχΩh∈H , eh∶ G → C, eh(γ) = γ(h),∀γ ∈ G.

Entonces V ⊆ L2(G) es un espacio H−invariante si y solo siT V ⊆ L2(Ω, `2(H∗)) es un espacio MI con respecto a D.

H∗ = γ ∈ G ∶ (x , γ) = 1 ∀x ∈ H.

T f (ω) = f (ω + δ)δ∈H∗

Sea Γ ⊂ G un subgrupo cerrado discreto de G que contiene aH. Consideramos espacios H−invariantes con extra-invarianciaen Γ.

Sea N una seccion a lo sumo numerable del cociente H∗/Γ∗.Entonces H∗ = ⋃σ∈N Γ∗ + σ y entonces

`2(H∗) = ⊕σ∈N

`2(Γ∗ + σ).

Proposicion: Sea V ⊆ L2(G) un espacio H-invariante y Γ ⊆ G unsubgrupo cerrado que contiene a H. Si T es la aplicacion defibrizacion, entonces son equivalentes:

V es Γ-invariante. M = T V ⊆ L2(Ω, `2(H∗)) es descomponible con respecto a

`2(Γ∗ + σ)σ∈N .

Sea N una seccion a lo sumo numerable del cociente H∗/Γ∗.

Entonces H∗ = ⋃σ∈N Γ∗ + σ y entonces

`2(H∗) = ⊕σ∈N

`2(Γ∗ + σ).

`2(Γ∗ + σ)σ∈N .

`2(H∗) = ⊕σ∈N

`2(Γ∗ + σ).

`2(Γ∗ + σ)σ∈N .

`2(H∗) = ⊕σ∈N

`2(Γ∗ + σ).

Proposicion: Sea V ⊆ L2(G) un espacio H-invariante y Γ ⊆ G unsubgrupo cerrado que contiene a H. Si T es la aplicacion defibrizacion, entonces son equivalentes: V es Γ-invariante.

M = T V ⊆ L2(Ω, `2(H∗)) es descomponible con respecto a`2(Γ∗ + σ)σ∈N .

`2(H∗) = ⊕σ∈N

`2(Γ∗ + σ).

Proposicion: Sea V ⊆ L2(G) un espacio H-invariante y Γ ⊆ G unsubgrupo cerrado que contiene a H. Si T es la aplicacion defibrizacion, entonces son equivalentes: V es Γ-invariante. M = T V ⊆ L2(Ω, `2(H∗)) es descomponible con respecto a

`2(Γ∗ + σ)σ∈N .

Bibliografıa:

A. Aldroubi, C. Cabrelli, C. Heil, K. Kornelson and U. Molter. Invariance of ashift-invariant space. J. Fourier Anal. Appl., 16(1):60–75, 2010.

A. Aldroubi and R. Tessera. On the existence of optimal unions of subspaces for datamodeling and clustering. Found. Comput. Math., 11(3):363–379, 2011.

M. Anastasio, C. Cabrelli and V. Paternostro. Invariance of a shift-invariant space inseveral variables. Complex Anal. Oper. Theory, 5(4):1031–1050, 2011.

A. Aldroubi, I. Krishtal, R. Tessera and H. Wang. Principal shift-invariant spaces withextra invariance nearest to observed data. Collect. Math., 63(3):393–401, 2012.

M. Anastasio, C. Cabrelli and V. Paternostro. Extra invariance of shift-invariantspaces on LCA groups. J. Math. Anal. Appl., 370(2):530–537, 2010.

D. Barbieri, E. Hernandez and V. Paternostro. The Zak transform and the structure ofspaces invariant by the action of an LCA groups. J. Funct. Anal., 269(5):1327–1358,2015.

M. Bownik and K. Ross. The structure of translation-invariant spaces on locallycompact abelian groups. J. Fourier. Anal. Appl., 21(4):849–884, 2015.

