Un método para encontrar la corrección al modelo de geoide

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE HONDURAS

FACULTAD DE CIENCIAS ESPACIALES

Maestría en Ordenamiento y Gestión del Territorio

UN MÉTODO PARA ENCONTRAR LA CORRECCIÓN AL

MODELO DE GEOIDE EGM2008 PARA APLICACIÓN DE LA

NIVELACIÓN GNSS EN HONDURAS

(Proyecto piloto en los Departamentos de Atlántida y Yoro)

Presentado por:

Johana Marcela Norori Solís

Previa Opción al Grado de:

Máster en Ordenamiento y Gestión del Territorio

Asesor:

Doctor Adolfo Dalda Mourón

TEGUCIGALPA, HONDURAS C.A.

ABRIL 2014

Autoridades de la

I. UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE

HONDURAS

Julieta Castellanos Ruiz Rectora

Rutilia Calderón Padilla Vicerrectora Académica

Julio Raudales Torres Vicerrector de Relaciones Internacionales

Ayax Irías Coello Vicerrector de Orientación y Asuntos Estudiantiles

Emma Virginia Rivera Mejía Secretaria General

Leticia Salomón Director del Sistema de Estudios de Postgrados

María Cristina Pineda de Carías Decana de la Facultad de Ciencias Espaciales

Tribunal Examinador:

Dr. Julio César Moraga Peralta

Profesor

Universidad de Costa Rica

Máster Fausto Ramírez García

Director General de Catastro y Geografía

Instituto de la Propiedad

Máster Antonio Carías Arias

Profesor

Facultad de Ciencias Espaciales

I

DEDICATORIA

A mi mami, Nora Solís, la mejor mamá del mundo, quien con

sus cuidados, consejos y enseñanzas me ha hecho ser la mujer que

soy, tomando ejemplo de ella, de su fortaleza, aplomo e inteligencia.

A mi papito, Jorge Norori, que ya no se encuentra físicamente

conmigo, pero que se esforzó día a día en darme lo mejor de él para

que nunca me faltara nada, el hombre que me sorprendía cada día

por su gran nobleza, sabiduría e inteligencia y a quien extraño con

todo mi corazón.

Su hija que los ama y los amará por siempre…

Johana Marcela

II

AGRADECIMIENTOS

En primer lugar quiero darle gracias a Dios, que nunca me

deja sola y con quien camino de la mano día a día… minuto a

minuto. Sin la fortaleza, la inteligencia y el carácter que Él me brinda

para afrontar las situaciones difíciles, no habría podido concluir esta

tesis.

En segundo lugar agradezco a mi Asesor, Adolfo Dalda, un

hombre que además de ser un asesor se convirtió en un amigo que

estuvo pendiente de mi salud y de mis estados de ánimos, para no

dejarme caer y que estuvo ahí para brindarme su apoyo y aliento en

momentos que fueron difíciles.

A todos mis maestros a lo largo de esta maestría que me

brindaron los conocimientos necesarios y las herramientas para

poder desarrollar este tema investigativo. Muy particularmente a la

Doctora María Cristina Pineda, y a los Másteres Vilma Lorena Ochoa

y Fausto Ramírez por el apoyo y sus consejos brindados.

Gracias a mis padres por ser el pilar fundamental de todo lo

que soy, por haberme dado las mejores enseñanzas en toda mi

educación, tanto académica como en las enseñanzas de vida y por

su incondicional apoyo a lo largo de toda mi vida.

Este trabajo ha sido posible gracias a todos ellos!

IV

ÍNDICE DE CONTENIDOS

DEDICATORIA……....……………………………………...…………………………………………...I

AGRADECIMIENTOS……………………………………………………………………………….....II

ÍNDICE DE CONTENIDOS………………………………………………...…………………………IV

ÍNDICE DE FIGURAS………………………………………………...……………………….…..…VII

ABSTRACT……………………………………………………………………………………………..X

RESUMEN…………………………………………………………………………………………....XIII

CAPÍTULO I

I.1 INTRODUCCIÓN ................................................................................................. ....1

I.2 ANTECEDENTES ................................................................................................. …2

I.3 OBJETIVOS .......................................................................................................... …4

CAPÍTULO II: MARCO TEÓRICO

II.1 SISTEMAS GEODÉSICOS DE REFERENCIA, SISTEMAS DE ALTITUDES Y SITUACIÓN DE LA RED DE NIVELACIÓN DE HONDURAS………………………………….6

II.2.1 Los Sistemas de coordenadas y proyección cartográfica (Furones, 2010)…………………………………………………………………………………...............6

II.2.2 Los sistemas de altitudes…………………………………………………………….16

II.3 Sistemas Geodésicos de Referencia en general (Torge, 1991) y el Sistema Geodésico de Referencia Global en América (SIRGAS, 1993-2012)…………………………………………………………………………………………….......24

II.4 Historia Geodésica de Honduras: Sistemas de referencia utilizados (locales y globales), Datums: Ocotepeque, NAD27, Nivelación, Sistema WGS84/SIRGAS.………….32

II.5 Diferencias entre países debidas al origen adoptado en cada país aunque tengan fronteras comunes (Sánchez, 2005)……………………………………………………………..35

II.6 El modelo EGM2008 referido al sistema WGS84 ................................................. ..39

II.7 La nivelación, medidas locales de gravedad y observaciones GNSS para mejorar el modelo del geoide.…………………………………………………………………………………42

II.7.1 Nivelación………………………………………………………………………………42

II.7.2 Medidas locales de gravedad………………………………………………………..43

II.7.3 Observaciones GNSS para mejorar el modelo de geoide………………………..44

II.8 Distintos métodos de ajuste.………………………………………………………………45

II.8.1 Fase primera. Análisis y tendencia lineal de las diferencias……………………..46

II.8.2 Fase segunda. Aplicación de Mínima Curvatura, método para hallar la superficie de corrección……………………………………………………………………………………..48

II.8.3 Interpolación en una malla de paso regular………………………………………..55

V

III. CAPÍTULO III: METODOLOGÍA

III.1 Antecedente. Red Geodésica de Tegucigalpa ........................................................ 58

III.2 Investigación de la documentación sobre bancos de nivel en Atlántida y Yoro. ...... 58

III.3 Primer gira de campo ............................................................................................. 59

III.4 Cálculo de referencia de la estación SPS respecto a estación TEG2 ..................... 67

III.5 Segunda gira de campo ......................................................................................... 72

III.6 Estaciones de referencia y equipo utilizado ............................................................ 75

III.7 Observaciones reales, incidencias, documentos de los operadores. ...................... 76

III.8 Cronograma de observación .................................................................................. 79

III.9 Pre proceso ............................................................................................................ 80

IV. CAPÍTULO 4. CÁLCULOS

IV.1 Análisis Espacial de Mínimos Cuadrados / Plano Inclinado .................................... 81

IV.1.1 Teselas (con puntos datos y con dh)……………………………………………….83

IV.2 Modelo de Corrección: Mínima Curvatura .............................................................. 84

V. CAPÍTULO V: RESULTADOS………………………………………………………………...86

V.1 Resultados de la Ondulación del Geoide obtenidos para los puntos datos en los departamentos de Atlántida y Yoro ................................................................................... 86

V.2 Comparación con los dos casos próximos El Salvador y Red Geodésica de Tegucigalpa ...................................................................................................................... 87

CAPÍTULO VI: COSTOS DEL PROYECTO………………………………………………………88

CAPÍTULO VII: CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES…………………………………..90

CAPÍTULO VIII: BIBLIOGRAFÍA……………………………………………….………………….92

VIII.1 Literatura Impresa ................................................................................................ .92

VIII.2 Literatura en línea .................................................................................................. 96

CAPÍTULO IX: APENDICES………………………………………………………………………..98

IX. 1 Mapa de Honduras con Red de Nivelación Antigua (Fuente: Archivo Técnico, Dirección General de Catastro y Geografía) ..................................................................... 99

IX.1.1 Mapa de la zona de estudio en los departamentos de Atlántida y Yoro…………100

XI.1.2 Reseñas de los quince bancos de nivel antiguos en la zona de estudio del departamento de Atlántida y Yoro……………………………………………………………101

IX.2 Cálculos ................................................................................................................... 109

IX.2.1 Cálculo de referencia de la estación de San Pedro Sula respecto a la estación TEG-2 y cálculo de las líneas base ajustadas en WGS84 (componentes y desviación típica)……………………………………………………………………………………………109

VI

IX.2.2 Detalle de las observaciones en los bancos de nivel de los departamentos de Atlántida y Yoro………………………………………………………………………………...111

IX.2.3 Coordenadas corregidas de los bancos de nivel de los departamentos de Atlántida y Yoro con el software Trimble Total Control……………………………………………….124

IX.2.4 Reporte de Validación de la interpolación del software Golden Surfer…………..129

IX.3 Reseñas actualizadas de los bancos de nivel de Atlántida y Yoro .......................... .134

IX.4 Anexo Fotográfico .................................................................................................. .150

IX.4.1 Inspección de campo preliminar (fecha: 03 al 13 de diciembre de 2012)……….150

IX.4.2 Mediciones en la segunda gira de campo (fecha: 07 al 12 de mayo 2013)…… .152

VII

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 1: Sistema de Coordenadas Cartesianas y Esféricas...........................................7

Figura 2: Aproximación Esférica a la Tierra .................................................................... 8

Figura 3 y 4: Coordenadas Geográficas ...........................................................................9

Figura 5: Coordenadas Naturales ………….....................................................................10

Figura 6: Coordenadas Geodésicas ........................... ...................................................11

Figura 7: Coordenadas Topocéntricas ............................ ...............................................12

Figura 8: Posición Espacial de un punto P ................................................................... 10

Figura 9: Alturas Elipsoidales ………………………………………………………………...23

Figura 10: Alturas Elipsoidales y Físicas (ortométricas o normales) ........................ .....24

Figura 11: Sistemas de Coordenadas........................................................................... 10

Figura 12: Sistema Global vrs Sistema Local .............................................................. 26

Figura 13: Definición Geométrica del Elipsoide ........................ .....................................27

Figura 14: Diferencia entre altura ortométrica (con nivelación y datos de gravimetría) y

altura geométrica ............................. ...............................................................................35

Figura 15: Topografía de la Superficie del Mar ............................................................. 10

Figura 16: Las altitudes en los países están referidas a diferentes niveles……………..37

Figura 17: Discrepancias entre las alturas niveladas de los países vecinos en América

del Sur.............................................................................................................................37

Figura18: Alturas ortométricas referidas a una superficie global de

referencia.........................................................................................................................38

Figura 19: Ondulaciones del Geoide para el modelo EGM08 …………………………….40

Figura 20: Nivelación Geométrica…………………………………………………………….42

Figura 21: H cota ortométrica, h: altura elipsoidal ………………………………………….43

Figura 22: Principios Geométricos ........................... ......................................................44

Figura 23: Reseña de un Banco de Nivel en el departamento de Atlántida ……………..59

Figura 24: Imagen de los Bancos de nivel reconocidos en los departamentos de

Atlántida y Yoro ………………………………………………………………………………...60

Figura 25: Datos de medición de la Estación Cors SPS publicados vía enlace

FTP .............................................................................................................................. 72

Figura 26: Cálculo de la Estación Cors de SPS utilizando la estación de TEG2 y

auxiliándose del software Trimble Total Control……………............................................74

Figura 27: Datos de medición con equipo GPS/GNSS de los bancos de nivel B117,

L117, V116 y T116….......................................................................................................76

Figura 28: Datos de medición con equipo GPS/GNSS de los bancos de nivel T116

y Q115............................. ...............................................................................................76

Figura 29: Datos de medición con equipo GPS/GNSS de los bancos de nivel A49, F49 y

P49 ............................................................................................................................... 77

Figura 30: Datos de medición con equipo GPS/GNSS de los bancos de nivel

A49 ......................... ........................................................................................................77

VIII

Figura 31: Datos de medición con equipo GPS/GNSS de los bancos de nivel T117A,

E118A y J26 ............. ......................................................................................................78

Figura 32: Datos de medición con equipo GPS/GNSS de los bancos de nivel A49

y W48 ......................... ....................................................................................................78

Figura 33: Datos de medición con equipo GPS/GNSS de los bancos de nivel

H48 ........................... .....................................................................................................79

Figura 34: Imágenes de captura de pantalla del software GeoLab Goeid……………....80

Figura 35: Curvas de nivel de la Superficie Correctora de Mínima Curvatura del Geoide

en el área de estudio………………………………………………………………………......85

Figura 36: Superficie de Corrección ........................... ...................................................85

Figura 37: Superficie 3D del Geoide corregido ........................... ...................................86

Figura 38: Modelo corregido de Geoide para la zona de estudio……….………………..87

Figura 39: Modelo de Geoide para El Salvador………………………………………….....87

X

ABSTRACT

This research seeks to solve the problem in the country in relation to determine

orthometric elevations using only measurements with GPS / GNSS equipment without

resorting to leveling job, because this job are highly expensive. This need arises given

that Honduras doesn’t have a scaled model or local geoid, and implies that for to

develop any engineering project e.g. it’s required investing a lot of money on leveling

work where the orthometric elevation (elevation relative to mean sea level) of a known

level bank is carried to the site of interest.

With progress technological and with supported in sciences of Mathematics

applied to the field of Geodesy you can use a global geoid model, such as EGM2008,

and scale it to the area of interest, for which it is necessary to identify points with known

orthometric height and then make measurements with GPS/GNSS equipment at those

points, to find the height referred to the ellipsoid and then through a spatial analysis, (in

this case adjustment of least squares), and applying the correction model, in this case,

minimum curvature (which is an interpolation of the most effective when it comes to the

continual search for various geophysical magnitudes whose knowledge is discretely by

measuring campaigns with varying density of points to cover a given area) it is obtained

a global model surface corrected.

As a result of this research project, was found a model correction surface

EGM2008 , which allows, specifically in the study area, Atlántida and Yoro, convert

ellipsoidal heights obtained with GNSS equipment (e.g. GPS) in orthometric heights,

own of any work: geodetic, topographic and cartographic. It was determined that the

geoid undulation in this area should be reduced by 11.80 cm ± 0.1078.

It is a combined model for geoid sufficiently approximate for application to leveling

GPS/GNSS, and likewise recommended the extension of this method for the rest of

Honduras. And propose to neighboring countries, the unification of level lines with a

XI

model set of observations (GPS + leveling) to link the entire Central American region,

considering that El Salvador now has its own geoid model for the whole country.

Also were found the 3D coordinates of the fifteen level banks with which we

worked (geocentric cartesian coordinates, geographical coordinates and UTM

coordinates). Also updated and modernized the monographs of these level banks.

Keywords: Geoid Model EGM2008, Least Squares, Minimum Curvature.

XIII

RESUMEN

Con la presente investigación busca se solventar un problema para el país en

relación a la determinación de elevaciones ortométricas haciendo uso nada más de

mediciones con equipo GPS/GNSS sin necesidad de recurrir a los trabajos de

nivelación tradicionales que resultan altamente costosos. Esta necesidad surge ya que

en Honduras no se cuenta con un modelo de geoide local o escalado, e implica que

para poder desarrollar cualquier proyecto de ingeniería p.ej., se requiera tener que

invertir una gran cantidad de dinero en trabajos de nivelación, donde se arrastra la

elevación ortométrica (es decir la elevación referida al nivel medio del mar) de un banco

de nivel conocido hasta el sitio de interés.

Con los últimos avances tecnológicos y apoyados en las ciencias Matemáticas

aplicadas al campo de la Geodesia es posible ajustar un modelo global de geoide, como

por ejemplo EGM2008, y escalarlo a la zona de interés, para lo cual se identifican

puntos con altura ortométrica conocida y se realizan mediciones precisas con equipo

GPS/GNSS donde obtenemos las alturas referidas al elipsoide y posteriormente

mediante un análisis espacial se realiza un ajuste de mínimos cuadrados y luego se

aplica un modelo de corrección, en este caso mínima curvatura, (que es un método de

interpolación de los más eficaces cuando se trata de la búsqueda en continuo de

diversas magnitudes geofísicas cuyo conocimiento es, de forma discreta, por campañas

de medida con mayor o menor densidad de puntos para cubrir una determinada área) y

se obtiene una superficie corretora a ese modelo global, que en nuestro caso es el

EGM2008.

Con esta investigación se determinó una superficie correctora que sumada a la de

EGM2008 constituye un modelo que permite, específicamente en la zona de estudio,

Atlántida y Yoro, convertir las altitudes elipsoidales obtenidas con equipos GNSS (p.ej.

GPS) en altitudes ortométricas propias de cualquier trabajo geodésico, topográfico o

cartográfico, encontrándose que la ondulación del geoide EMG2008 en esta zona debe

reducirse en 11.80 cm ±0.1078.

XIV

Es un modelo combinado para el geoide lo suficientemente aproximado para su

aplicación a la nivelación GNSS; y así mismo se propone la extensión de este método

al resto del territorio hondureño, con la posibilidad de acordar con los países vecinos la

unificación de líneas de nivelación con un modelo conjunto de observaciones (GPS +

nivelación) para enlazarlo con toda la región Centroamericana, considerando que ya El

Salvador cuenta con un propio modelo escalado de geoide para todo el país.

Además se aprovechó para determinar las coordenadas 3D de los quince bancos

de nivel con los cuales se trabajó, obteniéndose las coordenadas cartesianas

geocéntricas, las coordenadas geográficas y las coordenadas UTM. También se

actualizaron y modernizaron las reseñas de estos bancos de nivel.

Palabras clave: Geoide, Modelo EGM2008, Mínimos Cuadrados, Mínima Curvatura.

1

I. CAPÍTULO I

I.1 INTRODUCCIÓN

Con el creciente empleo de las técnicas de posicionamiento global (GPS/GNSS) 1

para la determinación de las coordenadas de los diferentes puntos de la superficie

terrestre, tanto en aplicaciones topográficas como de ingeniería en general, se pone de

manifiesto la necesidad del conocimiento de la superficie del geoide con la precisión

necesaria, para dotar de altitud ortométrica a dichos puntos, ya que las alturas que

proporcionan los equipos de posicionamiento global, son elipsoidales y no son

aplicables en la resolución de los problemas aplicados a la ingeniería, debido a que no

se encuentran referidas al nivel medio del mar (geoide).

Esta situación genera la necesidad de obtener un modelo de geoide local con la

mejor precisión posible, donde la ondulación geoidal nos permita calcular las alturas

referidas al nivel medio del mar una vez obtenidas las alturas elipsoidales en los puntos

observados con receptores satelitales; convirtiéndose de esta forma este modelo

geoidal local en un elemento indispensable para la correcta armonización con el sistema

altimétrico de referencia del país. Por lo tanto las aplicaciones del modelo del geoide

van mucho más allá de las meramente cartográficas o geodésicas, complementado al

resto de las ciencias de la tierra y permitiendo obtener una localización más precisa

sobre el terreno, puesto que, usando medidas de posición con el sistema GPS/GNSS se

obtendrá a la vez una precisión suficiente en planimetría, junto con una altura

ortométrica, hallada a partir de un modelo de geoide tan preciso como la altura

elipsoidal obtenida por GPS; y lo más importante es que estas alturas ortométricas

serán obtenidas sin necesidad de realizar actividades de nivelación, que resultan

altamente costosas.

Un indicador, a priori, del comportamiento de las medidas en relación con el

modelo de referencia –en nuestro caso EGM2008- es el valor promedio de las

diferencias que se deberían restar al de referencia que en la zona Atlántida-Yoro que es

11.80 cm, comparable con el obtenido anteriormente en Tegucigalpa +12 cm y,

1 GPS/GNSS Global Positioning System / Global Navigation Satellite Systems

2

también, con los resultados obtenidos en el hermano país de El Salvador, por el Doctor

Francisco Javier González Matesanz, profesor asociado de la Universidad de Alcalá de

Henares, quien determinó que la ondulación geoidal se debía incrementarse en

aproximadamente +29 cm en ese país.

I.2 ANTECEDENTES

Tradicionalmente para determinar la altura de un punto referida al nivel medio del

mar sobre la superficie terrestre, se realiza una nivelación geométrica (con precisión de

unos pocos centímetros) o bien, se realiza una nivelación trigonométrica con precisión

de algunos decímetros y la nivelación barométrica con precisión más allá del metro. Sin

embargo con los avances tecnológicos y los importantes alcances que está teniendo la

geodesia satelital (específicamente a través de los Sistemas GPS/GNSS) se permite,

midiendo en modo diferencial estático, obtener alturas elipsoidales muy precisas en

algunos puntos donde se conoce también sus alturas ortométricas, por ser puntos de

nivel de la red oficial del país o halladas a partir de ellos por métodos tradicionales; y es

gracias a ello, que aplicando técnicas de interpolación superficial, se puede estimar las

ondulaciones del geoide en otros puntos, logrando así convertir alturas elipsoidales en

alturas referidas sobre el nivel medio del mar.

Entre los métodos clásicos para la determinación del geoide se pueden mencionar

el método astrogeodésico, donde las ondulaciones del geoide se obtienen a partir de

observaciones astronómicas de latitud y longitud en estaciones con posiciones

geodésicas conocidas; sin embargo existen algunas desventajas asociadas a este

método, tales como los problemas por propagación de los errores y la limitación de la

distancia desde un punto de ondulación conocida N1 hasta otro punto de ondulación

desconocida N2. El método gravimétrico es donde pueden utilizarse una multitud de

datos para la determinación gravimétrica del geoide, tales como modelos

geopotenciales globales, anomalías gravimétricas y modelos digitales del terreno. La

combinación óptima de tales datos conduce a soluciones con la mejor resolución de las

longitudes de onda, necesaria para la representación precisa de las ondulaciones del

geoide. Durante las últimas décadas del siglo XX y en el actual han visto la luz diversos

modelos continentales y globales, gracias al aumento de cobertura de medidas

3

gravimétricas, la generación de modelos altimétricos y observaciones gravimétricas

sobre océanos con equipos aerotransportados y sobre vehículos espaciales; de éstos

destacamos, porque lo vamos a utilizar en este trabajo, el modelo EGM2008. También

se pueden combinar las técnicas gravimétricas y astro-geodésicas, para determinar el

geoide por el denominado método astro-gravimétrico.

Contar con una red de puntos de control, con elevación referida al nivel medio del

mar, previamente establecida -cotas ortométricas-, y que en nuestro caso son Bancos

de Nivel históricos, que están distribuidos más o menos uniformemente en el territorio y

que están dotados, o pueden estarlo, de coordenadas geodésicas, latitud, longitud y

altura elipsoidal referidas a un sistema geodésico global, permite estudiar cómo se

comporta un modelo de geoide gravimétrico, por ejemplo EGM2008 e incluso

modificarlo ligeramente para obtener un modelo que se adapte mejor al territorio

considerado. Con esos datos es posible, a través de un ajuste de mínimos cuadrados y

con aplicación de mínima curvatura como método de interpolación, generar una

superficie corregida del geoide local para la zona en estudio.

En Honduras, la institución encargada de realizar y certificar los trabajos en

materia de Geodesia, es la Dirección General de Catastro y Geografía (DGCG); y desde

la década de los años 70´ hasta el año 2010 no había realizado ningún esfuerzo para

definir un geoide local para ninguna parte del país. Sin embargo, es precisamente en el

año 2010 que se inicia un proyecto en conjunto con la DGCG y las Universidades de

Alcalá de Henares y la Nacional Autónoma de Honduras donde se estableció una Red

Geodésica para Tegucigalpa, la ciudad capital del país, y donde además se

aprovecharon los datos observados que poseían elevación ortométrica, para estudiar el

comportamiento del modelo EGM2008 en la zona de Tegucigalpa, y determinar, a

través del ajuste por mínimos cuadrados un modelo correctivo bilineal (“plano

inclinado”) al modelo EGM2008 en esa pequeña zona de estudio. El éxito de ese trabajo

realizado en Tegucigalpa ha sido el impulsor de este proyecto de tesis con el que se

pretende darle continuidad y una aplicación más general. Se ha seleccionado una parte

más amplia en el norte del país, comprendida entre los departamentos de Atlántida y

Yoro, específicamente cubre el área entre 15º 10’ y 15º 52’ de latitud Norte y los 87º 10’

y 87º 57’ de longitud Oeste. Se han tomado observaciones con equipos GPS/GNSS en

4

15 bancos de nivel y, tras realizar un proceso similar, se ha generado, con un ajuste de

mínimos cuadrados y una corrección por el método de mínima curvatura, una superficie

correctora de curvaturas suaves que sumada a la del geoide EGM2008 proporciona un

modelo de geoide local EGM2008-mejorado que armoniza muy bien las altitudes

ortométricas y elipsoidales en la zona elegida.

I.3 OBJETIVOS

Generales:

I.1.1 Determinar una superficie correctora del modelo EGM2008 que permita la

obtención de ondulaciones geoidales que mejor se adapten a los

departamentos de Atlántida y Yoro en Honduras y que permitan poder

recomendar su extensión al resto del país y, bajo convenio, enlazarlo con los

países vecinos, a fin de obtener un modelo de geoide integrado para toda

Centroamérica.

I.1.2 Adoptar el modelo corregido para dotar de una solución suficientemente

precisa a los departamentos de Atlántida y Yoro para la obtención de altitudes

ortométricas a partir de observaciones GPS que se realicen en cualquier

trabajo geodésico y de levantamientos cartográficos.

Objetivos Específicos:

I.1.3 Recopilar los datos de la Red de Nivelación Antigua disponibles en los

departamentos de Atlántida y Yoro pertenecientes a la red de nivelación del

país, de los que dispone la Dirección General de Catastro y Geografía.

I.1.4 Seleccionar los bancos de nivel más convenientes para realizar mediciones

con equipo GPS que aún existan y que se puedan identificar en campo.

I.1.5 Determinar la ecuación del “plano inclinado” que indica la tendencia media de

las correcciones a la superficie del geoide EGM2008 en el departamento de

Atlántida y Yoro; y corregir después esta superficie con el método de

interpolación de mínima curvatura.

5

I.1.6 Actualizar las monografías de los bancos de nivel observados durante la

investigación para ser entregadas a la Dirección General de Catastro y

Geografía.

6

Un método para encontrar la corrección al modelo de geoide EGM008 para aplicación de la

nivelación GNSS en Honduras

Por: Johana Marcela Norori Solís

II. CAPÍTULO II: Marco teórico

II.1 SISTEMAS GEODÉSICOS DE REFERENCIA, SISTEMAS DE

ALTITUDES Y SITUACIÓN DE LA RED DE NIVELACIÓN DE

HONDURAS

II.1.1 Los Sistemas de coordenadas y proyección cartográfica (Furones,

2010)

Para ubicar un punto sobre la superficie de la Tierra, utilizamos un sistema de

coordenadas. Dividimos la Tierra en meridianos (círculos que van de polo a polo) y

paralelos (círculos perpendiculares a los meridianos). Por convención, se adoptó como

meridiano de partida el meridiano que pasa por Greenwich, pasando éste a ser el

meridiano 0, acuerdo adoptado en la Conferencia del Meridiano celebrada en

Washington el año 1884.

