ULPGC INVESTIGACIÓN OPERATIVA CURSO 2003 … · 6 Ejemplo 1 lVer Hillier y Lieberman, 13.4...
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ULPGC INVESTIGACIÓN OPERATIVA CURSO 2003-2004 PROGRAMACIÓN ENTERA PROGRAMACIÓN ENTERA Hillier Hillier y y Lieberman Lieberman , , cap cap .13 .13 Introducción l Programación lineal (método del simplex) variables continuas l Programación entera: restricción adicional: variables han de ser enteras Caso particular: programación entera binaria (0/1) Programación entera mixta: algunas variables han de ser enteras, otras no
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ULPGCINVESTIGACIÓN OPERATIVA
CURSO 2003-2004
PROGRAMACIÓN ENTERAPROGRAMACIÓN ENTERAHillierHillier y y LiebermanLieberman, , capcap.13.13
Introducción
l Programación lineal (método del simplex) variables continuas
l Programación entera: restricción adicional: variables han de ser enterasCaso particular: programación entera binaria
(0/1)
Programación entera mixta: algunas variables han de ser enteras, otras no
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Como formular problemas de PEB
l Alternativas mutuamente excluyentesl X1+X2=1l X1+X2<=1
l Decisiones contingentesl X3-X1<=0
Como formular problemas de PEB (2)Uso de variables binarias auxiliares
l Restricciones de una u otral 3X1+2X2<=18+yMl X1+4X2<=16+(1-y)Ml M muy grande
l Deben cumplirse K de M restriccionesl Funcones con N valores posibles
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Como formular problemas de PEB (3)Problema de cargo fijo
l Ver Hillier y Lieberman cap 13
Como formular problemas de PEB (4)Reescribiendo variables enteras como funciones lineales de variables binarias
l Una variable X tiene la restricción 0<=X<=udonde 2N-1<u<=2N
l Cada valor factible de X se puede expresar de forma única como la suma de N+1variables binarias auxiliares y
l Donde las y son variables binarias auxiliares
∑=
=N
ii
i yX02
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Resolución de problemas de programación entera
l Enumeración exhaustival Relajación lineal (LP relaxation)l Branch and bound (Ramificar y acotar)lMétodo de los planos de corte (Gomory)
Enumeración exhaustiva
No es viable, debido a que las soluciones crecende forma exponencial
PEB n variables: 2n posibles soluciones
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Relajación lineal (I)
Consiste en resolver el mismo problema sin las condiciones de variables enteras
Si el óptimo cumple las condiciones de las variables enteras, entonces es óptimo del problema entero
0
1
2
3
4
5
0 1 2 3 4 5
Politopo entero:
Todos los ptos extremosson enteros
Branch and bound
Método de enumeración implícita:
divide en problemas menores: ramificación
y descarta algunos de ellos: acotación
A veces puede usarse como heurístico, si no se exploran todos los nodos. Si se exploran todos sí se garantiza el óptimo.
Puede aplicarse tanto a PEB como a PEM
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Ejemplo 1
l Ver Hillier y Lieberman, 13.4
Algoritmo Branch & Bound
0. Resolver el problema lineal relajado asociado- si la solución es entera: solución óptima- si no es entera, ir al paso 1. Inicializar la cota
1. Ramificación: Crear dos subproblemas ramificando una variable (en 0-1 o en x≤K y x≥K)2. Acotación: Para cada subproblema, determinar una cota (superior o inferior) para la función objetivo3. Sondeo: Se deja de desarrollar una rama si:
- la solución es entera. En ese caso, y si la f.obj. es mejor que la cota actual, se guarda como nueva cota
