TEORÍA DESCRIPTIVA DE CONJUNTOS: UN MODELO PARA EL RAZONAMIENTO EMPÍRICO

Jonathan Julián Huerta y MuniveFacultad de Ciencias Físico-Matemáticas-BUAP.

UN POCO SOBRE EPISTEMOLOGÍA

La epistemología es la rama de la filosofía que se dedica a estudiar “la verdad”.

Pretende responder preguntas como: ¿Qué podemos afirmar que es

cierto/verdadero? ¿Qué criterios podemos dar para

afirmar la veracidad de algo?

ALGUNOS EPISTEMÓLOGOS FAMOSOS René Descartes (1596– 1650)

Famoso por: Plano Cartesiano “Cogito ergo sum” Escepticismo a la “Evil Demon”

ALGUNOS EPISTEMÓLOGOS FAMOSOS David Hume (1711-1776)

Famoso por: Escepticismo a la “Problem of Induction” La pregunta filosófica respecto a si el

razonamiento inductivo lleva a adquirir conocimiento en el sentido filosófico clásico.

ALGO DE CONJUNTOS

Idea intuitiva: Un conjunto es una colección de objetos.

y son conjuntos.

Algunas operaciones con conjuntos son:

Un conjunto especial:

Algunas relaciones entre conjuntos:

Podemos hacer conjuntos de casi todo lo que queramos en matemáticas.

Son los constituyentes básicos de la mayor parte de las matemáticas.

ALGO DE LÓGICA Fórmula-Proposición: Concatenación de símbolos capaz de ser interpretada y cuyo significado puede expresar algo con un valor de verdad específico.

Podemos identificar a una proposición con el conjunto de mundos (modelos) en los que es verdadera.

Algunas proposiciones importantes: Las tautologías: Las contradicciones: La conjunción de dos proposiciones: La disyunción de dos proposiciones: La negación de una proposición: La implicación de dos proposiciones: La equivalencia de dos proposiciones:

⊥

∅W

PROPOSICIONES VERIFICABLES Un procedimiento de verificación empírica para p es una

máquina/procedimiento que se detiene con 1/sí/yes si y sólo si p es verdadera.

Verificabilidad: Una proposición p es verificable si y sólo si existe un procedimiento de verificación (experimento) para p.

Observaciones: Las contradicciones son verificables Las tautologías son verificables Si y son verificables , entonces es verificable Si son proposiciones verificables entonces es una proposición

verificable .

ALGO MUCHO DE TOPOLOGÍA

Espacio Topológico: Dados un conjunto X y una familia de subconjuntos de X, , el par es un espacio topológico si y sólo si:

En otras palabras: ¡¡¡ es un espacio topológico!!! Estudiar topología es esencialmente estudiar a las proposiciones verificables.

En un espacio topológico : Los elementos de la topología V son llamados conjuntos

abiertos de W: abiertoverificable. Un subconjunto P de W es cerrado si su complemento es

abierto, es decir, si : cerrado negación es verificable refutable. Un subconjunto P de W es clopen si es tanto abierto como

cerrado: clopendecidible.

ALGO MUCHO DE TOPOLOGÍA En un espacio topológico :

Para todo subconjunto P de W, se dice que (un mundo) es punto interior de P si y sólo si existe un abierto Q, subconjunto de P, que tenga a w como elemento : w es punto interior de P P es eventualmente verificable en w.

el conjunto de mundos donde P será verificada ”P será verificada”.

Teorema 1: P es abierto en W sii ”P es verificable sii la veracidad de P implica la verificabilidad de P”.

Q

ALGO MUCHO DE TOPOLOGÍA En un espacio topológico :

Se dice que (un mundo) es punto clausura de P si y sólo si w no es punto interior de : w es punto clausura de P ”P nunca es refutado en w.”

el conjunto de mundos donde P nunca es refutada”P nunca será refutada”.

(un mundo) es punto frontera de P si y sólo si w no es punto interior de P ni de : w es punto frontera de P ”P nunca será verificado ni refutado en w.”

el conjunto de mundos donde P nunca es verificada ni refutada”P nunca será verificada ni refutada”.

ALGO MUCHO DE TOPOLOGÍA En un espacio topológico :

Una base topológica para W es una colección de subconjuntos abiertos de W tal que todo elemento de W es igual a la unión sobre un subconjunto de la base .

Teorema 2: es base topológica para W si y sólo si es una colección de subconjuntos de W que cumplen las siguientes dos condiciones:

Si y , entonces existe tal que y ( es base topológica de W “”) “ es un lenguaje de

observación.”