II.1.1.1 Sistemas de Coordenadas Cartesianas y Esféricas

Cualquier punto de la superficie terrestre o de otro cuerpo presentará

coordenadas en una tripleta (X, Y, Z) referida a tres ejes coordenados, definidos su

origen y orientación. Para su definición también pueden utilizarse determinados puntos

que constituyen el marco de referencia (ver figura 1).

En cualquier caso es habitual el uso de coordenadas esféricas para la

parametrización de los puntos sobre la superficie de la Tierra, (r,φ,λ), donde, de forma

genérica, r es la distancia radial al geocentro u origen, φ la latitud geocéntrica (ángulo

entre r y el plano del ecuador) y λ la longitud geocéntrica (ángulo entre el plano

meridano de Greenwich y el del punto de cálculo, medido en el plano del ecuador, (ver

figura 1).

La relación entre las coordenadas esféricas y las cartesianas (vector

tridimensional) es un producto del radio r (escalar) por el vector unitario que fija su

dirección en el espacio correspondiente a la parametrización regular de la esfera:

7




Para la correcta definición de la distancia radial r (distancia diferente para cada

punto de la Tierra y que no sigue ningún patrón geométrico exacto), se debe introducir

una superficie de referencia como aproximación a la forma real de la Tierra. El problema

surge al determinar estos dos ángulos con medidas estelares que se refieren a la

vertical del lugar o línea de la plomada, línea que no pasa necesariamente por el centro,

y tampoco las de los diferentes puntos de la superficie concurren en un punto que

pueda considerarse como origen del sistema.

II.1.1.2 Sistema de Coordenadas Astronómicas y Geográficas

En primera aproximación la Tierra es una esfera homogénea de radio R. El eje de

rotación medio corta la superficie terrestre en dos puntos: el polo geográfico Norte (PN)

y en el polo geográfico Sur (PS). El polo geográfico Norte es aquel desde el que si se

observa la Tierra hacia su interior, ésta rota en el sentido contrario a las agujas del reloj

(ver figura 2).

La vertical de cualquier punto sobre la superficie terrestre pasaría por el centro de

la Tierra.

La posición de un punto E de la superficie de la Tierra se determina por dos

coordenadas (ver figura 4). Se llama latitud geográfica () del punto E al ángulo que

forma la vertical de E con el plano del ecuador terrestre. La latitud geográfica varía de 0º

a 90º en el hemisferio boreal (latitud norte) y de 0º a -90º en el hemisferio austral (latitud

sur).

Figura 1: Sistemas de Coordenadas Cartesianas y Esféricas

8




Se llama longitud geográfica () del punto E al ángulo que forma el meridiano del

punto con el meridiano origen. La longitud geográfica varía de 0º a 180º en el hemisferio

oriental y de 0º a -180º en el hemisferio occidental, es decir, el primero al este y el

segundo al oeste.

La observación astronómica en un punto de la superficie terrestre presupone una

esfera de radio unidad que es transportable al centro del cuerpo Tierra dadas las

distancias estelares. Además, la latitud y longitud observadas son relativas a la vertical

del lugar y al eje instantáneo de rotación de la Tierra por lo que deben ser sometidas,

aunque se trate de valores muy pequeños, a correcciones denominadas como

“curvatura de la línea de la plomada” y “movimiento del polo”.

Por otro lado, ya desde principios del siglo XVIII se sabía que la forma de la Tierra

adoptada por la superficie libre de los mares se asemejaba a un elipsoide de revolución.

Durante ese siglo se persiguió por muchos científicos hallar sus dimensiones y forma,

primero desde el punto de vista geométrico y luego, ya a finales del XIX, conjuntamente

con el hecho físico del campo de gravedad. Así, se asocia la superficie de los mares

con la de potencial W0 (denominada Geoide) y por cualquier punto sobre la superficie

topográfica (E) pasa otra envolvente de potencial W, de manera que la diferencia W0-W

es función del campo de gravedad, con sus anomalías, el cual determina la distancia

que las separa o altura.

Figura 2: Aproximación Esférica a la Tierra

9




Figura 3 y 4: Coordenadas Geográficas

En resumen esta magnitud física conjuntamente con las otras dos coordenadas

astronómicas completa la terna E (W), que se conoce como Sistema de

Coordenadas Naturales, ver figura 5.

II.1.1.1 Sistema de coordenadas geodésicas y topocéntricas

El Sistema Natural presenta dificultades para extenderlo a todo el territorio por lo

que se procede a una segunda aproximación, elipsoide de revolución. Antes de

continuar se hace necesario dar a conocer unos datos numéricos aproximados para

centrar la cuestión: el radio medio terrestre 6371000 m, la diferencia entre semiejes

21300 m, la separación de los puntos del Geoide respecto al “elipsoide de nivel” está

comprendida en ±100 m y la diferencia entre el geoide y el nivel medio del mar en

diferentes costas puede alcanzar ±2 m. Por eso un elipsoide de revolución es una

buena aproximación a la forma de la Tierra y está definido por dos parámetros: su

semieje mayor (a) y su semieje menor (b) o subsidiariamente el aplanamiento (f=1-b/a).

El centro del elipsoide coincide con el centro del sistema de referencia, el semieje

menor se hace coincidir con el eje medio de rotación terrestre o al menos paralelo a él y

el plano meridiano origen de longitudes paralelo al meridiano de Greenwich, quedando

así constituido el sistema de coordenadas geodésico. El modo de iniciar el sistema

ideado ha de ser realizado partiendo de un punto origen o datum en el cual la vertical se

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considera coincidente con la dirección de la normal al elipsoide trazada desde dicho

punto (ver figura 6).

Figura 5: Coordenadas Naturales

De este modo se iniciaron los sistemas geodésicos locales desarrollados por los

diferentes países para establecer sus redes de triangulación, por lo que el centro del

elipsoide no coincide con el geocentro exactamente, aunque sí está próximo a él, y su

separación puede ser de unos pocos centenares de metros, como se ha verificado

posteriormente. Estas divergencias han quedado resueltas cuando, mediado el siglo

XX, las observaciones del movimiento de los satélites artificiales y un mejor

conocimiento del campo de gravedad terrestre han permitido conocer el mejor elipsoide

y su colocación respecto al cuerpo Tierra haciéndolo coincidir con el centro de masas,

cada vez con mayor precisión. Así las coordenadas geodésicas serán:

• Latitud geodésica: es el ángulo que forma la normal trazada desde el punto al

elipsoide con el plano ecuador geodésico.

• Longitud geodésica: es el ángulo formado por el meridiano geodésico del punto

de cálculo y el meridiano geodésico origen.

El ángulo entre la línea que une el centro del elipsoide con la proyección del punto

sobre el elipsoide y la de esa línea sobre el ecuador se denomina latitud geocéntrica (β)

y está relacionada con la geodésica mediante la fórmula siguiente:

tan 𝛽 =𝑏2

𝑎2tan 𝜑

11




Figura 6: Coordenadas Geodésicas

Sin embargo, las medidas terrestres, que se han de llevar al elipsoide y se hacen

sobre la superficie topográfica para referir unos puntos a otros, usan en general un

Sistema Local (e, n, u), ver figura 7. La dirección “altura” (u) es hacia el cenit, la

dirección “norte” (n) marca la meridiana y la dirección “este” (e) es ortogonal a las

anteriores y completa la terna. Estas direcciones son representación del sistema

adoptado por un teodolito estacionado en P, ya que, el eje general marca la línea de la

plomada y al estar orientado la lectura en dirección n será cero. Así, la posición de un

punto próximo se obtiene del ángulo horizontal medido (A, acimut) y del ángulo cenital

(Z) y la distancia (D).

[𝑒𝑛𝑢] = 𝐷 [

sin 𝑍 sin 𝐴sin 𝑍 cos𝐴

cos𝑍]

Si bien estas coordenadas se presentan conjuntamente como una terna espacial,

desde un punto de vista práctico, es habitual tratarlas separadamente (e, n) como

“coordenadas planas” en una proyección cartográfica (p. ej. UTM, como funciones de

) y las alturas (u) referidas a la red de nivelación oficial.

Las observaciones astronómicas, geodésicas y topográficas se efectúan sobre la

superficie real de la Tierra y en un momento de tiempo determinado.

12




Figura 7: Coordenadas Topocéntricas

Pero llevar las observaciones al elipsoide y proceder al transporte de coordenadas

sobre esta superficie es posible por la proximidad en cualquier punto genérico P entre

su vertical o línea de la plomada y la perpendicular trazada desde él al elipsoide, dado

que ese ángulo es de algunos segundos -raramente excede de treinta segundos- es lo

que se llama “desviación relativa de la vertical”. Aun así no es totalmente despreciable

por lo que las redes geodésicas se reorientaban en los denominados puntos Laplace

donde la ecuación del mismo nombre relaciona el acimut geodésico y el acimut

astronómico observado exprofeso.

II.1.1.2 Sistema de coordenadas geodésicas y cartesianas

tridimensionales

El geoide se define como figura y forma de la Tierra, siendo la superficie

equipotencial respecto a la gravedad que mejor se ajusta a la superficie media de los

océanos. Si se supone conocido un modelo que refiere esa superficie al elipsoide (N,

ondulación del geoide) -elipsoide que se encuentra centrado en el cuerpo Tierra- y la

altitud del punto genérico P sobre el geoide (H), la altitud sobre el elipsoide (h) viene

representada por la expresión:

ℎ = 𝐻 + 𝑁

n e

u

13




Así se puede, una vez definidos el triedro cartesiano y el elipsoide, determinar la

posición espacial de un punto P por la terna (, h=H+N) o su otra equivalente (X, Y,

Z), que podemos calificar como geocéntricas, toda vez que el origen del sistema

coincide con el centro de masas de la Tierra (ver figura 8).

Además, las medidas terrestres hechas desde dicho punto P (, h) para

determinar las posiciones de otros en su entorno dan lugar a coordenadas relativas al

primero que se suelen denominar como topocéntricas (e, n, u). Éstas, se pueden

expresar también como incrementos a las de P en el sistema geocéntrico para hallar las

de ese nuevo punto Q, lo que se consigue mediante dos rotaciones para dejar los ejes

del sistema local (topocéntrico) paralelos al geocéntrico. Primer giro: Re = – (90 – ), el

eje u de deja paralelo al eje Z y el e no varía mientras el eje n baja hasta quedar

paralelo al plano paralelo al XY; con el segundo giro: Ru de + (270 – ), el eje u –ya

paralelo al Z- no varía y se consigue que los otros dos e y n queden paralelos a los

respectivos X e Y. Esta conversión de coordenadas, para transporte desde P, está

representada en la expresión vectorial siguiente:

Figura 8: Posición espacial de un punto P

14




[∆𝑋∆𝑌∆𝑍

]

𝑃𝑄

= 𝑅𝑢𝑅𝑒 [𝑒𝑛𝑢]

𝑃𝑄

= [

− sin 𝜆 sin𝜑 cos 𝜆 cosφcos 𝜆

cos 𝜆 sin𝜑 sin 𝜆 cosφ sin 𝜆

0 cos𝜑 sin𝜑] [

𝑒𝑛𝑢]

𝑃𝑄

De ese modo es posible el transporte de coordenadas [𝑋𝑌𝑍]

𝑄

= [𝑋𝑌𝑍]

𝑃

+ [∆𝑋∆𝑌∆𝑍

]

𝑃𝑄

aunque es importante hacer la salvedad de que las coordenadas [e n u]’P, Q pueden

presentar pequeñas diferencias según las dos posibilidades para la dirección del eje u,

aunque muy próximas entre sí:

• La vertical astronómica de P como recta tangente en P a la línea de la plomada

• La perpendicular al elipsoide cuyo centro coincide con el centro de masas de la

Tierra.

Como se ha indicado anteriormente la pequeñez del ángulo entre estas dos

direcciones permite asumir los cálculos sobre el elipsoide con la salvedad de reorientar

las redes geodésicas en los denominados Puntos Laplace y reducción de

observaciones a nivel del mar o elipsoide. La operación recíproca es sencilla y tiene

especial aplicación en las observaciones GNSS en las cuales se emplea, en primera

instancia, un sistema cartesiano tridimensional, pues con estacionamiento de sendos

receptores (antenas) en los puntos P y Q hallamos el vector [Δ𝑋 Δ𝑌 Δ𝑍]𝑃𝑄𝑇 relativo entre

ambos. Para hallar la conversión inversa basta con pre multiplicar la expresión anterior

por la inversa de la matriz de rotación que coincide con su transpuesta por ser una

matriz ortogonal, obteniendo la siguiente ecuación

[𝑒𝑛𝑢]

𝑃𝑄

= [− sin 𝜆 cos 𝜆 0

sin𝜑 cos 𝜆 sin 𝜑 sin 𝜆 cos𝜑cos φ cos 𝜆 cos φ sin 𝜆 sin 𝜑

] [∆𝑋∆𝑌∆𝑍

]

𝑃𝑄

Resta únicamente relacionar las dos formas de expresar las coordenadas

geodésicas del punto genérico P en el sistema geocéntrico: las geodésicas longitud,

latitud y altitud elipsoidal (, h=H+N) P y las cartesianas (X, Y, Z, h=H+N)P. En realidad

son dos formas de llegar al vector OP⃗⃗⃗⃗ ⃗

OP⃗⃗⃗⃗ ⃗ = OQ⃗⃗⃗⃗ ⃗ + QP⃗⃗⃗⃗ ⃗ = OO⃗⃗⃗⃗ ⃗1 + O1Q⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + QP⃗⃗⃗⃗ ⃗

El triángulo OO1Q proporciona los módulos y por su posición los argumentos o

vectores unitarios necesarios. El ángulo en O1 es el complemento de la latitud (/2 – )

y el ángulo en O es la latitud geocéntrica más 90o, esto es (/2 + ). Como el lado O1Q

15




es la denominada “gran normal” () se deduce el lado OO1 y aplicando la relación entre

ambas latitudes resulta

𝑂𝑂1 = 𝜈sin(𝜑 − 𝛽)

cos𝛽= 𝜈 sin 𝜑 (1 −

𝑏2

𝑎2) = 𝜈𝑒2 sin 𝜑

Por otro lado, el vector unitario de 𝑂𝑂1⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ es [0 0 −1]𝑇y el de los vectores O1Q⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ y

QP⃗⃗⃗⃗ ⃗

[cos𝜑 cos 𝜆 cos 𝜑 sin 𝜆 sin 𝜑]𝑇 los cuales se pueden aplicar a la expresión vectorial

anterior obteniendo la que relaciona ambos sistemas de coordenadas:

[𝑋𝑌𝑍] = 𝜈𝑒2 sin𝜑 [

00

−1] + (𝜈 + ℎ) [

cos𝜑 cos 𝜆cos𝜑 sin 𝜆

sin 𝜑] = [

(𝜈 + ℎ)cos𝜑 cos 𝜆(𝜈 + ℎ) cos𝜑 sin 𝜆

(𝜈(1 − 𝑒2) + ℎ) sin 𝜑

]

𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝜈 =𝑎

(𝑎 + 𝑒2(sin𝜑)2)0.5

El paso inverso presenta una dificultad: sólo es despejable la expresión inversa de

la longitud, mientras la latitud requiere iteraciones que convergen rápidamente debido al

pequeño valor del aplanamiento y, resuelta ésta, se despeja y verifica el valor de la

altitud elipsoidal:

1) 𝜆 = tan−1 𝑌

𝑋

2) 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑍 = (𝜈 + ℎ − 𝑒2𝜈) sin 𝜑 = (𝜈 + ℎ) sin𝜑 (1 −𝑒2

1+ℎ𝑣⁄) ≃ (𝜈 + ℎ) sin 𝜑 (1 − 𝑒2)

3) 𝑍(1 − 𝑒2)⁄ = 𝑍′ ≃ (𝜈 + ℎ) sin 𝜑

4) 𝜑′ = tan−1 𝑍′

(𝑋2+𝑌2)0.5

5) 𝜑" = tan−1 𝑍+𝜈′𝑒2 sin 𝜑′

(𝑋2+𝑌2)0.5 𝑠𝑒 𝑖𝑡𝑒𝑟𝑎 ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑞𝑢𝑒 ‖𝜑" − 𝜑′‖ < 𝜀 ⇒ 𝜑′ = 𝜑"

6) ℎ =(𝑋2+𝑌2)

0.5

cos 𝜑 – 𝜈

Con estas últimas ecuaciones se completa el conjunto de conversiones entre

sistemas de coordenadas locales y globales dentro de un sistema geodésico de

referencia, quedando para otro apartado las transformaciones entre sistemas geodésicos

diferentes.

16




II.1.2 Los sistemas de altitudes

En un principio las diferencias de altitudes se medían, por pequeños tramos, con

un equialtímetro o nivel, situado equidistante de dos estadías en los extremos del tramo,

siendo la diferencia de lecturas en ambas (espalda menos frente) el desnivel del tramo

dn. Es lo que se viene en llamar nivelación geométrica, y la altitud de un punto A

arrastrada desde el O, cuya altitud se supone conocida, sería la del punto inicial

incrementada en la suma o integral de los sucesivos valores dn observados a lo largo del

itinerario entre ambos puntos. Sin embargo, es necesario tener presente que las

superficies equipotenciales que pasan respectivamente por los extremos de esa línea –en

general– tienen diferente separación a lo largo de la línea de la plomada en A y según la

línea de la plomada en B, lo que indica que ese desnivel entre A y B depende del camino

recorrido. Por eso, es más congruente obtener las diferencias de potencial de los tramos,

para lo cual se añade al desnivel el conocimiento o medida de la gravedad media del

tramo, obteniendo 𝒅𝑾 = −�⃗⃗� ∙ 𝒅𝒏⃗⃗⃗⃗ ⃗, diferencia de potencial.

Conviene recordar que el signo menos se debe al producto escalar de los

vectores gravedad y desnivel, coincidiendo ambos en la dirección de la plomada pero de

sentidos opuestos, y también, que le corresponde como unidad de medida en el SI es

m2s-2 mientras las altitudes se miden en metros. Sin embargo, la unidad de medida para

la gravedad adoptada por tradición es el gal (en honor a Galileo), equivalente a 1 cms-2 o

0.01 ms-2 y la menor unidad de apreciación práctica en gravímetros es el miligal (10-5 ms-

2) o el microgal (10-8 ms-2)

Hay diferentes maneras de introducir el valor de la gravedad acorde al interés de

uso de las altitudes resultantes, lo que da lugar diversos sistemas de altitudes.

II.1.2.1 Cota Geopotencial.

Considerando un punto O sobre el geoide (a nivel del mar) y un punto A,

conectado a O mediante una línea de nivelación, se define la cota geopotencial como la

diferencia de potencial entre los dos puntos:

17




La cota geopotencial, o mejor, número geopotencial pues no se trata en propiedad

de una cota o altitud, es definida según esta expresión y es independiente del camino

recorrido. Es la misma para todos los puntos de una superficie de nivel, puede

considerarse como una medida natural de las diferencias de potencial como función de

la altitud, aunque no tenga dimensiones de longitud. Se mide en unidades

geopotenciales (u.g.p.): 1 u.g.p.= 1 kgal m = 1000 gal m = 1 gal km. Como el valor de la

gravedad es groso modo 9.80 ms-2 o 0.98 kgal C sería 0.98H y puede decirse que,

aproximadamente, las diferencias geopotenciales son sólo un 2% menores que las

diferencias de altitud. Esto es equivalente a usar unidades SI en la fórmula integral

anterior dividiendo el resultado por 10 (~9.8).

La propiedad de ser independiente del camino se aprovecha para formular el

cálculo y ajuste de las redes geodésicas de nivelación con los valores de cotas

geopotenciales medidas para luego pasar a alturas.

A partir de la definición del número geopotencial se pueden definir algunos tipos

de alturas, que algunos autores llaman alturas geopotenciales. La definición de estas

alturas será la relación o cociente entre el incremento del potencial (m2s-2) y un

determinado valor de la gravedad (ms-2).

Según los potenciales elegidos y el valor de g las alturas más usuales son: alturas

aproximadas, alturas dinámicas, alturas ortométricas y alturas normales.

II.1.2.2 El Potencial Normal

Para poder determinar algunas alturas se ha de definir previamente lo que es el

potencial normal. El potencial gravitatorio terrestre es:

El conocimiento riguroso del potencial implica conocer en cada punto de la tierra

el valor de su densidad. Ante esta dificultad interesa a veces descomponer el valor del

potencial en dos términos: uno de fácil calculo (U) que se acerque lo más posible al

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valor del potencial real, y el otro la diferencia (T). Así, W = U + T, siendo U el llamado

potencial normal y T el potencial perturbador o potencial anómalo.

Para la determinación de U se eligen diversos modelos de Tierra, de forma que su

potencial normal U en cada punto sea muy similar al verdadero W. Se adopta por ello

como modelo de Tierra un elipsoide de revolución con una masa igual a la masa real de

la Tierra y con una velocidad de rotación igual a la terrestre. El teorema de Stokes

hace posible el cálculo del potencial normal, sin ninguna ambigüedad, al conocerse la

superficie de nivel exterior y la masa. Como consecuencia de la definición del potencial

normal surge la gravedad normal como = grad U. Para tener una idea del orden de las

aproximaciones, en general la relación T/W es del orden de 10-5.

II.1.2.3 Alturas Dinámicas

La altitud dinámica de un punto introduce un factor de escala en el concepto de

cota geopotencial y hace que el resultado venga expresado en metros. La altitud

dinámica de un punto es:

Y es el resultado de dividir C por una constante, gravedad normal a una latitud

estándar (45º), convirtiendo así la cota geopotencial en una longitud. Durante mucho

tiempo se ha usado para valor de γo la fórmula de 1967:

γ1967=978.0318 (1+0.0053024sen2φ − 0.0000059 sen2 2φ) gal; lo que para una φ = 45º

da un valor de 9.8061898 ms-2.

Con anterioridad en la asamblea de Estocolmo (1930) se adoptó asociada al elipsoide

Internacional (Hayford 1909) la fórmula de Cassini:

γ0=9.78049 (1+0.0052884 sen2φ − 0.0000059 sen2 2φ) ms-2

El modelo WGS84 usa la expresión de Somigliana y valores siguientes:

𝛾0 = 𝛾𝑒1+𝑘 sin2 𝜑

√1−𝑒2 sin2 𝜑 𝑘 =

𝑏𝛾𝑝

𝑎𝛾𝑒− 1 = 0.00193185265241; 𝛾𝑒 =

9.7803253359

19




Y para un valor de φ = 45º da un valor de 9.806197769 ms-2.

Sistema Geodésico de Referencia 1980 (Moritz 1984)

γ1967=9.780327 (1+0.0053024sen2φ − 0.0000058 sen2 2φ); lo que para una φ = 45º da

un valor de 9.8061998770 ms-2.

II.1.2.4 Alturas Ortométricas

Si designamos por P0 la intersección del geoide con la línea de la plomada que

pasa por el punto P y H la altitud ortométrica, esto es, la longitud del segmento de línea

a lo largo de la línea de la plomada entre P0 y P, podemos efectuar la siguiente

integración a lo largo de la línea de la plomada, puesto que el resultado es

independiente de la trayectoria:

Multiplicando y dividiendo por H obtenemos:

𝐶 = 𝐻 (1

𝐻∫ 𝑔 ⋅ 𝑑𝐻

𝐻

0

)

De modo que el paréntesis es la expresión del valor medio de la función g entre los

extremos de integración, esto es:

Es el valor medio de la gravedad a lo largo de la línea de la plomada entre el

geoide, (punto P0), y el terreno, (punto P).

Si somos capaces de averiguar ese valor medio se puede definir y hallar la

denominada altitud ortométrica, aunque se necesite conocer la gravedad dentro de la

Tierra. Esta debe calcularse con los únicos valores realmente conocidos, que son: los

valores de la gravedad en la superficie y la diferencia de potencial respecto a la

superficie equipotencial de referencia (geoide), y se hace reduciendo los valores

20




medidos de la gravedad por el método de Poincaré-Prey. Se entiende pues por altitud

ortométrica H la relación

𝐻 =𝐶

�̅�

En la figura 8 se representa un punto intermedio Q, en el cual se ha de calcular el

valor de la gravedad g. Sea P el correspondiente punto de la superficie de modo que P

y Q están situados sobre la misma línea de la plomada. La gravedad en P, se supone

medida. Se puede calcular gQ integrando el gradiente real de la gravedad ∂g/∂h dentro

de la Tierra si fuese conocido:

𝑔𝑄 = 𝑔𝑃 − ∫𝜕𝑔

𝜕ℎ𝑑𝑧

𝑄

𝑃

Como gradiente se puede emplear la fórmula de Bruns suponiendo conocidas la

curvatura media J de las superficies geopotenciales y la densidad entre P y Q.

𝜕𝑔

𝜕ℎ= −2𝑔𝐽 + 4𝜋𝐺𝜌 − 2�̅�2

Además, se puede estimar que las curvaturas medias de las superficies

geopotenciales J coincide con la curvatura media de las superficies equipotenciales del

campo de gravedad normal J0. Por otro lado la similitud de términos en la expresión del

gradiente del campo de gravedad normal permite su sustitución en la anterior:

𝜕𝛾

𝜕ℎ= −2𝛾𝐽0 − 2�̅�2 ⇒

𝜕𝑔

𝜕ℎ=

𝜕𝛾

𝜕ℎ+ 4𝜋𝐺𝜌

Se toma el primer término de ∂γ/∂h ignorando la muy escasa variación con la

latitud, se toma ρ = 2,67 gr/cm3 como valor medio de densidad de la corteza y el valor

de la constante de gravitación G=66,7x 10-9 unidades c.g.s, obteniendo el siguiente

valor aproximado:

Se llega así a la expresión final conocida como reducción de Poincaré-Prey

21




𝑔𝑄 = 𝑔𝑃 + ∫ 0.0848𝑑𝑧𝑃

𝑄= 𝑔𝑃 + 0.0848(𝐻𝑃 − 𝐻𝑄) ;donde se expresan g en

gales y H en kilómetros.