C. Cabrelli and C. Mosquera. Subspaces with extra invariance nearest to observeddata. Appl. Comput. Harmon. Anal., 41(2): 660–676, 2016.

C. Cabrelli, C. Mosquera and V. Paternostro An approximation problem inmultiplicatively invariant spaces. To appear in Contemporary Mathematics, 2016.

C. Cabrelli and V. Paternostro. Shift-invariant spaces on LCA groups. J. Funct. Anal.,258(6):2034–2059, 2010.

C. Eckart and G. Young. The approximation of one matrix by another of lower rank.Psychometrica, 1:211–218, 1936.kkkk

Muchas gracias!

Si un grupo discreto Γ actua sobre un espacio de medida X ,podemos considerar subespacios cerrados de L2(X ) que soninvariantes bajo operadores unitarios que vienen de la acciondel grupo.

En 2015, Barbieri, Hernandez y Paternostro probaron que laaplicacion que relaciona estos espacios invariantes con losespacios MI es la transformada de Zak generalizada.

Si un grupo discreto Γ actua sobre un espacio de medida X ,podemos considerar subespacios cerrados de L2(X ) que soninvariantes bajo operadores unitarios que vienen de la acciondel grupo.

En 2015, Barbieri, Hernandez y Paternostro probaron que laaplicacion que relaciona estos espacios invariantes con losespacios MI es la transformada de Zak generalizada.

En muchas aplicaciones, las imagenes y senales se suponenque pertenecen a algun SIS, por ejemplo,

PW = f ∈ L2(R)∶ sop (f ) ⊆ [−1/2,1/2].

El motivo es el Whittaker-Nyquist-Kotelnikov-ShannonSampling Theorem: f ∈ PW puede recuperarse exactamente desus muestras f (k)∶k ∈ Z vıa la siguiente formula

f (k) = ∑k∈Z

f (k)sinc(x − k).

sinc es una funcion con soporte infinito y decaimiento lento.Entonces, el espacio PW es inadecuado paraimplementaciones numericas.

PW = f ∈ L2(R)∶ sop (f ) ⊆ [−1/2,1/2].

f (k) = ∑k∈Z

f (k)sinc(x − k).

PW = f ∈ L2(R)∶ sop (f ) ⊆ [−1/2,1/2].

f (k) = ∑k∈Z

f (k)sinc(x − k).

PW = f ∈ L2(R)∶ sop (f ) ⊆ [−1/2,1/2].

f (k) = ∑k∈Z

f (k)sinc(x − k).

Se consideran otros SIS:

A. Aldroubi and K. Grochening. Nonuniform sampling and reconstruction inshift-invariant spaces. SIAM Rev., 43(4):585–620, 2001.

H. Sikic and E. Wilson. Lattice invariant subspaces and sampling. Appl. Comput.Harmon. Anal., 31(1):26–43, 2011.

W. Sun. Sampling theorems for multivariate shift invariant subspaces. Sampl. TheorySignal Image Process., 4(1):73–98, 2005.

G. Walter. A sampling theorem for wavelets subspaces. IEE Trans. Inform. Theory,38(2):881–884, 1992.

X. Zhou and W. Sun. On the sampling theorem for wavelets subspaces. J. FourierAnal. Appl., 5(4):347–354, 1999.

Se consideran otros SIS: A. Aldroubi and K. Grochening. Nonuniform sampling and reconstruction inshift-invariant spaces. SIAM Rev., 43(4):585–620, 2001.

H. Sikic and E. Wilson. Lattice invariant subspaces and sampling. Appl. Comput.Harmon. Anal., 31(1):26–43, 2011.

W. Sun. Sampling theorems for multivariate shift invariant subspaces. Sampl. TheorySignal Image Process., 4(1):73–98, 2005.

G. Walter. A sampling theorem for wavelets subspaces. IEE Trans. Inform. Theory,38(2):881–884, 1992.

X. Zhou and W. Sun. On the sampling theorem for wavelets subspaces. J. FourierAnal. Appl., 5(4):347–354, 1999.

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