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GUÍA del educador Matemática 10

Tema N.° 1 Funciones

UNIDAD 2 Funciones

Estrategias para la utilización de la introducción de unidad

Utilice la imagen de la entrada de unidad. Per-mita que los estudiantes hagan la relación con el tema por desarrollar

Objetivo general: Determinar las condiciones que debe poseer una relación para que corresponda a una función y determinar sus características, con base en el análisis de sus elementos constitutivos.

Objetivos específicos1. Dada una relación, determinar los concep-

tos de variable dependiente e indepen-diente.

2. Identificarporsuscaracterísticas,relacio-nes que corresponden a funciones.

3. Analizar relaciones establecidas entre ele-mentos de la cultura cotidiana que se mo-delan mediante criterios algebraicos que corresponden a funciones.

4. Determinar el dominio, el ámbito, las imá-genes y las preimágenes de una función.

5. Determinar el dominio máximo de una función real de variable real a partir de su criterio.

Tema transversal Desarrollo del pensa-miento crítico y creativo, que propicia el entendimiento de las relaciones entre los seres humanos.

Recomendaciones didácticas para la introducción al tema1. Comente con los estudiantes sobre situa-

ciones de la vida diaria que le permitan visualizar las relaciones entre variables.

2. Busque ejemplos de relaciones presentes en elementos del ámbito sociocultural del lugar y analícelos desde la perspectiva de la dependencia de un hecho respecto al otro, para ir introduciendo el concepto de relación.

3. Analice publicaciones del periódico que seacompañencongráficas,paradetermi-nar información importante que nos brin-dan estos instrumentos.

Recomendaciones didácticas adicionales para el desarrollo y evaluación de los temas• Brinde a los estudiantes situaciones en las

que se requiere de funciones, tanto en la vida cotidiana como en ciencias como la física, química o biología.

• Plantee a los estudiantes ejercicios sobre cada uno de los subtemas estudiados como evaluación formativa y utilice estos resultados en el desarrollo de las siguien-tes lecciones.

Uso didáctico de las cápsulas

Investigo (pág. 96)Trabajo extraclase para que en la siguiente lección, en grupos, se exponga sobre lo analizado y se llegue a conclusiones valiosas para el grupo completo y el desarrollo del tema.

Vocabulario (pág. 132)Pedir a los estudiantes que comenten en parejas estas palabras.Leo y escribo (pág. 142)Proponerunareflexiónsobrelaimportanciade la tolerancia y el respeto en las relaciones humanas.

Soluciones de los ResuelvoPág. 1131. Algunos valores arbitrarios pueden ser:

a. Gráfico23

12

Variable independiente

(eje x)–3 0

1

25


(eje y)–3 3 4 13

2

6

1

3

7

4

5

1 3 5 72 4 6

–7

–3

–6

–2

–5

–1

–4

–7 –5 –3 –1–6 –4 –2

b. Gráfico24


(eje x)–5 –1 0 2


(eje y)25 1 0 4

2

6

1

3

7

4

5

1 3 5 72 4 6

–1

–7 –5 –3 –1–6 –4 –2

f

c. Gráfico25


(eje x)2 9 0 4


(eje y)2 3 0 2

2

6

1

3

7

4

5

1 3 5 72 4 6

–1

–7 –5 –3 –1–6 –4 –2

f

d. Gráfico26


(eje x)–3 0

3

41


(eje y)

33

130

−6

73

1

1 3 5 72 4 6

–7

–3

–6

–2

–5

–1

–4

–7 –5 –3 –1–6 –4 –2

f

e. Gráfico27


(eje x)–2 10 19 51


(eje y)–0,62

1

20,38 0,27

2

6

1

3

7

4

5

1 3 5 72 4 6

–7

–3

–6

–2

–5

–1

–4

–7 –5 –3 –1–6 –4 –2

f

13


f. Gráfico28


(eje x)

−1

20

4

37


(eje y)

11

8

3

4

11

12

−–8

2

6

1

3

7

4

5

1 3 5 72 4 6

–3

–2

–5

–1

–4

–7 –5 –3 –1–6 –4 –2

f

2. a. x2 b. x2

c. Independiente: conjunto A / Depen-diente: conjunto B

Pág. 1221. a. ¢6100 b. 330 cintas

c. No pues las cantidades deben ser po-sitivas, es IR+.

d. IRe. No f.

x 50 300 100 90

y 1600 9100 3100 2800

g. Gráfico29

2000

6000

1000

3000

7000

4000

5000

10 30 50 7020 40 60

–2

–1

–7 –5 –3 –1–6 –4 –2

f

h. Sí, porque se cumplen los aspectos in-cluidosenladefinicióndefunciónreal.

2. a. 8 litros b. 90km/h c. IR+

d. [3.8, 9.8]e.

x 50 60 90 110

y = C(x) 6,8 7,4 9,2 10,4

f. Gráfico30

2

6

1

3

7

4

5

1 3 5 72 4 6

–2

–1

–7 –5 –3 –1–6 –4 –2

f

3.a. 22,4; a los 4s el balón se encuentra a

22,4m de altura.b. 9,5mc. el balón está en el suelo.d. 2se. 5,52s aproximadamentef. IR+

g. IRh. 30,3 / 22,4 / –92,1 / –394,5i. Gráfico31

20

10

30

40

10 30 50 7020 40 60

–30

–20

–50

–10

–40

–70 –50 –30 –10–60 –40 –20

f

j. 1, 15{ }− +∞ −

(0,100)

(50,1000)

14

2.

dOMiniO COdOMiniO ÁMbitO iMaGen de: preiMaGen de:

a. IR IR IR–1 es –10 es 0 6 es 1,7

–2 es 8–1 es –10 es 0

b. IR IR IR–1 es 50 es 2 6 es –16

–2 es 4

3–1 es 1

0 es −2

3

c. , 10 IR+ ,9–1 es 2

0 es 3

6 es 39

–2 no tiene–1 no tiene0 no tiene

f. 3,+ 1.5,5 −1 5 5. ,–1 es 20 es 0,5 6 es 5

–2 no tiene–1 es 1,6Es 0

h. 2.5,6 IR+ 0.2,6.5–1 es 60 no tiene 6 es 1

–2 no tiene–1 no tiene0 no tiene

j. IR IR IR–1 es 40 es 3,86 es 2,5

–2 es –3,5–1 es –3,80 es –4,5

Pág.1321. a. IR

b. IR7

3 c. IR

d. IR − −{ }1 4, e. 1

3,+

f. IR 4{ }− g. 8,+

h. 3,+ i. ,2

5

j. , 4 2{ } k.

2. a. IR+ b. l (3)= 2 3; l (5)=

10 3

3; l ( 3 )= 2; l ( 1)=

2 3

3;l

1

3=

2 3

9

l (3)= 2 3; l (5)=10 3

3; l ( 3 )= 2; l ( 1)=

2 3

3;l

1

3=

2 3

9

3. a. 1,+b. Depende de los valores tomados por

el estudiante. c. Gráfico32

2

6

1

3

7

4

5

1 3 5 72 4 6

–1

–7 –5 –3 –1–6 –4 –2

f

d. Codominio : IR Rango : 0,+Pág. 136

1. a. SI b. SIc. SI d. NOe. NO f. SIg. NO h. SIi. NO j. SI

5

3,6 6,+

15


3. a. el estudiante debe hacer referencia al concepto de función. Dominio es IR+

b. 0,+ c. Verdaderod. Imagen de 4 es 2; sí, es 0e. Preimagen de: 1 es 1; 2 es 4; 3

2 es 2,7

f. NO

Tema N.° 2 La función lineal

Objetivos generales 1. Aplicar el concepto de pendiente y de

intersección en la solución de ejercicios y problemas de funciones lineales.

2. Interpretar la información que proporcio-nalarepresentacióngráficadefuncioneslineales, que modelan relaciones de la cul-tura cotidiana y la sistematizada.

3. Determinar la ecuación de una recta ubi-cada en el plano cartesiano.

4. Determinar la ecuación de una recta para-lela o perpendicular a otra recta dada.

5. Aplicar el concepto de función lineal en la solución de problemas del entorno.

6. Resolver ejercicios y problemas extraídos de la cultura cotidiana y sistematizada, mediante la resolución de sistemas de ecuaciones de primer grado con dos va-riables.

Objetivos específicos1. Identificarsituacionesdelentornoquese

modelan mediante funciones que se ex-presan con la ecuación y = kx ± b, k 0

2. Construir la expresión: y = f(x) = mx + b, con “m” ∈ IR y “b” ∈ IR, a partir de la ex-presión y = kx±b.

3. Caracterizar la función lineal, consideran-do el dominio, el codominio, el ámbito y surepresentacióngráfica.

4. Resolver problemas del entorno que se modelan mediante funciones lineales.

5. Determinar la pendiente y la intersección de una función lineal.

6. Construir intuitivamente los conceptos de función creciente, decreciente y constan-te y aplicarlos en funciones lineales.

7. Identificar diferentes hechos y fenóme-nos de la cultura cotidiana y sistematiza-da,quesemodelanmediantelagráficadefunciones lineales.