Esta fórmula no tiene rigor absoluto, por las aproximaciones g y JJ0, sin

embargo se usa en la práctica casi siempre, ya que el conocimiento de la curvatura

media real J de las superficies geopotenciales es bastante imperfecto. Con estos

condicionantes, ya se puede sustituir en la fórmula de la altitud ortométrica la expresión

de la gravedad a lo largo de la línea de la plomada para hallar el valor medio a partir del

obtenido en la superficie g e integrar.

g(z) = g + 0.0848 (H − z) ; donde g es la gravedad medida en el punto P del terreno, de

tal forma que ahora puede integrarse directamente, resultando:

�̅� =1

𝐻∫ [𝑔 + 0.0848(𝐻𝑃 − 𝑧)]

𝐻

0

𝑑𝑧 = 𝑔 +0.0848

𝐻[𝐻𝑧 −

𝑧2

2]0

𝐻

�̅� = 𝑔 + 0.0424𝐻; Valor que sustituido en la fórmula de H proporciona la altitud

ortométrica buscada

𝐻 =𝐶

𝑔 + 0.0424𝐻

Llama la atención que figure en el denominador el propio valor incógnita, aunque

en este caso H debe ser expresado en kilómetro, pero recordemos que el número

geopotencial es aproximadamente un 2% menor de la altitud y sirve como valor inicial

de H y, hallado ese primer valor muy aproximado se puede iterar. Con esta

aproximación obtenemos las llamadas altitudes ortométricas Helmert.

En la práctica puede decirse: “se sustituye el terreno por una lámina Bouguer

infinita de densidad constante y altura H”, siendo de precisión suficiente para redes

altimétricas de pequeña magnitud y zonas no demasiado montañosas.

22




II.1.2.5 Altitudes Normales

Este tipo de altitudes fueron introducidas por Molodensky, de tal forma que la

superficie del geoide se sustituye por otra superficie (cuasi-geoide). Se apoya en el

campo de gravedad normal U -generado por un elipsoide de nivel que encierra en su

interior las masas de la Tierra-, y permite definir la gravedad normal gradU La teoría

fue desarrollada por Pizzetti (1894), Somigliana (1929) y otros, teoría interesante por

sus propiedades y tiene como ventajas el ser independiente de la distribución de la

masa en su interior (teorema de Stokes) y relacionar esta “gravedad normal” con la

“gravedad terrestre” medida en la superficie y en el exterior. Geoide y cuasi-geoide

tienen igual valor del potencial (U0=W0), coinciden geométricamente en los océanos, y

difieren poco en los continentes. Bajo esta hipótesis se sustituye en la fórmula de altitud

ortométrica la gravedad por la gravedad normal del elipsoide y las altitudes pasan a

ser normales HN:

𝐶 = 𝑊0 − 𝑊 = ∫ 𝛾𝑑𝐻𝑁 =𝐻𝑁

0

𝐻𝑁1

𝐻𝑁∫ 𝛾𝑑𝐻𝑁 =

𝐻𝑁

0

𝐻𝑁𝛾 ̅ ⟹ 𝐻𝑁 =𝐶

�̅�

Para calcular existen fórmulas desarrolladas para su cálculo con exactitud, como

esta: �̅� = 𝛾0 {1 −1

𝑎(1 + 𝑓 + 𝑚 − 2𝑓 sin2 𝜑)𝐻𝑁 + (

𝐻𝑁

𝑎)2

}

Y conjuntamente con la anterior se llega a la expresión de HN en función de C y los

parámetros del elipsoide y la latitud:

𝐻𝑁 =𝐶

�̅�=

𝐶

𝛾0{1 + (1 + 𝑓 + 𝑚 − 2𝑓 sin2 𝜑)

𝐶

𝑎�̅�− (

𝐶

𝑎�̅�)2

} ;Donde m = ω2a2b/(GM)

ω2a/γe que representa la relación en el ecuador entre la aceleración centrífuga γ la

gravedad normal del elipsoide (radio a).

Tanto las altitudes ortométricas como las normales tienen un carácter

geométrico como altitudes medidas desde el geoide o el cuasigeoide respectivamente, y

la precisión alcanzable es del orden de 10-6. Una u otra opción ha sido adoptada por

diferentes países para su red altimétrica, pero estas altitudes también participan del

carácter físico en tanto en cuanto proceden de los valores geopotenciales. La segunda

23




opción ha sido más generalizada en países de Europa oriental (antigua URSS y países

próximos), pero es importante mencionar que en los dos casos se puede dar que a

puntos de igual altitud les corresponda geopotencial diferente. Sin embargo, presenta la

ventaja de uniformidad y coherencia de las altitudes dentro del propio país y el

conocimiento suficiente para estudiar las diferencias con países vecinos debidas entre

otras causas al diferente datum de partida, y converger internacionalmente hacia un

marco global (al menos desde el punto de vista científico como objetivo primero).

II.1.2.6 Altitudes Elipsoidales

En el caso del GPS, las altitudes se refieren siempre al elipsoide de referencia,

GRS80 (WGS84) en el sistema y marco internacionales (ITRS/ITRF). Este tipo de

altitudes se denominan elipsoidales, ya que están medidas desde el punto de la

superficie terrestre al elipsoide, medidas sobre la normal al elipsoide que pasa por el

punto y con una precisión que puede llegar a 10-9. Es evidente que tienen un significado

puramente geométrico de distancia del punto hallado espacialmente (GNSS) al

elipsoide. Por tanto, ni mucho menos se obtienen las altitudes físicas de los sistemas

anteriores. Es, por tanto, necesario un perfecto conocimiento del geoide para relacionar

ambos tipos de altitudes, al menos, ya que:

h = HO – N = HN – ;

HN

HN

HO

N

h

hhh

Elipsoide U=U0

Geoide W=W0

Cuasigeoide

S Teluroide

Superficie topográfica

P

Q

Q0

P0

U=UQ

W=WP

Figura 9: Alturas elipsoidales

24




Conocida relación en el posicionamiento de un punto por satélite (GPS), siendo h

la altitud elipsoidal, HO altitud ortométrica, N la ondulación del geoide, HN altitud normal,

y la anomalía de altura (distancia desde el elipsoide al cuasigeoide, N ). Por ello, se

hace imprescindible el conocimiento de algún modelo de geoide de suficiente precisión

en la nivelación con GPS (ver figura 9).

Por desconocimiento de los valores absolutos del geoide, entre otros aspectos

ignorar la separación entre el nivel medio del mar y el geoide en el Datum, en la

práctica, es una medida prudente utilizar el modelo de geoide disponible y las alturas

elipsoidales GPS por incrementos según la expresión siguiente: Δh = ΔH + ΔN. De esta

manera se minimiza la repercusión de estas deficiencias a la hora de transportar

altitudes ortométricas desde un punto A conocido a otro B por determinar

𝐻𝐵 = 𝐻𝐴 + (ℎ𝐵 − ℎ𝐴) − (𝑁𝐵 − 𝑁𝐴)

Aun así es necesario mejorar en lo posible la adecuación del mejor modelo de

geoide disponible a la red de nivelación del país, formando este objetivo parte esencial

de este trabajo.

Elipsoide

GeoidehBhA

NB

HA

NA

HB

AB

II.2 Sistemas Geodésicos de Referencia en general (Torge,

1991) y el Sistema Geodésico de Referencia Global en

América (SIRGAS, 1993-2012)

Inicialmente la Tierra era considerada esférica por algunas escuelas (Homero,

Tales de Mileto, Pitágoras y Aristóteles). Eratóstenes (272-200 a.d.C.) fue quien

asumiendo esta forma esférica de la tierra dedujo la medida del radio de la tierra

(método que aún es usado en la edad moderna), para ello, además de medir la

Figura 10: Alturas Elipsoidales y físicas (ortométricas o normales)

25




distancia entre Siena (hoy Assuan) y Alejandría –ambos, casi, en el mismo meridiano-

también pudo medir el ángulo entre ambas ciudades al observar que en el solsticio de

verano los rayos del sol descienden verticalmente en Siena (no hay sombra) mientras,

el mismo día y hora, en Alejandría el extremo de la sombra formaba con la vertical un

ángulo de 1/50 de la circunferencia. Luego Newton (1,687) determino una fórmula que

describía la figura del elipsoide, asumiendo entonces que esta figura asemejaba mejor

la forma de la tierra. Sin embargo luego de numerosas pruebas, él concluyó que la

excentricidad de este elipsoide iba variando según el lugar donde se realizaban las

pruebas. Cassini por ejemplo, obtuvo en Paris una excentricidad f= 1/183 y en una

segunda expedición en Perú obtuvo una f= 1/120. Por lo que A.C. Clairaut luego de

varios estudios determinó que era necesario aplicar el método gravimétrico para obtener

resultados más precisos sobre el elipsoide de la tierra. Posteriormente Laplace, Gauss,

Bessel y otros, contribuyeron con la ciencia de la Geodesia y determinaron que no era

suficiente con determinar un modelo elipsoidal para la tierra. Pero es Friedrich Robert

Helmert, uno de los más distinguidos geodestas del tiempo moderno, que logro darle un

gran impulso a la Geodesia, determinando que la superficie de la tierra puede estar

aproximadamente definida por la rotación del elipsoide, como resultado de esto el

elipsoide esta frecuentemente referido a un sistema de coordenadas cartesiano.

Se denomina Sistema de Referencia a un conjunto de parámetros cuyos valores,

una vez definidos, permiten la referenciación unívoca precisa de localizaciones en el

espacio. Los sistemas de referencia geodésicos definen la forma y dimensión de la

Tierra, así como el origen y orientación de los sistemas de coordenadas. Los sistemas

de referencia geodésicos pueden ser descritos en base a dos modelos matemáticos: el

esférico y el elipsoídico, los cuales son obtenidos en base parámetros geométricos y

físicos medidos sobre la superficie terrestre, tales como distancias, ángulos, posiciones

astronómicas o la aceleración de gravedad.

Los sistemas globales de coordenadas nos permiten definir posiciones sobre la

superficie de la Tierra. El más comúnmente usado sistema, es el de la latitud, longitud y

altura (ver figura 11). El primer meridiano y el ecuador son los planos que definen la

latitud y la longitud. La latitud geodésica de un punto, , es el ángulo desde el plano

ecuatorial a la dirección vertical de la línea normal al elipsoide de referencia. La longitud

geodésica de un punto, es el ángulo que forma el meridiano que pasa por el punto con

26




el meridiano origen en sentido dextrógiro. La altura elipsoidal de un punto, h, es la

distancia desde el elipsoide de referencia al punto en dirección normal al elipsoide.

Cuando el origen del sistema de coordenadas coincide con el centro terrestre, se

trata de un sistema de referencia geocéntrico, o sea que es un sistema global, mientras

que el origen se encuentra desplazado del geocentro en aquel sistema de referencia

local para el que se ha adoptado uno de los múltiples elipsoides calculados en el

pasado y se ha intentado orientar y centrar en el cuerpo Tierra (ver figura 12). En

general resulta paralelo o casi paralelo al sistema de coordenadas geocéntrico y es

importante mencionar que un tal sistema local puede ser transformado a un sistema

global, al menos de forma muy aproximada, mediante una translación al centro, un

ligero cambio de escala y una pequeña rotación del sistema (cinco o siete parámetros).

Figura 11: Sistema de Coordenadas

Figura 12: Sistema Global vrs Sistema Local

27




Resumiendo, un sistema de referencia tradicional implicaba la elección de:

Un elipsoide de referencia.

Un punto origen o punto datum, cuyas coordenadas se determinan mediante

observaciones astronómicas.

Un acimut de partida, obtenido a partir de observaciones astronómicas.

Como ya se mencionó anteriormente el elipsoide es la superficie geométrica que

más se asemeja a la forma de la Tierra (ver figura 13), y que facilita la proyección de

cualquier punto sobre la misma, lo que no pasa con el geoide. El elipsoide biaxial o de

revolución es definido geométricamente por el semieje mayor (a) y el achatamiento (f) y

se obtiene girando esa elipse sobre su eje menor. A partir de las dimensiones de los

semiejes a y b se definen los siguientes parámetros:

Estos sistemas de referencia son establecidos por recomendación de la

International Union for Agency and Geophysics (IUGG); en 1924 la Asamblea General

del IUGG determino usar un sistema puramente geométrico basado en el elipsoide

determinado por J.I. Hayford (1909) con estos parámetros a=6, 378,388 m y f= 1/297.

Figura 13: Definición Geométrica del Elipsoide

28




Luego en 1930 la Asamblea General del IUGG se reunió en Estocolmo y amplió el

sistema en su aspecto físico adoptando para el elipsoide de Hayford la fórmula

internacional de gravedad establecida por Cassini.

Sin embargo los valores recomendados entre 1924 y 1930 resultaban insuficientes

para aproximar el verdadero elipsoide de la tierra para propósitos científicos, por lo que

posteriormente en 1967 la Asamblea General del IUGG reunida en Luzern reemplazó

los parámetros anteriores y estableció el Sistema Geodésico de Referencia 1967.

En 1979 la Asamblea del IUGG se reunió de nuevo y reemplazo el SGR 1967 por

el SGR 1980, que también está basado en la teoría del elipsoide geocéntrico

equipotencial.

Por otro lado tenemos que el elipsoide utilizado por los equipos GPS es el WGS84

o Sistema Geodésico Mundial 1984, el cual puede definir longitud, latitud y altura

elipsoidal de cualquier punto sobre la superficie de la Tierra. El desarrollo de WGS84

fue propiciado entre 1984 y 1993 por la Agencia Cartográfica de Defensa (DMA), es

sucesor de versiones anteriores desarrolladas para el control y seguimiento de satélites

como WGS 60, WGS 66, WGS 72 o NSWC9Z2; se trata de un Sistema Convencional

de Referencia Terrestre e incluye en su definición un sistema de coordenadas

geocéntrico, un elipsoide de referencia y un conjunto de constantes fundamentales así

como un modelo de gravedad y geoide asociados (NIMA; National Imagery and

Mapping Agency, 2000). Los parámetros del Sistema WGS84 son prácticamente iguales

a los parámetros del SGR 1980.

Su desarrollo fue obtenido a partir de todos los avances en teoría, sofisticación en

la tecnología computacional y contando con la disponibilidad de las nuevas y más

completas series de datos. Este sistema representa el modelado de la Tierra por la

Agencia Cartográfica de Defensa (DMA) desde el punto de vista geométrico, físico y

computacional usando los datos y la tecnología disponible a principios de 1984.

Los parámetros del sistema WGS84 son los siguientes:

Semi-eje Mayor a=6378137.0 m SGR80 6378137.0

Achatamiento f=1/298.257223563 SGR80 1/298.257222101

29




Semi-eje Menor b=6356752.31424 m SGR80 6356752.31414

Primera Excentricidad (e2) 0.0066943799901 SGR80 0.006694380023

Segunda Excentricidad (e’2) 0.00673949674228 SGR80 0.006739496775

Excentricidad Angular 4.6931405621º SGR80 4.6931405738º

Cos=0.9966471893 SGR80 0.99666952236

Sin=0.08181919034 SGR80 0.08154669335

Tan=0.08209443744 SGR80 0.08181919034

Excentricidad Lineal E=521854.0084 m SGR80 521854.0097

Radio de Curvatura del meridiano m=0.003358431261

Radio de Curvatura del Primer vertical n=0.001679220406

El WGS84 fue concebido como un sistema de referencia geodésico práctico para

que se mantuviera en consistencia con los mejores sistemas de referencia científicos

terrestres, pero que al mismo tiempo tuviera estabilidad en el tiempo. Su evolución

desde WGS60 a la actual, denominada WGS84 ha implicado una mejora significativa

tanto en los modelos de gravedad de la Tierra, como en el modelo de geoide asociado,

cuyos inicios datan de 1966. Las versiones de los sistemas WGS están próximas a

ITRS, en particular la última realización del sistema WGS84 -semana GPS, G873- es

consistente con ITRF94 en un rango no mayor de 2 cm (ref. NIMA TR 8350.2, pág. 2-5).

Esta consistencia ha sido evaluada comparando las órbitas de IGS (International GNSS

Service) con las órbitas GPS precisas proporcionadas por la NIMA (National Imagery

and Mapping Agency) y calculando las posiciones de un conjunto de estaciones IGS

sobre el sistema WGS84 cuyas coordenadas en ITRF94 eran conocidas. El resultado,

implica que no hay una diferencia práctica entre ellos; WGS84 es el sistema utilizado

por el DoD de Estados Unidos -segmento de control de la constelación NAVSTAR/GPS-

y sirve para calcular las efemérides transmitidas que son las utilizadas en la mayor parte

de aplicaciones en cartografía, navegación y topográficas.

En el año de 1993 nació como proyecto, gracias a la participación de todos los

países sudamericanos, SIRGAS, que es el Sistema de Referencia Geocéntrico para las

Américas, con el objetivo de materializar el ITRS en Sudamérica, en 1997 se incluye el

sistema vertical y en 2005 se extiende a todo el continente americano. El proyecto

30




surgió a partir de una Conferencia Internacional convocada por los principales institutos

internacionales de geodesia. En principio se pensó sólo para América del Sur, pero

dada su extensión como marco de referencia, se ha ido posicionando como el sistema

de referencia oficial para todos los países de América. En general el objetivo es

materializar y mantener un sistema de referencia geocéntrico tridimensional de las

Américas, además de un sistema de alturas físicas de consistencia global. Las

iniciativas SIRGAS están encaminadas al mejoramiento continuo de sus componentes

para estar a la vanguardia en los asuntos geodésicos y satisfacer de una manera más

efectiva los requerimientos de sus usuarios.

SIRGAS, como sistema de referencia, se define idéntico al Sistema Internacional

de Referencia Terrestre ITRS (International Terrestrial Reference System) y su

realización es la densificación regional del marco global de referencia terrestre

(International Terrestrial Reference Frame ITRF) en América Latina y El Caribe. Las

coordenadas SIRGAS están asociadas a una época específica de referencia y su

variación con el tiempo es tomada en cuenta ya sea por las velocidades individuales de

las estaciones SIRGAS o mediante un modelo continuo de velocidades que cubre todo

el continente. Las realizaciones o densificaciones de SIRGAS asociadas a diferentes

épocas y referidas a diferentes soluciones del ITRF materializan el mismo sistema de

referencia y sus coordenadas, reducidas a la misma época y al mismo marco de

referencia (ITRF), son compatibles en el nivel milimétrico. La conversión de

coordenadas geocéntricas a coordenadas geográficas se adelanta utilizando los

parámetros del elipsoide SGR80.

La extensión del marco de referencia SIRGAS está dada a través de

densificaciones nacionales, las cuales a su vez sirven de marcos de referencia local.

Las realizaciones de SIRGAS han sido las siguientes: la primera en el año 1995

SIRGAS 95 utilizaba el ITRF94, época 1995.4 y contaba con 58 estaciones ubicadas en

Sudamérica; la segunda en el año 2000 SIRGAS 2000 utilizaba el ITRF2000, época

2000.4 y contaba con 184 estaciones ubicadas en todo el continente Americano. La

precisión de las coordenadas de estas dos realizaciones está entre ±3 ±6 mm. La

tercera realización de SIRGAS es la red SIRGAS de Operación Continua (SIRGAS-

CON). Actualmente está compuesta por más de 300 estaciones GNSS de

31




funcionamiento permanente, de las cuales 58 pertenecen la red global del IGS

(International GNSS Service). SIRGAS-CON es calculada semanalmente por los

centros de procesamiento y combinación de SIRGAS. Las coordenadas y velocidades

finales de las estaciones SIRGAS-CON son puestas a disposición de los usuarios por el

IGS-RNAAC-SIR (IGS Regional Network Associate Analysis Centre for SIRGAS), el cual

opera en el DGFI (Deutsches Geodätisches Forschungs Institut, Munich, Alemania). Las

coordenadas semanales de las estaciones SIRGAS-CON se refieren a la época de

observación y al mismo marco de referencia utilizado por el IGS para el cálculo de las

órbitas precisas finales de los satélites GNSS. Las coordenadas de las soluciones

multianuales se refieren al ITRF vigente y a una época específica.

Dado que los países latinoamericanos están mejorando sus marcos geodésicos

de referencia mediante la instalación de un número mayor de estaciones GNSS de

operación continua y teniendo presente que dichas estaciones deben ser integradas

consistentemente en el marco de referencia continental, la red SIRGAS-CON

comprende dos niveles de clasificación:

Una red de cobertura continental (SIRGAS-CON-C), densificación primaria del ITRF

en Latinoamérica, con estaciones estables, de funcionamiento óptimo, que

garantizan consistencia, perdurabilidad y precisión del marco de referencia a través

del tiempo.

Redes de densificación (SIRGAS-CON-D) que incluyen las estaciones de referencia

no contenidas en la red continental y proveen el acceso al ITRF a nivel local.

Actualmente existen tres redes SIRGAS-CON-D, pero el objetivo a mediano plazo

es que existan tantas como países miembros de SIRGAS, pues dichas redes

equivalen a los marcos nacionales de referencia.

La red SIRGAS-CON-C es procesada semanalmente por el DGFI (Alemania) en

su calidad de centro de análisis IGS-RNAAC-SIR (IGS Regional Network Associate

Analysis Centre for SIRGAS). Las subredes de densificación SIRGAS-CON-D son

calculadas por los Centros Locales de Procesamiento SIRGAS: CEPGE (Ecuador),

CIMA (Argentina), CPAGS-LUZ (Venezuela), IBGE (Brasil), IGAC (Colombia), IGM-Cl

(Chile), IGN-Ar (Argentina), INEGI (México) y SGM-Uy (Uruguay). Estos Centros

32




generan soluciones semanales semilibres (loosely constrained) de las redes SIRGAS-

CON-D, las cuales son combinadas con la red continental SIRGAS-CON-C, asegurando

que las posiciones y velocidades de todas las estaciones (continentales y de

densificación) sean compatibles entre sí. Dicha combinación es efectuada por el DGFI y

el IBGE como Centros de Combinación SIRGAS. La estrategia de procesamiento

garantiza que cada una de las estaciones regionales SIRGAS-CON esté procesada, en

primera instancia, por tres diferentes centros locales de análisis de datos y estas tres

soluciones individuales son las utilizadas por DGFI e IBGE para obtener la solución

combinada.

Los productos finales SIRGAS comprenden: soluciones semanales semilibres

para la integración de SIRGAS-CON en el poliedro global del IGS, coordenadas

semanales ajustadas al ITRF (referidas a la época de observación) para aplicaciones en

América Latina y soluciones multianuales (acumuladas) con coordenadas y velocidades

para aplicaciones prácticas y científicas que requieran de la variabilidad de las

posiciones geodésicas con el tiempo.

II.3 Historia Geodésica de Honduras: Sistemas de referencia

utilizados (locales y globales), Datums: Ocotepeque,

NAD27, Nivelación, Sistema WGS84/SIRGAS.

El 19 de agosto de 1946, el Gobierno de Estados Unidos a través de su Embajada

en Tegucigalpa, propuso al Gobierno de Honduras que participara en el Programa de

Cartografía, Aeronáutica y Topografía. En virtud de los numerosos beneficios que se

esperaban obtener con la recopilación de cartas aeronáuticas y mapas topográficos

exactos, el Gobierno de Honduras participó con el Gobierno de Estados Unidos en este

programa preparando conjuntamente cartografía aeronáutica y topográfica. Esto dio

origen al Instituto Geográfico Nacional el 23 de Noviembre de 1946, cuando mediante

acuerdo E.M.H. N. 61, se creó un departamento geográfico que se denominó Comisión

Geográfica Especial, dependiendo de la Secretaría de Estado en los Despachos de

Guerra, Marina y Aviación, hasta el 30 de junio de 1952, fecha en que pasó a estar

adscrita a la Secretaria de Fomento.

33




A partir del primero de enero de 1957, se elevó a la categoría de Dirección

General de Cartografía, dependiente de la misma Secretaria de Fomento. Y el primero

de enero de 1958, cambió su denominación por la de Instituto Geográfico Nacional,

para entonces dependiendo de la Secretaria de Estado en los Despachos de

Comunicaciones, Obras Públicas y Transporte.

Como parte de los primeros trabajos en materia cartográfica en el país, el Servicio

Geodésico Interamericano (IAGS) del Gobierno de Estados Unidos en la década de

1930 estableció el Datum de Ocotepeque (que se encuentra ubicado a 807m sobre el

nmm, utilizando el elipsoide o esferoide (según terminología de aquel tiempo) de Clarke

de 1866, cuya latitud es 14°26' 20,168'', longitud: 89°11' 33,964'' y con un azimut

inicial: 358°54' 21,79'', y que fue establecido por observaciones astronómicas. Este

Datum sirvió de referencia para el establecimiento de 333 estaciones Geodésicas que

terminó de implantar el Gobierno de los Estados Unidos en el año de 1950.

Posteriormente estas redes fueron nuevamente referenciadas usando el Datum

Norteamericano de 1927, más conocido como NAD 27, el cual utiliza también el

elipsoide de Clarke, constituyendo una prolongación del datum que se encuentra

ubicado en los Estados Unidos. Por lo que Honduras inició utilizando estos dos datum

locales, sirviendo esa red geodésica que estableció Estados Unidos, para apoyar los

levantamientos cartográficos del país. Además se estableció una red de control vertical,

para lo cual se implementó las observaciones de las mareas, poniendo en operación

inicialmente la estación mareográfica de Puerto Cortés en junio de 1948 y

posteriormente las estaciones de Puerto Castilla y de La Ceiba en las fechas de mayo

de 1955 y noviembre de 1958 respectivamente. Sin embargo la estación de Puerto

Castilla dejó de funcionar en septiembre de 1974 cuando fue destruida por el huracán

FIFI, teniendo un tiempo de operación útil de 19.5 años; la estación de La Ceiba

también fue destruida en esa misma fecha, siendo su tiempo útil de operación de 15.7

años y la estación de Puerto Cortés dejó de funcionar en el año 2002, teniendo un

tiempo útil de operación de 54 años.

La nivelación geodésica en Honduras comenzó en el año de 1947, cuando por

primera vez fueron iniciadas las observaciones en el lugar denominado El Espino,

frontera con Nicaragua y se siguieron a lo largo de la carretera con dirección a El

34




Amatillo, frontera con El Salvador. Este trabajo de nivelación fue continuado en 1951

cuando se estableció la primera línea de nivelación partiendo de la estación primaria

mareográfica en Puerto Cortés y que se extendió hacia el sur del país, pasando por

Tegucigalpa. A finales del año 1960 se tenían completados un total de 2,970 kilómetros

nivelados en primer orden, 295 kilómetros en segundo orden y solamente 50 kilómetros

en tercer orden. Y ya a finales de 1979 se tenían 4,903 kilómetros nivelados de primer

orden con enlaces efectuados entre las fronteras internacionales con los países vecinos

de Guatemala, El Salvador y Nicaragua.

