Un Funcional Discreto para Controlar la Calidad de Área en...

II Encuentro Cuba–México deMétodos Numéricos y

Optimización

Un Funcional Discreto para Controlar la Calidadde Área en Mallas Estructuradas Planas

presenta

Pablo Barrera Sánchez Fco. Domínguez-MotaGustavo García Cano Guilmer González

Facultad de Ciencias, UNAM

La Habana, cuba a 21 de enero de 2013

Contenido

1 Algunas mallas sobre regiones de interésEmbalses, ríos y mares

2 Formulación del problemaTeoría básicaFormulación discretaPlanteamiento moderno

3 Funcional para controlar el tamaño de áreaFuncional bilateral

4 Propuesta de uso

5 Sistema UNAMalla

Un Funcional Discreto para Controlar la Calidad de Área en Mallas Estructuradas Planas

Algunas mallas sobre regiones de interés

Embalses, ríos y mares

Embalse superior en Arkansas




Estrecho de Gibraltar




Bahía de la Habana


Formulación del problema

Teoría básica

Contando con una región poligonalΩ que define la región deinterés

podemos construir un mapeo desde la frontera del cuadradounitario B y deseamos extender esto a todo el interior de laregión de una forma adecuada.



Teoría básica

Teorema Si x es un mapeo en el plano de manera que

x : B 7→Ω

x|∂B = ∂ΩJ(ξ,η) > 0, ∀(ξ,η) ∈ B

entonces x(ξ,η) es un homemorfismo de B sobreΩ



Teoría básica

Teorema Sea B partida en nc regiones simples Bi tales que

B =∪nci=1Bi, Int(Bi)∩ Int(Bj) =φ

1 x : B 7→Ω es continua2 xi es suave en cada Bi

3 xi = x|Bi

4 x∂B 7→ ∂Ω es un homeomorfismo5 Ji(ξ,η) > 0. ∀(ξ,η) ∈ Bi. ∀i = 1, . . . ,nc

entonces x es un homeomorfismo entre B yΩ



Formulación discreta

Definición de una malla discreta1 Sea B el cuadrado unitario2 Construyamos una regilla m×n uniforme sobre B

U(m,n) =(

i

m,

j

n

)| 0 ≤ i ≤ m,0 ≤ j ≤ n

donde

∂U(m,n) = ∂B∩U(m,n)




Una malla discreta G de m×n sobreΩ es un mapeo

G : U(m,n) 7→ R2

de forma queG(∂U) ⊂ ∂Ω

y∂G = G(∂U) = Γmn ⊂ ∂Ω




Si consideramos que la frontera tiene una orientaciónpositiva, esta induce una orientación de las celdas cij = G(Bij),y de manera similar sobre los cuatro triángulos de una celdacuadrilátera

P PQ Q

R RS S

∆

∆ ∆

∆(1) (2)

(3) (4)

Nuestro interés es controlar la convexidad, suavidad yortogonalidad de las celdas.




La forma en que se obtenemos las mallas estructuradasinvolucra un proceso de minimizar un funcional adecuadoescrito en la forma

F(G) =N∑

q=1f (4q), (1)

donde f (4q) depende de los vértices del triángulo 4q, y N esnúmero total de triángulos de la malla.



Planteamiento moderno

Problema Resolver

G∗ = arg mınG∈M(Ω)

N∑q=1

f (4q)

sobre la colección de mallas admisibles M(Ω) para la regiónΩ.




Sobre un triángulo A,B,C ∈ R2 definimos algunas cantidades

sobre las longitudes

λ(4(A,B,C)) = ‖A−B‖2 +‖C −B‖2

una medida del área

α(4(A,B,C)) = (B−A)tJ2(B−C) = 2área(4(A,B,C))

con

J2 =(

0 1−1 0

)




una forma de medir la ortogonalidad

o(4(A,B,C)) = (B−C)t(B−C)




Funcionales clásicos

de área

FA(G) =N∑

q=1α(4q)2

longitud

FL(G) =N∑

q=1λ(4q)

ortogonalidad

FO(G) =N∑

q=1o(4q)2




área ortogonalidad

FAO(G) =N∑

q=1

α(4q)2

2+ o(4q)2

2

área longitud

FAL(G) =N∑

q=1σα(4q)2 + (1−σ)λ(4q)




Funcionales recientes

armónico

FH (G) =N∑

q=1

λ(4q)

α(4q)

cuasi-ármonico

FHω(G) =N∑

q=1

λ(4q)−2α(4q)

ω+α(4q)

cuyo origen se encuentra en acotar la región D de mallasconvexas y obtener una malla G∗ con característicassimilares al armónico.