- la función objetivo es peor que la cota- la solución es no factible
4. Si se ha llegado al final de todas las ramas, parar y escoger como óptima la solución con mejor función objetivo.
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Variantes del algoritmo
Para la ramificación:- escoger el último nodo generado (fácil reoptimizar)- escoger el nodo más prometedor (mejor cota)
Planos de corte
Se llama plano de corte a toda restricción válida deducida de las restricciones lineales
Se trata de que todas las soluciones enteras lo verifiquen, pero que aísle las soluciones obtenidas por relajación lineal, hasta llegar a una solución entera
El algoritmo converge pero es bastante lentoAlgoritmo de plano secante de Gomory
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Corte fraccional de Gomory
Sea una variable xk no entera. Su fila del Simplex será:
∑∈
−=Nj
jkjkk xyxx
Y fk y fjk son las partes fraccionales de xk e ykj
Entonces, el plano de corte correspondiente es:
∑∈
≤−Nj
jk jk xff 0
y la variable de holgura será entera
ULPGCINVESTIGACIÓN OPERATIVA
CURSO 2002-2003
MEDIDAS DE EFICIENCIA MEDIANTE MEDIDAS DE EFICIENCIA MEDIANTE MODELOS DEAMODELOS DEA
Aplicaciones prácticas de los Aplicaciones prácticas de los métodos de programación enteramétodos de programación entera
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Productividad y eficiencia
l Productividad=outputs/inputsl Eficiencia: compara valores observados con
valores óptimos (de outputs o inputs)l ?Productividad=f(? eficiencia, tecnología,
entorno)Interés en aislar el efecto de la eficiencia:
Para compararse con los “mejores” (BENCHMARKING”)como indicador de “éxito”para explorar fuentes de la ineficiencia
Tipos de eficiencia productiva
l Eficiencia técnical Definición de Koopmans (1951): “El crecimiento de
cualquier output requiere al menos(…) Y la reducción de cualquier input requiere al menos (…)
l Medidas:l Orientación a inputsl Orientación a outputs
l Eficiencia económical Grado de cumplimiento de un objetivo económico.
Ejemplo, min. Costesl Implica eficiencia técnica y asignativa
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LA FRONTERA EFICIENTE
l Las UTD (Unidades de Toma de Decisiones) técnicamente eficientes operan sobre la frontera de producción
l La eficiencia técnica de una empresa que produce un solo output se puede medir mediante el ratio entre output observado y output potencial (máximo posible).
l La eficiencia asignativa refleja comparaciones a lo largo de una isocuanta.
l Una UTD es eficiente asignativamente si utiliza la combinación de factores de producción de mínimo coste.
l El nivel de eficiencia asignativa depende de los precios relativos de los inputs y de sus respectivas productividades marginales.
LA FRONTERA EFICIENTE
l OBJETIVO DE LOS MÉTODOS DE FRONTERA: estimar la función frontera de producción o de costes y medir de desviaciones individuales respecto a la frontera
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LA FRONTERA DE PRODUCCIÓN
l La frontera de producción expresa, en unidades físicas, la máxima cantidad de output (y*) obtenible a partir de unas cantidades dadas de inputs(X).
l El output efectivamente producido (y) puede ser inferior a su frontera, siendo la diferencia (u) la ineficiencia técnica absoluta en que se incurre (u>=0).
l Z: variables de entorno; v: error aleatorio
0u con u-v+)Z,XY(=u-Y=)y( iiiiii*ii ≥LnLnLn [1]
La frontera de costes
l Escribela!
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MODELOS DEFRONTERA
Métodos paramétricos Métodos no paramétricos
Modelos de frontera determinista
Modeloseconométricos
de fronteraestocástica
DEA
Dos enfoques metodológicos para medir la eficiencia de UTD (1)
l Deterministal Orientado a la toma
de decisiones para la gestión. Origen en ManagementScience
l Cálculos: resolución de problemas de programación lineal
l Estocástico l Fuerte orientación
política desde su origen. Bases teóricas en la Economía
l Cálculos basados en inferencia estadística
DEA MODELOS ECONOMÉTRICOS DE FRONTERA ESTOCÁSTICA
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Dos enfoques metodológicos para medir la eficiencia de UTD (1)
l Generalmente, construye fronteras de producción para medir eficiencia técnica
l Estima fronteras de producción o costes, para medir la eficiencia técnica, asignativa o ambas
DEA MODELOS ECONOMÉTRICOS DE FRONTERA ESTOCÁSTICA
Dos enfoques metodológicos para medir la eficiencia de UTD (1)
l No requiere especificar una determinada forma funcional de la función de producción. Muy flexible, vale para culaquier 'tecnología' de transformación de inputsen outputs
l Diseñado para evaluar UTD que producen múltiples outputs.
l Requiere especificar una determinada forma funcional de la función de producción o costes en su caso (Cobb-Douglas, Elasticidad de Sustitución constante, translog,...).