Es importante mencionar que en 1959 se iniciaron en Honduras las actividades de

observaciones gravimétricas, con el fin de establecer una Red Gravimétrica de

referencia en Centroamérica, trabajos que fueron auspiciados principalmente por el

Instituto Panamericano de Geografía e Historia. Sin embargo las primeras

observaciones se habían iniciado con anterioridad, así, el año de 1936 ya se habían

establecido 101 estaciones gravimétricas con lectura en ambos lados del círculo del

gravímetro. Sin embargo este programa de gravimetría tuvo su mayor auge en el año de

1969 con la asistencia del Defense Mapping Agency (D.M.A.) y del Servicio Geodésico

Interamericano (IAGS), ya que se logró establecer la Red Gravimétrica Nacional de

Referencia.

A mediados de la década de los 90s con el impulso de la tecnología satelital se

inició el proyecto para establecer la Red Geodésica de Primer Orden en el país, y con la

asesoría del Defense Mapping Agency (D.M.A.) en 1994 se lograron determinar las

coordenadas geocéntricas de 26 estaciones de la Red GPS a nivel nacional utilizando el

Datum WGS84.

Luego del huracán Mitch y considerando lo vulnerable de la zona se vio la

necesidad de contar en la región Centroamericana con estaciones CORS (Continuous

Observation Reference Stations), que son estaciones GPS de medición continua,

estableciéndose la primera en la sede del Instituto Geográfico Nacional ahora Dirección

General de Catastro y Geografía en la ciudad de Tegucigalpa (TEG2). Actualmente la

Dirección General de Catastro y Geografía, que es el ente encargado por Ley de definir

el sistema geodésico del país, ha establecido como base que se trabaje con el Sistema

de Referencia Geocéntrico para las Américas SIRGAS, y se cuenta con cuatro

35




estaciones de medición continúa o estaciones CORS, de éstas solamente una se

encuentra registrada en SIRGAS y es la estación TEG2, las otras tres estaciones se

encuentran ubicadas en las ciudades de San Pedro Sula, Comayagua y Juticalpa; y se

está en proceso de instalar cinco estaciones más en las ciudades de Siguatepeque,

Ceiba, Catacamas, San Lorenzo e Islas del Cisne, y luego iniciar el proceso de registrar

estas ocho estaciones en SIRGAS.

II.4 Diferencias entre países debidas al origen adoptado en cada

país aunque tengan fronteras comunes (Sánchez, 2005)

Uno de los puntos más importantes de utilizar el Sistema de Referencia

Geocéntrico para las Américas, consiste en que las alturas elipsoidales deben referirse

a un datum geodésico geocéntrico. Y SIRGAS va orientado a que los países de América

utilicen un modelo global del geoide y unificado de onda corta a partir de datos de

gravedad terrestres provenientes de todos los países, pero integrados en un solo

cálculo. Las técnicas actuales de posicionamiento proporcionan la altura elipsoidales h

con altas precisiones, rapidez y bajos costos. Infortunadamente, estas alturas no son

‘utilizables’ en la práctica, ya que no dependen del campo de gravedad. Por tanto, las

alturas físicas H (ortométricas) deben continuar en uso.

Figura 14: Diferencias entre alturas ortométricas (con nivelación geométrica y datos de gravimetría) y alturas geométricas

Tal vez en un futuro se llegue a unificar las redes nacionales asignándoles,

también, valores de alturas físicas HN (normales), como producto de la cooperación en

el ámbito de SIRGAS.

36




Las alturas físicas H se obtienen, tradicionalmente, mediante nivelación

geométrica (más los datos de gravimetría, ver figura 14), también son de alta precisión,

más su determinación es dispendiosa y altamente costosa. El uso adecuado de H = h –

N; donde N es la ondulación del geoide, resuelve estos inconvenientes. La combinación

de h y H a través de H = h – N permite el aprovechamiento máximo de las tecnologías

modernas.

La información geoespacial generada hasta finales del siglo pasado está asociada

a H, de allí, su vigencia se mantiene con respecto a las tecnologías modernas si éstas

se relacionan adecuadamente con h a través de la repetida expresión H = h - N. El éxito

de iniciativas de carácter supra-regional (como GGOS, Global Map, CP-IDEA, GSDI,

etc.) se garantiza exclusivamente si éstas se apoyan en un sistema vertical unificado

para todo el mundo (de forma similar al sistema tridimensional ITRF o SIRGAS),

aquellos países o regiones que no se integren al nuevo sistema están condenados al

aislamiento y al consecuente atraso.

Figura 15: Topografía de la superficie del mar

Es necesario explicar que el nivel medio del mar usado como referencia para la

definición de las alturas usadas actualmente NO coincide con el geoide y difiere de unos

países a otros, tal y como se muestra en la figura 15, la Topografía de la superficie del

mar (SSTop) varía entre: -2 m < SSTop < 2 m, lo cual significa que entonces: H ≠ h –

37




N, esto no contradice la hipótesis de que H = h – N* sino que significa que la superficie

de referencia (nmm en mareógrafos) de los sistemas de alturas existentes no están

sobre el mismo nivel (figura 16).

Figura 16: Las altitudes en los países están referidas a diferentes niveles

En la figura 17 se pueden observar las Discrepancias en las alturas niveladas

entre algunos países vecinos en Sur América. Entonces para satisfacer que H = h – N;

las alturas H deberían referirse a una superficie global de referencia (W0), tal y como se

muestra en la figura 18.

Figura 17: Discrepancias entre las alturas niveladas de países vecinos en América del Sur

38




¿Y cuáles son los requerimientos para poder determinar H = h – N?

A nivel continental (global):

Determinación de la superficie global de referencia (Geoide = W0)

Determinación de la SSTop en los mareógrafos de referencia

Ajuste continental (en un sólo bloque) de las redes de nivelación de primer orden

de todos los países

A nivel individual para cada país:

Nivelación geométrica de los mareógrafos de referencia

Nivelación geométrica de las estaciones SIRGAS2000

Nivelación geométrica entre países vecinos

Puesta a disposición de las diferencias de nivel + gravimetría entre los nodos

principales de las redes de nivelación de primer orden, los mareógrafos de

referencia, estaciones SIRGAS2000 y conexiones internacionales.

Mejoramiento del modelo geoidal continental dentro de la Subcomisión de la

IAG: South American Geoid (Dr. Blitzkow)

Determinación de un valor global de referencia W0

Cálculo parcial de la SSTop en los mareógrafos de referencia

Estimación preliminar de términos de transformación entre los mareógrafos de

referencia y el valor W0

Figura 18: Alturas H referidas a una superficie global de referencia (W0)

39




II.5 El modelo EGM2008 referido al sistema WGS84

La ciencia de la Geodesia establece que para poder obtener la representación

del relieve de la superficie terrestre se requiere de definir una ecuación del geoide,

un sistema curvilíneo u, v; ángulo y distancia de la ondulación del geoide; definir la

transformación de la medida del ángulo y distancia u, v; y definir la transformación

de u, v en coordenadas planas. Es necesario en este punto definir nuevamente y

más ampliamente: ¿qué es el geoide? El geoide se puede definir como una

superficie equipotencial de la gravedad que pasa por un determinado punto,

pudiendo definirse ese punto en modo absoluto a través de un mareógrafo, es decir

que cuando se considera el agua de los océanos completamente en reposo, y sujeta

sólo a la gravedad de la tierra, se obtiene una superficie en equilibrio que idealiza

que esta superficie de geoide está referida al nivel medio del mar. Las curvaturas

que presenta el geoide muestran abruptas variaciones de densidades que nos

pueden servir para obtener alturas definidas por el campo de gravedad.

El modelo EGM2008 es el modelo del campo gravitatorio global más moderno

y puede obtenerse en la página:

http://earth-info.nga.mil/GandG/wgs84/gravitymod/egm2008/egm08_gis.html

Este modelo oficial Earth Gravitational Model EGM2008 ha sido publicado y

realizado por el equipo de desarrollo EGM de la National Geospatial-Intelligence

Agency (NGA) de EEUU. Este modelo gravitacional es completo en esféricos

armónicos hasta grado y orden 2159, y contiene los coeficientes extendidos hasta

grado 2190 y orden 2159 lo cual implica que registra el campo gravitatorio hasta

aproximadamente 20 km de longitud de onda. Este modelo ha sido elaborado con

anomalías de gravedad a partir de una rejilla de 5' x 5', cuyos datos proceden de

diferentes fuentes, sobre todo misiones altimétricas (GRACE).

EGM2008 es el modelo a escala mundial más completo y preciso obtenido

hasta el momento. Está disponible en forma de malla de 1' x 1' y de 2.5' x 2.5',

incluso en formato GIS de ESRI, con valores de ondulación sobre WGS84. Un test

con datos GPS/nivelación de más de 12.000 puntos a nivel global ha demostrado

que la precisión de EGM2008 en desviación estándar se encuentra en el orden del

decímetro y mucho mejor en precisión relativa, mejorando con mucho los modelos

http://earth-info.nga.mil/GandG/wgs84/gravitymod/egm2008/egm08_gis.html

40




globales que había hasta el momento (se prevé que la misión GOCE aporte datos

aún más completos y fiables).

Estos errores están computados a nivel global, por lo que sería necesario una

estimación más precisa en una determinada zona con otros datos independientes.

Figura 19: Ondulaciones del geoide provenientes del Modelo Geopotencial de la Tierra, EGM96

(Lemoine et al., 1998).

Entre las aplicaciones del modelo EGM2008 que se mejoraron respecto a los

modelos anteriores están las siguientes:

- Mejora del modelo de geoide global, con la consiguiente influencia de este

aspecto sobre los sistemas cartográficos de representación vigentes (especialmente los

utilizados a escala global).

- Igualmente, la mejora del modelo de geoide da lugar a un datum vertical de

referencia global más preciso, sobre el que referenciar las altitudes cartográficas y

batimétricas en diversos ámbitos científicos (geodesia, geofísica, cartas de navegación,

cartografía convencional, cartas de navegación aérea, etc.).

- Mejora en el cálculo de las órbitas de satélites geodésicos (por ejemplo, los

utilizados para los sistemas GNSS: Galileo, GPS o GLONASS), incluyendo también

aquellas misiones espaciales que requieran precisión en datos de altimetría (TOPEX,

JASON, SAR, etc.).

41




- Otras muchas aplicaciones vienen de la mano de la geología, geofísica,

climatología, meteorología y sobre todo de la oceanografía, ya que el nuevo modelo de

la gravedad terrestre permite a los oceanógrafos comprender con mayor claridad la

dinámica de corrientes y la 'orografía' de la superficie oceánica.

Además con el modelo EGM2008 se permite lo siguiente:

- Tener una mayor comprensión de la parte sólida de la Tierra, básicamente la

detección de densidades anómalas en litosfera y parte superior del manto. Lo cual

puede proporcionar una gran ayuda para la comprensión de los procesos que se

producen en los núcleos de formación de terremotos en las zonas sísmicamente

activas.

- Oceanografía. Permite una mejora en el conocimiento de la circulación oceánica

absoluta y el transporte asociado de masas, del calor y otras propiedades. Esto conlleva

un avance en los modelos del sistema terrestre para el clima y los cambios del nivel del

mar.

- Mejora en la estimación de la dinámica de la capa de hielo polar y cambios en el

volumen a través de la combinación de topografía de la base de las masas de hielo,

obtenida a través de los datos de satélite, y la topografía de la parte superficial de

dichas capas.

- Geodesia.

* Se puede establecer una nueva superficie de referencia para las alturas que sea

global y precisa, eliminando los problemas de conexión entre los diferentes países.

* Permitir la nivelación con GPS.

* Navegación inercial libre de errores producidos por la gravedad.

* Mejora en las órbitas de los satélites.

- Control del cambio del nivel del mar. Ya que permite controlar tanto los

movimientos verticales causados por el deshielo y elevación de las zonas terrestres que

estaban presionadas por estas masas, como la circulación oceánica y los cambios entre

las masas de hielo que influyen directamente en el nivel del mar.

42




II.6 La nivelación, medidas locales de gravedad y

observaciones GNSS para mejorar el modelo del geoide.

II.6.1 Nivelación

La nivelación geométrica se utiliza para determinar alturas utilizando líneas de

visual horizontales entre dos puntos cercanos, donde se ubican estadías verticales,

por lo tanto la diferencia entre lecturas (atrás – adelante), será la diferencia de altura

geométrica, dn, entre estadías (diferencia individual de nivelación), donde el no

paralelismo de las superficies de nivel del campo gravitatorio y la diferencia de altura

geométrica dn puede despreciarse.

Figura 20: Nivelación geométrica

Cuando se determinan altitudes sobre grandes distancias, se usan grandes

cantidades de diferencias individuales dn, para obtener la cota H sobre el geoide. El

método permite obtener diferencias de altura crudas como la sumatoria de las

diferencias individuales: H=Σdn, a lo largo de un determinado número de tramos

que suman una distancia S=Σds.

Para grandes distancias S las superficies H=constante (nivelación

geométrica simple) se desvían considerablemente de las superficies equipotenciales

del campo gravitatorio, desvío más acusado en dirección norte-sur que en la este-

oeste aunque existen otras causas no menores. La desviación global media es de

±30mm, sobre distancias de unos 100 km, aunque las máximas desviaciones

pueden alcanzar el orden de los decímetros. Deben hacerse reducciones del mismo

43




orden de magnitud a los resultados de nivelación geométrica, para convertirlas en

alturas ortométricas, reducciones que vienen de las medidas gravimétricas.

Figura 21: H cota ortométrica, h: altura elipsoidal

II.6.2 Medidas locales de gravedad

Tradicionalmente para medir diferencias de altitudes entre dos puntos se

emplea la nivelación geométrica. En una línea de nivelación cerrada, perfectamente

medida (sin errores), la suma algebraica de las diferencias de altitud dn no es cero,

este error llamado error de cierre aumenta con la distancia entre los puntos a

vincular.

La figura 22 muestra los principios geométricos más relevantes. El incremento

de altitud geométrica dn varía de acuerdo al lugar donde se determine, es decir, por

variar la horizontal (debido a la curvatura del campo gravimétrico) un dn medido en

B donde se concentran las equipotenciales por existir mayor masa, será

geométricamente menor que el mismo dn medido sobre A. Entonces la suma de las

diferencias de altitud niveladas entre A y B no será igual a la diferencia de altitudes

ortométricas (*) HA y HB. La razón es que el incremento de nivelación dh en la

estación i es distinto al correspondiente dHB en la línea de la plomada de B, debido

al no paralelismo de las superficies de nivel. Designando con dW al correspondiente

incremento de potencial W (que sí se mantienen constante):

44




Donde gi es la gravedad en la estación de nivelación y g’ es la gravedad sobre

la línea de la plomada de B en dHB. Por lo tanto:

Figura 22 Principios geométricos

Se está trabajando actualmente mucho en esta técnica para obtener

deformaciones locales de un geoide ya conocido con menor precisión. Para ello se

combinan observaciones GPS con las anomalías gravimétricas para obtener

deformaciones locales más detalladas.

II.6.3 Observaciones GNSS para mejorar el modelo de geoide

Aunque el geoide se define como la superficie equipotencial que más se aproxima

al nivel medio del mar. Esta definición tan sólo tiene un significado físico (nunca

geométrico en el sentido estricto) y por lo tanto el geoide no pasa, en realidad, por el

nivel medio del mar en el mareógrafo asociado como datum altimétrico para la red de

nivelación propia del país. Sin embargo, en el sentido práctico geodésico, se admite

como tal haciendo válidas las altitudes oficiales y las definiciones clásicas.

Al hacer una transformación del sistema GPS a un sistema geodésico local o

nacional, se debe de tener en cuenta este aspecto, ya que una transformación global

clásica tridimensional puede introducir unos errores considerables cuando se trabaja a

distancias grandes. La superficie del geoide puede quedar enmascarada e ignorada

muchas veces cuando se procede a una transformación tridimensional entre el sistema

local antiguo y el global (GNSS), de tal forma que si se conoce el geoide con suficiente

45




precisión, es recomendable establecer una transformación 2D para planimetría y una

1D introduciendo la ondulación del geoide en altimetría.

II.7 Distintos métodos de ajuste.

El planteamiento para ajustar el modelo de geoide es relativamente sencillo, se

cuenta con valores de ondulación en un modelo gravimétrico altamente fiable -()-, y

en determinada zona de trabajo se tienen, además, medidas precisas de altitud

ortométrica () y altitud elipsoidal (h) en un conjunto discreto de puntos, se suponen

suficientes en número y razonablemente bien distribuidos. Si se aplica el modelo a este

conjuntó de puntos se encuentran diferencias (N) entre el modelo y el resultado de la

observación geodésica, diferencias cuyas causas pueden ser múltiples y presentarán,

con toda probabilidad, una tendencia de carácter general y otras locales. Su estudio y

solución se pueden desarrollar en dos fases, una primera de análisis y otra segunda en

la que se propone un modelo específico de aplicación a la zona cubierta por los datos

tratados.

El modelo que se va a utilizar en este estudio es EGM2008, materializado en

una rejilla correspondiente a las coordenadas longitud y latitud, de minuto en minuto, de

la cual se ha extraído una subrejilla limitada a la zona de estudio.

Las pequeñas diferencias (N) están lejos de responder a una función lineal

(plano) y, al igual que otros tipos de datos en geodesia, gravimetría o geofísica, se

puede abordar su modelización por diverso métodos. Entre otros, el doctor Francisco

González Matesanz ha empleado y comparado los de colocación mínimo cuadrática,

rubber siting y superficie de mínima curvatura, llegando a la conclusión de que sus

resultados son de precisión semejante. Para este trabajo hemos optado por este último,

porque “obliga” al paso de la superficie por los puntos-dato y es menos sensible en la

zona exterior y próxima a la envolvente del conjunto de datos (es sabida la falta de

fiabilidad en los casos de extrapolación).

46




El nuevo modelo hallado, sensu estricto, no es un modelo de geoide (por

principio habría de ser global) sino una aproximación práctica que permite relacionar las

altitudes elipsoidales (sistema global) y ortométricas (sistema oficial del país).

II.7.1 Fase primera. Análisis y tendencia lineal de las diferencias

Es importante aclarar en principio que una corrección al modelo en alturas según

un “plano ligeramente inclinado” no modifica la forma de entornos reducidos, es decir

que las ondulaciones del modelo de geoide gravimétrico inicial son las mismas y sólo

cambian ligeramente los valores de N para que se mantenga la forma.

El razonamiento para entender el planteamiento, partiendo del conocimiento en un

conjunto muestra de n puntos con sus altitudes h y H (esto es, h-H=N+N), y se basa en

lo siguiente:

- Imaginemos que las alturas de ondulación (N), tanto los de la rejilla que define el

modelo como los de los puntos dato, las elevamos desde la superficie elipsoidal. Si

unimos los puntos de la rejilla con teselas construimos con gran fidelidad la superficie

geoide según el modelo N(); al elevar los puntos dato rebasarán o quedarán cortos

sin llegar a la superficie (diferencias N en esos puntos, muestra)

- Como se va a trabajar en un área reducida –la cubierta por la muestra- y el radio

terrestre es extremadamente superior no hay inconveniente en repetir la operación sólo

en el área de la muestra suponiéndola plana P1, respetando muy aproximadamente las

distancias que conforman la rejilla, y elevamos los valores de ondulación de los nodos.

- Coincidente con ese plano P1, construimos una rejilla idéntica en un plano

superpuesto P2, y respecto a éste elevamos las ondulaciones de los puntos dato -

()+N = h-H - y si observamos que la tendencia es que los valores de sean de

una entidad parecida rebasando la superficie (o sin llegar a ella) basta desplazar P2

hacia abajo (o hacia arriba) el promedio de esos n valores , lo que es una traslación

de valor c (separación constante de P2 respecto a P1, para que en los puntos de la

muestra se ajusten mejor al geoide.

- Una traslación tal ()+c+ R(φ,λ)= h-H) no afecta a las ondulaciones

implícitas en N(). Ahora, cabe plantearse si la distribución espacial las cantidades

residuales rc() presentan tendencias locales que puedan aproximarse a un modelo

bi-lineal, esto es, además inclinar un poco ese plano P2 descomponiendo la inclinación

47




en una componente Norte-Sur (a) y otra Este-Oeste (b). Tampoco en este caso resultan

modificadas las ondulaciones del modelo original en entornos reducidos.

- Si la retícula formada, respeta las medidas Norte-Sur –ordenada Y=R- y las

Este-Oeste -abscisa X=Rcos-, se puede decir que la corrección queda definida por

la ecuación de un “plano inclinado” (p) en función de unas coordenadas parciales

referidas a un centroide, de coordenadas () en el que se calcula el radio medio de

Gauss R, siendo Q=aY +bX +c la expresión de la corrección. En este caso el plano P2

ya no es rigurosamente paralelo al plano P1 y, por tanto, la corrección varía en función

de la posición, pero aún quedaría un residuo R(φ,λ) no lineal . Este residuo engloba

fuentes diversas: una de ellas puede calificarse de señal mincurv(), en tanto en

cuanto reproduzca variaciones de corto período no representadas en el modelo

gravimétrico original, y otras pueden tener carácter de accidental (r) debido a causas

diversas como imprecisión de las medidas utilizadas para diseñar el modelo y errores

propios de nuestras medidas de las alturas h y H.

- La expresión de la corrección buscada queda así N() + aY + bX +c +

mincurv() + r = h-H, en la que la componente señal viene representada por la

función mincurv() porque en nuestro caso sugerimos hallarla por el procedimiento

denominado “superficie de curvatura mínima”, aunque podría hacerse por otros muchos

como “colocación mínimo cuadrático” o “rubber siting”.

- Surge la pregunta de por qué usar esa corrección intermedia, plano inclinado,

cuando tiene un cierto carácter arbitrario, en tanto en cuanto los tres parámetros (a y b –

giros-, más c translación) son resultado de la distribución de los puntos de la muestra y

su extensión territorial. La respuesta es la siguiente: en primer lugar, porque permite un

análisis previo sobre cómo acuerdan el modelo de partida –en este caso EGM2008– y

las “medidas” independientes de la ondulación (muestra y h-H), en segundo lugar,

permite mejorar la conformación matricial al reducir los valores de las correcciones

(adecúa la solución numérica), y en tercer lugar, el conjunto de valores a modelar, por

ejemplo, con el modelo de “curvatura mínima” presenta la ventaja de que la media de

dichos valores es cero y su distribución geográfica es equilibrada o debe serlo.

La resolución de la corrección Q, denominada como plano inclinado por ser lo que

representa esa función, consiste en hallar los tres parámetros a, b y c, las n ecuaciones

y resolviéndolas por mínimos cuadrados para obtener sus valores más probables y

48




simultáneamente los residuos del ajuste, que no son otros que los n valores R(φ,λ), que

serán modelados en la segunda fase.

[

∆𝑌1 ∆𝑋1 1∆𝑌2 ∆𝑋2 1…

∆𝑌𝑛

…∆𝑋𝑛

…1

] [𝑎𝑏𝑐] = [

(ℎ − 𝐻 − 𝑁)1(ℎ − 𝐻 − 𝑁)2………(ℎ − 𝐻 − 𝑁)𝑛

] + [

𝑅(𝜑, 𝜆)1𝑅(𝜑, 𝜆)2…… .𝑅(𝜑, 𝜆)𝑛

] 𝑎𝑏𝑟𝑒𝑣𝑖𝑎𝑑𝑜 𝐴𝑋 = 𝐾 + 𝑣

𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 ∑𝑅(𝜑, 𝜆)𝑖 = 0 ;

𝑛

1

∑𝑅(𝜑, 𝜆)𝑖 = 0 ;

𝑛

1

∑𝑅2(𝜑, 𝜆)𝑖 = 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜

𝑛

1

Su resolución habitual

𝐴𝑋 = 𝐾 → 𝐴𝑇𝐴𝑋 = (𝐴𝑇𝐾) → ( 𝐴𝑇𝐴)−1( 𝐴𝑇𝐴)𝑋 = ( 𝐴𝑇𝐴)−1(𝐴𝑇𝐾)𝐾

En resumen 𝑿 = ( 𝑨𝑻𝑨)−𝟏

(𝑨𝑻𝑲)𝑲 y 𝑹(𝝋, 𝝀) = 𝑨𝑿 − 𝑲

II.7.2 Fase segunda. Aplicación de Mínima Curvatura, método para

hallar la superficie de corrección

Es la fase primordial en la que se van a recoger las anomalías locales implícitas

en la segunda parte de Q(φ,λ)+ R(φ,λ). De acuerdo con su nombre, este método de

interpolación trata de producir la superficie continua de mínima curvatura sobre la cual

todos los puntos de observación están anclados. Superficies aún menos curvadas son

por ejemplo las superficies de tendencia basadas en una regresión polinomial de

mínimos cuadrados o bien las superficies planas producidas por las redes triangulares

RTI.

El método de la mínima curvatura está inspirado por el principio de las reglas

flexibles en las cuales la presión ejercida en un punto dado produce una reacción

(deformación) que afecta un ambiente local determinado por ciertos puntos fijos o

fronteras. En el espacio 2D, este ambiente local es conocido como una placa o pieza

que forma parte del mosaico total de la superficie interpolada. La unión entre las

diferentes placas del mosaico debe definir una superficie continua, derivable al primer y

al segundo grados (pendiente y curvatura). La aproximación de una superficie tal es una

extensión de las funciones splines, equivalentes matemáticas de las reglas flexibles

utilizadas por los dibujantes. Son funciones polinomiales seccionadas en las cuales

aquellas de tercer grado reproducen bastante bien las deformaciones de las reglas

flexibles. Una vez extendidas al espacio 3D, estas funciones son llamadas bicubic

49




splines o B-splines. Como lo menciona (Briggs, 1974). La aproximación por B-splines o

por la mínima curvatura es una solución de interpolación que, partiendo de un conjunto

de valores (Z) irregularmente distribuidos, tiene como finalidad estimar el conjunto de

los valores (Z*) para los nodos de una grilla regular, de manera que la estimación para

el punto dato a partir de los de la grilla se acerque al valor original observado (Z) cuando

aunque su posición sea más o menos próxima a un nodo de la grilla. Este enfoque de

interpolación no obliga a conocer de manera explícita la función continua en el espacio

3D que reproduce la superficie real. Si bien en primera instancia se debería encontrar

una solución analítica a través del cálculo diferencial, en la práctica se deriva hacia una

solución numérica por diferencias finitas.

Este método de interpolación se basa en el problema de mecánica sobre la

“lámina delgada” según la teoría de la elasticidad. Ésta supone que la lámina se

deforma bajo la acción de fuerzas perpendiculares a ella misma con un criterio de

mínima energía necesitada y por tanto el equilibrio de las tensiones (tangenciales y

ortogonales a la superficie) produce la curvatura adoptada.

