Ubicación de dispositivos FACTS desde una perspectiva … · · 2007-06-11Flexibles de...

Ubicación de dispositivos FACTS desdeuna perspectiva dinámica

Tesis que presenta

Ixtláhuatl Coronado Gallegos

Para obtener el grado de

Maestro en Ciencias

En la especialidad de

Ingeniería Eléctrica

Guadalajara, Jalisco, Septiembre de 2001

Ubicación de dispositivos FACTS desdeuna perspectiva dinámica

Tesis de Maestría en Ciencias

Ingeniería Eléctrica

Por:

Ixtláhuatl Coronado Gallegos

Ingeniero Mecánico Electricista

Universidad Veracruzana 1993-1998

Becario de CONACyT, expediente No. 143816

Director de Tesis:

Dr. Juan Manuel Ramírez Arredondo

CINVESTAV del IPN Unidad Guadalajara, Septiembre de 2001

I

R E S U M E N

En éste trabajo se presentan técnicas para la localización de dispositivos FACTS (SistemasFlexibles de Transmisión de C.A) en un sistema de potencia multimáquinas a fin demejorar el comportamiento transitorio electromecánico.

En la primera parte se presenta una breve introducción acerca de los dispositivos FACTS,en la cual se mencionan algunas de sus principales características, clasificación y lasventajas que presenta su utilización.

En la siguiente parte, se desarrolla la formulación de la matriz de estado en el contextomáquina-barra infinita considerando la posibilidad de incluir un estabilizador de sistemasde potencia. Posteriormente se extiende la formulación a un sistema multimáquina. Ademásse analiza la forma de incluir un capacitor serie controlado por tiristores (TCSC por sussiglas en inglés) y un controlador unificado de flujos de potencia(UPFC por sus siglas eninglés).

Se lleva a cabo un análisis del UPFC en condiciones de estado estacionario y dinámico enun sistema máquina-barra infinita a fin de conocer sus características operativas y sucapacidad para amortiguar oscilaciones de potencia a través de sus entradas de control alutilizar señales locales.

En la última parte del trabajo se propone una metodología para atacar el problema de lalocalización de dispositivos FACTS, la cual esta basada en la técnica de respuesta a lafrecuencia del sistema. Para validar esta propuesta se utilizan algunos casos de estudio y secomparan los resultados obtenidos con los proporcionados por otras técnicas. Asimismo seproponen algunos medios auxiliares para la obtención de localizaciones factibles utilizandootras herramientas matemáticas como los valores singulares y las sensitividades.

Finalmente se llevan a cabo simulaciones en el tiempo para corroborar los resultadosobtenidos.

II

D E D I C AT O R I A

“Por mucho tiempo fuiste un sueño en el sueño de tu madre, luego despertó y te dio el ser.”

K. Gibrán

A mis padresNapoleón Coronado e Imelda Gallegos

A mis hermanosNapoleón, Imelda y Josué C.

A mis abuelosHiginia y Perfecto

a quienes debo todo lo que soy y pueda llegar a ser.

III

A G R A D E C I M I E N T O S

A Dios por haberme dado la oportunidad de completar esta meta.

A mi familia por su cariño, comprensión y apoyo incondicional en todo momento.

A todos los profesores de la especialidad de Sistemas Eléctricos de Potencia, Dr.Pablo Moreno Villalobos, Dr. José Luis Naredo Villagrán, Dr. Arturo Román Messina, Dr.José Manuel Cañedo Castañeda y en especial al Dr. Juan Manuel Ramírez Arredondo porsu apoyo y dirección en la realización de esta investigación.

A todo el grupo de Potencia 99 y agregados, por estar conmigo en las buenas y enlas malas, por todo lo que aprendí de cada uno de ustedes y sobre todo por su amistad.

A toda la gente del CINVESTAV y foráneos que han colaborado directa oindirectamente para llegar al final de esta empresa.

Al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología por el apoyo económico brindadopara el desarrollo de este trabajo.

“En última instancia, llegarás al lugar desde donde podrá mirar atrás, ver todas las personas que han figuradoen tu vida y darte cuenta de que los encontraste porque tenían algo importante que enseñarte.”

W. Dyer

IV

Í N D I C E D E C O N T E N I D O

ÍNDICE DE FIGURAS VIII

CAPÍTULO 1INTRODUCCIÓN 1

1.1 Sistemas de transmisión flexibles de C.A. ________________________________ 2

1.2 Flujo de potencia en un sistema de C.A. _________________________________ 3

1.3 Clasificación _______________________________________________________ 4

1.4 Ubicación _________________________________________________________ 7

1.5 Ventajas en la utilización de dispositivos FACTS __________________________ 8

1.6 Estructura de la tesis_________________________________________________ 9

CAPÍTULO 2ESTABILIDAD DE SEÑAL PEQUEÑA PARA SISTEMAS MULTIMÁQUINAS 11

2.1 Introducción ______________________________________________________ 11

2.2 Formación de la matriz de estado para análisis de señal pequeña _____________ 12

2.3 Transformación de coordenadas d-q a coordenadas R-I_____________________ 14

2.4 Formación de la matriz de estado______________________________________ 15

2.5 Inclusión de un estabilizador de sistema de potencia (PSS) en la matriz de estado 19

2.5.1 Señal estabilizadora Washout ___________________________________________ 19

2.5.2 Compensación de adelanto de fase _______________________________________ 20

2.6 Modelado de cargas estáticas _________________________________________ 23

2.6.1 Representación de cargas estáticas _______________________________________ 23

V

2.7 Resumen _________________________________________________________ 26

CAPÍTULO 3REPRESENTACIÓN EN VARIABLES DE ESTADO DE UN SISTEMAMULTIMÁQUINA 27

3.1 Introducción ______________________________________________________ 27

3.2 Formulación de las ecuaciones de estado________________________________ 28

3.3 Ecuaciones de estado de la máquina síncrona ____________________________ 28

3.4 Ecuaciones de la red ________________________________________________ 30

3.5 Integración de las ecuaciones de la red y del generador_____________________ 32

3.6 Inclusión de un capacitor serie controlado por tiristores (TCSC) _____________ 33

3.7 Inclusión de un Controlador Unificado de Flujo de Potencia (UPFC)__________ 39

3.7.1 Reducción del modelo del UPFC ________________________________________ 44

3.8 Resumen _________________________________________________________ 46

CAPÍTULO 4ANÁLISIS DEL CONTROLADOR UNIFICADO DE FLUJOS DE POTENCIA(UPFC) 47

4.1 Introducción ______________________________________________________ 47

4.2 Modelo del UPFC en estado estacionario _______________________________ 48

4.2.1 Ecuaciones de flujos de potencia en un sistema con UPFC's ___________________ 49

4.3 Inclusión del dispositivo UPFC en el problema máquina-barra infinita ________ 55

4.4 Análisis del UPFC en estado estacionario _______________________________ 57

4.4.1 Comportamiento ante cambios en los parámetros del sistema __________________ 59

4.4.1.1 Variación de las reactancias de los transformadores ET y BT ____________________ 59

4.4.1.2 Variación de la reactancia de línea _________________________________________ 60

4.4.1.3 Variación de la reactancia del transformador (Xtr)_____________________________ 60

4.4.1.4 Variación de la potencia de carga __________________________________________ 65

VI

4.4.1.5 Variación de la magnitud del voltaje en el nodo controlado ______________________ 69

4.4.1.6 Conclusiones __________________________________________________________ 71

4.5 Análisis dinámico ante pequeñas y grandes perturbaciones incluyendo un UPFC 71

4.5.1 Efecto de las señales de control del UPFC en el amortiguamiento de los modos deoscilación mecánicos __________________________________________________ 76

4.5.1.1 Análisis de señal pequeña ________________________________________________ 76

4.5.1.2 Análisis de estabilidad transitoria __________________________________________ 79

4.5.2 Retroalimentación de señales locales _____________________________________ 84

4.5.2.1 Análisis de señal pequeña ________________________________________________ 85

4.5.2.2 Análisis de estabilidad transitoria __________________________________________ 86

4.5.3 Sistema de control del UPFC____________________________________________ 88

4.5.3.1 Control proporcional integral para el enlace de CD____________________________ 89

4.5.3.2 Efecto de las señales de control del UPFC al utilizar un control PI en el enlace de CD. 92

4.6 Resumen _________________________________________________________ 97

CAPÍTULO 5LOCALIZACIÓN DE DISPOSITIVOS FACTS EN UN SISTEMAMULTIMÁQUINAS 99

5.1 Introducción ______________________________________________________ 99

5.2 Criterios para la localización de dispositivos FACTS _____________________ 100

5.3 Localización de controladores FACTS mediante residuos__________________ 100

5.4 Localización de dispositivos FACTS mediante respuesta en frecuencia _______ 102

5.4.1 Sistema retroalimentando la salida ______________________________________ 105

5.4.2 Caso de estudio _____________________________________________________ 106

5.4.3 Ejemplo de aplicación. Caso 46 máquinas. ________________________________ 111

5.5 Análisis de localizaciones factibles utilizando el valor singular _____________ 114

5.5.1 Valores singulares ___________________________________________________ 114

5.6 Pares de amortiguamiento y sincronización _____________________________ 116

VII

5.7 Sensitividades ____________________________________________________ 121

5.8 Resumen ________________________________________________________ 123

CAPÍTULO 6SIMULACIONES EN EL TIEMPO 125

6.1 Introducción _____________________________________________________ 125

6.2 Metodología _____________________________________________________ 126

6.2.1 Consideraciones para la rapidez de la convergencia del problema ______________ 128

6.3 Robustez de los controladores _______________________________________ 128

6.4 Aplicación_______________________________________________________ 129

6.5 Resumen ________________________________________________________ 142

CONCLUSIONES 143

APORTACIONES 144

TRABAJOS FUTUROS 145

PUBLICACIONES 146

APÉNDICE A 148

APÉNDICE B 150

APÉNDICE C 151

APÉNDICE D 153

APÉNDICE E 155

APÉNDICE F 158

APÉNDICE G 160

VIII

Í N D I C E D E F I G U R A S

Fig. 1.1. (a) Símbolo general de los controladores FACTS; (b) Controlador serie 4

Fig. 1.2. Controlador paralelo 5

Fig. 1.3. Controlador unificado serie – serie 5

Fig. 1.4. (a) Controlador coordinado serie – paralelo; (b) Controlador unificado serie –paralelo 6

Fig. 2.1. Transformación del marco de referencia 11

Fig. 2.2. Sistema de excitación estático 14

Fig. 2.3. Diagrama de un PSS 19

Fig. 2.4. Bloque Washout 19

Fig. 2.5. Bloque de compensación de adelanto de fase 20

Fig. 2.6. Bloque de compensación de adelanto de fase 21

Fig. 3.1. Sistema de 3 máquinas, 9 nodos 27

Fig. 3.2. TCSC como capacitancia variable en la línea i-k 35

Fig. 3.3. Esquema para el control del disparo de los tiristores 38

Fig. 3.4. Diagrama esquemático del UPFC 39

Fig. 3.5. (a) UPFC conectado en la línea que une al nodo i y k; (b) modelo del UPFCutilizando fuentes de voltaje; (c) modelo del UPFC utilizando fuentes de corriente 40

Fig. 4.1. Modelo de estado estacionario del UPFC 48

Fig. 4.2. Diagrama fasorial de un UPFC 48

Fig. 4.3. UPFC conectado en la línea l-m 49

Fig. 4.4. UPFC representado por inyecciones de potencia 51

Fig. 4.5. Sistema de 5 nodos, Stagg and El-Abiad 53

Fig. 4.6. UPFC instalado en un sistema de potencia máquina-barra infinita 55

Fig. 4.7. Sistema barra infinita incluyendo un UPFC 56

Fig. 4.8. Modelo monofásico equivalente de estado estacionario del UPFC en un sistemamáquina – barra infinita 58

Fig. 4.9. Retrato de flujos de carga 59

Fig. 4.10. Variación de VB y VE respecto a XS y XSh 61

IX

Fig. 4.11. Variación de SE y SB respecto a XS y XSh 62

Fig. 4.12. Variación de VB respecto a Xlin 62

Fig. 4.13. Variación de SB y S4 respecto a Xlin 63

Fig. 4.14. Variación de Vg y VE respecto a Xtr 63

Fig. 4.15. Variación de IE respecto a Xtr 64

Fig. 4.16. Variación de SE respecto a Xtr 64

Fig. 4.17. Variación de Vg, VB y VE respecto a PL 65

Fig. 4.18. Variación de IB e IE respecto a PL. 66

Fig. 4.19. Variación de SE, SB y S4 respecto a PL 66

Fig. 4.20. Variación de VB y VE respecto a QL 67

Fig. 4.21. Variación de IB e IE respecto a QL 68

Fig. 4.22. Variación de SE, SB y S4 respecto a QL 68

Fig. 4.23. Variación de Vg, VB y VE respecto a V3 69

Fig. 4.24. Variación de IB e IE respecto a V3 70

Fig. 4.25. Variación de SE, SB y S4 respecto a V3 70

Fig. 4.26. Respuesta del ángulo de potencia ante una falla trifásica en la barra infinita 74

Fig. 4.27. Respuesta de la velocidad angular ante una falla trifásica en la barra infinita 74

Fig. 4.28. Comportamiento del ángulo ante una falla trifásica en la barra infinita 77

Fig. 4.29. Comportamiento de la velocidad ante una falla trifásica en la barra infinita 77

Fig. 4.30. Comportamiento del ángulo ante una falla en la barra infinita cuando las señales decontrol actúan en forma individual 80

Fig. 4.31. Comportamiento de la velocidad ante una falla en la barra infinita cuando lasseñales de control actúan en forma individual 81

Fig. 4.32. Comportamiento del ángulo ante una falla en la barra infinita cuando las señales decontrol actúan conjuntamente 82

Fig. 4.33. Comportamiento de la velocidad ante una falla en la barra infinita cuando lasseñales de control actúan conjuntamente 83

Fig. 4.34. Comportamiento del ángulo ante una falla en la barra infinita cuando se utiliza lapotencia real en la línea como retroalimentación (∆mE vs ∆δE) 86

Fig. 4.35. Comportamiento del ángulo ante una falla en la barra infinita cuando se utiliza lapotencia real en la línea como retroalimentación (∆mB vs ∆δE ; ∆δB vs ∆δE) 87

Fig. 4.36. Comportamiento de la velocidad ante una falla en la barra infinita cuando se utilizala potencia real en la línea como retroalimentación (∆mE vs ∆δE) 87

Fig. 4.37. Comportamiento de la velocidad ante una falla en la barra infinita cuando se utilizala potencia real en la línea como retroalimentación (∆mB vs ∆δE ; ∆δB vs ∆δE) 88

Fig. 4.38. Sistema de control del UPFC 88

Fig. 4.39. Control proporcional para el enlace de C.D. 89

X

Fig. 4.40. Comportamiento de la posición angular cuando se tiene un control proporcional yun control proporcional-integral en el enlace de C.D. 91

Fig. 4.41. Comportamiento de la velocidad angular cuando se tiene un control proporcional yun control proporcional-integral en el enlace de CD. 91

Fig. 4.42. Comportamiento del voltaje en el enlace de CD cuando se tiene un controlproporcional y un control proporcional-integral. 92

Fig. 4.43. Comportamiento de la posición angular para cada una de las entradas de controlante una falla en la barra infinita al utilizar como señal de retroalimentación lavelocidad angular. 93

Fig. 4.44. Comportamiento de la velocidad angular para cada una de las entradas de controlante una falla en la barra infinita al utilizar como señal de retroalimentación lavelocidad angular. 94

Fig. 4.45. Comportamiento del ángulo ante una falla en la barra infinita cuando se utiliza lapotencia real como retroalimentación (control PI en el enlace de CD) 96

Fig. 4.46. Comportamiento de la velocidad ante una falla en la barra infinita cuando se utilizala potencia real como retroalimentación (control PI en el enlace de CD) 97

Fig. 5.1. Sistema de potencia con tres máquinas 101

Fig. 5.2. Configuración del sistema retroalimentado 103

Fig. 5.3. Gráficas de respuesta a la frecuencia para G1(s) y G2(s) 104

Fig. 5.4. Diagrama de flujos para la localización de dispositivos FACTS 104

Fig. 5.5. Sistema de potencia de tres máquinas 105

Fig. 5.6. Respuestas de lazo abierto y lazo cerrado con el UPFC en la línea 4-5 107

Fig. 5.8. Gráficas de respuesta a la frecuencia para la ω1 (frecuencia menor), cuando elUPFC se inserta en la línea 75-84. 111

Fig. 5.7. Sistema de 46 máquinas y 190 nodos. 112

Fig. 5.9. Reducción del sistema mostrando el efecto del lazo de los estabilizadores FACTS. 117

Fig. 6.1. Controlador tipo PSS 127

Fig. 6.2. Algoritmo para coordinar controladores tipo adelanto-atraso 130

Fig. 6.3. Estabilizadores para el TCSC y el UPFC 131

Fig. 6.4. Ángulo del generador 12 considerando una falla de cortocircuito en el nodo 59 132


Fig. 6.6. Potencia eléctrica del generador 5 considerando una falla de cortocircuito en elnodo 59 133




XI

Fig. 6.10. Velocidad del generador 7 considerando una falla de cortocircuito en el nodo 78 135














1

C A P Í T U L O 1

I N T R O D U C C I Ó N

Los sistemas de transmisión y distribución de las empresas eléctricas han comenzado unperíodo de cambio, debido principalmente a la creciente demanda de energía eléctrica, laapertura de los mercados, así como el desarrollo en la electrónica de potencia,microprocesadores y comunicaciones en general.

En la actualidad los sistemas de potencia presentan un gran nivel de interconexiones debidoa las ventajas que éstas representan, como son la posibilidad de poder suministrar energíaeléctrica a los centros de carga al mínimo costo con la confiabilidad requerida, tenerasistencia mutua en emergencias, y coordinación de la operación de todas las unidadesgeneradoras participantes. Sin embargo, esto ha traído como consecuencia un crecimientoexcesivo de los sistemas de potencia haciendo que estos sean cada vez más difíciles decontrolar y por lo tanto, pueden ser menos seguros, conducir grandes flujos de potencia concontrol inadecuado, tener exceso de potencia reactiva en varias zonas del sistema, grandesoscilaciones dinámicas entre diferentes partes del sistema, y así el potencial de transmisiónno siempre se puede utilizar al cien por ciento. Aunado a esto, el costo de las líneas detransmisión, así como las dificultades que representa su construcción, limitan ladisponibilidad y el crecimiento de la capacidad de generación. Además, en un sistema detransmisión complejo, la potencia entre una estación generadora y los centros de cargafluye a través de numerosas líneas, éste fenómeno se conoce como flujo en anillo o flujopor rutas paralelas. En un mercado de servicio eléctrico desregulado, éste fenómeno causaproblemas en las empresas eléctricas ya que la energía eléctrica no fluye basada en leyeseconómicas, por lo tanto, el manejo de la transmisión de energía es de principal interés parael establecimiento de una competencia real en el mercado eléctrico [1].

Tradicionalmente las principales acciones de control en un sistema de potencia, tales comoel cambio de taps de los transformadores, o la conmutación de la corriente, se han llevado acabo a través de dispositivos mecánicos. En la actualidad, hay una gran utilización dedispositivos microeléctronicos, computadoras y comunicaciones de alta velocidad para elcontrol y protección de los sistemas de transmisión; sin embargo, cuando las señales deoperación se envían a los circuitos de potencia, y se toma la acción de control final, losdispositivos de conmutación mecánicos presentan una respuesta lenta. Otro problema conlos dispositivos mecánicos es que el control puede fallar, ya que estos tienden a desgastarsecon rapidez respecto a los dispositivos estáticos. De tal forma que la falta de controlesrápidos y confiables puede resultar en:

2

! Problemas de estabilidad! Flujo de potencia por líneas no deseadas! Flujo indeseable de reactivos! Salidas en cascada como consecuencia de los grandes tiempos de restauración! Mal aprovechamiento de la capacidad de transmisión

Así, desde un punto de vista de operación dinámica y de estado estacionario, el sistemapuede tornarse incontrolable.

1.1 SISTEMAS DE TRANSMISIÓN FLEXIBLES DE C.A.

El desarrollo de la electrónica de potencia ha conducido al desarrollo e implementación dedispositivos que realizan las mismas funciones que los mecánicos, pero con una mayorvelocidad de operación y menos problemas técnicos. La filosofía de los sistemas detransmisión flexibles de C.A. (FACTS), desarrollada a finales de los 80s, es el uso dedispositivos basados en tiristores para controlar el flujo de potencia en una línea detransmisión, esto permite utilizar las líneas cerca de sus límites térmicos y/o forzar losflujos de potencia por rutas determinadas. Debido a la rapidez en su operación, estosdispositivos también pueden ser utilizados para controlar problemas dinámicos del sistema.De acuerdo al IEEE la definición de estos dispositivos es la siguiente [2]:

“Sistema de transmisión de corriente alterna que incorpora controladores estáticosbasados en electrónica de potencia para mejorar la controlabilidad e incrementar lacapacidad de transferencia de potencia.”

El concepto de FACTS es nuevo♦ , no obstante, incluye a los compensadores estáticos deVAR´s, los cuales han sido utilizados desde los años 70. De hecho, fueron utilizados porprimera vez en el control de un sistema de transmisión de C.A. en 1978 [3] en un proyectoconjunto de EPRI y la Minnesota Power and Light. Sin embargo, para algunoscontroladores FACTS que están emergiendo actualmente no se tiene la experiencia con laque se cuenta con otros dispositivos teniendo como consecuencia los riesgos asociados a lanueva tecnología. A pesar de esto, la mayoría de los controladores FACTS tienen muchascaracterísticas en común con aquellos que ya han sido probados, lo cual es un gran apoyopara la utilización de los mismos.

La tecnología de FACTS abre nuevas oportunidades en el control de la potencia y elincremento de la capacidad disponible, ya que la posibilidad de controlar la corriente através de una línea a un costo razonable, permite incrementar la capacidad de las líneasexistentes. Esto se puede lograr debido a que estos dispositivos tienen la capacidad demanejar parámetros que actualmente restringen a los sistemas eléctricos de potencia(impedancia serie y shunt, ángulo de fase, oscilaciones a frecuencia subsíncronas),permitiendo además operar las líneas de transmisión cerca de sus límites térmicos, lo queanteriormente no era posible sin violar las restricciones de seguridad del sistema.

♦ El concepto de FACTS fue introducido por Hingonari a la comunidad técnica en 1988 [4].

3

Asimismo, el desarrollo de estos dispositivos también ha tenido repercusiones importantesen el aspecto económico de las compañías suministradoras, debido al ambiente competitivoactual (desregulación). El potencial de esta tecnología se basa en la posibilidad de controlarla ruta del flujo de potencia y la habilidad de conectar redes que no estén adecuadamenteinterconectadas, dando la posibilidad de comerciar energía entre agentes distantes lo queantes era muy difícil.

1.2 FLUJO DE POTENCIA EN UN SISTEMA DE C.A.

Una de las características de los sistemas eléctricos de potencia, es que la energía eléctricagenerada debe ser igual a la energía demandada, ya que la energía eléctrica no puedealmacenarse. Si no se consigue este balance de energía en cada momento, se puedenpresentar ciertos problemas. Por ejemplo, si la generación es menor que la carga, el voltajey la frecuencia disminuirán y como consecuencia la carga será igual a la generación menoslas pérdidas de transmisión. Cuando se tiene un balance generación-carga, la potencia realfluye de las áreas de generación a las áreas de carga a través de todas las rutas disponibles.

El flujo de potencia entre dos puntos a través de una línea de transmisión sin pérdidas estádado por la ecuación

ij

ji

jiij X

)sen(VVP

θ−θ= (1.1)

De esta expresión se puede ver que la potencia que fluye por una línea depende de losparámetros físicos de la red: voltaje en los extremos de la línea, V, impedancia de la línea,Xij, y la diferencia angular entre los voltajes, θ i - θ j.

La característica principal de los controladores FACTS, es la capacidad que tienen paramodificar parámetros del sistema, lo cual permite controlar el flujo de potencia, ya que:

• Al controlar la impedancia de la línea Xij, se puede controlar la corriente, así como lapotencia activa.

• El control del ángulo, permite controlar el flujo de corriente.• Inyectar un voltaje en serie con la línea y ortogonal a la corriente, puede aumentar o

disminuir la magnitud de la corriente.• Inyectar un voltaje en serie con la línea y con cualquier ángulo de fase, puede controlar

la magnitud y la fase de la corriente de línea y por lo tanto, se puede controlar lapotencia real y reactiva de forma más precisa.

• La combinación del control de la impedancia de línea con un controlador serie, y laregulación de voltaje con un controlador shunt puede ser una medida efectiva decontrolar el flujo de potencia real y reactiva entre dos sistemas.

El elemento básico de los FACTS es el tiristor. Esencialmente el tiristor es un conmutadorcontrolado de silicio, con un ánodo, un cátodo y una terminal de control llamadacompuerta. Existen dos tipos principales de tiristores: el Rectificador Controlado de Silicio(SCR), conocido también como tiristor convencional que tiene la capacidad de encendido

4

mediante una señal adecuada, y el tiristor con capacidad de apagado (GTO) el cual puedeencenderse y apagarse mediante señales adecuadas.

Las ventajas que presenta el tiristor sobre los dispositivos de conmutación mecánica son:

1. Los tiristores son capaces de conmutar mucho más rápido y además se puedenutilizar para redireccionar la potencia en una fracción de ciclo. Esta ventaja permiteamortiguar oscilaciones de potencia, lo cual no puede hacerse con controladoresmecánicos.

2. Los dispositivos de conmutación mecánica tienden a desgastarse, mientras que loscontroladores basados en tiristores pueden conmutar dos veces cada ciclo sindeteriorarse.

Los controladores basados en tiristores ofrecen oportunidades sin precedentes para regularla transmisión de C.A., incrementando o disminuyendo el flujo de potencia en líneasespecíficas y respondiendo de manera casi instantánea a los problemas de estabilidad.

1.3 CLASIFICACIÓN

Existen diferentes clasificaciones para los dispositivos FACTS, una de ellas se da enfunción del tipo de conexión de los dispositivos, llevando a cuatro grandes categorías:

Dispositivos SerieEl objetivo principal de un dispositivo serie es el de inyectar un voltaje en serie con la línea,el cual puede provenir de una fuente variable basada en electrónica de potencia o de unaimpedancia variable que puede ser un capacitor, reactor, etc. Una impedancia variablemultiplicada por la corriente que fluye a través de ella, representa un voltaje en serieinyectado a la línea; cuando el voltaje está en cuadratura con la corriente de línea, elcontrolador serie sólo suministra o consume potencia reactiva. Otra relación de fasesimplicará el manejo de potencia real. La Fig. 1.1(b) representa un controlador serie.

Línea

(a)

e

(b)

Fig. 1.1. (a) Símbolo general de los controladores FACTS; (b) Controlador serie

5

Dispositivos en derivaciónEl objetivo principal de un dispositivo en derivación es el de inyectar una corriente a la reden el punto de conexión. Al igual que los dispositivos serie, los controladores en derivacióntambién pueden ser una impedancia variable, una fuente variable o una combinación deambas. De aquí que una impedancia variable, conectada en derivación a una línea, hace quefluya una corriente hacia ella; cuando esta corriente está en cuadratura con el voltaje delínea, el controlador shunt, sólo podrá suministrar o consumir potencia reactiva. En la Fig.1.2, se puede apreciar la representación del dispositivo.

Línea

i

Fig. 1.2. Controlador paralelo

Dispositivos Serie-SerieEn este tipo de dispositivos pueden presentarse dos diferentes configuraciones. En laprimera se tienen dispositivos serie separados en un sistema de transmisión multilínea quese controlan de manera coordinada; en la segunda, puede ser un dispositivo unificado en elque existe además intercambio de potencia real entre líneas. Este último dispositivo seconoce como Controlador de Flujo de Potencia Interlínea (IPFC). La Fig. 1.3, muestra larepresentación de este dispositivo.

Líneas de CAEnlacede CD

Fig. 1.3. Controlador unificado serie – serie

Dispositivos Serie-DerivaciónEste tipo de dispositivo puede ser la combinación de dispositivos serie y derivación,controlados de una manera coordinada inyectando voltaje y corriente respectivamente, o unControlador Unificado de Flujo de Potencia (UPFC), Fig. 1.4(b), con elementos serie yderivación en el que existe además intercambio de potencia real entre ambos.

6

e

Línea

i

ControlCoordinado

i

e

Línea

Enlacede CD

(a)

(b)

Fig. 1.4. (a) Controlador coordinado serie – paralelo; (b) Controlador unificado serie – paralelo

Cada uno de los dispositivos mencionados presentan ciertas características operativas quehacen que tengan un impacto distinto en el sistema al cual se conectan. Por ejemplo, parapropósitos de aplicación, como el control del flujo de potencia y el amortiguamiento deoscilaciones, un controlador serie puede ser mejor que un controlador en derivación. Porotra parte, un controlador en derivación es mucho más efectivo para mantener el perfil devoltaje en un nodo. Cabe hacer mención que para los controladores basados enconvertidores hay dos tipos de ellos: fuentes convertidoras de voltaje y fuentesconvertidoras de corriente. La función de estos dispositivos es la de convertir el voltajeunidireccional de CD o la corriente de CD del capacitor en un voltaje de CA o corriente deCA a través de la conmutación en forma secuencial de sus componentes.Los controladores FACTS, también pueden clasificarse en dos grupos, en función de susprincipales elementos. El primer grupo utiliza impedancias o transformadores cambiadoresde taps controlados por tiristores. Dentro de este grupo se encuentran:

SVC Compensador estático de VAR'sTCVR Regulador de voltaje controlado por tiristoresTCPAR Regulador de ángulo de fase controlado por tiristoresTCSC Capacitor serie controlado por tiristores

El segundo grupo utiliza convertidores de voltaje que actúan como fuentes estáticas devoltaje síncrono. A este grupo corresponden:

STATCOM Compensador estático síncronoSSSC Compensador serie estático síncrono

7

La principal diferencia entre estos grupos estriba en la capacidad para generar potenciareactiva e intercambiar potencia real. De tal forma que en el primer grupo, estas habilidadesson excluyentes, ya que el SVC y el TCSC, son compensadores de reactivos pero no soncapaces de intercambiar potencia real con el sistema, o en el caso del TCVR y TCPAR, loscuales pueden intercambiar potencia real o reactiva, pero no son capaces de generarpotencia reactiva. El segundo grupo tiene la capacidad inherente, como una máquinasíncrona, para intercambiar potencia real y reactiva con el sistema, además de generar oabsorber de forma automática la potencia reactiva intercambiada, teniendo comoconsecuencia compensación reactiva sin capacitores o reactores de C.A.; sin embargo, lapotencia real intercambiada se debe suministrar o absorber a través del sistema de C.A.

La Tabla 1.1, resume los principales dispositivos, de los que cuales algunos aún están enetapa de desarrollo y experimentación [2].

1.4 UBICACIÓN

Existen tres factores a considerar cuando se ha tomado la decisión de instalar un dispositivoFACTS:

• El tipo de dispositivo• La capacidad requerida• La ubicación que optimice el funcionamiento del dispositivo

De estos factores, el último es de gran importancia, ya que la ubicación de los FACTSdepende del efecto deseado y de las características propias del sistema. Por ejemplo, si sedesea evitar el flujo en anilloa, primero se tiene que identificar el anillo y después se debeubicar el dispositivo en una de las líneas de transmisión de éste para forzar el flujo en lamanera deseada. Ahora bien, si se desea mejorar la operación económica del sistema alincrementar la capacidad de transmisión de potencia, el dispositivo FACTS se puede ubicaren una línea subutilizada, aumentando el flujo a través de ella, o bien, colocarlo en la líneamás cargada para limitar el flujo por la misma, permitiendo mayor flujo por el resto delsistema.

Otro aspecto que hay que tomar en cuenta es la selección de las señales deretroalimentación para estos dispositivos, ya que ésta información es de vital importanciapara el diseño de estabilizadores basados en dispositivos FACTS. El criterio para laselección ha sido la capacidad máxima de los estabilizadores para amortiguar lasoscilaciones en el sistema de potencia. Sin embargo, para un buen diseño de losestabilizadores, además de la máxima eficiencia de los mismos, un factor relevante es larobustez de los estabilizadores a las condiciones de operación del sistema de potencia. Estosignifica que en la etapa de selección de la localización y las señales de retroalimentación,se debe examinar no sólo la efectividad de los estabilizadores en condiciones típicas deoperación, sino también su robustez sobre otras condiciones de operación [5].

a La diferencia entre una ruta directa y la determinada por la red se denomina "flujo en anillo", que se caracteriza por unacirculación de potencia que disminuye la capacidad disponible de la línea.

8

Tabla 1.1 Principales dispositivos FACTS desarrollados y en experimentación

Controladores FACTS Atributos de ControlCompensador Estático Síncrono(STATCOM sinalmacenamiento)

Control de voltaje, compensación de VAR's, amortiguamiento deoscilaciones, estabilidad de voltaje

Compensador Estático Síncrono(STATCOM conalmacenamiento)

Control de voltaje, compensación de VAR's, amortiguamiento deoscilaciones, estabilidad transitoria y dinámica, estabilidad devoltaje

Compensador estático de VAR's(SVC, TCR, TCS, TRS)

Control de voltaje, compensación de VAR's, amortiguamiento deoscilaciones, estabilidad de voltaje

Resistencia de interrupcióncontrolada por tiristores (TCBR)

Amortiguamiento de oscilaciones, estabilidad transitoria y dinámica

Compensador serie estáticosíncrono (SSSC sinalmacenamiento)

Control de corriente, amortiguamiento de oscilaciones, estabilidadtransitoria y dinámica, estabilidad de voltaje, limitación de lacorriente de falla

Compensador serie estáticosíncrono (SSSC conalmacenamiento)

Control de corriente, amortiguamiento de oscilaciones, estabilidadtransitoria y dinámica, estabilidad de voltaje

Capacitor serie controlado portiristores (TCSC, TSSC)


Reactor serie controlado portiristores (TCSR, TSSR)


Transformador cambiador defase controlado por tiristores(TCPST o TCPR)

Control de potencia activa, amortiguamiento de oscilaciones,estabilidad transitoria y dinámica, estabilidad de voltaje

Controlador Unificado de Flujode Potencia (UPFC)

Control de potencia activa y reactiva, control de voltaje,compensación de VAR's, amortiguamiento de oscilaciones,estabilidad transitoria y dinámica, estabilidad de voltaje, limitaciónde la corriente de falla

Limitador de voltaje controladopor tiristores (TCVL)

Limite de voltaje dinámico y transitorio

Regulador de voltaje controladopor tiristores (TCVR)

Control de potencia reactiva, control de voltaje, amortiguamiento deoscilaciones, estabilidad transitoria y dinámica, estabilidad devoltaje

Controlador de flujo de potenciainterlínea (IPFC)

Control de potencia reactiva, control de voltaje, amortiguamiento deoscilaciones, estabilidad transitoria y dinámica, estabilidad devoltaje

1.5 VENTAJAS EN LA UTILIZACIÓN DE DISPOSITIVOS FACTS

Las siguientes características resumen las principales ventajas que representa el uso dedispositivos FACTS.

• Permiten un mayor control sobre el flujo de potencia, dirigiéndolo a través de rutaspredeterminadas

• Se puede operar con niveles de carga seguros (sin sobrecarga) y cercanos a los límitestérmicos de las líneas de transmisión.

• Mayor capacidad de transferencia de potencia entre áreas controladas, con lo que elmargen de reserva en generación puede reducirse considerablemente.

9

• Incrementan la seguridad del sistema al aumentar el límite de estabilidad transitoria.• Amortiguar oscilaciones del sistema de potencia que dañan los equipos y limitan la

capacidad de transmisión disponible.• Responder rápidamente a los cambios en las condiciones de la red para proporcionar un

control del flujo de potencia en tiempo real.• Proveen una mayor flexibilidad en la localización de nuevas plantas generadoras.• Proporcionan seguridad en las conexiones a través de las líneas de enlace entre

empresas y regiones vecinas.

Una propiedad única de los FACTS es la gran flexibilidad que presentan en los tres estadosoperativos del sistema de potencia: prefalla, falla y postfalla. La capacidad para controlartransitorios y para impactar rápida y significativamente el estado de postfalla los hacesumamente atractivos [6].

1.6 ESTRUCTURA DE LA TESIS

La tesis está dividida en cuatro partes En la primera, que comprende los capítulos dos ytres, se hace la formulación en variables de estado de un sistema de potencia empezandocon una sola máquina y finalmente se traslada al contexto de un sistema multimáquinastomando en cuenta la inclusión de dispositivos FACTS, particularmente el capacitor seriecontrolado por tiristores (TCSC) y el controlador unificado de flujos de potencia (UPFC).