Una pregunta inmediata es la forma que deben ser losfuncionales

F(G) =N∑

q=1f (4q), (2)

cuyo mínimo garantice una malla convexa.




Una solución eficiente al problema anterior fue propuestapor Barrera y Domínguez-Mota,

TeoremaSi f es una función convexa C2 estrictamente decreciente yacotada por abajo de manera que f (α) → 0 cuando α→∞,entonces

Sω(G) =N∑

q=1f (ω ·α(4q)) (3)

con ω suficientemente grande se tiene en su óptimo unamalla convexa.




Una de las funciones f que se ha usado es

f (α) =

1/α, α≥ 1(α−1)(α−2)+1, α< 1

(4)

obteniendo muy buenos resultados.

Las mallas ε-convexa obtenidas al minimizar Sω conformecon (4) han sido reportadas por los autores en varios artículosrecientes.




Forma del funcional




Combinación con funcionales clásicos

Es posible utilizar este funcional en combinación con algunode los cásicos Fc(G) de Longitud, Ortogonalidad oÁrea–Ortogonalidad en la forma

F(G)) =σSω(G)+ (1−σ)Fc(G)

Mallas suaves convexas y casi-ortogonales




Contamos de manera directa con 3 valores asociados a lamalla G relacionados al área, α/2 de cada triángulo

α_(G) = mınα(4q)|q = 1, ...,N, (5)

α+(G) = maxα(4q)|q = 1, ...,N, (6)

α(Ω) = 1

N

N∑q=1

α(4q). (7)




Con la región y con ello las celdas con orientación positiva, esinmediato que

N∑q=1

α(4q) = 4 Área(Ω), (8)

Estas cantidades nos permitirán saber en forma inmediata eltamaño de las celdas.


Funcional para controlar el tamaño de área

Observaciones generales

Se ha observado que para muchas regiones muy irregulares sepueden obtener celdas con α−(G) pequeño o muchas celdascercanas a ello.



Blue lagoon




La propuesta es formular funcionales positivos convexos yacotados por abajo de manera que solamente corrija aquellasceldas cuya área sea más pequeña que un valor αl.




Proponemos un funcional que solamente penalice el áreamenor a αl

fl(α) = Al[(αl −α)+]2



La idea geométrica de este funcional es que solamente lasceldas de área pequeña se vean empujadas a ser mayor que αl

−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0

1

2

3

4

5

6

7



Con esto, las características globales de suavidad yortogonalidad de la malla se conserven a lo largo de la regióny solamente en zonas o secciones de ella se modifique el área.



Funcional bilateral

Ahora, podemos extender esta idea para controlar el tamañode las celdas de área grande, es decir que sean menor a unvalor αr

fb(α) = Al[(αl −α)+]2 +Ar[(α−αr)+]2

−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0

1

2

3

4

5

6

7



Funcional bilateral


Propuesta de uso

El nuevo funcional se puede usar de dos formas:

1) Para generar mallas convexas donde predominefundamentalmente las propiedades del funcional cásicoelegido y al final se controle el tamaño de las celdas.

2) Como un corrector de las celdas con valores mayores queαl y menores que αr


Propuesta de uso

Hemos introducido otro parámetro adicional σeq paraequilibrar los pesos de las funcionales. La idea es muysencilla: cuando estamos cerca de una malla convexa reducirel peso del funcional clásico en la forma

F(G) =σFb(G)+ (1−σ)σeqFc(G)

y σeq se elige de manera que σeq −→ 0 para de esa formacontar con las propiedades de la combinación y al finalsolamente perturbar las áreas de interés.


Sistema UNAMalla

Hemos desarrollado una versión del sistema UNAMallabasado en Qt.


Sistema UNAMalla

Muchas gracias!!!

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