8. Formular conclusiones e inferencias res-pecto de la información que proporcio-nan las representacionesgráficasdefun-ciones lineales.

9. Determinar la ecuación de una recta ubi-cada en el plano cartesiano, ubicada en cualquier posición.

10. Identificarsituacionesdelentorno,enlasque se requiere el cálculo de la ecuación de una función lineal.

11. Determinar la ecuación de una recta en problemas en cualquiera de sus tres for-mas: pendiente– intersección, punto– pendiente, general o canónica

12. Interpretar las relaciones que se estable-cen entre las pendientes de las ecuacio-nes de rectas paralelas y de rectas perpen-diculares.

15. Utilizar diferentes estrategias para deter-minar la ecuación de una recta paralela o perpendicular a otra.

16. Identificarsituacionesdelentornoquesemodelan mediante un sistema de ecua-ciones lineales con dos incógnitas e inter-pretargráficamentesusolución.

17. Formular conjeturas sobre la representa-cióngráficay sobre la soluciónde siste-mas de ecuaciones lineales incompatibles y sistemas de ecuaciones lineales depen-dientes o indeterminados.

18. Determinar el conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas.

4. a. SI b. ,2 ,ámbito es 2,+

c. Imagen de: –1 es 0; 2 es 0d. Preimagen de 0 son –1 y 2.

16

19. Aplicar la solución de un sistema de ecua-ciones lineales con dos incógnitas. en la resolución de problemas de la cultura co-tidiana, como de la sistematizada.

Tema transversal Desarrollo del pensamiento crítico y creativo, que propicia el entendimiento de las relaciones entre los seres humanos.

Recomendaciones didácticas para la in-troducción al tema• No comience la clase sin antes haber hecho

un planeamiento en el que quede muy claro los objetivos del Programa de Estudio que pretende lograr. Realice previamente todas las actividades y ejercicios del libro. Para las interrogantes que evalúan conocimien-tos previos, proponga varias respuestas, de acuerdo con la condición en que usted cree, están sus estudiantes.

• Antes de empezar el uso del libro de texto, presente a sus estudiantes una introduc-ción en la que vincule las generalidades de las funciones que se han estudiado ante-riormente con la particularidad de las que se estudiarán en este tema. Puede utilizar diferentes estrategias, una de ellas puede ser: en un cartel o en una hoja, o en una presentación en computadora o utilizando cualquier medio visual, presentar una co-leccióndegráficasdefuncionesestudiadashasta el momento pero con una cantidad mayordegráficasquecorrespondanafun-ciones lineales. Solicite a los estudiantes que destaquen semejanzas y diferencias entreesasgráficasparaagruparlasdespués.Comente con sus estudiantes las agrupa-ciones realizadas y destaque aquellas cons-tituidas solo por funciones lineales.

Hagaénfasisenlautilidadquetienenlasfunciones lineales en la vida real, para ello presénteles a los estudiantes ejemplostales como la relación existente entre la demanda y el precio de los artículos, la cantidad y el precio, la distancia y el tiem-po de un móvil, y otros.

Recomendaciones didácticas adicionales para el desarrollo y evaluación de los temasAdemás de las interrogantes que se proponen

en el libro de texto, tenga preparadas algunas otras que puedan ir dirigidas a estudiantes a los que usted debe tener más constancia para evaluar. En el trabajo individual tenga preparadosenfichasotrosejerciciosparaquesean aplicados a aquellos estudiantes que concluyen los trabajos de manera más rápida que la mayoría de los estudiantes. Procure que todo ejercicio quede revisado, principalmente aquellos en que la respuesta solo se puede cotejar con la que aparece en la guía docente. Siempre que sea posible, lleve resueltos los ejercicios por diferentes métodos, pueses conveniente que el estudiante tenga diferentes opciones de resolución.


Leo y escribo y Vida cotidiana (pág 145, pág 152)Se presenta un tema de reflexión que debeser aprovechado por el profesor para hacer conciencia en los estudiantes sobre la obligación que tenemos los ciudadanos de manejar responsablemente. Por la importancia del tema se recomienda tomar tiempo suficientepara que sean escuchadas la mayoría de las recomendaciones que sugieren los estudiantesInvestigo (pág 154)Puede asignarse como tarea y luego, revisar en clase mediante una discusión de investigaciones. Posteriormente, usted homogeneizará el concepto.Puedesolicitaralosestudiantesque,despuésdeconocer los diferentes significados que tienenesas palabras, escriban una oración, un párrafo, una canción, etc. en la que sean utilizadas.Amplío mi conocimiento (pág 165)Comente esta cápsula en clase, puede agregarle algunos ejemplos, aplíquela en la solución de algunos problemas y haga evaluación formativa por cuanto este concepto es una ampliación de los contenidos del programa.Uso el periódico y reflexiono (pág 185)Puede solicitar a los estudiantes que lleven losgráficosalaclaseotambiénpuededejarlode tarea y revisarlo en clase.Reto (pág 208 y 223)En este ejercicio debe considerarse que lo importante no es el resultado final sino la

17


insistencia, la perseverancia, el interés y laconstancia que se tenga para llegar a resolverlo. No tiene sentido conocer el resultado finalpor medio de otras personas sino que será la satisfacción propia, el convencimiento de que sí pude hacerlo, no importa el tiempo que haya durado (horas, días, meses, años). Como docente se recomienda que oriente al estudiante, pero no le comunique el resultado porque perdería el objetivo de reto y se convertiría en un ejercicio común.

Soluciones del Resuelvo. Pág. 1541. a., c., d.,f., g., h., k., l.2. a., c., d., f.3. Lagráficadetodafunciónlinealcorrespon-

deaunalínearecta,enestecaso,lagráficacorresponde a una curva, por lo tanto no puede corresponder a una función lineal.

4. La gráfica corresponde a una línea rectainclinada por lo que sí se puede garantizar quecorrespondealagráficadeunafun-ción lineal.

5. Puede dibujar cualesquiera dos trazos con el cuidadoque:a)amboscorrespondanagráfi-cas de funciones, b) uno debe corresponder únicamente a una línea recta, el otro debe contener al menos un trazo curvo.

6. En los criterios que escriba el estudiante, se debe cuidar que el exponente de la va-riable sea igual a 1. En este caso, pueden escribir funciones de la forma f(x) = mx, f(x) = b , f(x) = mx + b.

7. a. La función s(t) = 54t + 5, sí es una fun ción lineal porque el exponente de la variable “t” es igual a 1, además, está escrita de la forma s(t) = mt + b, en la que m= 54 y b = 5b. s(2) = 54(2)+5;s(2)=113loquesignifica

que al cabo de 2 horas, el automóvil se ha desplazado 113 kilómetros.

c. Para contestar a esa pregunta se debe obtener la imagen de 5, es decir s(5) = 54 5 + 5 = 275. La respuesta es: El auto-móvil recorre 275 kilómetros en 5 horas.

d. Para contestar a esa pregunta se debe obtener la preimagen de 329, es decir, se debe resolver la ecuación:

329 = 54t + 5 → 329 – 5 = 54t → 324

54

= t → 6 = t; por lo tanto, la respuesta a la interrogante es: el auto lleva 6 horas en movimiento.

e. El par ordenado 3

2,86 se interpreta

en este problema como: el automó-vil se ha desplazado 86 kilómetros al

cabo de 3

2 hora (1

1

2horas o 90 minu-

tos) de tiempo transcurrido.f. Sí lo es pues el tiempo corresponde a

una variable continua y positiva.g. Serán suficientes dos pares ordenados

puesdospuntosdefinenunalínearecta.Soluciones del Resuelvo. Página 1651. a. El valor de la pendiente es 3 y el de la

intersección es –2 b. La gráfica interseca el eje Y en el

punto (0,–2)c. f(3) = 3.3 –2 = 7.

2

6

1

3

7

4

5

1 3 5 72 4 6

–3

–2

–5

–1

–4

–7 –5 –3 –1–6 –4 –2

d. Dos puntos definen una línea recta,poresarazón,paratrazarlagráficadeunafunciónlinealessuficientedeter-minar solamente dos pares ordenados desugráfico.

e. La medida en grados del ángulo θ con el transportador oscila entre 71° y 71,5°. Ahora, tan 71.5° ≅ 2,988684… ≅ 3

f. Entre los comentarios que se establez-can con los compañeros, alguno de ellos debe coincidir en que la tangente del ángulo de inclinación de la recta (71, 5°) es igual que su pendiente.

18

g.

x1

3

4

3

7

3

10

3

13

3

16

3

19

3

22

3

25

3

y –1 2 5 8 11 14 17 20 23

En el análisis se observa lo siguiente:

En la variable “x”: 1

3+ 1 =

4

3; en la variable “y”:

–1 + 3 = 2

En la variable “x”:4

3 + 1 =

7

3; en la variable “y”:

2 + 3 = 5


3+ 1 =

10

3 ; en la variable

“y”: 5 + 3 = 8


3+ 1 =

13

3; en la variable

“y”: 8 + 3 = 11

Así se puede seguir y se prueba que, conforme se aumenta 1 unidad el valor de la variable independiente, se aumenta en 3 unidades el valor de la variable dependiente y ese valor coincide exactamente con el valor de la pendiente de la función lineal.