En la segunda parte, capítulo cuatro, se realiza un estudio de un dispositivo FACTS conmúltiples señales de control y se estudian sus características operativas y su capacidad paraimpactar en los modos de oscilación electromecánicos en el contexto máquina-barrainfinita.

En la tercera parte se analiza la ubicación de dispositivos FACTS desde el punto de vistadinámico y se propone una técnica de localización basada en la respuesta a la frecuencia. Seconsideran adicionalmente herramientas matemáticas como valores singulares ysensitividades y se propone la forma de utilizarlas en el problema de localización dedispositivos FACTS. Se utilizan algunos sistemas de potencia para ejemplificar lametodología propuesta.

En la última parte se utilizan las formulaciones desarrolladas anteriormente y seejemplifican con un estudio dinámico de un sistema de potencia de 46 máquinas y 190nodos, equivalente del sistema nacional, en el cual se instala un TCSC y un UPFC. Serealizan simulaciones en el tiempo para distintas condiciones operativas y fallas en distintosnodos

REFERENCIAS

[1] E. J. Oliveira, J. W. Marangon Lima and J. L. R. Pereira, “Flexible A.C. transmissionsystem devices: allocation and transmission pricing”. Electrical Power and EnergySystems, pp. 111-118, 1999.

10

[2] N. G. Hingorani and Laszlo Gyugyi, “Understanding FACTS”. IEEE Press, 2000.

[3] S. L. Nilsson, “Security aspects of flexible AC transmission system controllerapplications”, Electrical Power and Energy Systems, Vol. 17, No. 3, pp. 173-179,1995.

[4] M. Pavella, P. G. Murthy, “Transient Stability of Power Systems, Theory andPractice” Jonh Wiley & Sons, England (1994).

[5] H. F. Wang, “Selection of Robust Installing Locations and Feedback Signals ofFACTS-based Stabilizers in Multi-machine Power Systems”. IEEE Transactions onPower Systems, Vol. 14, No. 2, pp. 569-574, May 1995.

[6] B. Avramovic and L. H. Fink, “Energy management systems and control of FACTS”,Electrical Power and Energy Systems, Vol. 17, No. 3, pp. 195-198, 1995.

11

C A P Í T U L O 2

E S TA B I L I D A D D E S E Ñ A LP E Q U E Ñ A PA R A S I S T E M A S

M U LT I M Á Q U I N A S

2.1 INTRODUCCIÓN

El análisis de sistemas de potencia implica la solución simultánea de ecuaciones querepresentan:

! Máquinas síncronas, los sistemas de excitación asociados y primo motores.! Sistema de transmisión.! Cargas estáticas y dinámicas.! Otros dispositivos tales como los FACTS.

Cada modelo de la máquina está expresado en su propio marco de referencia (d-q) el cualgira con su rotor. Para la solución de las ecuaciones de interconexión con la red, todos losvoltajes y las corrientes deben expresarse en un marco de referencia común.Frecuentemente se utiliza como referencia común un marco de referencia rotando a lavelocidad síncrona. Para transformar los marcos de referencia entre cada máquina (d-q) y lareferencia común (R-I) se pueden utilizar las ecuaciones de transformación de ejes como semuestra en la Fig. 2.1.

R

I

d

q Vt

δ

ω

ωVR

VI

VdVq

Fig. 2.1. Transformación del marco de referencia

12

El eje real (R) del marco de referencia común, sirve como referencia para medir la posicióndel rotor de la máquina. Para una máquina síncrona que incluye las dinámicas de uno o máscircuitos del rotor, el ángulo del rotor δ se define como el ángulo por el cual el eje q de lamáquina adelanta al eje R. Bajo condiciones dinámicas, el ángulo δ cambia con lavelocidad del rotor.

La formulación de las ecuaciones de estado para análisis de señal pequeña involucra eldesarrollo de ecuaciones linealizadas alrededor de un punto de operación y la eliminaciónde todas aquellas variables que no sean variables de estado.

2.2 FORMACIÓN DE LA MATRIZ DE ESTADO PARA ANÁLISIS DESEÑAL PEQUEÑA

Como primer paso para la formación de la matriz de estado para un sistema multimáquina,es necesario linealizar las ecuaciones que modelan la máquina síncrona, así como lasrelaciones que ésta guarda con el sistema de potencia. Para ejemplificar, en el presenteanálisis se utiliza el modelo de la máquina síncrona de cuarto orden, tomando enconsideración un sistema de excitación estático.

Modelo de la máquina síncrona

a) Ecuación de oscilación

refdt

d ωωδ −= (2.1)

( )[ ]refemj

DTTTdt

d ωωω −−−= 1(2.2)

donde

( ) qddqqqdde iiXXiEiET '''' −++= (2.3)

b) Ecuaciones de voltajes internos transitorios

( )[ ]dddqfddo

q iXXEET

Edt

d''

'

1' −−−= (2.4)

( )[ ]qqqdqo

d iXXET

Edt

d''

'

1' −−−= (2.5)

c) Ecuación del voltaje en terminales

+

−−

−=

q

d

q

d

ad

qa

q

d

E

E

i

i

RX

XR

V

V

'

'

'

'(2.6)

13

donde:

δ ángulo de potencia del generadorω velocidad angular del rotorωref velocidad síncronaTj 2H/ωo, donde H es la constante de inercia.Tm par mecánico aplicado a la flechaTe par eléctricoD factor de amortiguamientoid , iq corrientes del estator en eje directo y el eje en cuadraturaVd , Vq voltajes del estator en eje directo y el eje en cuadraturaEfd voltaje de campoE’d componente en el eje d de la fem transitoria interna proporcional a los

enlaces de flujo del eje q.E’q componente en el eje q de la fem transitoria interna proporcional a los

enlaces de flujo del devanado de campo.Ra resistencia de armaduraXd , Xq reactancias síncronasX’d , X’q reactancias transitoriasT’do , T’qo constantes de tiempo transitorias en circuito abierto

Linealizando las ecuaciones anteriores tenemos las expresiones en forma incremental:

ωδ ∆=∆dt

d(2.1 a)

[ ]ωω ∆−∆−∆=∆ DTTTdt

dem

j

1 (2.2 a)

( )[ ] ( )[ ] ( ) ( ) qqoddoqdodqqodqodqdoe EiEiiiXXEiiXXET '''''''' ∆+∆+∆−++∆−+=∆ (2.3 a)

))((1 ''

'

'dddqfd

doq iXXEE

TE

dt

d ∆−−∆−∆=∆ (2.4 a)

))((1 ''

'

'qqqd

qod iXXE

TE

dt

d ∆−+∆−=∆ (2.5 a)

∆∆

−−

∆∆

=

∆∆

q

d

ad

qa

q

d

q

d

i

i

RX

XR

E

E

V

V'

'

'

'

(2.6 a)

El término ∆∆∆∆ representa incremento, y el subíndice o indica condición estacionaria.

Se incluye un sistema de excitación estático como el de la Fig. 2.2 resultando,

14

( )tSrefA

Afd VVV

sT

kE −+

+=

1(2.7)

o bien

( )[ ]tSrefAfdA

fd VVVkET

Edt

d −++−= 1

que al linealizarse se tiene,

( )[ ]tSrefAfdA

fd VVVkET

Edt

d ∆−∆+∆+∆−=∆ 1(2.7 a)

Fig. 2.2. Sistema de excitación estático

Para la magnitud del voltaje en terminales tenemos

22

IR ttt VVV +=que conduce a,

I

IoRo

Io

R

IoRo

Ro

t

tt

tt

tt

tt V

VV

VV

VV

VV ∆

++∆

+=∆

2222

donde el subíndice R e I indican las componentes real e imaginaria, respectivamente.

2.3 TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS d-q A COORDENADASR-I

En la forma en que se ha abordado la formulación se puede apreciar que las corrientes y losvoltajes están en función de las coordenadas d-q referentes a la máquina síncrona, sinembargo, para poder utilizar estas ecuaciones en el marco de referencia de la red, va a sernecesario transformar estas coordenadas al sistema real e imaginario, para que nos permitasu utilización. Esta transformación es válida tanto para las corrientes como para losvoltajes:

KA

1+sTA

Vref

Vt

+

-

Vs

+ Efd

15

−=

I

R

q

d

V

V

sen

sen

V

V

δδδδ

cos

cos(2.8)

−=

I

R

q

d

I

I

sen

sen

I

I

δδδδ

cos

cos(2.9)

desarrollando las ecuaciones anteriores

δδδδ

senVVV

VsenVV

IRq

IRd

+=−=

cos

cos

Linealizando éstas expresiones resulta

δδδ

δδδδδδ

∆

+−

++

∆∆

−=

∆∆

ooIooR

ooIooR

I

R

oo

oo

q

d

VV

VV

V

V

V

V

cossen

sencos

sencos

cossen

que es equivalente a

δδδδδ

∆

−

+

∆∆

−=

∆∆

od

oq

I

R

oo

oo

q

d

V

V

V

V

V

V

sencos

cossen(2.8 a)

Análogamente

δδδδδ

∆

−

+

∆∆

−=

∆∆

od

oq

I

R

oo

oo

q

d

I

I

I

I

I

I

sencos

cossen(2.9 a)

2.4 FORMACIÓN DE LA MATRIZ DE ESTADO

Despejando el vector de corrientes de la ecuación (2.6 a) tenemos:

∆∆

−

∆∆

−+=

∆∆

q

d

q

d

ad

qa

qdaq

d

V

V

E

E

RX

XR

XXRI

I'

'

'

'

2 ''

1

Sustituyendo en esta última expresión la ecuación (2.8 a) resulta

∆

−

−

∆∆

−−

∆∆

−+=

∆∆

δδδδδ

od

oq

I

R

oo

oo

q

d

ad

qa

qdaq

d

V

V

V

V

sen

sen

E

E

RX

XR

XXRI

I

cos

cos

''

1'

'

'

'

2

o bien

∆

−

−

∆∆

−−

∆∆

−=

∆∆

δδδδδ

od

oq

I

R

oo

oo

q

d

ad

qag

q

d

V

V

V

V

sen

sen

E

E

RX

XRY

I

I

cos

cos'

'

'

'

(2.10)

16

donde

''2

1

qda

gXXR

Y+

=

Sustituyendo (2.9 a) en la ecuación (2.10),

δ∆

−

−

∆∆

δδδ−δ

−

∆∆

−

=δ∆

−

+

∆∆

δδδ−δ

od

oq

I

R

oo

oo'q

'd

a'd

'qa

g

od

oq

I

R

oo

oo

V

V

V

V

sencos

cossen

E

E

RX

XRY

I

I

I

I

sencos

cossen

de donde se puede despejar el vector de corrientes en el marco de referencia real -imaginario:

δ∆

−

δδ−δδ

−δ∆

−

−

δδ−δδ

−

∆∆

δδδ−δ

−

δδ−δδ

−

∆∆

−

δδ−δδ

=

∆∆

od

oq

oo

oo

od

oq

a'd

'qa

goo

oo

I

R

oo

oo

a'd

'qa

goo

oo

'q

'd

a'd

'qa

goo

oo

I

R

I

I

sencos

cossen

V

V

RX

XRY

sencos

cossen

V

V

sencos

cossen

RX

XRY

sencos

cossen

E

E

RX

XRY

sencos

cossen

I

I

Desarrollando los productos de la ecuación anterior y simplificando se obtienen lascorrientes del generador en el marco de referencia R-I en función de los estados y losvoltajes terminales:

δ∆

+

∆∆

+

∆∆

=

∆∆

24

14

2221

1211

'

'

2221

1211

Z

Z

V

V

WW

WW

E

E

ZZ

ZZ

I

I

I

R

q

d

I

R (2.11)

donde

( )( )( )( )oaoqg

odoag

oaoqg

odoag

senRXYZ

senXRYZ

RsenXYZ

XsenRYZ

δδδδ

δδδδ

+−=

−−=

+=

−=

cos'

'cos

cos'

cos'

22

21

12

11 ( )[ ]( )

( )( )[ ]oodqag

ooqodg

oqodg

ooqdag

senXXRYW

XsenXYW

senXXYW

senXXRYW

δδ

δδ

δδ

δδ

cos''

cos''

'cos'

cos''

22

2221

2212

11

−+−=

+=

+−=

−+−=

( )( ) RoodoqoqodRoag

IoodoqoqodIoag

IVXVXVRYZ

IVXVXVRYZ

+++−=

−++−=

δδδδ

cos'sen'

sen'cos'

24

14

17

Vamos a emplear las relaciones de corrientes calculadas para obtener la representación deestado de la máquina síncrona.Desarrollando la ecuación (2.10)

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

odaoqdoqaodq

oaodoqoa

oaodoqoa

IRqadd

IRqqda

gq

d

VRVXmVRVXm

senRXmsenXRm

RsenXmXsenRm

donde

mVmVmEREX

mVmVmEXERY

I

I

+=−=

+=−=

+−=+=

∆+∆−∆−∆+∆−

∆+∆+∆−∆+∆=

∆∆

''

cos''cos

cos'cos'

:

'''

'''

63

52

41

654

321

δδδδδδδδ

δδ

(2.12)

y sustituyendo ∆Id en la ecuación (2.4 a)

( )

( )

( )δ∆

−−

−∆

δ−δ−

−∆

δ+δ−

+∆

−+−∆

−−∆=∆

'do

oqaodqg'dd

I'do

oqoag'dd

R'do

oqoag'dd

q'do

qg'dd

d'do

ag'dd

fd'do

'q

T

VRV'XY)XX(

VT

sen'XcosRY)XX(

VT

cos'XsenRY)XX(

'ET

'XY)XX('E

T

RY)XX(E

TE

dt

d 11

(2.13)

Sustituyendo ahora ∆Iq en la ecuación (2.5 a)

( )

( )

( )δ∆

+−

+∆

δ+δ−

−∆

δ+δ−−

−∆

−+∆

−+−=∆

'qo

odaoqdg'qq

I'qo

oaodg'qq

R'qo

oaodg'qq

q'qo

ag'qq'

d'qo

dg'qq'

d

T

VRV'XY)XX(

VT

senRcos'XY)XX(

VT

cosRsen'XY)XX(

'ET

RY)XX(E

T

'XY)XX(E

dt

d 1

(2.14)

Sustituyendo (2.3 a) en (2.2 a)

18

( )

( )q

j

qod

j

doq

j

dodqqo

dj

qodqdo

jm

j

'ET

i'E

T

ii

T

i'X'X'E

iT

i'X'X'E

T

DT

Tdt

d

∆

−∆

−∆

−+

−∆

−+−ω∆

−∆

=ω∆ 1

(2.15)

Sustituyendo en la expresión anterior la ecuación (2.12) resulta,

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )δ∆

+−+

−∆

δ+δ−+

+∆

δ+δ−−+

+∆

−+−∆

−+

+δ∆

−−+

−∆

δ−δ−+

−∆

δ+δ−+

+∆

−+−∆

−+

−∆

−∆

−ω∆

−∆

=ω∆

j

odaoqdgdodqqo

Ij

oaodgdodqqo

Rj

oaodgdodqqo

qj

agdodqqod

j

dgdodqqo

j

oqaodqgqodqdo

Ij

oqoagqodqdo

Rj

oqoagqodqdo

qj

qgqodqdod

j

agqodqdo

qj

qod

j

do

jm

j

T

VRV'XYi'X'X'E

VT

senRcos'XYi'X'X'E

VT

cosRsen'XYi'X'X'E

'ET

RYi'X'X'E'E

T

'XYi'X'X'E

T

VRV'XYi'X'X'E

VT

sen'XcosRYi'X'X'E

VT

cos'XsenRYi'X'X'E

'ET

'XYi'X'X'E'E

T

RYi'X'X'E

'ET

i'E

T

i

T

DT

Tdt

d 1

(2.16)

Donde se han definido las constantes:( )( ) ( )( ) gdodqqogqodqdo YiXXEFYiXXEF '''''' 21 −+=−+=

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )δ∆

++−

−∆

δ+δ+δ−δ−

+∆

δ+δ−+δ+δ

+∆

++−∆

−+−ω∆

−∆

=ω∆

j

odaoqdoqaodq

Ij

oaodoqoa

Rj

oaodoqoa

qj

aqqod

j

dado

jm

j

T

VRV'XFVRV'XF

VT

senRcos'XFsen'XcosRF

VT

cosRsen'XFcos'XsenRF

'ET

RF'XFi'E

T

'XFRFi

T

DT

Tdt

d

21

21

21

21211

(2.17)

19

Así que con las ecuaciones (2.1 a), (2.7 a) (2.13), (2.14) y (2.17) se forma la representaciónde estado de la máquina síncrona, en función de las entradas smref V,T,V ∆∆∆ y los voltajes

RV∆ y IV∆

∆∆

+

∆∆∆

+

∆∆∆∆∆

−

=

∆∆∆∆∆

I

R

S

m

ref

A

A

A

A

j

fd

q

d

A

j

do

fd

q

d

V

V

cc

cc

cc

cc

V

T

V

T

k

T

k

T

E

E

E

T

aT

Daa

Taaa

aaa

E

E

E

dt

d

5251

3231

2221

1211

343231

242221

141211

00

0

000

01

0

000

000

'

'

10000

00100

0

'

10

00

'

'

δω

δω

(2.18)

con las constantes definidas en el apéndice A.

2.5 INCLUSIÓN DE UN ESTABILIZADOR DE SISTEMA DE POTENCIA(PSS) EN LA MATRIZ DE ESTADO

La función de un estabilizador de sistemas de potencia (PSS) es proporcionaramortiguamiento a las oscilaciones del rotor del generador. Esto se realiza mediante lamodulación de la excitación de la máquina utilizando una componente de par eléctrico enfase con las variaciones de velocidad del rotor.

El diagrama de bloques de la Fig. 2.3, muestra la estructura típica de un PSS [1]. Paraincluir éste dispositivo en un análisis de pequeñas señales, se analizará cada bloque paradeterminar las variables de estado que lo representan.

Fig. 2.3. Diagrama de un PSS

2.5.1 SEÑAL ESTABILIZADORA WASHOUT

Este bloque es un filtro pasa-altos que previene cambios en la velocidad provocados porvariaciones en el voltaje de campo. Además en este bloque se incluye la ganancia del PSS,la cual se selecciona para proporcionar un amortiguamiento adecuado de todos los modoscríticos bajo diferentes condiciones de operación.

Fig. 2.4. Bloque Washout

sT

sTk

+14

3

1

1

sT

sT

++

2

1

1

1

sT

sT

++

Vsw

sT

sTk

+1

w1x

sT

k

+1

1

•x

sT1xw

20

Las ecuaciones del bloque washout son las siguientes, Fig.2.4:

11

11

xTxs

xsT

kw

=

=+

•

• (2.19)

(2.20)

linealizando las expresiones anteriores

11

11

xTxs

xsT

kw

∆=∆

∆=+

∆

•

• (2.19 a)

(2.20 a)

relacionando (2.19a) y (2.20a) tenemos

1xwkxi ∆−∆=∆•

(2.21)

2.5.2 COMPENSACIÓN DE ADELANTO DE FASE

El PSS debe producir una componente de par eléctrico en fase con la velocidad del rotor.Para esto se requieren circuitos de adelanto de fase que compensen el atraso existente entrela entrada del excitador y el par eléctrico resultante.

Fig. 2.5. Bloque de compensación de adelanto de fase

Las ecuaciones para este bloque son, Fig. 2.5,

2221

2

21 1

1

xxxsT

xsT

x

=+

=+

••

• (2.22)

(2.23)

al linealizarse tenemos las siguientes expresiones:

2221

2

21 1

1

xxxsT

xsT

x

∆=∆+∆

∆=+

∆

••

• (2.22 a)

(2.23 a)

2

1

1

1

sT

sT

++1x 2x 2

•x 2x1x

21

1

sT+ 1sT

+

+

21

relacionando (2.22a) y (2.23a)

1

12

12

12

22 x

TT

Tx

TT

Tx ∆

−−∆

−=∆

•

(2.24)

De forma similar para el tercer bloque, Fig. 2.6:

2

34

3

34

4 xTT

TV

TT

TV SS ∆

−−∆

−=∆

•

(2.25)

Fig. 2.6. Bloque de compensación de adelanto de fase

Una vez linealizado el PSS y definidas las variables de estado que lo describen, éstas seagregan al vector de estado y la matriz de estado aumenta sus dimensiones.

Para ejemplificar lo anterior, se tomará la representación en variables de estado de unamáquina síncrona de cuarto orden con la inclusión de un sistema de excitación estático y unPSS como el de la Fig. 2.3.

El vector de estados resultante es:

∆∆∆

∆∆∆

∆∆

=

S

fd

q

d

V

x

x

E

E

E

X

2

1

'

'

δω

La dimensión de la matriz A aumenta y resulta:

4

3

1

1

sT

sT

++2x SV SV

•

SV2x

41

1

sT+ 3sT

+

+

22

−

−=

8887

7776

343231

242221

141211

000000

000000

0010000

001

0000

00000100

0000

000'

10

00000

aa

aa

kT

k

T

aT

Daa

Taaa

aaa

A

A

A

A

j

do

donde:

34

488

34

387

12

277

12

176 TT

Ta

TT

Ta

TT

Ta

TT

Ta

−=

−−=

−=

−−=

=

=

00

00

00

00

00

00

00

0

00

10

00

00

5251

3231

2221

1211

cc

cc

cc

cc

C

T

k

T

B

A

A

j

∆∆

=∆

∆∆

=I

R

m

ref

V

VV

T

VU

finalmente:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 12281228188818

xxxxxxx

VCUBXAX ∆++=

•

(2.26)

La ecuación (2.26) representa la formulación en variables de estado de una máquinasíncrona incluyendo un estabilizador de sistemas de potencia.

23

2.6 MODELADO DE CARGAS ESTÁTICAS

Un modelo de carga estática expresa las características de la carga en cualquier instante detiempo como una función algebráica de la magnitud del voltaje nodal y la frecuencia en eseinstante de tiempo.

Tradicionalmente, la dependencia del voltaje y las características de la carga se hanrepresentado por el modelo exponencial .

no

mo

vQQ

vPP

)(

)(

=

=

Los parámetros de este modelo son los exponentes m y n, los cuales al tomar valores de 0, 1y 2, representan características de potencia constante, corriente constante o de impedanciaconstante, respectivamente. Se pueden usar otros exponentes para representar el efectoagregado de los diferentes tipos de componentes de la carga [2].

Modelo de carga de potencia constanteEs un modelo de carga estática donde la potencia no varía con cambios en la magnitud delvoltaje. También se le conoce como modelo de carga de MVA constantes.

Modelo de carga de corriente constanteEs un modelo de carga estática donde la potencia varía directamente con la magnitud delvoltaje.

Modelo de carga de impedancia constanteEs un modelo de carga estática donde la potencia varía directamente con el cuadrado de lamagnitud del voltaje. También se le conoce como modelo de carga de admitanciaconstante.

2.6.1 REPRESENTACIÓN DE CARGAS ESTÁTICAS

Considerando una carga cuyas características de dependencia con el voltaje estánrepresentadas por:

n

oLoL

m

oLoL V

VQQ

V

VPP

=

= (2.27)

Donde:PLo valor inicial de la componente activa de la cargaQLo valor inicial de la componente reactiva de la cargaVo valor inicial de la magnitud del voltaje nodalV valor de la magnitud del voltaje nodal dado por la ecuación (2.28)m,n valores que representan el modelo de potencia constante, corriente constante o

impedancia constante.

22IR VVV += (2.28)

24

De aquí, las componentes real ( R ) e imaginaria ( I ) de la corriente de carga son:

22

22

V

VQ

V

VPi

V

VQ

V

VPi

RL

ILI

IL

RLR

−=

+=(2.29)

Linealizando las ecuaciones (2.27), (2.28) y (2.29) resulta:

VV

QnQV

V

PmP

o

LoL

o

LoL ∆=∆∆=∆ (2.27 a)

Io

IoR

o

Ro VV

VV

V

VV ∆+∆=∆ (2.28 a)

VV

)VQVP(VV

QV

V

PQ

V

VP

V

Vi

VV

)VQVP(VV

QV

V

PQ

V

VP

V

Vi

o

RoLoIoLoR

o

LoI

o

LoL

o

RoL

o

IoI

o

IoLoRoLoI

o

LoR

o

LoL

o

IoL

o

RoR

∆

−−+∆−∆+∆−∆=∆

∆

−−+∆+∆+∆+∆=∆

32222

32222

2

2

(2.29 a)

sustituyendo (2.27 a) y (2.28 a) en (2.29 a) se obtiene:

∆∆

−

=

∆∆

I

R

IIIR

RIRR

I

R

V

V

GB

BG

i

i(2.30)

donde:

−−

+−=

−+

+−

−=−

−+

+−=

−+

+−=

222

2

2

222

2

2

222

2

2

222

2

2

)2(1)2(

)2(1)2(

)2(1)2(

)2(1)2(

o

IoRo

o

Lo

o

Io

o

LoII

o

IoRo

o

Lo

o

Ro

o

LoIR

o

IoRo

o

Lo

o

Io

o

LoRI

o

IoRo

o

Lo

o

Ro

o

LoRR

V

VVn

V

Q

V

Vm

V

PG

V

VVm

V

P

V

Vn

V

QB

V

VVm

V

P

V

Vn

V

QB

V

VVn

V

Q

V

Vm

V

PG (2.31)

(2.32)

(2.33)

(2.34)

Empleando las ecuaciones (2.31) a (2.34), podemos determinar la representación de lacarga en función del modelo elegido, se tiene:

25

POTENCIA CONSTANTE ( m = n = 0 )

2020

2020

2020

2020

2

2

2

2

o

Lo

o

LoII

o

Lo

o

LoIR

o

Lo

o

LoRI

o

Lo

o

LoRR

V

Qb

V

PcG

V

Pb

V

QaB

V

Pb

V

QcB

V

Qb

V

PaG

+=

−−=−

−=

−=donde:

2

22

0

20

2

22

0

o

IoRo

o

IoRo

o

IoRo

V

VVc

V

VVb

V

VVa

−=

=

+−=

CORRIENTE CONSTANTE ( m = n = 1 )

2021

2021

2021

2021

o

Lo

o

LoII

o

Lo

o

LoIR

o

Lo

o

LoRI

o

Lo

o

LoRR

V

Qb

V

PcG

V

Pb

V

QaB

V

Pb

V

QcB

V

Qb

V

PaG

+=

−−=−

−=

−=donde:

2

2

1

20

2

2

1

o

Ro

o

IoRo

o

Io

V

Vc

V

VVb

V

Va

=

=

=

IMPEDANCIA CONSTANTE ( m = n = 2 )

2

2

2

2

o

LoII

o

LoIR

o

LoRI

o

LoRR

V

PG

V

QB

V

QB

V

PG

=

−=−

=

=

La matriz de admitancia equivalente que representa la carga estática, se puede agregar enforma directa a la matriz de admitancias de la red. Sin embargo, hay que hacer notar que lamatriz de admitancia equivalente para una carga no lineal (como el modelo de potenciaconstante o corriente constante), no es simétrica, por lo que no representa una simpleadmitancia shunt a tierra como en el caso de una carga de impedancia constante.

26

2.7 RESUMEN

En la primera parte de este capítulo se plantean las ecuaciones que modelan una máquinasíncrona utilizando un modelo de cuarto orden y considerando un sistema de excitaciónestático. Estas ecuaciones se linealizan a fin de obtener una representación de estado de lamáquina síncrona (2.18). Asimismo, se obtiene la representación en variables de estado deun estabilizador de sistemas de potencia (PSS), la cual se utiliza para extender larepresentación en variables de estado de una máquina síncrona incluyendo un estabilizadorde sistemas de potencia (2.26). Finalmente se presentan algunos conceptos básicos para elmodelado de cargas estáticas.Las expresiones obtenidas en este capítulo van a servir como plataforma para extender larepresentación de estado a un sistema multimáquinas en el cual se considera la topología dela red y los distintos elementos que la componen, como los dispositivos FACTS, con lasmáquinas del sistema.

REFERENCIAS

[1] Prabha Kundur, “Power system stability and control”, The EPRI Power SystemEngineering Series, 1994.

[2] “Load representation for dynamic performance analysis”, IEEE Task Force on LoadRepresentation for Dynamic Performance. IEEE Transactions on Power Systems, Vol.8, No. 2, May 1993.

27

C A P Í T U L O 3

R E P R E S E N TA C I Ó N E NVA R I A B L E S D E E S TA D O D E

U N S I S T E M AM U LT I M Á Q U I N A

3.1 INTRODUCCIÓN

La formulación de ecuaciones de estado para el análisis de señal pequeña involucra eldesarrollo de ecuaciones linealizadas alrededor de un punto de operación y la eliminaciónde todas las variables distintas a las variables de estado. El desarrollo de éstas ecuacionesrequiere un proceso sistemático para el amplio rango de elementos que se puedan presentaren un sistema eléctrico de potencia. La inclusión del sistema de transmisión, las cargas, yde los dispositivos FACTS, hace que el proceso sea complejo.

A continuación se ejemplifica el procedimiento para la representación en variables deestado de un sistema de potencia constituido por 3 generadores y 9 nodos. El sistema semuestra en la Fig. 3.1.

2 8 7 6 3

5

4

9

1

2 3

1

Carga A Carga B

Carga C

Fig. 3.1. Sistema de 3 máquinas, 9 nodos

28

3.2 FORMULACIÓN DE LAS ECUACIONES DE ESTADO

De igual manera como para el caso de la máquina síncrona, el modelo linealizado de cadaelemento dinámico se puede expresar de la siguiente forma:

VYXCI

VBXAX

iiii

iiii

∆−=∆∆+=

•

donde:Xi son los valores incrementales de las variables de estado de cada dispositivoIi es la inyección de corriente proveniente de cada dispositivoV es el vector de voltajes nodalesEl vector de corrientes Ii y el de voltaje V, son complejos.

Las ecuaciones de estado de cada uno de los dispositivos dinámicos del sistema se puedenagrupar de forma tal que el sistema se puede representar mediante:

VYXCI

VBXAX

DD

DD

∆−=∆∆+=

•

donde X, es el vector de estado del sistema completo, AD y CD son matrices diagonales abloques, conformadas por las matrices Ai y Ci asociadas a cada dispositivo.

3.3 ECUACIONES DE ESTADO DE LA MÁQUINA SÍNCRONA

La representación en variables de estado para las máquinas síncronas del sistema en estudioes de la forma (2.18)

∆

∆

∆

+

+

=

•

•

•

3

2

1

3

2

1

3

2

1

3

2

1

3

2

1

3

2

1

3

2

1

00

00

00

00

00

00

00

00

00

V

V

V

C

C

C

U

U

U

B

B

B

X

X

X

A

A

A

X

X

X

(3.1)

donde1:

3,2,1

10000

00100

0

'

10

00

343231

242221

141211

=

−

= i

T

aT

Daa

Taaa

aaa

A

iA

i

ijii

idoiii

iii

i

1 Los elementos de las matrices Ai, Bi y Ci se definieron en el apartado 2.4.

29

3,2,1

0

000

01

0

000

000

=

= i

T

k

T

k

TB

iA

A

iA

A

iji

3,2,1

00

5251

3231

2221

1211

=

= i

cc

cc

cc

cc

C

ii

ii

ii

ii

i

3,2,1

'

'

=

∆∆

=∆

∆∆∆

=

∆∆∆∆∆

= iV

VV

V

T

V

U

E

E

E

XiI

iRi

iS

im

iref

i

ifd

i

i

iq

id

i

δω .

Reescribiendo (3.1) en forma compacta:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]16615199151151515

115xgxgxgxgxgxg

x

g VCUBXAX ∆++=

•

(3.2)

Las corrientes de los generadores están relacionadas por2:

∆

∆

∆

+

=

∆

∆

∆

3

2

1

3

2

1

3

2

1

3

2

1

3

2

1

00

00

00

00

00

00

V

V

V

W

W

W

X

X

X

Z

Z

Z

I

I

I

(3.3)

donde, para el ejemplo que nos ocupa:

3,2,100

00

24

14

2221

1211 =

= i

Z

Z

ZZ

ZZZ

i

i

ii

iii

2 Los elementos de las matrices Zi, y Wi se definieron en el apartado 2.4.

30

3,2,12221

1211 =

= i

WW

WWW

ii

iii

3,2,1=

∆∆

=∆

∆∆

=∆ iV

VV

I

II

iI

iRi

iI

iRi .

Reescribiendo (3.3) en forma compacta

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]166611515616 xgxgxgxgxg VWXZI ∆+=∆

reacomodando esta última expresión tenemos:

[ ]1181818

1151518118

00

0

00xL

g

x

g

xg

x

g

x

g

V

VWX

ZI

∆∆

+

=

∆(3.4)

donde ∆Ig es el vector de corrientes de los generadores, ∆Vg el vector de voltaje de losgeneradores y ∆VL, el vector de voltaje en los nodos de carga.

3.4 ECUACIONES DE LA RED

Hasta éste momento se tiene una formulación que requiere agregarse. La red de transmisiónrealiza ese enlazamiento. La inyección de corrientes en los nodos está representada por lasiguiente ecuación:

VYI = (3.5)

donde para el ejemplo considerado:

1999

88

77

66

55

44

33

22

11

999999939392929191

8989838382828181

7979737372727171

6969636362626161

5959535352525151

4949434342424141

3939333332323131

2929232322222121

1919131312121111

1999

88

77

66

55

44

33

22

11

.

...

...

...

...

...

...

...

...

...

xIR

IR

IR

IR

IR

IR

IR

IR

IR

xxIR

IR

IR

IR

IR

IR

IR

IR

IR

jVV

jVV

jVV

jVV

jVV

jVV

jVV

jVV

jVV

jbgjbgjbgjbg

jbgjbgjbgjbg

jbgjbgjbgjbg

jbgjbgjbgjbg

jbgjbgjbgjbg

jbgjbgjbgjbg

jbgjbgjbgjbg

jbgjbgjbgjbg

jbgjbgjbgjbg

jII

jII

jII

jII

jII

jII

jII

jII

jII

+++++++++

++++++++++++++++++++++++++++++++++++

=

+++++++++

Linealizando la ecuación (3.5) y separando los elementos en parte real e imaginaria resulta:

31

1189

9

3

3

2

2

1

1

18189999939392929191

9999939392929191

3939333332323131

3939333332323131

2929232322222121

2929232322222121

1919131312121111

1919131312121111

1189

9

3

3

2

2

1

1

...

...

...

...

...

...

...

...

xI

R

I

R

I

R

I

R

xxI

R

I

R

I

R

I

R

V

V

V

V

V

V

V

V

gbgbgbgb

bgbgbgbg

gbgbgbgb

bgbgbgbg

gbgbgbgb

bgbgbgbg

gbgbgbgb

bgbgbgbg

I

I

I

I

I

I

I

I

∆∆

∆∆∆∆∆∆

−−−−

−−−−

−−−−

−−−−

=

∆∆

∆∆∆∆∆∆

MMOMMMM

(3.6)

Al considerar las cargas como impedancias constantes, éstas se pueden integrar en la matrizde admitancias nodal. El valor requerido para este proceso se obtiene del estudio de flujos

de carga. Esto es, si un nodo de carga tiene un voltaje, LV , potencia real, LP , potencia

reactiva, LQ , y corriente LI , que fluye hacia una admitancia de carga, LLL jBGY += ,

( )[ ] ( )LLLLLLLLLLL jBGVjBGVVIVQP −=−==+ ∗∗ 2

de donde la admitancia shunt equivalente en ese nodo resulta:

22L

L

L

LL

V

Qj

V

PY −=

por lo que los elementos de la matriz de admitancias se modifican de modo que,

Liiiij

iiiij

ikii

ikjik

ikjikik

yeyeyy

kieyeyy

+==

≠==αα

αα

'

'

'

'

Es decir, los nodos que tienen carga contribuyen con un valor de admitancia en la diagonalprincipal de la matriz de admitancia Y.