Al actuar sobre un cuerpo natural fuerzas o acciones exteriores existen reacciones

interiores que llevan al cuerpo a un estado de equilibrio y, al desaparecer dichas fuerzas

generalmente el cuerpo tiende, al menos parcialmente, a su estado original. Se produce

por tanto una deformación geométrica y posteriormente una alteración mecánica como

consecuencia ligada a las deformaciones producidas. Se puede definir dos tipos de

fuerza, las de masa y las de superficie o contacto. Las primeras actúan sobre los

elementos de masa o carga de un cuerpo, las más habituales serían el propio peso, la

atracción electromagnética o la inercia.

Por lo que el objetivo de aplicar mínima curvatura en esta investigación es

encontrar la superficie correctora que pase por los puntos dato. Este es un problema de

interpolación que busca minimizar los efectos perniciosos de la extrapolación,

ciñéndose al ámbito de la zona cubierta por los puntos dato. Recapitulando, lo que se

busca es una superficie –geoide- que responda a la ecuación N=h-H en el territorio del

país como una función de la posición del punto P(), partiendo de un modelo que se

sabe suficientemente aproximado EGM2008, que representaremos por GM(),

aunque se haya evaluado con anterioridad la cercanía entre la parte izquierda de la

fórmula (modelo) y la parte derecha (observación). Una primera aproximación es el de

50




la tendencia general media según el denominado “plano inclinado” Q() la cual no

supone cambio de forma para GM() como ya se indicó en el apartado anterior.

Queda pues una segunda parte como superficie residual R() que es la más

importante del método, porque encierra anomalías locales no representadas en el

modelo de partida. Ambas correcciones son pequeñas, constituyen el objetivo y

permiten formular el modelo modificado, esto es, (φ,λ)=GM(φ,λ)+Q(φ,λ)+R(φ,λ),

resultando la suma de los dos últimos términos la diferencia entre el modelo y la

observación

Si bien el primer término GM() se puede definir como función continua,

mediante un desarrollo en serie de armónicos esféricos, la forma práctica de uso más

habitual es por valor, mediante un conjunto discreto de puntos en forma de matriz con

un paso fijo en longitud g y otro paso igualmente fijo en latitud h. La forma de elegir el

segundo término Q() a partir de un conjunto discreto de puntos Pi i=1 … n

condiciona fuertemente el sumando R() que se aborda en esta segunda fase. Como

se trata de modelar las diferencias, implícitas en el conjunto de ambas, podría no haber

dividido las diferencias en dos sumandos y buscar una función única, sin embargo su

diferenciación presenta una pequeña ventaja desde el punto de vista operativo. Es más,

cuando se dispone de gran diversidad de datos, incluyendo un número de anomalías

gravimétricas elevado, a veces, se plantea también hallar la función de anomalías como

un desarrollo en serie.

No es nuestro caso, pues se cuenta exclusivamente con un conjunto discreto de

puntos de los que se conocen las dos altitudes h y H, a partir de los cuales es necesario

evaluar para cada nodo de la matriz inicial EGM2008 las funciones Q() y R()

obteniendo sendas matrices con el mismo paso de rejilla de EGM2008, permitiendo la

suma directa de las tres. Como Q() es la ecuación de un plano, y por tanto continua,

esto no presenta dificultad, pero la resolución de la expresión R() por el método de

curvatura mínima, en el espacio que nos ocupa, puede aconsejar su evaluación con

paso de grilla diferente. Esta circunstancia unida a la necesidad de obtener los valores

GM() en los puntos dato nos sugiere un método de interpolación usando rejilla

regular, el cual se desarrolla en el apartado siguiente (II.7. 3).

51




Por otro lado, es conveniente expresar Q directamente en función de la latitud y la

longitud, una vez calculados los parámetros a, b y c, facilitando así lo dicho en el párrafo

anterior, Para ello se harán las sustituciones siguientes en la expresión aY+bX+c:

siendo las coordenadas del centroide empleado 𝜑0= 1

𝑛𝛴𝜑; 𝜆0=

1

𝑛𝛴𝜆; Siendo el radio

medio de Gauss en dicho punto 𝑅0= √𝑀0𝑁0; y el del paralelo 𝑝0 = 𝑅0 cos𝜑0 se

sustituyen dichos valores en los coeficientes de la expresión anterior 𝛥𝑌 =

(𝜑 − 𝜑0)𝑅0 𝜋 180 ⁄ y 𝛥𝑋 = (𝜆 − 𝜆0)𝑝0𝜋/180 con lo que se llega a esta nueva expresión

𝑸(𝝋, 𝝀) = 𝒒𝝋 + 𝒓𝝀 + 𝒄 − 𝒒𝝋𝟎 − 𝒓𝝀𝟎 = 𝒒𝝋 + 𝒓𝝀 + 𝑪

Siendo los nuevos parámetros 𝒒 = 𝒂𝑹𝟎 𝝅 𝟏𝟖𝟎 , 𝒓 = ⁄ 𝒃𝒑𝟎𝝅/𝟏𝟖𝟎 y 𝑪 = 𝒄 − 𝒒𝝋𝟎 − 𝒓𝝀𝟎,

y aclarados estos aspectos precedentes vamos a entrar en la parte principal de esta

segunda fase.

Entre los diferentes métodos de interpolación, el de “curvatura mínima” es de los

más eficaces para su aplicación, cuando se trata de la búsqueda en continuo de

diversas magnitudes geofísicas cuyo conocimiento es, de forma discreta, por campañas

de medida con mayor o menor densidad de puntos para cubrir una determinada área (p.

ej. anomalías gravimétricas, campañas de gravimetría o magnetismo aéreas, etc.). En

nuestro caso, el hecho de que la magnitud de las ondulaciones es escasa en términos

relativos (menor de 100 m en relación al radio medio terrestre) y presenta una variación

suave, con gradientes moderados, y más aún, cuando se trata de modelar una parte

menor de la ondulación, esto es, las anomalías locales implícitas en R(), hace que el

método de “curvatura mínima” sea especialmente indicado al caso.

El método consiste en contemplar desde una perspectiva diferencial, que los

desplazamientos que producen las formas curvas de esa hipotética “lámina flexible”

sean iguales a las observaciones Z en los puntos donde se conocen. Sean u el

desplazamiento, (x, y) las variables espaciales y fi las “fuerzas” que actúan en los n

puntos dato (xi, yi), en los cuales wn son las observaciones (en nuestro caso el

desplazamiento Z).

La condición es:

52




𝜕4𝑢

𝜕𝑥4+ 2

𝜕4𝑢

𝜕2𝑥𝜕2𝑦+

𝜕4𝑢

𝜕𝑦4= {

𝑓𝑛 𝑥 = 𝑥𝑛; 𝑦 = 𝑦𝑛

0 𝑥 ≠ 𝑥𝑛; 𝑦 ≠ 𝑦𝑛

Expresión que corresponde a una función bi-armónica

La solución de esta ecuación debe abordarse por trozos con ajuste de polinomio

de tercer orden. Como condición de contorno es adecuado dejar los bordes libres de

forma que la tendencia entre el borde y las observaciones tienda a extenderse como un

plano; y en los extremos o bordes la “fuerza” es cero y también es nulo el momento

flector en la línea tangencial. Estas condiciones vienen representadas por la condición

𝜕

𝜕𝑥(𝜕2𝑢

𝜕𝑥2+

𝜕2𝑢

𝜕𝑦2) = 0

Cuando la normal al borde está en la dirección x. Otra condición de frontera es que se

cumpla en los puntos dato 𝑢(𝑥𝑛, 𝑦𝑛) = 𝑤𝑛. Estas dos condiciones de contorno y la

condición principal han de resolverse numéricamente.

Partiendo de la expresión de la curvatura total, representada en la cuadratura

siguiente, en Briggs (1974) se puede seguir el desarrollo de las expresiones para

resolver por diferencias finitas el problema planteado, tanto para los puntos de malla,

donde raramente coincidirá un punto dato, como en aquellos nodos donde radique uno

de esos puntos o se ubique muy próximo a él.

𝐶(𝑢) = ∬(𝜕2𝑢

𝜕𝑥2+

𝜕2𝑢

𝜕𝑦2)

2

𝑑𝑥𝑑𝑦

La máxima virtualidad radica en aplicar las expresiones en diferencias finita

cubriendo la totalidad de los nodos, y reiterar el proceso hasta que en dos pases

completos sucesivos la modificación en todos los nodos permanezca inferior a un ínfimo

umbral prefijado, momento en el que se considera alcanzada la convergencia del

proceso.

La matriz de “correcciones” está definida por una malla de n por m nodos. Los

“genéricos” -interiores-, son los centrales que se encuentran sobre el rectángulo rojo o

en su interior. Caso A, se da un total (n*m-4n-4m-16) nodos. Se completa con los de

53




los dos rectángulos externos: el de contorno con línea negra continua y los del

rectángulo intermedio de trazos. Los primeros se resumen en los casos B (4), C y C’

(8), D (2n+2m -16), en total 2(n+m)-4

En nodos interiores, sin dato, la condición está representada por la ecuación

biarmónica como se escribe abajo y durante el proceso iterativo que va actualizando el

valor de uij en función de los de su entorno. Los puntos de malla con un punto dato en

su inmediación tiene un tratamiento distinto según se describe más adelante.

𝟐𝟎𝑢𝒊𝒋 + 𝑢𝒊𝒋+𝟐 + 𝑢𝒊𝒋−𝟐 + 𝑢𝒊+𝟐𝒋 + 𝒖𝒊−𝟐𝒋 + 𝟐(𝒖𝒊−𝟏𝒋+𝟏 + 𝒖𝒊−𝟏𝒋−𝟏 + 𝒖𝒊+𝟏𝒋+𝟏 + 𝒖𝒊+𝟏𝒋−𝟏)

− 𝟖(𝒖𝒊𝒋+𝟏 + 𝒖𝒊𝒋−𝟏 + 𝒖𝒊+𝟏𝒋 + 𝒖𝒊−𝟏𝒋) = 𝟎

Como puede apreciarse en el gráfico los 13 puntos tienen un círculo en cuyo

interior figura el coeficiente en la expresión de condición con el signo, lo que permite

despejar el valor a actualizar. De igual modo se pueden escribir las expresiones de los

nodos de la periferia y los del recinto a trazos

Cálculo ui+1j+1 cuando el correspondiente punto O de la malla tiene en su

proximidad un “punto dato” P en el cual se conoce la corrección uP (ver Briggs p. 42 y

43). Utilizamos unas coordenadas locales u, v con un criterio semejante al que

empleamos más adelante para interpolar en la rejilla una vez calculada ésta. Aquí, los

54




ejes locales (móviles) u, v se hacen coincidir en el cruce O donde se pretende hallar el

valor u. La condición exige hallar B1 a B5

[

𝑢𝑎

𝑣𝑎

𝑢𝑎2

𝑢𝑎𝑣𝑎

𝑣𝑎2

𝑢𝑏

𝑣𝑏

𝑢𝑏2

𝑢𝑏𝑣𝑏

𝑣𝑏2

𝑢𝑐 𝑢𝑑 𝑢𝑃

𝑣𝑐 𝑣𝑑 𝑣𝑃

𝑢𝑐2 𝑢𝑑

2 𝑢𝑃2

𝑢𝑐𝑣𝑐

𝑣𝑐2

𝑢𝑑𝑣𝑑

𝑣𝑑2

𝑢𝑃𝑣𝑃

𝑣𝑃2 ]

[ 𝐵1

𝐵2

𝐵3

𝐵4

𝐵5]

=

[ 00202]

Son los parámetros resultantes de la condición de mínima curvatura en esa

parte y que la superficie pase los cinco puntos a, b, c, d, P; los dos primeros apoyan la

tendencia en dirección v y los dos siguientes lo hacen en la dirección u y la proximidad

de P a O, esto es, las coordenadas parciales de P hacen el resto. Al igual que ocurre

con los restantes nodos, el valor hallado en cada iteración varía al hacerlo los cuatro

primeros puntos aunque el peso del valor conocido en el punto dato P sea superior.

[ 𝐵1

𝐵2

𝐵3

𝐵4

𝐵5]

=

[

𝑢𝑎

𝑣𝑎

𝑢𝑎2

𝑢𝑎𝑣𝑎

𝑣𝑎2

𝑢𝑏

𝑣𝑏

𝑢𝑏2

𝑢𝑏𝑣𝑏

𝑣𝑏2

𝑢𝑐 𝑢𝑑 𝑢𝑃

𝑣𝑐 𝑣𝑑 𝑣𝑃

𝑢𝑐2 𝑢𝑑

2 𝑢𝑃2

𝑢𝑐𝑣𝑐

𝑣𝑐2

𝑢𝑑𝑣𝑑

𝑣𝑑2

𝑢𝑃𝑣𝑃

𝑣𝑃2 ]

−1

[ 00202]

[ 𝐵1

𝐵2

𝐵3

𝐵4

𝐵5]

=

[

−1 −1 0 1 𝑢𝑃

1 0 −1 −1 𝑣𝑃

1 1 0 1 𝑢𝑃2

−1 0 0 −1 𝑢𝑃𝑣𝑃

1 0 1 1 𝑣𝑃2 ]

−1

[ 00202]

Y el valor buscado resulta ser:

𝑢𝑖+1𝑗+1

=𝑢𝑎𝐵1 + 𝑢𝑏𝐵2 + 𝑢𝑐𝐵3 + 𝑢𝑑𝐵4 + 𝑢𝑃𝐵5

𝐵1 + 𝐵2 + 𝐵3 + 𝐵4 + 𝐵5

El programa Surfer incluye diversos métodos de interpolación, entre ellos

el de mínima curvatura en el cual, al parecer, sigue el enfoque de Briggs, es por

eso que se ha elegido para la aplicación práctica con los datos de una parte de

U

V

(-1, -1)

a

b

c d

0

P

(-1, 0)

(-1, 1)

(0, -1) (1, -1)

(u, v)

55




las líneas de nivel en los departamentos de Atlántida y Yoro. En el apartado

correspondiente se proporcionan los criterios adoptados y se analiza el

resultado, tanto en sus fases como las conclusiones sobre el resultado obtenido.

II.7.3 Interpolación en una malla de paso regular

La forma más sencilla es la interpolación bilineal que es suficiente cuando la malla

es bastante espesa porque puede considerarse “plana” la superficie interior a cada

tesela. Cuando es insuficiente es menester acudir a una interpolación bi-cuadrática o

bicúbica. También se puede orlar la tesela, en cuyo interior se encuentre el punto

incógnita, con las ocho circundantes para hacer pasar por los dieciséis puntos una

superficie polinómica de orden tres en ambas direcciones. El polinomio completo será

de la forma

𝑍 = 𝑎00 + 𝑎10𝑋 + 𝑎01𝑌 + 𝑎20𝑋2 + 𝑎11𝑋𝑌 + 𝑎02𝑌

2 + 𝑎30𝑋3 + 𝑎21𝑋

2𝑌 + 𝑎12𝑋𝑌2 + 𝑎03𝑌3 + 𝑎31𝑋

3𝑌

+ 𝑎22𝑋2𝑌2 + 𝑎13𝑋

1𝑌3 + 𝑎32𝑋3𝑌2 + 𝑎23𝑋

2𝑌3 + 𝑎33𝑋3𝑌3

y para su aplicación será necesario calcular los 16 parámetros o coeficientes que lo

definen. Se resuelve planteando un sistema lineal de ecuaciones conociendo el valor de

la función en los 16 puntos. Esto es especialmente indicado para interpolar en una malla

regular cuyas separaciones entre filas y columnas sean g y h, dos valores fijos. Si

ambos son suficientemente parecidos basta con escalar los valores de X e Y para

convertirlos en los índices de la matriz y considerar los incrementos de fila y columna

como la unidad. Los ejes U y V móviles se consideran centrados en una submalla de

cuatro por cuatro puntos en torno al punto incógnita.

56




Un punto cualquiera P(X, Y) tendrá coordenadas referidas al origen de la malla

(X0, Y0) que serán [(X-X0), (Y-Y0)] y para referirlas a los ejes centrales de la submalla

local de 4x4 las dividiremos por los módulos respectivos g y h resultando ser las

columna y fila correspondientes a la esquina SW de la submalla, cuyas coordenadas en

este sistema local son u=-1.5 y v=-1.5 (ver figura superior). Las partes enteras de las

divisiones (X-X0)/g, y (Y-Y0)/h son los índices (i, j) que apuntan al lugar donde se

encuentra el origen de esta rejilla móvil, y las coordenadas (u, v) de P serán las partes

fraccionarias menos 0.5. De este modo se pueden extraer los 16 valores de Z ([i, j : i+3,

j+3]; sub-malla) a una matriz auxiliar y substituir las coordenadas (X, Y), escaladas por g

y h, por las coordenadas (u, v). La forma matricial de escribir el polinomio que

representa la superficie que pasa por los 16 puntos, nos va a permitir definirla con

carácter general de esta forma.

𝑍 = [1 𝑣 𝑣2𝑣3] [

𝑎00 𝑎10

𝑎01 𝑎11

𝑎20 𝑎30

𝑎21 𝑎31𝑎02 𝑎12

𝑎03 𝑎13

𝑎22 𝑎32

𝑎23 𝑎33

] [

1𝑢𝑢2

𝑢3

]

[

𝑍11 𝑍12 𝑍13 𝑍14

𝑍21 𝑍22 𝑍23 𝑍24

𝑍31 𝑍32 𝑍33 𝑍34

𝑍41 𝑍42 𝑍43 𝑍44

]

𝑇

=

[ 1 𝑣1

1 𝑣12 𝑣1

3

1 𝑣21 𝑣2

2 𝑣23

1 𝑣31 𝑣3

2 𝑣33

1 𝑣41 𝑣4

2 𝑣43]

[

𝑎00 𝑎10

𝑎01 𝑎11

𝑎20 𝑎30

𝑎21 𝑎31𝑎02 𝑎12

𝑎03 𝑎13

𝑎22 𝑎32

𝑎23 𝑎33

]

[ 1 1𝑢1

1 𝑢21

1 1𝑢3

1 𝑢41

𝑢12 𝑢2

2

𝑢13 𝑢2

3

𝑢32 𝑢4

2

𝑢33 𝑢4

3]

Se sustituyen las coordenadas (u, v) que son las mismas en todos los casos y

están indicadas en el gráfico anterior:

57




[

𝑍11 𝑍12 𝑍13 𝑍14

𝑍21 𝑍22 𝑍23 𝑍24

𝑍31 𝑍32 𝑍33 𝑍34

𝑍41 𝑍42 𝑍43 𝑍44

]

𝑇

= [

1 − 1.5 −1.52−1.53

1 − 0.5 −0.52−0.53

1 + 0.5 +0.52+0.53

1 + 1.5 +1.52+1.53

] [

𝑎00 𝑎10

𝑎01 𝑎11

𝑎20 𝑎30

𝑎21 𝑎31𝑎02 𝑎12

𝑎03 𝑎13

𝑎22 𝑎32

𝑎23 𝑎33

] [

1 1−1.5 −0.5

1 1+0.5 +1.5

−1.52 −0.52

−1.53 −0.53+0.52 +1.52

+0.53 +1.53

]

Se puede expresar de forma reducida como

𝑍𝑇 = 𝑉𝐴𝑈, 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑉 = 𝑈𝑇 𝑦 𝑝𝑜𝑟 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑈−1 = [𝑉−1] 𝑇, y siendo necesario

conocer la matriz de coeficiente A para aplicar la fórmula en P (u, v), para resolver basta

con pre multiplicar la expresión por la inversa V-1 y pos multiplicarla por U-1

𝐴 = 𝑉−1𝑍𝑇𝑈−1 ===> 𝑧 = [1 𝑣 𝑣2𝑣3] [

𝑎00 𝑎10

𝑎01 𝑎11

𝑎20 𝑎30

𝑎21 𝑎31𝑎02 𝑎12

𝑎03 𝑎13

𝑎22 𝑎32

𝑎23 𝑎33

] [

1𝑢𝑢2

𝑢3

]

De este modo se hallan, como se indicó anteriormente, los valores de ondulación

que corresponden a los puntos dato según EGM2008 y, también posteriormente,

calcular los valores de corrección cuando el paso de malla resultante del proceso de

mínima curvatura no coincide exactamente con el de EGM2008, tal y como se

representa en la figura siguiente:

En el caso concreto de aplicación a la zona de Atlántida-Yoro se ha tomado la

precaución de estimar los límites y paso tales que no haya necesidad de recurrir a un re

muestreo de la superficie resultado.

+ + +

+ + + +

+ + + +

+ + + +

58




III. CAPÍTULO III: METODOLOGÍA

III.1 Antecedente. Red Geodésica de Tegucigalpa

El Proyecto de la Red de Tegucigalpa se ejecutó en conjunto con la Universidad

Nacional Autónoma de Honduras, el Instituto de la Propiedad de Honduras, la

Universidad de Alcalá de España y la Comunidad de Madrid; este consistió en

establecer una red geodésica en Tegucigalpa utilizando 22 vértices, de los cuales 9

tenían altura ortométrica, lo que permitió usar el modelo EGM2008 y realizar un ajuste

de mínimos cuadrados corrigiendo el modelo con un plano ligeramente inclinado en las

direcciones norte-sur y este-oeste. Análisis del cual se obtuvo la siguiente ecuación

para obtener las ondulaciones del geoide en esa zona de influencia:

Nmodificada = NEGM2008 + 0.146 +1.3619E-05(Norte - 1557067.04) +1.0918E-05(Este -

478068.69)

Teniendo este antecedente, los nuevos cálculos en una zona al norte de

Honduras nos permitirá comparar ambos resultados y poder establecer qué tan efectivo

resulta corregir el modelo EGM2008 con el método de plano inclinado y, sobre todo,

completado con el de mínima curvatura. Dada la pequeña extensión de la red de

Tegucigalpa se consideró práctico establecer la fórmula de aplicación a las

coordenadas planas (UTM), pero en el presente trabajo y de cara a su futura ampliación

se ha realizado para aplicación a las coordenadas geodésicas.

III.2 Investigación de la documentación sobre bancos de nivel

en Atlántida y Yoro.

Para dar inicio a esta actividad fue necesario recopilar la información sobre las

líneas de nivelación históricas para los departamentos de Atlántida y Yoro (ver mapa,

apéndice X.1.). Se utilizó la cartografía antigua y se revisó la documentación existente

en el Archivo Técnico del antiguo Instituto Geográfico Nacional de Honduras, ahora

Dirección General de Catastro y Geografía, donde se encontró las reseñas de los

bancos de nivelación de las líneas de las carreteras principales en estos dos

departamentos (ver figura 23). Se pudieron recolectar un total de 360 monografías de

59




bancos de nivel en las líneas carreteras principales del departamento de Atlántida y un

total de 200 monografías del departamento de Yoro

Sin embargo, estas reseñas presentan el inconveniente de que son inadecuadas

para propósitos de recuperación de las marcas, ya que con la información sobre su

posición es insuficiente para la localización rápida de los bancos de nivel sobre el

terreno (aún y cuando la señal no haya desaparecido) debido a que no contienen las

coordenadas de los bancos de nivel.

III.3 Primer gira de campo

Para poder identificar estos banco de nivel en campo, fue necesario planificar dos

giras de campo, la primera para realizar un reconocimiento de los bancos de nivel

existentes en los departamentos de Atlántida y Yoro, y con estos construir una base de

datos preliminar que permitiera identificar cuántos de esos bancos de nivel reconocidos

eran aptos para medir con GPS e identificar unas coordenadas preliminares que nos

permitieran mapearlos. Esta gira se llevó a cabo en el período comprendido del 3 al 13

Figura 23: Reseña de un Banco de Nivel en el departamento de Atlántida

60




de diciembre del año 2012 y en ella participaron 6 empleados de la Dirección General

de Catastro y Geografía, organizados en dos brigadas de campo, cada una integrada

por dos técnicos de campo de la Gerencia de Geodesia y un motorista. Se asignó una

brigada para el reconocimiento de los bancos de nivel del departamento de Atlántida y

otra brigada para el reconocimiento de los bancos de nivel del departamento de Yoro

(ver anexo fotográfico en el apéndice IX.4.1). En esta gira se logró identificar 55 bancos

de nivel en el departamento de Atlántida, de los cuales los 55 eran aptos para medir

con equipo GPS y se encontraron 73 bancos de nivel en el departamento de Yoro,

de los cuales 56 eran aptos para medir con equipo GPS (ver figura 24). Y se aprovechó

para tomar unas coordenadas preliminares de los bancos de nivel, utilizando

navegadores, para facilitar los trabajos de campo futuros.

Figura 24: Imagen de los bancos de nivel reconocidos en los departamentos de Atlántida y Yoro

Posteriormente se registraron estos bancos de nivel en la base de datos

preliminar mencionada, y se mapearon con sus coordenadas preliminares, a fin de

poder seleccionar en gabinete cuales serían los bancos de nivel a medir para poder

realizar el análisis espacial y aplicar el modelo de corrección de mínima curvatura

(Tabla #1 y 2). Luego se seleccionaron sólo 15 bancos de nivel para este propósito,

ubicados 7 de ellos en el departamento de Atlántida y 8 en el departamento de Yoro,

que se consideró un número suficiente para el fin perseguido y aceptable desde el

punto de vista económico.