2. a. m = 8 4

10 5

–

– – → m =

–4

15; b = 4 –

–4

15(5)

⇒ b = 16

3→ La ecuación es: y =

x–4

15

16

3+

b. m = 6 – 4

0 3+ → m =

2

3; b = 4 –

2

33(– ) ⇒

b = 6 → La ecuación es: y = x2

36+

c. m = – –

– –

1 8

1 8→ m = 1; b = 8 – 1(8) ⇒ b

= 0 → La ecuación es: y = x + 0 ⇒ y = x en este caso, resulta la ecuación de la función identidad.

d. m=

3

5

1

71

22

+

+→m=

52

175;b=

–1

7–

52

1752( )−

(–2) ⇒ b = 79

175⇒ La ecuación es:

y = 52

175

79

175x +

3. m = –16 4

–1 – 5

+= 2

Como la pendiente es igual a 2 y el pun-todeinterseccióndelagráficaconeleje“Y” es (0,–14), entonces se garantiza queel criterio de la función lineal cuya repre-sentacióngráficaeslaquesepresentaaladerecha, es f(x) = 2x – 14

8

6

4

12

7

14

5

1 3 5 872 4 6 9

–12

–14

–8

–18

–4

–16

–3 –1–4 –2

4.a. Paradeterminarelvalornuméricodela pendiente se utilizan puntos que estén claramente identificados ensu gráfica, en este caso, (2,4) y (6,1):

m = 1 4

6 2

3

4

–

–

–=

La pendiente es negativa, indica que una mayor cantidad de personas es-tán dispuestas a comprar los artículos cuando estos están a un menor precio.

b. Corresponde a un segmento de rec-ta ubicado en el primer cuadrante, porque las dos variables con que se está trabajando (cantidad de personas y precio del artículo), corresponden únicamente a valores positivos.

c. El par ordenado (4,5

2) se interpreta

en el problema planteado así: 4 mil personas están dispuestos a comprar

un artículo que cuesta 5

2 de miles de

colones.d. Como la imagen de 4 es

5

2,y 4 miles

es equivalente a 4000, entonces, 5

2(1000) = ₡2500, por lo tanto, el

19


producto que compraron 4000 perso-nas cuesta ₡ 2500.

4.e. Para determinar la cantidad de perso-nas que compraron el producto que

costaba 11

2 miles, basta determi-

nar la preimagen de 11

2. El criterio de

la función es–3

4

11

2x y+ = . Para ello

se resuelve la ecuación: –3

4

11

2

11

2x + =

⇒ x = 0. Luego, 0 (cero)0 personas es-tán dispuestas a comprar el producto a ese precio.

5. a. En la información inicial se obtienen dos pares ordenados que pertenecen al gráfico de la función: (600,780) y(800, 1040). Con estos pares ordena-dos se obtiene la pendiente y la inter-sección correspondientes al criterio de la función lineal solicitada. m = 780 – 1040

600 – 800

13

10=

b = y –13

100

13

10c c+ =⇒ b = 780 –

13

10(600)⇒ b = 0.

El criterio de la función

f (c) = 13

100

13

10c c+ =

b. f (1500) = 13

10 (1500)= 1950 por lo tanto,

el precio de venta es ₡1950.c. Para determinar el precio de costo

de un lápiz que se vendió en ₡82, hay que determinar la preimagen de

82, ⇒ 82 = 13

10c⇒ 82•

10

13= c ⇒ c = 63,08 ≅ 63,10

d. Basta con obtener la imagen de 8900.

f(8900) = 13

10(8900) = 11 570.

Soluciones del Resuelvo. Página 175.1.

CriteriO de la funCión lineal

M C/D/CO

y = –3x + 9 –3 D

d(x) = 19 0 CO

f(x) = –12 + x 1 C

h(x) = 73 0 CO

g(x) = 3 9

7

x – 3

7C

y – 5x = 9 5 C

y – 20x = –12x +14 8 C

t(x) = 1

20 CO

h(x) = 5 2

13

– x –2

13D

2. Respuesta dirigida por el docente.3. a. Por ser una respuesta subjetiva, el

docente debe comentar con los es-tudiantessusopinionesyunificarcri-terios. Al final debe establecerse unconsensoenqueeltrazodelagráficase formula con un trazo ascendente.

b. Se utilizan los pares ordenados (0,40) y (25, 675) para determinar el valor numérico de la pendiente.

m = 675 – 40

25 – 0=

127

5; b = 40, por lo

tanto el criterio de la función será:

p (d) = 127

5d + 40

c. Se debe comentar la respuesta con los estudiantes.

d. p (10) = 127

5(10) + 40 = 294. La masa

promedio de una gallina en el día 10 de la dieta es de 294g.

e. 167 =127

5 d + 40 ⇒ d = 5. Para que la

masa de la gallina sea 167g, han trans-currido 5 días de dieta.

f. p (50) = 127

5 (50) + 40 = 1310. El último día

de dieta, la gallina tiene una masa de 1310g.4. a. Por ser una respuesta subjetiva, el

docente debe comentar con los estu-diantessusopinionesyunificarcrite-rios.Alfinaldebeestablecerseuncon-senso en que, al aumentar el precio

20

del artículo, la demanda disminuye y se vende en menor cantidad.

b. Se utilizan dos pares ordenados de la tabla, para determinar el valor de la pendiente.

m = 4000 3400

100 115

–

–=

600

15= –40.

La pendiente es negativa, luego es una función lineal decreciente.

c. b = y – mx ⇒ b = 4000 – (–40(100)) ⇒ b = 8000. Luego: v(p) = –40p + 8000

d. v(145) = –40(145) + 8000 ⇒ v(145) = –5800 + 8000 = 2200. Se vendieron 2200 artículos cuando el precio era de ₡145.

e. 2800 = –40p + 8000 ⇒ p = 130. El pre-cio del artículo era de ₡130.

f. Para dar respuesta a este ejercicio, basta determinar la preimagen de 0, es decir: 0 = –40p + 8000 ⇒ p = 200. Cuando el artículo cueste ₡200, el ne-gocio no venderá artículo alguno.

5. a. y = 5000 ó f(x) = 5000 b. Función constante, puntos aislados.

c. Si el dominio de la función fuese el intervalo [100, 125], entonces la grá-ficasetrazaconunalíneacontinuadepuntos, en este caso un segmento de recta paralelo al eje de las abscisas.

d. El chofer del camión recibió ₡5000 de viáticos por repartir 115cajas de chocolates.

e. La imagen de 800 sería 5000, pues el viáticoesfijo.

Soluciones del Resuelvo. Página 184

“M” “B” puntO – interseCCión

puntO – pendiente

General

1. a. –2 –5 –2x –5 = y –2(x + 4 ) = y – 3 –2x – y – 5 = 0

1. b. –1

2

15

4

–1

2

15

4x + = y

–1

2x +

1

2= y – 4 –2x –4y +15 = 0

1. c.5

45

5

4x + 5 = y x

5

4( 4)+ = y – 0 5x – 4y + 20 = 0

1. d. 0 3 0x + 3 = y ó 3 = y 0(x +2) = y – 3 0x – y + 3 = 0

1. e.3

5

–2

7

3

5

2

7x y– =

3

5 (x–1) = y –

11

3521x – 35y –10 = 0

Sugerencias: Para escribir la ecuación de la recta en su forma punto– pendiente se puede utilizar cualquier punto que pertenezca a la recta. Para expresar la ecuación de la recta en su forma general, parta de su forma punto – intersección y si esta contiene fracciones, entonces obtenga el denominador común.

2. a. La recta “s”, color naranja contiene los puntos (3,7) y (–4,3), su pendiente por

lo tanto es: m = 7 3

3 4

4

7

–

+=

b. Como b = y – mx entonces b = 7 4

–7(3)⇒ b =

37

7, por lo tanto

la ecuación será

y = x

xy

4

7

37

7

4 37

7+ =

+=

c. Los puntos (0,0) y (2,2) pertenecen a la recta “p”. Su pendiente es m =0 2

0 21

–

–= . La ecuación en su forma

21


punto – pendiente es 1(x – 2) = y – 2 ⇒ x – 2 = y – 2.

d. Los puntos (0,6) y (5,0) pertenecen a la recta “m” (color verde), El valor nu-

mérico de la pendiente es –6

5. Como

–6

5< 0, implica que la función lineal

cuya gráfica corresponde a la recta “m” es decreciente.

e. Los puntos (0,–4) y (2,0) pertenecen a la recta “q” (color celeste). El valor numérico de su pendiente es m = 2 y el de su intersección es b = –4. La ecuación de la recta “q” en su forma general es: 2x –y – 4 = 0 y no la ecua-ción 2x – 3y + 4 = 0.