Al considerar las cargas como admitancias constantes, las inyecciones de corriente en losnodos que no tengan asociado un generador será cero, por lo que (3.6) puede reescribirsecomo:

∆∆

∆∆∆∆∆∆

−−−−

−−−−

−−−−

−−−−

=

∆∆∆∆∆∆

9

9

3

3

2

2

1

1

9999939392929191

9999939392929191

3939333332323131

3939333332323131

2929232322222121

2929232322222121

1919131312121111

1919131312121111

3

3

2

2

1

1

''

''

''

''

''

''

''

''

0

0

I

R

I

R

I

R

I

R

I

R

I

R

I

R

V

V

V

V

V

V

V

V

gbgbgbgb

bgbgbgbg

gbgbgbgb

bgbgbgbg

gbgbgbgb

bgbgbgbg

gbgbgbgb

bgbgbgbg

I

I

I

I

I

I

M

L

L

MOMMM

L

L

L

L

L

L

M

o en forma compacta:

32

11818181180

xL

g

xLLN

NLg

x

g

V

V

YY

YYI

∆∆

=

∆(3.7)

3.5 INTEGRACIÓN DE LAS ECUACIONES DE LA RED Y DELGENERADOR

Igualando la ecuación (3.4) y (3.7),

[ ]11818181181818

1151518

00

0

0xL

g

xLLN

NLg

xL

g

x

g

xg

x

g

V

V

YY

YY

V

VWX

Z

∆∆

=

∆∆

+

se puede despejar para los voltajes

∆∆

L

g

V

V

[ ] [ ]115

1518

1818

1180 xg

x

gxinv

xL

g XZ

YV

V

=

∆∆

(3.8)

donde

[ ]1

1818

1818

−

−=

xLLN

NLggxinv YY

YWYY

Reescribiendo la ecuación (3.2) resulta:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]19915

11818151151515

115

0xgxg

xL

g

xgxgxgx

g UBV

VCXAX +

∆∆

+=

•

Sustituyendo (3.8) en esta última expresión,

[ ] [ ] [ ] [ ]199151151515

115xgxgxgxredg

x

g UBXAAX ++=

•

(3.9)

donde

[ ] [ ] [ ]1518

181818151515 00

x

gxinvxgxred

ZYCA

=

La ecuación (3.9) es una representación del sistema multimáquina en la forma estándar devariables de estado. Como variables de salida normalmente se pueden considerar lasvelocidades, los flujos de potencia en las líneas, los voltajes. En los dos últimos casos serequerirá expresar esas señales en función del vector de variables de estado.

33

3.6 INCLUSIÓN DE UN CAPACITOR SERIE CONTROLADO PORTIRISTORES (TCSC)

La compensación serie es uno de los métodos más populares para el control del flujo depotencia. El concepto general es simple: modificar la impedancia de la línea al insertarcapacitores o inductancias en serie con el circuito para modificar el flujo de potencia. Lacompensación capacitiva es la que se emplea comúnmente para contrarrestar lascaracterísticas inductivas naturales de las líneas de transmisión.

Los esquemas convencionales de la compensación serie generalmente involucran bancos decapacitores, los cuales son controlados en forma individual por elementos mecánicos, sinembargo, estos elementos tienden a desgastarse y a fallar. Los tiristores de estado sólidohan superado todas estas deficiencias, debido a que no tienen partes móviles, además,pueden conectarse en un esquema tal que le permita proveer un mejor control de formacontinua y una mayor flexibilidad. El TCSC es un dispositivo FACTS que permite variar lareactancia de una línea de transmisión y de esta forma se puede controlar el flujo a travésde ella, además, ayuda en la estabilidad transitoria y el amortiguamiento de oscilaciones depotencia.

La inclusión de éste dispositivo en la red de transmisión provoca que la matriz deadmitancias de la red ya no sea constante, ya que éste elemento puede considerarse comouna capacitancia variable que depende del ángulo de disparo de los tiristores, y quemodifica parcialmente la forma en la que se trabajan las ecuaciones de la red.

Supongamos que se desea incluir un TCSC entre los nodos i y k del sistema en estudio,entonces de (3.5) tenemos las expresiones de las corrientes en esos nodos:

Nodo i

)jVV)(jbg()jVV)(jbg(

)jVV)(jbg()jVV)(jbg()jVV)(jbg(jII

IRiiIkRkikik

IiRiiiiiIRiiIRiiIiRi

9999

22221111

+++++++++++++++++=+

LL

L

Nodo k

)jVV)(jbg()jVV)(jbg(

)jVV)(jbg()jVV)(jbg()jVV)(jbg(jII

IRkkIkRkkkkk

IiRikikiIRkkIRkkIkRk

9999

22221111

+++++++++++++++++=+

LL

L

separando ambas expresiones en su parte real e imaginaria

Nodo i

99991111 IiRiIkikRkikIiiiRiiiIiRiRi VbVgVbVgVbVgVbVgI −++−++−++−= LLL

99991111 IiRiIkikRkikIiiiRiiiIiRiIi VgVbVgVbVgVbVgVbI ++++++++++= LLL (3.10)

Nodo k

99991111 IkRkIkkkRkkkIikiRikiIkRkRk VbVgVbVgVbVgVbVgI −++−++−++−= LLL

99991111 IkRkIkkkRkkkIikiRikiIkRkIk VgVbVgVbVgVbVgVbI ++++++++++= LLL (3.11)

34

Linealizando (3.10) y (3.11) obtenemos:

scsc

Ri

mIm

Im

Ri

mRm

Rm

RiRi X

X

IV

V

IV

V

II ∆

∂∂

+∆∂∂

+∆∂∂

=∆ ∑∑==

9

1

9

1

scsc

Ii

mIm

Im

Ii

mRm

Rm

IiIi X

X

IV

V

IV

V

II ∆

∂∂

+∆∂∂

+∆∂∂

=∆ ∑∑==

9

1

9

1

(3.12)

scsc

Rk

mIm

Im

Rk

mRm

Rm

RkRk X

X

IV

V

IV

V

II ∆

∂∂

+∆∂∂

+∆∂∂

=∆ ∑∑==

9

1

9

1

scsc

Ik

mIm

Im

Ik

mRm

Rm

IkIk X

X

IV

V

IV

V

II ∆

∂∂

+∆∂∂

+∆∂∂

=∆ ∑∑==

9

1

9

1

(3.13)

donde ∆Xsc es la reactancia incremental asociada al dispositivo TCSC. Las derivadasparciales respecto a esta variable son:

scIkosc

ikRko

sc

ikIio

sc

iiRio

sc

iisc

sc

Ri XVX

bV

X

gV

X

bV

X

gX

X

I∆

∂∂

−∂∂

+∂∂

−∂∂

=∆∂∂

scIkosc

ikRko

sc

ikIio

sc

iiRio

sc

iisc

sc

Ii XVX

gV

X

bV

X

gV

X

bX

X

I∆

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=∆∂∂

(3.14)

scIkosc

kkRko

sc

kkIio

sc

kiRio

sc

kisc

sc

Rk XVX

bV

X

gV

X

bV

X

gX

X

I∆

∂∂

−∂∂

+∂∂

−∂∂

=∆∂∂

scIkosc

kkRko

sc

kkIio

sc

kiRio

sc

kisc

sc

Ik XVX

gV

X

bV

X

gV

X

bX

X

I∆

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=∆∂∂

(3.15)

Al observar las expresiones (3.12) y (3.13) vemos que los primeros dos elementoscorresponden a la matriz de admitancias cuando los valores son constantes, por lo que, allinealizar (3.5) incluyendo el TCSC tenemos:

sc

x

sc

Ik

sc

Rk

sc

Ii

sc

Ri

xI

R

Ik

kR

Ii

iR

I

R

xkkii

kkii

kkkkkkkikikk

kkkkkkkikikk

iiikikiiiiii

iiikikiiiiii

kkii

kkii

xI

R

Ik

kR

Ii

iR

I

R

X

X

IX

I

X

IX

I

V

V

V

V

V

V

V

V

gbgbgbgb

bgbgbgbg

gbgbgbgb

bgbgbgbg

gbgbgbgb

bgbgbgbg

gbgbgbgb

bgbgbgbg

I

I

I

I

I

I

I

I

∆

∂∂∂∂

∂∂∂∂

+

∆∆

∆∆

∆∆

∆∆

−−−−

−−−−

−−−−

−−−−

=

∆∆

∆∆

∆∆

∆∆

118

1189

9

1

1

1818999999999191

999999999191

9911

9911

9911

9911

191911111111

191911111111

1189

9

1

1

0

0

0

0

M

M

M

M

M

M

LLL

LLL

MMMM

LLL

LLL

MMMM

LLL

LLL

MMMM

LLL

LLL

M

M

M

(3.16)

donde la última parte representa la aportación debida a la inclusión del TCSC

35

Considerando el TCSC como una capacitancia variable, Fig. 3.2, la impedancia serie de lalínea i-k está dada por la siguiente expresión:

scLikikki jX)jXr(Z −+=−

o bien, como admitancia

22 )XX(r

)XX(jrY

scLikik

scLikikki −+

−−=−

donde:rik es la resistencia de la línea i-k.XLik es la reactancia inductiva de la línea i-k.Xsc es la reactancia capacitiva nominal del dispositivo TCSC.

i kr ik xLik xsc

Fig. 3.2. TCSC como capacitancia variable en la línea i-k

Entonces las derivadas parciales de (3.14) y (3.15) están dadas por:

[ ]222

2

22

2

)XX(r

)XX(r

)XX(r

r

XX

g

scLikik

scLikik

scLikik

ik

scsc

ii

−+

−=

−+∂∂=

∂∂

[ ]222

2

22

2

)XX(r

)XX(r

)XX(r

r

XX

g

scLikik

scLikik

scLikik

ik

scsc

ik

−+

−−=

−+−

∂∂=

∂∂

[ ]222

22

22

2

)XX(r

)XX(r

)XX(r

)XX(

XX

b

scLikik

scLikik

scLikik

scLik

scsc

ii

−+

−−=

−+−−

∂∂=

∂∂

[ ]222

22

22

2

)XX(r

r)XX(

)XX(r

)XX(

XX

b

scLikik

ikscLik

scLikik

scLik

scsc

ik

−+

−−=

−+−

∂∂=

∂∂

sc

ii

sc

kk

sc

ii

sc

kk

sc

ik

sc

ki

sc

ik

sc

ki

X

b

X

b;

X

g

X

g

X

b

X

b;

X

g

X

g

∂∂

=∂∂

∂∂

=∂∂

∂∂

=∂∂

∂∂

=∂∂

Así que (3.14) y (3.15) pueden expresarse como:

36

[ ] [ ]

[ ] [ ] scIko

scLikik

scLikikscRko

scLikik

scLikik

scIio

scLikik

scLikikscRio

scLikik

scLikiksc

sc

Ri

XV)XX(r

)XX(rXV

)XX(r

)XX(r

XV)XX(r

)XX(rXV

)XX(r

)XX(rX

X

I

∆−+

−−+∆

−+

−−

∆−+

−−−∆

−+

−=∆

∂∂

222

22

222

2

222

22

222

2

2

2

[ ] [ ]

[ ] [ ] scIko

scLikik

scLikikscRko

scLikik

scLikik

scIio

scLikik

scLikikscRio

scLikik

scLikiksc

sc

Ii

XVXXr

XXrXV

XXr

XXr

XVXXr

XXrXV

XXr

XXrX

X

I

∆−+−−∆

−+−−−

∆−+−+∆

−+−−=∆

∂∂

222

2

222

22

222

2

222

22

)(

)(2

)(

)(

)(

)(2

)(

)(

[ ] [ ]

[ ] [ ] scIko

scLikik

scLikikscRko

scLikik

scLikik

scIio

scLikik

scLikikscRio

scLikik

scLikiksc

sc

Rk

XV)XX(r

)XX(rXV

)XX(r

)XX(r

XV)XX(r

)XX(rXV

)XX(r

)XX(rX

X

I

∆−+

−−−∆

−+

−+

∆−+

−−+∆

−+

−−=∆

∂∂

222

22

222

2

222

22

222

2

2

2

[ ] [ ]

[ ] [ ] scIko

scLikik

scLikikscRko

scLikik

scLikik

scIio

scLikik

scLikikscRio

scLikik

scLikiksc

sc

Ik

XV)XX(r

)XX(rXV

)XX(r

)XX(r

XV)XX(r

)XX(rXV

)XX(r

)XX(rX

X

I

∆−+

−+∆

−+

−−+

∆−+

−−∆

−+

−−−=∆

∂∂

222

2

222

22

222

2

222

22

2

2

Consideraremos dos maneras de incorporar el TCSC en las ecuaciones de estado de unsistema multimáquina. Como primera opción tomemos el caso en el cual se toma lavariación de la reactancia capacitiva del TCSC como una variable de estado, que presentauna dinámica de primer orden del tipo [1],

)XX(T

Xdt

dscref

TCSCsc −= 1

que en forma incremental es

)X(T

Xdt

dsc

TCSCsc ∆−=∆ 1

(3.17)

Esta ecuación ha de agregarse a los demás estados del sistema:

161611

10

0

xxTCSC

g

nu

T

A

A

−=

6166191691 00xx

gnu

xx

gnu

CC;

BB

=

=

Reacomodando (3.7) y (3.4) al incluir el término adicional de (3.16) tenemos

37

[ ]116

1618

1181818118

00

xsc

g

xTCSC

xL

g

xLLN

NLg

x

g

X

XV

V

V

YY

YYI

∆

+

∆∆

=

∆ (3.7 a)

donde:

1810000 x

T

sc

Ik

sc

Rk

sc

Ii

sc

RiTCSC X

I

X

I

X

I

X

IV

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂= LLL

1181818116161811800

0

00

0

0xL

g

x

g

xsc

g

x

g

x

g

V

VW

X

XZI

∆∆

+

∆

=

∆(3.4 a)

Igualando (3.4 a) y (3.7 a) y despejando el vector de voltajes:

[ ] [ ]116

1618

1618

1818

118

000

0

xsc

g

xTCSC

x

gxinv

xL

g

X

XV

ZY

V

V

∆

−

=

∆∆

En forma compacta se tiene,

[ ] [ ] [ ] 1161618211818

118

xnuxgwgwxinv

xL

g XZZYV

V∆=

∆∆

(3.8 a)

donde:

[ ]

∆

=∆=

=

sc

gnuxTCSCgw

x

ggw X

XX;VZ;

ZZ 1182

1518

1 0

Reescribiendo la ecuación (3.2) y sustituyendo (3.8 a), tenemos:

[ ] [ ] [ ] [ ]199161161616 xgxnuxnuxrednununu UBXAAX +∆+=

∆

•(3.9 a)

donde:

[ ] [ ] [ ]161821181818160

xgwgwxinvxnurednu ZZYCA =

Otra forma de considerar al TCSC, es tomando la aportación de dispositivo independientede los estados [2], lo cual implica que scX∆ no es una variable de estado. Para este caso la

reactancia del dispositivo es una función del ángulo de disparo de los tiristores (α) [3]. LaFig. 3.3 presenta el esquema propuesto para modificar el valor de la reactancia, donde:

f1(α) = oαωπ −2

38

f2(α) =C

kk

k

k

C

sen

k

k

CX sc πω

σσσπω

σσω

)tan()tan()(cos

)1(

4)2(2

1

1 2

22

2

2

2 −−

++−

−=

Zb = impedancia base

Fig. 3.3. Esquema para el control del disparo de los tiristores

Para este caso la ecuación (3.7) es ahora de la forma:

[ ] scxTCSC

xL

g

xLLN

NLg

x

g XVV

V

YY

YYI∆+

∆∆

=

∆118

11818181180

(3.7 b)

que al igualar con (3.4) se tiene,

[ ] [ ] scxTCSC

xL

g

xLLN

NLg

xL

g

x

g

xg

x

g XVV

V

YY

YY

V

VWX

Z∆+

∆∆

=

∆∆

+

118

11818181181818115

151800

0

0

de donde se despeja para los voltajes nodales

[ ] [ ]

∆−

=

∆∆

scxTCSCxg

x

g

xinvinv

invinv

xL

g XVXZ

YY

YY

V

V118115

1518181843

21

1180

(3.8 b)

donde:

[ ]1

1818181843

21

1818

−

−=

=

xLLN

NLgg

xinvinv

invinv

xinv YY

YWY

YY

YYY

Reescribiendo (3.2) y sustituyendo (3.8 b), se tiene la formulación en variables de estadoresultante:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]199151151151515 xgxgscxTCSCxgxrednugnu UBXBXAAX +∆−∆+=

∆

•(3.9 b)

donde:

[ ] [ ] [ ]156661615 xgxinvxgrednu ZYCA =

αo

bZ

1α σ Xsc

f1(α) f2(σ)

Controlador

39

[ ] [ ] 118181521 xTCSCxinvginvgTCSC VYCYCB =

Resumiendo: las expresiones (3.9 a) y (3.9 b) son la formulación de estado al incluir unTCSC en la red; en el primer caso como un sistema dinámico de primer orden, y en elsegundo empleando su modelo cuasi-estático.

3.7 INCLUSIÓN DE UN CONTROLADOR UNIFICADO DE FLUJO DEPOTENCIA (UPFC)

El concepto del UPFC fue propuesto por Gyugyi en 1991. En un principio, este dispositivose pensó como un controlador y compensador dinámico en tiempo real de sistemas detransmisión de C.A. Sin embargo, dentro del marco de los sistemas de potencia, el UPFC escapaz de controlar en forma simultánea o selectiva todos los parámetros que influyen en elflujo de potencia y debido a esta característica lleva el adjetivo de "unificado". Este es undispositivo híbrido que abre nuevas posibilidades al control del flujo de potencia.

IVpq

V0 V0'Inversor 1 Inversor 2

Línea de transmisión

Transformador de excitación

CA CD CD CA

GTO GTO

Capacitor de CD

V0

V0'

Vpq

Transformador serie

Medición de variables

Inicialización de parámetros Qref

VrefZref

φrefControl

Fig. 3.4. Diagrama esquemático del UPFC

La estructura básica del UPFC se ilustra en la Fig. 3.4. El UPFC consiste de dosconvertidores (fuentes inversoras de voltaje) compuestos de GTO´s trifásicos. Los dosconvertidores son operados desde un capacitor que sirve como enlace de C.D.El convertidor 1 (conectado en derivación) se utiliza para suministrar la potencia realdemandada por el convertidor 2 a través del enlace de C.D. La potencia real intercambiadaestá determinada por la diferencia angular del voltaje del convertidor y el voltaje delsistema de C.A. El convertidor 1 también puede generar o absorber potencia reactiva en susterminales de C.A., por lo tanto, también puede ejecutar las funciones de un compensadorestático de VAR´s.

40

El convertidor 2 realiza la función principal del UPFC, inyectando un voltaje de magnitud yángulo controlable en serie con la línea a través de un transformador de acoplamiento. Estevoltaje de C.A. se produce por la conmutación de tiristores alimentados con C.D. desde elcapacitor de enlace.

La inclusión de un UPFC en un sistema de potencia hace que se modifique la formulaciónde ecuaciones de estado para análisis de señal pequeña.Considerando el modelo monofásico de estado estacionario del UPFC mostrado en la Fig.3.5, tenemos las siguientes relaciones:

E

ishE jX

VII +−=

B

kiserB jX

VVII

−+−=

donde:

IE es la corriente en la rama en derivación del UPFCIB es la corriente en la rama serie del UPFCVk y Vi son los voltajes en los nodos entre los cuales se conecta el UPFC

i k

UPFC

XB

XE

i k

i k

Iser

Ish

XB

XE

VB

VE

IB

IE

(a)

(c)(b)

Fig. 3.5. (a) UPFC conectado en la línea que une al nodo i y k; (b) modelo del UPFC utilizando fuentes devoltaje; (c) modelo del UPFC utilizando fuentes de corriente.

Las expresiones anteriores indican que en el nodo i y el k, se tienen inyecciones decorrientes, por lo que las ecuaciones de la red serán:

41

VY

jX

VVI

jX

VVI

jX

VI

I

I

II

I

)renglónésimok(

)renglónésimoi(

conUPFC

B

kiB

B

kiB

E

iE

g

ser

sersh

g

=

−−

−+−+−

=

−

+

−

−

0

0

0

0

0

0

0

0

M

M

M

M

M

M

donde YconUPFC, se define como la matriz de admitancia nodal que incluye los valores de lasimpedancias de las fuentes serie y shunt del UPFC.

El vector de corrientes se puede separar de la siguiente manera:

−

+

+=

−

+

+

−

−−−

+=

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

sin

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

B

BE

UPFC

B

BE

B

ki

B

ki

E

i

conUPFC

g

I

II

VY

I

II

jX

VV

jX

VV

jX

V

VY

I

Separando los elementos de la expresión anterior en sus componentes real e imaginaria ylinealizando, obtenemos:

42

∆−∆−

∆+∆∆+∆

+∆=

∆

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

M

M

M

M

M

M

IkB

RkB

IiBIiE

RiBRiE

sinUPFC

g

I

I

II

II

VY

I

(3.7 c)

Igualando las ecuaciones (3.4) y (3.7 c) se tiene

[ ]11811818181181818

1151518

0

00

0

0xUPFCxL

g

xLLN

NLg

xL

g

x

g

xg

x

g

IV

V

YY

YY

V

VWX

Z

∆

+

∆∆

=

∆∆

+

(3.8 c)

donde:

( ) ( )[ ]TIkBRkBIiBIiERiBRiEUPFC IIIIIII 0000 LLL ∆−∆−∆+∆∆+∆=∆

representa la inyección de corrientes provenientes del dispositivo UPFC.

Si consideramos las inyecciones de corriente ∆IE R, ∆IE I, ∆IB R, ∆IB I y el voltaje del enlacede corriente directa ∆Vdc como los estados del UPFC [4], entonces ∆IUPFC se puedeexpresar como:

UPFCUPFCgUPFC XZI =∆

donde:

[ ]TdcIBRBIERE

UPFC VIIIIX ∆∆∆∆∆=

UPFCgZ es una matriz de ( 2 x No. de generadores + 1 : 2 x No.de nodos , 5 )

para el sistema en estudio 512xUPFCgZ ℜ∈ .

43

krenglón

krenglón

irenglón

irenglón

Z

x

UPFC

g

2

12

2

12

00000

00000

01000

00100

00000

01010

00101

00000

512

−

−

−−

=

MMMMM

MMMMM

MMMMM

Reacomodando (3.8 c):

1202018512

56

1181818

11818181202018512

56

0

00

00

0

00

0

x

UPFC

g

xx

UPFC

g

x

xL

g

xLLN

NLg

xL

g

x

g

x

UPFC

g

xx

xg

X

X

ZV

V

YY

YY

V

VW

X

XZ

+

∆∆

=

∆∆

+

despejando el vector de voltajes:

1202018512

56

1

18181180

0

x

UPFC

g

xx

UPFC

g

xg

xLLN

NLgg

xL

g

X

X

Z

Z

YY

YWY

V

V

−

−=

∆∆

−

(3.8 d)

Reescribiendo (3.2),

1181820125

615

11314

19

132045

915

120202055

1515

0

0

0

0

0

0

xL

g

x

UPFCxg

xg

x

UPFCx

xg

x

UPFCx

xg

x

UPFC

g

x

UPFCx

xg

UPFC

g

V

V

C

C

U

U

B

B

X

X

A

A

X

X

∆∆

+

+

=

•

•

donde los elementos de las matrices UPFCUPFCUPFCUPFC CBUA ;;; se definen

en el apéndice B.

y sustituyendo (3.8 d) en (3.2) resulta

44

1202018512

56

1

18181820125

615

11314

19

132045

915

120202055

1515

0

0

0

0

0

0

0

0

x

UPFC

g

xx

UPFC

g

xg

xLLN

NLgg

x

UPFCxg

xg

x

UPFCx

xg

x

UPFCx

xg

x

UPFC

g

x

UPFCx

xg

UPFC

g

X

X

Z

Z

YY

YWY

C

C

U

U

B

B

X

X

A

A

X

X

−

−

+

+

=

−

•

•

donde se define:

−

−=

−

=

UPFCg

UPFCgg

UPFCg

UPFCgggg

xx

UPFC

g

xg

xx

UPFCxg

xgWUPFCred

ZICZIC

ZICZIC

Z

Z

II

II

C

CA

43

21

2018512

56

181843

21

1820125

615

0

0

0

0

181843

21

1

1818 xxLLN

NLgg

inv II

II

YY

YWYY

=

−=

−

Finalmente,

[ ]

202043

21

11314

19

132045

915

1202020 0

0

x

UPFCg

UPFCg

UPFCg

UPFCg

UPFCgggggtotal

xUPFC

x

xg

xUPFC

x

xg

xUPFC

gx

total

UPFC

g

ZICAZIC

ZICZICAA

U

U

B

B

X

XA

X

X

−−+

=

+

=

•

•

(3.18)

La ecuación (3.18) representa la formulación en variables de estado de un sistemamultimáquinas que incluye un UPFC.

3.7.1 REDUCCIÓN DEL MODELO DEL UPFC

En el modelo del UPFC se toma en cuenta la dinámica asociada a las corrientes de lasfuentes serie y shunt ( BIBREIER IIII ,,, ), y la del voltaje en el capacitor de enlace ( cdV ), sin

embargo, la dinámica asociada a las corrientes es muy rápida respecto a la del voltaje delcapacitor, por lo que se puede realizar una reducción del modelo para despreciar ladinámica de las corrientes.

Reordenando la ec.(3.18), tenemos:

45

+

=

•

•

•

UPFC

g

UPFC)(

UPFC),(

g

UPFC)(

UPFC),(

g

UPFC

)(

UPFC

),(

g

U

U

B

B

B

X

X

X

AAA

AAA

AAA

X

X

X

5

41

5

41

987

654

321

5

41

0

0

0

donde:

[ ]BIBREIERUPFC

),( IIIIX ∆∆∆∆=41

[ ]cdUPFC

)( VX ∆=5

=

4443

3433

2221

1211

41

00

00

00

00

bb

bb

bb

bb

BUPFC),(

[ ]545352515 bbbbBUPFC)( =

[ ]TBBEE

UPFC mmU δ∆∆δ∆∆=

Despreciando la dinámica de las corrientes ( 041 =• UPFC

),(X ), se tiene la siguiente expresión:

04156415441 =+++=•

UPFCUPFC),(

UPFC)(

UPFC),(g

UPFC

),( UBXAXAXAX

de la ecuación anterior se despeja UPFCX )4,1( ,la cual ahora es función de los estados del

generador y de la dinámica del capacitor

[ ]UPFC),(

UPFC),(

UPFC)(g

UPFC),( UBXAXAAX 4141564

1541 ++−= − (3.19)

sustituyendo la ec. (3.19) en las expresiones de gX•

y UPFC

)(X 5

•, se tiene

[ ] [ ] [ ] [ ] UPFCUPFC),(gg

UPFC)(gg UBAAUBXAAAAXAAAAX 41

15256

15234

1521

−−−•

−+−+−=

[ ] [ ] [ ] UPFCUPFC),(

UPFC)(

UPFC)(g

UPFC

)( UBAABXAAAAXAAAAX 411

585561

58941

5875−−−

•−+−+−=

Las expresiones anteriores se pueden agrupar nuevamente en forma matricial, observándoseen este caso que ya no aparecen los estados relacionados a las corrientes del UPFC, de aquíque el nuevo sistema es un modelo reducido.

46

−

−+

−−−−

=

−

−

−−

−−

•

•

UPFC

g

UPFC),(

UPFC)(

UPFC),(g

UPFC)(

gUPFC

)(

g

U

U

BAAB

BAAB

X

X

AAAAAAAA

AAAAAAAA

X

X

411

585

411

52

561

58941

587

61

52341

521

50

(3.20)

Esta última expresión sólo considera el voltaje en el capacitor de CD como la variable deestado del UPFC y desprecia las dinámicas de las corrientes de las fuentes serie y shunt.

3.8 RESUMEN

En este capítulo se presenta una formulación de estado generalizada para un sistemamultimáquinas en el cual es necesario utilizar las ecuaciones de la red para enlazar laformulación de las máquinas con el sistema y obtener una representación en funciónúnicamente de los estados y las entradas (3.9). Además se analizan las formas en las cualesse pueden incorporar dispositivos FACTS, tales como el capacitor serie controlado portiristores (TCSC), para el cual se analizan dos posibles modelos, el primer caso como unsistema dinámico de primer orden (3.9a) y empleando su modelo cuasi-estático (3.9b).Asimismo se presenta una forma de incluir un controlador unificado de flujos de potencia(UPFC) y se propone una reducción del modelo del UPFC para obtener una formulación envariables de estado más compacta (3.20).

REFERENCIAS

[1] John J. Paserba, N. W. Miller, E. V. Larsen, R. J. Piwko, “A thyristor controlledseries compensation model for power system stability analysis”. IEEE Transactionson Power Delivery, Vol. 10, No.3, July 1995, pp. 1471-1478

[2] S.G. Jalali, R.A.Hedin,M. Pereira, K. Sadek, "A Stability Model for the AdvancedSeries Compensator (ASC)", IEEE Transactions on Power Delivery, Vol. 11, No. 2,April 1996, pp 1128-1137.

[3] Dávalos Marín R. J., “Modelado y análisis dinámico del TCSC y su aplicación paramejorar el comportamiento electromecánico en redes electromecánicas”, Tesis deMaestría, Cinvestav, Unidad Guadalajara, México, 2000.

[4] S. A. Nabavi-Niaki, "Modelling and Aplications of Unified Power Flow Controller(UPFC) for Power Systems". Tesis Doctoral, Universidad de Toronto, 1996.

47

C A P Í T U L O 4

A N Á L I S I S D E LC O N T R O L A D O R U N I F I C A D O

D E F L U J O S D E P O T E N C I A( U P F C )

4.1 INTRODUCCIÓN

En la actualidad los sistemas de potencia presentan una estructura compleja debido a lagran cantidad de interconexiones que existen entre ellos y al tamaño de los mismos, el cualha ido aumentando a pasos agigantados en las últimas décadas debido a la crecientedemanda de energía eléctrica de los sectores comercial, industrial y doméstico. Aunado aesto las grandes inversiones en nuevas plantas generadoras y la dificultad de obtenerderechos de vía hace que se busquen soluciones que ayuden a mitigar este problema.Además los grandes sistemas de potencia traen consigo problemas inherentes a la operacióndel mismo, ya que son difíciles de controlar y pueden presentar condiciones de operaciónno deseadas como flujos en anillo o generación excesiva de potencia reactiva.

El gran auge de la electrónica de potencia ha permitido el desarrollo de dispositivosdenominados FACTS (sistemas de transmisión flexible de C. A.), los cuales tienen lacapacidad de controlar los principales parámetros de los sistemas de potencia (voltaje,ángulo de fase e impedancia de línea), permitiendo el control del flujo de potencia en laslíneas de transmisión hasta cerca de sus límites térmicos. Asimismo, una característicaúnica de los dispositivos FACTS es que son efectivos en las tres etapas de operación:prefalla, falla y postfalla [1].

Dentro de los dispositivos FACTS, el controlador unificado de flujo de potencia (UPFC) esuno de los más versátiles ya que no sólo puede desempeñar las funciones de otroscontroladores FACTS tales como el compensador estático síncrono (STATCOM), elcapacitor serie controlado por tiristores (TCSC), y el regulador de ángulo de fase, sino queademás ofrece gran flexibilidad al combinar algunas de las funciones de los controladoresmencionados[2]. Debido a esta característica el UPFC puede suministrar control en tiemporeal de todos los parámetros básicos de un sistema de potencia o cualquier combinación deellos para controlar la potencia transmitida.

En el presente capítulo se analizan las características de operación del UPFC en un sistemamáquina-barra infinita en condiciones de estado estacionario, asimismo se hace un análisis

48

de señal pequeña para cuantificar el efecto de las señales de control del dispositivo sobrelos modos de oscilación electromecánicos para señales remotas y locales; los resultadosobtenidos se corroboran con simulaciones en el tiempo en las que se observa elcomportamiento de las variables mecánicas ante una falla en la barra infinita.

4.2 MODELO DEL UPFC EN ESTADO ESTACIONARIO

Para estudios de estado estacionario y de flujos de potencia de un sistema que incluye unUPFC es necesario tener un modelo que permita incorporar el dispositivo a un programa deflujos de carga.

El modelo básico de estado estacionario del UPFC incluye la representación del mismo através de dos ramas, una serie y una en derivación compuestas por fuentes ideales devoltaje. El modelo de la Fig. 4.1, incluye una rama serie compuesta por una fuente ideal devoltaje y una rama en derivación formada por una fuente ideal de corriente [3]. Eldispositivo se representa mediante tres parámetros independientes denominados UT, φT, eIq. Donde Up, Us, Ip,e Is, son los voltajes y las corrientes terminales del UPFC,respectivamente. UT, es la magnitud del voltaje de la fuente serie y φT es la fasecorrespondiente al mismo. La fuente ideal de corriente está representada por Iq e It, querepresentan las componentes reactiva y activa, y son componentes en cuadratura y en fasecon Up, respectivamente.

UTUp UsIsIp

Iq It

+

Fig. 4.1. Modelo de estado estacionario del UPFC

El diagrama fasorial del UPFC de la Fig. 4.2, clarifica las señales mencionadas.

UTmáx

φT

δs

δp

UT

U s

U p

Iq

Ip

-Iq

-It

I s

I t

fasor de referencia

Fig. 4.2. Diagrama fasorial de un UPFC

49

Estos tres parámetros pueden variar dentro de la región Γ y están determinados por lacapacidad nominal del UPFC, donde

[ ] [ ] [ ] máxqmáxqqTmáxTTqTT I,II,,,U,U|I,,U −∈π∈φ∈φ=Γ 200 (4.1)

Las relaciones matemáticas de los parámetros del UPFC son las siguientes[3]:

Tps UUU += (4.2)

tqps IIII −−= (4.3)

2)arg()arg( π±= pq UI (4.4)

)arg()arg( pt UI = (4.5)

p

sTt U

IUI

)Re( *

= (4.6)

4.2.1 ECUACIONES DE FLUJOS DE POTENCIA EN UN SISTEMA CON UPFC'S

Se considera que el UPFC se inserta en una línea de transmisión cuyos nodos terminalesson l y m, Fig. 4.3. En la figura se puede notar que el transformador en derivación delUPFC se conecta directamente al nodo l (I’p = Ip ; Ul = Up).

UTUl UsIsIp

Iq It

+ Zlm

ylm ylm Ym

I's Um

Yl

SGm

SLmSLl

SGl

Fig. 4.3. UPFC conectado en la línea l-m

Donde:

Zlm , ylm representan los parámetros de la línea de transmisión l-m.Yl , Ym representan la admitancia shunt para los nodos l y m.SGl , SLl representan las inyecciones nodales de potencia (generación y carga) en el

nodo l .SGm , SLm representan las inyecciones nodales de potencia (generación y carga) en el

nodo m .

Para los nodos l y m se tienen las siguientes relaciones para las inyecciones de corrientenodal:

50

llmmp

n

jjljl UjBGyUjBGIUYI )()('

1

++−+++

= ∑

=(4.7)

mlmls

n

jjmjm UjBGyUjBGIUYI )()('

1

++−++−

= ∑

=(4.8)

donde 1/Zlm= G + jB.

asimismo, las expresiones para las corrientes Is e I’s son:

slm

lm

mss Uy

Z

UUI +

−= (4.9)

mlm

lm

mss Uy

Z

UUI −

−=' (4.10)

De la Fig. 4.3, se puede observar que el nodo l y el nodo m pertenecen al sistema depotencia, pero el nodo s corresponde a las terminales del UPFC. Este nodo se puedeeliminar trasladando el efecto del UPFC como inyecciones nodales de potencia a los nodosl y m. En otras palabras la Fig. 4.3, se puede transformar en la Fig. 4.4, donde el efecto del

UPFC está representado por las inyecciones nodales de potencia ≈≈≈≈

mmll Q,P,Q,P .

Las ecuaciones de las inyecciones nodales de flujos de potencia debido a la inclusión de unUPFC en un sistema de potencia están dadas por las siguientes expresiones[3]:

Nodo l:

( ) ( ) ( )lmTmTmTTmlTlmTll gGUsenBcosGUUcosgGUUP ++δ−δ−δ+=≈

22 (4.11)

( ) ( )[ ] qllTlmlTlmTll IUcosbBsengGUUQ −δ+−δ+=≈

(4.12)

Nodo m:

( )mTmTTmm senBcosGUUP δ+δ−=≈

(4.13)

( )mTmTTmm cosBsenGUUQ δ−δ−=≈

(4.14)

donde

TmmTTllT φ−δ=δφ−δ=δ

51

Ul Zlm

ylm ylm Ym

Um

Yl

SGm

SLmSLl

SGl

Pl + jQl Pm + jQm˜˜ ˜ ˜

Fig. 4.4. UPFC representado por inyecciones de potencia

De aquí que para un UPFC integrado en la línea de transmisión l-m las ecuaciones de flujode potencia se pueden expresar como:

( )∑=

δ+δ−−=∆n

jijijijijjiLiGii senBcosGUUPPP

1

(4.15)

( )∑=

δ−δ−−=∆n

jijijijijjiLiGii cosBsenGUUQQQ

1

(4.16)

para i = 1, 2, 3, ... , n , i ≠ l, m; n es el número de nodos del sistema

( ) ≈

=

−δ+δ−−=∆ ∑ l

n

jljljljljjlLlGll PsenBcosGUUPPP

1

(4.17)

( ) ≈

=

−δ−δ−−=∆ ∑ l

n

jljljljljjlLlGll QcosBsenGUUQQQ

1

(4.18)

( ) ≈

=

−δ+δ−−=∆ ∑ m

n

jmjmjmjmjjmLmGmm PsenBcosGUUPPP

1

(4.19)

( ) ≈

=

−δ−δ−−=∆ ∑ m

n

jmjmjmjmjjmLmGmm QcosBsenGUUQQQ

1

(4.20)

La diferencia entre las ecuaciones de flujos de potencia para los nodos en los que se conecta

el UPFC y los demás es notoria, debido a los cuatro términos adicionales ≈≈≈≈

mmll Q,P,Q,P .