61




Tabla 1: Bancos de nivel reconocidos en el departamento de Atlántida (coordenadas provisionales)

No. BM

COORDENADAS UTM ALTURA Latitud Longitud

X Y Ortomé-

trica

Apto para medir con

GPS

Está en buenas

condiciones º º

1 D-23-I 528,206.46 1743,573.40 16.5770 SI SI 15.770556 -86.73667

2 F-23-I 530,912.42 1744,775.25 6.7673 SI SI 15.781389 -86.71139

3 G-23-I 532,341.02 1744,439.27 14.8061 SI SI 15.778333 -86.69806

4 L-23-I 539,211.84 1745,648.48 18.8201 SI SI 15.789167 -86.63389

5 Q-23-I 545,074.29 1744,952.73 20.7941 SI SI 15.782778 -86.57917

6 S-23-I 548,262.14 1742,931.37 31.5070 SI SI 15.764444 -86.54944

7 V-23-I 552,374.93 1740,113.68 21.0978 SI SI 15.738889 -86.51111

8 A-24-I 553,101.02 1735,045.49 97.1647 SI SI 15.693056 -86.50444

9 B-24-I 553,729.23 1733,725.73 100.9681 SI SI 15.681111 -86.49861

10 C-24-I 554,387.06 1732,498.23 100.0129 SI SI 15.67 -86.4925

11 D-24-I 555,697.35 1732,317.04 106.7221 SI SI 15.668333 -86.48028

12 F-24-I 558,885.24 1731,341.82 132.4943 SI SI 15.659444 -86.45056

13 K-24-I 562,436.41 1728,278.61 175.2227 SI SI 15.631667 -86.4175

14 M-24-I 564,555.31 1726,563.81 209.0676 SI SI 15.616111 -86.39778

15 N-24-I 565,897.69 1725,738.02 225.4740 SI SI 15.608611 -86.38528

16 S-24-I 570,074.52 1723,200.11 139.2658 SI SI 15.585556 -86.34639

17 C-114-I 521,036.06 1743,289.05 9.4739 SI SI 15.768056 -86.80361

18 D-114-I 519,846.71 1742,366.20 10.5125 SI SI 15.759722 -86.81472

19 F-114-I 517,318.12 1741,565.25 11.0779 SI SI 15.7525 -86.83833

20 K-114-I 512,736.71 1739,687.95 13.1873 SI SI 15.735556 -86.88111

21 L-114-I 511,517.40 1738,120.29 22.3313 SI SI 15.721389 -86.8925

62




No. BM


X Y

Ortomé-trica

Apto para medir con

GPS

Está en buenas

condiciones

º º

22 P-114-I 507,351.40 1736,582.29 25.1091 SI SI 15.7075 -86.93139

23 J-115-I 481,895.27 1725,312.10 44.3674 SI SI 15.605556 -87.16889

24 K-115-I 480,584.87 1725,098.10 45.8293 SI SI 15.603611 -87.18111

25 M-115-I 476,772.70 1724,517.88 50.3394 SI SI 15.598333 -87.21667

26 N-115-I 475,283.63 1724,396.54 48.4110 SI SI 15.597222 -87.23056

27 P-115-I 473,824.85 1724,736.15 61.0364 SI SI 15.600278 -87.24417

28 Q-115-I 472,425.93 1725,290.85 69.1380 SI SI 15.605278 -87.25722

29 R-115-I 471,533.17 1725,752.83 77.9670 SI SI 15.609444 -87.26556

30 S-115-I 471,534.90 1727,135.47 SI SI 15.621944 -87.26556

31 Y-115-I 465,195.92 1729,233.61 25.5326 SI SI 15.640833 -87.32472

32 Z-115-I 464,542.06 1729,972.04 23.2038 SI SI 15.6475 -87.33083

33 A-116-I 463,948.47 1731,140.55 23.0770 SI SI 15.658056 -87.33639

34 C-116-I 464,429.46 1734,120.20 26.7026 SI SI 15.685 -87.33194

35 G-116-I 464,407.95 1739,374.36 16.9100 SI SI 15.7325 -87.33222

36 H-116-I 465,213.01 1740,387.07 11.7611 SI SI 15.741667 -87.32472

37 K-116-I 462,864.99 1742,142.19 13.9578 SI SI 15.7575 -87.34667

38 N-116-I 458,495.32 1744,577.17 12.0158 SI SI 15.779444 -87.3875

39 P-116-I 457,218.22 1745,777.88 8.5001 SI SI 15.790278 -87.39944

40 S-116-I 458,080.21 1745,346.09 5.2711 SI SI 15.786389 -87.39139

41 T-116-I 453,527.15 1744,863.39 7.6870 SI SI 15.781944 -87.43389

42 S-116-A 451,322.21 1743,362.44 5.5119 SI SI 15.768333 -87.45444

43 V-116-I 446,022.78 1742,083.96 6.6585 SI SI 15.756667 -87.50389

44 W-116-I 444,978.90 1741,103.22 6.2257 SI SI 15.747778 -87.51361

63




No. BM


X Y

Ortomé-trica

Apto para medir con

GPS

Está en buenas

condiciones

º º

45 X-116-I 443,488.24 1740,000.73 13.0771 SI SI 15.737778 -87.5275

46 Y-116-I 441,821.71 1740,004.95 13.0748 SI SI 15.737778 -87.54306

47 Z-116-I 440,034.68 1739,456.53 17.2476 SI SI 15.732778 -87.55972

48 A-117-A 438,722.40 1738,415.33 18.8502 SI SI 15.723333 -87.57194

49 B-117-A 437,497.50 1736,728.69 23.0530 SI SI 15.708056 -87.58333

50 D-117-A 436,417.05 1733,536.08 21.7088 SI SI 15.679167 -87.59333

51 G-117-A 434,203.80 1729,947.32 SI SI 15.646667 -87.61389

52 H-117-A 433,932.01 1728,626.84 SI SI 15.634722 -87.61639

53 K-117-A 434,340.81 1725,829.51 129.5826 SI SI 15.609444 -87.6125

54 L-117-A 434,723.97 1724,445.70 158.3320 SI SI 15.596944 -87.60889

55 N-117-A 434,002.86 1722,235.44 188.9550 SI SI 15.576944 -87.61556

Tabla 2: Bancos de nivel reconocidos en el departamento de Yoro

No. BM


X Y Ortométrica

Apto para medir con

GPS Está en buenas

condiciones º º

1 J-1 401,250.18 1669,592.79 62.8620 SI SI 15.10000 -87.91893

2 J-2 401,420.62 1671,447.11 77.3042 NO SI 15.11677 -87.91742

3 J-3 403,031.77 1671,618.66 58.4432 SI SI 15.11838 -87.90243

4 J-5 403,278.34 1673,295.07 47.6272 SI SI 15.13354 -87.90020

5 J-8 405,001.90 1678,796.59 45.5069 NO SI 15.18334 -87.88437

64




No. BM


X Y

Ortomé-

trica

Apto para medir con

GPS

Está en buenas

condiciones

º º

6 J-9 404,942.60 1678,966.14 51.6793 SI SI 15.18487 -87.88493

7 J-10 404,958.08 1680,653.02 44.9889 SI SI 15.20012 -87.88485

8 A-48 406,659.28 1680,749.75 NO SI 15.20106 -87.86901

9 J-12 406,725.00 1680,920.03 57.7128 SI SI 15.20260 -87.86841

10 J-13 406,764.61 1682,701.45 56.1045 SI SI 15.21871 -87.86811

11 J-14 406,704.65 1684,502.33 53.5303 SI SI 15.23498 -87.86873

12 J-15 406,822.90 1686,251.80 52.8502 SI SI 15.25080 -87.86769

13 J-16 406,913.34 1686,416.45 66.4627 SI SI 15.25229 -87.86686

14 J-17 408,495.28 1688,164.44 50.4774 SI SI 15.26815 -87.85219

15 J-20 410,412.22 1691,773.02 58.8199 SI SI 15.30084 -87.83447

16 J-21 410,532.50 1691,951.40 63.2526 SI NO 15.30246 -87.83336

17 J-26 414,086.17 1699,177.70 50.5905 SI SI 15.36791 -87.80051

18 N-118-A 414,099.34 1702,973.12 28.7285 SI SI 15.40222 -87.80051

19 M-118-A 414,145.07 1704,611.04 26.7827 SI SI 15.41703 -87.80014

20 L-118-A 415,685.07 1704,734.43 32.2362 SI SI 15.41819 -87.78580

21 J-118-A 415,856.79 1706,709.27 34.0916 SI SI 15.43605 -87.78426

22 H-118-A 415,936.37 1708,427.88 30.7441 SI SI 15.45159 -87.78358

23 G-118-A 417,475.49 1708,547.39 34.9370 SI SI 15.45272 -87.76924

24 F-118-A 417,565.90 1710,245.06 32.2593 SI SI 15.46807 -87.76845

25 E-118-A 419,258.48 1711,929.08 39.5833 SI SI 15.48335 -87.75273

26 D-118-A 419,412.27 1712,022.26 40.2293 NO SI 15.48419 -87.75130

27 C-118-A 421,156.29 1712,104.71 31.0913 SI SI 15.48499 -87.73504

28 B-118-A 421,338.70 1712,119.45 30.2539 SI SI 15.48513 -87.73334

29 A-118-A 423,003.80 1712,129.49 43.0384 SI NO 15.48527 -87.71782

30 Z-117-A 424,721.47 1712,180.35 50.9505 SI SI 15.48579 -87.70181

65




No. BM


X Y

Ortomé-

trica

Apto para medir con

GPS

Está en buenas

condiciones

º º

31 Y-117-A 426,415.58 1713,810.47 57.0749 SI SI 15.50057 -87.68607

32 W-117-A 428,211.97 1713,930.47 42.7491 SI SI 15.50171 -87.66932

33 U-117-A 430,147.18 1715,714.96 59.4779 SI SI 15.51789 -87.65133

34 T-117-A 430,245.83 1717,491.29 53.4183 SI SI 15.53396 -87.65046

35 S-117-A 430,271.27 1717,726.88 48.2852 SI SI 15.53609 -87.65023

36 A-49 437,122.80 1691,755.11 171.1943 SI SI 15.30147 -87.58568

37 A-49-A 437,099.45 1693,598.75 NO SI 15.31814 -87.58595

38 B-49 438,929.42 1691,858.76 187.3810 SI SI 15.30245 -87.56886

39 C-49 440,756.77 1693,439.49 195.8556 SI SI 15.31678 -87.55188

40 D-49 442,576.58 1693,513.29 214.7936 SI SI 15.31749 -87.53492

41 F-49 444,352.73 1691,796.64 240.9172 SI SI 15.30201 -87.51834

42 G-49 446,045.33 1691,627.66 265.0394 SI SI 15.30052 -87.50257

43 H-49 446,288.37 1689,937.82 279.7840 SI SI 15.28525 -87.50027

44 K-49 449,760.72 1689,758.64 306.6237 SI SI 15.28370 -87.46793

45 L-49 451,470.67 1688,092.79 322.3892 SI SI 15.26867 -87.45197

46 M-49 453,256.27 1688,034.76 356.3259 SI SI 15.26818 -87.43534

47 N-49 454,988.87 1686,322.13 399.8726 SI SI 15.25273 -87.41917

48 P-49 455,217.93 1686,307.25 444.4860 SI SI 15.25259 -87.41704

49 Q-49 456,886.71 1686,238.05 483.2140 SI SI 15.25200 -87.40150

50 R-49 458,636.64 1686,173.44 601.5858 SI SI 15.25144 -87.38520

51 S-49 458,716.26 1684,468.38 717.7098 SI SI 15.23603 -87.38443

52 U-49 462,209.85 1684,165.37 834.4120 SI SI 15.23334 -87.35189

53 V-49 463,994.16 1682,489.92 775.6740 SI SI 15.21822 -87.33526

54 C-48 408,530.37 1679,045.00 82.1400 SI SI 15.18571 -87.85153

55 D-48 410,263.70 1680,656.72 352.0868 NO NO 15.20034 -87.83546

66




No. BM


X Y

Ortomé-

trica

Apto para medir con

GPS

Está en buenas

condiciones

º º

56 E-48 410,476.86 1679,042.11 399.9194 NO SI 15.18576 -87.83341

57 F-48 412,073.90 1678,800.71 321.3343 NO SI 15.18363 -87.81854

58 H-48 413,908.33 1677,041.56 191.0552 SI SI 15.16779 -87.80140

59 J-48 415,684.15 1677,009.62 88.4401 SI SI 15.16756 -87.78487

60 K-48 417,467.74 1677,150.79 124.6013 SI SI 15.16889 -87.76827

61 L-48 419,275.47 1677,205.66 189.0086 SI SI 15.16944 -87.75145

62 M-48 421,045.09 1678,802.35 172.3160 SI SI 15.18393 -87.73503

63 P-48 422,746.17 1682,488.47 133.4597 NO SI 15.21731 -87.71931

64 R-48 424,618.04 1684,533.67 126.8794 NO SI 15.23585 -87.70194

65 S-48 424,696.19 1686,383.46 141.9620 SI SI 15.25258 -87.70127

66 T-49 424,760.04 1688,240.67 168.0137 NO NO 15.26937 -87.70073

67 U-48 426,411.09 1689,973.60 160.2366 NO NO 15.28508 -87.68540

68 U-48-A 426,413.05 1691,917.66 208.4234 SI SI 15.30266 -87.68544

69 V-48 428,235.60 1689,905.55 129.9024 NO SI 15.28452 -87.66841

70 W-48 430,059.23 1689,845.01 141.9640 SI SI 15.28402 -87.65142

71 X-48 431,831.03 1689,801.66 174.7942 SI SI 15.28367 -87.63492

72 Y-48 433,620.33 1689,832.76 149.4851 NO SI 15.28400 -87.61826

73 Z-48 435,382.94 1690,028.76 165.1750 NO SI 15.28582 -87.60184

67




III.4 Cálculo de referencia de la estación SPS respecto a

estación TEG2 Es importante mencionar en este punto que previamente a calcular la posición de

la estación SPS, se realizó durante el mes de febrero el cálculo de la estación SIRGAS

de Honduras TEG2 respecto a las estaciones MANA, GUAT y SSIA; las 3

correspondientes a los países de Nicaragua, Guatemala y El Salvador.

Nombre del usuario Trimble Employee Fecha y hora 01:21:28 27/02/2013

Sistema de

coordenadas

Proyección Estándar

de Mapa Zona

Datum del proyecto

Modelo de geoide

Unidades de

coordenadas Metro

Unidades de

distancia Metro

Unidades de altitud Metro

Unidades de ángulo Grados

Ajuste de Red en WGS84.

Número de líneas-base GPS 3

Número de medidas de estación total 0

Número de puntos de control en WGS84 3

Número de puntos ajustados 4

Nivel de confianza 1 σ

Nivel de significación para el test de tau 1.00 %

Error estándar de ponderación de unidad 0.815

Número de iteraciones 1

Coeficiente de Refracción 0.140

1. Entrada de Líneas-base en WGS84 (Componentes y Desv. Típica)

Observación ΔX (m)

mm ΔY (m)

mm ΔZ (m)

mm Solución

GUAT-TEG2 357756.3291 5.5 -6058.9356 12.4 -53784.0822 5.5 Dif. Doble /

Fija / Lc

68




MANA-TEG2 -

106289.1101 3.3 41888.0985 11.1 209352.1914 4.4

Dif. Doble /

Fija / Lc

SSIA-TEG2 206125.7259 3.8 16748.0047 10.7 42290.6200 3.8 Dif. Doble /

Fija / Lc

2. Entrada de Puntos de Control WGS84 (Coord. Cart. y Desv. Típica)

Punto X σ Y σ Z σ

GUAT -56063.5363m 0.0mm -6174978.6481m 0.0mm 1596665.2917m 0.0mm

MANA 407981.8922m 0.0mm -6222925.6734m 0.0mm 1333529.0218m 0.0mm

SSIA 95567.0611m 0.0mm -6197785.5849m 0.0mm 1500590.5902m 0.0mm

3. Líneas-base Ajustadas en WGS84 (Componentes y Desv. Típica)

Observación ΔX σ ΔY σ ΔZ σ

GUAT-TEG2 357756.3223m 1.8mm -6058.9320m 5.3mm -53784.0808m 2.0mm

MANA-TEG2 -106289.1062m 1.8mm 41888.0933m 5.3mm 209352.1891m 2.0mm

SSIA-TEG2 206125.7249m 1.8mm 16748.0048m 5.3mm 42290.6207m 2.0mm

4. Residuos de Línea-Base (Residuos y Residuos Estandarizados)

Observación

Res.

Dir.

Norte

Res.

Estánd.

Res. Dir

Este

Res.

Estánd.

Res. de

Altitud

Res.

Estánd.

Núm.

de Red.

GUAT-TEG2 2.3 mm 0.691 -6.8mm -1.657 -3.0mm -0.341 2.38

MANA-TEG2 -3.5 mm -1.460 3.9mm 1.967 4.4mm 0.587 1.87

SSIA-TEG2 0.7 mm 0.491 -0.9mm -0.374 0.1mm 0.009 1.75

5. Puntos Ajustados en WGS84 (Coord. Cart. y Desv. Típica)


GUAT -56063.5363m 0.0mm -6174978.6481m 0.0mm 1596665.2917m 0.0mm

MANA 407981.8922m 0.0mm -6222925.6734m 0.0mm 1333529.0218m 0.0mm

SSIA 95567.0611m 0.0mm -6197785.5849m 0.0mm 1500590.5902m 0.0mm

69




TEG2 301692.7860m 1.8mm -6181037.5801m 5.3mm 1542881.2109m 2.0mm

6. Puntos Ajustados en WGS84 (Coord. Geogr. y Desv. Típica)

Punto Latitud σ Longitud σ Altitud σ

GUAT N 14° 35' 25.45578'' 0.0mm O 90° 31' 12.65696'' 0.0mm 1519.8581m 0.0mm

MANA N 12° 08' 56.18025'' 0.0mm O 86° 14' 56.37632'' 0.0mm 71.0182m 0.0mm

SSIA N 13° 41' 49.50731'' 0.0mm O 89° 06' 59.74166'' 0.0mm 626.6458m 0.0mm

TEG2 N 14° 05' 24.26497'' 1.5mm O 87° 12' 20.32040'' 1.8mm 951.2875m 5.5mm

7. Elipses de Error de los Puntos Ajustados

Punto Eje Semimayor Eje Semimenor Ángulo 95% confidence radius

GUAT 0.0mm 0.0mm 90.0° 0.0mm

MANA 0.0mm 0.0mm 90.0° 0.0mm

SSIA 0.0mm 0.0mm 90.0° 0.0mm

TEG2 1.8mm 1.5mm -86.4° 4.1mm

Luego se realizó el cálculo de la estación de SPS utilizando como base la estación

TEG2 y auxiliándose del software Trimble Total Control, lo cual puede verse en la

captura de pantalla de la figura 25 (Ver resumen en el anexo IX.2.1).

SPSU5 Nombre del usuario Trimble Employee Fecha y hora 00:03:13 09/05/2013

Sistema de

coordenadas UTM Zona 16 North

Datum del proyecto WGS 1984 Modelo de geoide CentroAmerica2008

Unidades de

coordenadas Metro

Unidades de

distancia Metro



70




Ajuste de Red en WGS84.

Número de líneas-base GPS 4

Número de medidas de estación total 0

Número de puntos de control en WGS84 1

Número de puntos ajustados 2

Nivel de confianza 1 σ

Nivel de significación para el test de tau 1.00 %

Error estándar de ponderación de unidad 1.005

Número de iteraciones 1

Coeficiente de Refracción 0.140

1. Entrada de Líneas-base en WGS84 (Componentes y Desv. Típica)

Observación ΔXm σmm ΔYm σmm ΔZm σmm Solución

TEG2-SPSU -

90751.4205 4.9 37121.2546 18.1 151333.3483 6.8

Dif. Doble

/ Fija / Lc

TEG2-SPSU -

90751.4285 7.1 37121.2374 24.5 151333.3449 9.3

Dif. Doble

/ Fija / Lc

TEG2-SPSU -

90751.4115 8.4 37121.2519 28.6 151333.3439 10.8

Dif. Doble

/ Fija / Lc

TEG2-SPSU -

90751.4146 4.0 37121.2424 14.5 151333.3566 5.4

Dif. Doble

/ Fija / Lc

2. Entrada de Puntos de Control WGS84 (Coord. Cart. y Desv. Típica)


TEG2 301692.7866m 0.0mm -6181037.5793m 0.0mm 1542881.2108m 0.0mm

3. Líneas-base Ajustadas en WGS84 (Componentes y Desv. Típica)


TEG2-SPSU -90751.4180m 2.7mm 37121.2462m 9.7mm 151333.3512m 3.7mm

4. Residuos de Línea-Base (Residuos y Residuos Estandarizados)

Observación Res. Res. Res. Dir Res. Res. de Res. Núm.

71




Dir.

Norte

Estánd. Este Estánd. Altitud Estánd. de

Red.

TEG2-SPSU 0.5mm 0.114 2.2mm 0.543 8.9mm 0.559 2.13

TEG2-SPSU 8.3mm 1.393 10.8mm 1.652 -6.4mm -0.273 2.55

TEG2-SPSU 5.6mm 0.761 -6.7mm -0.846 7.2mm 0.258 2.68

TEG2-SPSU -4.2mm -1.551 -3.2mm -1.099 -5.2mm -0.462 1.63

5. Puntos Ajustados en WGS84 (Coord. Cart. y Desv. Típica)


SPSU 210941.3687m 2.7mm -6143916.3331m 9.7mm 1694214.5619m 3.7mm

TEG2 301692.7866m 0.0mm -6181037.5793m 0.0mm 1542881.2108m 0.0mm

6. Puntos Ajustados en WGS84 (Coord. Geogr. y Desv. Típica)

Punto Latitud σ Longitud σ Altitud Elevación σ

SPSU N 15° 30'

23.98320'' 2.5mm

O 88° 02'

01.01420'' 2.7mm 100.3464m 99.1813m 10.1mm

TEG2 N 14° 05'

24.26498'' 0.0mm

O 87° 12'

20.32038'' 0.0mm 951.2867m 945.9232m 0.0mm

7. Elipses de Error de los Puntos Ajustados

Punto Eje

Semimayor Eje Semimenor Ángulo

95% confidence

radius

SPSU 2.8mm 2.3mm -54.7° 6.4mm

TEG2 0.0mm 0.0mm 90.0° 0.0mm

72




Figura 25: Datos de medición de la Estación Cors SPS publicados vía enlace FTP

III.5 Segunda gira de campo

La segunda gira de campo fue la definitiva, en donde lo primero fue cerciorarse

que la Estación Cors de la ciudad de San Pedro Sula (que es la única que está

funcionando al norte del país) estuviera funcionando sin problemas, esta estación

cuenta con una Antena Microcentrada Wplane y un receptor 4000SSI y como no

dispone de acceso a Internet fue necesario comprar un modem inalámbrico para darle

acceso telemático directo, ya que la municipalidad (quién es la encargada de

administrar esta estación) no cuenta con servicio de internet.

Además fue necesaria la instalación del software de monitoreo de conexión, este

es un software adicional que monitorea el estado de la conexión del modem haciendo

que esta conexión funcione permanentemente (lo cual era indispensable para mantener

la interconexión con el servidor de DGCG) incluso después de un reinicio de la

computadora. También se instaló el software de VPN y sincronización, con el cual se

creó un canal seguro de interconexión entra la computadora de la estación en SPS y el

servidor de la DGCG en Tegucigalpa. Después se creó un enlace FTP que permitiera

73




recibir los datos online de la estación. Las mediciones de la estación SPS se registraron

a través del enlace FTP durante el período de 7 al 15 de mayo del año en curso (ver

figura 24).

Posteriormente se realizó la medición continua por dos horas y media de cada uno

de los quince bancos de nivel, previamente seleccionados en gabinete, para realizar el

ajuste de mínimos cuadrados y aplicar el modelo de corrección de mínima curvatura, a

fin de mejorar el modelo de geoide EGM2008 en la zona de los departamentos de

Atlántida y Yoro.

Esta segunda gira de campo fue llevada a cabo por dos brigadas de campo. La

primera, compuesta por un Ingeniero en Informática, dos técnicos de campo y un

motorista, quienes fueron los responsables de revisar la estación Cors de San Pedro

Sula y de medir los bancos de nivel del departamento de Atlántida; y la segunda brigada

estuvo integrada por dos técnicos de campo y un motorista y se encargaron de medir

los bancos de nivel del departamento de Yoro. Esta gira se desarrolló durante el período

comprendido del 7 al 15 de mayo del año 2013 (ver anexos de detalle de las

observaciones y anexo fotográfico en los apéndices IX.2.2 y IX.4. respectivamente).

74




Figura 26: Cálculo de la Estación Cors de SPS utilizando la estación de TEG2 y auxiliándose del software Trimble Total Control

75




III.6 Estaciones de referencia y equipo utilizado Se utilizó como estación de referencia la Estación Cors de SPS y la

Estación TEG2.

76




III.7 Observaciones reales, incidencias, documentos de los

operadores.

Figura 27: Datos de medición con equipo GPS/GNSS de los bancos de nivel B117, L117, V116 y T116

Figura 28: Datos de medición con equipo GPS/GNSS de los bancos de nivel T116 y Q115

77




Figura 29: Datos de medición con equipo GPS/GNSS de los bancos de nivel A49, F49 y P49

Figura 30: Datos de medición con equipo GPS/GNSS del banco de nivel A49

78




Figura 31: Datos de medición con equipo GPS/GNSS de los bancos de nivel T117A, E118A y J26

Figura 32: Datos de medición con equipo GPS/GNSS de los bancos de nivel A49 y W48

79




III.8 Cronograma de observación

Jueves 09 de mayo: A-49, F-49, P-49

Viernes 10 de mayo: W-48, H-48, A-49, J-16

Sábado 11 de mayo: E-118-A, J-16, J-26, T-117-A

Domingo 12 de mayo: B-117-A, L-117-A, V-116-A, T-116-I, H-48, A-49

Lunes 13 de mayo: T-116-A, C-116-I

Martes 14 de mayo: T-116-I, Q-115-I

Miércoles 15 de mayo: W-48, A-49

Figura 33: Datos de medición con equipo GPS/GNSS del banco de nivel H48

80




III.9 Pre proceso

Inicialmente fue necesario calcular la

ondulación del Geoide en cada uno de los

quince bancos de nivel que medimos. Para

ello se utilizó el software GeoLab, donde

fácilmente con solo ingresar las coordenadas

geodésicas de un punto se obtienen

automáticamente las ondulaciones del geoide

global EGM2008. Además se corrigieron

cada una de las mediciones GPS/GNSS,

obtenidas en los 15 bancos de nivel, durante

la segunda gira de campo, haciendo uso del

software Trimble Total Control (TTC), ver

anexo en apéndice X.2.3.