3. Como 3kx + 5y + k – 2 = 0 y además, esa recta contiene el punto (–1,4), entonces se cumple que:3k (–1) + 5(4) + k – 2 = 0 ⇒ –3k + 20 + k – 2 = 0 ⇒ –2k = –18 ⇒ k = 9

4. a. x y2 6

5–

6

5

+–3 = 3y + 1 ⇒

2 6 6 15

5

x y+ – – =3y + 1 ⇒

2x – 6y – 9 = 15y + 5

⇒ 2x – 21y – 14 = 0 A = 2, B = –21, C = –14

b. 6

5

2

3

x y+ = 3x + 4 ⇒

18 10

15

x y+ =

3x + 4 ⇒ 18x + 10y = 45x + 60 ⇒ –27x + 10y – 60 = 0

A = –27, B = 10, C = –60

c. 2x –7

9y +

1

3= 2y + 2x ⇒

18 7 3

9

x y– += 2y + 2x ⇒

18x –7y + 3 = 18y + 18x ⇒ –25y + 3 = 0 A = 0, B = –25, C = 3

d. 3 x + 12y +3 = x + 4(3y – 2) ⇒ 3 x +12y +3 –x –12y +8 = 0 ⇒

( 3 –1) x + 11=0

A = 3 –1, B = 0, C = 115. La ecuación de la recta “r” (verde) es

x = –6; la ecuación de la recta “s” (ce-leste) es x = 1; la ecuación de la recta “t” (naranja) es x = 7

Soluciones del Resuelvo. Página 194

Se escribe cualquier ecuación que posea una pendiente con igual valor numérico que la ecuación dada. Para este efecto, es conveniente escribir la ecuación en su forma pendiente– intersección.

Ecuación dadaEcuación dE la forma

pEndiEntE– intErsEcciónEcuación propuEsta

1. a. 8x –y = 16 y = 8x –16 y = 8x +b

b. 2

3x+ 10y = 8 – 2x

–4

15x +

4

5= y y =

–4

15x + b

c. 3 x + 3 = 6 – y y = 3 – 3 x – 3 x + b = y

d. –1

84 04y + = 64x + 128 = y 64x + b = y

e. 2 6 1

5 2 3

x y x y– += +

–3

46

6

46x y+ =

–3

46x + b = y

f. –5y –3x +6 =–3

8y

–24

37

48

37x y+ = y x b= +

–24

37

22

Se escribe cualquier ecuación que posea una pendiente con un valor numérico tal que al mul-tiplicarlo con el valor numérico de la pendiente de la ecuación dada, el resultado sea igual a –1. Para este efecto, es conveniente escribir la ecuación en su forma pendiente– intersección.

Ecuación dada Ecuación dE la forma pEndiEntE– intErsEcción

Ecuación propuEsta

2. a. x –y = 16 + x

2

x

2– 16 = y –2x + b = y

b. 7

9

9

78 2x x+ = – y = x

175

81

504

81

−+

81

175x + b = y

c. x + 3 = 6 – 34 yx

y3

3

34 4– = – 34 x + b = y

d. 23y –1

8y + 42= 2x x y

16

63–

128

63=

–63

16x + b = y

e. 4 16 1

8 2

x y x– +=

y = 1

16

Recta paralela al eje “X”

Cualquier ecuación de la forma x = k, k ∈IR

f. –5y –9x +6= –3

8y +

1

5x

–368

186

48

37x y+ =

168

368x b y+ =

3. Se contestan a. y b. a la vez

En la ecuación: 2 5

5 32

kx y y––= ⇒

2 5

5

6

3

kx y y– –= ⇒ 6kx – 15y = 5y –30

⇒ 6kx + 30 = 20y ⇒ 6

20

30

20

kx+ ⇒

m = 3

10

k.

En la ecuación 6(x –7) = y – 5 ⇒ 6x – 42 = y – 5 ⇒ 6x –37 = y ⇒ m = 6Como las rectas son paralelas, entonces sus pendientes tienen igual valor numéri-

co: 3

10

k= 6 ⇒ k = 20.

4. La ecuación de la recta “q”: y + 2

5x – 4 = 0,

se escribe en su forma pendiente– inter-

sección así: y = 4 –2

5x ⇒ m =

2

5.

La ecuación de la recta “r” solicitada, ten-

drá la forma2

5x + b = y, como el punto

(5,1) pertenece a “r”, entonces 2

5(5) + b =

1 ⇒ b = –1. La ecuación de la recta “r” es: 2

5x – 1 = y

5. La ecuación de la recta “q”: 2y + 2

5x – 4x = 2,

se escribe en su forma pendiente– inter-

sección así: 9

5x + 1 = y. La ecuación de la

recta “r” solicitada, tendrá la forma

–5

9x + b = y, como el punto (–3,1) pertenece

a “r”, entonces –5

9(–3) + b = 1 ⇒ b =

–2

3.

La ecuación de la recta “r” es: ––

5

9

2

3x y=

23


La ecuación de la recta “t”: 6x – 2y + 3 = 0 se escribe en su forma pendiente– intersección así:

3x + 3

2= y, por lo tanto, bastará utilizar el concepto de rectas paralelas y perpendiculares para,

en cada caso, determinar el valor de “c”

Ecuación dE la rEctaValor dE “c”

para quE sEa paralEla a la rEcta “t”

Valor dE “c” para quE sEa pErpEndi-

cular a la rEcta “t”

6. a. 5cx + 9 = y C = 3

5C =

–1

15

b 3cx – y +2 = 2cx +4 C = 3 C = –1

3

c. 6cx + 2y – 2c = 3x + 3y C = 1 C = 4

9

d. 5

4c [x – 8] = y + 10 C =

6 5

5C =

–2 5

15

e. 2

5

4

109cx c y+ = + C =

15

2C =

–5

6

7. Los puntos (–6,4) y (–2,8) pertenecen a la

recta AB��

⇒ m = 1. Los puntos (–2,0) y

(3,5) pertenecen a la recta DC� ��

⇒ m = 1Los puntos (–6,4) y (–2,0) pertenecen a

la recta AD� ��

⇒ m = –1. Los puntos (3,5)

y (–2,8) pertenecen a la recta BC��

⇒

m = –3

5. Con el valor numérico de las

pendientes se muestra que AB��

⊥ AD� ��

, DC� ��

⊥ AD� ��

pero la perpendicularidad no

se cumple con las rectas BC��

y AB��

o entre

BC��

y DC� ��

y eso es suficiente para mostrar que el ABCD no es un rectángulo.

Pág. 206

1. a. 4 2

5 3 5

x y

x y

+ =

=

–

– –2

1

1 3 5 72 4 6

–3

–2

–5

–1

–4

–7 –5 –3 –1–6 –4 –2

(2, –5)

b. 1 2

4 3

–

– –

x y

x y

=

=

2

1

3

1 3 75 92 4 86 10

–7

–3

–6

–2

–5

–1

–4

–5 –3 –1–4 –2

(2, –5)

–14

–18

–19

–10

–13

–17

–9

–12

–16

–8

–11

–15

(10, –19)

24

c. 2 3 8

4 3 6

x y

x y

+ =

=

–

– –

2

1

1 3 5 72 4 6

–7

–3

–6

–2

–5

–1

–4

–7 –5 –3 –1–6 –4 –2

d. x y

x y

–3 5 –16

4 – 14 3

+ =

=

2

1

1 3 5 72 4 6

–7

–3

–6

–2

–5

–1

–4

–7 –5 –3 –1–6 –4 –2

(2, –2)

2. Se debe verificar que la representación gráfica corresponda a rectas paralelas.a. Guiar a los estudiantes a verificar que

como las rectas son paralelas, no exis-te un punto que pertenezca a ambas de manera simultánea.

b. El conjunto solución no posee ele-mentos, es el conjunto vacío.

c. La respuesta es sí, pues no hay ningún par ordenado que pertenezca a ambas rectas simultáneamente.

3. a. Verificar que la representación gráfica corresponde a una única recta.b. No es posible contar la cantidad de

pares ordenados que corresponden simultáneamente a ambas represen-taciones, pues las dos expresiones co-rresponden a la de una única recta.

c. No es posible responder, se trata de un conjunto infinito.

d. Sí, es el conjunto de pares ordenados de IRX IR.

4. b. Son rectas concurrentes, que se in-tersecan en un único punto.

c. Aunque el punto se puede determinar gráficamente, no es posible determi-nar con exactitud sus coordenadas.

Pág. 2141. a. Se despeja la incógnita “y” en ambas

ecuaciones: 3x + y = 2 ⇒ y = 2 –3x

2x – 4 = 5y ⇒ y = 2 4

5

x –

Se aplican las propiedades de las igual-dades y se establece la igualdad entre

los resultados: 2 –3x = 2 4

5

x – Se apli-

can las propiedades de las igualdades y se resuelve la ecuación en una incóg-nita: 10 – 15x = 2x – 4 ⇒ 10 – 15x = 2x – 4 ⇒ –15x –2x = –4 –10 ⇒ –17x = –14

⇒ x = 14

17.

Como x =14

17, entonces 3

14

17+ y =2

2 –42

17=y ⇒ y =

–8

17El conjunto solución es

S = 14

17,–8

17

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

b. 10x + 9y = 8 ⇒ X =8 9

10

– y, 15y – 1 =

8x ⇒ x = 15 1

8

y –;8 9

10

15 1

8

– –y y= ⇒

64 – 72y = 150y – 10 ⇒ –222y = –74 ⇒

y = 37

111

1

3= . Como y =

1

3 entonces x =

8 – 913

10⇒ x =

1

2 El conjunto solución es S =

1

2,1

3

c. 4x = 3y – 23 ⇒ x = 3 23

4

y –

20 = 5x + 6y ⇒ x = 20 6

5

– y

25


3 23

4

20 6

5

y y– –= ⇒ 15y – 115 = 80 –24y

⇒ y = 5; x = 20 6 5

5

– ( )= –2.