El modelo presentado tiene la ventaja de que puede integrarse fácilmente a un programa deflujos de potencia convencional basado en Newton-Raphson, debido a que en el procesoiterativo sólo hace falta realizar dos pasos adicionales después de que se ha formado el

jacobiano. Primero hay que añadir las modificaciones ≈≈≈≈

mmll Q,P,Q,P en las ecuaciones de

potencia ∆P y ∆Q, y después hay que corregir el jacobiano agregando las derivadas

52

parciales de (4.11), (4.12), (4.13) y (4.14). Los demás pasos iterativos se realizan de lamisma forma que se harían si no existiera el UPFC.

Las derivadas parciales de las contribuciones de potencia del UPFC se presentan acontinuación:

Nodo l:

( ) lTlmlmTll

l sengGUUP δ+−=δ∂

∂≈

2

( )mTlmmTlmTmm

l cosBsenGUUP δ+δ=δ∂

∂≈

( ) lTlmlmTll

ll cosgGUU

U

PU δ+=

∂∂

≈

2

( )mTlmmTlmTmm

lm senBcosGUU

U

PU δ−δ−=

∂∂

≈

( ) ( )[ ]lTlmlmlTlmlmTll

l senbBcosgGUUQ δ++δ+=δ∂

∂≈

( ) ( )[ ] qllTlmlmlTlmlmTll

ll IUcosbBsengGUU

U

QU −δ+−δ+=

∂∂

≈

Nodo m:

( )mTlmmTlmTmm

m cosBsenGUUP δ−δ=δ∂

∂≈

( )mTlmmTlmTmm

mm senBcosGUU

U

PU δ+δ−=

∂∂

≈

( )mTlmmTlmTmm

m senBcosGUUQ δ+δ−=δ∂

∂≈

( )mTlmmTlmTmm

mm cosBsenGUU

U

QU δ−δ−=

∂∂

≈

En este método los nodos l y m pueden ser tipo PQ o PV. Cuando l y m son nodos distintos,la carga computacional es diferente. Por ejemplo, si l es un nodo PV, su ecuación depotencia nodal reactiva se excluye de las ecuaciones de flujos de potencia, esto es, el vector

∆Q no incluye a las componentes ∆Ql y ≈

lQ .

53

Como ejemplo de aplicación, se van a reproducir los resultados dados en [4]. Para ello seutiliza el sistema de potencia de cinco nodos para mostrar cuantitativamente el desempeñodel modelo del UPFC. Dicho sistema se muestra en la Fig. 4.5.

North Lake Main

South Elm

G

G

1 3 4

2 5

60 + j10

45 + j15

20 + j10

Fig. 4.5. Sistema de 5 nodos, Stagg and El-Abiad

El UPFC se utiliza para mantener el flujo de potencia activa y reactiva del UPFC al nodoMain en 40MW y 2MVARs, respectivamente. Además, la rama en derivación del UPFC seutiliza para regular la magnitud del voltaje del nodo Lake en 1 pu. Los resultadosreportados en [4] después de la corrida de flujos son los siguientes:

Tabla 4.1 Valores de las fuentes ideales de voltaje

Fuente serie Fuente shunt

Vcr (pu) θcr (grados) Vvr (pu) θvr (grados)

0.1013 -92.7332 1.0173 -6.0046

Tabla 4.2 Voltajes nodales de la red modificada

Nodo Voltajes Ángulos Pt Qt

1 1.0600 0 1.3148 0.8577

2 1.0000 -1.7693 0.2000 -0.8549

3 1.0000 -6.0161 -0.4500 -0.1500

4 0.9917 -3.1906 -0.4000 -0.0500

5 0.9745 -4.9741 -0.6000 -0.1000

6 0.9965 -2.5122 0.0000 0.0000

54

Tabla 4.3 Flujo de Potencias en Líneas

Nodo de

Envío

Nodo deRecepción

Flujo de

Envío

Flujo de

Retorno

1 2 0.8114 + 0.7642i -0.7884 - 0.7588i

1 3 0.5034 + 0.0934i -0.4843 - 0.0892i

2 3 0.3748 - 0.1297i -0.3657 + 0.1171i

2 4 0.1374 - 0.0178i -0.1363 - 0.0185i

2 5 0.4761 + 0.0514i -0.4669 - 0.0529i

6 4 0.4000 + 0.0200i -0.3984 - 0.0349i

3 6 -0.6090 + 0.0535i 0.6090 - 0.0161i

4 5 0.1346 + 0.0034i -0.1331 - 0.0471i

En los resultados mostrados, el nodo 6 corresponde a un nodo ficticio, el cual representauno de los extremos del UPFC. Por lo tanto, en la tabla 4.3 puede apreciarse cómo eldispositivo mantiene el flujo de potencia hacia el nodo 4 (Main) en los valores deseados.

Para utilizar el modelo de inyecciones propuesto, tenemos que proporcionar como datos lossiguientes parámetros:

Pcontrol = -0.3984 pu; Qcontrol = -0.0349 pu; Iq = 0.1734 pu

Los resultados encontrados son:

Tabla 4.4 Voltajes nodales de la red modificada

Nodo Voltajes Ángulos Pt Qt

1 1.0600 0 1.3148 0.8577

2 1.0000 -1.7692 0.2000 -0.8549

3 1.0000 -6.0162 -0.4500 -0.1500

4 0.9917 -3.1905 -0.4000 -0.0500

5 0.9745 -4.9740 -0.6000 -0.1000

Al comparar las tablas 4.2 y 4.4 correspondientes a las magnitudes de los voltajes nodales ya la fase de los mismos, podemos ver que los resultados son muy similares. La diferencia enlos resultados estriba en el hecho de que en el modelo propuesto en [4], se especifica elflujo que se desea controlar con el UPFC, y al emplear el algoritmo, se conocen los valoresde magnitud y fase de las fuentes serie y shunt, y los voltajes en todos los nodos delsistema. Mientras que para el modelo propuesto en [3], se utiliza además del flujo depotencia a controlar, la componente Iq de la corriente en derivación. En la tabla 4.5 semuestran los flujos de potencia en las líneas del sistema y se puede ver como los resultadosobtenidos son muy cercanos a los que se tienen con el otro modelo, además se sigue

55

manteniendo el flujo de potencia que se deseaba controlar entre los nodos 3 y 4. Finalmenteen la tabla 4.6 se muestran los parámetros del UPFC según el modelo descrito.

Tabla 4.5 Flujo de Potencias en Líneas

Nodo de

Envío

Nodo de

Recepción

Flujo de

Envío

Flujo de

Retorno

1 2 0.8114 + 0.7642i -0.7884 - 0.7588i

1 3 0.5034 + 0.0934i -0.4843 - 0.0892i

2 3 0.3749 - 0.1297i -0.3657 + 0.1171i

2 4 0.1374 - 0.0178i -0.1362 - 0.0185i

2 5 0.4761 + 0.0514i -0.4669 - 0.0529i

3 4 0.4000 + 0.0200i -0.3984 - 0.0349i

4 5 0.1346 + 0.0034i -0.1331 - 0.0471i

Tabla 4.6 Parámetros del UPFC

UT φT Iq

0.0611 pu 1.5534 rad 0.1734 pu

4.3 INCLUSIÓN DEL DISPOSITIVO UPFC EN EL PROBLEMAMÁQUINA-BARRA INFINITA

Se considera el problema máquina-barra infinita para el análisis de estado estacionario y deestabilidad transitoria cuando en la red se inserta un dispositivo UPFC. La Fig. 4.6 muestraun sistema de potencia máquina-barra infinita con un UPFC, que consiste de untransformador de excitación (ET), un transformador boosting (BT), dos convertidores devoltaje (VSCs) basados en GTO’s trifásicos, y un enlace capacitivo de CD. Para cada VSC,mE, mB y δE, δB son la relación de modulación de amplitud y el ángulo de fase, que son lasseñales de control del UPFC.

VE dcV

δEVE

IECONVERTIDOR

SHUNT

Xtr

2IB

3

δBVB

CONVERTIDORSERIE

P+jQ

VO VB

4 1Xlin

Fig. 4.6. UPFC instalado en un sistema de potencia máquina-barra infinita

56

Primeramente, comenzamos por el desarrollo del análisis de estado estacionario, para locual la red se compone de cuatro nodos, Fig. 4.7.

XBvXtE

2 3 14

PL+jQL

G

GXtE

PL+jQL

XBv

UPFC

Xser

Xsh

V1

Fig. 4.7. Sistema barra infinita incluyendo un UPFC

La rama shunt del dispositivo UPFC controla la magnitud del voltaje del nodo número 3,por lo que se requiere determinar seis incógnitas (δg, δ3, | VB |, δB, | VE |, δE) en el problemade estado estacionario. A continuación se describen las ecuaciones de equilibrio utilizadaspara este propósito.

V4 = V1 + jXBv (PL-jQL) (4.21)

( )3

33

*δδ −=⇒

−=

−g

tE

g

gtE

g

g

gg sinX

VVP

jX

VV

V

jQP(4.22)

sershtET

serTtE

g

ser

B

sh

E

XXXX

jX

V

jX

V

jX

V

jX

V

jX

V

1111

43

++=

−+−=+(4.23)

La ec. (4.23) se descompone en dos ecuaciones, parte real y parte imaginaria:

Esh

EB

ser

Bg

tE

g

Tser X

V

X

V

X

V

X

V

X

Vδδδδδ coscoscoscoscos 3

34

4 −−−= ( 4.23a)

Esh

EB

ser

Bg

tE

g

Tser

sinX

Vsin

X

Vsin

X

Vsin

X

Vsin

X

Vδδδδδ −−−= 3

34

4 (4.23b )

57

serBvT

TserBvser

B

XXX

jX

V

jX

V

jX

V

jX

V

111

2

2

431

+=

+−−=− (4.24)

Haciendo lo mismo para la ec. (4.24), resulta

33

4

2

41 coscoscos δδδser

B

ser

B

TBv X

V

X

V

X

V

X

V−=− (4.24a)

33

42

4 δδδ sinX

Vsin

X

Vsin

X

V

serB

ser

B

T

−=− (4.24b)

Finalmente, se tiene la restricción de potencia activa cero en las fuentes del dispositivoUPFC,

Pbb = PE + PB = 0 (4.25)

donde [4],

( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]444

333

2

cos

cos

δδδδ

δδδδ

−+−

+−+−+=

BmmBmmB

BkmBkmBmmBB

sinBGVV

sinBGVVGVP

( ) ( )[ ]333

2cos δδδδ −+−+−= EEEEEEEE sinBGVVGVP

con las siguientes definiciones de conductancias y susceptancias:

111 ;; −−− −=+=+=+ serkmkmshEEsermmmm ZjBGZjBGZjBG

Para la solución del problema de estado estacionario se utiliza el método de Newton, por loque se requiere la linealización de las ecuaciones. Las derivadas parciales que resultan sedescriben en el apéndice C.

4.4 ANÁLISIS DEL UPFC EN ESTADO ESTACIONARIO

El modelo utilizado para el análisis de estado estacionario se muestra en la Fig. 4.8. En estemodelo se considera que la rama serie está formada por una fuente de voltaje, la cual serepresenta en forma fasorial (magnitud y ángulo), además se tiene una reactancia en seriecon ésta, la cual representa al transformador BT. De la misma forma, en la rama shunt, seincluye una fuente de voltaje en forma fasorial y una reactancia que representa altransformador ET. Asimismo, en el esquema se tiene la restricción de que la sumaalgebraica de las potencias reales de las fuentes serie y shunt debe ser cero (PE + PB = 0).

58

XlinXtr

G VB

VE

IE

IB 01 ∠

Xsh

Xs

PL+jQL

Fig. 4.8. Modelo monofásico equivalente de estado estacionario del UPFC en un sistema máquina – barrainfinita

Como ejemplo de aplicación considérese la red mostrada en la Fig. 4.9, para un nivel decarga SL = 0.35 + j 0.125. La magnitud del voltaje de generación se mantiene en 1.05 pu yel correspondiente al nodo controlado del UPFC, en 1.0375 pu.

Se toma como caso base, el esquema mostrado en la Fig. 4.8 con los siguientes datos (todosen pu):

Xtr = XtE = 0.15 Vg = 1.0500Xlin = XBv = 0.10 V3 = 1.0375Xs = Xser = 0.01 PL = 0.3500Xsh = Xsh = 0.01 QL = 0.1250

Con estos parámetros el estado estacionario converge para los siguientes voltajes ycorrientes:

Vg = 1.0449 + 0.1030 i IB = 0.3500 – 0.1250 iV3 = 1.0362 + 0.0519 i IE = -0.0093 + 0.0668 iVB = 0.0225 + 0.0134 i SB = 0.0062 + 0.0075 iVE = 1.0369 + 0.0519 i SE = -0.0062 – 0.0697 iS4 = 0.3500 + 0.1388 i

Las potencias manejadas por las fuentes shunt y serie del dispositivo resultan SE = -0.0062-j0.00697 y SB = 0.0062+j0.0075, respectivamente. Los voltajes y corrientes de las fuentesson como sigue: VE = 1.0369+j0.0519, IE = -0.0093+j0.0668, VB = 0.0225-j0.0134, IB =0.35-j0.125. Nótese que para mantener un nivel de voltaje de 1.0375 pu en el nodo 3, serequiere una cantidad de potencia reactiva importante.

59

j 0.01

VE

Gj 0.15 j 0.01

0.35 + j0.125

VB

062965051 .. ∠ 08673203751 .. ∠ 01∠

j 0.10

Fig. 4.9. Retrato de flujos de carga

4.4.1 COMPORTAMIENTO ANTE CAMBIOS EN LOS PARÁMETROS DELSISTEMA

Para analizar el comportamiento del UPFC, en el sistema máquina - barra infinita, seconsideran los principales parámetros del sistema y se modifican sus valores a fin decalcular el cambio que experimentan diversos componentes importantes en el sistema.

4.4.1.1 Variación de las reactancias de los transformadores ET y BT

Como primer caso se toman las reactancias asociadas a las fuentes serie y shunt del UPFC,y se modifican sus valores tomando como base los valores de XS = 0.01 y XSh = 0.01.

Al hacer las modificaciones en el intervalo XS ∈ [0.005 , 0.15] ; XSh ∈ [0.005 , 0.15], sepuede observar que los parámetros que presentan variaciones son los voltajes de las fuentesserie (VE) y shunt (VSh), así como las potencias asociadas a las mismas (SE y SB). En la Fig.4.10 se puede apreciar que para valores muy pequeños de la reactancia serie (XS), lamagnitud del voltaje VB está influenciada por la reactancia de la línea (Xlin). Sin embargo, alaumentar el valor de la reactancia serie, la magnitud de la fuente de voltaje en serieempieza a aumentar y su fase comienza a decrecer. El voltaje y la fase de la fuente shuntaumentan en forma proporcional a la variación de Xsh. Al observar la Fig. 4.11,correspondiente a la potencia real y reactiva de cada fuente, vemos cómo la potencia real enla fuente serie se mantiene constante, sin embargo, al aumentar el valor de la reactanciaserie la potencia reactiva disminuye hasta ser negativa.

El mayor impacto que se tiene al variar la reactancia shunt (XSh), se refleja en el ángulo dela fuente shunt, ya que la magnitud de ésta, (VE), se mantiene constante, sin embargo elángulo tiende a crecer conforme aumenta el valor de XSh. Respecto a la potencia que manejael dispositivo, se puede observar que la potencia real no varía y su valor es igual que el dela potencia de la fuente serie, pero en este caso es de signo contrario, lo cual confirma elhecho de que la suma algebraica de las potencias reales de las fuentes del UPFC debe serigual a cero. La potencia reactiva del dispositivo disminuye hasta ser negativa.

60

4.4.1.2 Variación de la reactancia de línea

En este caso los parámetros que se ven más afectados son el voltaje de la fuente serie (VB),su potencia (SB) y la potencia del nodo 4 a la barra infinita (S4), esto se debe principalmentea que la reactancia de la línea está conectada en serie con la reactancia XS, además de uniral UPFC a la barra infinita.

En la Fig. 4.12 se puede apreciar el efecto de la variación de la reactancia de línea Xlin ∈[0.001, 0.15]. En este caso se observa que si disminuye la reactancia de la línea, el voltajede la fuente serie aumenta, lo mismo sucede con el ángulo; sin embargo, si la reactancia dela línea aumenta, la magnitud y el ángulo de la fuente disminuyen. La potencia de la fuenteserie, presenta un comportamiento similar al que se tiene cuando cambia el valor de sureactancia, es decir, la potencia real permanece constante, mientras que la potencia reactivacomienza a decrecer, pero en este caso no se hace negativa.

La potencia entre la barra 4 y la barra infinita, presenta cambios en su potencia reactivaprincipalmente, ya que su potencia real permanece constante en un valor de 0.35pu. En estecaso la potencia reactiva se incrementa conforme aumenta el valor de la reactancia de lalínea. Esto se aprecia gráficamente en la Fig. 4.13.

4.4.1.3 Variación de la reactancia del transformador (Xtr)

Los parámetros que se ven más afectados, como consecuencia de la variación de lareactancia del transformador, Xtr ∈ [0.001 , 0.20], son el voltaje en el generador (Vg), elvoltaje de la fuente shunt (VE), su corriente (IE) y su potencia (SE). El voltaje en elgenerador se ve afectado principalmente en su ángulo, que varía en forma proporcional alos valores de Xtr. La magnitud del voltaje de la fuente shunt se mantiene en un valorconstante, y su fase presenta una variación muy pequeña. La magnitud de la corriente en larama shunt, presenta poca variación en su magnitud; sin embargo, su ángulo presenta unavariación después de que el valor de la reactancia del transformador es mayor a 0.085 pu.Ver Figs. 4.14 y 4.15.

La potencia real de la fuente shunt no presenta variación en su valor. La potencia reactiva,presenta valores grandes cuando la reactancia del transformador es pequeña, sin embargo,conforme este valor aumenta la potencia reactiva tiende a estabilizarse, esto puedeapreciarse gráficamente en la Fig. 4.16.

61

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.160.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04M

agn

itud

de V

B [

pu]

Magnitud del voltaje de la fuente serie respecto a la variación de Xs

y Xsh

Xs, X

sh [pu]

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16-100

-50

0

50

Áng

ulo

VB

[gra

dos

]

Ángulo del voltaje de la fuente serie respecto a la variación de X

Xs, X

sh [pu]

s y X

sh

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.161.035

1.04

1.045

1.05

Ma

gnitu

d de

VE

[pu

]

Magnitud del voltaje de la fuente shunt respecto a la variación de Xs y X

sh

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.162.86

2.88

2.9

2.92

2.94

Áng

ulo

VE

[gra

dos

]

Ángulo del voltaje de la fuente shunt respecto a la variación de X

Xs, X

sh [pu]

Xs, X

sh [pu]

s y Xsh

Fig. 4.10. Variación de VB y VE respecto a XS y XSh

62

0 0.05 0.1 0.15-0.01

-0.008

-0.006

-0.004

-0.002

0

Po

ten

cia

rea

l, P

E [

pu]

Xs, Xsh [pu]0 0.05 0.1 0.15

-0.0704

-0.0702

-0.07

-0.0698

-0.0696

Po

ten

cia

rea

ctiv

a, Q

E [p

u]

Xs, Xsh [pu]

0 0.05 0.1 0.150

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

Po

ten

cia

rea

l, P

B [

pu]

Xs, Xsh [pu]0 0.05 0.1 0.15

-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

Po

ten

cia

rea

ctiv

a, Q

B [p

u]

Xs, Xsh [pu]

Fig. 4.11. Variación de SE y SB respecto a XS y XSh

0 0.05 0.1 0.150.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

Ma

gnitu

d V

B [

pu]

Magnitud del voltaje de la fuente serie respecto a la variación de Xlin

Xlin

[pu]

0 0.05 0.1 0.15-20

0

20

40

60

Áng

ulo

de

VB

[gr

ados

]

Ángulo del voltaje de la fuente serie respecto a la variación de Xlin

Xlin

[pu]

Fig. 4.12. Variación de VB respecto a Xlin

63

0 0.05 0.1 0.150

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

Po

tenc

ia r

eal

, P

B [

pu]

Xlin

[pu]0 0.05 0.1 0.15

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

Po

tenci

a r

eact

iva

, Q

B [

pu]

Xlin

[pu]

0 0.05 0.1 0.150

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Po

tenci

a r

eal,

P4

[pu]

Xlin

[pu]0 0.05 0.1 0.15

0.125

0.13

0.135

0.14

0.145

0.15

Po

tenic

a r

eact

iva

, Q

4 [p

u]

Xlin

[pu]

Fig. 4.13. Variación de SB y S4 respecto a Xlin

0 0.05 0.1 0.15 0.20

0.5

1

1.5

2

Ma

gnitu

d de

Vg

[pu]

Xtr [pu]

0 0.05 0.1 0.15 0.22

3

4

5

6

7

Áng

ulo

de

Vg

[gra

dos]

Xtr [pu]

0 0.05 0.1 0.15 0.20.9

0.95

1

1.05

1.1

Ma

gnitu

d de

VE

[p

u]

Xtr [pu]

0 0.05 0.1 0.15 0.20

1

2

3

4

5

Áng

ulo

de

VE

[gr

ados

]

Xtr [pu]

Fig. 4.14. Variación de Vg y VE respecto a Xtr

64

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2

0

5

10

15

Mag

nitu

d de

IE

[p

u]

Magnitud de la corriente de la fuente shunt respecto a la variación de Xtr

Xtr

[pu]

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-200

-100

0

100

200

Án

gulo

de

IE [

grad

os]

Xtr [pu]

Ángulo de la corriente de la fuente shunt respecto a la variación de Xtr

Fig. 4.15. Variación de IE respecto a Xtr

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-0.01

-0.008

-0.006

-0.004

-0.002

0

Pot

enci

a r

eal,

PE

[pu

]

Variación de la potencia real de la fuente shunt respecto a la variación de Xtr

Xtr

[pu]

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-5

0

5

10

15

Pot

enci

a r

eact

iva,

QE

[p

u]

Xtr

[pu]

Variación de la potencia reactiva de la fuente shunt respecto a la variación de Xtr

Fig. 4.16. Variación de SE respecto a Xtr

65

En los casos anteriores, se puede observar que al variar las reactancias de las fuentes delUPFC o al variar las reactancias de la línea o del transformador se modifican algunos de losparámetros del sistema, sin embargo en ninguno de los casos se modifican todos losparámetros, ya que algunos permanecen constantes.

4.4.1.4 Variación de la potencia de carga

Al variar la carga en la barra infinita todos los parámetros se modifican. Para apreciar demejor manera estos cambios, primero se analiza el comportamiento del sistema al variar lapotencia real (PL) y manteniendo la potencia reactiva (QL) constante. Para el intervalo, PL ∈[0 , 0.70], el voltaje en el generador (Vg) presenta poca variación en su magnitud, sinembargo, su fase varía en forma proporcional a la potencia real. Las magnitudes de lasfuentes serie y shunt sí se ven afectadas, donde la primera tiende a decrecer mientras que lasegunda tiende a aumentar; un comportamiento similar presentan sus fases. Esto se presentagráficamente en la Fig. 4.17.

Las corrientes en las fuentes serie y shunt presentan un comportamiento similar entre ellas,el cual está caracterizado por una variación proporcional a PL tanto en magnitud como enángulo, Fig. 4.18.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.70

0.5

1

1.5

2

Mag

nitu

d d

e V

g [p

u]

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.72

4

6

8

10

Áng

ulo

de V

g [g

rad

os]

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.70.02

0.03

0.04

0.05

0.06

Mag

nitu

d d

e V

B [p

u]

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7-50

0

50

100

Áng

ulo

de V

B [

gra

dos]

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.71.0378

1.038

1.0382

1.0384

1.0386

Mag

nitu

d d

e V

E [p

u]

PL [pu]0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

2.86

2.87

2.88

Áng

ulo

de V

E [

gra

dos]

PL [pu]

Fig. 4.17. Variación de Vg, VB y VE respecto a PL

66

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.70.04

0.06

0.08

0.1

0.12

Mag

nitu

d d

e IE

[pu

]

PL [pu]

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.780

85

90

95

100

105

Áng

ulo

de

IE [

grad

os]

PL [pu]

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.70

0.2

0.4

0.6

0.8

Mag

nitu

d d

e IB

[pu

]

PL [pu]

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7-100

-80

-60

-40

-20

0

Áng

ulo

de

IB [

grad

os]

PL [pu]

Fig. 4.18. Variación de IB e IE respecto a PL.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7-0.02

-0.01

0

0.01

Po

tenc

ia r

eal,

PE

[pu

]

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7-0.12

-0.1

-0.08

-0.06

-0.04

Po

tenc

ia r

eact

iva,

QE

[p

u]

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7-0.01

0

0.01

0.02

Po

tenc

ia r

eal,

PB

[pu

]

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7-0.02

-0.01

0

0.01

Po

tenc

ia r

eact

iva,

QB

[p

u]

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.70

0.5

1

Po

tenc

ia r

eal,

P4

[pu]

PL [pu]0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

0.12

0.14

0.16

0.18

Po

tenc

ia r

eact

iva,

Q4

[pu

]

PL [pu]

Fig. 4.19. Variación de SE, SB y S4 respecto a PL

67

En la Fig. 4.19 se puede apreciar que la potencia real y reactiva de la fuente shunt varía enforma inversa a PL, sin embargo la potencia real de la fuente serie y de la barra 4 a la barrainfinita varían proporcionalmente a PL. La potencia reactiva de la fuente serie tiende adecrecer conforme aumenta PL. La potencia reactiva de la barra 4 a la barra infinita varíaproporcionalmente a PL.

El efecto en la fuente serie y shunt al variar la potencia reactiva demandada por la barrainfinita, QL ∈ [0 , 0.25], es el de disminuir la magnitud del voltaje de la fuente serie y el deaumentar su ángulo, caso contrario de la fuente shunt en la cual la magnitud del voltajeaumenta, mientras que su ángulo disminuye. Para ambas fuentes, la magnitud de lascorrientes tienden a aumentar conforme se incrementa el valor de la potencia reactiva, sinembargo, sus ángulos se comportan de forma distinta, ya que la fase de la fuente serietiende a disminuir, mientras que la fase de la fuente shunt llega a variar hasta en 180 gradosconforme aumenta la potencia reactiva. Esto se puede apreciar en las Figs. 4.20 y 4.21.

En la Fig. 4.22 se puede observar el comportamiento de las potencias en las fuentes serie yshunt, así como la potencia que fluye de la barra 4 a la barra infinita. De aquí se puede vercómo la potencia real de la fuente shunt tiende a aumentar conforme se incrementa QL,mientras que la potencia reactiva tiende a disminuir y a tomar valores negativos. En lafuente serie, la potencia real tiende a disminuir, mientras que su potencia reactiva tiende aaumentar. Finalmente, podemos observar cómo la potencia de la barra 4 a la barra infinitapresenta el flujo que se requiere en la carga para cada condición dada.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.250.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

Mag

nitu

d d

e V

B [p

u]

QL [pu]0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

20

30

40

50

60

Án

gulo

de

VB

[gra

dos

]

QL [pu]

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.251.0365

1.037

1.0375

1.038

1.0385

1.039

1.0395

Mag

nitu

d d

e V

E [p

u]

QL [pu]0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

2.864

2.866

2.868

2.87

2.872

2.874

Án

gulo

de

VE

[gra

dos

]

QL [pu]

Fig. 4.20. Variación de VB y VE respecto a QL

68

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.250

0.05

0.1

0.15

0.2

Mag

nitu

d de

IE

[pu

]

QL [pu]

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-200

-100

0

100

200

Áng

ulo d

e IE

[g

rados]

QL [pu]

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.250.34

0.36

0.38

0.4

0.42

0.44

0.46

Mag

nitu

d de

IB

[pu

]

QL [pu]

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-40

-30

-20

-10

0

Áng

ulo d

e IB

[g

rados]

QL [pu]

Fig. 4.21. Variación de IB e IE respecto a QL

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-15

-10

-5

0

5x 10

-3

Pot

enci

a re

al,

PE

[pu

]

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

Pot

. r

eact

iva,

QE

[p

u]

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-5

0

5

10

15x 10

-3

Pot

enci

a re

al,

PB

[pu

]

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.254

5

6

7

8x 10

-3

Pot

. r

eact

iva,

QB

[p

u]

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.250

0.1

0.2

0.3

0.4

Pot

enci

a re

al,

P4

[pu]

QL [pu]0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

0

0.1

0.2

0.3

0.4

Pot

. r

eact

iva,

Q4

[pu]

QL [pu]

Fig. 4.22. Variación de SE, SB y S4 respecto a QL

69

4.4.1.5 Variación de la magnitud del voltaje en el nodo controlado

Una de las características del UPFC es su capacidad de controlar el voltaje en uno de susextremos, por lo tanto, si se varía la magnitud de dicho voltaje, los principales parámetrosdel dispositivo se modifican de tal forma que se mantengan los valores establecidos. Para elintervalo, V3 ∈ [0.95 , 1.05], se observa lo siguiente. En la Fig. 4.23, se puede ver que lamagnitud del voltaje de las fuentes serie y shunt aumentan en forma proporcional a V3. Sinembargo, la fase de cada uno de estos parámetros se comporta de manera distinta, ya que lafase del generador presenta una variación muy pequeña respecto a la de las fuentes serie yshunt, en las cuales la variación es mucho mayor, siendo la de la fuente serie la más notoria.

En la Fig. 4.24 se muestra el efecto de la variación de V3 sobre la corriente en las fuentesserie y shunt. Aquí se aprecia que la corriente de la fuente serie no presenta variaciónalguna en su magnitud y ángulo, sin embargo la asociada a la fuente shunt presentavariaciones importantes en magnitud y fase.

La potencia reactiva de la fuente shunt es la que presenta una variación importante, esto sedebe principalmente a que esta fuente es la que proporciona el soporte al voltaje del nodocontrolado. La potencia de la fuente serie también presenta cambios pero no tan grandes,mientras que la potencia enviada al nodo de carga no presenta cambio alguno. Esto sepuede apreciar en la Fig. 4.25.

0.95 1 1.051.045

1.05

1.055

Mag

nitu

d de

Vg

[pu

]

0.95 1 1.055.5

5.6

5.7

5.8

Áng

ulo

de

Vg

[gr

ados

]

0.95 1 1.050.01

0.02

0.03

0.04

Mag

nitu

d de

VB

[pu

]

0.95 1 1.050

50

100

150

Áng

ulo

de

VB

[gr

ado

s]

0.95 1 1.050.95

1

1.05

1.1

Mag

nitu

d de

VE

[pu

]

V3 [pu]0.95 1 1.05

2.85

2.86

2.87

2.88

Áng

ulo

de

VE

[gr

ado

s]

V3 [pu]

Fig. 4.23. Variación de Vg, VB y VE respecto a V3

70

0.95 1 1.050.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Mag

nitu

d de

IE

[pu

]

V3 [pu]

0.95 1 1.05-100

-50

0

50

100

Áng

ulo

de I

E [

gra

dos]

V3 [pu]

0.95 1 1.050.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

Mag

nitu

d de

IB

[pu

]

V3 [pu]

0.95 1 1.05-21

-20.5

-20

-19.5

-19

-18.5

Áng

ulo

de I

B [

gra

dos]

V3 [pu]

Fig. 4.24. Variación de IB e IE respecto a V3

0.95 1 1.05-0.02

-0.01

0

0.01

Pot

enci

a re

al,

PE

[pu

]

0.95 1 1.05-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

Pot

enci

a re

act

iva,

QE

[p

u]

0.95 1 1.05-0.01

0

0.01

0.02

Pot

enci

a re

al,

PB

[pu

]

0.95 1 1.050

0.005

0.01

Pot

enci

a re

act

iva,

QB

[p

u]

0.95 1 1.05-1

0

1

2

Pot

enci

a re

al,

P4

[pu]

V3 [pu]

0.95 1 1.05-1

0

1

2

Pot

enci

a re

act

iva,

Q4

[pu

]

V3 [pu]

Fig. 4.25. Variación de SE, SB y S4 respecto a V3

71

4.4.1.6 Conclusiones

A continuación se resumen los efectos que se tienen al variar los parámetros del sistema enbase a las gráficas mostradas anteriormente.

Parámetro Efecto

Reactancia de lafuente serie, Xs

Afecta principalmente a la fase de la fuente serie y a la potencia reactivaentregada por la fuente.

Reactancia de lafuente shunt, Xsh

Afecta principalmente la magnitud y la fase de la fuente shunt, las cualesvarían en forma proporcional al cambio de Xsh.

Reactancia de lalínea, Xlin

Tiene efecto principalmente en la fase de la fuente serie y en la potenciareactiva de la misma.

Reactancia deltransformador,

Xtr

Tiene un efecto importante en la corriente en la rama en derivación deldispositivo, principalmente en el ángulo, el cual cambia de signo paraciertos valores de Xtr; con la potencia reactiva entregada por la fuenteshunt sucede algo similar.

Potencia decarga, SL

Al variar la potencia de la carga se modifican la mayoría de losparámetros, sin embargo los que presentan la mayor variación son la fasede la fuente serie, la fase de la corriente en la rama serie y la potenciareactiva de las fuentes serie y shunt, las cuales llegan a cambiar de signo.

Magnitud delvoltaje en el

nodo controlado,|V3|

El mayor efecto se presenta en la magnitud de la fuente shunt y el ángulode la corriente en la rama en derivación, asimismo se tiene una variaciónimportante en el ángulo de la fuente serie.

La variación de los valores de las reactancias serie y shunt tiene efecto directo en losvalores de la magnitud y de la fase de las fuentes serie y shunt y en la potencia quemanejan, ya que estos valores se ajustan para mantener el flujo de potencia en la línea detransmisión, así como para mantener la magnitud del voltaje en el nodo controlado. Sinembargo, al variar la potencia de carga (real o reactiva), la magnitud y la fase de las fuentesserie y shunt presentan variaciones importantes.