R

ALGUNOS CONJUNTOS A UTILIZAR…

es el conjunto de números naturales.

es el conjunto de sucesiones infinitas de números naturales, por ejemplo:

es el conjunto de sucesiones finitas de números naturales, por ejemplo:

ALGUNOS CONJUNTOS A UTILIZAR…

Sea , escribiremos para describir al conjunto de las sucesiones que extienden a “e”, p.e. Si , entonces tiene como elementos a las sucesiones:

…

ESPACIO DE BAIRE

Observaciones: Si es el conjunto de todas las extensiones de todas las

sucesiones finitas , entonces es una topología para y es una base topológica.

El espacio topológico es conocido como el espacio de Baire.

ESPACIO DE CANTOR

Observaciones: Si es el conjunto de todas las extensiones de todas las

sucesiones finitas de 0’s y 1’s , entonces es una topología para y es una base topológica.

El espacio topológico es conocido como el espacio de Cantor.

FORMALIZANDO EN BAIRE/CANTOR

Convención: Tomaremos a W como o y a V como o para seguir con la notación previa .

es verificada eventualmente en w si hay un enunciado de observación verdadero en w y que deduzca semánticamente a P .

Un método, M, es una función de la base al conjunto .

Un método, M, es un verificador para si y sólo si para cada mundo , P es verdadera en el mundo si y sólo si existe un enunciado de observación B verdadero en el mundo tal que el método evaluado en B es uno:

Decimos que P es verificable si y sólo si existe un verificador para P.

Teorema 3: P es verificable si y sólo si P es abierto en W. “Toda proposición verificables es esencialmente una disyunción de enunciados de observación.”

TIPOS DE VERIFICABILIDAD Y LA JERARQUÍA DE BOREL

•La jerarquía de Borel para un conjunto X, son las clases de subconjuntos de X: , (con corriendo sobre los ordinales numerables mayores que 0) definidas recursivamente de la siguiente manera:

i.

TIPOS DE VERIFICABILIDAD Y LA JERARQUÍA DE BOREL

Definiciones/Propiedades: “P es verificable” . “P es verificable en el límite”. “P es gradualmente verificable” “P es refutable” . “P es refutable en el límite”. “P es gradualmente refutable” “P es decidible” . “P es decidible en el límite”. “P es gradualmente decidible”

TIPOS DE VERIFICABILIDAD Y LA JERARQUÍA DE BOREL

DecidibleClopen

RefutableCerrado

VerificableAbierto

Decidible en el límite/

gradualmente

Refutable en el límite

Verificable en el límite

𝚫𝟑𝟎

Refutable gradualmente

Verificable gradualmente

∞

∞

¿∞¿∞❑

¿∞¿∞❑

⊊

⊊

⊊

⊊

⊊

⊊

⊊

⊊

¬ ¬ ¬

Y SE PUEDE HACER LO MISMO PARA HALTINGS DE PROGRAMAS…•Jerarquía Aritmética (Kleene-Mostowski): La jerarquía aritmética se define recursivamente para fórmulas de la aritmética de 1º orden de la siguiente manera: (i) si es equivalente a una fórmula con cuantificadores acotados entonces es clasificada en (ii)si es equivalente a una fórmula de la forma donde es entonces es clasificada en (iii)si es equivalente a una fórmula de la forma donde es entonces es clasificada en (iv) Una fórmula es equivalente a una que empiece con cuantificadores existenciales y alterne n-1 veces entre series de cuantificadores universales y existenciales mientras que una fórmula es equivalente a una que empiece con universales y alterne de manera similar.

CONCLUSIONES “Los marcos estándar para

entender el razonamiento son la lógica y la computabiblidad para el razonamiento matemático y la probailidad para el razonamiento empírico […] Se examina una alternativa a éstas opciones de acuerdo a la cual, indecidibilidad computacional y empírica pueden ser observadas como reflejos de complejidad topológica […] nociones topológicas y teoremas clásicos de ésta área proveen una perspectiva unificada y explicativa acerca de la indeterminación empírica, indecidibilidad formal y la conexión elusiva entre simplicidad y verdad empírica.” – Kevin R. Kelly

REFERENCIAS Y MÁS BIBLIOGRAFÍA Kevin T. Kelly. The Logic of Reliable Inquiry (Logic and

Computation in Philosophy). Oxford: Oxford University Press, 1996.

 "The Logic of Success"British Journal for the Philosophy of Science, special millennium issue, 51, 2001, 639-666. 

"Church's Thesis and Hume's Problem," inLogic and Scientific Methods, M. L. Dalla Chiara, et al., eds. Dordrecht: Kluwer, 1997, pp. 383-398.

 "Justification as Truth-finding Efficiency: How Ockham's Razor Works", Minds and Machines 14: 2004, pp. 485-505.

http://blog.ezyang.com/2012/10/visualizing-satisfiability-validity-and-entailment/