Unidad Didactica

Aproximacion de areas bajo curvas polinomialesmediante metodos numericos

Luis Fernando Ramırez Oviedo

Universidad de Costa RicaEscuela de Matematica

Abril, 2012

Luis Fernando Ramırez Oviedo Aproximacion de areas bajo curvas polinomiales mediante metodos numericos

Unidad Didactica

Datos Generales

Institucion: Colegio Nacional de Educacion a Distancia .CONED-UNED

Curso: Matematica.Ciclo: Diversificado.Tıtulo: Aproximacion de areas bajo curvas polinomiales

mediante metodos numericos.Autor: Luis Fernando Ramırez Oviedo.Periodo: Agosto, 2012.

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Sesion 2: Integracion Numerica

Simple

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Contenidos

Funciones polinomiales.

Area bajo la curva.

Integracion numerica simple (Punto Medio y Trapecio)

Objetivos

Establecer algunas caracterısticas basicas acerca de lafunciones polinomiales.

Establecer el concepto de area bajo la curva.

Identificar algunos metodos numericos de cuadratura.

Modelar la regla simple de Punto Medio.

Modelar la regla simple del Trapecio.

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Competencias

Modelar: En particular modelar metodos numericos, quepermitan, aproximar areas bajo curvas polinomiales.

Recursos necesarios

Presentacion beamer

Cuaderno de trabajo

Computadora

Video proyector

Calculadora

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Establezcamos algunos conceptos importantes que fundamenten eltrabajo que vamos a realizar en esta unidad.

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Funciones Polinomiales

Convencion

Trabajaremos con funciones polinomiales (polinomios).

En intervalos de la forma [a, b] donde todas las imagenes delpolinomio sean positivas.

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Funciones Polinomiales

Convencion

Trabajaremos con funciones polinomiales (polinomios).

En intervalos de la forma [a, b] donde todas las imagenes delpolinomio sean positivas.

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Funciones Polinomiales A.2.1.

Funcion polinomial (polinomio):Una funcion polinomial f : R→ R de grado n esta descrita poruna ecuacion de la forma:

f(x) = a0 + a1x+ a2x2 + a3x

3 + · · ·+ an−1xn−1 + anx

n,

donde los coeficientes numericos a1, a2, a3, · · · , an son numerosreales (en nuestro caso particular numeros enteros), y an 6= 0.

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Funciones Polinomiales A.2.1.

Ejemplos:Polinomio de grado 3.

p(x) = 7x3 − 4x2 + 5x− 1

Polinomio de grado 2.

q(x) = 3x2 − 1

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Funciones Polinomiales A.2.1.

Funcion Continua:Una funcion se dice continua si se puede dibujar su grafica pormedio de un solo trazo, es decir, sin necesidad de levantar el lapizpara completar la grafica.Las funciones polinomiales o polinomios, son funciones continuas.

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Funciones Polinomiales A.2.1.

Ejemplo: Graficas de funciones continuas

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Funciones Polinomiales A.2.1.

Funcion positiva (negativa):Una funcion se dice positiva (negativa) en un intervalo [a, b] sitodas sus imagenes en dicho intervalo son positivas (negativas)

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Funciones Polinomiales A.2.1.

Funcion positiva en el intervalo [−2, 1]

Figure: f(x) = x3 + 3x2 − x+ 4

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Funciones Polinomiales A.2.1.

Funcion negativa en el intervalo [−3, 2]

Figure: g(x) = −2x2 − 1

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Area bajo la curva A.2.2.

Area bajo la curva: Dada una funcion f continua y positiva en elintervalo [a, b], el area de la region limitada por la funcion f , el ejeX y las lıneas verticales x = a y x = b viene dada por

Area =

∫ b

af(x)dx.

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Area bajo la curva A.2.2.

Definicion: Dada una funcion f continua y positiva en el intervalo[a, b], el area de la region limitada por f , el eje X y las lıneasverticales x = a y x = b se define como

Area =

∫ b

af(x)dx.

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Integracion numerica A.2.3.

Los metodos numericos son tecnicas que permiten resolverproblemas en forma aproximada. En nuestro caso particularestamos interesados en resolver problemas que involucran el calculode areas, En los casos que no se cuente con una formula puntualpara calcular dichas areas, modelaremos a partir de las formulas depolıgonos conocidos nuevas formulas para aproximar el area bajouna curva cualquiera. Estas nuevas formulas se conocen comometodos numericos de cuadratura.