4.5 ANÁLISIS DINÁMICO ANTE PEQUEÑAS Y GRANDESPERTURBACIONES INCLUYENDO UN UPFC

Para el mismo problema máquina-barra infinita, enseguida se considera la formulación parallevar a cabo estudios dinámicos. El modelo de la máquina síncrona se asume de tercerorden, incluyendo un sistema de excitación estático, de modo que se tienen las siguientesecuaciones diferenciales:

72

[ ]

[ ][ ])(

1

)'(1

1

''

'

0

trefAfdA

fd

dddqfdq

emj

VVKET

E

iXXEEdoT

E

DTTT

−+−=

−−−=

ω∆−−=ω

ω−ω=δ

•

•

•

•

(4.26)

Por lo que para tener un modelo de estado se requiere expresar las corrientes en función deestados. Primeramente reconozcamos las principales ecuaciones de equilibrio del sistema.Si se adopta la modulación de ancho de pulso (PWM) para los VSC basados en GTO, y seignoran la resistencia y el transitorio en los transformadores del UPFC, el modelo delUPFC en coordenadas del sistema es [5]:

+

−=

+

−=

+

−=

+

−=

2

2

cos

0

0

0

0

2

2

cos

0

0

0

0

cdBB

cdBB

Bi

Br

ser

ser

Bi

Br

Bi

Br

ser

ser

Bti

Btr

cdEE

cdEE

Ei

Er

sh

sh

Ei

Er

Ei

Er

sh

sh

Eti

Etr

vsinm

vm

i

i

x

x

V

V

i

i

x

x

V

V

vsinm

vm

i

i

x

x

V

V

i

i

x

x

V

V

δ

δ

δ

δ

(4.27)

donde VBt = VEt - V4. Cuando estas expresiones se trasladan al marco de referencia de lamáquina, resultan las siguientes,

( )

( )

( )

( )

−

−

+

−=

+

−=

−

−

+

−=

+

−=

2

cos2

0

0

0

0

2

cos2

0

0

0

0

cdBB

cdBB

Bq

Bd

ser

ser

Bq

Bd

Bq

Bd

ser

ser

Btq

Btd

cdEE

cdEE

Eq

Ed

sh

sh

Eq

Ed

Eq

Ed

sh

sh

Etq

Etd

vm

vsinm

i

i

x

x

V

V

i

i

x

x

V

V

vm

vsinm

i

i

x

x

V

V

i

i

x

x

V

V

δδ

δδ

δδ

δδ

(4.28)

Asimismo la dinámica del voltaje de corriente directa se toma en cuenta mediante,

[ ] [ ]

+

=

Bq

Bd

BBcd

B

Eq

Ed

EEcd

Ecd

i

isin

C

mi

isin

C

m

dt

dv δδδδ cos4

3cos

4

3(4.29)

Para la red, también podemos escribir las siguientes ecuaciones algebraicas,

73

∞++=+=

VIjxVV

VIjxV

BBvBtEt

EtttE (4.30)

que pueden expresarse en el marco de coordenadas d-q mediante,

( )( ) ( )[ ]

δ+δ+−++=+

+−++=

+++++=+

∞∞ cos

''

jVsinVixijxjVVjVV

iixEjiix

jVVjijiiijxjvv

BqBvBdBvBtqBtdEtqEtd

BdEddqBqEqq

EtqEtdBqEqBdEdtEqtdt

(4.31)

Resolviendo las ecuaciones (4.31) para las corrientes resulta,

( )

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) δδδδδδδ

sinVvsinmsinm

bvsinm

b

xxxxxxxx

xbxxxbii

cdEEBBcdEE

tEqshBvsershtEq

shshBvserBqEq

∞+

−−−=−=

+++++=∆∆

+++=+

22,

2 21

1

1

21

(4.32)

( )

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) δδδδδδδ

cos2

cos

2

cos,

2

cos4

'3

''2

2

43

∞−

−−−=

−−=

+++++=∆

∆+++=+

Vvmm

bvm

Eb

xxxxxxxx

xbxxxbii

cdBBEEcdEE

q

tEdshBvsershtEd

shshBvserBdEd

(4.33)

Con estas corrientes es posible tener una representación de estado que permita llevar a caboestudios de estabilidad transitoria con el objeto de hacer notar las ventajas del uso deldispositivo UPFC en redes de potencia. Como ejemplo, para las condiciones operativasmostradas en la Fig. 4.9, y primeramente considerando las fuentes del dispositivo convalores constantes, se simula una falla trifásica en la barra infinita. Los resultadospresentados en las Figs. 4.26-4.27 comparan las posiciones angulares y velocidades cuandono se incluye y cuando se incluye el dispositivo. Es muy notoria la diferencia en laamplitud de las oscilaciones, lo cual puede explicarse considerando que el dispositivoUPFC tiene una rama shunt que soporta el voltaje, lo cual redunda en que el nodogenerador experimenta una variación en su voltaje inferior a la que experimenta cuando nose tiene ese soporte. Por otro lado, en ambos casos es evidente la falta de amortiguamientoen las oscilaciones [6].

74

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30.14

0.15

0.16

0.17

0.18

0.19

0.2

0.21

tiempo, s

posi

ción

an

gula

r, [r

ad]

sin UPFC

Fig. 4.26. Respuesta del ángulo de potencia ante una falla trifásica en la barra infinita

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3376.6

376.7

376.8

376.9

377

377.1

377.2

377.3

tiempo, s

velo

cida

d a

ngu

lar,

[ra

d/s

]

sin UPFC

Fig. 4.27. Respuesta de la velocidad angular ante una falla trifásica en la barra infinita

75

Un análisis de señal pequeña para el sistema involucra la linealización de todas lasexpresiones, conduciéndonos finalmente a la representación de estado [5],

dcBEBEk

k

A

vkA

d

pk

j

pk

fd

q

A

ddd

jjj

fd

q

vmmu

u

T

KKT

KT

K

E

E

TKK

TT

K

T

KT

K

T

D

T

K

E

E

∆∆∆∆∆=∆

∆

−

+

∆∆∆∆

−

−

=

∆

∆

∆∆

∑•

•

•

•

,,,,

0

10

10

0

0010

'0

'

65

'0

'0

3'0

4

21

'

δδ

ωδ

ωδ

(4.34)

Las constantes empleadas se resumen en el apéndice D.

Como ejemplo de aplicación, para las condiciones operativas descritas anteriormente, seconstruye la matriz de estado (4.34) resultando,

−−−−−−

=

208534.28308043.0

2222.03814.000237.0

06588.2808873.131

0010

A

cuyos valores propios son: [ -0.0018 ± j11.4832, -15.9473, -4.4306 ]T. La frecuencia deoscilación del modo electromecánico es 1.8276 Hz, que concuerda con la frecuencia deoscilación de las Figs. 4.26-4.27, al incluir el UPFC.

La ecuación que le imprime dinámica al enlace de corriente directa en el dispositivo puededesarrollarse como sigue. Las potencias activas de las fuentes shunt y serie son,

[ ]

[ ]

P V i V im v

seni

i

P V i V im v

seni

i

E Ed Ed Eq EqE dc

E EEd

Eq

B Bd Bd Bq BqB dc

B BBd

Bq

= + = − −

= + = − −

2

2

( ) cos( )

( ) cos( )

δ δ δ δ

δ δ δ δ(4.35)

Entonces, de la ecuación (4.29) tenemos

cd

UPFC

cdcd

BE

cd

cd

v

P

Cv

PP

Cdt

dv

2

3

2

3 =+= (4.36)

donde PUPFC es la entrada de potencia activa al UPFC desde el sistema de potencia. Para la

76

operación continua del UPFC en estado estacionario se tiene PUPFC = 0 (se desprecian laspérdidas al interior del UPFC). Esto puede lograrse introduciendo un controlador quemantenga constante el voltaje cd a través del capacitor de enlace. Linealizando la ecuación(4.36) puede escribirse,

∑ ∆+∆+∆+δ∆=

∆=∆+=∆

=

•

4

19

'87

0020

2

3

2

3

2

3

kkckcdq

UPFCcdcd

UPFCcdcdcdcd

UPFCcd

uKvKEKK

PCv

PCvvC

Pv

(4.37)

donde, las constantes K7, K8, K9 y Kck se definen en el apéndice E.

Con la inclusión de la dinámica del voltaje en el capacitor de enlace, la matriz de estadoresultante es,

=

987

5

5

5_

_

00

0

KKK

K

K

KA

A

v

q

pVcdsin

Vcdcon(4.38)

Para el ejemplo de aplicación, considerando Vcd0 = 1.0 pu y Ccd = 2.0 pu, los eigenvaloresde la matriz de estado son: [ -80.2143, -0.1606 ± j10.3464, -15.9322, -4.4327 ].

Las Figs. 4.28-4.29 comparan las posiciones angulares y velocidades cuando no se incluyey cuando se incluye el dispositivo UPFC considerando las fuentes con valores constantes eincluyendo la dinámica del capacitor de enlace, ante una falla trifásica en la barra infinita.

4.5.1 EFECTO DE LAS SEÑALES DE CONTROL DEL UPFC EN ELAMORTIGUAMIENTO DE LOS MODOS DE OSCILACIÓN MECÁNICOS

Para conocer la influencia que tiene la modulación de la amplitud y el ángulo de fase decada una de las fuentes del UPFC en las oscilaciones electromecánicas del generador, seanalizará el efecto de cada una de las señales de manera individual y cuando actúanconjuntamente. Para ello se realizará un estudio de señal pequeña, el cual será corroboradocon un análisis de estabilidad transitoria.

4.5.1.1 Análisis de señal pequeña

Considerando un control proporcional en Vcd, de forma que cdVcdE VK ∆=δ∆ , la matriz de

estado es de la siguiente forma:

77

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30.14

0.15

0.16

0.17

0.18

0.19

0.2

0.21

tiempo, s

posi

ción

an

gula

r, [

rad

]

sin UPFC

Fig. 4.28. Comportamiento del ángulo ante una falla trifásica en la barra infinita

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3376.6

376.7

376.8

376.9

377

377.1

377.2

377.3

tiempo, s

velo

cida

d a

ng

ula

r, [

rad/s

]

sin UPFC

Fig. 4.29. Comportamiento de la velocidad ante una falla trifásica en la barra infinita

78

++++

=

=

+

=

∑=

•

•

•

•

•

3987

35

35

35

4

1

00

0

0

cVcd

vVcdv

qVcdq

pVcdpVcd_sin

Vcd_prop_con

BEBEk

kk

ck

vk

qk

pk

cd

fd

qVcd_prop_con

cd

fd

q

KKKKK

KKK

KKK

KKKA

A

,,m,mu

u

K

K

K

K

v

E

'EA

v

E

'E

δ∆δ∆∆∆∆

∆

∆∆∆

ω∆δ∆

∆∆

∆ω∆δ∆

(4.39)

donde KVcd, representa la constante del control proporcional utilizado para el valor de Vcd.

Tomando como señal de entrada un valor proporcional a la velocidad angular( ω∆=∆ mk ku ), la matriz de estado se ve modificada en su segunda columna, ya que ésta

es la que se encuentra en relación directa con la velocidad angular. Con las condicionesoperativas descritas anteriormente y tomando una entrada a la vez, se calculan los valorespropios para ver el efecto de estas en el modo de oscilación electromecánico, Tabla 4.7.

Tabla 4.7 Valores propios de la matriz de estado para las diferentes entradas.

∆∆∆∆mE = km∆ω∆ω∆ω∆ω ∆δ∆δ∆δ∆δE = km∆ω∆ω∆ω∆ω ∆∆∆∆mB= km∆ω∆ω∆ω∆ω ∆δ∆δ∆δ∆δB = km∆ω∆ω∆ω∆ω

km = 0.10 km = 0.10 km = 0.10 km = 0.10

-16.2952 -17.8224 -15.9840 -16.0462

-0.3271± 11.2447j -2.8158± 6.9512j -0.9858 ± 11.7823j -0.5850 ± 11.2177j

-6.9341 -12.0332 -6.5732 -4.4729

-4.3626 -5.1714 -4.2472 -6.8882

De la Tabla 4.7, se puede concluir que la entrada de control que tiene mayor efecto en elmodo de oscilación electromecánico es la fase de la fuente shunt (∆δE).

Para determinar el efecto al tener dos o más señales de control actuando simultáneamente,se calculan los valores propios para las combinaciones posibles. En la Tabla 4.8, semuestran los resultados obtenidos. Hay que hacer notar que la señal que siguepredominando es la fase de la fuente shunt, aunque la magnitud de la fuente serie tambiéncontribuye positivamente al amortiguamiento. Esto se puede apreciar al comparar losvalores propios que se tienen al considerar sólo como señal de entrada la fase de la fuente

79

shunt (∆δE) y los valores propios cuando se agrega la magnitud de la fuente serie (∆δE &∆mB).

Tabla 4.8 Valores propios de la matriz de estado para combinaciones de entradas

∆∆∆∆mE & ∆ & ∆ & ∆ & ∆mB ∆∆∆∆mE & ∆δ∆δ∆δ∆δB ∆∆∆∆mB & ∆δ∆δ∆δ∆δB

|km| = 0.10 |km |= 0.10 |km|= 0.10

-0.7595 ± 11.8533j -0.3694 ± 11.2962j -1.0262 ± 11.8357j

-16.2131 -16.2856 -15.9761

-4.1229 -4.3441 -4.2256

-6.6149 -6.9028 -6.5472

∆∆∆∆mE & ∆δ∆δ∆δ∆δE ∆∆∆∆mB & ∆δ∆δ∆δ∆δE ∆∆∆∆mB & ∆δ∆δ∆δ∆δB & ∆∆∆∆mE & ∆δ∆δ∆δ∆δE

|km| = 0.10 |km| = 0.10 |km| = 0.10

-2.7985± 7.1641j -3.6482± 7.0757j -3.7274± 6.8107j

-18.3425 -17.3620 -11.9780

-5.0671 -5.0937 -5.2156

-11.3458 -11.1304 -16.5653

4.5.1.2 Análisis de estabilidad transitoria

Empleando el caso base, se realizan simulaciones en el tiempo para observar cuál es elefecto de cada una de las señales de control en la posición angular y la velocidad de lamáquina ante una falla trifásica en la barra infinita.En la Fig. 4.30 se muestra el comportamiento del ángulo al utilizar diferentes señales decontrol (∆mE , ∆mB , ∆δB , ∆δE). Aquí se puede apreciar cómo la señal correspondiente a lafase de la fuente shunt es la que mayor impacto tiene sobre la posición angular, seguido dela magnitud de la fuente serie. En la Fig. 4.31 se muestra la respuesta de la velocidad antela falla descrita para las mismas señales. El efecto es similar al que presenta la posiciónangular, ya que la fase de la fuente shunt es la que impacta más favorablemente. De estasfiguras, se puede concluir que la señal de control correspondiente a la fase de la fuenteshunt (∆δE), es la que tiene el mayor impacto sobre las variables electromecánicas, lo cualtambién concuerda con el análisis de señal pequeña.

En la Fig. 4.32 se presenta la posición angular cuando se consideran dos o más señales decontrol actuando simultáneamente. En estas gráficas puede observarse que en los casos enlos que está presente la fase de la fuente shunt (∆δE) se tiene el mayor efecto en la respuestadel sistema. En la Fig. 4.33 se aprecia que la velocidad angular presenta el mismocomportamiento de la posición angular, es decir, cuando una de las señales de entrada es lafase de la fuente shunt, el sistema se estabiliza rápidamente.

80

Hay que hacer notar que estos resultados se obtienen considerando como señal de entradaun valor proporcional a la velocidad angular, lo cual puede ser impráctico debido a que éstano es una señal de tipo local ya que generalmente el dispositivo no se encuentra cerca de lasunidades generadoras, sin embargo, sirve como un buen ejemplo del efecto de cada una delas señales de control en la respuesta del sistema ante un disturbio grande. El pasosiguiente, es analizar el comportamiento del sistema cuando se retroalimenta una señallocal, como el flujo de potencia, un voltaje nodal o la corriente en la línea y observar si losresultados obtenidos se mantienen, o si el efecto de los controles tiene relación directa conlas variables utilizadas como retroalimentación.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0.19

0.195

posi

ción

ang

ular

, [ra

d]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30.188

0.19

0.192

0.194

0.196

tiempo, s

posi

ción

ang

ular

, [ra

d]

tiempo, s

∆mE = km ∆ω

∆δE = km ∆ω

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0.19

0.195

posi

ción

ang

ular

, [ra

d]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0.19

0.195

tiempo, s

posi

ción

ang

ular

, [ra

d]

tiempo, s

∆mB = km ∆ω

∆δB = km ∆ω

Fig. 4.30. Comportamiento del ángulo ante una falla en la barra infinita cuando las señales de control actúanen forma individual

81

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

376.95

377

377.05

velo

cida

d an

gula

r, [

rad/

s]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

376.98

377

377.02

tiempo, s

velo

cida

d an

gula

r, [

rad/

s]

tiempo, s

∆mE = km ∆ω

∆δE = km ∆ω

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

376.95

377

377.05

velo

cid

ad a

ngul

ar,

[rad

/s]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

376.95

377

377.05

velo

cid

ad a

ngul

ar,

[rad

/s]

tiempo, s

tiempo, s

∆mB = km ∆ω

∆δB = km ∆ω

Fig. 4.31. Comportamiento de la velocidad ante una falla en la barra infinita cuando las señales de controlactúan en forma individual

82

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30.188

0.19

0.192

0.194

0.196

tiempo, s

pos

ició

n a

ngu

lar,

[ra

d]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30.19

0.191

0.192

0.193

0.194

0.195

tiempo, s

pos

ició

n a

ngu

lar,

[ra

d]

∆mB y ∆δE

∆mE y ∆δE

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30.19

0.191

0.192

0.193

0.194

0.195

tiempo, s

pos

ició

n a

ngu

lar,

[ra

d]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0.19

0.195

tiempo, s

pos

ició

n a

ngu

lar,

[ra

d]

∆mE y ∆mB

∆mE , ∆mB , ∆δE , ∆δB

Fig. 4.32. Comportamiento del ángulo ante una falla en la barra infinita cuando las señales de control actúanconjuntamente

83

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

376.98

377

377.02

tiempo, s

velo

cid

ad a

ngul

ar,

[ra

d/s]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

376.98

377

377.02

tiempo, s

velo

cid

ad a

ngul

ar,

[ra

d/s]

∆mB y ∆δE

∆mE y ∆δE

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

376.98

377

377.02

tiempo, s

velo

cida

d an

gula

r, [

rad/

s]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

376.95

377

377.05

tiempo, s

velo

cida

d an

gula

r, [

rad/

s]

∆mE , ∆mB , ∆δE , ∆δB

∆mE y ∆mB

Fig. 4.33. Comportamiento de la velocidad ante una falla en la barra infinita cuando las señales de controlactúan conjuntamente

84

4.5.2 RETROALIMENTACIÓN DE SEÑALES LOCALES

Generalmente los dispositivos FACTS, tales como el UPFC, no se instalan cerca de lasunidades generadoras, por lo que las señales para retroalimentación que se tienendisponibles, son señales locales tales como el flujo o la corriente en la línea, el voltaje en unnodo, etc. Para continuar el estudio del efecto de las señales de control del UPFC en elamortiguamiento de oscilaciones electromecánicas, vamos a considerar la retroalimentacióndel flujo de potencia real en la línea que conecta al UPFC a la barra infinita, para lo cual esnecesario encontrar la expresión de ésta potencia y posteriormente linealizarla para analizarel efecto que tiene en el sistema.

Resolviendo las ecuaciones (4.31) para la corriente IB se tiene:

1

12

2

34

)(

)´(

∆+++

=

∆+++=

bxbxxxi

bxbxxxi

shtEshq

Bq

shtEshdBd

(4.40)

Trasladando estas corrientes al marco de referencia de la red,

δδδδ

seniii

isenii

BqBdBim

BqBdBre

+−=

+=

cos

cos

por lo que BimBreB ijiI += . De aquí, que el flujo de potencia a través de la línea está dado

por:

[ ] )()()*(44 BimBreBimBreBvB ijiijijxVIVS −++== ∞∞

separando en parte real e imaginaria

[ ]BimBimBreBvBre iViixjiVQPS ∞∞∞∞∞ −++=+= )( 22

444 (4.41)

Considerando términos incrementales, ∞4P , se obtiene:

BreiVP ∆=∆ ∞∞4 (4.42)

donde

BqoBdooBqooBdoBre iisenseniii ∆+∆+∆−=∆ δδδδδ cos)cos(

finalmente

dcBBEEqBre VllmllmllEli ∆+∆+∆+∆+∆+∆+∆=∆ 7654321 ' δδδ

por lo que el flujo de potencia incremental es:

85

)'( 76543214 dcBBEEq VllmllmllElVP ∆+∆+∆+∆+∆+∆+∆=∆ ∞∞ δδδ (4.43)

las constantes empleadas se definen en el apéndice F.

4.5.2.1 Análisis de señal pequeña

Para realizar el análisis de señal pequeña, vamos a utilizar la ecuación (4.39). En este casose retroalimenta el flujo en la línea que une al UPFC a la barra infinita, cuya expresión enfunción de los estados está dada por la ecuación (4.43) y vamos a observar el efecto de cadauna de las señales de control del UPFC en las oscilaciones electromecánicas del generador.Tomando como señal de entrada un valor proporcional al flujo de potencia en una línea( ∞∆=∆ 4Pku pijk ), la matriz de estado se ve afectada en la primera, tercera y quinta

columnas, correspondientes a los estados Vdc,q'E, ∆∆δ∆ , respectivamente.

De tal forma que:

( )[ ]

( )[ ]

( )[ ]

( )[ ] 0001

0001

0001

0001

7421

4

7421

6

7421

5

7421

3

===+++−

=

===+++−

=

===+++−

=

===+++−

=

∞

∞

∞

∞

∞

∞

∞

∞

BEBcdVcdq

pij

pij

E

EEBcdVcdq

pij

pij

B

EBEcdVcdq

pij

pij

B

EBBcdVcdq

pij

pij

E

,m,m,VlKll'El)lVk(

Vk

,m,m,VlKll'El)lVk(

Vk

,,m,VlKll'El)lVk(

Vkm

,,m,VlKll'El)lVk(

Vkm

δ∆∆∆∆δ∆∆δ∆

δ∆∆∆∆δ∆∆δ∆

δ∆δ∆∆∆δ∆∆∆

δ∆δ∆∆∆δ∆∆∆

En la Tabla 4.9, se muestran los valores propios correspondientes a cada una de lasentradas. En ésta, puede apreciarse cómo la fase de la fuente shunt y la magnitud de lafuente serie son las que tienen un mayor impacto en el modo de oscilación electromecánico.

Tabla 4.9 Valores propios de la matriz de estado para las diferentes entradas cuando se utilizauna señal local como retroalimentación.

∆∆∆∆mE = kpij ∆P4∞ ∆δ∆δ∆δ∆δE = kpij ∆P4∞ ∆∆∆∆mB = kpij ∆P4∞ ∆δ∆δ∆δ∆δB = kpij ∆P4∞

kpij = 0.02 kpij = 0.02 kpij = 0.02 kpij = 0.02

-16.0042 -15.9159 -16.0690 -16.0567

-0.5391 ± 11.1703j -0.5664 ± 11.0344j -0.5575 ± 11.1694j -0.5430 ± 11.1660j

-4.5492 -4.2346 -4.6021 -4.4991

-6.9363 -8.9647 -6.5012 -6.8863

86

4.5.2.2 Análisis de estabilidad transitoria

Utilizando el caso base, se realizan simulaciones en el tiempo para analizar cuál es el efectode utilizar como retroalimentación el flujo de potencia en la línea que une al UPFC y a labarra infinita para cada una de las señales de control.

En las Figs. 4.34 y 4.35, se muestra el comportamiento de la posición angular para lascuatro señales de control. Asimismo, éstas se comparan con la respuesta debido a la fase dela fuente shunt (∆δE) con el fin de mostrar que la fase de la fuente shunt es la que mayorimpacto tiene sobre la posición angular. El impacto de esta señal se muestra con una líneadiscontinua. De la misma forma, en las Figs. 4.36 y 4.37, se presenta la respuesta de lavelocidad angular para las distintas señales, observándose nuevamente que la señalcorrespondiente a la fase de la fuente shunt es la que proporciona el mayoramortiguamiento.

El resultado anterior concuerda con el análisis realizado al retroalimentar la velocidad, sinembargo, en este caso el amortiguamiento no es tan grande, lo cual se debe principalmentea que el retroalimentar la velocidad, tiene un impacto directo sobre las variableselectromecánicas.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30.185

0.19

0.195

0.2

pos

ició

n a

ngu

lar,

[ra

d]

∆δE = k

pij∆P

ij

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30.185

0.19

0.195

0.2

pos

ició

n a

ngu

lar,

[ra

d]

∆mE = k

pij∆P

ij

∆mE

∆δE

tiempo, s

tiempo, s

Fig. 4.34. Comportamiento del ángulo ante una falla en la barra infinita cuando se utiliza la potencia real en lalínea como retroalimentación (∆mE vs ∆δE)

87

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30.185

0.19

0.195

0.2

posi

ción

ang

ular

, [r

ad]

∆mB = kpij∆Pij

∆mB

∆δE

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30.185

0.19

0.195

0.2

tiempo, s

posi

ción

ang

ular

, [r

ad]

∆δB = kpij

∆Pij

∆δB

∆δE

tiempo, s

Fig. 4.35. Comportamiento del ángulo ante una falla en la barra infinita cuando se utiliza la potencia real en lalínea como retroalimentación (∆mB vs ∆δE ; ∆δB vs ∆δE)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

376.95

377

377.05

tiempo, s

velo

cid

ad

an

gu

lar,

[ra

d/s

]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

376.95

377

377.05

tiempo, s

velo

cid

ad

an

gu

lar,

[ra

d]

∆mE

∆δE

∆mE = kpij∆Pij

∆δE = k

pij∆P

ij

Fig. 4.36. Comportamiento de la velocidad ante una falla en la barra infinita cuando se utiliza la potencia realen la línea como retroalimentación (∆mE vs ∆δE)

88

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

376.95

377

377.05

velo

cidad

angu

lar,

[ra

d/s

]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

376.95

377

377.05

tiempo, s

velo

cida

d a

ngu

lar,

[ra

d/s

]

tiempo, s

∆mB = kpij∆Pij

∆mB

∆δE

∆δB = kpij

∆Pij

∆δB

∆δE

Fig. 4.37. Comportamiento de la velocidad ante una falla en la barra infinita cuando se utiliza la potencia realen la línea como retroalimentación (∆mB vs ∆δE ; ∆δB vs ∆δE)

4.5.3 SISTEMA DE CONTROL DEL UPFC

La Fig. 4.38, muestra la estrategia de control adoptada para regular el flujo de potencia delsistema en condiciones de estado estacionario. En este esquema, las variables de control δB

y mB se utilizan para regular el flujo de potencia real y reactiva. El control de mE se utilizapara regular el voltaje de línea, y finalmente la variable de control δE se utiliza para elvoltaje en el enlace de CD[6].

VBtVEt

VSC-BVSC-E

+

-

-

+

+

+

-+

-

+2

1 43

PI

PIPI

PI

mE δBmBδE

Vdc ref

P ref

P line

Q line

Q ref

Q ref

Q s

Fig. 4.38. Sistema de control del UPFC

89

El enlace de CD debe reaccionar lo suficientemente rápido a los disturbios del sistema paramantener el voltaje del enlace de CD en su valor de referencia. En el esquema propuesto,Vdcref se utiliza para controlar Vdc basado en el sistema de control mostrado en la Fig. 4.39.

Fig. 4.39. Control proporcional para el enlace de C.D.

4.5.3.1 Control proporcional integral para el enlace de CD

A continuación vamos a analizar el efecto en la matriz de estado al incorporar un controlproporcional-integral (PI) para el enlace de CD. En base a la Fig. 4.39, el control PIintroduce las siguientes relaciones:

dcppiE VkX ∆+=∆δ (4.44)

dci

ppi V

sT

kX ∆= (4.45)

donde éstas, pueden incorporarse a los análisis de señal pequeña y estabilidad transitoriadesarrolladas.

Considerando la matriz dada por la ecuación (4.38), tenemos,

∆∆∆∆

+

∆

∆

∆∆∆

=

∆

∆

∆∆∆

•

•

•

•

•

B

E

B

E

cccc

vvvv

qqqq

pppp

cd

fd

q

v

q

pVcdsin

cd

fd

q

m

m

KKKK

KKKK

KKKK

KKKK

v

E

E

KKK

K

K

KA

v

E

E

δδ

ωδ

ωδ

4321

4321

4321

4321

987

5

5

5_

0000

'

00

0

'

el control proporcional-integral, se puede adicionar en la expresión anterior, agregando lavariable Xpi como una variable de estado, y sumando la ecuación (4.44) al vector deentradas, de tal forma que el nuevo arreglo tiene la siguiente forma:

kP

kP/sTi

∆Vdc ∆δΕ

Xpi

90

∆∆++∆

∆∆

+

∆

∆

∆∆∆

=

∆

∆

∆∆∆

•

•

•

•

•

•

B

dcppiE

B

E

cccc

vvvv

qqqq

pppp

pi

cd

fd

q

i

p

v

q

pVcdsin

pi

cd

fd

q

VkX

m

m

KKKKKKKK

KKKK

KKKK

X

v

E

E

T

kKKK

K

K

KA

X

v

E

E

δδ

ωδ

ωδ

0000

0000

'

00000

000

0

0

0

00

'

4321

4321

4321

4321

987

5

5

5_

agrupando términos semejantes,

[ ]

++++

=

∆∆∆∆=∆

∆

+

∆

∆

∆∆∆

=

∆

∆

∆∆∆

∑=

•

•

•

•

•

•

00000

00

00

__

0

0

'__

'

33987

335

335

335_

4

1

i

p

ccp

vvpv

qqpq

ppppVcdsin

tBEBE

ci

vi

qi

pi

k

pi

cd

fd

q

pi

cd

fd

q

T

kKKkKKK

KKkK

KKkK

KKkKA

PIcontrolA

mmu

u

K

K

K

K

X

v

E

EPIcontrolA

X

v

E

E

δδ

ωδ

ωδ

donde kp y Ti, representan las constantes del control proporcional integral.

Tomando los valores empleados en el caso base, y asignando kP = 1.5 y Ti = 0.1, los valorespropios de la matriz A cuando se incluye el control proporcional integral son: -1.3544 ±10.0523j, -4.7078 ± 10.1113j, -16.0250, -4.4222, donde el primer par complejo conjugadoestá asociado a los modos electromecánicos, el otro par complejo conjugado corresponde alvoltaje en el enlace de CD y a la variable de estado asociada al control proporcional-integral.

En las Figs. 4.40-4.42 se compara la respuesta de las variables mecánicas y la del voltaje deCD, ante una falla en la barra infinita cuando se tiene un control proporcional y un controlproporcional-integral para el enlace de CD.

91

De aquí podemos concluir que el control proporcional-integral en el enlace de CD, tambiéntiene repercusiones en el comportamiento general del sistema, y en este caso en particularel resultado es favorable.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30.182

0.184

0.186

0.188

0.19

0.192

0.194

0.196

0.198

0.2

0.202

tiempo, s

posi

ción

an

gula

r, [

rad]

Control proporcional vs Control proporcional-integral

Control proporcional, KVcd

=1

Control proporcional-integral k

p=1.5; T

i=0.1

Fig. 4.40. Comportamiento de la posición angular cuando se tiene un control proporcional y un controlproporcional-integral en el enlace de C.D.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3376.9

376.92

376.94

376.96

376.98

377

377.02

377.04

377.06

377.08

377.1

tiempo, s

velo

cida

d an

gula

r, [

rad/

s]


Control proporcional, K Vcd=1

Control proporcional-integral k

p=1.5; T

i=0.1

Fig. 4.41. Comportamiento de la velocidad angular cuando se tiene un control proporcional y un controlproporcional-integral en el enlace de CD.

92

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30.998

0.999

1

1.001

1.002

1.003

1.004

1.005

tiempo, s

volta

je e

n el

en

lace

de

CD

[pu

]


Control proporcional KVcd=1

Control proporcional-integral kp=1.5; Ti=0.1

Fig. 4.42. Comportamiento del voltaje en el enlace de CD cuando se tiene un control proporcional y uncontrol proporcional-integral.

4.5.3.2 Efecto de las señales de control del UPFC al utilizar un control PI en elenlace de CD.

A continuación se estudia la respuesta del sistema para cada una de las señales de controlcuando se utiliza la velocidad angular como señal de retroalimentación, es decir, ∆u =km∆ω. Al hacer esto, la matriz de estado se modifica en la segunda columna, la cual estaasociada a la velocidad angular.

En la Tabla 4.10 se muestran los valores propios de la matriz de estado asociados a cadauna de las entradas de control.

Tabla 4.10. Valores propios de la matriz de estado para cada una de las entradas

∆∆∆∆mE ∆δ∆δ∆δ∆δE ∆∆∆∆mB ∆δ∆δ∆δ∆δB

k=0.01 k=0.01 k=0.01 k=0.01

-1.3886 ±10.0371i -1.5379 ± 11.1945i -1.1042 ± 9.9484i -1.3309 ± 10.0427i

-4.6930 ±10.1188i -3.9273 ± 9.2044i -4.9453 ± 10.1638i -4.7298 ± 10.1165i

-16.0015 -15.9961 -16.0297 -16.0256

-4.4373 -4.4343 -4.4204 -4.4219

En la Tabla 4.10 se puede apreciar que las señales que mayor impacto tiene en los modoselectromecánicos son la fase de la fuente shunt (δE) y la magnitud de la fuente serie (mB).

93

Para corroborar estos resultados se realizan simulaciones en el tiempo. En las Figs. 4.43-4.44 se muestran éstas.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30.18

0.185

0.19

0.195

0.2

tiempo, s

posi

ción

an

gula

r, [

rad]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30.18

0.185

0.19

0.195

0.2

tiempo, s

posi

ción

an

gula

r, [

rad]

∆mE = km ∆ω

∆δE = km ∆ω

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30.18

0.185

0.19

0.195

0.2

tiempo, s

posi

ción

an

gula

r, [

rad]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30.18

0.185

0.19

0.195

0.2

tiempo, s

posi

ción

an

gula

r, [

rad]

∆mB = km ∆ω

∆δB = km ∆ω

Fig. 4.43. Comportamiento de la posición angular para cada una de las entradas de control ante una falla en labarra infinita al utilizar como señal de retroalimentación la velocidad angular.

94

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3376.9

376.95

377

377.05

377.1

tiempo, s

velo

cida

d an

gula

r, [

rad/

s]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3376.85

376.9

376.95

377

377.05

377.1

tiempo, s

velo

cida

d an

gula

r, [

rad

/s]

∆mE = km ∆ω

∆δE = km ∆ω

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3376.9

376.95

377

377.05

377.1

tiempo, s

velo

cida

d an

gula

r, [

rad/

s]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3376.9

376.95

377

377.05

377.1

tiempo, s

velo

cida

d an

gula

r, [

rad/

s]

∆mB = km ∆ω

∆δB = km ∆ω

Fig. 4.44. Comportamiento de la velocidad angular para cada una de las entradas de control ante una falla enla barra infinita al utilizar como señal de retroalimentación la velocidad angular.

Sin embargo, el utilizar como retroalimentación la velocidad angular de la máquina es pocofactible ya que un dispositivo FACTS, como el UPFC difícilmente se instalaría cerca de ungenerador.

95

Por lo tanto, a continuación se ve el efecto de tomar una señal local comoretroalimentación, por ejemplo, la potencia real en la línea.

Para el análisis de señal pequeña, es necesario linealizar la potencia real que fluye delgenerador a la barra infinita, la cual esta dada por la expresión (4.43)

)'( 76543214 dcBBEEq VllmllmllElVP ∆+∆+∆+∆+∆+∆+∆=∆ ∞∞ δδδ

pero en este caso, el control proporcional agrega una variable más, por lo que la expresiónanterior resulta:

[ ] )'( 76543214 dcBBdcppiEEq VllmlVkXlmllElVP ∆+∆+∆+∆++∆+∆+∆+∆=∆ ∞∞ δδδ (4.46)

Tomando como entrada un valor proporcional al flujo de potencia, la matriz de estado se vemodificada en la primera, tercera, quinta y sexta columna, correspondientes a los estados∆δ, ∆E’q, ∆Vdc, Xpi. . De tal forma que:

( )[ ]

( )[ ]

( )[ ]

( )[ ] 0 )('1

0 )('1

0 )('1

0 )('1

474126

474125

474124

474123

=∆=∆=∆+∆++∆+∆−

=∆

=∆=∆=∆+∆++∆+∆−

=∆

=∆=∆=∆+∆++∆+∆−

=∆

=∆=∆=∆+∆++∆+∆−

=∆

∞

∞

∞

∞

∞

∞

∞

∞

BEEpidcpqpij

pijB

BEEpidcpqpij

pijB

BBEpidcpqpij

pijE

BBEpidcpqpij

pijE

mmXlVlklElllVk

Vk

mXlVlklElllVk

Vkm

mmXlVlklElllVk

Vk

mXlVlklElllVk

Vkm

δδδ

δδδ

δδδ

δδδ

En la Tabla 4.11 se muestran los valores propios de la matriz de estado, correspondientes acada una de las entradas.