Entonces S = {(–2, 5)}.

d. x + 13 5 = y

y = 5 5 – x

x + 13 5 = 5 5 – x ⇒ 2x = – 8 5

⇒ x = –4 5; y = 5 5 + 4 5 = 9 5.

Entonces S = {(–4 5 , 9 5 )}.

e. 2y = 3x –7 ⇒ y = 3 7

2

x –

17x – 2y – 70 = 5(4y + 3) ⇒ 17 85

22

x –= y

3 7

2

17 85

22

x x– –= ⇒

66x – 154 = 34x – 170 ⇒ x = –1

2

y =

3–12

– 7

2=

–17

4.

Entonces S =–1

2,–17

4 .

f. 3x – 4y – 2(2x –7) = 0 ⇒ x = 14 – 4y

5(x – 1) – (2y – 1) = 0 ⇒ x = 2 4

5

y +

14 – 4y = 2 4

5

y +⇒ 70 – 20y = 2y + 4

⇒ –22y = –66 ⇒ y = 3 x = 14 – 4 (3) = 2. Entonces S = {(2, 3)}.

Soluciones del Resuelvo. Página 2161. a. Se escoge una de las dos ecuaciones y

se despeja una de las dos incógnitas:

2x +5y = –24: x = – –24 5

2

y

Se sustituye la incógnita despejada en la ecuación no escogida en el primer paso.

8x = 3y + 19 ⇒ 8–24 – 5y

2= 3y + 19

⇒ –23y = 115 ⇒ y = 115 ÷ –23 ⇒ y = –5

Como y = –5, entonces x = – – (– )24 5 5

2=

1

2. Entonces S =

1

2,–5 .

1. b. 4x + y = 4 ⇒ y = 4 – 4x. 2x = 3y – 5 ⇒ 2x = 3(4 – 4x) – 5 ⇒

2x = 12 – 12 x – 5 ⇒ 14x = 12 –5 ⇒ x = 1

2

Como x =1

2, entonces y = 4 – 4

1

2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⇒

y = 2.

Entonces S =1

2,2 .

c. En –x – 6y = 8 ⇒ x = –8 –6y En 7x – 15y = 1 ⇒ 7(–8 –6y) –15y = 1 ⇒ –57y = 57 ⇒ y = –1 Como y = –1, entonces x = –8 –6(–1)

⇒ x = –2. Entonces S ={(–2, –1)}

d. En –x + 13 7 = y

En y = 5 7 + x ⇒ –x +13 7 = 5 7

+ x ⇒ –x – x = 5 7 – 13 7 ⇒ –2x

= –8 7 ⇒ x = 4 7 .

Como x = 4 7 , entonces

y = – (4 7 ) + 13 7 ⇒ y = 9 7 .

Entonces S = {(4 7 , 9 7 )}.

e. En 2x = 3y –7 ⇒ x = 3 7

2

y –

Como x = 3 7

2

y – entonces en

7x – 2y – 7 = 4(4y + 3) se obtiene:

73y – 7

2–2y –7 = 16y + 12 ⇒

21

2y –

49

22 16– –y y = 12 + 7 ⇒

21 19

2

38 49

2

y y–=

+⇒ 3y = 87 ⇒

y = 29.

Como y = 29 entonces x = 3 29 7

2

( ) – =

40. Entonces S = {(40, 29)}.

26

f. En 2(x – 1) – (2y – 1) = 0 ⇒ 2x = 2y + 1

⇒ x = 2 1

2

y +.

En 3x – 4y – 4(2x –7) = 0 ⇒ 3x – 4y – 8x + 28 = 0 ⇒ 3x – 12y + 28 = 0.

Como x = 2 1

2

y +entonces

32y + 1

2– 12y = –28 ⇒

6 3

2

y +–12y = –28 ⇒

6 3 24

2

y y+ –= –28 ⇒ y =

59

18

Como y = 58

18 ⇒ x =

25918

+ 1

2⇒

x =68

18

34

9= . Entonces S +

34

9,59

18

2.

a. 10x + 4 = 2y 10 x + 4 = 2(5x – 3)

c. 10x – 10x = –6 – 4

¿Cuál ecuación se usó para despejar una incógnita?: 5x – 3 = y ¿Cuál incógnita despejó? La incógnita “y”

¿Qué sucede con la incógnita cuando se hace la sustitución y se intenta resolver la ecuación de primer grado? Como 10x –10x = 0, la incógnita se elimina

b. 10x + 4 = 10x – 6 d. 0 = –10

Describo el procedimiento realizado. Se realiza la multiplicación en el miembro derecho

La expresión resultante, ¿es falsa o verdadera? Es una expresión falsa porque cero no puede ser igual a diez.

e. 10x + 4 = 2y ⇒ 10 4

2

x +⇒ m = 5,en la ecuación 5x – 3 = y ⇒ m = 5. Como ambas

ecuaciones poseen igual la pendiente, significa que las rectas correspondientes son paralelas.f. El conjunto solución es el vacío: S = ∅ó S = { }.g. En estos casos, al final del procedimiento se establece una igualdad que no es verdadera.

Se puede concluir entonces que el conjunto solución será siempre el conjunto vacío.

Pág. 223

1. a. 8x +6y = 454x + 3y = 12

⎧⎨⎩

⇒

8x +6y = 45

–8x – 6y = –24

8x – 8x +6y – 6y = 45 – 24⇒ 0x + 0y = 21 ⇒ 0 =21

En este caso estamos con un sistema de ecuaciones incompatibles, por lo tanto S = Ø ó S = { }

b. 2x + 5y = 16 2

4y = 5 2 = x⇒

2x + 5y = 16 2

–x + 4y = 5 2⇒

2x + 5y = 16 2

–2x +8y = 10 2

0x + 13y = 26 2

-2

2

27


⇒ 13y = 26 2 ⇒ y =

26 2

13 ⇒ y= 2 2 .Para determinar el valor numérico de “x”, se sustituye el valor numérico de “y” en cualquiera de las ecuaciones, ya sea las originales o las obtenidas en los pasos intermedios.

4y = 5 2 + x ⇒ 4 (2 2 ) – 5 2 = x ⇒ x = 3 2 . Entonces S ={(3 2 , 2 2 )}.

c. x = 3(2y – 1)+ 3y

6x – 3

3+ 3y = 14

⇒ x – 9y = –3

6x + 9y = 45

7x +0y = 42⇒ 7x = 42 ⇒ x = 6

Como x = 6 entonces 6 – 9y = –3 ⇒ –9y = –9 ⇒ y = 1. Entonces S = {(6, 1)}.

d. 3x – y = 12

12x – 3y = 60+ 2y – 3x⇒

3x – y = 12

15x – 5y = 60⇒

3x – y = 12

15x – 5y = 60⇒

15x + 5y = –60

15x – 5y = 60

0x +0y = 0En este caso estamos resolviendo un sistema de ecuaciones indeterminado, por esa razón, el conjunto solución está compuesto por un conjunto de puntos que pertenecen a R X R y que satisfacen ambas ecuaciones a la vez.

e.

x + y1 – y

=2

3

2(x + y )

y= –3+

1

y

⇒ –13x + 5y = 2

2x + 5y = 1⇒

–3x – 5y = –3

2x + 5y = 1

–x +0y = –1

⇒ x = 1

Como x = 1 entonces 2(1) + 5y = 1 ⇒ y =–1

5, por lo tanto S = 1,

–1

5

f. 2x – y – 3= 0

2x – 1 – 2y = 2⇒ –2

2x – y = 3

2x – 2y = 3⇒

–4x + 2y = –

–

6

2x 2y = 3

–2x +0y = –3

x =3

2

Como x = 3

2 entonces 2

3

2– y = 3 ⇒ y = 0, por lo tanto S =

3

2,0

2. 10x + 4y = 2

20x +8y = 4⇒ –2

10x + 4y = 2

20x +8y = 4⇒

–20x – 8y = –4

–20x +8y = 4

0x +0y = 0

a. Como –20x + 20x = 0, la incógnita “x” se elimina, igual sucede con la incógnita “y”. La ex-presión que resulta al final es verdadera, ya que 0 = 0

b. En la ecuación 10x + 4y = 2 ⇒–5

2

1

2x + = y ⇒ m =

–5

2

En la ecuación 20x + 8y = 4 ⇒–5

2x +

1

2= y ⇒ m =

–5

2

Las pendientes tienen igual valor numérico.c. Las intersecciones en ambas ecuaciones tienen igual valor numérico.

-5

-1

-2

-2

-

28

d. Ambas ecuaciones tienen igual pendiente e igual intersección por lo que ambas corresponden a la misma recta.

e. Un conjunto infinito de puntos.f. En este caso estamos resolviendo un sistema de ecuaciones indeterminado, por esa razón,

el conjunto solución está compuesto por un conjunto de puntos que pertenecen a R X R y que satisfacen ambas ecuaciones a la vez.