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Integracion numerica A.2.3.

Existen diferentes metodos para aproximar areas, en nuestro casoparticular, solamente estudiamos muy ligeramente algunas de lasformulas de Newton-Cotes, dentro de las cuales estamosinteresados en conocer y utilizar, tres reglas bastante sencillas:

Regla del Punto Medio

Regla del Trapecio

Regla de Simpson (opcional)

Las tres reglas anteriores se pueden presentar en dos formas,simple y compuesta. Las simples se describiran a continuacion ylas formulas compuestas se describiran mas adelante.

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Integracion numerica A.2.3.

Existen diferentes metodos para aproximar areas, en nuestro casoparticular, solamente estudiamos muy ligeramente algunas de lasformulas de Newton-Cotes, dentro de las cuales estamosinteresados en conocer y utilizar, tres reglas bastante sencillas:

Regla del Punto Medio

Regla del Trapecio

Regla de Simpson (opcional)

Las tres reglas anteriores se pueden presentar en dos formas,simple y compuesta. Las simples se describiran a continuacion ylas formulas compuestas se describiran mas adelante.

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Integracion numerica A.2.3.

Existen diferentes metodos para aproximar areas, en nuestro casoparticular, solamente estudiamos muy ligeramente algunas de lasformulas de Newton-Cotes, dentro de las cuales estamosinteresados en conocer y utilizar, tres reglas bastante sencillas:

Regla del Punto Medio

Regla del Trapecio

Regla de Simpson (opcional)

Las tres reglas anteriores se pueden presentar en dos formas,simple y compuesta. Las simples se describiran a continuacion ylas formulas compuestas se describiran mas adelante.

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Integracion numerica A.2.3.

Existen diferentes metodos para aproximar areas, en nuestro casoparticular, solamente estudiamos muy ligeramente algunas de lasformulas de Newton-Cotes, dentro de las cuales estamosinteresados en conocer y utilizar, tres reglas bastante sencillas:

Regla del Punto Medio

Regla del Trapecio

Regla de Simpson (opcional)

Las tres reglas anteriores se pueden presentar en dos formas,simple y compuesta. Las simples se describiran a continuacion ylas formulas compuestas se describiran mas adelante.

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Integracion numerica A.2.3.

Existen diferentes metodos para aproximar areas, en nuestro casoparticular, solamente estudiamos muy ligeramente algunas de lasformulas de Newton-Cotes, dentro de las cuales estamosinteresados en conocer y utilizar, tres reglas bastante sencillas:

Regla del Punto Medio

Regla del Trapecio

Regla de Simpson (opcional)

Las tres reglas anteriores se pueden presentar en dos formas,simple y compuesta. Las simples se describiran a continuacion ylas formulas compuestas se describiran mas adelante.

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Regla del Punto Medio A.2.4.

Sea f es una funcion continua y positiva en un intervalo cerrado yacotado [a, b], se puede aproximar el area bajo la curva por mediode un rectangulo.

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Regla del Punto Medio A.2.4.

Hallemos el punto medio del intervalo [a, b] y llamemosle c. Dedonde obtenemos que c = a+b

2

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Regla del Punto Medio A.2.4.

Construyamos un rectangulo cuyo largo es la distancia entre a y bmientras que el ancho es la distancia entre 0 y f(c) = f

(a+b2

)

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Regla del Punto Medio A.2.4.

Construyamos un rectangulo cuyo largo es la distancia entre a y bmientras que el ancho es la distancia entre 0 y f(c) = f

(a+b2

)

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Regla del Punto Medio A.2.4.

Calculemos el area del rectangulo:

area = largo · ancho

= (b− a) · f(a+ b

2

)

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Regla del Punto Medio A.2.4.

Calculemos el area del rectangulo:

area = largo · ancho

= (b− a) · f(a+ b

2

)

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Regla del Punto Medio A.2.5.

Observacion 3:Observe que mediante la formula anterior acabamos de describir elarea del rectangulo que aproxima el area bajo la curva. Es decir∫ b

af(x)dx ≈ (b− a) · f

(a+ b

2

)

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Regla del Punto Medio A.2.6.