Tabla 4.11. Valores propios de la matriz de estado para cada una de las entradasretroalimentando señales locales

∆∆∆∆mE ∆δ∆δ∆δ∆δE ∆∆∆∆mB ∆δ∆δ∆δ∆δB

k = 0.1 k = 0.1 k = 0.1 k = 0.1

-1.3202 ± 10.1620i -1.1312 ± 11.8020i -2.8691 ± 10.8182i -1.4278 ± 10.0160i

-4.8010 ±10.0389i -2.1120 ± 6.8135i -2.3440 ± 8.9071i -4.5459 ± 10.1072i

-15.7309 -16.1892 -16.0679 -16.0322

-4.7233 -4.2399 -4.3909 -4.4166

De la Tabla anterior se puede concluir que la señal que mayor impacto tiene sobre losmodos electromecánicos es la magnitud de la fuente serie (∆mB), seguido de la fase de la

96

fuente serie (∆δB). Estos resultados se pueden comprobar al realizar una simulación en eltiempo. En las Figs. 4.45 y 4.46 se muestra la respuesta de las variables mecánicas cuandose aplica una falla en la barra infinita y en las cuales se puede comprobar que la señal quetiene mayor impacto es la magnitud de la fuente serie.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30.18

0.185

0.19

0.195

0.2

tiempo, s

pos

ició

n angu

lar,

[ra

d]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30.185

0.19

0.195

0.2

0.205

tiempo, s

pos

ició

n angu

lar,

[ra

d]

∆mB = kpij ∆Pij

∆δB = kpij ∆Pij

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30.18

0.185

0.19

0.195

0.2

0.205

tiempo, s

pos

ició

n angu

lar,

[ra

d]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30.18

0.185

0.19

0.195

0.2

tiempo, s

pos

ició

n angu

lar,

[ra

d]

∆mE = kpij ∆Pij

∆δE = kpij ∆Pij

Fig. 4.45. Comportamiento del ángulo ante una falla en la barra infinita cuando se utiliza la potencia realcomo retroalimentación (control PI en el enlace de CD)

97

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3376.9

376.95

377

377.05

377.1

tiempo, s

velo

cid

ad

an

gu

lar,

[ra

d/s

]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3376.9

376.95

377

377.05

tiempo, s

velo

cid

ad

an

gu

lar,

[ra

d/s

]

∆mB = kpij ∆Pij

∆δB = kpij ∆Pij

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3376.8

376.9

377

377.1

377.2

tiempo, s

velo

cid

ad a

ngu

lar,

[rad

/s]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3376.9

376.95

377

377.05

377.1

tiempo, s

velo

cid

ad a

ngu

lar,

[rad

]

∆mE = kpij ∆Pij

∆δE = kpij ∆Pij

Fig. 4.46. Comportamiento de la velocidad ante una falla en la barra infinita cuando se utiliza la potencia realcomo retroalimentación (control PI en el enlace de CD)

4.6 RESUMEN

En este capítulo se hace un análisis del controlador unificado de flujos de potencia (UPFC)con el propósito de ver el efecto del mismo al insertarse en un sistema máquina-barrainfinita en estado transitorio y estado estacionario.En la primera parte se analiza la formulación del problema de flujos de potencia cuando setiene un UPFC en la red. A partir de ésta se hace un análisis del comportamiento del

98

dispositivo al variar los parámetros del sistema observándose la versatilidad del UPFC paramantener el flujo especificado.

En la segunda parte se estudia la capacidad del dispositivo para amortiguar oscilaciones depotencia a través de sus señales de control, para ello se hace un análisis de señal pequeña yuno de estabilidad transitoria. Del estudio de señal pequeña se puede observar cómo cadauna de las señales de control del UPFC impacta en mayor o menor grado los modos deoscilación electromecánicos al utilizar diferentes señales como retroalimentación a travésde un control proporcional. Los resultados obtenidos se corroboran con simulaciones en eltiempo, mostrando el comportamiento de la posición angular y de la velocidad angular alaplicar una falla en la barra infinita.

Finalmente se estudia el efecto de un control proporcional integral para el enlace de CD.Aquí se puede ver que la introducción de este tipo de control agrega un estado adicional enel análisis de señal pequeña, asimismo se realiza un análisis similar al desarrollado en 4.5.1y 4.5.2, en el cual se muestra el efecto de las señales de control del UPFC sobre los modosde oscilación electromecánicos al utilizar diferentes señales como retroalimentación.Para dispositivos con múltiples entradas es importante estudiar el efecto que tiene cada unade estas señales sobre el sistema. Estos resultados pueden utilizarse en condiciones deestado estacionario y en condiciones de estado transitorio.

REFERENCIAS

1. B. Avramovic, L. H. Fink, “Energy Management Systems and Control of FACTS”,Electrical Power and Energy Systems, Vol 17, No. 3, pp. 195-198, 1995.

2. K. R. Padiyar, A. M. Kulkarni, “Control Design and Simulation of Unified PowerFlow Controller”, IEEE Transactions on Power Delivery, Vol. 13, No. 4, pp 1348-1354, October 1998.

3. W.L. Fang, “Coordinated power control of Unified Power Flow Controller and itsapplication for enhancing dynamic power system performance”, Thesis submittedfor the degree of Doctor of Philosophy in Electrical Engineering. The Hong KongPolytechnic University.

4. C. R. Fuerte-Esquivel, E. Acha. “Unified power flow controller a criticalcomparison of Newthon-Raphson algorithms in power flow studies”, IEE Proc.-Gener. Transm. Distrib., Vol. 144, No. 5, pp. 437-444, September 1997.

5. H. F. Wang, “Effect of Multi-functional UPFC upon Power System OscillationStability”. Paper BTP99-026-12 accepted for presentation at the IEEE PowerTeach’99 Conference, Budapest, Hungary.

6. A. Valenzuela, “Análisis de estado estacionario y dinámico en SEP al incluir undispositivo UPFC”, Tesis de Maestría, Cinvestav, Unidad Guadalajara, México.Diciembre 2000.

99

C A P Í T U L O 5

L O C A L I Z A C I Ó N D ED I S P O S I T I V O S FA C T S E N U NS I S T E M A M U LT I M Á Q U I N A S

5.1 INTRODUCCIÓN

La creciente demanda de energía eléctrica y los cambios que se están presentando en losmercados de energía eléctrica, como la desregulación y las restricciones para laconstrucción de nuevas líneas de transmisión y plantas generadoras han forzado a operarlos sistemas eléctricos de potencia de forma que se pueda maximizar el uso de las líneasexistentes.

El reciente desarrollo de los controladores FACTS (Sistemas de transmisión flexible deCA) proporciona los medios necesarios para asegurar la operación de los sistemas depotencia, debido a su característica de respuesta rápida y la habilidad para controlar losprincipales parámetros en la transmisión de energía eléctrica (magnitud de voltaje nodal,ángulo de fase e impedancia de línea) en forma independiente o simultánea.

Sin embargo, los dispositivos FACTS pueden impactar de distinta forma en el sistema depotencia, por lo que es importante estudiar el efecto que tienen éstos dependiendo de suubicación. En la literatura se ha tratado el tema de la localización de dispositivos FACTS ensistemas de potencia multimáquina desde diferentes puntos de vista; algunos de ellos seenfocan en los costos de instalación y operación del dispositivo [1,2], para los cuales setoman en cuenta las dimensiones del dispositivo, pérdidas en el sistema y costosmarginales. Por otro lado, la selección de la localización también se ha hecho basándose enla capacidad del dispositivo FACTS para amortiguar oscilaciones de potencia. La mayoríade estos estudios están basados en controlabilidad y observabilidad modal y en residuos.Sin embargo, en este caso, es necesario tomar en cuenta las señales de retroalimentación, yaque para una misma localización las señales de entrada pueden tener diferentes efectos, porlo que es necesario tomarlas en cuenta. Aunado a esto algunos autores han propuestociertos criterios para asegurar la efectividad y la robustez del estabilizador [3].

La selección de la localización y las señales de retroalimentación de los estabilizadoresbasados en FACTS en un sistema multimáquina es un problema que reviste gran

100

importancia debido principalmente a que la inversión en este tipo de dispositivos es muygrande, y por lo tanto se tiene que buscar la condición de operación que maximice sudesempeño en condiciones de estado estacionario y dinámico.

5.2 CRITERIOS PARA LA LOCALIZACIÓN DE DISPOSITIVOS FACTS

Si se tiene un conjunto de posibles lugares en los cuales se puede instalar el estabilizadorbasado en FACTS, denominado ΦΦΦΦ(ϕϕϕϕ), así como un conjunto de condiciones operativas,denominado ΩΩΩΩ(µµµµ), entonces la eficacia del estabilizador se puede representar como C(ϕϕϕϕ,µµµµ),donde esta expresión indica que la eficacia es función de la localización y la señal utilizadacomo retroalimentación, ϕϕϕϕ, así como de la condición operativa, µµµµ.Si se desea saber la localización del dispositivo y la señal de retroalimentación quemaximice el amortiguamiento de oscilaciones para una condición operativa determinada, elcriterio para localizarlo es[3]:

[ ] )(,),( µµµϕϕ

Ω∈ooCMax (5.1)

Sin embargo, con la selección anterior, el desempeño del dispositivo puede variar si elsistema se encuentra en una condición de operación distinta de µo. Por lo que se modifica elcriterio para asegurar la eficacia y la robustez del dispositivo.

),( µϕ

µϕCminMax (5.2)

La ec. 5.2, toma la condición de operación más severa y busca la localización y las señalesde retroalimentación más efectivas, de esta forma se asegura el amortiguamiento.

− ),(),( µϕµϕ

µµϕCminCmaxMin (5.3)

La ec. 5.3, trata de lograr que la diferencia entre la condición óptima de operación y lacondición más severa sea mínima de tal forma que la localización y las señales deretroalimentación elegidas funcionen adecuadamente para las diferentes condicionesoperativas. Es decir, la localización hace que el estabilizador sea robusto.

El siguiente paso corresponde a la forma de calcular la eficacia C(ϕ,µ) del controlador parauna localización y una señal de retroalimentación dadas.

5.3 LOCALIZACIÓN DE CONTROLADORES FACTS MEDIANTERESIDUOS

Si las ecuaciones de estado de un sistema de potencia multimáquina con un estabilizadorbasado en FACTS son:

101

XC

BAXXTy

u

=

+=•

(5.4)

y iii jωσλ +−= es el i-ésimo modo de oscilación o eigenvalor de la matriz de estado

donde:

Tii

Ti

iii

WAW

VAV

λ

λ

=

=(5.5)

Vi y WiT son los eigenvectores derecho e izquierdo de la matriz A correspondientes al

eigenvalor iii jωσλ +−= , se definen,

iT

ii

Tiii

Vc

Wb

C

B

=

=

)(

)(

λλ

(5.6)

siendo bi(λi) el índice de controlabilidad y ci(λi) el índice de observabilidad del modo deoscilación de interés con respecto al estabilizador basado en FACTS. El producto de estosíndices, conocido como residuo, es una medida de la eficacia del estabilizador.Los residuos se calculan para poder hacer una evaluación de las posibles localizaciones yseñales de retroalimentación empleadas. Por ejemplo, si existen dos posibles lugares parainstalar el dispositivo o dos señales de retroalimentación L y M, y si

|)(||)(||)(||)(| iiMiiMiiLiiL cbcb λλ>λλ

entonces L se considera mejor que M para localizar el dispositivo o para tomar esa señalcomo retroalimentación.

Como ejemplo de aplicación se considera un sistema de potencia formado por tresgeneradores, mostrado en la Fig. 5.1. Se decide instalar un compensador serie controladopor tiristores (TCSC) para amortiguar oscilaciones de baja frecuencia. Los posibles lugaresdonde se puede instalar el dispositivo, son las líneas entre el nodo 5 y 4, y entre los nodos 6y 4. Las señales que se pueden emplear como retroalimentación son la magnitud del voltajeen el nodo 4 ó el flujo de potencia en la línea que se instale el dispositivo.

1

2 5 6 3

4

PL

V1

V2 V3XT2 XT3

Fig. 5.1. Sistema de potencia con tres máquinas

102

Los datos del sistema son:Z1-4 = Z5-4 = Z6-4 = Z1-4 = j 0.6XT2 = XT3 = j 0.03PL4 = 1.4|V2| = |V3| = 1.05

Los datos del TCSC son:XL = 2; XC = 10α = 580; XASC = 0.1465 Zb = 132.25

Para las posibles combinaciones de localización y señales de retroalimentación se tienen lossiguientes resultados:

Tabla 5.1 Efectividad del TCSC para las posibles localizaciones y señales de control

Localización Línea 5-4 Línea 6-4 Línea 5-4 Línea 6-4

Señalretroalimentada P5-4 P6-4 V4 V4

Controlabilidad

(b)1.5918e3 1.1038e3 1.5918e3 1.1038e3

Observabilidad

(c)0.2010 0.2013 0.02 0.0248

Efectividad

(b*c)319.927 222.1377 31.865 27.359

De la Tabla 5.1 se puede concluir que la mejor localización y señal para retroalimentar son:la línea 5-4 y la potencia real en esa misma línea.

5.4 LOCALIZACIÓN DE DISPOSITIVOS FACTS MEDIANTERESPUESTA EN FRECUENCIA

Debido a que la técnica de residuos requiere el cálculo de la eigenestructura del sistemalinealizado, lo cual puede ser problemático en redes de gran tamaño, a continuación sepropone una técnica para la selección de la localización y las señales de control paraestabilizadores basados en FACTS, para el amortiguamiento de oscilacioneselectromecánicas. Ésta técnica está basada en el análisis de la respuesta a la frecuencia delas funciones de transferencia de lazo abierto y lazo cerrado, utilizando gráficas polarespara representar las curvas de respuesta a la frecuencia. En estos métodos, la frecuencia dela señal de entrada se varía en un intervalo específico, con el subsecuente análisis de larespuesta. En nuestro caso, las frecuencias de los modos electromecánicos tienen un rangobien definido, lo cual nos permite enfocarnos en ellas. La Fig. 5.2, muestra la configuraciónde lazo cerrado adoptada aquí para comparar la respuesta a la frecuencia de la planta (lazoabierto) y el sistema en lazo cerrado. Se utiliza una ganancia k para retroalimentar la saliday.

103

La idea principal se basa en el hecho de que para pequeños valores de la señal deretroalimentación (ky), la gráfica polar de la función de transferencia de lazo cerradoexperimenta una pequeña variación con respecto a la gráfica polar de lazo abierto cuando sevisualiza un intervalo reducido de frecuencias [ωlo, ωup] alrededor de la frecuencia deinterés ω (modos electromecánicos). Por ejemplo, considerando las siguientes funciones detransferencia:

49.1

1)(,

42

1)(

2221 ++=

++=

sssG

sssG

cuyos polos son –1 ± j1.73 y –0.95 ± j1.76 respectivamente. En la Fig. 5.3, se muestra larespuesta a la frecuencia para cada una de ellas, y en donde la diferencia puede ser asociadaprincipalmente al amortiguamiento. En general podemos esperar que entre más cerca seencuentre del punto –1+j0, se tiene un sobreimpulso mayor y la respuesta tarda más tiempoen alcanzar el estado estacionario.

En el caso de dispositivos FACTS con múltiples entradas, es necesario evaluar cadarelación entrada-salida para elegir la mejor señal capaz de tener una influencia positivasobre el amortiguamiento. Esto es, la mejor señal produce la mayor diferencia entre lasrespuestas de lazo abierto y lazo cerrado. A continuación se propone un índice basado en elvalor medio de tal diferencia considerando un intervalo de frecuencias [ωlo, ωup], el cual sediscretiza en N puntos. Es decir, cada punto (o frecuencia) ωj ∈ [ωlo, ωup] se analiza y secalcula la diferencia [Glazo cerrado (ωj) – Glazo abierto (ωj)] y entonces se calcula el valor medio.Por otra parte, el amortiguamiento puede reducirse o incrementarse con la localización deldispositivo, por lo tanto es necesario analizar las posibles localizaciones a fin deseleccionar la mejor, así como la mejor señal de retroalimentación. Para hacer lo anterior,se inserta el dispositivo FACTS en una línea determinada y se analizan las gráficas polarespara cada señal de control, seleccionando la mejor de acuerdo a los criterios descritosanteriormente. Posteriormente se modifica la localización del dispositivo FACTS y se llevaa cabo un nuevo análisis. Este procedimiento se repite para todas las posibleslocalizaciones. Al final del proceso podemos cuantificar la señal y la localización queproducen el mayor impacto en el amortiguamiento de la frecuencia de oscilación enestudio. En la Fig. 5.4, se presenta un diagrama de flujo de la técnica propuesta.

Fig. 5.2. Configuración del sistema retroalimentado

+

y

k

u e Σ-

104

-0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4-0.4

-0.35

-0.3

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

Diagrama de Nyquist

real

imag

ina

rio G1(s)

G2(s)

ωup

ωlo

ωbase

Fig. 5.3. Gráficas de respuesta a la frecuencia para G1(s) y G2(s)

Fig.5.4. Diagrama de flujos para la localización de dispositivos FACTS

105

Fig. 5.5. Sistema de potencia de tres máquinas

5.4.1 SISTEMA RETROALIMENTANDO LA SALIDA

La representación de un sistema LIT en variables de estado puede hacerse de la siguienteforma:

DuCxy

BuAxx

+=+=

•

(5.7)

donde: ,,,,,,, 111 mxrmxnnxrnxnrxmxnx DCBAuyx ℜ∈ℜ∈ℜ∈ℜ∈ℜ∈ℜ∈ℜ∈ nes el número de estados; m es el número de salidas; r es el número de entradas

La relación entrada-salida está dada por:

[ ] uDBAsICy +−= −1)( (5.8)

Si para el sistema de lazo abierto (5.7), tomamos como retroalimentación la salida,tendremos una ecuación adicional, ver Fig. 5.2.

kyue −= (5.9)

Replanteando el sistema de ecuaciones (5.7), tenemos:

DeCxy

BeAxx

+=+=

•

(5.10)

con esta última expresión y la relación dada en (5.9), se obtiene el siguiente sistema (lazocerrado):

Carga C

Carga ACarga B

106

uDxCy

uBxAx

rere

rere

+=+=

•

(5.11)

Donde:

DkD

D

CkD

C

BkD

B

BCkD

kAA

re

re

re

re

+=

+=

+=

+−=

1

11

11

11

(m = r = 1)

Se desea estudiar el impacto de cada una de las entradas del dispositivo FACTS cuando seutiliza como señal de retroalimentación una salida del sistema. En este caso la matriz B setransforma en un vector columna que corresponde a la entrada seleccionada.

5.4.2 CASO DE ESTUDIO

Se va a realizar un análisis para determinar la localización y la señal de retroalimentaciónóptimas ejemplificando un UPFC, el cual será instalado en el sistema de tres máquinas,mostrado en la Fig. 5.5. En la Tabla 5.2 se muestran la potencia y el voltaje nodalcontrolado por el dispositivo, considerando tres condiciones operativas llamadas: (a) casobase, en el cual se utilizan los parámetros originales del sistema [4] y se establece unapotencia a mantener por el UPFC; (b) caso débil, en el cual se incrementa en un 35% lapotencia demandada, además se incrementa en un 25% la impedancia serie de las líneas 4-5y 8-9 y añadiendo una nueva carga en el nodo 8, S8 = 0.25 + j0.075; (c) caso mismapotencia, donde el UPFC controla la misma potencia Sij = 0.35 + j0.20 y el mismo voltaje|Vi| = 1.035 en todas las posiciones.

Tabla 5.2 Flujo de potencia controlado por el UPFC

Posición del UPFC Caso base Caso débil Caso misma potencia

Línea 6-7 S6-7 = 0.35 + j0.30, |V6| = 1.035 S6-7 = 0.50 + j0.45, |V6| = 1.005 S6-7 = 0.35 + j0.20, |V6| = 1.035

Línea 6-5 S6-5 = 0.725+j0.15, |V6| = 1.035 S6-5 = 0.80 + j0.25, |V6| = 1.005 S6-5 = 0.35 + j0.20, |V6| = 1.035

Línea 4-9 S4-9 = 0.50 + j0.45, |V4| = 1.035 S4-9 = 0.70 + j0.55, |V4| = 1.005 S4-9 = 0.35 + j0.20, |V4| = 1.035

Línea 4-5 S4-5 = 0.40 + j0.25, |V4| = 1.035 S4-5 = 0.475+j0.275, |V4|=1.005 S4-5 = 0.35 + j0.20, |V4| = 1.035

Línea 8-7 S8-7 = 0.35 + j0.30, |V8| = 1.035 S8-7 = 1.00 + j0.20, |V8| = 1.005 S8-7 = 0.35 + j0.20, |V8| = 1.035

Línea 8-9 S8-9 = 0.86 + j0.15, |V8| = 1.035 S8-9 = 1.15 + j0.25, |V8| = 1.005 S8-9 = 0.35 + j0.20, |V8| = 1.035

Los resultados que se muestran a continuación se obtuvienen al analizar las entradas decontrol para el UPFC, u = [m E, δ E, m B, δ B], tomando el flujo de potencia activalinealizado como señal de retroalimentación y, con un control proporcional con ganancia k= 0.01. Se consideran las seis líneas del sistema de potencia como el conjunto de

107

localizaciones factibles. Cabe hacer mención de que en un sistema de potencia de grandesdimensiones se debe seleccionar un conjunto reducido de líneas donde el impacto sobre losmodos electromecánicos pueda ser importante. Con el propósito de enfocarse en los modoselectromecánicos, se van a utilizar modelos clásicos para las máquinas síncronas, con unfactor de amortiguamiento Di = 0.025. Por lo que las frecuencias de interés cuando elUPFC se inserta en la línea 6-7, por ejemplo, son ω 1 = 10.08 rad/seg y ω 2 = 16.03 rad/seg.Como estas frecuencias pueden cambiar, se usará un intervalo de frecuencia [ω 1 ± 0.5], y[ω 2 ± 0.5], con la finalidad de obtener robustez sobre las incertidumbres. En todos loscasos el control del enlace de CD del UPFC se lleva a cabo a través de un controlproporcional δ E = Kvdc ( vdc_ref - vdc ), con Kvdc = 1.

En las Tablas 5.3-5.8 se muestran los resultados obtenidos al aplicar la metodologíapropuesta para cada una de las posibles localizaciones, señales de entrada y diferentesmodos electromecánicos, además se muestran los residuos para cada caso. En la Fig. 5.6, semuestran las gráficas de respuesta a la frecuencia para el caso base cuando el UPFC seinserta en la línea 4-5.

Analizando las Tablas 5.3 – 5.5, se puede concluir que para este caso de estudio la mejorseñal como retroalimentación es la fase de la fuente shunt (δ E), y que las mejoreslocalizaciones que pueden afectar significativamente las frecuencias de oscilacióncorresponden a la posición 6-7 para ω 1 (la menor) y la posición 8-7 para ω 2 (la mayor). Entodos los casos se consideró el flujo de potencia activa en la línea como señal deretroalimentación. En las Tablas 5.6 – 5.8 se muestran los residuos para cada señal deentrada y para todos los casos. Cabe resaltar que en este caso las dos técnicas nos llevan ala misma elección del conjunto señal de entrada-localización.

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5-2

-1.5

-1

-0.5

0

ima

gin

ario

-4 -2 0 2 4 60

2

4

6

8

10

ima

gin

ario

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 10

0.5

1

1.5

2

2.5

real

ima

gin

ario

-1 -0.5 0 0.50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

real

ima

gin

ario

lazo abierto lazo cerrado




∆mE

∆mB

∆δE

∆δB

d45(1) = 0.0137

d45(3) = 0.0155

d45(2) = 0.2596

d45(4) = 0.0008

Fig. 5.6. Respuestas de lazo abierto y lazo cerrado con el UPFC en la línea 4-5 para ω1.

108

Tabla 5.3. Distancias normalizadas para el caso base.

Posición 4-5 Posición 4-9 Posición 6-5

8.9116 rad/seg 13.4115 rad/seg 8.9118 rad/seg 13.4537 rad/seg 10.1006 rad/seg 16.0342 rad/seg

0.0137 0.0087 0.0191 0.0077 0.0011 0.0064

0.2596 0.3943 0.4940 0.2317 0.0462 0.1343

0.0155 0.0236 0.1310 0.0223 0.0142 0.0611

0.0008 0.0028 0.0013 0.0031 0.0003 0.0008



0.0229 0.0046 0.0095 0.0403 0.0025 0.0110

1.0000 0.2831 0.1374 1.0000 0.0156 0.0896

0.0604 0.0003 0.0283 0.4300 0.0158 0.0768

0.0030 0.0018 0.0011 0.0069 0.0000 0.0001

Tabla 5.4. Distancias normalizadas para el caso débil.



0.0159 0.0127 0.0127 0.0206 0.0019 0.0120

0.2915 0.2758 0.4918 0.1093 0.0314 0.0907

0.0324 0.0527 0.0800 0.0333 0.0072 0.0348

0.0005 0.0022 0.0033 0.0076 0.0005 0.0020



0.0520 0.0083 0.0180 0.0640 0.0026 0.0115

1.0000 0.2324 0.2149 1.0000 0.0116 0.0517

0.1087 0.0000 0.0386 0.4163 0.0119 0.0606

0.0063 0.0037 0.0024 0.0140 0.0001 0.0005

109

Tabla 5.5. Distancias normalizadas para el caso misma potencia.



0.0122 0.0078 0.0102 0.0094 0.0018 0.0089

0.2516 0.3578 0.3917 0.1898 0.0391 0.1007

0.0308 0.0546 0.1164 0.0680 0.0031 0.0101

0.0004 0.0016 0.0035 0.0007 0.0013 0.0052



0.0233 0.0042 0.0029 0.0111 0.0035 0.0146

1.0000 0.2623 0.1649 1.0000 0.0120 0.0649

0.0670 0.0009 0.0426 0.4712 0.0079 0.0351

0.0013 0.0007 0.0009 0.0035 0.0014 0.0059

Tabla 5.6. Residuos para el caso base.



0.7815 0.2876 0.9364 0.0276 0.0723 0.0975

3.8991 2.4518 5.4689 0.2489 0.4299 0.9586

0.8513 0.7494 2.5453 0.0097 0.0050 0.0113

0.1822 0.1818 0.2064 0.0007 0.0033 0.0025



0.9766 0.1277 0.3439 1.0013 0.1164 0.0833

6.5158 1.2529 2.8041 5.4603 0.9703 0.5730

1.5901 0.0076 0.0907 3.1594 0.0099 0.0259

0.3431 0.0033 0.0174 0.4352 0.0009 0.0071

110

Tabla 5.7. Residuos para el caso débil.



0.3659 0.3416 0.1792 0.0242 0.0814 0.1266

1.7534 2.0065 2.3753 0.1513 0.3357 0.9101

0.8382 1.0965 1.1415 0.0038 0.0053 0.0062

0.0583 0.0963 0.1861 0.0022 0.0015 0.0032



1.5187 0.1824 0.8557 1.3213 0.1739 0.0926

6.7141 1.3113 4.8326 5.0806 0.9931 0.3736

2.1893 0.0096 0.2293 3.1541 0.0094 0.0181

0.5152 0.0052 0.0583 0.6318 0.0017 0.0090

Tabla 5.8. Residuos para el caso misma potencia.



0.7299 0.2564 0.6337 0.0193 0.0560 0.0826

3.8485 2.4551 4.7008 0.1988 0.3943 0.8090

1.2246 1.1322 2.2827 0.0058 0.0101 0.0079

0.1064 0.1148 0.3854 0.0020 0.0013 0.0027



0.9808 0.1283 0.3423 0.2847 0.0805 0.0540

6.4877 1.2584 3.0379 5.7731 0.6880 0.5676

1.6695 0.0084 0.1215 3.6783 0.0062 0.0347

0.2209 0.0022 0.0082 0.0775 0.0019 0.0018

111

5.4.3 EJEMPLO DE APLICACIÓN. CASO 46 MÁQUINAS.

A continuación se presenta un caso en el cual se desea determinar la localización de uncapacitor en serie controlado por tiristores (TCSC) y un UPFC en el sistema de 46máquinas mostrado en la Fig. 5.7.

Para ejemplificar se consideran las líneas 75-77, 75-84 y 174-181 como el conjunto delocalizaciones factibles; la señal de retroalimentación va a estar dada por el flujo depotencia activa linealizado, utilizando un control proporcional con ganancia k=0.001.Además se tienen cuatro entradas de control para el UPFC y una para el TCSC. Lasfrecuencias de un par de modos interárea de interés son: ω1 = 2.4 rad/seg y ω2 = 3.2 rad/seg,además se usará un intervalo de frecuencia [ω i ± 0.05], i = 1,2; con la finalidad de obtenerrobustez sobre las incertidumbres. En todos los casos el control del voltaje en el enlace deCD del UPFC se lleva a cabo mediante δ E = Kvdc ( vdc_ref - vdc ), con Kvdc = 0.01.

Se van a considerar cuatro casos: (a) un UPFC insertado en la línea 75-84, controlando unflujo de S75-84 = 0.5 + j0.5, y un voltaje |V75| = 1.025; (b) un UPFC insertado en la línea 75-77, controlando un flujo de S75-77 = 5.25 - j0.4, y un voltaje |V75| = 1.025; (c) un TCSCinsertado en la línea 174-181, con una reactancia en estado estacionario Xasc= j0.129 [5];(d) un TCSC insertado en la línea 75-84, con una reactancia de estado estacionario de Xasc=j0.015. En las Tablas 5.12-5.13 se muestran las distancias normalizadas para las cuatroentradas de control del UPFC obtenidas con la metodología propuesta, además se presentanlos valores de los residuos para cada caso. Las Tablas 5.14-5.15 presentan las distanciasnormalizadas referentes al TCSC. En la Fig. 5.8 se muestran las gráficas de la respuesta a lafrecuencia cuando el UPFC se inserta en la línea 75-84, caso (a).

-40 -30 -20 -10 0-10

0

10

20

30

imag

ina

rio

-200 -100 0 100 200-400

-300

-200

-100

0

imag

ina

rio

-5 0 5 10 15 20-5

0

5

10

15

real-2 -1 0 1 2 3 4

-5

-4

-3

-2

-1

0

real

imag

ina

rio

-5 0 5 10 15 20-5

0

5

10

15

real

imag

ina

rio





∆mE ∆δE

∆mB ∆δB

Fig. 5.8. Gráficas de respuesta a la frecuencia para la ω1 (frecuencia menor), cuando el UPFC se inserta en lalínea 75-84.

113

Tabla 5.9. Distancias normalizadas y residuos para el caso (a)

ω 1 = 2.4953 rad/seg ω 2 = 3.6109 rad/seg

d(i) normalizadas Residuos d(i) normalizadas Residuos

∆mE 0.0316 0.2450 0.0069 0.1329

∆δE 0.8682 1.2983 1.0000 0.0860

∆mB 0.0127 0.0648 0.0089 0.0321

∆δB 0.0003 0.0069 0.0004 0.0120

Tabla 5.10. Distancias normalizadas y residuos para el caso (b)

ω 1 = 2.4923 rad/seg ω 2 = 3.6101 rad/seg

d(i) normalizadas Residuos d(i) normalizadas Residuos

∆mE 0.0211 0.1223 0.0070 0.1473

∆δE 1.0000 0.6645 0.9821 0.1448

∆mB 0.0221 0.0552 0.0704 0.1055

∆δB 0.0000 0.0037 0.0000 0.0131

Tabla 5.11. Distancias normalizadas y residuos para el caso (c)

ω 1 =2.7480 rad/seg ω 2 =3.8597 rad/seg

d(i) normalizadas Residuo d(i) normalizadas Residuo

∆uTCSC 0.0017 1.2710 0.0037 5.5477

Tabla 5.12. Distancias normalizadas y residuos para el caso (d)

ω 1 = 2.6925 rad/seg ω 2 = 3.6122 rad/seg

d(i) normalizadas Residuo d(i) normalizadas Residuo

∆uTCSC 1.0000 3.7889 1.0000 2.4888

De acuerdo con las Tablas 5.9 y 5.10, los resultados de la respuesta a la frecuencia indicanque el impacto del UPFC en el amortiguamiento, desde la perspectiva de ω 1, escomparable si se inserta en la línea 75-84 o en la línea 75-77, cuando se utiliza ∆δ E comoseñal de retroalimentación. Los residuos indican que el UPFC tiene un mayor impactosobre ω 1 si se inserta en la línea 75-84, usando ∆δ E como señal de retroalimentación.Respecto a ω 2, las Tablas 5.9 y 5.10 muestran que el impacto del UPFC en elamortiguamiento es comparable, de acuerdo a la respuesta a la frecuencia, si se inserta en lalínea 75-84 o en la línea 75-77 cuando se usa ∆δ E como señal de retroalimentación.

114

Residuos indica que el UPFC presenta un mayor impacto sobre ω 2 si se inserta en la línea75-77, usando ∆mE o ∆δ E como señal de retroalimentación.

De acuerdo a las Tablas 5.11 y 5.12, los resultados de la respuesta a la frecuencia indicanque el impacto del TCSC en el amortiguamiento, desde la perspectiva de ω 1, es mayor si seinserta en la línea 75-84, lo cual coincide con residuos, Respecto a ω 2, las Tablas 5.11 y5.12 muestran que el impacto del TCSC en el amortiguamiento es mayor, de acuerdo a larespuesta a la frecuencia, si el dispositivo se inserta en la línea 75-84. Residuos indica queel TCSC tiene un mayor impacto sobre ω 2 si se inserta en la línea 174-181.

5.5 ANÁLISIS DE LOCALIZACIONES FACTIBLES UTILIZANDO ELVALOR SINGULAR

Para sistemas de potencia pequeños se pueden tomar como localizaciones factibles todas laslíneas del mismo, sin embargo en un sistema de grandes dimensiones esto puede ser unproceso muy tedioso debido al gran tamaño de los mismos, por lo que a continuación sepresenta una propuesta para la determinación de localizaciones factibles para dispositivosFACTS; ésta se basa en el análisis de la matriz de estado A y de la modificación que sufrecuando se considera la localización y la señal de retroalimentación a través de unaconstante de proporcionalidad (lazo cerrado).

5.5.1 VALORES SINGULARES

Vamos a revisar brevemente la noción de valores singulares de una matriz. Si Q es unamatriz de n x m con elementos complejos, entonces las matrices QHQ y QQH sonhermitianas y definidas positivas. Por lo tanto, los eigenvalores de QHQ y QQH son todosreales y no negativos. Los min(n, m) eigenvalores más grandes

λ i (QHQ) , λ i (QQH) , i = 1, 2, ..., min(n, m) (5.12)

de QHQ y QQH, respectivamente, ordenados en forma decreciente, son iguales. Loseigenvalores restantes, si existen, son cero. Las raíces cuadradas de estos min(n, m)eigenvalores se denominan valores singulares de la matriz Q, y se denotan como,

σ λ λi iH

iHQ Q Q QQ i n m( ) ( ) ( ), , ,....,min( , )/ /= = =1 2 1 2 1 2 (5.13)

Obviamente son números reales no negativos. El número de valores singulares diferentesde cero es igual al rango de Q [6].

El conjunto de valores singulares, máximo valor singular y mínimo valor singular de lamatriz Q de n x m se denotarán por

σ σ

σ σσ σ

( ) : , ,...,min( , )

( )( ) .

_

Q i n m

QQ

i

r

= =

==

−

1 2

1 (5.14)

115

Cuando Q es cuadrada, 0(Q) >−σ si y solo si Q es no singular. Considerando la matriz Q

como una transformación lineal del espacio vectorial Cn en el espacio vectorial Cm, definidacomo,

Q : Cn → Cm

: u → Qu (5.15)

El máximo valor singular 0(Q)_

>σ y el mínimo valor singular 0(Q)-

>σ juegan un papel

muy importante y están dados por las siguientes identidades [7]

σ

σ

_

( ) max

( ) min

Q Qu

Q Quu

u

=

==

− =

1

1

(5.16)

en las cuales la norma del vector es la norma Euclidiana. Por lo que 0(Q)_

>σ y 0(Q)-

>σ

son la máxima y mínima ganancia de la matriz Q.

A continuación se va a utilizar la información que proporcionan los valores singulares paraanalizar qué localización y señal de retroalimentación tienen un mayor impacto sobre lamatriz de estado y de esta manera tener más bases en la decisión de la localización dedispositivos FACTS.

La matriz Are dada por (5.11) representa la matriz de lazo cerrado al retroalimentar lasalida, la perturbación a la matriz de estado A debido a ésta retroalimentación está dadapor:

BCkD

kA

+=∆

1(5.17)

De aquí que la matriz ∆A es la que puede hacer que los valores propios de la matriz de lazocerrado (Are = A - ∆A) se modifiquen y ayuden o penalicen el amortiguamiento de losmodos. Por lo tanto, para determinar el impacto global sobre la matriz Are, se obtiene elvalor singular de ∆A para cada entrada y cada localización. Cuando se tienen identificadoslos conjuntos entrada-localización que presenten el mayor valor singular, se aplica lametodología de respuesta a la frecuencia explicada anteriormente.

Para ilustrar el procedimiento se va a emplear el sistema de la Fig. 5.5, en el cual sólo seconsideran modelos clásicos para tener una mejor idea del impacto sobre las variableselectromecánicas. En las Tablas 5.13 – 5.15, se muestran los valores singulares para cadauna de las matrices ∆A tomando una k = 0.01 para los tres casos estudiados anteriormente.De aquí se puede concluir que las posiciones 6-5, 6-7, 8-7 y 8-9 y la señal correspondientea la fase de la fuente shunt (δE) son las que presentan los valores singulares más altos. Delos resultados obtenidos anteriormente tenemos que las localizaciones 6-7 y 8-7correspondientes a ω1 y ω2, y la fase de la fuente shunt (δE) son las mejores opciones.