Figura 34: Imágenes de captura de pantalla del software GeoLab Goeid

81




IV. CAPÍTULO 4. CÁLCULOS

IV.1 Análisis Espacial de Mínimos Cuadrados / Plano Inclinado

BM

Coordenadas Geográficas

h (m) N (mod) H' (m) H (nivela) dH Latitud Longitud

A-49 N 15.308823575 W -87.597421353 173.541 2.5019 171.0387 171.1943 -0.1556

B117A N 15.708188892 W -87.583230728 23.314 0.3831 22.9309 23.0530 -0.1221

C1161 N 15.685165497 W -87.332105522 27.388 0.9505 26.4372 26.7026 -0.2654

E118 N 15.483378781 W -87.766371758 40.725 1.0809 39.6437 39.5833 0.0604

F-49 N 15.312048075 W -87.526714372 243.593 2.7759 240.8174 240.9172 -0.0998

H-48 N 15.173350494 W -87.808419297 193.166 2.173 190.9927 191.0552 -0.0625

J-16 N 15.263854681 W -87.867790561 68.131 1.7732 66.3581 66.4627 -0.1046

J-26 N 15.374173756 W -87.802959269 52.217 1.6162 50.6012 50.5905 0.0107

L117A N 15.597184033 W -87.608838117 159.265 1.1624 158.1001 158.3320 -0.2319

P-49 N 15.265578456 W -87.418909425 447.723 3.4167 444.3067 444.4860 -0.1793

Q1151 N 15.605091158 W -87.257320475 70.335 1.57 68.7648 69.1380 -0.3732

T1161 N 15.782054022 W -87.433851828 7.886 0.1761 7.7099 7.6870 0.0229

T117A N 15.537068481 W -87.652728853 54.647 1.3096 53.3369 53.4183 -0.0814

V116A N 15.756610867 W -87.503917664 6.880 0.2464 6.6333 6.6585 -0.0252

W-48 N 15.287407225 W -87.658544400 144.172 2.3343 141.8376 141.9640 -0.1264

82




El vector X que buscamos para obtener los parámetros a, b y c de la ecuación de plano inclinado resulta de la siguiente

ecuación: (Inversa A'A) (A'k)

X=inv(A'A)A'k

1.88875E-06 a (rad)

-4.84434E-06 b (rad)

-0.11556 c (m)

inv(A'A)

7230481229 3295093228 2.5575E-09

3295093228 5179510100 -1.36733E-08

2.5575E-09 -1.36733E-08 15

A'k

-2305.959144

-18867.70056

-1.7334

n= 15

So^2 0.008316196

So 0.091193181

Matriz A

D-LAT (º) D-LON (º) k

-18556.281 -1014.095 1 -0.1556

25772.936 503.941 1 -0.1221

23217.358 27367.957 1 -0.2654

819.201 -19087.496 1 0.0604

-18198.364 6549.755 1 -0.0998

-33593.679 -23585.514 1 -0.0625

-23547.790 -29936.731 1 -0.1046

-11302.465 -23001.430 1 0.0107

13451.489 -2235.399 1 -0.2319

-23356.453 18082.145 1 -0.1793

14329.174 35368.057 1 -0.3732

33971.904 16483.688 1 0.0229

6778.713 -6930.593 1 -0.0814

31147.735 8988.424 1 -0.0252

Nombre Ncorreg RESID error (std) H=h-Ncorr

A-49 2.35615123 -0.00985123 0.09691178 171.184449

B117A 0.31387842 -0.05287842 0.09960087 23.0001216

C1161 0.74644483 -0.06134483 0.10063706 26.6412552

E118 1.05927006 0.08202994 0.09862927 39.6653299

F-49 2.59422602 0.08187398 0.09874054 240.999074

H-48 2.10802559 0.00247441 0.10160452 191.057674

J-16 1.75796725 -0.08936725 0.10169757 66.3733328

J-26 1.59057525 0.03632475 0.09868152 50.6268247

L117A 1.08312161 -0.15262161 0.09610912 158.179378

P-49 3.16945999 0.06794001 0.10660177 444.55394

Q1151 1.31041446 -0.11361446 0.10481983 69.0243855

T1161 0.04506331 0.15393669 0.10099636 7.84093669

T117A 1.240417 -0.012217 0.0956581 53.406083

V116A 0.14629035 0.07490965 0.10023852 6.73340965

W-48 2.441 -0.00779461 0.008 141.731

83




IV.1.1 Teselas (con puntos datos y con dh)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

12 T-116-I

11

V-116-A

10

B-117-A

C-116-I

! 9

Q-115-I 6 km

8

L-117-A

¡ 7

T-117-A

6 E-118

5

4 J-26

3

W-48 A-49

F-49

2 J-16

P-49

1 H-48

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

12 0.023

11

-0.025

10

-0.122

-0.265

! 9

-0.373

6 km 8

-0.232

¡ 7

-0.081

6 0.060

5

4 0.011

3

-0.126 -0.156

-0.100

2 -0.105

-0.179

1 -0.063

84




Siendo los parámetros hallados para el “plano inclinado” a= 1.88875E-06 rad, b= -

4.84434E-06 rad y c= -0.11556 m, más el punto centroide (𝝋𝟎 𝝀𝟎) y el consiguiente

radio medio R0 se obtienen los parámetros equivalentes para calcular en función de las

coordenadas geodésicas

R0 = 6359636.898

𝝋𝟎 = 15.47599853

𝝀𝟎 = -87.5879416

q = 12.03303666

r = -29.65992076

C = -48.70681618

𝑄(𝜑, 𝜆) = +0.120330366𝜑 − 29.65992076𝜆 − 48.70681618

La discrepancia media es de -0.1115 m ±0.079 y el sigma de la unidad de peso

resultante es ±0.085.

IV.2 Modelo de Corrección: Mínima Curvatura

Se ha empleado el software Golden-Surfer para realizar el análisis de los residuos

utilizando mínima curvatura. Con la ayuda de este software se obtiene una superficie

correctora para el modelo EGM2008 en la zona de estudio (ver figura 34).

Posteriormente se trabaja con los datos de la malla que genera el Golden Surfer y

se trabaja utilizando el método de diferencias finitas para determinar el ajuste por

mínima curvatura. Este ajuste nos permite encontrar los valores para R(ij). Y se

encuentra que la discrepancia media es de -0.0065 m ±0.077.

85




Figura 35: Curvas de nivel de la Superficie Correctora de Mínima Curvatura del Geoide en el área de estudio

Figura 36: Superficie de Corrección

86




V. CAPÍTULO V: RESULTADOS

V.1 Resultados de la Ondulación del Geoide obtenidos para los

puntos datos en los departamentos de Atlántida y Yoro

Nombre N

(egm08) corr PI corr M.CURV N

(nuevo)

A-49 2.5019 -0.1420 -0.011006799 2.3489

B117A 0.3831 -0.0683 -0.080110487 0.2347

C1161 0.9505 -0.2012 -0.065195679 0.6841

E118 1.0809 -0.0189 0.081704219 1.1437

F-49 2.7759 -0.1765 0.066240307 2.6657

H-48 2.1730 -0.0595 -0.007466669 2.1060

J-16 1.7732 -0.0101 -0.107209064 1.6559

J-26 1.6162 -0.0219 0.014783653 1.6091

L117A 1.1624 -0.0738 -0.119266418 0.9693

P-49 3.4167 -0.2430 0.082592025 3.2562

Q1151 1.5700 -0.2576 -0.113133603 1.1993

T1161 0.1761 -0.1259 0.120066484 0.1703

T117A 1.3096 -0.0645 0.011878189 1.2570

V116A 0.2464 -0.0966 0.030721344 0.1805

W-48 2.3343 -0.1127 -0.001429124 2.2202

Figura 37: Superficie 3D del Geoide corregido

87




Figura 38: Modelo corregido de Geoide para la zona de estudio

V.2 Comparación con los dos casos próximos El Salvador y

Red Geodésica de Tegucigalpa

Los resultados obtenidos con esta investigación nos permiten comparar nuestra

zona de estudio, primeramente, con la zona de Tegucigalpa, donde con el estudio de la

Red de Tegucigalpa se determinó que la ondulación del geoide EGM2008 se debía

incrementar en 12 cms. Por otro lado en el caso estudio de El Salvador se encontró que

la ondulación del geoide EGM2008 se debía incrementar en 29 cms. Sin embargo en

nuestra zona de estudio se encontró que la ondulación del geoide EGM2008 se debe

reducir en -11.80 cms.

Figura 39: Geoide de El Salvador

88




VI. CAPÍTULO VI: COSTOS DEL PROYECTO

PRIMER GIRA: 3 AL 13 DE DICIEMBRE DE 2012

Viáticos Salario Total Gastos Total Total

No. Empleado Cargo Días Por día Por día Viáticos Combustible Salario Gastos

1 Johana Marcela Norori Solís Supervisión 4.25 2,062.50 1,000.00 8,765.63 4250 13,015.63

2 Nelson Omar Hernández Motorista 4.25 1,437.50 340.00 6,109.38 3,279.38 1445 10,833.76

3 Gerardo Alfredo Aceituno Técnico 10.3 1,437.50 393.33 14,734.38 4031.66667 18,766.04

4 José Armen Martínez Rodríguez Técnico 10.3 1,437.50 393.33 14,734.38 4031.66667 18,766.04

5 José Aníbal Marin Ramos Técnico 10.3 1,437.50 393.33 14,734.38 4031.66667 18,766.04

6 José Adalberto Raudales Núñez Técnico 10.3 1,437.50 385.00 14,734.38 3946.25 18,680.63

7 Juan Manuel Montalvan Osorio Motorista 10.3 1,437.50 250.00 14,734.38 3,552.71 2562.5 20,849.59

8 Víctor Leonardo Andino Motorista 10.3 1,437.50 250.00 14,734.38 4,372.63 2562.5 21,669.51

T o t a l 103,281.25 11,204.72 26,861.25 L. 141,347.22

89




SEGUNDA GIRA: 7 AL 15 DE MAYO DE 2013

Viáticos Salario Total Gastos Total Total

No. Empleado Cargo Días Por día Por día Viáticos Combustible Salario Gastos

1 Erick Neptali Aguirre Navas Técnico 4.25 1,437.50 360.00 6,109.38 1530 7,639.38

2 Edwin Bladimir Vargas Aguilar Técnico 4.25 1,437.50 463.27 6,109.38 1968.88333 8,078.26

3 Juan Manuel Montalvan Motorista 4.25 1,437.50 250.00 6,109.38 3,623.89 1062.5 10,795.77

4 Jimmy Swarton Padilla Informática 3.25 1,750.00 666.67 5,687.50 2166.66667 7,854.17

5 Edmundo Rigoberto Paguaga Técnico 7.25 1,437.50 429.93 10,421.88 3117.01667 13,538.89

6 José Fernando Alemán Técnico 7.25 1,437.50 463.27 10,421.88 3358.68333 13,780.56

7 Miguel Antonio Chavarría Motorista 7.25 1,437.50 500.00 10,421.88 3,962.12 3625 18,009.00

T o t a l 55,281.25 7,586.01 16,828.75 L.

79,696.01

Total aporte de la DGCG

L.

221,043.23

90




VII. CAPÍTULO VII: CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

1. Los valores determinados como ondulación del geoide EGM2008 para los 15

puntos en la zona Oeste de los departamentos de Atlántida y Yoro indican una

tendencia a ser menores en 11.80 cm ±0.1078 y una leve inclinación.

2. El análisis espacial de mínimos cuadrados y, en especial, el modelo de

corrección de mínima curvatura han proporcionado una “rejilla correctiva” y una

nueva superficie del modelo EGM08 que relaciona altitudes h elipsoidales (GPS)

con las altitudes oficiales H obteniendo un modelo de geoide útil y con precisión

aceptable (~ 3… 5 cm) para su utilización práctica en la zona.

3. La limitación presupuestaria no ha permitido observaciones adicionales en otras

marcas –ya localizadas– pero es recomendable aplicar el modelo corregido

EGM08 a nuevas observaciones y confirmar así la bondad del resultado en puntos

ajenos a esta solución.

4. El procedimiento es económico por el gasto y la rapidez de ejecución para hallar

altitudes ortométricas mediante observación GNSS (GPS), lo cual anima a que se

amplíe a otras zonas de Honduras, dada la escasa pérdida de marcos de la red de

nivelación (verificada).

5. Se recomienda extender el método a todo el territorio de Honduras, siguiendo

las líneas de la red de nivelación, ya que puede convertirse en la base para todo

trabajo topográfico y cartográfico para el desarrollo de país

6. El modelo gravimétrico de partida (rejilla de EGM2008) funciona bastante bien,

igual que sucede en diversas partes del mundo, como se ha podido demostrar

también en Tegucigalpa (Honduras) y El Salvador, próximas a Atlántida-Yoro

(Honduras). Las tres próximas entre sí geográficamente por lo que sugeriría llegar a

enlazarlas dando seguimiento a esta metodología con el fin de obtener a partir del

modelo EGM2008 un modelo de geoide local bastante preciso para el país.

7. El resultado final podrá ser ampliado sucesivamente sin variación práctica en el

interior de la envolvente de los puntos antiguos y con una mínima alteración en la

91




zona limítrofe hacia la ampliación. Sucesivas campañas de medición pueden ser

incorporadas hasta cubrir el territorio según prioridades.

8. Se actualizaron y modernizaron las reseñas de los quince bancos de nivel, las

cuales fueron entregadas a la oficina de Archivo Técnico y a la Gerencia de

Geodesia de la Dirección General de Catastro y Geografía. La utilidad no se limita a

la coordenada altitud sino a latitud y longitud, constituyendo un marco de referencia

preciso en 3D para cubrir el territorio según se vaya extendiendo.

9. Esta información, tanto el modelo de geoide corregido como las monografías de

los 15 bancos de nivel, ya es accesible a todo el público en general en las oficinas

de la Dirección General de Catastro y Geografía.

92




VIII. CAPÍTULO VIII: BIBLIOGRAFÍA

VIII.1 Literatura Impresa

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97




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PARTIR DE UN MODELO DE GEOPOTENCIAL. ESTUDIO COMPARATIVO DE

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http://www.inegi.org.mx/geo/contenidos/geodesia/que_es_geoide.aspx

http://www.sirgas.org/

98




IX. CAPÍTULO IX: APENDICES

IX.1 Mapa de Honduras con Red de Nivelación Antigua (Fuente: Archivo Técnico,

Dirección General de Catastro y Geografía

IX.1.1 Mapa de la zona de estudio en los departamentos de Atlántida y Yoro

IX.1.2 Reseñas de los quince bancos de nivel antiguos en la zona de estudio del

departamento de Atlántida y Yoro

IX.2 Cálculos

IX.2.1 Cálculo de referencia de la estación de San Pedro Sula respecto a la

estación TEG-2 y cálculo de las líneas base ajustadas en WGS84 (componentes y

desviación típica)

IX.2.2 Detalle de las observaciones en los bancos de nivel de los departamentos

de Atlántida y Yoro

IX.2.3 Coordenadas corregidas de los bancos de nivel de los departamentos de

Atlántida y Yoro con el software Trimble Total Control

IX.2.4 Reporte de Validación de la interpolación del software Golden Surfer

IX.3 Reseñas actualizadas de los bancos de nivel de Atlántida y Yoro

IX.4 Anexo Fotográfico

IX.4.1 Inspección de campo preliminar (fecha: 03 al 13 de diciembre de 2012)

IX.4.2 Mediciones en la segunda gira de campo (fecha: 07 al 12 de mayo 2013)

99




IX. 1 Mapa de Honduras con Red de Nivelación Antigua (Fuente: Archivo Técnico, Dirección General de

Catastro y Geografía)

100




IX.1.1 Mapa de la zona de estudio en los departamentos de Atlántida y Yoro

101




XI.1.2 Reseñas de los quince bancos de nivel antiguos en la zona de estudio del

departamento de Atlántida y Yoro

102




103




104




105




106




107




108




109




IX.2 Cálculos

IX.2.1 Cálculo de referencia de la estación de San Pedro Sula respecto a la

estación TEG-2 y cálculo de las líneas base ajustadas en WGS84

(componentes y desviación típica)


A-49-F-49 7585.7291m 16.8mm 349.6397m 28.1mm 362.6421m 15.7mm

A-49-H-48 -

22491.0064m 14.3mm -4865.0606m 30.5mm -14458.2617m 12.6mm

A-49-P-49 19222.3275m 21.0mm -691.1032m 40.3mm -4543.7578m 16.5mm

A-49-TEG2 43737.4756m 9.4mm -

33023.5136m 21.5mm

-

130247.7619m 9.0mm

A-49-V116A 9448.0175m 13.1mm 13845.9161m 24.4mm 47695.7018m 11.6mm

A-49-W-48 -6534.4501m 10.7mm -868.1161m 20.6mm -2293.5901m 9.1mm

B117A-

T1161 15896.6258m 13.7mm 2926.6355m 19.7mm 7862.7707m 12.0mm

J-26-T117A 15919.7246m 23.1mm 5436.5931m 30.5mm 17373.7780m 19.2mm

SPS1-A-49 47013.1034m 8.6mm -4072.8305m 18.3mm -21092.5036m 7.5mm

SPS1-B117A 48031.4279m 14.6mm 7941.4451m 22.0mm 21450.1870m 13.0mm

SPS1-E118 28678.2558m 14.9mm 445.3419m 23.9mm -2505.6206m 13.7mm

SPS1-H-48 24522.0970m 13.5mm -8937.8910m 28.6mm -35550.7653m 11.5mm

SPS1-J-16 18043.9138m 24.0mm -6430.9863m 37.8mm -25920.2161m 19.4mm

SPS1-J-26 24878.8080m 25.2mm -2929.9429m 35.9mm -14151.0214m 21.3mm

SPS1-P-49 66235.4309m 20.8mm -4763.9336m 39.9mm -25636.2615m 16.3mm

110




SPS1-T1161 63928.0537m 8.1mm 10868.0806m 16.2mm 29312.9577m 7.5mm

SPS1-T117A 40798.5326m 11.6mm 2506.6502m 25.0mm 3222.7566m 11.4mm

SPS1-TEG2 90750.5790m 5.3mm -

37096.3440m 13.7mm

-

151340.2655m 6.1mm

SPS1-V116A 56461.1209m 10.8mm 9773.0857m 18.9mm 26603.1981m 9.8mm

SPS1-W-48 40478.6533m 12.0mm -4940.9465m 23.8mm -23386.0937m 10.2mm

T1161-A-49 -

16914.9503m 11.0mm

-

14940.9111m 22.3mm -50405.4613m 9.8mm

T1161-

L117A

-

18495.3014m 15.4mm -6483.8105m 24.9mm -19653.9928m 13.7mm

T1161-

Q1151 19151.3224m 23.4mm -4474.7792m 38.5mm -18835.1695m 20.3mm

T117A-E118 -

12120.2768m 14.7mm -2061.3083m 22.8mm -5728.3772m 13.8mm

TEG2-A-49 -

43737.4756m 9.4mm 33023.5136m 21.5mm 130247.7619m 9.0mm

TEG2-T1161 -

26822.5253m 8.6mm 47964.4246m 19.0mm 180653.2232m 8.7mm

TEG2-W-48 -

50271.9257m 12.5mm 32155.3975m 26.1mm 127954.1718m 11.3mm

V116A-

T1161 7466.9328m 9.7mm 1094.9949m 16.0mm 2709.7596m 8.9mm

111




IX.2.2 Detalle de las observaciones en los bancos de nivel de los

departamentos de Atlántida y Yoro

Información detallada

sobre el archivo obs

www.trimble.com Copyright (C) 2001 - 2002 by Trimble Navigation Limited.

RNX_Final_Yoro.ggs


Sistema de



Unidades de

coordenadas Metro

Unidades de distancia Metro



Detalles

Nombre de Punto A-49 ( )

Tipo de Receptor GPS Trimble 4700

Nº de Serie del Receptor GPS 220221098

Tipo de Antena Trimble Micro-centered L1/L2 w/Ground Plane

http://www.trimble.com/

112




Nº de Antena

Intervalo 10.00['']

Cutoff 0.0[°]

Nº de Sats 18 Satélites

Altitud de la Antena 2.000m (uncorrected)

Archivo de Observaciones 1290

Inicio 09/05/2013 18:01:00 UTC

Fin 10/05/2013 0:35:40 UTC

Salud

Nº Sat 01 03 06 07 08 09 11 13 14 16 17 19 20 23 26 28 31 32

Estad

o

O

K

O

K

O

K

O

K

O

K

O

K

O

K

O

K

O

K

O

K

O

K

O

K

O

K

O

K

O

K

O

K

O

K

O

K

Nombre de Punto B117A ( )

Tipo de Receptor GPS Ashtech ProMark 200


Tipo de Antena Ashtech 111661

Nº de Antena 7642

Intervalo 10.00['']

Cutoff 0.0[°]

113







Inicio 12/05/2013 20:40:20 UTC

Fin 12/05/2013 23:13:00 UTC

Salud

Nº Sat 01 03 06 07 08 11 13 16 17 19 20 23 28 32

Estado OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK

Nombre de Punto C1161 ( )




Nº de Antena 7642

Intervalo 10.00['']

Cutoff 0.0[°]




Inicio 13/05/2013 15:56:00 UTC

114




Fin 13/05/2013 18:29:30 UTC

Salud

Nº Sat 01 03 06 11 14 16 18 19 20 22 23 25 30 31 32

Estado OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK Malo OK OK

Nombre de Punto E118 ( )


Nº de Serie del Receptor

GPS 220192606

Tipo de Antena Trimble Compact L1/L2 w/Ground

Plane

Nº de Antena

Intervalo 10.00['']

Cutoff 0.0[°]




Inicio 11/05/2013 19:09:50 UTC

Fin 11/05/2013 21:50:00 UTC

115




Salud

Nº Sat 01 03 06 07 11 13 16 19 20 23 28 31 32

Estado OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK

Nombre de Punto F-49 ( )



GPS 220192606


Plane

Nº de Antena

Intervalo 15.00['']

Cutoff 0.0[°]




Inicio 09/05/2013 21:42:00 UTC

Fin 10/05/2013 0:21:45 UTC

Salud

Nº Sat 01 03 06 07 08 09 11 13 17 19 20 23 28


116




Nombre de Punto H-48 ( )




Nº de Antena

Intervalo 10.00['']

Cutoff 0.0[°]




Inicio 12/05/2013 13:26:29 UTC

Fin 12/05/2013 16:01:20 UTC

Salud

Nº Sat 01 06 11 12 14 16 18 21 22 25 31 32

Estado OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK

Nombre de Punto J-16 ( )



GPS 220221098

Tipo de Antena Trimble Micro-centered L1/L2 w/Ground

117




Plane

Nº de Antena

Intervalo 10.00['']

Cutoff 0.0[°]




Inicio 10/05/2013 22:04:30 UTC

Fin 11/05/2013 0:05:30 UTC

Salud

Nº Sat 01 03 07 08 09 11 13 17 19 23 26 28

Estado OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK

Nombre de Punto J-26 ( )



GPS 220192606


Plane

Nº de Antena

118




Intervalo 10.00['']

Cutoff 0.0[°]




Inicio 11/05/2013 15:34:19 UTC

Fin 11/05/2013 18:05:10 UTC

Salud

Nº Sat 01 03 06 11 14 16 18 20 22 23 25 31 32


Nombre de Punto L117A ( )




Nº de Antena 7642

Intervalo 10.00['']

Cutoff 0.0[°]



119





Inicio 13/05/2013 0:43:59 UTC

Fin 13/05/2013 3:17:30 UTC

Salud

Nº Sat 01 02 04 07 08 09 10 11 17 20 24 26 28


Nombre de Punto P-49 ( )



Tipo de Antena Trimble Compact L1/L2 w/Ground Plane

Nº de Antena

Intervalo 15.00['']

Cutoff 0.0[°]




Inicio 09/05/2013 18:04:44 UTC

Fin 09/05/2013 20:45:30 UTC

120




Salud

Nº Sat 03 06 11 13 14 16 19 20 23 32

Estado OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK

Nombre de Punto Q1151 ( )




Nº de Antena 7642

Intervalo 10.00['']

Cutoff 0.0[°]




Inicio 14/05/2013 14:45:30 UTC

Fin 14/05/2013 17:19:00 UTC

Salud

Nº Sat 01 03 06 11 12 14 16 18 20 21 22 25 30 31 32


121




Nombre de Punto T1161 ( )




Nº de Antena 7640

Intervalo 10.00['']

Cutoff 0.0[°]




Inicio 12/05/2013 17:29:10 UTC

Fin 12/05/2013 23:16:40 UTC

Salud

Nº Sat 01 03 06 07 08 11 13 14 16 17 19 20 22 23 28 30 31 32

Estado OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK Malo OK OK

Nombre de Punto T117A ( )




122




Nº de Antena

Intervalo 10.00['']

Cutoff 0.0[°]




Inicio 11/05/2013 15:17:20 UTC

Fin 11/05/2013 21:56:40 UTC

Salud

Nº Sat 01 03 06 07 11 13 14 16 18 19 20 22 23 25 28 31 32

Estado OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK

Nombre de Punto V116A ( )




Nº de Antena 7642

Intervalo 10.00['']

Cutoff 0.0[°]

123







Inicio 12/05/2013 17:27:49 UTC

Fin 12/05/2013 20:05:10 UTC

Salud

Nº Sat 01 03 06 07 11 13 14 16 19 20 22 23 30 31 32


Nombre de Punto W-48 ( )




Nº de Antena 7640

Intervalo 10.00['']

Cutoff 0.0[°]




124




Inicio 15/05/2013 13:41:20 UTC

Fin 15/05/2013 16:13:00 UTC

Salud

Nº Sat 01 06 11 12 14 16 18 21 22 25 30 31 32

Estado OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK Malo OK OK

IX.2.3 Coordenadas corregidas de los bancos de nivel de los

departamentos de Atlántida y Yoro con el software Trimble Total Control

Revisión de

Coordenadas

www.trimble.com Copyright (C) 2001 - 2002 by Trimble Navigation Limited.