DEA MODELOS ECONOMÉTRICOS DE FRONTERA ESTOCÁSTICA
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Dos enfoques metodológicos para medir la eficiencia de UTD (1)
l Solo requiere datos de cantidades de inputs y outputs.
l Especialmente útil para evaluar servicios públicos que operan sin mercado o cuyos precios unitarios de inputs se desconocen
l La frontera de producción no acomoda con facilidad múltiples outputs. Sí lo hace la frontera de costes
l Para estimar la frontera de costes se necesitan datos de cantidades y precios de los inputs
DEA MODELOS ECONOMÉTRICOS DE FRONTERA ESTOCÁSTICA
Dos enfoques metodológicos para medir la eficiencia de UTD (1)
l Para cada UTD, se construye una frontera 'de la mejor práctica', formada por otras UTD eficientes a las que 'imitar‘
l Tratamiento flexible de los efectos de la escala de operación. Admite que cada UTD tenga su tamaño 'más productivo'
l . La frontera estimada, de la que forman parte las UTD eficientes, es única para toda la muestra
l . Tratamiento más rígido de los efectos escala de operación: se estima UN tamaño de operación óptimo común (el promedio muestral)
DEA MODELOS ECONOMÉTRICOS DE FRONTERA ESTOCÁSTICA
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Dos enfoques metodológicos para medir la eficiencia de UTD (1)
l Confunde ruído estadístico con ineficiencia (fronteras deterministas). Los resultados pueden ser muy sensibles a los outlierspositivos (UTD atípicamente productivas)
l Considera elementos de buena o mala suerte en los logros, separándolos de la medida de eficiencia, pero requiere suponer unas determinadas distribuciones de probabilidad para ambos componentes aleatorios del modelo. Los resultados pueden ser sensibles a estas hipótesis
DEA MODELOS ECONOMÉTRICOS DE FRONTERA ESTOCÁSTICA
Las medidas radiales de eficiencia técnica (Farrell, 1957)
l Son medidas radiales de distancial Orientada a inputsl Orientada a outputs
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La medida radial de eficiencia técnica de Farrell orientada a inputs
l La distancia de Farrell orientada a inputs, DFI, es la unidad menos la máxima reducción equiproporcional de inputs requerida para obtener un output dado (y)
l La isocuanta L(y) es el conjunto de puntos en el espacio de factores tales que la eficiencia de Farrell orientada a inputs es la unidad.
l Propiedades:l Homogénea de grado -1 en inputsl Monótona decreciente en inputs (monótona débil)l Invariante frente a cambios en la unidad de medida.
l Inconveniente: l Es sólo una condición necesaria para la eficiencia técnica
de Kooprmans
l En el espacio de los productos y de forma similar se define la medida de Farrell orientada a outputs
l El análisis de la eficiencia técnica admite dos orientaciones, a inputs y a outputs
l Una UTD es técnicamente eficiente, en el sentido de Koopmans, si ambos índices de Farrel son la unidad.
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La eficiencia radial de Farrelorientada a inputs
Supongamos que se utilizan dos inputs (x1 y x2) en la producción de un único output (Y), SS’ representa la isocuanta de eficiencia máxima, y AA’ el ratio de precios de los inputs. P punto en el que se encuentra una empresa ineficiente
Eficiencia técnica TE=0Q/0P (0,1)
Eficiencia asignativa AE=0R/0Q (0,1)
Eficiencia económica
EE=TE*AE=0R/0P
Generalmente la isocuanta no es
conocida.
¿Cómo construirla a partir de una muestra de
datos?