116

Tabla 5.13. Máximo valor singular para cada una de las matrices incremento (caso base, k =0.01)

Posición 4-5 Posición 4-9 Posición 6-5 Posición 6-7 Posición 8-7 Posición 8-9

∆mE 0.5622 0.5818 1.2493 1.1949 1.2308 1.1471

∆δE 4.4194 5.0705 11.3481 11.1325 8.8728 8.9768

∆mB 0.7880 1.0012 0.3051 0.7147 2.2764 0.4291

∆δB 0.1823 0.0785 0.1095 0.1566 0.3065 0.0969

Tabla 5.14. Máximo valor singular para cada una de las matrices incremento (caso débil, k =0.01)


∆mE 0.7550 0.6767 1.7079 1.8072 1.8800 1.7678

∆δE 3.9812 4.3210 11.3815 12.2050 9.4562 9.0132

∆mB 1.2341 0.8240 0.0959 0.9580 2.3574 0.3965

∆δB 0.0972 0.1588 0.1104 0.2283 0.4641 0.1681

Tabla 5.15. Máximo valor singular para cada una de las matrices incremento (caso mismapotencia, k = 0.01)


∆mE 0.5164 0.4471 1.0328 1.1946 0.7178 0.8023

∆δE 4.3137 4.6185 9.7518 11.1002 7.3775 7.3376

∆mB 1.1498 0.8554 0.3013 0.7569 2.0947 0.4346

∆δB 0.1102 0.1516 0.0731 0.1018 0.0428 0.0336

5.6 PARES DE AMORTIGUAMIENTO Y SINCRONIZACIÓN

Los estabilizadores basados en dispositivos FACTS inducen pares de amortiguamiento ysincronización en las flechas de los generadores del sistema. El efecto de los estabilizadoresFACTS se muestra en el modelo de la Fig. 5.9 (apéndice G) [8].

Donde M es una matriz diagonal (z x z) que utiliza señales de estabilización locales y∆(por ejemplo perturbaciones de potencia en las líneas) en los nodos con dispositivosFACTS. La señal del estabilizador sU∆ se suma a la señal de entrada de los dispositivosFACTS, rU∆ .

117

Fig. 5.9. Reducción del sistema mostrando el efecto del lazo de los estabilizadores FACTS.

De la Fig. 5.9 podemos observar que existe una ruta de ω∆ a P∆ , a través de losdispositivos FACTS. Esto tiene como consecuencia que sean inducidos pares deamortiguamiento y sincronización (de origen electromagnético) en las flechas de losgeneradores del sistema por estos estabilizadores.

Considerando la componente del par eléctrico inducido en la flecha de la i-ésima máquinadebido a la señal de estabilización jy∆ en el j-ésimo dispositivo FACTS [7]:

)()()()()()()( sjysjMsrijPUHsjysjysjU

ssjUijP

sijP ∆=∆∆∆

∆∆

=∆ (5.18)

donde el j-ésimo estabilizador FACTS es de la forma M j (s)=k j Q j (s).

Para obtener los pares inducidos de amortiguamiento y sincronización, los cuales son lascomponentes del par en fase y en cuadratura con las perturbaciones de velocidad en elgenerador, la ec.(5.18) debe modificarse de tal forma que la componente del par eléctricoinducido en la i-ésima máquina esté relacionada con su propia variación en la velocidad,

iω∆ .

Si sólo se excita el h-ésimo modo complejo de oscilación del rotor (λh), la relación entre elcambio en la velocidad en cualquier máquina del sistema y cualquier salida del sistema estádada por [8]:

ihu

h**luc

hilyh

li =∆∆= )(λωψ (5.19)

que es un número complejo, y donde:

*lc es el l-ésimo vector fila de la matriz C.

h*u es el h-ésimo eigenvector derecho de A.

ihu es el i-ésimo elemento del eigenvector derecho.

rU∆

sU∆++

P∆

+ +

ω∆

)(sL

)(srPUH

)(srUyH

)(sG

y∆)(sM

118

Cuando se excita sólo un modo de oscilación del rotor (λh) podemos definir un coeficientecomplejo del par inducido de amortiguamiento

hijnhjhPUrijh

i

jh

j

ijh

i

ijhij MH

y

y

PP)()()()()()( +=

∆∆

∆∆

=∆∆

= ψλλλω

λλω

Te (5.20)

el cual esta compuesto de la relación del par eléctrico - señal de estabilización y la relaciónde la señal de estabilización - cambios en la velocidad [8].

El arreglo [ ]zn

hijTe

×es el arreglo de los coeficientes de pares inducidos de amortiguamiento y

sincronización (CPIAS). Cada elemento de este arreglo es un número complejo y su partereal e imaginaria representan los coeficientes del par de amortiguamiento y sincronización

respectivamente. Un elemento hijTe puede ser interpretado como un coeficiente del par

inducido en la i-ésima máquina como resultado del incremento en la ganancia del j-ésimoestabilizador FACTS.

De la ec. (5.20), el par inducido en la flecha del i-ésimo generador como resultado delincremento en la ganancia del estabilizador en el j-ésimo dispositivo FACTS es:

ihijij TeP ω∆=∆ (5.21)

y por lo tanto a la frecuencia modal λh, el par total inducido en el i-ésimo generador debidoa todos los estabilizadores FACTS es:

( )∑=

∆∗=∆z

ji

hiji TeP

1

ω (5.22)

El CPIAS total en la i-ésima máquina se define como,

∑=

=Γz

j

hij

hi Te

1

(5.23)

El incremento en el coeficiente del par inducido, hijD∆ , en el generador i debido a un

incremento en la ganancia ( jk∆ ) en el j-ésimo estabilizador FACTS está dado por [8]:

[ ]jkhjQuc

hijPUrHhijD ∆=∆ )()(_ λλ

ihuh**l (5.24)

Una expresión general para el incremento en el coeficiente del par inducido en el i-ésimogenerador debido a un cambio en la ganancia en el estabilizador j es,

119

[ ]jkhjQhijhijD

uchijrPHij

∆=∆

=

)()(

)(_*

λλφ

λφihu

h**l

(5.25)

donde el estabilizador j puede ser un PSS o un dispositivo FACTS.

De aquí que el cambio en el h-ésimo modo está relacionado a los cambios en el coeficiente

del par, hijD∆ , en la máquina i.

hijD

iHihPh

ij ∆−=∆

2

λ (5.26)

donde para el i-ésimo generador,

−

iHihP

2, es la sensitividad de λh a las perturbaciones en

el coeficiente de par eléctrico Di, Pih es el factor de participación complejo de ∆ω i en elmodo λλλλh, y Hi es su constante de inercia.

Se puede tener una expresión que muestre la contribución en el modo debido a los ngeneradores como resultado de un incremento en la ganancia en cualquier estabilizador j[9].

[ ]jkhjGn

i hijiH

ijP

jstabh ∆

∑=

−=∆ )(1

)(2_| λλφλ (5.27)

Como en el caso de los valores singulares vamos a utilizar la información proporcionadapor las contribuciones en los modos electromecánicos debido al incremento en la gananciade los estabilizadores, para tener más bases para la localización de dispositivos FACTS.

El cambio en el modo de interés nos puede auxiliar en la localización de dispositivosFACTS, ya que para un conjunto de posibles localizaciones, podemos determinar cuál es laque tiene un mayor impacto en el modo de oscilación electromecánico. Para ilustrar loanterior vamos a utilizar el sistema de tres máquinas, nueve nodos y vamos a estimar elimpacto que tiene el insertar un estabilizador basado en FACTS (en este caso un UPFC)sobre el modo de oscilación electromecánico al insertarlo en diferentes líneas y qué señalde entrada es la más recomendable. Se van a considerar tres condiciones operativasllamadas: (a) caso base, en el cual se utilizan los parámetros originales del sistema y seestablece una potencia a mantener por el UPFC; (b) caso débil, en el cual se incrementa enun 35% la potencia demandada, además se incrementa en un 25% la impedancia serie de laslíneas 4-5 y 8-9 y añadiendo una nueva carga en el nodo 8, S8 = 0.25 + j0.075; (c) casomisma potencia, donde el UPFC controla la misma potencia Sij = 0.35 + j0.20 y el mismovoltaje |Vi| = 1.035 en todas las posiciones.

120

En las Tablas 5.16-5.18 se muestran los cambios en los modos electromecánicos que sepresentan al variar la ganancia del estabilizador cuando éste se inserta en las líneas delsistema de potencia en estudio. Asimismo en las tablas se puede ver qué señal es la quepresenta un mayor impacto sobre la parte real de los modos.

En la Tabla 5.16 se puede apreciar que para la frecuencia ω 2 las posiciones en las cuales setiene un mayor cambio son 8-7 y 4-5 con ∆δE y ∆mB como señales de entradarespectivamente. Para la frecuencia ω 1 las mejores posiciones son 6-7 y 4-9 con ∆mB y ∆δE

como señales de entrada.

Tabla 5.16. Cambio en los modos electromecánicos (λλλλh)al variar la ganancia del estabilizadordel UPFC en distintas posiciones [Caso base]

Caso

baseω 2 ω 1

Posición Entrada 1 Entrada 2 Entrada 3 Entrada 4 Entrada 1 Entrada 2 Entrada 3 Entrada 4

4-5 0.0012 +j0.0002

-0.0001 +j0.0008

-0.0013 –j0.0006

0.0000 +j0.0000

0.0026 +j0.0.0013

-0.0017 +j0.0013

-0.0011 –j0.0004

0.0000 +j0.0000

4-90.0001-j0.0000

0.0000 +j0.0000

0.0000 +j0.0000

0.0000 +j0.0000

0.0037 +j0.0016

-0.0025 +j0.0021

0.0020 +j0.0007

0.0004 +j0.0002

6-5-0.0004 –j0.3072

0.0003 +j0.0003

0.0000 +j0.0000

0.0000 +j0.0000

0.0003 +j0.0002

-0.0002 +j0.0000

0.0000 +j0.0000

0.0000 –j0.0000

6-7-0.0005 –j0.0005

0.0003 +j0.0005

0.0000 +j0.0000

0.0000 +j0.0000

0.0036 +j0.0023

-0.0019 +j0.0003

-0.0033 –j0.0020

0.0000 +j0.0000

8-70.0042 + j

0.0013-0.0016 +j0.0015

- 0.0003 –j0.0002

-0.0008 –j0.0006

-0.0011 +j0.0011

0.0009 –j0.0008

0.0000 +j0.0000

0.0000 +j0.0000

8-9 0.0005 +j0.0001

-0.0003 +j0.0001

0.0000 +j0.0000

0.0000 +j0.0000

-0.0006 –j0.0002

0.0005 +j0.0002

0.0000 +j0.0000

0.0000 +j0.0000

Tabla 5.17. Cambio en los modos electromecánicos (λλλλh)al variar la ganancia del estabilizadordel UPFC en distintas posiciones [Caso débil]

Caso

débilω 2 ω 1

Posición Entrada 1 Entrada 2 Entrada 3 Entrada 4 Entrada 1 Entrada 2 Entrada 3 Entrada 4

4-5 0.0009 +j0.0003

-0.0002 +j0.0003

-0.0005 –j0.0003

0.0003 +j0.0002

0.0023 +j0.0006

-0.0010 +j0.0020

-0.0004 +j0.0001

0.0003 +j0.0001

4-9 0.0001 –j0.0000

0.0000 +j0.0000

0.0000 +j0.0000

0.0000 +j0.0000

0.0033 +j0.0010

-0.0019 +j0.0028

0.0008 +j0.0000

0.0008 +j0.0003

6-5-0.0004 –j0.0002

0.0004 +j0.0003

0.0000 +j0.0000

0.0000 +j0.0000

0.0002 +j0.0001

-0.0003 +j0.0000

0.0000 +j0.0000

0.0000 +j0.0000

6-7-0.0005 –j0.0004

0.0004 +j0.0006

0.0000 +j0.0000

0.0000 +j0.0000

0.0031 +j0.0017

-0.0007 +j0.0011

-0.0026 –j0.0012

0.0002 +j0.0002

8-70.0036 +j0.0014

-0.0004 +j0.0017

-0.0005 –j0.0003

-0.0010 + j0.0007

-0.0005 +j0.0011

0.0004 –j0.0006

0.0000 +j0.0000

0.0000 +j0.0000

8-9 0.0004 +j0.0000

-0.0002 +j0.0002

0.0073 +j0.00247

-0.0000 –j0.0000

-0.0007 –j0.0000

0.0005 +j0.0001

0.0000 +j0.0000

0.0000 +j0.0000

121

En la Tabla 5.17, el mayor impacto en la frecuencia ω 2 se tiene en las posiciones 8-7 y 4-5,con ∆δB y ∆mB como señales de entrada, respectivamente. De la misma forma para lafrecuencia ω 1, las posiciones 6-7 y 4-9 con ∆mB y ∆δE como señales de entradas son lasque muestran un mayor impacto.

Finalmente en la Tabla 5.18, se ve que las posiciones 8-7 y 6-7 con ∆δE y ∆mE comoseñales de entrada tienen un mayor efecto sobre la frecuencia ω 2 y para la frecuencia ω 1corresponden las posiciones 6-7 y 4-9 con ∆mB y ∆δE .

Tabla 5.18. Cambio en los modos electromecánicos (λλλλh)al variar la ganancia del estabilizadordel UPFC en distintas posiciones [Caso misma potencia]

Caso misma ω 2 ω 1Posición Entrada 1 Entrada 2 Entrada 3 Entrada 4 Entrada 1 Entrada 2 Entrada 3 Entrada 4

4-50.0011 +j0.0003

-0.0002 +j0.0006

0.0011 +j0.0006

0.0001 +j0.0001

0.0025 +j0.0013

-0.0018+j0.0013

0.0009 +j0.0003

0.0001 +j0.0001

4-90.0001 –j0.0000

0.0000 +j0.0001

0.0000 +j0.0000

0.0000 +j0.0000

0.0032 +j0.0017

-0.0031 +j0.0014

-0.0004 –j0.0000

0.0008 +j0.0005

6-5-0.0004 –j0.0003

0.0003 +j0.0003

0.0000 +j0.0000

0.0000 +j0.0000

0.0003 +j0.0002

-0.0002 –j0.0000

0.0000 +j0.0000

0.0000 +j0.0000

6-7 -0.0005 –j0.0005

0.0003 +j0.0005

0.0000 +j0.0000

0.0000 +j0.0000

0.0034 +j0.0024

-0.0020 +j0.0000

-0.0032 –j0.0021

0.0000 +j0.0000

8-7 0.0040 +j0.0011

-0.0034 +j0.0003

-0.0014 –j0.0011

0.0013 +j0.0010

-0.0010 +j0.0012

0.0009 –j0.0009

0.0000 +j0.0000

0.0000 +j0.0000

8-9 0.0004 +j0.0001

-0.0003 +j0.0000

0.0000 +j0.0000

-0.0000 –j0.0000

-0.0005 –j0.0001

0.0004 +j0.0001

0.0000 +j0.0000

0.0000 +j0.0000

Algunos de los resultados obtenidos anteriormente muestran concordancia con aquellosobtenidos con el método de respuesta en frecuencia y la diferencia radica en las señalesutilizadas como retroalimentación. Así que este tipo de análisis sirve como una herramientade apoyo para la selección de una localización y señal de retroalimentación factible.

5.7 SENSITIVIDADES

Las sensitividades de los eigenvalores respecto a un parámetro del sistema también puedenproporcionar información para la localización de dispositivos FACTS. Esto se hace a travésdel cálculo del incremento en los eigenvalores al perturbar la matriz A con una matrizE=εB. El eigenvalor y el eigenvector de la matriz (A+E) son (λ i + ∆λ i) y (vi + ∆vi)respectivamente. De aquí [10],

(A+E) (vi + ∆vi) = (λ i + ∆λ i)(vi + ∆vi) (5.28)

La perturbación del eigenvalor puede ser representada por una serie de Taylor como:

122

2)2()1()2()1( εελλλ iii ss +=∆+∆=∆ (5.29)

Las perturbaciones de primer orden del eigenvalor y eigenvector están dadas por [10]:

iii Bvws =)1( (5.30)

)(,)(,1

ikki

n

ikk ki

kkii Bvw

vv =β∑

λ−λβε=∆

≠=(5.31)

donde wi es el eigenvector izquierdo de la matriz A. Premultiplicando wi a (5.28) resulta:

( )( ) iiiiiiiiiiiiiii vBwvAwBvwAvwvwvwss ∆ε+∆+ε+=∆+ε+ε+λ 2)2()1( (5.32)

Como resultado de las relaciones entre los eigenvalores y sus eigenvectores en (5.32)tenemos la siguiente relación,

iiiiii vBwBvwss ∆ε+ε=ε+ε 2)2()1( (5.33)

De aquí se pueden definir la perturbación del eigenvalor de primer y segundo orden como:

iii

iii

vEw

Evw

∆=λ∆

=λ∆)2(

)1(

(5.34)

En este trabajo se emplea éste enfoque para estimar los cambios que se presentan cuando seinserta un dispositivo FACTS, como el TCSC en el sistema de potencia. A continuación sevan a calcular las perturbaciones de primer (FOEP) y segundo orden (SOEP) cuando sevaría la reactancia de cada línea en un 25%, simulando la inserción de un TCSC, en elsistema de 3 máquinas – 9 nodos de la Fig. 5.5. En las Tablas 5.19–5.20 se muestran losresultados para los modos –1.0724 ± j13.4233 y –0.3285 ± j8.7278 (frecuencias ω 2 y ω 1respectivamente).

Tabla 5.19 Perturbaciones de la frecuencia ω ω ω ω 2 de primer y segundo orden al variar lareactancia en cada línea.

FOEP SOEPLínea

Real Imaginario Real Imaginario

Nuevo eigenvalor

4-5 -0.0084 0.0520 -0.0001 0.0003 -1.0809 ± j13.4756

4-9 0.0067 0.0004 0.0000 0.0000 -1.0657 ± j13.4237

6-5 -0.0115 0.0549 -0.0003 0.0004 -1.0841 ± j13.4786

6-7 -0.0603 0.1637 -0.0001 0.0014 -1.1328 ± j13.5855

8-7 -0.0368 0.1555 -0.0004 0.0009 -1.1097 ± j13.5778

8-9 0.0036 0.0015 0.0000 0.0000 -1.0688 ± j13.4247

123

Tabla 5.20 Perturbaciones de la frecuencia ω ω ω ω 1 de primer y segundo orden al variar lareactancia en cada línea.

FOEP SOEPLínea

Real Imaginario Real Imaginario

Nuevo eigenvalor

4-5 -0.0045 0.0525 0.0001 0.0009 -0.3329 ± j8.7794

4-9 -0.0075 0.1107 0.0000 0.0008 -0.3360 ± j8.8377

6-5 -0.0147 0.0599 0.0003 0.0011 -0.3429 ± j8.7866

6-7 0.0002 0.0133 0.0000 0.0005 -0.3283 ± j8.7406

8-7 -0.0086 0.0195 0.0005 0.0008 -0.3365 ± j8.7465

8-9 -0.0332 0.1216 0.0001 0.0010 -0.3616 ± j8.8484

De los resultados anteriores se puede apreciar que la posición 6-7, es la que presenta unmayor impacto sobre el modo 1, mientras que la posición 8-9 lo tiene para el modo 2, porlo que éstas son dos localizaciones factibles para la instalación de un TCSC para amortiguaroscilaciones de potencia. Cabe hacer mención que la perturbación de segundo orden deleigenvalor es la que proporciona la mejor estimación ya que se sabe que los cambios en losparámetros son no-lineales [10].

5.8 RESUMEN

En este capítulo se propone una metodología para la localización de dispositivos FACTS enun sistema multimáquinas basado en la respuesta a la frecuencia. La técnica de localizaciónpropuesta está basada en la capacidad de estos dispositivos para amortiguar oscilaciones depotencia. La metodología se ejemplifica con un controlador unificado de flujos de potencia(UPFC) y un capacitor serie controlado por tiristores (TCSC), sin embargo ésta puedeextenderse a otros dispositivos FACTS. Para verificar la robustez del algoritmo propuestose utilizan diferentes condiciones operativas (caso base, caso débil, caso misma potencia)en un sistema de potencia pequeño. Finalmente, la técnica se utiliza en un sistema de 46máquinas para localizar un UPFC y un TCSC. Los resultados obtenidos se comparan conlos que se obtienen por medio de residuos, llegando a conclusiones similares en la mayoríade los casos estudiados.

En forma complementaria se analizan algunas metodologías alternas, como son los valoressingulares o sensitividades, las cuales se proponen como medios auxiliares para la selecciónde un conjunto de localizaciones factibles.

Una vez elegida la localización para el dispositivo FACTS, es necesario diseñar suestabilizador y coordinarlo con los otros estabilizadores existentes en el sistema para que deesta manera puedan actuar de manera conjunta. En el capítulo siguiente se considera esteproblema y también se realizan simulaciones en el tiempo para ver el comportamientodinámico del sistema cuando se instala un dispositivo FACTS en la red y se coordina conlos elementos de control existentes.

124

REFERENCIAS

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[2] W.L. Fang, H.W. Ngan, “Optimising location of unified power flow controllersusing the methodof augmented Lagrange multipliers”. IEE Proc.-Gener. Transm.Distrib., Vol. 146, No. 5, September 1999.

[3] H.F. Wang, “Selection of robust installing locations and feedback signals ofFACTS-based stabilizers in Multi-machine Power Systems”. IEEE Transactions onPower Systems, Vol. 14, No. 2, pp. 569-574, May 1999.

[4] P.M. Anderson, A.A. Fouad, “Power System Control and Stability”, IEEE PressPower Systems Engineering Series, pp. 38-39.

[5] S.G. Jalali, R.A. Hedin, M. Pereira and K. Sadek, “A stability model for theAdvanced Series Compensator (ASC)”. IEEE Transactions on Power Delivery,Vol. 11, No. 2, pp.1128-1137, 1996.

[6] R. A Horn and C. R. Johnson, “Matrix Analysis.” Cambridge University Press,1985.

[7] M. Green and D. J. N. Limebeer, “Linear Robust Control.” Prentice-Hall, 1995.

[8] P. Pourbeik, M.J. Gibbard, “Damping and synchronizing torques induced ongenerators by FACTS stabilizers in Multimachine Power Systems”, IEEETransactions on Power Systems, Vol. 11, No. 4, pp. 1920-1925, November 1996.

[9] M.J. Gibbard, P. Pourbeik, “Interactions between, and effectiveness of powersystems stabilizers and FACTS device stabilizers in multimachine systems”, IEEETransactions on Power Systems, Vol. 15, No. 2, pp. 748-755, May 2000.

[10] Hae-Kon Nam, Yong-Ku Kim, Kwan-Shink Shim, and Kwang Y. Lee “A neweigen-sensitivity theory of augmented matrix and its applications to power systemstability analysis”. IEEE Transactions on Power Systems, Vol. 15, No. 1, pp.,February 2000.

125

C A P Í T U L O 6

S I M U L A C I O N E S E N E LT I E M P O

En este capítulo se muestran simulaciones en el tiempo para analizar el efecto de lalocalización de dispositivos FACTS en el amortiguamiento de oscilacioneselectromecánicas, para lo cual es necesario coordinar los controladores basados en FACTScon aquellos dispositivos de control existentes en el sistema de potencia, como losestabilizadores de sistemas de potencia.

Primero se va a hacer referencia a la metodología empleada para la coordinación decontroladores y posteriormente se aplicara ésta a un sistema de potencia.

6.1 INTRODUCCIÓN

A finales de los años 50's y principios de los 60's, la mayoría de las nuevas unidadesgeneradoras fueron equipadas con reguladores de voltaje de acción continua. Conformeestas unidades llegaron a representar un gran porcentaje de la capacidad de generación, laacción de los reguladores tuvo un impacto en detrimento de la estabilidad del sistema depotencia. Sucedió que aparecieron oscilaciones de baja frecuencia y magnitud pequeña, quepodían persistir por largos periodos de tiempo, y en muchos casos esto implicabalimitaciones en la transferencia de potencia.

Se reconoció entonces que se requería amortiguamiento para esas oscilaciones. El primercontrolador desarrollado para tales efectos, a través de la modulación de la excitación delgenerador, fué el Estabilizador de Sistemas de Potencia (PSS).

Con el paso del tiempo, no solo los PSS, sino también los compensadores estáticos deVARS (SVC) y la modulación de enlaces de HVDC, se han utilizado como medio paraproporcionar amortiguamiento adicional a los modos electromecánicos. Más recientementecon el advenimiento de la tecnología de la electrónica de potencia, se han introducido lossistemas de transmisión flexibles (FACTS). Estos han superado las limitaciones de tenersistemas de transmisión controlados mecánicamente. Mediante el uso de controladoresconfiables y de alta velocidad, la tecnología de FACTS ofrece mejoras en la operación delos sistemas de potencia, tales como:

126

" Un mayor control de la potencia, de modo que pueda fluir en rutas prescritas detransmisión.

" Cargar las líneas de transmisión en niveles más cercanos a sus límites térmicos." Mayor facilidad para transferir potencia entre áreas controladas, de modo que puedan

reducirse los márgenes de reserva de generación." El amortiguamiento de las oscilaciones de potencia, que puede dañar equipos." La capacidad de incrementar los límites de transferencia de potencia, debido al

incremento del amortiguamiento.

Los sistemas de potencia experimentan diariamente variaciones amplias de sus condicionesoperativas, por lo tanto, el diseño de los controladores debe tomar en cuenta estaconsideración. Conforme los sistemas de potencia son más grandes y complejos de operar,el uso de controladores robustos es crucial para su funcionamiento. La robustez implica laoperación con márgenes adecuados de estabilidad y niveles de desempeño, a pesar de lasincertidumbres del modelo y sus suposiciones.

El diseño de los PSS tradicionales normalmente está basado en la combinación de análisismodal, lugar de las raíces, y sensitividades. Generalmente, la estructura del controlador essimple, consistente de una cascada de componentes PID, y filtros del tipo adelanto-atraso.Los resultados del diseño normalmente son conservativos.

Así como los PSS, los dispositivos FACTS también pueden afectar, simultáneamente,varios modos locales e inter-área. La naturaleza de estos modos puede cambiardependiendo de las condiciones de operación, tal como la cantidad de potencia detransferencia entre áreas y la conmutación de líneas de transmisión. Un dispositivo FACTSpuede afectar los modos dominantes de manera diferente para diferentes condicionesoperativas, lo que resulta en la controlabilidad. El atributo de robustez refleja el hecho deque el desempeño de un controlador de amortiguamiento debe preservarse aún en sistemascon modos que tienen requerimientos de compensación conflictivos.

A diferencia de los PSS, los dispositivos FACTS no están, en general, localizados cerca demáquinas síncronas. Como resultado, las mediciones de la velocidad de la máquina y lapotencia, que son críticas en el diseño de PSS, normalmente no están disponibles para losdispositivos FACTS, a menos que se instalen lazos de comunicación. Así que estosdispositivos dependen de mediciones locales para obtener las señales que sean útiles para elamortiguamiento de los modos deseados. Las mediciones locales pueden tenerobservabilidades modales bajas y así, no poder usarse directamente. Sin embargo, variasseñales locales pueden utilizarse para sintetizar señales remotas que puedan tenerobservabilidades modales mayores.

6.2 METODOLOGÍA

Se considera un sistema LIT,&x Ax Bu

y Cx

= += (6.1)

127

con A ℜ∈ n x n, B ℜ∈ n x m, C ℜ∈ p x n. Se aplican compensadores H(s) = diag[ hi (s) ], i = 1,..., m, para retroalimentar señales locales accesibles en los m elementos donde se instalanlos controladores. Para el presente trabajo, las señales yi(s) que se han empleado son:velocidad angular y flujo de potencia activa en la línea.

El problema consiste en determinar los parámetros ajustables de hi (s), i = 1, ..., m, de modoque el sistema en lazo cerrado asigne un conjunto de eigenvalores λ j, j = 1, ...., k. Se asumeque el conjunto λ j no incluye ningún eigenvalor de lazo abierto.

La relación entrada-salida del sistema (6.1) se describe mediante la matriz función detransferencia,

Y(s) = Go(s) U(s) (6.2)

dondeGo(s) = C (sI - A)-1 B (6.3)

mientras que en el sistema dinámico de retroalimentación, la salida del compensador puedeexpresarse como:

U(s) = -H(s) Y(s) (6.4)

El polinomio característico de lazo cerrado resulta ser,

∆ c (s) = ∆ o (s) det [I + Go(s) H(s) ] (6.5)

donde ∆ o (s) = det [sI - A] es el polinomio característico de lazo abierto. Así, si λ es eleigenvalor deseado para el sistema en lazo cerrado:

det [I + Go(λ) H(λ)] = 0 (6.6)

Se utilizó el compensador hi (s) tipo PSS, cuyo diagrama se muestra en la Fig. 6.1.

Fig 6.1. Controlador tipo PSS

Los parámetros de este compensador son: K (ganancia del PSS), T (constante del bloquewash-out), T1, T2 (constantes relacionadas con los bloques de atraso-adelanto de fase).El objetivo central aquí es lograr que la ec. (6.6) se satisfaga para un eigenvalor λ deseado.Dado que cuando se maneja un sistema de grandes dimensiones no es factible realizar los

Entrada

ω, f ó Po

QK

ω 2

1

1

1

sT

sT

++

4

3

1

1

sT

sT

++

Q

Q

sT

sT

+1

Salida

128

cálculos algebraicos necesarios para satisfacer (6.6) exáctamente, se propone un algoritmocuyo propósito es minimizar la siguiente función objetivo,

min abs (|I + G(λ) H(λ) |) (6.7)sujeto a,

2

2

1

1

1

1)(

++

+=

i

i

Qi

QiQii T

T

T

TKh

λλ

λλ

λ

Como resultado de este proceso se obtiene el valor de los diferentes parámetros de loscontroladores considerados.

6.2.1 CONSIDERACIONES PARA LA RAPIDEZ DE LA CONVERGENCIA DELPROBLEMA

(i) La matriz diagonal H de m elementos, sólo contiene los q (q << m) principalescompensadores que intervienen sustancialmente en el modo de oscilación que deseamodificarse.

(ii) Se asignan de antemano valores típicos para Ti (wash-out) y T2i (bloques adelanto-atraso), de modo que, para cada compensador, solo hay dos parámetros pordeterminar, T1i y Ki. Se elige Ti ≥ 3 s, para asegurar que sea despreciable lacontribución del bloque wash-out al cambio de fase y ganancia, para el rango defrecuencias de oscilación de interés. Se elige un valor bajo de T2i ≈0.02-0.05 s, porlimitaciones de tipo práctico [1].

6.3 ROBUSTEZ DE LOS CONTROLADORES

La metodología propuesta se basa en un valor fijo de λ para el cálculo de los parámetros delos controladores. Como una manera de mejorar el algoritmo se considerará que eleigenvalor deseado puede localizarse dentro de un intervalo, tanto en su parte real como ensu parte imaginaria. Esta propuesta se hace con el objeto de lograr robustez en el diseño delos PSSs.

Así, ahora consideramos que en la expresión (6.6) el eigenvalor λ pertenece a un intervalo:

λ ∈ [λmin , λmax]

donde λmin y λmax serían eigenvalores deseados mínimo y máximo.

Definido el intervalo del eigenvalor deseado, viene el cálculo de los mejores parámetros delos PSSs que permitan lograr que, en lazo cerrado, efectivamente se obtenga un eigenvalorlocalizado dentro de ese intervalo esperado. Para esto se propone una expresión similar a(6.7), aunque toma en cuenta todos los puntos del intervalo:

+∑

=

N

kkk HGIabsmin

1

)()( λλ

129

donde el intervalo [λmin , λmax] se ha discretizado en N puntos, y λk es el k-ésimo elemento.La Fig. 6.2, ilustra un diagrama de flujos que resume el algoritmo de sintonizaciónsimultánea de controladores tipo PSS [2].

6.4 APLICACIÓN

Como ejemplo de aplicación, se va a llevar a cabo la sintonización de los estabilizadores desistemas de potencia (PSS’s) de los generadores y los estabilizadores de un controladorunificado de flujos de potencia (UPFC) y de un capacitor serie controlado por tiristores(TCSC), los cuales se van a instalar en el sistema de potencia de 46 máquinas de la Fig. 5.7.Para demostrar la efectividad y desempeño de los estabilizadores diseñados se lleva a caboun análisis de estabilidad transitoria.

El UPFC se conecta en la línea que une a los nodos 75 y 84, teniendo su rama en derivaciónen el nodo 75; el TCSC se conecta en la línea 181-174.

Las simulaciones se van a llevar a cabo en cuatro escenarios:

Caso uno o caso base, en esta condición operativa se considera que el sistema ya incluye elUPFC y el TCSC.

Caso dos o caso débil, en esta condición se aumenta la potencia real generada y de carga enun 15% y se disminuye la magnitud de los voltajes nodales en un 1.5%.

Caso tres, tomando como referencia el caso base se sacan dos líneas de operación, la línea158-141 y la línea 185-183.

Caso cuatro, tomando como referencia el caso base se sacan dos líneas de operación, lalínea 172-174 y la línea 75-89.

En todos los casos el UPFC está controlando un flujo de S 75-84= 0.5 + j0.5. Las señales deretroalimentación son las siguientes: velocidades angulares, ωi, asociadas a cada generadorpara los PSSs, el flujo de potencia activa, Pij, en las líneas en las cuales se localizan elUPFC y el TCSC respectivamente. La función de transferencia de los estabilizadores tienela forma:

i

i

i

i

i

iii sT

sT

sT

sT

sT

sTKsh

4

3

2

1

1

1

1

1

1)(

++

++

+=

En la Fig. 6.3 se muestran los esquemas utilizados para los estabilizadores de losdispositivos FACTS.

En la tabla 6.1, se muestran los parámetros para los trece PSSs instalados en el sistema depotencia. De la misma forma en la tabla 6.2 se muestran los parámetros para los dosestabilizadores basados en FACTS utilizados en el sistema. Cabe hacer mención que lasintonización de los estabilizadores se llevo a cabo a través de la metodología expuestaanteriormente.

130

Fig. 6.2. Algoritmo para coordinar controladores tipo adelanto-atraso

Datos:" Calcular las matrices A, B, C y D." Escoger la posición del controlador que

impacte al eigenvalor deseado, desiλ .

" Fijar las constantes TQi y T2i.

" [ ]maxi

mini

desi λλ∈λ , .

" Tipo de señal a retroalimentar:velocidad angular o flujo de potencia

Inicio

1

Sí No

Sí

No

Sí

No

Se inicializan las variables S=0k=1

Se evaluan las siguientes expresiones:

[ ])(det

_

1_

ikGabsSS

iHikoGIikG

DBnCAikoG

AIikënA

+=

+=

+−=

−=

Nk ≤

k = k + 1

min S ε≤S

Se encuentran losparámetros:KQi y T1i

V

Fin

1

[ ]TQiKiTx

xxx

,1=

∆+=

V = ¿Desea sintonizar otro modo λλλλides,

incluyendo los controlespreviamente sintonizados?

131

(a)

(b)

Fig. 6.3. Estabilizadores para el TCSC y el UPFC

Tabla 6.1. Parámetros de los estabilizadores de sistemas de potencia (PSS) empleados en elsistema de 46 máquinas.

Parámetros T K T1 T2

PSS_1 7.5 0.2371 0.0800 0.015

PSS_2 7.5 0.2306 0.0800 0.015

PSS_3 7.5 0.2435 0.0800 0.015

PSS_6 7.5 0.0694 0.0371 0.015

PSS_15 7.5 0.2435 0.0200 0.015

PSS_19 7.5 0.2435 0.0200 0.015

PSS_24 7.5 0.2500 0.0286 0.015

PSS_32 7.5 0.2242 0.0200 0.015

PSS_33 7.5 0.1081 0.0457 0.015

PSS_35 7.5 0.2500 0.0200 0.015

PSS_36 7.5 0.2371 0.0200 0.015

PSS_38 7.5 0.2371 0.0457 0.015

PSS_39 7.5 0.2177 0.0629 0.015

+ΣΣΣΣ f( • )

Xtcsc

EDF_TCSC

ααααref

P 174-181

-

+ΣΣΣΣ

∆δ∆δ∆δ∆δE

EDF_UPFC

P 75-84_ref

P 75-84

132

Tabla 6.2. Parámetros de los estabilizadores de los dispositivos FACTS empleados en el sistemade 46 máquinas.

Parámetros T K T1 T2

EDF_UPFC 7.5 0.1403 0.0371 0.0400

EDF_TCSC 7.5 0.0075 0.0526 0.0400

En las Figs. 6.4- 6.23, se muestra el comportamiento de algunas posiciones de los rotores,δi, velocidades angulares, ωi, y potencias eléctricas, Pei, después de aplicar una fallatrifásica en los nodos 59, 78, 185 ó 53, para cada uno de los escenarios propuestos.