Sistema de



Unidades de

coordenadas Metro

Unidades de

distancia Metro


http://www.trimble.com/

125





Número de Puntos 17

1. Información de Punto

Nombre de

Punto

Código de

Punto

Info. del

punto Cálculo Ajustado Local Control

A-49

No Si No No

J-16

No Si No No

T117A

No Si No No

H-48

No Si No No

P-49

No Si No No

F-49

No Si No No

J-26

No Si No No

E118

No Si No No

W-48

No Si No No

SPS1 Base Si No No No

L117A

No Si No No

T1161

No Si No No

Q1151

No Si No No

C1161

No Si No No

126




V116A

No Si No No

B117A

No Si No No

TEG2 Base No Si No No

2. WGS84 - Coordenadas Cartesianas

Geocéntricas

Nombre de Punto X Y Z

A-49 257955.3226m -6148014.1518m 1673128.9933m

J-16 228986.1330m -6150372.3076m 1668301.2808m

T117A 251740.7518m -6141434.6711m 1697444.2535m

H-48 235464.3162m -6152879.2123m 1658670.7316m

P-49 277177.6501m -6148705.2549m 1668585.2355m

F-49 265541.0517m -6147664.5121m 1673491.6354m

J-26 235821.0272m -6146871.2642m 1680070.4755m

E118 239620.4750m -6143495.9794m 1691715.8763m

W-48 251420.8725m -6148882.2678m 1670835.4032m

SPS1 210942.2192m -6143941.3213m 1694221.4969m

L117A 256374.9715m -6139557.0512m 1703880.4618m

J1171 303476.8800m -6137053.6224m 1704729.8682m

T1161 274870.2729m -6133073.2407m 1723534.4546m

Q1151 294021.5953m -6137548.0199m 1704699.2851m

C1161 285897.1926m -6135498.3018m 1713220.1180m

127




V116A 267403.3401m -6134168.2356m 1720824.6950m

B117A 258973.6472m -6135999.8762m 1715671.6839m

TEG2 301692.7982m -6181037.6653m 1542881.2314m

3. WGS84 - Coordenadas Geográficas

Nombre de Punto Latitud Longitud Altitud

A-49 N 15° 18' 31.76487'' O 87° 35' 50.71687'' 173.5406m

J-16 N 15° 15' 49.87685'' O 87° 52' 04.04602'' 68.1313m

T117A N 15° 32' 13.44653'' O 87° 39' 09.82387'' 54.6465m

H-48 N 15° 10' 24.06178'' O 87° 48' 30.30947'' 193.1657m

P-49 N 15° 15' 56.08244'' O 87° 25' 08.07393'' 447.7234m

F-49 N 15° 18' 43.37307'' O 87° 31' 36.17174'' 243.5933m

J-26 N 15° 22' 27.02552'' O 87° 48' 10.65337'' 52.2174m

E118 N 15° 29' 00.16361'' O 87° 45' 58.93833'' 40.7246m

W-48 N 15° 17' 14.66601'' O 87° 39' 30.75984'' 144.1719m

SPS1 N 15° 30' 23.98314'' O 88° 02' 01.01445'' 126.2930m

L117A N 15° 35' 49.86252'' O 87° 36' 31.81722'' 159.2625m

J1171 N 15° 36' 19.58487'' O 87° 10' 08.52115'' 45.7225m

T1161 N 15° 46' 55.39448'' O 87° 26' 01.86658'' 7.8860m

Q1151 N 15° 36' 18.32817'' O 87° 15' 26.35371'' 70.3348m

C1161 N 15° 41' 06.59579'' O 87° 19' 55.57983'' 27.3877m

V116A N 15° 45' 23.79912'' O 87° 30' 14.10359'' 6.8797m

128




B117A N 15° 42' 29.48001'' O 87° 34' 59.63062'' 23.3140m

TEG2 N 14° 05' 24.26494'' O 87° 12' 20.32014'' 951.3756m

4. Coordenadas de Cuadrícula Nacionales

Nombre de Punto Direc. norte Direc. este Altitud Elevación

A-49 1692571.9991m 435864.8439m 173.5406m 171.0387m

J-16 1687695.6156m 406818.3279m 68.1313m 66.3581m

T117A 1717836.3660m 430003.6824m 54.6465m 53.3368m

H-48 1677659.8392m 413156.7979m 193.1657m 190.9928m

P-49 1687743.7874m 455019.8272m 447.7234m 444.3067m

F-49 1692909.0048m 443456.5353m 243.5933m 240.8173m

J-26 1699872.0530m 413825.3829m 52.2174m 50.6012m

E118 1711937.7485m 417795.1977m 40.7246m 39.6437m

W-48 1690222.0474m 429295.6598m 144.1719m 141.8376m

SPS1 1714633.6753m 389139.4376m 126.2930m 125.1279m

L117A 1724472.1917m 434729.4909m 159.2625m 158.1001m

J1171 1725299.3596m 481879.7376m 45.7225m 44.0367m

T1161 1744875.5012m 453531.1471m 7.8860m 7.7099m

Q1151 1725270.2201m 472415.3742m 70.3348m 68.7648m

C1161 1734138.5290m 464412.2327m 27.3877m 26.4372m

V116A 1742077.7919m 446019.6781m 6.8797m 6.6332m

B117A 1736743.4062m 437508.5395m 23.3140m 22.9309m

129




TEG2 1557697.7348m 477800.9271m 951.3756m 946.0121m

IX.2.4 Reporte de Validación de la interpolación del software Golden Surfer

——————————————— Cross Validation Report ——————————————— Sun Mar 02 00:14:23 2014

Data Source Source Data File Name: E:\LAPTOP\Tesis 2012\Tesis_Dalda_Noviembre\Envio1\Tela_Ceiba_TEG_geo.xlsx (sheet 'marce') X Column: C Y Column: B Z Column: D

Gridding Rules Gridding Method: Minimum Curvature Maximum Residual: 0.00029 Maximum Iteration: 100000 Internal Tension: 0 Boundary Tension: 0 Relaxation Factor: 1 Anisotropy Ratio: 1

Data Counts at Validation Points Active Results: 15 Blanked Results: 0 Attempted Results: 15 Requested Results: 15

Univariate Statistics ———————————————————————————————————————————— X Y Z

130




———————————————————————————————————————————— Count: 15 15 15 1%%-tile: -58678.536406 9504.31582106 -0.130458203877 5%%-tile: -58678.536406 9504.31582106 -0.130458203877 10%%-tile: -52315.6956715 14329.1736182 -0.0960254623736 25%%-tile: -47809.4451993 19741.3061532 -0.0573134147361 50%%-tile: -29702.9667943 31795.0157504 0.0124739739368 75%%-tile: -19682.1413451 56548.3989468 0.0577209240927 90%%-tile: -10571.7763136 68869.5611489 0.101913617116 95%%-tile: -1268.9682371 74244.2359816 0.124 99%%-tile: -1268.9682371 74244.2359816 0.124 Minimum: -58678.536406 9504.31582106 -0.130458203877 Maximum: 35368.0573127 77068.3397895 0.157206876945 Mean: -26778.862986 40224.0941254 0.00826666666667 Median: -29702.9667943 31795.0157504 0.0124739739368 Geometric Mean: N/A 33444.4940484 N/A Harmonic Mean: N/A 27231.3049277 N/A Root Mean Square: 35353.5035762 46186.7771036 0.0800741603279 Trim Mean (10%%): N/A N/A N/A Interquartile Mean: -31289.0404489 34185.2212186 -0.00499597771692 Midrange: -11655.2395466 43286.3278053 0.0133743365341 Winsorized Mean: -30037.5163839 39640.8544137 0.00540353991934 TriMean: -31724.3800333 34969.9341502 0.00633886430757 Variance: 570817191.738 552043533.224 0.00679664290119 Standard Deviation: 23891.7808407 23495.6066792 0.0824417545979 Interquartile Range: 28127.3038542 36807.0927935 0.115034338829 Range: 94046.5937187 67564.0239684 0.287665080822 Mean Difference: 26522.1733772 27393.6360455 0.0972683849413 Median Abs. Deviation: 17529.807326 17465.8421322 0.0646372600908 Average Abs. Deviation: 16980.6100753 20140.4746357 0.0656262222728 Quartile Dispersion: N/A 0.482464740758 N/A Relative Mean Diff.: N/A 0.681025555482 N/A Standard Error: 6168.83128714 6066.53955851 0.021286369506 Coef. of Variation: N/A 0.584117733166 N/A Skewness: 0.923238842791 0.299263429469 0.157908435094 Kurtosis: 3.5839395624 1.38360114137 1.89278058997 Sum: -401682.944789 603361.411882 0.124 Sum Absolute: 472419.059415 603361.411882 0.996867308029 Sum Squares: 18748053226.6 31998275688.3 0.0961780672833 Mean Square: 1249870215.11 2133218379.22 0.00641187115222 ——————————————————————————————————————————

Univariate Cross-Validation Statistics

131




———————————————————————————————————————————— Estimated Z Residual Z Data Used ———————————————————————————————————————————— Count: 15 15 15 1%%-tile: -0.204005594775 -0.0801553951616 15 5%%-tile: -0.204005594775 -0.0801553951616 15 10%%-tile: -0.0788648984508 -0.0735473908983 15 25%%-tile: -0.0372709287454 -0.018417677293 15 50%%-tile: -0.0123771800789 -0.000661594990783 15 75%%-tile: 0.0235731168075 0.0137087910303 15 90%%-tile: 0.0836562832172 0.0210498295195 15 95%%-tile: 0.112781368161 0.0250668321349 15 99%%-tile: 0.112781368161 0.0250668321349 15 Minimum: -0.204005594775 -0.0801553951616 15 Maximum: 0.208527615305 0.0845276153053 15 Mean: 0.00218882091287 -0.0060778457538 15 Median: -0.0123771800789 -0.000661594990783 15 Geometric Mean: N/A N/A 15 Harmonic Mean: N/A N/A 15 Root Mean Square: 0.0903068976234 0.0396592925558 15 Trim Mean (10%%): N/A N/A N/A Interquartile Mean: -0.00699455306182 -0.00482200322887 15 Midrange: 0.00226101026506 0.00218611007185 15 Winsorized Mean: 0.000265106199048 -0.0101369646963 15 TriMean: -0.00961304302394 -0.00150801906107 15 Variance: 0.00873272659432 0.0016456277968 0 Standard Deviation: 0.0934490588199 0.0405663382227 N/A Interquartile Range: 0.060844045553 0.0321264683234 0 Range: 0.41253321008 0.164683010467 0 Mean Difference: 0.102838284951 0.0450628653498 0 Median Abs. Deviation: 0.0359502968865 0.017595738908 0 Average Abs. Deviation: 0.0635929671986 0.0287811384228 0 Quartile Dispersion: N/A N/A 0 Relative Mean Diff.: N/A N/A 0 Standard Error: 0.0241284432352 0.0104741834902 N/A Coef. of Variation: N/A N/A N/A Skewness: 0.0720466977086 0.041606267863 N/A Kurtosis: 3.40871101877 3.01231628937 N/A Sum: 0.032832313693 -0.091167686307 225 Sum Absolute: 0.966271688058 0.432378671333 225 Sum Squares: 0.122330036375 0.0235928922903 3375 Mean Square: 0.00815533575836 0.00157285948602 225 ————————————————————————————————————————————

132




Most under-estimated data: X = -58678.53640597 Y = 19549.973137867 Z = 0.067778215082667 E = -0.01237718007892 ID = 2 Most over-estimated data: X = 35368.057312682 Y = 14329.1736182 Z = 0.124 E = 0.20852761530529 ID = 16

Residual Regression at Validation Points: R = AX+BY+C Fitted Parameters ———————————————————————————————————————— A B C ———————————————————————————————————————— Parameter Value: 8.42079392039e-007 -8.83508008601e-007 0.0520103922075 Standard Error: 3.6963360591e-007 3.75866229986e-007 0.0209147525295 ———————————————————————————————————————— Inter-Parameter Correlations ———————————————————————————— A B C ———————————————————————————— A: 1.000 -0.131 0.568 B: -0.131 1.000 -0.785 C: 0.568 -0.785 1.000 ———————————————————————————— ANOVA Table ———————————————————————————————————————————————————— Source df Sum of Squares Mean Square F ———————————————————————————————————————————————————— Regression: 2 0.0101627374902 0.00508136874512 4.73564618471 Residual: 12 0.012876051665 0.00107300430542 Total: 14 0.0230387891552 ———————————————————————————————————————————————————— Coefficient of Multiple Determination (R^2): 0.441114219231

Inter-Variable Correlation at Validation Points ———————————————————————————————————————————— X Y Z Estimated Z Residual Z ———————————————————————————————————————————— X: 1.000 0.131 0.279 0.433 0.429 Y: 0.131 1.000 -0.118 -0.298 -0.447

133




Z: 0.279 -0.118 1.000 0.901 0.043 E: 0.433 -0.298 0.901 1.000 0.472 R: 0.429 -0.447 0.043 0.472 1.000 ————————————————————————————————————————————

Rank Correlation at Validation Points ———————————————————————————————————————————— X Y Z Estimated Z Residual Z ———————————————————————————————————————————— X: 1.000 0.307 0.075 0.214 0.096 Y: 0.307 1.000 -0.261 -0.196 -0.429 Z: 0.075 -0.261 1.000 0.936 -0.189 E: 0.214 -0.196 0.936 1.000 0.025

R: 0.096 -0.429 -0.189 0.025 1.000

134




IX.3 Reseñas actualizadas de los bancos de nivel de Atlántida y

Yoro

INSTITUTO DE LA PROPIEDAD DIRECCION GENERAL DE CATASTRO Y GEOGRAFIA

135




FICHA TÉCNICA DE PUNTO DE COTA FIJA

ID:A-49

CROQUIS

Nombre: A-49

Ubicación: Morazán

Departamento: Yoro

RESEÑA

La marca es un banco de nivel, en un Disco de Aluminio incrustada en un monumento de concreto a la orilla del cerco propiedad de la señora Consuelo Luján, en la línea que conduce de Santa Rita a Yoro.

Sistema de Referencia: WGS -84

MODELO GEOIDAL: EGM2008 corregido localmente

COORDENADAS GEOGRÁFICAS

Longitud: : 87°35'50,71687"W

Latitud: 15°18'31,76487"N

Altura elipsoidal: 173.5406 M

Fecha de Medición: 09/05/2013 12:01

COORDENADAS UTM

Norte: 1692572.099

Este: 435865.440

Altura Ortométrica:171.1943 msnm

Zona: 16 N

IMAGEN CON INDICACION DE PUNTO

FOTOGRAFIA DEL PUNTO

ARCHIVO DAT/RINEX: CORS CS11300_A.13o ARCHIVO DAT/RINEX: PCF 10981290.obs

ARCHIVO DAT/RINEX: BASE 10981290.obs ALTURA DE ANTENA: 2.00 M.

ITINERARIO:

Partiendo del centro en la ciudad de El Progreso con rumbo S.E. aproximadamente 24,33 Km., sobre la carretera que conduce de el Negrito a la comunidad de Morazán, la marca está en la orilla de la carretera en el lado N.W.

Q-115-1


136





ID:E118

CROQUIS

Nombre: E-118-A

Ubicación: El Progreso

Departamento: Yoro

RESEÑA

La marca es un banco de nivel, en un disco de aluminio incrustado en cabezal S.E de puente sobre el río Chindongo, en la línea que conduce de La Ceiba – Tela – Progreso




Longitud: 87°45'58.9383"W

Latitud: 15°29'00,16361"N

Altura elipsoidal:41.7246


COORDENADAS U.T.M.

Norte: 1711937.7485m

Este: 417795.1977m

Altura Ortométrica: 39.5833 msnm

Zona: 16





ITINERARIO:

Partiendo del centro de la ciudad de El Progreso, con rumbo N.E. aproximadamente 9.6 Km., sobre la carretera que conduce de El Progreso a Tela, la marca está en el cabezal del el puente sobre el Rio Chindongo.


137





ID: H-48

CROQUIS

Nombre: H-48

Ubicación: Santa Rita

Departamento: Yoro

RESEÑA

La marca es un banco de nivel, en un disco de aluminio incrustado en un monumento de concreto, el lugar es despoblado y está a 1.7 km del desvío a la comunidad de Pata de Gallina, en la línea que conduce de Santa Rita a Yoro.




Longitud: 87°48'30,30947"W

Latitud: 15°10'24,06178"N

Altura elipsoidal: 193.1657 M.


COORDENADAS U.T.M.

Norte: 1677659.8392m

Este: 413156.7979m

Altura Ortométrica: 191.0552msnm

Zona: 16





ITINERARIO:

Partiendo del centro de la ciudad de El Progreso, con rumbo S.W. aproximadamente 26 Km., sobre la carretera que conduce de Santa Rita a El Negrito, la marca está en el costado sur de la vía a 12 m del eje central de la carretera.

Q-115-1


138





ID:J-16

CROQUIS

Nombre: J-16

Ubicación: Santa Rita

Departamento: Yoro

RESEÑA

La marca es un banco de nivel, en un disco de aluminio incrustado en cabezal N.E del puente de la comunidad de El Bálsamo, en la línea que conduce de San Pedro Sula a Yoro.




Longitud: 87°52'04,04602"W

Latitud: 15°15'49,87.6850"N



COORDENADAS U.T.M.

Norte: 1687695.6156m

Este: 406818.3279m

Altura ortométrica: 66.4627msnm

Zona: 16





ITINERARIO:

Partiendo del centro de la ciudad de El Progreso, aproximadamente 17.05 Km., sobre la carretera que conduce hacia La Barca, la marca está en el puente de la comunidad de El Bálsamo en la parte N.W. del puente.


139





ID:J-26

CROQUIS

Nombre: J-26

Ubicación: El Progreso

Departamento: Yoro

RESEÑA

La marca es un banco de nivel, en un disco de aluminio incrustado en cabezal N.E del puente, en la línea que conduce de La Barca a El Progreso.


MODELO GEOIDAL:EGM2008 corregido localmente


Longitud: 87°48'10,65337"W

Latitud: 15°22'27,02552"N

Altura elipsoidal: 52.2174


COORDENADAS U.T.M.

Norte: 1699872.0530m

Este: 413825.3829m


Zona: 16





ITINERARIO:

Partiendo del centro de la ciudad de El Progreso con rumbo S.E. aproximadamente 3.7 Km., sobre la carretera que conduce de Santa Rita a El Progreso, la marca está en el cabezal del el puente de la colonia El Castaño al lado N.E.


140





ID:T117

CROQUIS

Nombre: T-117-A

Ubicación: Toyos

Departamento: Yoro

RESEÑA

La marca es un banco de nivel, en un disco de aluminio incrustado en el cabezal del puente sobre el río Congo, en la comunidad llamada Toyos viniendo de la ciudad de El Progreso hacia Tela




Longitud: 87°39'09,82387"W

Latitud: 15°32'13,44653"N



COORDENADAS U.T.M.

Norte: 1717836.3660m

Este: 430003.6824m


Zona: 16





ITINERARIO:

Partiendo del centro de la ciudad de El Progreso con rumbo N.E. aproximadamente 21.2 Km., sobre la carretera que conduce a la ciudad de Tela, la marca está en el cabezal del el puente sobre el Rio Congo en el lado N.E

T-117-A


141





ID: W-48

CROQUIS

Nombre: W-48


T. Municipal: Yoro

RESEÑA

La marca es un banco de nivel, en un disco de aluminio incrustado en un monumento de concreto, el lugar es semi-poblado en la orilla del cerco propiedad de Tony Ventura, en la línea que conduce de Santa Rita a Yoro.




Longitud: 87°39'30,75984"W

Latitud: 15°17'14,66600"N

Altura elipsoidal: 144.1719


COORDENADAS U.T.M.

Norte: 1690222.0474m

Este: 429295.6598m


Zona: 16



ARCHIVO DAT/RINEX: CORS CS11300_A.13o ARCHIVO DAT/RINEX: PCF k1141351.13o


ITINERARIO:

Partiendo del centro de la cuidad de El Progreso, con rumbo S.E. aproximadamente 20.64 Km., sobre la carretera que conduce de El Negrito a Morazán, la marca está en el lado sur de la vía a 16 m del eje central de la carretera.

Q-115-1


142





ID:F-49

CROQUIS

Nombre: F-49


T. Municipal: Yoro

RESEÑA

La marca es un banco de nivel, en un disco de aluminio incrustado en cabezal NW del puente sobre el río Cuyamapa, en la línea que conduce de Santa Rita a Yoro.

DATUM: WGS -84



Longitud: 87°31'36,17174"W

Latitud: 15°18'43,37307"N



COORDENADAS U.T.M.

Norte: 1692909.0048m

Este: 443456.5353m


Zona: 16





ITINERARIO:

Partiendo del centro de la ciudad de El Progreso con rumbo S.E. aproximadamente 31 Km., sobre la carretera que conduce de Morazán a Cuyamapa, la marca está en el cabezal del el puente sobre el Rio Cuyamapa en el lado N.W.


143





ID:P-49

CROQUIS

Nombre: P-49


T. Municipal: Yoro

RESEÑA

La marca es un banco de nivel, en un disco de aluminio incrustado en un monumento de concreto, a 1.9 km de la comunidad de Chancaya en la línea que conduce de Santa Rita a Yoro.

DATUM: WGS -84



Longitud: 87°25'08,07393"W

Latitud: 15°15'56,08244"N


Fecha de Medición:09/05/2013 12:04

COORDENADAS U.T.M.

Norte: 1687743.7874m

Este: 455019.8272m


Zona: 16





ITINERARIO:

Partiendo del centro en la ciudad de El Progreso con rumbo S.E. aproximadamente 24,33 Km., sobre la carretera que conduce de el negrito a la comunidad de Morazán, la marca está en la orilla de la carretera a 1.9 km de la comunidad de Chancaya en la línea que conduce de Santa Rita a Yoro.

Q-115-1


144





ID:B117

CROQUIS

Nombre: B-117-A

Ubicación: Mezapa

T. Municipal: Atlántida

RESEÑA

La marca es un banco de nivel, en un disco de aluminio incrustado en cabezal SE de puente sobre el Rio San Alejo, en la línea que conduce Tornabé y Toyos

DATUM: WGS -84



Longitud: 87° 34' 59.63062"W

Latitud: 15° 42' 29.48001"N

Altura elipsoidal: 23.3140 m.

Fecha de Medición: 12 mayo 2013 14:40:20.00

COORDENADAS U.T.M.

Norte: 1736743.4062m

Este: 437508.5395m


Zona: 16



ARCHIVO DAT/RINEX: CORS CEIB1330.13o ARCHIVO DAT/RINEX: PCF v1161323.13o

ARCHIVO DAT/RINEX: BASE t1161330.13o ALTURA DE ANTENA: 2.50 M.

ITINERARIO:

Partiendo del desvió a Tornabé con rumbo S.W. aproximadamente 4.7 Km., sobre la carretera que conduce de Tornabé a Toyos, la marca está en el cabezal del el puente sobre el Rio San Alejo el lado S.E.

B-117-A


145





ID:C116

CROQUIS

Nombre: C-116-1

Hoja IGNTG:

Ubicación: Arizona T. Municipal: Atlántida

RESEÑA

La marca es un banco de nivel, en un disco de aluminio incrustado en cabezal NW de puente sobre Quebrada Arizona, en la línea que conduce de Arizona a Atenas de San Cristóbal

DATUM: WGS -84



Longitud: 87° 19' 55.57988"W

Latitud: 15° 41' 06.59579"N

Altura elipsoidal: 27.3877M.


COORDENADAS U.T.M.

Norte: 1734138.5290m

Este: 464412.2327m


Zona:16



ARCHIVO DAT/RINEX: CORS CEIB1340.13o ARCHIVO DAT/RINEX: PCF l1171331.13o


ITINERARIO:

Partiendo del PUENTE SOBRE EL Rio Hicaque con rumbo S.W. aproximadamente 5.7 Km., sobre la carretera que conduce de Hicaque a Siempre Viva, la marca está en el cabezal del el puente sobre el Rio El Porvenir el lado NW.

C-116-1


146





ID:L117

CROQUIS

Nombre: L-117-A

Ubicación: Pajuiles, Tela


RESEÑA

La marca es un banco de nivel, en un disco de aluminio incrustado en cabezal SW de puente sobre el rio Pajuiles, en la línea que conduce de Tela a Progreso.

DATUM: WGS -84



Longitud: 87° 36' 31.81722"W

Latitud: 15° 35' 49.86252"N



COORDENADAS U.T.M.

Norte: 1724472.1917m

Este: 434729.4909m


Zona: 16



ARCHIVO DAT/RINEX: CORS CEIB1330.13o ARCHIVO DAT/RINEX: PCF GB117B13.133


ITINERARIO:

Partiendo de la comunidad de Santiago con rumbo S.W. aproximadamente 1 Km., sobre la carretera que conduce de Tela a El Progreso, la marca está en el cabezal del el puente sobre el Rio Pajuiles el lado S.E.

L-117-A


147





ID:V116

CROQUIS

Nombre: V-116-A

Ubicación: Puerto Arturo

T. Municipal: Tela, Atlántida

RESEÑA

La marca es un banco de nivel, en un disco de aluminio incrustado en cabezal SW de puente sobre la quebrada la Esperanza, en la línea que conduce de Tela a Progreso

DATUM: WGS -84



Longitud: 87° 30' 14.10359"W

Latitud: 15° 45' 23.79912"N



COORDENADAS U.T.M.

Norte: 1742077.7919m

Este: 446019.6781m

Altura ortométrica: 06.6585 msnm

Zona:16



ARCHIVO DAT/RINEX:BASE d2411320.13o ARCHIVO DAT/RINEX:MOVILv1161321.13o

ARCHIVO DAT/RINEX:CORS CEIB132.13o ALTURA DE ANTENA: 2.50 M.

ITINERARIO:

Partiendo de la ciudad de Tela con rumbo S.W. aproximadamente 5.5 Km., sobre la carretera que conduce de Tela a Progreso, la marca está en el cabezal del el puente sobre quebrada La Esperanza, en el lado S.E.

V-116-A


148





ID:T1161

CROQUIS

Nombre: T-116-1

Ubicación: TELA


RESEÑA

La marca es un banco de nivel, en un disco de aluminio incrustado

en cabezal SE de puente sobre el Río Highland Creek Carretera Tela a La Ceiba, 1 Km. delante de Tela, Atlántida

DATUM: WGS -84



Longitud: 87° 26' 01.86658"W

Latitud: 15° 46' 55.39448"N



COORDENADAS U.T.M.

Norte: 1744875.5012m

Este: 453531.1471m


Zona: 16



ARCHIVO DAT/RINEX: CORS CEIB1330.13o ARCHIVO DAT/RINEX: PCF d2411320.13o

ARCHIVO DAT/RINEX: BASE d2411320.13o ALTURA DE ANTENA: 2.50 M.

ITINERARIO:

Partiendo de la entrada a Tela con rumbo N.E. aproximadamente 1 Km., sobre la carretera que conduce de Tela al desvió del Triunfo La Cruz, la marca está en el cabezal del el puente sobre el Rio Highland Creek.


149





ID:Q115

CROQUIS

Nombre: Q-115-1

Ubicación: Siempre Viva, San Juan pueblo


RESEÑA

La marca es un banco de nivel, en un Disco de Aluminio incrustado en cabezal SW de puente sobre el rio Siempre Viva, en la línea que conduce de San Juan Pueblo a Siempre Viva

DATUM: WGS -84



Longitud: 87° 15' 26.35371"W

Latitud: 15° 36' 18.32817"N

Altura elipsoidal: 70.3348M.


COORDENADAS U.T.M.

Norte: 1725270.2201m

Este: 472415.3742m

Altura ortométrica: 69.1380 msnm

Zona: 16



ARCHIVO DAT/RINEX: CORS CEIB13403.13o ARCHIVO DAT/RINEX: PCF j1171342.13o


ITINERARIO:

Partiendo del Puente sobre el rio San Juan S.W. aproximadamente 5.3 Km., sobre la carretera que conduce de La Ceiba a Tela, la marca está en el cabezal del el puente sobre el Rio Siempre Viva en el lado N.W.

Q-115-1

150




IX.4 Anexo Fotográfico

IX.4.1 Inspección de campo preliminar (fecha: 03 al 13 de diciembre de

2012)

Parte del equipo de trabajo Identificación de un banco de nivel en Atlántida

Banco de nivel encontrado Realizando reconocimiento de los BMs

Banco de nivel incrustado en un puente Se pintó el lugar donde se encontró el BM con

el fin de poder ubicarlo fácilmente posteriormente

151




Identificando y reconociendo bancos de nivel en Yoro

Banco de nivel encontrado en una alcantarilla

152




IX.4.2 Mediciones en la segunda gira de campo (fecha: 07 al 12 de mayo

2013)

Estación CORS de San Pedro Sula

Uno de los técnicos preparando el equipo GPS para realizar las mediciones en uno de los

bancos de nivel

153




Medición del Banco de nivel P-49

154




Medición del Banco de Nivel F-49

Un método para encontrar la corrección al modelo de geoide

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