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La eficiencia radial de Farrelorientada a outputs
Cambiando a un entorno de dos outputs y un solo input. Podemos frontera de posibilidades de producción dada por ZZ’ y DD’ rectade isobeneficios. El punto A se corresponde con una firma ineficiente
Eficiencia técnica TE=0A/0B
Eficiencia asignativa AE=0R/0C
Eficiencia económica
EE=TE*AE=0A/0C
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Los modelos DEA (1)
l El análisis envolvente de datos DEA surge en 1978 con Charnes, Cooper y Rhodes (1978)
l Como una nueva técnica de medida que permite evaluar la eficiencia técnica de las distintas unidades de decisión en las organizaciones (UTD)
l El análisis DEA utiliza métodos de programación lineal con el objeto de construir una frontera no-paramétrica de producción empírica, que permite calcular la eficiencia relativa de cada UTD ineficiente y detectar cuáles son las UTD eficientes
Los modelos DEA
l Los modelos DEA (Data EnvelopmentAnalysis) son modelos deterministas que estiman la frontera de producción (isocuanta) a partir de una muestra (“frontera de la mejor práctica”)
l Muy utilizados para medir eficiencia técnica en caso de producción de varios outputs y bienes y servicios no comercializables (no hay precios de mercado)l Bancos, comisarías de policías, hospitales,
prisiones, universidades, etc.
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Formulación del modelo DEA orientado a outputs (CCR)
l El modelo CCR original orientado a outputs se formula como uno de programación fraccional cuya función objetivo es maximizar la eficiencia técnica, definida mediante el cociente entre la suma ponderada de los outputs y la suma ponderada de los inputs de la UTD.
l Supongamos que intervienen m inputs xj(j=1,...,m) y se producen k outputs yr (r=1,...,k).
l El objetivo del modelo es calcular los pesos óptimos vj y urde los inputs y outputs respectivamente para cada UTD.
l Los pesos, llamados algunas veces “multiplicadores virtuales” varían entre UTD, se supone que respondiendo a sus diferentes sistemas de valores. Para cada una de las n UTD de la muestra (i=1,...,n) se resuelve el siguiente problema:
jr, 0,v,u
n1,2,...,=i 1, xv
yu
:a sujeto
xv
yu = h
jr
jij
m
1=j
rir
k
1=r
jij
m
1=j
rir
k
1=r0
0
0
∀≥
≤
∑
∑
∑
∑Max
n UTD
K outputs (y)
m inputs (x)
EL MODELO CCR ORIGINAL ORIENTADO A OUTPUTS
La función objetivo maximiza la eficiencia de la UTD i0, restringida a que cada UTD en la muestra tiene, como máximo, eficiencia unidad, y que los pesos han de ser no negativos.
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jr, 0,v,u
n1,2,...,=i 1, xv
yu
:a sujeto
xv
yu = h
jr
jij
m
1=j
rir
k
1=r
jij
m
1=j
rir
k
1=r0
0
0
∀≥
≤
∑
∑
∑
∑Max
n UTD
K outputs (y)
m inputs (x)
EL MODELO CCR ORIGINAL ORIENTADO A OUTPUTS
La solución de los n modelos de programación lineal calcula la eficiencia relativa de las n UTD.
Son eficientes las UTD con valor óptimo de la función objetivo = 1
Para cada UTD ineficiente, la solución del dual (las restricciones con holgura) identifica el subconjunto de unidades eficientes de referencia, o unidades envolventes, que tienen sus mismos pesos ur y vj.
n UTD
K outputs (y)
m inputs (x)
EL MODELO CCR ORIGINAL ORIENTADO A OUTPUTS
El problema primal se puede reescribir en la forma estandar de PL, haciendo la suma del valor de los inputs igual a 1
jr, 0v,u
1,...n=i 0,xv-yu
1=xv
:a Sujeto
yu=h
jr
jijm
1=jrirk
1=r
jijm
1=j
rirk
1=r0
0
0
∀≥
≤∑∑
∑
∑Max
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n UTD
K outputs (y)
m inputs (x)
EL MODELO BCC CON RENDIMIENTOS A ESCALA NO CONSTANTES
El modelo conocido por BCC y formulado en 1984 por Banker, Charnes y Cooper admite que cada UTD puede operar con rendimientos a escala no constantes y permite evaluar la escala óptima de operación de cada UTD de la muestra, así como separar la parte de la ineficiencia debida estrictamente a problemas de gestión de la que se podría achacar a los problemas de dimensión.
Los rendimientos a escala resultantes de un análisis de envolvimiento de datos son locales en un punto de la superficie eficiente de producción
Software DEA
l De aquí se baja un programa EMS para usos academicos solo:
l http://www.wiso.uni-dortmund.de/lsfg/or/scheel/ems/#down