En las todas las figuras se compara la respuesta del sistema cuando no se tienenestabilizadores y la respuesta del mismo cuando se tienen todos los estabilizadores y paracada una de las condiciones operativas propuestas. Cabe hacer mención que la respuesta delsistema cuando no se consideran los estabilizadores corresponde al caso base.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.9

-0.8

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

tiempo (seg)

posi

ción

an

gula

r (r

ad)

- ge

ner

ador

12

sin estabilizadores caso base caso débil líneas 158-141, 185-183líneas 172-174, 75-89

Fig. 6.4. Ángulo del generador 12 considerando una falla de cortocircuito en el nodo 59

133

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

tiempo (seg)

posi

ción

an

gula

r (r

ad)

- ge

ner

ador

45



0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 53

4

5

6

7

8

9

tiempo, (seg)

pote

ncia

elé

ctric

a (p

u) -

gen

era

dor

5


Fig. 6.6. Potencia eléctrica del generador 5 considerando una falla de cortocircuito en el nodo 59

134

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 56

7

8

9

10

11

12

13

14

15

tiempo (seg)

pot

enci

a el

éctr

ica

(pu

) -

gene

rado

r 3

sin controladores caso base caso débil líneas 158-141, 185-183líneas 172-174, 75-89


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

tiempo (seg)

posi

ción

ang

ular

(ra

d) -

gen

erad

or

4



135

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

tiempo (seg)

posi

ción

an

gula

r (r

ad)

- ge

ner

ador

7sin estabilizadores caso base caso débil líneas 158-141, 185-183líneas 172-174, 75-89


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.998

0.9985

0.999

0.9995

1

1.0005

1.001

1.0015

1.002

1.0025

1.003

tiempo (seg)

velo

cida

d an

gula

r (p

u) -

gen

erad

or

7


Fig. 6.10. Velocidad del generador 7 considerando una falla de cortocircuito en el nodo 78

136

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.999

0.9995

1

1.0005

1.001

1.0015

1.002

tiempo (seg)

velo

cida

d an

gula

r (p

u) -

gen

erad

or

5


Fig. 6.11 Velocidad del generador 5 considerando una falla de cortocircuito en el nodo 78

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 56

8

10

12

14

16

18

tiempo (seg)

pot

enci

a el

éctr

ica

(pu

) -

gene

rado

r 4



137

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 53

4

5

6

7

8

9

tiempo (seg)

pote

ncia

elé

ctric

a (p

u) -

gen

era

dor

5



0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0.55

tiempo (seg)

pos

ició

n an

gula

r (r

ad)

- ge

nera

dor

18



138

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

1.05

1.1

1.15

tiempo (seg)

pos

ició

n an

gula

r (r

ad)

- ge

nera

dor

39


Fig. 6.15 Ángulo del generador 39 considerando una falla de cortocircuito en el nodo 185

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.999

0.9995

1

1.0005

1.001

1.0015

1.002

tiempo (seg)

velo

cida

d an

gula

r (p

u) -

gen

erad

or

18



139

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 54.4

4.6

4.8

5

5.2

5.4

5.6

5.8

6

6.2

tiempo (seg)

pote

ncia

elé

ctri

ca (

pu)

- ge

nera

dor

18



0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0.55

0.6

0.65

tiempo (seg)

pos

ició

n an

gula

r (r

ad)

- ge

nera

dor

1


Fig. 6.18 Ángulo del generador 1 considerando una falla de cortocircuito en el nodo 53

140

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

tiempo (seg)

posi

ción

ang

ular

(ra

d) -

gen

erad

or

5



0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.999

0.9995

1

1.0005

1.001

1.0015

1.002

1.0025

tiempo (seg)

velo

cida

d an

gula

r (p

u) -

gen

erad

or

1



141

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.9994

0.9996

0.9998

1

1.0002

1.0004

1.0006

1.0008

1.001

tiempo (seg)

velo

cida

d an

gula

r (p

u) -

gen

erad

or

5



0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 56

8

10

12

14

16

18

20

22

24

tiempo (seg)

pot

enci

a el

éctr

ica

(pu

) -

gene

rado

r 1


Fig. 6.22 Potencia eléctrica del generador 1 considerando una falla de cortocircuito en el nodo 53

142

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 51.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

6

6.5

tiempo (seg)

pote

ncia

elé

ctri

ca (

pu)

- ge

nera

dor

6



6.5 RESUMEN

En este capítulo se muestra a través de simulaciones en el tiempo el efecto de lalocalización de un controlador unificado de flujos de potencia (UPFC) y un capacitor seriecontrolado por tiristores (TCSC) en un sistema de potencia de 46 máquinas y 190 nodos. Lalocalización de estos dispositivos FACTS se hace en base a los resultados obtenidos en elcapítulo anterior. Para poder llevar a cabo las simulaciones es necesario ajustar losparámetros de los estabilizadores de sistemas de potencia (PSS’s) y de los estabilizadoresbasados en FACTS (EDF_TCSC y EDF_UPFC), para lo cual se utiliza la metodología decoordinación resumida en la primera parte de este capítulo.

Para considerar la robustez de la localización se lleva el sistema a diferentes condicionesoperativas y se estudia el comportamiento del mismo al aplicar fallas en distintos nodos,comprobando que ante distintas condiciones la respuesta del sistema en general essatisfactoria.

REFERENCIAS

[3] Prabha Kundur, “Power system stability and control”, The EPRI Power SystemEngineering Series, 1994.

[4] J. M. Ramírez, R. J. Dávalos, A. Valenzuela, I. Coronado,“FACTS-based stabilizerscoordination”, aceptado para su publicación en el International Journal of ElectricalPower & Energy Systems.

143

C O N C L U S I O N E S

La motivación de este trabajo es la localización de dispositivos FACTS para mejorar eltransitorio electromecánico en sistemas eléctricos de potencia a través del aumento delamortiguamiento de las oscilaciones de potencia. Para lo cual es necesario obtener larepresentación del sistema de potencia incluyendo los dispositivos FACTS a fin dedesarrollar análisis de señal pequeña y grandes perturbaciones. Con estos modelos se puedeobservar el impacto de éste tipo de dispositivos sobre el sistema y sobre los modos deoscilación electromecánicos.

Se muestra la forma de implementar el capacitor serie controlado por tiristores (TCSC) y elcontrolador unificado de flujos de potencia (UPFC) en una representación de estado delsistema eléctrico de potencia. Asimismo se presenta el efecto que tienen las entradas decontrol del UPFC en los modos de oscilación electromecánicos en un sistema máquina-barra infinita, lo cual sirve como base cuando se extienden estos resultados a un sistemamultimáquina.

Los resultados de los casos de estudio al aplicar la técnica de localización propuesta sonsemejantes a los proporcionados al aplicar otras técnicas comúnmente empleadas como sonlos residuos. Cabe hacer mención que en la metodología propuesta se considera unintervalo de frecuencias alrededor de la frecuencia de interés con el objeto de que lalocalización seleccionada tenga robustez sobre incertidumbres, para que de esta forma setomen en cuenta posibles cambios en el punto de operación base.

La metodología propuesta usa un conjunto de localizaciones factibles para su utilización,por lo que se mostraron algunas formas de seleccionar éstas a través del empleo de distintasherramientas auxiliares como son los valores singulares o las sensitividades.

Finalmente se muestra con un sistema de potencia de 46 máquinas y 190 nodos lautilización de la técnica propuesta y a través de simulaciones no lineales se verifica elimpacto de los dispositivos FACTS en el comportamiento transitorio del sistema. Esto selleva a cabo a través de la coordinación de los estabilizadores de sistemas de potencia(PSSs) y los estabilizadores basados en FACTS (EDF_TCSC y EDF_UPFC) al aplicarfallas en distintos nodos del sistema y al considerar diferentes condiciones operativas parademostrar la robustez de la localización.

El problema de la localización es un problema complejo ya que involucra muchos factoresaparte de los relacionados a la operación de los dispositivos FACTS, ya sea en condicionesde estado estacionario o dinámico, como los económicos y financieros, por lo que sería unerror considerar sólo un criterio como método de selección, así que la metodologíapropuesta debe considerarse como una herramienta de apoyo más que como unaherramienta de decisión.

144

A P O RTA C I O N E S

• El procedimiento para la obtención de la formulación para estudios de señal pequeña deun sistema de potencia multimáquinas con la incorporación de dispositivos FACTS,utilizando el capacitor serie controlado por tiristores (TCSC) y el controlador unificadode flujos de potencia (UPFC).

• El análisis del controlador unificado de flujos de potencia (UPFC) en condiciones deestado estacionario y dinámico. Para el estado estacionario se comparan dos modelos deestado estacionario, el modelo unificado y el modelo de inyecciones de potencia y semuestra que ambos se complementan entre sí. Para condiciones dinámicas y lossistemas analizados se concluye que de las señales de control del UPFC, la fase de lafuente shunt y la magnitud de la fuente serie son las que mayor impacto tienen sobre losmodos electromecánicos.

• La principal aportación de éste trabajo es la metodología basada en la respuesta a lafrecuencia de las funciones de transferencia de lazo abierto y lazo cerrado, la cual es útilpara seleccionar la mejor localización para un dispositivo FACTS y la mejor señal decontrol. Asimismo se proponen para el problema de localización de dispositivosFACTS otras técnicas como valores singulares, sensitividades y pares deamortiguamiento y sincronización, las cuales se utilizan como una herramienta dedecisión.

• La integración de trabajos desarrollados anteriormente y el propuesto en este trabajo através de herramientas analíticas y computacionales para el análisis de estadoestacionario y dinámico de un SEP cuando se incluyen dispositivos FACTS.

145

T R A B A J O S F U T U R O S

El trabajo presentado forma parte de un conjunto de esfuerzos encaminados al estudio delos Sistemas Flexibles de Transmisión de C.A. en lo referente a su modelado eimplementación en sistemas eléctricos de potencia, a través de simulaciones, con diferentesobjetivos, como el control de flujos de potencia, mejorar la estabilidad transitoria delmismo, entre otros. Dentro del enfoque dado por esta tesis se recomiendan los siguientestrabajos que puedan dar continuidad a lo aquí expuesto:

• Para el problema de la localización de dispositivos FACTS es necesario realizar análisisfinancieros y económicos que complementen los estudios técnicos y de esta maneratener más bases para la selección de una localización.

• En la técnica propuesta se emplea un promedio aritmético de la distancia entre lascurvas de respuesta a la frecuencia, sin embargo conviene explorar otras medidas dedistancia como un valor cuadrático medio.

• Es necesario el modelado de otros dispositivos FACTS, como el compensador estáticosíncrono (STATCOM), a fin de poder extender la metodología propuesta a estoselementos.

• En este trabajo se hace hincapié en las ventajas del controlador unificado de flujos depotencia, por lo que se recomienda la implementación en laboratorio del mismo paratener información más precisa del mismo en condiciones reales.

• Analizar las interacciones que se presentan entre dispositivos FACTS y los demáselementos de los sistemas de potencia a fin de minimizar las mismas y lograr undesempeño aceptable de todo el sistema.

146

P U B L I C A C I O N E S

Durante la realización de este trabajo y hasta la fecha de su publicación se han sometido ypresentado a diferentes congresos y revistas los siguientes artículos técnicos.

• J. M. Ramírez, I. Coronado, P. Zúñiga, R. Dávalos, A. Valenzuela, I. Castillo, “Controlde una red eléctrica de potencia”, Avance y perspectiva, Noviembre-Diciembre de2000, Vol. 19, pp. 347-357.

• Juan M. Ramírez, Ixtláhuatl Coronado,“Allocation of the UPFC to enhance thedamping of power oscillations”, aceptado para su publicación en el InternationalJournal of Electrical Power & Energy Systems.

• J. M. Ramírez, R. J. Dávalos, A. Valenzuela, I. Coronado,“FACTS-based stabilizerscoordination”, aceptado para su publicación en el International Journal of ElectricalPower & Energy Systems.

• I. Coronado, J. M. Ramírez, P. Zúñiga, “Comparación de metodologías para lainclusión del UPFC en estudios de estado estacionario”, presentado y publicado en lamemoria del Congreso Bienal CIGRE – México 2001, CIGRE/2001_14-04.

• P. Zúñiga, R. J. Dávalos, J. M. Ramírez, I. Coronado, “Análisis de corrientes y voltajesen los dispositivos SVC y TCSC”, presentado y publicado en la memoria del CongresoBienal CIGRE – México 2001, CIGRE/2001_14-07.

• Juan M. Ramírez, Ixtláhuatl Coronado, “A frequency response technique to allocateFACTS devices”, IEEE Summer Power Meeting 2001, PES SM/2001-65_18.

• I. Coronado, J. M. Ramírez, P. Zúñiga, “Impacto del UPFC en los modos de oscilaciónelectromecánicos en un SMBI”, presentado y publicado en la memoria de laDecimocuarta Reunión de Verano de Potencia - Aplicaciones Industriales/2001, RVP-AI/2001-SIS-12.

• I. Coronado, J. M. Ramírez, P. Zúñiga, “Localización de un UPFC en un SEP paraamortiguar oscilaciones electromecánicas”, presentado y publicado en la memoria dela Decimocuarta Reunión de Verano de Potencia - Aplicaciones Industriales/2001,RVP-AI/2001-SIS-13.

• P. Zúñiga, J. M. Ramírez, I. Coronado, “Metodología para el cálculo de redes snubberen tiristores y su aplicación al TCSC”, presentado y publicado en la memoria de laDecimocuarta Reunión de Verano de Potencia - Aplicaciones Industriales/2001, RVP-AI/2001-EDU-22.

147

• P. Zúñiga, J. M. Ramírez, I. Coronado, “Análisis armónico del TCR incluyendo laresistencia asociada al reactor del dispositivo”, presentado y publicado en la memoriade la Decimocuarta Reunión de Verano de Potencia - Aplicaciones Industriales/2001,RVP-AI/2001-EDU-21.

• Juan M. Ramírez, Ixtláhuatl Coronado “A frequency response technique to allocateFACTS devices”, IEEE Power Engineering Review, Vol. 21, No. 7, Julio 2001, pp. 63-64.

• I. Coronado, P. Zúñiga, J.M. Ramírez,“FACTS: soluciones modernas para la industriaeléctrica”, Avance y perspectiva, Julio-Agosto de 2001, Vol. 20, pp. 235-244.

148

APÉNDICE A

( )

( )

( ) ( )

++−−=

++−=

−+−=

−−−=

−+−=

−−=

+−=

−=

−+−=

j

odaoqdoqaodq

j

aqqo

j

dado

'do

oqaodqg'dd

'do

qg'dd

'do

ag'dd

'qo

odaoqdg'qq

'qo

ag'qq

'qo

dg'qq

T

VRV'XFVRV'XFa

T

RF'XFia

T

'XFRFia

T

VRV'XY)XX(a

T

'XY)XX(a

T

RY)XX(a

T

VRV'XY)XX(a

T

RY)XX(a

T

'XY)XX(a

21

34

21

32

2131

24

22

21

14

12

11

1

1

( )

( )

( )

( )

δ−δ−−=

δ+δ−=

δ+δ−−=

δ+δ−−−=

'do

oqoag'dd

'do

oqoag'dd

'qo

oaodg'qq

'qo

oaodg'qq

T

sen'XcosRY)XX(c

T

cos'XsenRY)XX(c

T

senRcos'XY)XX(c

T

cosRsen'XY)XX(c

22

21

12

11

149

( ) ( )

( ) ( )

2252

2251

21

32

21

31

IR

Io

IR

Ro

ttA

tA

ttA

tA

j

oaodoqoa

j

oaodoqoa

VVT

Vkc

VVT

Vkc

T

senRcos'XFsen'XcosRFc

T

cosRsen'XFcos'XsenRFc

+−=

+−=

δ+δ+δ−δ−=

δ+δ−+δ+δ=

( )( ) ( )( ) gdodqqogqodqdo YiXXEFYiXXEF '''''' 21 −+=−+= ''2

1

qda

gXXR

Y+

=

150

APÉNDICE B

El modelo linealizado para análisis de señal pequeña esta dado por la siguiente ecuación

UPFCUPFCUPFCUPFCUPFC

UBXAX +=•

donde:

[ ]TdcIBRBIERE

UPFC VIIIIX ∆∆∆∆∆=

[ ]TBBEE

UPFC mmU δ∆∆δ∆∆=

Los elementos diferentes de cero de la matriz AUPFC son:

d

BO

d

EO

B

BO

E

EO

BB

EE

BB

EE

O

B

OB

E

OE

C

Mk

C

Mk

l

Mk

l

Mk

senkaka

senkaka

senkaka

senkaka

aaaa

l

Raa

l

Raa

22

3,

22

3,

2,

2

,cos

,cos

,cos

,cos

,

8765

854853

752751

645635

525515

43342112

44332211

ωωωωδδδδδδδδ

ω

ωω

−===−=

========

=−==−=

−==−==

Los elementos diferentes de cero de la matriz BUPFC son:

d

O

B

O

E

O

BBqBBdB

BBqBBd

EEqEEdE

EEqEEd

BdBBd

BdBBd

EdEEd

EdEEd

Ck

lk

lk

IsenIMkb

senIIkb

IsenIMkb

senIIkb

VMkbsenVkb

senVMkbVkb

VMkbsenVkb

senVMkbVkb

22

3,

2,

2

)cos(

)cos(

)cos(

)cos(

cos,

,cos

cos,

,cos

11109

1154

1153

1152

1151

10441043

10341033

922921

912911

ωωωδδ

δδδδ

δδδδδδδδ

δδ

===

−=

+−=

−−=

+===

−==−=−=

=−=

151

APÉNDICE C

( ) ( )3

3

3

3

3cos,cos δδ

δδδ

δ−−=

∂∂

−=∂∂

g

tE

ggg

tE

g

g

g

X

VVP

X

VVP(C.1)

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )E

sh

E

E

aE

shE

a

B

ser

B

B

aB

serB

a

T

ag

tE

g

g

a

X

Vf

XV

f

X

Vf

XV

f

X

Vf

X

Vf

δδ

δ

δδ

δ

δδ

δδ

sin,cos1

sin,cos1

sin,sin

33

33

33

3

33

=∂∂−=

∂∂

=∂∂−=

∂∂

−=∂∂=

∂∂

(C.2)

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )E

sh

E

E

bE

shE

b

B

ser

B

B

bB

serB

b

T

bg

tE

g

g

b

X

Vf

XV

f

X

Vf

XV

f

X

Vf

X

Vf

δδ

δ

δδ

δ

δδ

δδ

cos,sin1

cos,sin1

cos,cos

33

33

33

3

33

−=∂∂−=

∂∂

−=∂∂−=

∂∂

=∂∂−=

∂∂

(C.3)

( )

( ) ( )

0,0

sin,cos1

sin,0

44

44

33

3

44

=∂∂=

∂∂

−=∂∂=

∂∂

=∂∂=

∂∂

E

a

E

a

B

ser

B

B

aB

serB

a

ser

a

g

a

f

V

f

X

Vf

XV

f

X

Vff

δ

δδ

δ

δδδ

(C.4)

( )

( ) ( )

0,0

cos,sin1

cos,0

44

44

33

3

44

=∂∂=

∂∂

=∂∂=

∂∂

−=∂∂=

∂∂

E

b

E

b

B

ser

B

B

bB

serB

b

ser

b

g

b

f

V

f

X

Vf

XV

f

X

Vff

δ

δδ

δ

δδδ

(C.5)

152

( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]333

333

444

333

444

333

333

333

3

cossin

2sincos

cossin

cossin

2sincos

sincos

cossin

cossin

0

δδδδδ

δδδδ

δδδδ

δδδδδ

δδδδ

δδδδ

δδδδ

δδδδδ

δ

−+−−=∂∂

−−+−=∂∂

−+−−+

+−+−−=∂∂

+−+−+

+−+−=∂∂

−−−+

+−−−=∂∂

=∂∂

EEEEE

E

bb

EEEEEE

E

bb

BmmBmmB

BkmBkmB

B

bb

mmBBmmBmm

BkmBkm

B

bb

EEEEE

BkmBkmBbb

g

bb

BGVVP

GVBGVV

P

BGVV

BGVVP

GVBGV

BGVV

P

BGVV

BGVVP

P

(C.6)

donde las funciones f3a, f3b, f4a, f4b se refieren a las funciones descritas en las ecuaciones(4.23a)-(4.24b), respectivamente. Así que las ecuaciones (C.1)-(C.6) conforman la matrizjacobiana para el cálculo del estado estacionario del sistema máquina-barra infinita alincluir un dispositivo UPFC.

153

APÉNDICE D

cx V x x

m vx

m v

cx x

sen v cx x

m v

cx x

m senx

m sen

sh ser BVE E dc

shB B dc

ser BVE dc

ser BVE E dc

ser BVE E

shB

10

1 10 0 0 0

10 0 0 0

21

0 0 0 31

0 0 0 0

41

0 0 01

0 0

2 2

2 2

2 2

= + + − + −

= + − = − + −

= + − +

∞ cos[ cos( ) ] [ cos( ) ]

[ ( ) ] , [ cos( ) ]

[ ( )] [ (

δ δ δ δ δ

δ δ δ δ

δ δ δ

∆ ∆ ∆

∆ ∆

∆ ∆−

= − = − −

δ

δ δ δ δ

B

shB dc

shB B dcc

xsen v c

xm v

0

51

0 0 0 61

0 0 0 02 2

)]

[ ( ) ] , [ cos( ) ]∆ ∆

cx x x

cx V sen x x

m sen vx

m sen v

cx x

v cx x

m sen v

cx x

m

ser BV sh

sh ser BVE E dc

shB B dc

ser BVE dc

ser BVE E dc

ser BVE E

72

80

2 20 0 0 0

20 0 0 0

92

0 0 0 102

0 0 0 0

112

0 0

2 2

2 2

2

= + +

= + + − + −

= − + − = − + −

= − + −

∞

∆

∆ ∆ ∆

∆ ∆

∆

δ δ δ δ δ

δ δ δ δ

δ δ

[ ( ) ] [ ( ) ]

[cos( ) ] , [ ( ) ]

[ cos( 02

0 0 0

122

0 0 0 132

0 0 0 0

2

2 2

)] [ cos( )]

[cos( ) ] , [ ( ) ]

− −

= − − = − −

xm

cx

v cx

m sen v

shB B

shB dc

shB B dc

∆

∆ ∆

δ δ

δ δ δ δ

c x i v c x i v

c x x cK

T

v

vx c

K

T

v

vx

d qt dt q dt qt

d dA

A

dt

tq

A

A

qt

td

14 0 0 15 0 0

16 170

018

0

0

= − = − +

= − − = − =

'

' '

,

( ) , ,

K c c c c K c c i K c c

K c c K c c c c K c cK

T

v

v

qt

A

A

qt

t

1 1 15 8 14 2 14 7 0 3 16 7

4 8 16 5 1 17 8 18 6 18 70

0

1= + = − = −

= = + = −

, ,

, ,

K c c c c K c c c c K c c c c

K c c c c K c c c c

K c c K c c K c c K c c

K c c

p p p

p p

q q q q

q

1 14 9 15 2 2 14 12 15 5 3 14 10 15 3

4 14 13 15 16 5 14 11 15 4

1 16 9 2 16 12 3 16 10 4 16 13

5 16 11

= + = + = += + = += = = ==

, ,

,

, , ,

154

Kv

vx c

v

vx c K

v

vx c

v

vx c

Kv

vx c

v

vx c K

v

vx c

v

vx c

Kv

vx c

v

vx c

vdt

tq

qt

td v

dt

tq

qt

td

vdt

tq

qt

td v

dt

tq

qt

td

vdt

tq

qt

td

10

02

0

09 2

0

05

0

012

30

03

0

010 4

0

06

0

013

50

04

0

011

= − = −

= − = −

= −

' '

' '

'

,

,

155

APÉNDICE E

c v i sen i

c m v i sen i

c m i sen i

c m v sen c m v

c m v i

dc Ed E Eq E

E dc Eq E Ed E

E Ed E Eq E

E dc E E dc E

E dc Ed

19 0 0 0 0 0 0 0

20 0 0 0 0 0 0 0 0

21 0 0 0 0 0 0 0

22 0 0 0 0 23 0 0 0 0

24 0 0 0 0

= − + −= − − −= − + −= − = −= −

[ ( ) cos( )]

[ ( ) cos( )]

[ ( ) cos( )]

( ) , cos( )

cos('

δ δ δ δδ δ δ δ


δ δE E dc Eq Em v i sen0 0 0 0 0 0) ( )− −δ δ

c v i sen i

c m v i sen i

c m i sen i

c m v sen c m v

c m v i

dc Bd B Bq B

B dc Bq B Bd B

B Bd B Bq B

B dc B B dc B

E dc Bd

24 0 0 0 0 0 0 0

25 0 0 0 0 0 0 0 0

26 0 0 0 0 0 0 0

27 0 0 0 0 28 0 0 0 0

28 0 0 0 0

= − + −= − − −= − + −= − = −= −

[ ( ) cos( )]

[ ( ) cos( )]

[ ( ) cos( )]

( ) , cos( )

[ cos('



δ δ δ δB Bq Bi sen0 0 0 0) ( )]− −

cx x

vx x

v

cx x

m vx x

m m

cx x

m sen vx x

m sen

d tEdc E

ser BVdc E

ser BVE E dc

d tEE E B B

ser BVE E dc

d tEE

292

0 0 02

0 0 0

302

0 0 0 02

0 0 0 0 0 0

312

0 0 0 02

0 0

2 2

2 2

2 2

= − + − − + −

= − + − − + − − −

= − + − − + −

'

'

'

cos( ) cos( )

cos( ) [ cos( ) cos( )]

( ) (

∆ ∆

∆ ∆

∆ ∆

δ δ δ δ

δ δ δ δ δ δ

δ δ δ δB dc

ser BV

d tE ser BV E E dc

d tE dcB B E E

d tE dcB

d tE dc B

v

cx x

cx x V sen x x m sen v

x x vm sen m sen

cx x v

cx x v m

sen

0 0

322

330

2

0 0 0 0

2

0

20 0 0 0 0 0

340

20 0 35

0 0

2

2

2

2 2

)

( ) ( ) ( )

( )[ ( ) ( )]

( )cos( ) ,

( )(

'

'

' '

= +

= − + + + −

− + − − −

= + − = +

∞

∆

∆ ∆

∆

∆ ∆

δ δ δ

δ δ δ δ

δ δ δ0 0−δB )

156

cx x x

vx

v

cx

mx x x

m m

cx

m sen vx x x

m sen v

d tE shdc E

shdc E

shE E

d tE shE E B B

shE E dc

d tE shE E dc

362

0 0 02

0 0 0

372

0 0 02

0 0 0 0 0 0

382

0 0 0 02

0 0 0

2 2

2 2

2 2

= + + − − −

= − − + + + − − −

= − − + + + −

'

'

'

cos( ) cos( )

cos( ) [ cos( ) cos( )]

( ) ( )

∆ ∆

∆ ∆

∆ ∆

δ δ δ δ

δ δ δ δ δ δ

δ δ δ δ 0

392

400

2

0 0 0 0

2

0

20 0 0 0 0 0

410

20 0 42

0 0

2

2

2

2 2

cx

cx x x V sen x m sen v

x x x vm sen m sen

cx x x v

cx x x v m

sen

sh

d tE sh sh E E dc

d tE sh dcB B E E

d tE sh dcB

d tE sh dc B

=

= + + + −

+ + + − − −

= − + + − = − + +

∞

∆

∆ ∆

∆

∆ ∆

( ) ( )

( )[ ( ) ( )]

( )cos( ) ,

( )(

'

'

' '

δ δ δ

δ δ δ δ

δ δ δ0 0−δB )

cx x

v senx x

v sen

cx x

m senx x

m sen m sen

cx x

m vx x

m v

ser BVdc E

q tEdc E

ser BVE E

q tEB B E E

ser BVE E dc

q tEE E dc

431

0 0 01

0 0 0

441

0 0 01

0 0 0 0 0 0

451

0 0 0 01

0 0 0 0

2 2

2 2

2 2

= + − ++

−

= + − −+

− − −

= − + − −+

−

∆ ∆

∆ ∆

∆ ∆

( ) ( )

( ) [ ( ) ( )]

cos( ) cos( )

δ δ δ δ

δ δ δ δ δ δ

δ δ δ δ

cx x

Vm v m v

x x vm

cx x v

sen cx x v m

q tE E E dc B B dc

ser BV dcE E

tE q dcB

tE q dc BB

461

00 0 0 0 0 0 0 0

0

10 0 0

470

10 0 48

0 0

10 0

2 2

2

2 2

= −+

− − + − +

+ + −

= −+

− =+

−

∞∆

∆

∆ ∆

[ coscos( ) cos( )

]

( )cos( )

( )( ) ,

( )cos( )

δ δ δ δ δ

δ δ

δ δ δ δ

cx

v senx x x

v sen

cx

m senx x x

m sen m sen

cx

m vx x x

m v

shdc E

q tE shdc E

shE E

q tE shB B E E

shE E dc

q tE shE E dc

491

0 0 01

0 0 0

501

0 0 01

0 0 0 0 0 0

511

0 0 0 01

0 0 0 0

2 2

2 2

2 2

= − −+ +

−

= − ++ +

− − −

= − − ++ +

−

∆ ∆

∆ ∆

∆ ∆

( ) ( )

( ) [ ( ) ( )]

cos( ) cos( )

δ δ δ δ

δ δ δ δ δ δ

δ δ δ δ

cx x x

Vm v m v

x vm

cx x x v

sen cx x x v m

q tE sh E E dc B B dc

sh dcE E

tE q sh dcB

tE q sh dc BB

521

00 0 0 0 0 0 0 0

0

10 0 0

530

10 0 54

0 0

10 0

2 2

2

2 2

=+ +

− − + − +

+ −

=+ +

− = −+ +

−

∞∆

∆

∆ ∆

[ coscos( ) cos( )

]

cos( )

( )( ) ,

( )cos( )

δ δ δ δ δ

δ δ

δ δ δ δ

157

Kv C

c c c c c c c c c c

Kv C

c c c c

Kv C

c c c c c c c c c c

Kv C

c c c c c c c c c

Kv C

c c c

dc dc

dc dc

dc dc

cdc dc

cdc dc

70

24 28 22 33 23 46 27 40 28 52

80

22 32 27 39

90

21 26 22 30 23 44 27 37 28 50

10

19 22 29 23 43 27 36 28 49

20

24 22

3

4

3

4

3

4

3

4

3

4

= + + + + +

= +

= + + + + +

= + + + +

= +

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[

' '

34 23 47 27 41 28 53

30

20 22 31 23 45 27 38 28 51

40

25 22 35 23 48 27 42 28 54

3

4

3

4

+ + +

= + + + +

= + + + +

c c c c c c

Kv C

c c c c c c c c c

Kv C

c c c c c c c c c

cdc dc

cdc dc

]

[ ]

[ ]

158

APÉNDICE F

δδδδδ ∆+∆+∆+∆−∆−∆+∆+∆+∆+∆=∆ 10987654321 ' fVfffmfVfffmfEfi dcBBdcEEqBd

δδδδδ ∆+∆+∆−∆+∆+∆+∆+∆+∆=∆ 987654321 gVgggmgVgggmgi dcBBdcEEBq

2

1110

2

119

2

118

2

117

2

116

2

115

2

114

2

113

2

112

2

111

11

2

)cos(

2

)(

2

)(

2

)cos(

2

)cos()(

2

)()(

2

)()(

2

)cos()(

'

∆=

∆−

=

∆−

=

∆−

=

∆−

=

∆−−

=

∆−−

=

∆−−

=

∆−−

=

∆=

++=

∞ o

BooBo

dcoBooBo

dcoBooBo

dcoBoo

EooEosh

dcoEooEosh

dcoEooEosh

dcoEoosh

tEshd

senVcf

mcf

Vsenmcf

Vsenmcf

Vcf

mxcf

Vsenmcxf

Vsenmxcf

Vxcf

cf

xxxc

δ

δδ

δδ

δδ

δδ

δδ

δδ

δδ

δδ

1

119

1

118

1

117

1

116

1

115

1

114

1

113

1

112

1

111

11

cos

2

)(

2

)cos(

2

)cos(

2

)(

2

)()(

2

)cos()(

2

)cos()(

2

)()(

∆=

∆−=

∆−=

∆−=

∆−=

∆−−=

∆−−=

∆−−=

∆−−=

++=

∞ o

BooBo

dcoBooBo

dcoBooBo

dcoBoo

EooEosh

dcoEooEosh

dcoEooEosh

dcoEoosh

qshtE

Vag

senmag

Vmag

Vmag

Vsenag

senmaxg

Vmxag

Vmaxg

Vsenaxg

xxxa

δ

δδ

δδ

δδ

δδ

δδ

δδ

δδ

δδ

159

dcBBEEqBre VllmllmllEli ∆+∆+∆+∆+∆+∆+∆=∆ 7654321 ' δδδ

oo

oo

oo

oo

oo

oooBqooBdo

o

ggsenffl

gsenfl

gsenfl

gsenfl

gsenfl

gggsenfffseniil

senfl

δδδδδδ

δδδδ

δδδδδ

cos)()(

cos

cos

cos

cos

cos)()()cos(

84957

776

565

334

123

96210842

11

+++=−−=+−=

+=+=

++++++−==

160

APÉNDICE G

Modelo del sistema de potencia

El sistema de potencia se modela en el espacio de estado, linealizando las ecuaciones quedescriben el sistema alrededor de una condición operativa.

xCyuBxAx

∆=∆∆+∆=

⋅∆ (G.1)

donde[7]:

z)x1(nz)x1(nNx1

Nx1z)xN(n

z)x1(nz)Nx(nNx1NxN

0

0

00

00

00

+

+

+

=

+

+

=

⋅∆

⋅∆

⋅∆

∆∆

=∆∆∆

=∆∆∆∆

=∆

∆∆∆

∆∆

∆∆

+∆∆∆

rUrV

uy

Pey

x

x

xxyCyCxPCPC

y

Pe

rUrV

rUxBrVxBxxxAxAxA

Io

xAAA

x

δω

δω

δδ

δω

δω

ωωωδωω

δ

ω

n es el número de generadoresz es el número de dispositivos FACTS.

eP∆ es el vector de salida correspondiente a las potencias eléctricas de los generadores.y∆ es el vector de salida correspondiente a las señales de estabilización locales en los

nodos con FACTS.

rV∆ es el vector de entrada correspondiente a los voltajes de referencia.

rU∆ es el vector de entradas de referencia a los controladores FACTS.

Deshabilitando temporalmente las dinámicas de la flecha removiendo las ecuaciones deestado asociadas con ∆ω e ignorando temporalmente la matriz particionada ωxA , la cual

describe la acción del gobernador y considerando δ∆ como entrada, tenemos que:

[ ]

∆∆∆

+∆=∆

∆∆∆

+∆=⋅

∆

δδδ

δδ

rUrV

yCPC

xxyCxPC

y

rUrV

xArUxBrVxBxxxAx

00

00

(G.2)

161

resolviendo para el vector de salidas:

( ) [ ]

∆∆∆

+∆

∆∆

−−=∆∆

=∆δδ

δ

δδ rU

rV

yCPC

rUrV

xArUxBrVxBxxAsIxyCxPC

sy

sePy

00

001)(

)(

desarrollando [7]:

( )( )

( )( )( )

( ) δδδ

δδδ

δδδ

yCxAxxAsIxyCsyH

rUxBxxAsIxyCsrUyH

rVxBxxAsIxyCsrVyH

PCxAxxAsIxPCsPH

rUxBxxAsIxPCsrPUH

rVxBxxAsIxPCsrPVH

rUrV

syHsrUyHsrVyH

sPHsrPUHsrPVH

sy

seP

+−−=

−−=

−−=

+−−=

−−=

−−=

∆∆∆

=∆∆

1)(

1)(

1)(

1)(

1)(

1)(

)()()(

)()()(

)(

)(

(G.3)

Para el n-ésimo generador del sistema, las dinámicas de la flecha están definidas por:

[ ])()()(

)()()()(ssNs

sPesPmsJsωδ

ω∆=∆

∆−∆=∆(G.4)

donde

)()(

],1[2

1)(

nnsodiagsN

niiDsiH

diagsJ

×=

∈∀+=

ω(G.5)

De aquí que con (3)-(5) el sistema se puede representar de la siguiente forma:

162

Fig. G1. Representación de la función de transferencia matricial del sistema de potencia linealizado.

El modelo de la Fig. G1 se puede simplificar como se muestra en la Fig. G2.

Fig. G2. Reducción del sistema mostrando el efecto del lazo de los estabilizadores FACTS.

+

+

+

+

++ +

_

δ∆

)(syH δ

)(sPH δ )(sN

)(sH gov

)(sJ

)(srPVH

)(srVyH

)(srPUH

)(srUyH

rV∆

rU∆

y∆

Pe∆

Pm∆

ω∆

rU∆

sU∆++

P∆

+ +

ω∆

)(sL

)(srPUH

)(srUyH

)(sG

y∆)(sM

Ubicación de dispositivos FACTS desde una perspectiva … · · 2007-06-11Flexibles de...

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