Pág. 232

a. x: longitud del largo de la sala.y: longitud del ancho de la sala2x + 2y = 56: perímetro de la salax – 2: el largo disminuido en dosy + 2: el ancho aumentado en dos.x – 2 = y + 2: en un cuadrado el ancho y el largo tienen igual medida.

2x + 2y = 56

x – 2 = y + 2

Los lados de la sala miden 16m y 12m

b. M: cantidad de mujeres que asistieron al concierto.

H: cantidad de hombres que asistieron al concierto.M + H = 3500: cantidad de personas que asistieron al concierto.20 000H: Cantidad de colones recaudados por la entrada de los hombres.15 000M: Cantidad de colones recaudados por la entrada de las mujeres20 000H + 15 000M = 60 500 000: cantidad de colones recaudados en total por la asistencia al concierto.

M + H = 3500

20 000H + 15 000M = 60 500 000

Al concierto entraron 1600 hombres y 1900 mujeres.

c. V: velocidad del viento.P: velocidad del pájaroP + V = 55: velocidad del pájaro a favor del viento.P – V= 25 velocidad del pájaro en contra del viento.La velocidad del pájaro en “aire tranquilo” es de 40 km/h.La velocidad del viento es de 15 k/h

d. x: primer número.y: segundo número3x + 2y = 12: la suma del triple del primero y el doble del segundo es 12.x + 5y = 12: la suma del primero y del quíntuple del segundo es 17.

3x + 2y = 12

x + 5y = 12

El primer número es 2 y el segundo es 3

e. D: cantidad de habitaciones dobles.T: cantidad de habitaciones triples.D + T = 57: cantidad total de habitaciones2D + 3T = 146: cantidad total de camas.

D + T = 57

2D + 3T = 146

El hotel tiene 25 habitaciones dobles y 32 habitaciones triples.

f. x: cantidad de botones cuadrados con dos huecos.y: cantidad de botones redondos (dos huecos).z: cantidad de botones cuadrados con cuatro huecos:z = 2y: el número de botones cuadrados con cuatro huecos, es el doble de los redondos con dosx + y + z = 82: en total hay 82 botones.x + y +2y = 82: se sustituye z por 2y2x + 2y + 4(2y) = 220: en total hay 220 huecos

En la caja hay 40 botones cuadrados con dos huecos, 28 botones cuadrados con cuatro huecos y 14 botones redondos.

x + 3y = 82

2x + 10y = 220

29


g. M: edad de Mariana.A: cantidad de años.3

8M: edad actual del padre de Mariana.

8

3M + 5: edad del padre dentro de 5 años

9

4(M+5): edad del padre dentro de 5 años

8

3M + 5 =

9

4 (M+5):la edad dentro de

cinco años es igualM + A = 4M: en cuántos años tendrá el padre de Mariana, el cuádruplo de su edad actual

8

35

9

45

4

M M

M A M

= = +

+ =

( ) :

Mariana en la actualidad tiene 15 años y su padre tiene 40 años. Dentro de 45 años, su padre tendrá 60, que equivale a 4 veces la edad actual de Mariana.

h. X: cantidad de monedas de ₡5Y: cantidad de monedas de ₡10X + Y = 18: cantidad de monedas que posee Oscar.X = 18 – Y: se expresa X en términos de Y5X + 10Y = C: cantidad de colones que posee Oscar.

10X + 5Y =7

8C: Si todas las de menor

denominación fueran las de mayor, y viceversa, tendría una cantidad de dinero equivalente a siete octavos de la que posee.5X + 10Y = C ⇒ 5(18 – Y) + 10Y = C

10X + 5Y =7

8C: ⇒ 10(18 – Y) + 5Y =

7

8C

15Y – C = –90

15Y – C = –3607

8

Oscar tiene 8 monedas de ₡5, 10 monedas de ₡20 y en total posee ₡240

i. x: número mayory: número menorx – y = 24: La diferencia entre dos números enteros positivos es 24.x + 8: Si se suma 8 a cada uno de ellosy + 8: Si se suma 8 a cada uno de ellosx + 8 = 3(y + 8): se obtienen dos nuevos números enteros tales que el mayor es el triple del menor

x – y = 24:

x + 8 = 3(y + 8)

Los números solicitados son 28 y 4

j. x: número mayory: número menorx + y = 122: el número 122 como la suma de dos números determinadosx = 2y + 17: al dividir el uno por el otro, el residuo es 17 y el cociente es 2.Recuerde que el dividendo se expresa como el producto del cociente por el divisor y se le suma el residuo: Ejemplo: 26 ÷ 8 = 3 y el residuo es 2, entonces 26 = 3 8 + 2.

x + y = 122

x = 2y + 17

Los números solicitados son 87 y 35

30

Objetivo general• Caracterizar la función cuadrática de

acuerdo con su criterio, su dominio, su co-dominio y su representación gráfica.

• Resolver ejercicios y problemas acerca de imágenes y preimágenes, con funciones cuadráticas que modelan situaciones de la cultura cotidiana o sistematizada.

• Interpretar la representación gráfica de funciones cuadráticas correspondientes a hechos de la cultura cotidiana o sistema-tizada.

Objetivos específicos• Identificar situaciones del entorno, que se

modelan mediante una función cuadrática• Determinar el criterio, dominio, codomi-

nio, ámbito y representación gráfica de una función cuadrática, a partir de las si-tuaciones del entorno.

• Identificar problemas y ejercicios relacio-nados con el cálculo de imágenes y pre-imágenes, en funciones cuadráticas que modelan situaciones referentes a la cultu-ra cotidiana y sistematizada.

• Interpretar la información que proporcio-nan las imágenes y las preimágenes, en una función cuadrática.

• Aplicar el concepto de función cuadrática para resolver situaciones problemáticas de la vida cotidiana que se modelan me-diante estas funciones

• Identificar los elementos básicos de la pa-rábola, como son la concavidad, el vértice, la intersección con los ejes cartesianos, el eje de simetría y los intervalos de mono-tonía.

• Formular conclusiones respecto de la in-formación que proporciona la parábola, mediante el estudio de las imágenes, las preimágenes, el dominio y el ámbito

Tema transversal: Desarrollo del pensamiento crítico y creativo, que propicia el entendimiento de las relacio-

nes entre los seres humanos.

Recomendaciones didácticas para la introducción al tema• No comience la clase sin antes haber

hecho un planeamiento en el que que-de muy claro los objetivos del Programa de Estudio, que pretende lograr. Realice previamente todas las actividades y ejer-cicios del libro. Para las interrogantes que evalúan conocimientos previos, proponga varias respuestas, de acuerdo con la con-dición en que usted cree, están sus estu-diantes.

• Antes de empezar el uso del libro de tex-to, realice algunas actividades que per-mitan “visualizar” la gráfica de la función cuadrática. Por ejemplo, solicítele a un estudiante que pase al frente de la clase con un objeto en la mano (que no sea frá-gil) y que lo lance a un compañero. Solicite a los otros estudiantes que dibujen en el cuaderno la curva que sigue el objeto lan-zado. Comente luego con todo el grupo las características que tiene esa curva y hágales saber que el estudio que se va a realizar a continuación es sobre las funcio-nes que tienen como gráfica ese tipo de trazos.

• Haga énfasis en la aplicabilidad que tienen las funciones cuadráticas en la vida real, para ello presénteles a los estudiantes ejemplos tales como la relación existente entre la altura y el tiempo que tarda un objeto al ser lanzado hacia arriba, la rela-ción que se da al determinar la utilidad que se obtiene al producir un artículo, y otros.

Recomendaciones didácticas adicionales para el desarrollo y evaluación de los temas• Utilice el libro de texto en diferentes es-

trategias: trabajo individual con una plena-ria al final de la lección en la que, en forma oral, se puedan unificar respuestas. Trabajo

Tema N.° 3 La función cuadrática

31


en grupo con comentarios en los que us-ted como docente puede intervenir para que las respuestas a las interrogantes sean lo más cercanas a lo que usted desea que se conteste, lección interrogativa en for-ma oral con las interrogantes que están en el libro, y los estudiantes contestan ya sea en el libro o en el cuaderno, una vez que se hayan discutido las posibles respuestas.

• Tenga preparado un fichero con ejercicios y problemas para aquellos estudiantes que terminan rápido los trabajos.

Uso didáctico de las cápsulasLeo y escribo (Pág. 246)Se presenta un tema de reflexión que debe ser aprovechado por el profesor para ha-cer conciencia en los estudiantes sobre la violencia que se está dando en las calles, en los hogares y principalmente en los Centros Educativos y sobre la obligación que tenemos como ciudadanos de erradicarla. Por la impor-tancia del tema se recomienda tomar tiempo suficiente para que sean escuchadas la mayo-ría de las recomendaciones que sugieren los estudiantes.Vida cotidiana (Pág. 248)Se puede dejar de tarea y comentar en clase la importancia que tienen en la vida cotidiana los trazos parabólicos.Vocabulario (Pág. 250)Puede solicitarles a los estudiantes que, des-pués de conocer los diferentes significados que tienen esas palabras, escriban una ora-ción, un párrafo, una canción, etc. en la que sean utilizadas.Uso del periódico (Pág. 251)Puede solicitarle a los estudiantes que lleven los gráficos a la clase o también puede dejarlo de tarea y revisarlo en clase.