Ejemplo: Aproximar el area bajo la curva, para el polinomiog(x) = x2 − 2x+ 2 en el intervalo [-1, 1].

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Regla del Punto Medio A.2.6.

Ejemplo: Aproximar el area bajo la curva, para el polinomiog(x) = x2 − 2x+ 2 en el intervalo [-1, 1].

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Regla del Punto Medio A.2.6.

Representemos el rectangulo que nos permitira aproximar el areabajo la curva polinomial.

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Regla del Punto Medio A.2.6.

Representemos el rectangulo que nos permitira aproximar el areabajo la curva polinomial.

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Regla del Punto Medio A.2.6.

Utilicemos la formula del punto medio para aproximar el area.∫ 1

−1x2 − 2x+ 2 dx ≈ (1− (−1)) · f

(1 + (−1)

2

)≈ 2 · f(0)≈ 2 · 2≈ 4

Area =

∫ 1

−1x2 − 2x+ 2 dx ≈ 4

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Regla del Trapecio

Que tal si trabajamos en el siguiente metodo numerico yaproximamos el area bajo la curva con un trapecio rectangulo.

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Regla del Trapecio A.2.7.

Si f es una funcion continua y positiva en un intervalo [a, b], sepuede aproximar el area bajo la curva por medio de un trapeciorectangulo.

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Regla del Trapecio A.2.7.

Construyamos un trapecio cuyas bases son las distancias entre eleje coordenado X y las imagenes de los extremos del intervalo, y laaltura del trapecio es la distancia entre los extremos del intervalo.

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Regla del Trapecio A.2.7.

Construyamos un trapecio cuyas bases son las distancias entre eleje coordenado X y las imagenes de los extremos del intervalo, y laaltura del trapecio es la distancia entre los extremos del intervalo.

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Regla del Trapecio A.2.7.

Calculemos el area del trapecio

area =altura · (base mayor + base menor)

2

=(b− a) · (f(b) + f(a))

2

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Regla del Trapecio A.2.8.

Observacion 4:De esta forma hemos hallado una formula para calcular el area deltrapecio que aproxima el area bajo la curva en el intervalo [a, b].∫ b

af(x)dx ≈ (b− a) · (f(a) + f(b))

2

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Regla del Trapecio A.2.9. Ejemplo:

Aproximar el area bajo la curva, mediante la Regla del Trapecio,para el polinomio g(x) = x2 − 2x+ 2 en el intervalo [-1, 1].

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Regla del Trapecio A.2.9. Ejemplo:

Aproximar el area bajo la curva, mediante la Regla del Trapecio,para el polinomio g(x) = x2 − 2x+ 2 en el intervalo [-1, 1].

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Regla del Trapecio A.2.9.

Representemos el trapecio que nos permitira aproximar el area bajola curva polinomial.

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Regla del Trapecio A.2.9.

Representemos el trapecio que nos permitira aproximar el area bajola curva polinomial.

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Regla del Trapecio A.2.9.

Utilicemos la formula del trapecio para aproximar el area.∫ 1

−1x2 − 2x+ 2dx ≈ (1− (−1)) · [f(−1) + f(1)]

2

≈ 2 · (5 + 1)

2

≈ 2 · 62

≈ 6

Area =

∫ 1

−1x2 − 2x+ 2 dx ≈ 6

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Regla del Trapecio A.2.10.

Observacion 5Hemos encontrado dos aproximaciones diferentes para la mismaarea, sin embargo el valor exacto del area buscada es 4.6Observemos una tabla con los tres valores y hagamos unacomparacion de los resultados obtenidos.

Area Exacta 4.6

Area por Punto Medio 4.0

Area por Trapecio 6.0

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Regla del Trapecio A.2.10.

Observacion 5Hemos encontrado dos aproximaciones diferentes para la mismaarea, sin embargo el valor exacto del area buscada es 4.6Observemos una tabla con los tres valores y hagamos unacomparacion de los resultados obtenidos.

Area Exacta 4.6

Area por Punto Medio 4.0

Area por Trapecio 6.0

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En la siguiente sesion exploraremos un metodo para mejorar lacalidad de las aproximaciones.

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