Reto (Pág. 253)Se insiste en que en estos ejercicios lo impor-tante no es el resultado final sino la insisten-cia, la perseverancia, el interés y la constancia que se tenga para llegar a resolverlo. No tiene sentido conocer el resultado final por medio de otras personas sino que, será la satisfac-ción propia, el convencimiento de que sí pude hacerlo, no importa el tiempo que haya dura-do (horas, días, meses, años), Como docente se recomienda que oriente al estudiante, pero no le comunique el resultado porque perde-ría el objetivo de reto y se convertiría en un ejercicio común.Amplío mi conocimiento (Pág. 256)Comente esta cápsula en clase, puede agre-garle algunos ejemplos, aplíquela en la solu-ción de algunos problemas y haga evaluación formativa por cuanto este concepto es una ampliación de los contenidos del programa.Investigo (Pág. 263)Puede dejarse de tarea y revisarse en clase mediante una discusión de investigaciones. Posteriormente, usted homogeneizará el concepto.

Soluciones del Resuelvo. Página 2461. a. f(x) = (m-5) x2 – 8x +7. Para que la parábola de la gráfica de “f” sea cóncava hacia abajo, m – 5 < 0 ⇒m < 5. Por lo tanto, puede ser cualquier número entero menor que 5.1. b. De acuerdo con el análisis realizado en a., el menor número entero que puede ser susti-tuido por “m”, es 6.1. c. Si “m” fuese igual a cinco, entonces “f” no sería función cuadrática.1. d. (-0,05)2 = 0,0025 por lo tanto 0,0025 – 5 = -4,9975, la parábola es cóncava hacia abajo.1. e. En el intervalo: ] -∞, 5[

2.

Criterio de la función dada

Forma f(x) = y = ax2+bx+c “a” concavidad

3x2– 5x + 7 +2y = y -8 - 5x2 y = -8x2 + 5x - 15 -8 Cóncava hacia abajo

32

3

2x2 – 5x +3y – 5 = y – 4x + 5

7x2 –11

28x2 +

x

2+

5

2= y

–11

28

Cóncava hacia abajo

2 3 x2 + 9x – 6y + 3 = 4y + 6 – 6 3

5x2 + 9

10 x +

9 6

10

–= y

3

5

Cóncava hacia arriba

Página 249

Función dada a b c ∇ ∆

a

–b

2

–

4avértice

1. a. f(x) = -x2 + 8x -15 -1 8 -15 4 4 1 (4,1)

1. b. g(x) = 2x -5x2 + 1

2 -5 21

2 -6

1

5

–3

10

1

5,

7

10

1. c. h(x) = (-3)2x + (-2x)2 + 34 9 3 33

–9

8 –33

16

–,–9

8

33

16

2. Para conocer la concavidad de una parábola, basta saber el signo del coeficiente de x2, y esto se obtiene conociendo el valor numérico de “a”.

=a

–

4

7

3= ⇒ -28 • 3 = 4a • 7 ⇒ a = -3

⇒ la parábola es cóncava hacia abajo.

3. Se tiene que –b2a

,–

4a = (2, -14) ⇒

–b

a2= 2 y

––=

414

aΔ .

–b

a2= 2 ⇒ ;

––=

414

a⇒ b2 – 4ac= -56a. Como c = 2, entonces b2 – 8a = -56a

⇒ b2 + 48a = 0 Se utilizan las dos ecuaciones encerradas para resolver ese sistema por el mé-

todo de sustitución: (-4a)2 + 48a = 0 ⇒ 16a2 + 48a = 0 ⇒16a(a + 3) = 0. Esta ecuación tiene dos soluciones: a = 0 y a = -3. Como en la función cuadrática, “a” no puede ser igual a cero, entonces la respuesta al ejercicio es a = -3. Para determinar el valor numérico de “b”, se utiliza la ecuación b = -4a ⇒ b = -4(-3) = 12.4. El hecho que las parábolas tengan invertido las coordenadas del vértice y que una sea cóncava hacia arriba y la otra cóncava hacia abajo, no garantiza que estas no se intercepten. Por ejemplo, la parábola que corresponde a la gráfica de la función –1

2

5

22x x+ + = y, tiene como vértice el

punto (1,3), pero como se puede constatar, el punto (3,1) también pertenece a esta parábola, lo que indica entonces que, otra parábola con vértice (3,1) la intersecaría.5. –b

a2= 1 ⇒ (k – 2)2 = 2(2) ⇒ k2 - 4k + 4 = 4 ⇒ k2 - 4k= 0⇒ k (k-4)= 0 ⇒ k = 4 , además, k=0.

Se verifica que con ambos valores, el vértice es (1,0).

b = -4a

33


Página 250

Función dadaComponente “x” del vértice

“a” concavidad Creciente Decreciente

1. a. f(x) = 3x2 - 2x + 1 ; definida en R

1

3 3Cóncava

hacia arriba+∞

1

4, – ,°

1

3

1. b. g(t) = t2+3t–4; definida en]-10, 20[

–3

21

Cóncava hacia arriba

–3

2,20 –10,

–3

2

1. c. h(s) =-3s2– 6s; definida en ]-∞ , -1[ -1 -3

Cóncava hacia abajo °– ,–1

1. d. j(m) = -4m2–4; definida en ]0, +∞[ 0 -4

Cóncava hacia abajo +∞0,

2. a. Cóncava hacia abajo pues a = -52. b. Como la parábola es cóncava hacia abajo, su vértice corresponde a un punto máximo.2. c. Las coordenadas del vértice son: (2, 20).2. d. El par ordenado (2, 20) significa que la altura máxima que alcanza la bola es de 20 metros y esto se logra al cabo de 2 segundos.3. a. Cualquier número que haya escrito y que sea mayor que 9, está correcto.3.b. Respuesta dirigida por el docente, depen-de del valor que se haya dado a "k". 3.c. ]-∞ , 9[

Página 252

Valor numérico de “c”

Punto de inter-sección con el eje

OY� ��

a. 10 (0,10)

b. –21

4

0

21

4,–

c. -15 (0, -15)

d. 0 (0,0)

Página 256

fInterseca

OX� �� Cantidad Puntos

1.a. NO 0

1.b. SI 2

1.c. SI 2

1.d. SI 2

2.a.Interseca

OX� �� Cantidad Puntos

2.a. SI 2 (-4,0) y (-5,0)

2.b. SI 1 (2,0)

2.c. SI 2(10,0) y (-1/2,0)

2.d. NO 0 -

2.e. SI 1 (1/2,0)

2.f. SI 2(-4,0) y (3/2,0)

2. Verificar que el valor numérico de “c” sea igual para todas.3. El punto de intersección de la parábola con el eje OY

� ��es (0,-3).

4. El mayor intervalo de R en el que tiene que variar “h” para que se cumpla la condición so-licitada es: ] 7 , +∞[.5. Se cumple que k

1 +8 = -4 ⇒ k

1 = -12, ade-

más, k2 – 10 = -4 ⇒ k

2 = 6

6. Debe cumplirse que 2k1 – 4 = 6 ⇒ k

1 = 5,

además, 3k2 – 15 = 6 ⇒ k

2 = 7.

7. El edificio tiene una altura de 31 metros.

34

3. Una forma de solucionar la situación plan-teada es: La bombeta alcanza su máxima altu-ra al cabo de 10 segundos y luego comienza a descender en un tiempo de 10 segundos, por lo tanto han transcurrido 20 segundos desde el instante en que explota la “bombeta”, hasta que el cartucho cae al suelo: t=0, t=204. La bola recorre 14 metros en el tiro libre.

Página 258Ecuación de la recta del eje de simetría1. a. x= –7

4

b. x= 19

4

c. x= 7

10

d. x= –3

2

e. x= 0

f. x= 1

6

2. El criterio de la función es: 4x2 + 10x – 24 = y.3. No se puede afirmar con certeza porque esa situación sucede solamente si el valor nu-mérico de la componente “y” de sus vértices son iguales u opuestos.4. Los puntos (1, -10) y (-2, -10), sí pertenecen a esta parábola.5. En este caso es 13 pues |8 - 13| = 5

Página 2661.a. En las playas de Puntarenas el agua hervirá a 100 grados centígrados ó a 101 grados centí-grados.b. En la cima del cerro Chirripó, el agua hervirá a 98,16 grados centígrados.c. La altura sobre el nivel del mar del Volcán Irazú es de 3432m.2.a. ₡675 cada borrador.b. Cuando vende los borradores a ₡500, tiene una utilidad de ₡75 000.c. Cuando se vendan a ₡350 ó cuando se ven-dan a ₡1000d. La fábrica tendrá utilidades negativas si vende los borradores a precios menores de ₡350 o mayores que ₡1000.3.a. 78 metros.b.La altura máxima que alcanza el proyectil es de 123m.c. La altura que ha alcanzado el proyectil a los dos segundos de disparado es de 118metros.4.a. Cuando se venden 500 artículos, el fabri-cante tiene un ingreso de ₡112 500.b. Vendió 800 o 600 artículos para obtener ₡120 000.c. Respuesta dirigida por el docente.d. Para obtener el mayor ingreso, debe ven-der cada artículo en ₡175.

Tema N.° 4 La función inversa

Objetivos generales: • Aplicar el concepto de la función inversa

en la solución de ejercicios y problemas.

• Identificar la representación gráfica de

dos funciones inversas, considerando el concepto de eje de simetría.

Objetivos específicos:• Describir hechos cotidianos que involu-

35


cran relaciones inversas.• Formular las características que debe

poseer una función para que esta pueda tener su función inversa.

• Identificar funciones inyectivas, sobreyec-tivas y biyectivas.

• Determinar el criterio de la función inver-sa, dado el criterio de la función original.

• Utilizar el concepto de la función inversa en la solución de ejercicios y problemas.

• Comparar gráficas de funciones respecto de la función identidad.

• Identificar gráficas que corresponden a funciones inversas.

Tema transversal: Desarrollo del pensamiento crítico y creativo, que propicia el entendimiento de las relacio-nes entre los seres humanos.

Recomendaciones didácticas para la introducción al tema• Realice algunas actividades que permitan

“visualizar” acciones inversas, por ejem-plo, acostarse- levantarse, ensuciarse- la-varse, reír- llorar, triunfar- fracasar, y otros.

• Comente luego con todo el grupo las ca-racterísticas que tienen esas acciones y hágales saber que el estudio que se va a realizar a continuación es sobre las funcio-nes inversas. Puede plantearles algunas in-terrogantes en las que se estimule el pen-samiento hipotético, por ejemplo: ¿por qué creen ustedes que esas funciones que vamos a estudiar se llamen funciones in-versas?, si esta es la gráfica de una función (haga un trazo en la pizarra o llévelo en un cartel), ¿cómo creen ustedes que será la gráfica de su función inversa?, si este es el criterio de una función (escríbalo en la pizarra), ¿cuál creen ustedes que sea el criterio de la función inversa?, y otras in-terrogantes que usted pueda plantear.

Recomendaciones didácticas adicionales para el desarrollo y evaluación de los temasUtilice el libro de texto en diferentes estra-tegias similares a las expuestas en las guías

didácticas de otros temas. Puede dejar de trabajo en la casa algunas de las actividades y luego discutir las respuestas en una plenaria, así puede aprovechar más el tiempo permi-tiendo que los estudiantes expresen sus ideas. Tenga preparado un fichero con ejercicios y problemas para aquellos estudiantes que ter-minan rápido los trabajos.


Leo y escribo (pág. 276)Se presenta un tema de reflexión que debe ser aprovechado por el profesor para hacer conciencia en los estudiantes sobre la corrup-ción que está invadiendo a los costarricenses y los perjuicios que trae al país ese tipo de comportamientos en los ciudadanos.Por la importancia del tema se recomienda tomar tiempo suficiente para que sean es-cuchadas la mayoría de las recomendaciones que sugieren los estudiantes para minimizar estas prácticas nocivas en Costa Rica.

Investigo (pág. 279)Puede dejarse de tarea y revisarse en clase mediante una discusión de investigaciones. Posteriormente, usted homogeneizará el con-cepto. También puede hacerse una investiga-ción bibliográfica en la clase o en la biblioteca de la institución.

Vocabulario (pág.279)Puede solicitarles a los estudiantes que, des-pués de conocer los diferentes significados que tienen esas palabras, escriban una ora-ción, un párrafo, una canción, etc en la que sean utilizadas

Soluciones del Resuelvo.

Página 2751.a. Son funciones inversas.b. Son funciones inversas.c. No son funciones inversas.d. Son funciones inversas.2.a) Si f(x) = x + 1, entonces f-1(x) = x – 1 b) Si f(x) = 2x, entonces f-1(x) = x 2 o bien, x

2.

36

4. La función inversa de la función identidad es ella misma. Si f(x) = x entonces f-1(x) = x

5. a. f x

x( )=

+

1

2 5⇒ y =

1

2 5x + ⇒

2x + 5 = 1

y ⇒

2x = 1

y - 5 ⇒ x =

1

2

5

2y– ⇒ y =

1

2

5

2x– ,

entonces f-1(x) = 1

2

5

2x–

5. b. g(x) = 9 – x2 ⇒ y = 9 – x2 ⇒ y – 9 =-x2 ⇒

− y9 = x ⇒ − x9 = y, entonces

g-1(x) = − x9

5. c. h(x) = 2 4x – ⇒ y = 2 4x – ⇒

y2 = 2x – 4 ⇒ y2 + 4 = 2x ⇒y 2 4

2

+= x

entonces h-1(x) =+x 4

2

2

,

5. d.

j(x) = 13 – 5x ⇒ y = 13 – 5x ⇒

y - 13 = -5x ⇒y –

–

13

5 = x ⇒

–x + 13

5= y,

entonces j-1(x) = –x + 13

5

Página 2791. a. Dominio: R,codominio: R1. b. Todo elemento del codominio es imagen de por lo menos un elemento del dominio, pues esa gráfica se seguirá extendiendo infi-nitamente.1. c. La justificación que se da en 1. b. implica que el codominio y el ámbito son conjuntos iguales.1. d.f(x) =x3 + 2x2 - x -2 ⇒f(-2) = (-2)3 + 2(-2)2 – (-2) – 2 ⇒ f(-2) = 0f(-1) = (-1)3 + 2(-1)2 – (-1) – 2 ⇒ f(-1) = 0f(1) = (1)3 + 2(1)2 – (1) – 2 ⇒ f(1) = 0f(0) = (0)3 + 2(0)2 – (0) – 2 ⇒ f(0) = -2

f(2) = (2)3 + 2(2)2 – (2) – 2 ⇒ f(2) = 12f(3) = (3)3 + 2(3)2 – (3) – 2 ⇒ f(3) = 401. e. No todo elemento del ámbito es imagen de un único elemento del dominio, pues en este caso, el cero es imagen del -2, del -1 y del 1. Además, si se observa la gráfica, en el intervalo [-2,1], se presenta repetición de imá-genes.1. f. La función “f” es sobreyectiva pero no es inyectiva, por lo tanto, esta función no es bi-yectiva.2. a. Dominio: ]0, +∞[ ,codominio: R 2. b. No todo elemento del codominio es imagen de un elemento del dominio, pues los elementos de ]-∞, 0[ no corresponden a imá-

c) Si f(x) = x

5, entonces f-1(x) = 5x

d) Si f(x) = 6 – x, entonces f-1(x) = 6 – x3. El dominio de “f” debe ser [0, +∞[, y su codominio [-3, +∞[

El dominio de f-1 debe ser [-3, +∞[, y su codo-minio [0, +∞[.

37


2. f. Cada vez que obtenemos una nueva ima-gen, esta va a ser diferente, no hay posibilidad de que esta sea imagen de otra preimagen. Si se analiza la gráfica, se observa claramente que no hay repetición de imágenes. 2. g. La función “g” es inyectiva pero no es sobreyectiva por lo tanto “g” no es biyectiva.

3. a. El dominio es R, el codominio es R, el ámbito es [2, +∞[3. b. No todo elemento del codominio es ima-gen de un elemento del dominio, pues ningún elemento del intervalo]-∞, 2[corresponde a imagen en esta función, a pesar que el codo-minio es R.3. c. La gráfica de la función h(x) = x2 – 2x +3 corresponde a una parábola cóncava hacia arriba por lo tanto el punto que correspon-de al vértice es un mínimo. El vértice es =

Δ–,–b

a a2 4= (1,2) lo que indica que el ámbito

es [2, +∞[.3. d. No son conjuntos iguales pues el codo-minio es R y el ámbito es [2, +∞[3. e. h(x) = x2 – 2x +3

h(-2) = (-2)2 – 2(-2) + 3 = 11

h(-1) = (-1)2 – 2(-1) + 3 = 6

h(0) = (0)2 – 2(0) + 3 = 3

h(4) = (4)2 – 2(4) + 3 = 11

genes en esta función.2. c. El ámbito es ]0, +∞[, pues al ser el do-minio]0, +∞[ , solo se obtendrán como imá-genes número positivos. En la gráfica se visualiza claramente que esta está ubicada solamente en el I cuadrante.

g(x) = 5

xg(1) =

5

1 = 5 g(10) =

5

10

1

2=

g(1000) = 5

1000

1

200= g( 20 000) =

5

20000

1

4000= g(100 000) =

5

100000

1

20000=

h( 3) = (3)2 – 2(3) +3 = 6

h(7) = (7)2 – 2(7) + 3 = 38

3. f. No se garantiza que cada elemento del ámbito sea imagen de un único elemento del dominio pues en 3. e. se prueba que existen al menos dos casos en los que una misma ima-gen corresponde a preimágenes diferentes. 3. g. La función “h” no es sobreyectiva, tam-poco es inyectiva por lo tanto, tampoco es biyectiva.

2. d. Con base en la respuesta proporcionada en 1. b., se concluye que el ámbito y el codo-minio no son conjuntos iguales.

2. e.

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